Смешанный метод конечных элементов в задачах деформации оболочек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

.13$

КИЕВСКИЙ УНИВЕГСМЕТ им.Т.Г.ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи

МАСЛОВСКАЯ Лариса Викторовна

смешанный метод конечных элементов 3 задачах ДОСНШЦМ обшснек

Сг1вциальнооть 01.01.07. -

Вычислительная ьатематика

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СИЗСКАНИБ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДСТГОРА ФИЗИКО-..1АТИ.5АТЙЧКС1ШХ НАУК

КИЕВ 1ЭЭ2

Работа выполнена на кафедре вычислител!ной математики Спасского университета им; И. И.Мечникове

б1'ици!тьныа оппоненты: доктор физико-иатеиатических наук, профессор ИЛЬИН Валерия Павлович, дектор физияо-матеиатмческих нау?, профессор КШЕГЗКИЙ Михаил Миронович, . доктор физико-математических наук, профессор ИАКАГЧВ Владимир Леонидович.

Ведущая организация - институт кибернетики ЛН Украины.

Защита состоится , Ч час,

на ¡заседании спациализгтованного совета Д 06d.I0.I6 при Киевской универсиаэге ци.Т»Г.Шевчонк1> по адресу: ¿52127, г,1{иев-12'(', проспект академика Глушкова, б, факультет кибернетики, аудитория 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского университета /ул.Владимирская, 58/.

Автореферат разослан

Учены» секретарь специализированного совета Д 066.18.16

доцент А.В.Кузьшш

pöcc-;^

0ЩАЯ XAPAKTEFiE'ßKA PAEOTH

Актуальность топы» В настояцее вреыл метод конечных элементов завоевал всеобщее признание как эффективный метод рвшэ-гая разнообразных; задач математической физики и техники. Это связано о большой универсальность» метода, который сочетает в себе положительное качества вариационных и разностных метод. >, позволяя сравнительно легко учитывать геометрические н физнчво-1Ш9 параметры объектов исследования, а также различные граничные условия. Крене того, это связано о его алгоритмичностьв к простотой реализации, что привело к созданию универсальных вычислительных комплексов, которые позволяют решать ишгие зада-' од, Метод конечных элементов впервые бия предло.-ен в работах Куранта " Мак-Пзнри в 40-ых годах, однако в то время эти исследования остались незамеченными. Далее, а начале 50-ых годов метод снова был открыт независимо инженерами, которые начали применять его в расчетах напряжегчо-дефорцированного состояния элвыентоз строительных конструкций.

Фувдямент для математического исследования ыотода конечных элеиентов был залажен в работах Самарского A.A., Янен-ко H.H., Марека Р.И., Нихлина С.Г., Бахвалова Н.С. и др., сг-занных с иеследованиеуразносткых н варищкошшх методов. Первыми работами по исследованию KKj были работы ОганасянаЛ.А., Демьяновича O.K., Корнеева В.Г., Обэна л.П., Фрвдрихса К,, Келлера я др. Важную роль в анализе 1иКЭ сыграли работы по ап-роксимации конечными влементами в пространствах Соболева, полученные в конце 60-ых годо;:. Успехи численной реализации НКо1 связаны с бурным развитием методов решения разрешенных ли-

ночных систем.

Широко используется ИКЭ при рвсэн^и задач механики твердого тела, в частности, в задачах о деформации пластин и оболочек. В настоящее время в практических: расчетах тонкостенных конструкции численными методами чаще всего приценяется класси- • ческая теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхго^а-Лява /исдель Койтера/, к теория, учитывающая дефориацюэ поперечного сдвига /модель Тимооенко-Рэисснера/. Каддая из них шее? свои достоинства и недостатки. Так, например, пзрвая из н*х асимптотически точно описывает напрянв!Шое состояние тонких оболочек, но включает в себя производные высокого порядка ст поромощений, она приводит к системе ?pev урявлешш относительно вектора пареизцений точек ерэдиннои поверхности, откоси- , тельно каждого из касательных перемещений система иисет сторон порадок, относительно нормального - четвертый, Огсода -высокие требования к гладкости • Wf (^'л J2* H* . Вторая иодиль описывается дифференциальными уравношшаи второго порядке, следствием этого является ешквния гсобовании к гладкости руления, Но в модели Тимошонко-Рэйсснара при старшхх производнь'Х присутствует малый параазтр, что усложняет ранение вадачи.

Предаетоы наших исследований является модель. Койтера, которая описывает широкий класс задач и служит механикам на протяжении длительного времени. Построение конформных конеч-ноэлеиентных схем для отои модели приводит к необходимости обеспечивать при переходе через границы конечных элементов непрерывность не только нормальных перемещений, но и первых производных от них. Построение таких аппроксимаций приводит

к высоким степеням сплайнов для нормального перемещения, а д."а сволочен произвольной формы является почти неразрешимой задачей. Чтобы обойти ату трудность часто используют неконформные элементы, т.е. элементы, имеющие ыаньщую гладкость, чем Ня для нормаль ого перемещения. Но и ати элементы не могут решить проблему, т.к., хотя они и акономичньг, но дают часто недостаточную точность. Наиболее »флективными для задач теории пластин и оболочек оказались смвшгишыв, гибридные и смешанно-гибридные МКС. Сии оскойшзаютсг.на смешанных вариационных формулировках, которые сводя» решение краевой задаод к отысканию седповой точки функционала Рэйсамра, либо Рэйсснера-Льгранжа. Кроме трех компонент вектора перемещении компонентами седловом точки являютя обычно линейные комбинации перемещении и производных от них, имеющие определенный механическин смысл, например, моменты. Обычно эти величины тоже нужны, часто да-е болыао, чем перемещения. Введение этих велнччн в качество ьоеых неизвзспшх избавляет от необходимости числешюго дийчэрзвдироваш'ч, при котором происходит потеря точности. Дня отыскания седловои точки функцио-

нала достаточно дм перемещении использовать элементы класса (г/', У . Использование прос^^х конечных элементов и, как следствие, бксгрое формирование матрицы разролгющей системы и ее сравнительно небольшой порядок позволяют применять такие методы для решения нелинейных задач, где соответствующая линейная задача решается та каждой итерации.

Все это полотател^ные качества смешанных методов, К положите цыгнм же спчистсам относится и то,

- б -

что матрица получаемой системы имеет число обусловленности пор. дна О (я в отличие от систем, которая получается на основании минимизации функционала энергии и которая имеет число обусловленности О (/Г) . Но, к сожалению, матрица смешанного колечноолемеитного аналога на является нолош.ельно определенной и симметричной, хотя такими свойствами обладает патрица системы, получаздцеисл при1 иинимизации фуькционала энергии.

Вг. )рв!.е смешаннгл метода конечных элементов /СШЛ5/ бк-ли предложены Германом, Хзллалои и Виссером в 1Э67-1Э6Эг.г. дня вадач об изгибе пластины. Они получ.ияи теоретическое обоснование в работах Дяонсона и Мииоси в 1Э73г. Такиа методы получили название схем Гэрлана-ДНонсона и Гврыана-Мийосн, Позднее указанше методы, а ташэ др; шэ модификации смешанных и гибридных ьетодов были обстоятельно исследованы е работах Вроззи, Равьяра.Сьярлз, ч^а-лса, Осборна и других. В их I .бс-тгх б"лп соэ'^ир общая теория смешанных методов для бигарио-ничэсхого уравнения /.Задача Дирихле/.

Как ь.и'ю указано в проблемней статье Зенкевича, ншш-санной в и70г, иерешннои проблею.'! в 'ЖЭ является пршено-ние этого метода в расчетах оболочек. Ла проблелш существует и в настоящее ¿рзия, несмотря на большоо количество коноч-1Ш1С ллеиентов, созданпих для оодач теории оболочои.

Лнал;:з сходимости сха.м С'ЛСс для исновшгх краевых задач теории пологих оболочои полигональной области б/ш прово-деч в работах '"илшшодпа к ¡.'.асловской.

Для случат ногологих оболочек а литоратуре илеются лниь '¿сороки сходимости ,ут оболочек специального иида, на-

пример, для цилиндрических, либо пр неоправданно больших ограничениях на геометрию оболочки. ?то работы Нииоси, Таласли-диса, Лютоборского. Очевидно, причиной отсутствия общих терем является труднос!ь доказательства условия слабой эллиптичное-ти, которое играет ключевую роль и которое в случае пластинки и пологой оболочки доказывает я элеиентарно.

Кроме .ого, до последнего времзни отсутствовало исследование свойств матрицы смеаанннх дискретных /в частности ко-

I

нечноэлементшк/ аналогов эллиптических краевых задач, в частности задач теории оболочек. Не были исследованы особенности поведения методов исключения для систем такого вида.

Все это говорит об актуальности теш диссертационной

работы.

Цель работы.

1. Получение сштарных вариационных формулировок для основных краевых задач теории оболочек.

2. Исследование полученных смешанных схем. Доказательство условия слабой ллиптичности. Получение теорем существования, единстве1Шосги, сходимости для случая областей с угловыги точками п точками смены граничных условии.

3. Исследованш свойств сметанных дяскретнж аналогов эллиптических краевых задач. Прзыешмость методов исшгочения для систем такого вида. Поитроенш обобщенного алгоритма. Ходесско-го.

Исследовсшэ гладкости решений основных краевых задач теории оболочек р областях с угловьеш точкам и точками смены граничных условии.

Научная новизна.

В работ« построены и исследованы две новые схемы смешанного метода конечных элементов для основных краевых задач теории оболочек. По аналогии с соответствующими схемами для пласяии они названы схемеми Г&риана-Дяонсона и Герыана-Шшоси.

При «следовании отих схем кардинальную роль играло усло-вх слабой эллиптичности, обоснования которого для случая не-вологой оболочки не било ранее*

Новыми является телке интерполянты лвгргчкевого типа, которые обобщают интерполянты Джонсона и Фалка-Осборна.

Новыми являются теоремы аппроксимации в вссооди пространствах Соболева, которым принадлежи ре пения соответствуй^ краевых задач, ^ти теоремы позвол1уш получить теоремы сходимости для схемы ГермгцшяД^онсонс. в случае минимальной гладкости решения, например, ь случае но выпуклых полигональных областей. ,

Для случая схемы Гвриана-Мииоси был введен нелокальный иктерполянт, т.е. интерполянт, относяирыся не к одному треу-а сразу ко всей области. Исследованиэ ого свойств и получение теорем аппрокс:;ыации потребовало нового подхода, отличного о* стандартного.

Новыми являются алгебраическио главы, б которых изучаются свойства матриц смешанных дискреилх аналогов эллиптических краевых садач. Показано, что свойства этих матриц близки к свойствам симметричных положительно определенных матриц» они структурно симметричны, положительно полуопределены, новырождены. Для решения таких систем отроится и обосновывается обобщенный алгоритм Холзсского, вклпчавщии в се-

объединением "Азот".

Результаты диссертации «".пользовались такле при чтении спецкурсов "Метод конечных элементов" и "Численные методы алгебры" для студентов специальности 0617 механико-математического фокультета Одесского госуниверситзта.

Имевшиеся на кафедро программы, связанные о ранением сис эм специального вцдг, могут быть использованы при решении смешанными MK« ошпштических краевых задач.

Аппробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на 1У и У Всесоюзных конференциях "Вариационно-разностные. метода, в мате-матичьскои физике" /Новосибирск, 1ЭШ, Москва, 1ЭЗЗ/, на У» У1, X Всесоюзных конференциях "Численные методы реаенш? задач теории упругое тин пластичности" /Караганда. 1Э77, Ташкент, 197Э, Красноярск, 1307/, на 1У, У, У1 Всесоюзных школах-сеьы-карех "MKD в строительной механике" /Львов, Г'ТЭ, Рига« 1901, Киаь, 1983/, на У1 тематической конференции "Практическая реализация численных методов расчета конструкции" /Ленинград, 1903/, на республиванской научно-технической конференции "гффективг» численные метода решения краевых задач механики твердого дефоргаруемого тала" /Харьков, 1ЭЗС/, на II и III республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральна! уравнения /Одесса, 1Э73, Одесса, I9U2/, на УШ всесоюзной конференции по современным проблемам дифференциальной геометрии /Одесса, 1Э34/, на республиканской конференции по дифференциальным и интегральи:! уравнениям /Одесса, 1Э<37/, на 1У всесоюзной конферанцки "Сислшшне задачи механики деформируемого тслз" / Одесса, ПЗ:"/.

Кроив того, результаты диссертации докладывалиоь на семинаре ЕахБялова Н.С. на механико-математическом факульте-и МГУ /ГЗЬв, 1989/, на семинаре Николаева Е.С, на факультете ШиК Ы17 /1989/, на семинаре Ильина на факультете ШиК 1(17 /1&.)0/; на семинаре Вычислительного центра Сибирского филиала АН СССР в Новосибирске /1990/, на семинаре Ляшко А.Д. в Казанском университете /1980', на семинаре кафедр« вычисгч-тельной математики Киеьского университета /1992/, Результаты работы мног жрагно обсуздались на семинаре по МКЗ кафедры вычислительной математики Одесского го^университета.

Публикации.

Основньч результаты диссертации опубликованы в реботах \l-toJ-. В список раоот не включены тезисы /за исключением одних/ и многочисленные депонированные работы /за исключение»..

двух/. • ■

Структура и ооьем рабо~и.

Диссертационная работа согтоит из введения, шести шести глав, списка литературы. Объем работы - 269 страниц машинописного текста. Библиография содержит 178 наименовании.

основное содержание работы

Во введении показана актуальность темы, сформулирована цель исследования, приводится краткая аннотация работы.

В первой главе дан краткий обзор работ по применекшэ и анализу МКЭ а задачах" тоорчи пластин и оболочек. Особое вни-маеиэ уделено работа;.! по ШС^. Известно весьма мало рг.бот

а отом направление, причем они идею? частили характер. Поэтому обоснование СЫКЗ доя задач теории оболочек играет важную роль.

Во второй главе рассмотрэны различные шриациошше формулировки краевых задач линейной теории оболочек /модель Кой-тера/ Пусть- ограниченная область в плоскости Е с границей дЛ , которая предполагается Липшицевой. Тогда обопочка - обрпз прфтобралении 1' £ Е3 «где В - тгздмрное евкдвдово пространство, В действительности 5 - срединная поверхность сболочки, но так как мы рассматриваем только тонкие оболочки, то отоздествляеы оболочку с ее срединной псверхностыэ. Отобравши I- 2 ('л1,*1)* где Х*лг-

криволшвшЕ'е координаты оболочки, удовлэгьоряи следующим условиям» I/ , 2/ все точки оболочки регу-

лярны в том смысле, что два вектора ^ (¿1,^-1,2,' линейно независимы, т.е. их вектор юе'произведение Л. * ^ Ух^Л.

Рассмотрим систему диг^вренциалы^их уравнении для компонент вектора перемещении ,

- ^ <>»■% Ф^(О

Здесь компоненты тензоров иэгибешида моментов и растягивающих сил

комчоиоиты тензоров чзгиьной и мембранной до гор.!шд1Ш

/Ь (ь) = ^ " ¿/^ '

>1, (ь) -- '/2 + ~ .

Первые два уравнения, записанные формулой (, являются уравнениями второго порядка относительно касательных лвреиещеннм

, а уравнение^- уравнением четвертого порвдка относительно нормального поремещуния . Для лцрои из краевых задач на каждом куска гриппу! ненулевой ыерн задаются четыре условия, два из них связываются с касательными перемещениями, два - с нормальным. Условия предполагаются однородными. На каядоу 1£уске границы возможных вариантов 16 /ради краткости ш их не вынясывави/. Однако это задание должно обеспечивать единственлость решзния соответствующей краевой задачи, поэтому не иоьет был задано, например, на всей границе условна свободного края. Каждый из наборов граничных условии ¿шеот 1 определенный иеханическии сиысл, г ^

Пусть 1Г - подпространство пространства связанное с главными граничными условия;«!, Для произвольных IV определим билинешшз форм £4. (/м (и ) Л М)= с1х'

л1

л лшюиную форму г , ,

<а,о:> со,часы

' У1

Основная вариацио!шая формулировка задач» состоит в 'делении Н с |1' , удовлетворяющего вариыионноиу уравно-ню

л 6»(/кЪ>п Н) * М- (V

зловиа сильной П' -аллиптичности, которое было доказано >ярле и Бернаду, . _

¡еслечивает существовании » единственность ^е«-' ч* . (ъ). лоддешю решения ()) эквивалентно задаче ншшшиации на

пространство [V энергетического Функционала

^(wh-'A л (>»(»), *(*)) * 'А е(гым**))-<ц.,#>.

Методами теории двойственно ги получаем функционал I (V, >,;.)>ч)+ 'A CWw)j(tv))- 'М(»ь»>)' Ч> где № = тензор новых независимых

переменных, которые введены для того, чтобы понизить порядок производных о* Wj в вариационной формулировке, ли перзмен-udq является даойственнюш по отношению в Hj . Доя касательных перемещений двойстве:пше переменные не вводятся, т.к. в Of*) присутствуют производные от iv'j, И-, только первого порядка, Правда, двойственные переменные для тот можно было бы ввести, функционал L естественно назвать функционалом Ро Псаира-Лаграньа. Двойственно-основная формулировка враегон задача состоит в откокаю», седловой точки (^'j .

, Методами теории двойственности доказывается, что такая седдовая точка существует и единствензд, прочем первая ее компонента является раззгаюм основной вараа-цисаюа яадачя, а вторая w = >*(»')■

Необходимым условием существования сад;, jbox точки является удовлетворение системе вариационных уравнении

&.(>», f) Л (*>Ы/<):р, ty ( М , ft)

л (>» (с), м) * ^ <ь «>>, (')

Далее расширяется пространство допустимых значении для W в сужается дм )>1 , Вводятся в рассмотрение блнам&м пространства М > AL, W, У", У , такие что

С yU с М. • влогтения непрерывны и плотны, YfC- С у , вложения непрерывны и плотны,

f - Г- С w е-

V- Vi* Vt^Yi l 9 3начоь с обозначает компакт нооть вложения.

Пусть 'р (*){£(M'J , такие что J(*hft»')>

■tfhj, Ks-iJi'. Тогда под Л(»>(*),г>>\ >►»t ft,*(/К можно погашать отношение двойственности между Si и М , которое отождествляется с единственным расширение скалярного произведения Л (h'f^j »') в// .Обозначим

Z(w^) С (?(»'), fH, »'с' К К

Задача Р. Иаити пару (tЛ1*}У , такую что для ^ Условием слабой эллипгичночти называется следующее уело-

«»И* *fu)"y

Доказано, что если пара (г>Щ')(М> И' - решение кроме того, b't~ М и выполняетоя условие слабой эллиптичности, то является решением Р и ото решеши единственно, Заметим, что при переходе к расширенной вариационной формулировке от основной условия для перемещений остаютоя главными гр личными условиями, условия для перерезывающей силы - естественными, а вот условие для нормальной производной от уЦ , которое было главным, становится естественным, а условие для нормального момента, которое было естественным, становится главным. Связано это с тем, -jto при введении новых функции мы переходим от системы (f(') к системе шести уравнении второго порядка. Новые три уравнения дают связи между моментами и перемещениями.

Далее строятся дне конкретные расширенные вариационные формулировки, на оокэн« которых далее получаются. дне схемы СЖЗ - Германа-Дионсоил и Герлана-Мииоси, Положим Ж - подпространство пространства k ftp >■ • F'^'

парашют с главними граничными условиями и\-о, К °>

V - подпространство пространства (^я ) , связанное с глав-таи граяччцп-и условиями V<tzO, w.-o, Wj-o , A!- c ).

- ) , Чр ' - L , ли 'о их подпросгранспки, овяаонша о главным грчкмчнчч условием Мц-0 .Рчшениа краевой зпдапи предполагается имеющим оледуюцую гладкость tvt ("¿r^.) » , к-г1 г Ofiï'-ït , Из теорем вложения следует, что уУг^ДкД где р о » если fr-i(li) , и j,-, в противном случае, too предположение о гладкости обосновывается в главе 6, При талой гиачкости решения определенна пространств W, V, /I, /Î корректно, причьи i ity'Ч fa jh) . Определим на " < m,?(*j) г w^i/^f^ ^ -

- 7г (»Jfi * - Ц«V

Здесь £'ЙН та часть РЯ , m которой ^ - с , Под fj/^i пошшатоя проиэводпал в смысле стггуляцгкч распродолонш«, ^уг«) - дельта функция ¿¡Ирака, Тогда

if»,«) ' ji-»'а % * * ^к/фк'-и^ф^"

Ч f Г"'; ni rtj, »» с Я tti^

Здесь c'-rt * та часть с Я , на которой ivi ? о, сг.;г» мл g г иметь цуловую меру. Интеграла пошлантся, как otiw ;о;п: дполптпенно-оти соответствующих пространств.

Вторая вариационная «¡яданулиревка, котор:: сслользуотсл при построении схемы Гврма-ш-Дтонсона, езял&па с р!гуляр;»ои триангуляцией. Пространства Ж V определяется, как и в предыдущем случае. Пусть Тг> ^ -произвольная пара треуголыт-ков имегщая об;:ую сторону Т/с . Тогда

VïcTk> Mtl (»'r()ldrii^M»("''Jid^j,

либо его подпространству, связанному с главным граничим ус *о • вием А"^, Равенство понимается в смысле совпадения слдпп

Пространства > Л/

определяется аналогично, ? определяются так

как в предыдущем случаа^-билгоюиная форма &{>>', имеет над

При указанном выборе пространств и билинейшх 1<з[»< до называется неравенство: /А > > г***« V

где V - ^При этом исключаются то граничные условия, для которых на части границы ненулевой мер! ЛЬ,' С, ^ ) + <■' Использование этого неравенства дает возможность доказать условие слабой ^ллиптиччости (О , Значит, решэнио краевой задачи является ретениеи любойГ из двух расширенных вариацион • ных зад1ч и других решении у этих задач не существует.

В главе _3 на основании расширенных вариационных форму-ировок строятся смешанные схемы МКЭ, Показало, что условие лабой аллиптичности имеет место для дискретного случал при остаточно малых , Доказаны теоремы существования и единст-еиности конечноолементных задач. ИсследоЕанн свойства чатриц, аны оценки их чисел обусловленности. Получены квазиоптималь-ае оценки скорости сходимости. Ради упрощения внкчадок здесь рйдполагается, что область (I полигональна и связна. Ввэ-1тсч конечномерные пространства

Задача Рй. Паити пару (чи.,Щ)(ИИ • такую что

^ (- ЗУД. » **)' Ъ Ф* С Мг '

1 (шк , <1' \ > с ,

гся схемы Германа-Джонсона /I/, { ти / Пь/г ' ' ' •

либо его подпространству, связшша^с условной Здсоь

Р - пространство многочленов степени не вишз I , Определим

УЬ-- (Х?, 1.И, Си.», где ск

УТсЩ . Дня схемы Гершна-Мииоси Мк Щ

У^к * (У-Ь'Х^'Хь*) > д°1сааш",> 410 условие

слабой эллиптичности .' ЯЛ'О, ч'<>

нф ; мм, и

имеет место при достаточно малом 7«- . С/гсвда слезет однозначная разрешимость задачи Эта задача пквовалентна системе лине шшх алгебраических уравнений

г /м). ■ ('{

пч = 1 вг,» . I»)

где Л - симметричная положительно опродолошля А1уА/ матрица, С - сгеаютри^шгш положительно полуопроделенная матрица размера Ж*/^ . Условно с :абой эллиптичности (? ) влечет линейцую незавиоиыость столбцоо матрицы ///У/ . Огсода-невы-роздзшюстъ матрицы К , Дамы оценки сингулярных чисел матрицы : ^ ^от худа, сло.цует, что

Вводятся спещ^лыги шгаерполянтп, которю, в отличие от соответствующих дич илг-стшшл, связаны не со всей болинейнои формой

>») , и тш-ько с ее частью £ч (А; П}). Для схемы Германа-,'консона

для схеш! Германа-Шшоси

г//с, 4 ^

Изучены свойства юггерполянтор сначала для случая ортогональных координат с длиной дуги в качестве параметра на координатных линиях, а затем для случая общей системы криволинейных координат, причем при переходе к общей системе для нексторнх ин-терполянтов пришлось видоизменить их определение. Один из кн-терполянтов, используемый в схеме Германа-Мийоси, является глобалышм, т.е. строитоя сразу для всей области.

Получены теоремы аппроксимации в весомых пространствах Соболева, а затеи теоремы сходимости. Сформулируем некоторые из гаге.

Теорема сходимо-ти для схемы Германа-Джонсона. „ Пусть > к-ц, ¿>1 о"- ¿к, -решение

краевой задачи, (, ^д ) Мк * И& - решение задачи Р/ь. Тогда существует константа Л , не зависящая от А. , такая что

1) м*)-* ЦУМ -

ц)еси,и, 2¿--У, к-с>/з.г1,го

I»" 1

г, а, го

$)сслц к-гг/г>2,Го

$ь = к:+1, б'з-б' прц г , -

Пусть И'6 Ч^нр* ^г/. , к^вои задачи. /^»„К . ^ д

оучиствувт констшиъ , тшшя „0

При -1 а тшсы при к-б/г рассмотренная методика нр позволяет доказать сходимость для схемы Герхана-Мийоои.

Схема Германа-Дмнсона, как видно из теорем, более вко-нрмкчна, ч?м схема Герыана-Мииоси. Например, д£я схемы Германа-Джонсона при - "ч М/гЯ - , а для схемы Герыж-на-Мииосн при к-^/г?I - л'/-/ • при втои

число узловых параметров на одном треугольнике в первой случае 15, причем три нг> н:ос могут быть конденсированы, во втором случав на одном треугольнике ЗО пареше:ров, причем ни один из них не может быть конденсирован.

Четвертая главе посвящена изучению смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач, которые I» обя-1ательно являются краевшш задачами теории пластин и оболочек.

Матрицы этих аналогов прк определенной нумерации узловое параметров имеот вид . , .

■ ■ , н

•де Л - симметричная положительно определенная -

(атрица, С -симметричная положительно полуопределенная ¡У'// (атрица,столбцы матрицы ^'¿Ц лииеино независимы.

Показано, что матрица к'е невыроздена, положительно полу->пре делена, все ее собствень-.е значения имеют положительные ющественные части, все ведущие миноры положительны. Матрица /1 единственным образом представима в виде •де - нижняя треугольная матрица, а отличается от

1с только знаками перед элементами, стоящими в позиция:: . ¿'¿/V, . т.о. £«, где

Т - !!1м ? ¡1 , и.,1- единичные и

Х1 И 0'-1л>11 "■ л

■ ••".•* *. ■»й • • ■ .v-r-„ - '

матрицы. Токки образом, свойства этих патриц близки х свойствам симметричных положительно определенных матриц« Возникает естественное желание погштатся применить к ним подходы и методы, которые хорошо эарекомовдовали себя при рекюнии систем линейных алгебраических уравнении с симметричными поладительно определешсши матрицами, в частности, использовать дат разложения матрицы алгоритм, который является аналогов алгоритма Xодесского. Вопрос ятот не является тривиальным, т.к. не гри всякой нумерации неизвестных метод исключения обладает"численном ум ¿йчивоотьа. По аналогии с краевыми задачами для плйз-тш и об о ючо к неизвестные ив будем называть номентыми и пере-мэсцениями, хотя для других задач они имеют другой механический смысъ. Налримор* для уравнения теплопроводности - это температура и тепловой поток. (йезидно, что если первыми будут еацумероваш перемещения, то на . арвои то шаге исхлвчения на диагонкпи может стоять нуль, потробувтся перестановки. Для случая же симметршшой положительно определенной натри; i численная устойчивость алгоритма исключения шеет место при любом порядке неизвестных. В налюм случав порядок играет существенную роль. Если перенумеровать сначала моменты, а затем поремещеш:ч, ю матрица будет иметь вц\ ¡it¡) . Алгоритм исключения будет устойчивым, но произойдет большое заполнение в матрица, так, налргшор, ниошя главная подматрица порядка оказывается полностью ьаполнэшюи. Нумерация, кроме устойчивости, долина обеспечивать в^ективность алгоритма, Предлага-еллз способы нумерации неизвестных дают возмо ajocrt wjitieiuíTL аналог алгоритм Хакасского в сочетании с методами обработки разрьлэншх матриц, основанными на reopioi градов, г.оторпс ис-тиизуится для од^отричшк полопсзльио олгхзделешпк патриц.

Перенумеруем перемещения произвольным образом. При »том рационально использовать какой-либо из известных алгоритмов, учитывающих избранный способ хранения и последующего исключения, например, алгоритм Катхилла-Макки, Кикга и др. Затем перед каждым перемощением вставим все связанные с ним моменты, которые еще не попали в нуыорлцип, Тогда матрица системы будет иметь следующим вцц

Ах Ап <•« *

К"

V ^г О 4* о CZlíp

н

fit ч

о г А„ -в,ч

t-t'- ГЬ3\ С

V

Чч

e¿r"'

Доказано, \то при указанной нумерации неизвестных диагональные блоки 2)i L, C-if.-fip , получающиеся при исключении, являются положительно опр-деленныыи, все ведущие миноры матрицы У положительны н матрица к. единственным образом предстми-ма а виде И- L¡~T , где L - нити треунолъная матрица, LT= ItL- h . где Tt--¡kc,$ , ...,hJr¡ г '7г1Г\ 7мг,-1, hh - единичные(ftn-i* и fci'Xi) - иатрицы, JHh^ l -]\Í2s " размеры квадратных, диагональных блоков fastas i Сц,2i соответственно. .Для вычисления элементов L некрупно получить следующие формулы lic^u, ^n'hí С/> -11; £ít-}'/íJ Lñ- Lj^bj-jtícJs-Jfc1, ¿>¿.

»si • ' *

'еорема. Справедливы следующие Неравенства; для s-i,г >•••>[> к** ' //г WAtlújl í ПЬ%,<хCaí/lt'А '~ ) ■

в Л(! - положительно определенные - матрицы, Си ~

ложятэльно полуопрэделеиные - .¿атрилщ. Зачетка,

о матрица может оканчиваться блочной строкой, соответствую» и моментам. Предположим, что столбцы матлгц

^йно независимы. Тогда диагональные блоки» получающиеся

I

г исключении, явлгэтся положительно опредолэн-чми, Кроме 1*о, имеет место теорема, аналогичная предадут3"» Из нее )дует устойчивость по ^шпшсону обобщенного алгоритма Ходкого для сиотгеых дискретных аналогов эллиптических красе задач и в этой случае.

Доказано, что если столбцы цатрацы К-и линейно неза-:гаш, то у матрицы, полученной из Яц' вычеркиванием строч-я столбца, сотввтетвутарос перемещению, или добавленной эочкн, соответствуяцец моменту, столбцы тоже лишйно незави-ш.

В пятой глава результаты предыдущей главы применяются к скрэтнш схешш (МКЭ для краевых задач теории пластин и обо-гек, а именно к схемам Гергана-Дгонсона и Рэшана-Мийоси, сазнваотся, что практически все алгоритмы упорядочвшш неиз-¡тных, которые созданы для симмртричннх положительно опредетых матриц, могут быть использованы в рассмарриваемис схе-с лишь при их небольшой модификации. Модификация. обычно сво-•ся к выбору одного из возможных варшштов алгоритма упоря-гапня и, кгл правило, может быть обеспечена за счет специ-ного ввода входных данных. При птом не требуется ни допол-

в<г. 'В/ч С?I С2 V

Си1,и

1-1,'->р>

нительнон памяти, ни дополнительного времени. Практически 6 »-ими матрицами можно оперировать так же, как с симметричными положительно определеншг<и матрицам^.

Исследован и реализован первый способ нумерации, при е той первиещ-зния нумеровались при поыоща обратного алгоритма Катхидла-Ыакки, а затем перед каздыи перемещением вставлялись я произвольной порядке момента, которые еще не попали в нуме-poivU). Количество арифметических действии, необходимых для реализации алгоритма, и память асимптотически такие же, как и для алгоритма Холосского, использующего нумерацию обратного алгоритма Катхилла-Макки сразу для всех неизвестных,

Все алгоритмы нумерации неизвестных, оскованнь.з на те* ордо графов, нукзруют неизвестные так, что ш какдом этапе нумерации, связанной о уперядсекгам группы моментов и следующей яа ней группы перемещении, выделяется некоторая подобласть или система подобластей основной области, на которой ищется реле-нив вспомогательной краевой задачи. Это дает возможность при доказательстве ликаиной независимости столбцов матриц fat использовать единственность решения вспогогятолыюа краевой задачи и ее дискретных аналогов, дтот метод оказался эффективным для и?следовак;:я всех алгоритмов ■"порядочёния при их небольшой модификации. Иакдаи этап нумерации, который связывает- . ся с группой перемощении и следующей за ней групяои моизнтов, выделяот из области $1 некоторую подооласть или конечное число подобластей St , каздая из которых является объединением треугольшшш. Та часть границы ОЯп « которая не принад-леткт pil , называется фшетишои. На фиктивной грияце мо но считать . Дтя обеспечения единственности реше-

ния вспомогательной задачи условия на гратгцз удобно

- 2V -

считать смешанными. Если они таховш*и но являются, то их можно заменить приближенно смешанными, пользуясь штрафами.

Если lia кавдом этапе нумерации все момента в $rt занумерованы, /2/д на фиктивпон границе считается равным нулю, а за. даниэ остальных граничных условии обеспечивает единственность решения краевой задачи нг. Яп , то столбцы матриц ' Г Л •малина йно независимы. '

Теорема. Пусть алгоритм нумерации таков, что перед каждым перемещением нумеруттся все его близкие сосвди-моменты,

которые еще не попали в нумерацию, то столбцы м. триц itl> ¿~

i

lyyfo, линейно независимы. . •

Сосед данного узла называется близким, если он относится к середине той стороны, которой принадлежит дантм узловой па-паршетр.

Доказано, что если при нумерации всех неизвестных использовать обратный алгоритм Катхилла-Iiciui, то для применимости обобщенного алгоритма Холесского достаточно, чтобы начали и узел был моментом и пр/аадлеяал Л? , кроме того, список смежности каждого узла в массиве должен содержать сначала перемещения, а затем моменты. Ото требование легко роализоват: .

Для алгоритма мишиа-.^ной степени доказано, что перемещение, отнесенное к вершше, нуиеруется j последнем среда всех близких к этому перемечетез суперузлов.

Теореиа.При дополнительном требовании, чтобы б любом супорузле нумеровались оначал- ссз принадпедалре сиу моменты, а затем перемещения, iuii-opirrr ы:аимал1 iioií стзгчэ ни. упорядочения неизвестных обеспечивает применимость обобщенного алгоритма Холасского.

Легко видеть, что для выполнения условии этой теоремы при peí лизации алгоритма миниыальяой степени, приводегаои в книге Джордаа и Ля ^Численное решение больших разреженных систем уравнении", достаточно ввести исходные данные следующим обрат зом: I/ сначала все середины сторон, затем вершины, 2/ при по строении структуры смежности в массиве AfcJ/i't f для ю_едого узла в списке соседей сначала должны идти вершины, а затем се редины сторон, 3/ при перечислении 'соседей узла как номера ве шин,- так л номера середин сторон_ должн" идти в порядке возрас тения. Ддесь речь одет о нумерации сетки, состоящей из верши и середин сторон треугольников. Остальные параметры затем вса ляэтся. Такая реализация сокращает время» Ев удобно ^риавнять в любом оторитмэ. Сначала нумеруется некая начальна}! сетка, а затем производятся вставки.

В методе вло-кешшх оечзнии для обоспзче:шя йриаешиюст обобщенного алгоритма Холзссдого достаточно в кавдом разделит де нумеровать сначала моменты, а затем 'перемещения,

В методе параллельных сеченга достаточно, например, в каядой из подобластей перемещения нумеровать по алгоритму liar хилла-Маккн, а затем перед каждым перемещением вставлять все связанные с чш мошнты, которые еще не попали в нумерацию, В последней част л, образовашюи раздйлкт0лп;.:и, иукарация производится по то;.!у se пр-инлу.

Во фронтальном матоце пршеншоеть обобщенного алгоритма Холесзкого обеспечивается, если при нумерации узлов, относятся к верлииз или к серодигз стороны, нумеруются сначала моменты, р. затем пэршещения.

bei оти дополнителькчо условия вчбирают один иь возможных вариантов алгоритма, не выводя нас за его продеты. Их лег-

ко реализовать за счет специального ввода входных даннкх.

В сестой глава ма основании методики Кондратьева проведено исследование гладаости решений основных краевых задач теории пластик и пологих оболочек, в окрестчс сти углоьых точек и точек смены граничных условии. Гладкость решений основных краевых задач теории пластин зависит от 1>асположения корней характеристических функций,, «ги корни можно найти, если исследовать следующие трансцендентные уравнения

МЪ'О, сЬ+С-г^Ъ-О, где'Л , Р) , С , и Я - константы., В диссертации исследовало поведение корней ,гих уравнений, затем сделаны выводи о гладкости. Аналогичные исследования проведены для плоской задачи теории упругости. Иовздение 4 лиглия краевой задачи для зистеш уравнений полевой оболочки определяется главной час-гьв операт ра задачи. Еццэление же главной части приводит к ^вум независимым краевым задачам!, для нормального перемещенчя юлучаем краевую задачу для бигарыошческого уравнения, а для 1асателышх пвремещзшш получаем плоскую задачу теории упру-'ооти,. Отсюда - выводы о гладкости репвшш основных краевых ¡адач для пологой оболочки« если правая часть •о решения * И

[ричем : лбо К-б'/^?I в зависимости от угла и

шда краевых условии.

В случав налологой оболочки не происходит разделения а две независштае подзадачи. Необходимо исследование всей истеш. Однако в силу положительной опредзленностй операто-а краевой зедачи можно сделать вывод, чго [а основании теорем вложения в любой случав

0СНСВН1Ш ПУБЛИКАЦИИ ПО ШЕ ДЖШТАЦЯИ

1. Масловская Л. В. О сходицосги вариационно-разностных катодов д^. одной нелинейной краевой аадачи теории гибких пластин// КШ и МФ. - 1976. - Т.18,1.4. > С,943-951.

2. Цасловская Л.В. О сходимости вариационно-разностных методов . для одаой нелинейной краевой задачи теории гибких плчстни//

Численные методы решнкя задач теории упругости и пластичности. Материалы У Всесоюзной т»фервнции. - Новосибирск, 1976. •• 4.2. - С.-¿-95,

3. Масло. скал Л.В. О сходимости одной разностной схемы для Ь&-дачи о сильном кзгибе тонкие пластин // Численные метода механики сплошной среды. - Новосибирск, 197В. - Т.9, Й. -С.113-Т25. . .

4. Цасловская Л.В. Сью данный метод конечных элементов-в задачах об изгибе пластин // Числению и тоды решонкя задач, теории упругости и пластичности, Материал!. У1 Всесоюзной конференции. - Новосибирск, 1980. - 4,2. - С.¿5-90,

5. Масловская Л.В. Смешанный метод конечных элементов для основных краевис задач теории пластин в областях с угловыми тачками // Методы аппроксимации и интерполяции. - Новосибирск, 1901. •• С. 75-84.

6. Масловская л.В. Поведение решений 1игарю;шческого уравнения в областях с угловат точками // Да^Лсронциалыше урав-

нньния. - 1933. - 1.19, И-12. - С.2172-2175.

7. Масловская Л.В., Филиппович А.П. Полусмэшанныи метод конечных элементов в задачах о деформации пологих оболочек // Сборник научных трудов. - 1Д.1 (Ш АН СССР, 1У34. - С.172-182.

8. Масловская Л.В., йшишг.ович А.П., Голуишш в. Г. о смешанных вариационных формулировках задач теории оболочек // Из вес-

- 3i -

тия чузов. Математика. - 1935. - -39/260/. - С.37-43.

Э.Масловская Л.Ь., Филиппович А.П. Полусмеша!шыи метод конеч-гас элы.йнусэ в задачах о деформация пологих оболочек // ЕЕ« и Iii'. - 1985. - Т.25,;;=8. - G.I23a-ID45.

Ю.Маслс-хкая Л.В. Сходимость полусмешшшогэ метода конечных элементов дли осноышу краевых задач теории пологих оболочек в весовых пространствах Соболева // Численные метода решения задач теории упругости и пластичности. Материал« X Всесоюгной конференции. - Новосибирск, 1908. - С.172-177.

II.Масловская Л.В. Сходимость полусмешанного метода конечных элементов для основных краевых задач.теории пологих оболочек в весовых пространствах Соболева // Известия вузов. Ua-, тематика. - 1938.-КЗ. - С.36-43.

12.1'.асловская Л.В. Сообщенный алгоритм Xодесского для смеиан-!ШХ'дискретных аналогов эллиптических краевых задач // КЕМ и Mi. - 1989. - Т.2Э) iia. - С.67-74.

13.Масловская Л.В., Кобозева A.A., Лятова H.H. ииектнвные методы решения смешанных дискратных аналогов краевых задач механики твердого деформируемого тела.Тезисны докладов республиканском научно-т' хническоч кон^ронции "Эффективные численные '«отода решения краевых задач механики твердого деформируемого т-зла'.' -Харьков, 1989. -2о.

14.Масловская A.B., Орлов C.B. Асимптотк.са решили краевих задач для гармонического и бигарыонического операторов в окрестности угловых точек л точек смены граничных условии. -Дел. в УгчШИНТИ. - 1989. - иЬЗО-Ук-ЬЭ, 64с.

^j.Масловская Л,В., Ора>и C.B. О гладкости и асимптотике решении краевых -задач теории оболочек. - Дел. в УкрКИШТИ.-

1ээо. - .; iioi-Ук-ии, юс.

- -¿г -

16. Каслсвокая ¿i.B. Исузужхяяя сценки ечоджоотч полусмвпаяного метода конечных элементов для основных краевых зедач теория пологих оболочек ь полкгональт.-х областях // ЯВИ я И'5. - 1?Э0. - Т.ЗО, Р4. - C.5I3-520,

17« Кобозева A.A., Мавловокая JL.B. Программная реализация обобщенного елгориша Холесско*о для некэт рых смешанных диск» репшх «налогов эллиптичеоких краевых задач // ЯШ и КФ. -РЭО. - Т.ЗО, га. - С 420-429.

1Ь, Масловская Л,В., Голушнов В,Р. О скопанных вариационных формулировках задач теории оболочек // Иззостия вузов. Ыа-темг.тика, - 1991. - L'^2. - С.63-78.

ГМаелопз:сая I.B. Об условиях пргюншости обобщенного алго-рятиа Холосского // :ТЭМ а Hi. - 1992. - 'Г.32, 1ГЗ, -С.33)-317.

20. ¡Собозева A.A., Масловская J.B. 06oo!"Wi"* алгоритм Холео-сгого в задачах теории пластуй оболочек // .\Ш и ЫФ. -TiQS»^ .т.3'4, 7 9 - С, / Y $ 2 -/V ^

Подп. г .ючати 8.12.92.г. Формат 6С I/I6. Об"еи 2,0 п.л. Заказ I« 53 49. Тирам 100 о г.:. Бесплатно. Гортппогра^ин Одесского облполиграфиздага, цех_й 3. Ленина, 45.