Собственные характеристики цилиндрических оболочек сетчатой структуры из композиционных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г 8 ОД

, г» > •,•> 'Л'^П

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ '

На правах рукописи УДК 539. 384.4-»534.1

ЗЕЛЬВИН Андрей Борисович

СОБСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК • СЕТЧАТОЙ СТРУКТУРЫ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в ордена Трудового Красного Знамени Московском фиэихо-техничэском институте

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор 6. П. Уыушкин

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор В.А.Кошш.

доктор технических наук, профессор Г. И. Пшеничнов.

Ведущая организация: ЩШ Машиностроения

Завита состоится " " 1993г. в 10 часов на

заседании специализированного совета К 063.91.05 Московского физико-технического института по адресу; г. Долгопрудный Московской области, Институтский пер. ,9,МФТИ.

Отзывы направлять по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской области, Институтский пер. ,9,МФТИ.

О диссертацией молно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат "разослан 1993 г.

Ученый секретарь специалиэщюванного совета кандидат физико-\ютематичес:ких наук, доцент Смоляков К. Г.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми . Современная тенденция роста уровня достижений в области механики деформируемого твердого тело- вызвала широкое распространение конструкций, выполненных из композиционных материалов, состоящих из двух или нескольких разнородных компонентов. Ведущее значение в этом принадлежит высоким удельным механическим характеристикам композитов, а также особенности, состоящей в том, что. и материал, и изделие создастся одновременно. Причем, формируемые при этом свойства материала непосредственно определяют свойства конструкции.

Важное практическое значение имеет знание собственных параметров изделий из композитов и, в частности, сетчатых оболочечных конструкций. Такие'изделия представляют собой много раз статически неопреде' лимые системы стержней, связанных между собой в местах пересечения и опертых на концах о силовые шпангоуты. Получаемый расчетом спектр собственных частот оболочки сетчатой структуры, а также запасы ее устойчивости действию осевой сжимающей силы, позволяют обоснованно установить соответствие между действующими внешними возмущениями и конструктивно-массовыми параметрами объекта.

Структурные стержневые конструкции в соответствии с существующими методиками рассматриваются, либо как действительно дискретные, либо заменяются континуаль :ыми моделями с эквивалентной жесткое л>ю. Первый путь, полагающий привлечение классических методов строительной механики, зачастую оказ1 эется практически трудно осуществимым вследствие большого числа узлов и стержней в таких конструкциях. Второйде приводит.к большим погрешностям в расчете. Привлечение для этой, цели численных методов (метода конечных элементов, метода сеток и др.) тоже имеет ряд отрицательных сторон, обусловленных проблемой сводимости разностных схем и.т.д. Поэтому разработка аналитического подхода к исследование поведения оболочек сетчатой структуры, дающего полную информацию об ее собственных статических и динамических параметрах в рамках дискретной модели и обладающего сравнительно малым объемом вычислений, позволяет более полно отразить назначение и условия эксплуатации конструкции, а.в отдельных случая? и отказаться от проведения дорогостоящих натурных экспериментов.

Цель работы: разработка методики определения собственных статических и динамических характеристик цилиндрической структурной оболочки с ромбической сеткой, выполненной'из композиционного материала, в рамках дискретной модели.объекта исследования.

Научная новизна; полученных результатов заклинается в том, что; :

1. в отличие от ранее проведенных работ по определений запасов устойчивости и спектра собственных частот сетчатых оболочечных конструкций, где рассматривались, либо континуальные расчетные моцели, либо использовались методы- численного анализа, результаты научных исследований позволили разработать методику анализа, собственных статических и динамических характеристик на основе аналитического подхода в рамках дискретной модели исследования;

2. математическая модель задачи более полно отражает назначение и условия эксплуатации оболочечной конструкций сетчатой структуры, позволяя учитывать в комплексе осевое сжимающее воздействие и имеющие место динамические процессы;

3. при разработке математической модели обьекта исследования впервые был проведен анализ влияния двоякой кривизны на несущую способность образующих оболочку ребер-стержней и сделаны обоснованные допущения в отношении конструкции в целом.

Практическая ценность. Результаты, полученные в работе, используются в ЦНШСМ и могут быть рекомендованы для анализа состояний элементов конструкций авиационной, судостроительной и машиностроительной техники. . '

На защиту выносится разработка методики определения собственных статических и динамических характеристик цилиндрической сетчатой оболочки, выпсяненной из композиционного материала.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIу/1989/ научной конференции молодых ученых и специалистов МФТИ, ХХХУ/1989/. ХХ'ХУП/1992/ научных конференциях МФТИ, внутривузовской -научно-технической конференции МИИГА. ,

Публикации, Материалы диссертации опубликованы в 4 статьях и двух отчетах по НИР. -

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит ни введения, Трех'глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации 132 страниц, из которых 117 страниц текста, 8 страниц с рисунками и 7 страниц приложения. Библиография включает 101 название нэ С страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится аналитический обзор литературы по тематике и вопросам диссертации, обоснованы актуальность выбранной темы, указана цель работы, сформулированы вопросы, решение которых позволяет обеспечить исследование указанной научной проблема, изложено кратко содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту

Б первой главе • проводится анализ структура и параметров цилиндрической сетчатой оболочки. Силовая схема исследуемой конструкции полагается состоящей из совокупности стержневых элементов, обладающих общими связями. Причем, взаимное положение их таково, что все вместе они образуют тонкостенную структурную оболочку (рис. 1). С этих позиций оценка состояния и работоспособности рассматриваемого объектп проводится посредством исследования указанных факторов в отношение составляющих ее элементов с учетом ограничений, накладываемых имеющими место связями.

Опыт практического использования структурных конструкций продемонстрировал высокую их эффективность в том случае, когда они изготовлены из композиционных материалов. Поэтому в работе проведен анализ поведения именно композитной оболочки, образованной методом непрерывной намотки нитей наполнителя, в качестве которого используется угле-, органо- или стекловолокно, в совокупности со смолообразным связующим. При этом, определение механических характеристик однонаправленного пластика проводилось с привлечением следующих зависимостей.

Модуль упругости в направлении армирования Е1 с высокой точностью определяется выражением . .

Е1 = Е.-ц + Ео-С1-щ) , (1)

где Е. - модуль упругости арматуры, Ео - модуль упругости связующего, ц коэффициент объемного армирования.

Модуль упругости поперек направления армирования Еа можно с приемлемой точностьо определшъ выражением, полученным Д. С. Аболиньшем

( 1 + Ск-1)ц 1-Е.

' Еа ■ -:---:—, ' С 2)

(ц + к-С1-ц) ](l + Ск-П-ц] - (к-и=-у.)2-ц-С1-ц)

где уо - коэффициент Пуассона связующего, v. - коэффициент Пуассона арматуры,

К = -Ь— • СЗ)

Ее

Коэффициент Пуассона viz оправляется из выражения

via v-ц + vo-ci-ju) • (4)

В отношение модуля сдвига в плоскости слоя G12 хорошее, приближение дает зависимость Хашина-Розена .

Giz = f'U^ ♦ Cl-M? , (gj

f-ci-м) + а+м)

ГДе f = i±Hs.k ; Go = —--. C6D

1+1». 2C1+V0)

Для анализа поведения нагруженной оболочки привлекается метод функций влияния (функций динамической, податливости), содержащий в основе интегральные подходы к исследованию упругих систем.'

Применительно к пространственной стержневой конструкции 'в декартовой системе координат с нумерацией осей 1,2,3 возможными ее перемещениями являются линейные смещения в направлении соответствующих осей и повороты относительно них. Функция влияния (динамической податливости) обозначается Kmv(x.s) (ГциСх.Б.ы2)), где индекс м определяет характер перемещения, a v- характер'действующей нагрузки. Линейным перемещениям и силам, действующим в направлении осей 1,2,3 присваиваются такие же значения переменных м и и. Углам поворотов и моментам относительно указанных осей устанавливаются в соответствие индексы ^=4,5,6 и i.'=4,5,6. Полученные, таким'образом, функции влияния (динамической податливости) сводятся в матрицу

*

I КМУСх.Б) м.У-1.2«••.»•

(7)

Матрица функций влияния свободного от связей стержня, как основного несущего элемента оболочки сетчатой структуры, имеет вид

КмСх.зЭ 0 0 0 0,0

О КггСх.Е) 0 0 0 КгеСх.З)

О О КээСх.г) О КЭБСх.З) О

ООО К^Сх.Б) О О О 0' КвзСх.э) 0 КввСх.э) О

О Кв2Сх,5) О 0 1 0 КбвСх.Б)

(8)

• Основные элементы (Ки(х,б), 1=1,2,3,45, Входящие в (8), отыскиваются путем решения уравнений равновесия балки, правая часть которых включает разрывнуо ¿-функцию Дирака. Соответственно принятым краевым условиям, полагающим свободное опирание, К-« Сш=1,..,4) принимают вид

где

К.-СХ^) = ¡С ^П-^

1.1 1 1

Ьч

Ьз1

-2.

Ьз! =

Ьи = •

Е^-С^)2 • : 1 - и-с-^)2 1

1

ЕгЬЧ-^О4 1 1

1

ЕэЬ'С -¿Д-)4 I - N4-Я-)2 1

1 .

С 9)

СЮ)

Г б^-С-^)2 1

Остальные определяются путем дифференциальных преобразований. Напри-

1*вр.

КэбСх^) * —й-Кээ(х.З),

дз

Квб(х,з) «

д5-дх

■Кгг(х.З).

ПО

Подобным образом находятся и функции динамической изолированного, свободно опертого на краях стержня

Г»«(х,з,<ог) = 2 а«1 -51п

1гга 1

•Бт

1ТТ5 1

51П <Д,

податливости

(12)

В рамках выбранной геометрической модели полагается, что несущий каркас оболочки образован двумя семействами ребер-стержней постоянного сечения, концы которых скреплены между собой и с опорными шпангоутами таким образом, что точки соединения делят окружности последних на равные дуги. При этом, семейству ребер, направленных под некоторым углом ч> к образующей, соответствует такое же семейство ребер, направленных к ней под углом -р. Образующие конструкцию . стержни скреплены между собой в равноотстоящих точках их взаимного пересечения. Все перемещения системы рассматриваются в координатных .осях, неподвгтннх относительно оболочки. Помимо этого, также имеют место и системы координат, связанные непосредственно со стержнями.. Таким образом, перемещения составляющих элементов, установленные в их собственных осях, далее переносятся путем матричных Преобразований на оси неподвижной системы координат

Г 2' 3'

а А1-Аг-Аз-

1> 2» 31

(13)

Матрицы перехода А1,Аг и Аэ определяют последовательность углоеых движений, совмещающих одни и другие координатный системы.

3 общем случае, ребра цилиндрического каркаса являются стержнями со спиральной осью. »Однако, вследствие малости углов р(-р) оси принимаются прямолинейными в предположении, что они лежат на поверхности, близкой к цилиндрической. Это допущение подтверждается исследованием поведения криволинейного стержня, испытывающего действие осевой сгамамей силы (рис.2).

. - 10 -

Все составляйте главного вектора сил и главного момента рассматривались в системе уравнений Кирхгофа-Клэбша, а также соотношений Бернулли, устанавливающих зависимость между искривленностью балки и возникающими вследствие этого моментами

А А -А

V«"- -P;(f„ I) . Vr -P Cf.. J) , V. " -P-(?„ R), (14)

Vx - Г-Vr + q-V»,« 0 ;

V» - p-V« + г-V» * 0 ;

• V, - q-V. p-Vy * 0 ; (15)

L* - r-Ly + 4'L* - V» * 0 ;

L¿ - p-L» + r-U + V» » 0 ;

Li - q-l* + p-Ly * 0 .

Переход к вариациям фукций кривизны приводит к системе, состоящей из шести уравнений с шестью неизвестными

dp « бу' -Slnfr' •SirHS* + 6В" -Ц!' -COS&' -Sin)»' 4 6b' *COS|P' +

+ •(*!'-Sinfr' •COSf>» - -sin?') ¡

dq « бф' -sin»' -eos»)' + dfr' -у' -cose' -cusp' - dé* <sinp' +

+ d#>' -C-^-sin©" -siní»' - ^-cosp'3 ; . . (16) dr = óy 'Cos^' + б?' ~ W -sln$' ;

E2-Ja-íp - dr-Es-Ja-íq-q,) - 6q-г-Ез-Jb + dq-G-Jp-ír-r.) +

+ ír-q-G-Jp - d^?' -P-sinp' -slnfr' + 6&' -P-cosp' -eos»' ■ 0 ;

Еэ-Ja-dq - dp-G;Ji>4i—r,) - dr-p-G-Jp + dr-Ea-Ja-Cp-p.). +

<ípT'E2-j3 - dfr'-P-sinf-cosfr' - dp'» •P-cosf-sínfr' = 0 ;

G-Jp-dr - dq-Ea-Ja-Cp-p,) - dp-q-E2-.b + fiEa-Jz-Cq-q,,)-+

■ + ¿q-p-Es-j2 = 0 . 4

Поскольку в критическом состоянии ось цилиндра, обвивпмого' стержнем, остается прямолинейной, то уравнение спиральной оси выражается через его параметры

¡¡ = r-cos(as) , г) - R'sln(a-s) , . ( = m-s , С17)>

где R - радиус цилиндра, ш =sina, R>a = cosa, а - угол подъема винтовой оси.

В свою очередь, параметры ш,а и Й отыскиваются с помощью линеаре-зованных уравнений, устанавливавших зависимость между ними и параметром нагружения - величиной осеьой сжимающей силы,-

В основу рассуждений об устойчивости такого объекта было положено предположение о том, что критическая сила Рк„, выводящая стержень из состояния равновесия, может быть найдена в результате подбора такой величины Р, при которой параметры, определяющие геометрию и кривизну р,я,г,&',р',у., становятся неоднозначными функциями этой величины. Таким образом, при Р = Рк„стержень имеет единственную форму равновесий - прямолинейную, но функции , или,по крайней мере часть их, приходят в точку бифуркации.

Поведение стержня, обладающего двоякой криь- мой и испытывающего действие осевой сжимающей силы, исследовалось путем реализации полученного алгоритма с помощью ЭВМ. В процессе нагружения были отмечены следующие явления^ При незначительней росте величина Р имело место существенное возрастание значения й у стержней с углом подъема витка, близким к тг/2, что вполне объяснимо их раскручиванием. Последнее свидетельствует о том, что еще до потери устойчивости слабо искривленный стержень, уложенный под небольшим углом к образующей оболочки, приобретает форму оси, близкую.к прямолинейной. Такие результаты могут служить основанием для рассмотрения в качестве несущих элементов. сетчатой оболочки прямых стержней в некотором диапазоне значений угла продольной укладки, не превышающем. ±15°.

Во второй главе констатируется, что при исследовании поведения составных механических систем, одними из которых являются сетчатые конструкции, важным остается требование отсчета перемещений образующих элементов относительно координатных .осей, принятых за базовые. С этой цель» были специальным образом построена Функция влияния и функции динамической податливэстн каждой структурной составляющей путем переноса устанавливаемых ими перемещений , а также силовых факторов, их вызывающих, с одних осей на другие. На рис.3 представлены две координатные системы, одна из которых (1,2,3) связана со стержнем, а другая (1',2',3'} повернута относительно нее каким-то'обпазом. Были получены соотношения, переносящие рассматриваемые функции, построенные в связанных осях и сведенные в матрицу (8"), на смещенные оси. Такие как, например,

К1'1'Сх,3) = КИСХ.Б) -С05гС1 ?1* 3 + КггСХ.Э) •СС5г(2?1'3 +

+ Ьэ(Х,5)-С032СЗ,1') ;

. - 12 -

Ki*i*Cx,s) = Kii(x,s)cos2(l?l') + K22(x,s)-cos2(2?1'3 +

+ КзэСх.г) cos2(3,l') ; (18)

K3«(x,s)=K2e(x,s) -созСг.зЪ-созСЗ.Г) + KssCx.s) cos(3,3')-сс^СгЛ').

В результате была составлена новая матрица функций, влияния и динамической податливости, отличная от полученной ранее

Kim'(x,s) О 0 0 Ki'6'Cx.s) Kt'6-Cx.s)

0 Кг-г'Сх.э) О K2-4-CX.S) 0 Kz'e-Cx.s)

О 0 Кэ'3'CX.S) Кэч'Сх.Б)' Ks'e'(X,S) О

О K«'2<(x,s) K«'3'Cx,s) K44-Cx,s) О О

Ke'i'Cx.sl 0 Кб'3'Cx.s) 0 Ks'6'Cx,s) О

Ke.i'Cx.s) K6'2-(x,s) 0 0 0 K6-6'(x,s)

• (19)

Первоначально, при составлении математической модели нагруженной оболочки сетчатой структуры бил выбран" случай, при котором все стержни, образующие силовой каркас, испытывают действие осевой сжимащей силы N, вызывавдей потере устойчивости. При этом, в точках взаимного пересечения составляющих оболочку стержней полагалось наличие реакций, обусловленных их взаимным влиянием в процессе деформирования структурной конструкции. Соблюдая условие совместности перемещений в точках связей образующих силовых элементов, устанавливаются соответствующие равенства. Например, для стержней inj, пересекающихся друг

с другом з точках р и и, соответственно, i j

Gt-(Xp,s) = Gi'(Xu,s) ;

........................... (20)

i j

G6'(Xp,s) = G6'(xu,s) •

Здесь Г,2',.. ,6' - признак характера и направления перемещений в системе ортогональных осей 1',2',3'. . '

В рамках задачи ка собственные значения справедливо следующее равенство перемещений в некоторой точке обида связей, наложенных на стержни и вызываемых действием имеющих место силовых факторов

е е ki'7)(Xp,Sv)-r^(sv) = £ е xjivx".sv)-iwsv) , (21)

П-t v»l )П.1 v-1

раскрывая которое посредством привлечения матрицы (19), приходим К выражении

к 11 I 1 „ к 11 II 11 к 11 11 11

Е Кий^ЧЬ!)3 + Е Кгг - (11г) 11 + £ Кээ Й1 у( 1 1э) * 111 +

V»1 V"1 V*1

к и' 11 _ 11 к 11 11 _ к 11 11 11

+ Е Ки1?гу(111)211г + Ё Кгг -Кг* -(112) + £ Кзэ^гу •( 11э) 2-11 г +

V ■ 1 уО .V"! ■

к II 11 11 11 к 11 11 11 . к 11 (1

+ £ Кгв-Нву112-1зэ-1эг + £ Кэв1?5у С1з2)211Э + £ Кгв Кб» (1ээ)2-

у ■ 1 V»!

11 к II 11 11 11 к 14 . 1< ^

•112 + Е Кзв-и«у-1 1э-1эг'1ээ = - Е Кп1!1у'(111)э - Е Кгг^у

V"1 V*1 V*1

^ , .1ч к ^ .14 , ¿4 к ^Ч .14 - ^ *

•(112)21И - £ КэЭ-|?1у-С11э)г-111 - £ К11 ' ' С 1 11)1 12 - (22)

•V* 1 V" 1

ь .1ч ,1ч , ,1ч к ¿ч ^ч , Л к ,1ч Jq Jч Jч

-Е Кзб 'Ив V ' С 1 32) 1 13 -Е Кб2-Нбу'(Ьз)г-Ь2 "Е КэвЕвУ-ЬзЬг-Ьэ.

V»! V■1 .V"!

Здесь индексом ч обозначен но'.ггр стержня множества J, имеющего -связь в точке р с рассматриваемым первым стержнем. Полагается, что все образующие конструкцию стержни обладают одинаковыми функциями влияния. Последнее обусловлено однородностью их геометрический и физико-механических характеристик, а также условий закрепления, соответствующих случав опирания на концах.

На основании того, что в полученном соотношении рассматриваются перемещения не всех, а лишь части точек, расположенных на осях стержней и в которых.они имеют общие связи, вид функций влияния был преобразован путем перехода- к дискретному аргументу. Это стало возможным благодаря равномерности распределения таких точек на оси, а также периодичности тригонометрических функций.

V • 1 ц ■-СО

•КозСХР.ЗУ) = £ . ............................................................ С 23)

*

Принимая во внимание (23), представляется возможным составить уравнение равновесия оболочки в целом. С этой целью соотношения, устанавливающие1 равенства перемег чий во всех к точках связей 1-го стержня множества 1, -умножении« предварительно на з!п , суммируются. При этом, в каждом. из слагаемых результирующего выражения присутствует суша

■ ¿81п ^-.вш'^- (24)

V я 1

•удовлетворяющая условию ортогональности синусов кратных дуг

VI к?1 ш- ( , при г-п. .

Рассматривая последовательно равенство перемещений в связях' всех стержней множества 1 и суммируя их между собой, приходим к однородному линейному уравнению, неизвестными в котором выступают комплексы

Е sln-f^-RMCSvj ; £ sin-R^Sv) ;

vet V»1

(26)

E cos-|2j-rRvCsv) ; , E cos -RytSv) ■ ,

V»1 . ve1

где iq = 11... ,ifM ; jq = jl,..,jfM ='1,2,3 ; v = 4,3,6,

являющиеся по смыслу интегралами Фурье на дискретной области определения.

Последовательно устанавливая равенство перемещений во всех других независимых направлениях в системе осей оболочки, приходим к шести уравнениям с 12fM неизвестными. Здесь f-число стержней множества i, либо J, образующих еущщемент несущей конструкции, М-количество суперзлементов.

Матрица коэффициентов при неизвестных приводится к квадратной с рангом 12fM путем придания системе осей, связанных с оболочкой, последовательности дискретных соложений, каждое из которых определяется угловой величиной некоторых секторов, выделяемых на опорном шпангоуте силового каркаса

6,1 "

"ТЕПГ 1•

где 1=1,2,.. ,12ГМ.

(27)

.Определяя равенство независимых перемещений относитрльно каждой из ^текущих систем координатных осей Г 1,2'1,3'» подобно тому, как это было сделано в отношение рассмотренной систе..ы осей, приходим к однородным линейным уравнениям с неизвестными (26). Получаемые, таким образом, Ши уравнений не являются линейной комбинацией друг друга, поскольку предлагаемое чередование дискретных положений системы ортогональных осей оболочки влечет за собой преобразование коэффициентов, носящее явно нелинейный характер.

Полученная система линейных уравнений позволяет составить квадратную матрицу коэффициентов при неизвестных, определяемых, в свою оче-. редь, величиной N. 1

Ач(Ю Аг1(Ю Аэ1(Ю

А12(Ю АггСЮ Аэг( Ю

А1зСН)

А23(Ю АээШ

| А1г»м 1(Ю А12ГН гСЮ Ачт э(Ю

А» 12Гм(Ю Аг 12гн(Ю Аз 12Гм(Н)

А12ГМ 12Гм(Ю

(28)

Известно, что значения N. при которых ттрица (23) становится вырожденной, являются собственными параметрами исследуемой системы. В рамках рассматриваемой задачи в качестве такого параметра выступает 4 осевая сжимающая сила, действие которой приводит к переходу оболочки из одного устойчивого состояния в другое. Эта величина отыскивается из условия требования нуля определителя составленной матрицы.

Такой же подход имеет место и при отыскании спектра собственных' частот оболочки сетчатой структуры. , Динамический характер процесса деформирования в этом случае описывается посредством функций динамической податливости, включаемых в (20) взамен Функций влияния 6 к 11 .11 б к ,)Ч

в к 11 II 6 к Дч .(о

I £ Г1'Т}(Хр,5*,ыг) -Ит)^) = £ Е Г1'7)СХи,5у,саг)'-1гт)(р») ;

7)-1 V«! 7).1 ».1

6 к 11 ,11 б I Е Гв'Т)(Хр,5у,&) 0 '^(Зу) = £ 7)»1 Т)»1

(29)

к Л , Л

22 Гв>Т)(Хи,3*,оТ) -|57)(5*)

В рассматриваемой задаче предполагается, что оператор L. устанавливающий соответствие между вектором состояния рассматриваемой системы {"СкЗ.чСх.Ш и вектором <Р,1 •slntcoL3> внешних воздействий по своей природе является линейным. Следовательно, для любых допустимых законов изменения состояния "(х) и "(x,t) соблюдается принцип суперпозиции. Таким образом, , в рамках рассматриваемой задачи могут быть исследованы предельные состояния сетчатой оболочечной конструкции, совершающей колебания с некоторой частотой ы и испытывающей действие осевой критической силы, либо нагруженной усилием Р<Ркои колеблющейся с частотой и, являющейся собственной. В заключение второй главы можно отметить, что посредством реализации изложенного подхода может быть исследован полный спектр собственных параметров составной стержневой замкнутой системы, какой является цилиндрическая сетчатая оболочка.

В третьей главе предлагается методика определения собственных параметров цилиндрической оболочки сетчатой структуры в предппожении однородности напряженного состояния составляющих оболочку стержневых элементов. Такой; расчетный случай существенно меняет порядок форм-рования матриц влияния и динамической податливости конструкции. ■ ет его более наглядным и достаточно простым. Принимаемое до,.„„ е об однородности состояния составляющих элементов полагает справедл/ выми равенства

Isin-iav; ,R^Sv) = ¿sin-pi -RÍísv) , . . СЗО)

V"l vet

к Ъгт\Г к TrtM J4

Ecos-gv 'Rn(sv) = Ecos® RnCsO , (31).

V»1 V»1

где ' lij = 11® ...li'M ; Jd = J1.....iJfM ; m = 1,2,3 ; n = 4:5,6.

»

В этом случае система уравнений равновесия включает в себя шесть однородных линейных соотношений, устанавливающих равенство перемещений

образующих элементов в местах их взаимных связей

i

(00 ft И »4 ■ trt Jq » (О / (« , и

£ ai • ( ЕСЬО3- £ ClaO I + £ a» „•[ £ Claa)*-lai -

q.-CO ,Ч V iq.l Jq.1 ' q.-00 '4 V «4-1

fM Jq jq ч 00 , ГМ »q Iq ГМ Jq , Jq

E (laaí'-laf ) + £ аэ •[ £Cl23)2-l2i- £ ClaajMa» ]]•

,tq«> ' Ч-.-® *'4 iq.l Jq«l

k- T1IV f а f rH '4 . «4

E Sin|2f RiCsr) ( E a\ •{ ¿СЬОМн-

V"1 * q--00 ,Ч ^ lq-1

»

"I J4 , Jq \ CO f fM iq fM Jq ч OD

E СЬОМаа I + £ аг í E CI22)3 - E Cl«)3] + [('аз

Jq» 1 ' q• "00 Ж'4 * lq«l Jq.l > q.-OO "»<

(fM lq _ lq ГМ jq _ Jq 44 It __„

E Clгэ) -1га- - E СЬэ)а122 11. Esin|?f R2Csv) + lq-1 . Jq-1 >' V«1 . 1 .

f 00 f fM. lq lq fM Jq _ Jq ч CD

E ai f E С1г1)2-1гэ - E ClaOMzs 1 + E аг •

V q.-00 '4 1 q n 1 Jq.l ' q.-CO 2 '4

(fM lq , lq ГИ Jq _ Jq ч Ю , ГМ lq _

ЕС122)2-1гэ- E С1гг)21гз 1 + E аз •( E С1гз)э -

lq-1 Jq«l ' q«-œ 1,4 ^ lq.1

É"cb3)3]]- E sin|Sf .RaCsO + ...........................

jqat '' V«1

q--00 1,4 ^ 1 ' 1 iq-t ' iq-1

fa ÍSjMÍS- E CÍ33)2.1J121 + Ê аз .fz-H,-(ac4a

q.l jq.l J qt-e * ' 4 V 1 >

(fM lq lq lq fM lq lq lq fM Jq Jq Jq

E 1 13 ' 1 22 • 1 23 + E 113'1эг-1ээ - E Il3-l22'l23 -

lq- lq-1 Jq-1

» t

fM jq Jq Jq , E Ьз-1эг-1ээ = 0 ;

Jq.l '

Неизвестными в полученных выражениях выступают шесть комплексов

к

£ V- 1

£ 51п-§2£- -ймСз») ; Есоэ^ -КиСв») , 133)

, где II = 1,2,3 ; V = 4,3,6 . ,

Присутствующие в (32) ряды с пределами суммирования от ю до - ю представляют собой амплитудные функции, определяемые видом действую-, щей нагрузки, числом полуволн ъ, количеством выбранных на оси диск- ' ретных точек к, физико-механическими, геометрическими характеристиками и условиями закрепления стержг^., свободного от связей, а также ' величиной приложенной к нему нагрузки. Для их ■ суммирования привлекается аппарат теории функции комплексного переменного и, в частности, теорема о вычетах. Некоторые выражения, стоящие под .знаком суммы, имеют два и более простых полюса, такие какнапример,

? 1 а!Ч = -й.--.. (34)

1 Е1Г.(г+§£!рШ..Л)» -

В этом случае результат суммирования (34) ¡ю индексу я от а до -и определяется выражением ' ,

£ аг Ке5(^1)тт^О + Евз(^г) 1 , С35)

глг-_ 41,2 - особые точки на* .области определения (34) КезСчьг) -знаюнкя вычетов (34) в этих точках.

Поскольку здесь приходится иметь дело о простыми полюсами, то выражения для вычетов могут бить получены путем несложных преобразований

•НезСд)= • .(36)

д'(Ч) ,

Некоторы же аналогичные по смыслу выражения имеют особые точки, представляющие собой кратные полюса 2-го порядка. Это относится к случаю статической устойчивости, где выражение под знз:;ом £ представляет собой С-функцию Римана

00 4 ® 4

е ь» = а--Ц- -е--—5 . (37)

(21с+2) ч7.ш Са+д)2

где \

0 = - --ÍÚ—.—>—, а « -Z—:— . (38)

• [Ei-F - Hj п . 2(к+1)

Общий - вид выражения (37) наглядно свиде' елъствует о сходимости рассматриваемого ряда, что позволило реализовать достаточно несложные алгоритмы его суммирования. Другой ряд

и m э 1

I Ь'я 8 Е А--;-i (39)

я.-оо Ч-ОО 1 E2j3.( z^tpq ■ - N.(?+2(k+pq .„J'

имеет два простых полюса и один полюс второго порядка, что становится наглядным после разложения (39) на элементарные дроби

i_: _

•l'Y V 9.JZ Ч"'

EaJ>-l-r * г /г ч**ю у -(z+2(k+l) -q) - ¿ y

® i w ® i

■z -1-- - i -

^-•(z+2(k+l)q) + /J— 1 1"ю Cz+2(

l 2

г /Т~ч"'а 4--(2+2(k+l) q) + /7~" 1 1-ю Cz+2(k+l)q)'

(40)

В результате последовательного суммирования имеющих место рядов определяются сомножители при неизвестных в результирующих однородных уравнениях. Получаемые, таким образом матрицы, составленные из коэффициентов, . .

Аи(Ю [' , | Вн(и) [ , = 1.....6. (41)

позволяют подбором соответствующих значений N и м в рамках принятых допущений отыскать спектр собственных параметров цилиндрической сетчатой оболочки; выполненной из композиционных материалов.

В заключении приводятся основные результаты работы.

1. Разработана методика нахождения спектра собственных . статических и динамических параметров цилиндрических структурных оболочек с ромбической сеткой, образованных намоткой высокопрочными стекло-, угле-, бор или органоволокнами, пропитанными полимерным связуюздм.

• . - го -

2. В качестве метода анализа привлекается метод функций влияния Сдинамической податливости), позволяющий провести исследование требуемых параметров в рамках дискретной модели объекта.

Проведен анализ поведения стержня двоякой кривизны, испытывающего действие осевой схимащей силы. . и 4. Получены аналитические алгоритмы суммирования рядов вида I , выраж°ння в которая обладают особыми точками на области "Определения, представшяиши простые полюса, а также кратные полоса 2-го порядка.

• 5. Разработана программа нахождения собственных параметров цилиндрической сетчатой ' оболочки на ЭВМ, в предположении однородности напряженно-деформированного состояния образующих , ее силовых элементов.

е. Проведено сравнение значений собственных частот и критических сил, полученных в результате реализации предложенного подхода, с аналогичными параметрами , определенными по существующим методикам.

Основные результаты Диссертации опубликованы в работах

1. Зельвин А. Б. Метод функций влияния в задаче об устойчивости оболочек тетраструктуры из композиционных материалов. В кн.: Проблемы современной математики в задачах физики и механики. М.: МФТИ, 1989, С,71-74.

2. Зельвин А.Б., Кленов И. 0. Исследование характеристик устойчивости сетчатой оболочки из композиционных материалов. В кн.: Прикладные задачи аэромеханики и геокосмической физики. М.: ШИ„, 1991, с. 71-74. .

3. Зельвин А.Б., Бурков A.B. Об одном допущении в исследовании нагруженной цилиндрической сетчатой оболочки. «В кн.: Проблемы математики в задачах физики и техники. М.: МФТИ, 1992, с. 69-72.

4. Зельвин А.Б., Кленов И.О. Метод функций динамической податливости в задаче о собственных, колебаниях цилиндрической сетчатой оболочки. В кн.: Прикладная механика и математика. М.: МФТИ, 1992, с. 72-73. ' *

5. Ганга Г. В., Зельвин А. Б. Исследование несущей способности тонкостенных оболочек из композиционных материалов. Отчет по НИР. М.: 'МФТИ, 1990. 62С.

ЛЛФТ-U U.lO.a-bx. sf

тир; ioo 3KJ,, , •