Составные оболочки вращения минимальной массы с ограничениями на собственные частоты, напряжения и перемещения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1. ВВЕДЕНИЕ.

1.1. Состояние вопроса.

1.2. Цель и краткое содержание работы.

2. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ СОСТАВНЫХ НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МИНИМАЛЬНУЮ "СОБСТВЕННУЮ ЧАСТОТУ, НАПРЯЖЕНИЯ,. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ.

2.1. Постановка задачи оптимизации и переход к задаче нелинейного программирования.

2.1.1. Ограничение на минимальную собственную частоту.

2.1.2. Ограничения на напряжения и перемещения.

2.1.3. Геометрические ограничения.

2.2. Модификация метода проекции градиента. 3?

2.2.1. Определение направления движения вдоль границы.

2.2.2. Определение величины шага вдоль границы.

2.2.3. Корректировка нарушенных нелинейных ограничений.

2.2.4. Вычисление множителей Лагранжа.

2.2.5. Правило перебора активных ограничений.

2.3. Выбор начального приближения.

2.4. Алгоритм решения задачи нелинейного программирования

3. ОСЕСИШЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ И СОБСТВЕННЫЕ НЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СОСТАВНОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ.

3.1. Геометрия срединной поверхности оболочки вращения.

3.2. Линейная осесимметричная деформация оболочек вращения и шпангоутов.

3.2.1. Оболочка вращения.

3.2.2. Переход через шпангоут.

3.2.3. Граничные условия.

3.3. Несимметричные колебания осесимметрично нагруженных оболочек вращения и шпангоутов.

3.3.1. Оболочка вращения.

3.3.2. Переход через шпангоут. ^

3.3.3. Граничные условия. ^

3.4. Решение краевой задачи методом ортогональной прогонки С.К.Годунова.

3.4.1. Неоднородная задача.

3.4.2. Однородная задача.

3.4.3. Решение характеристического уравнения.

3.5. Контрольные примеры расчета оболочек вращения.

4. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МИНИМАЛЬНУЮ СОБСТВЕННУЮ ЧАСТОТУ И ТОЛЩИНУ.

4.1. Цилиндрические оболочки.

4.2. Конические оболочки.

4.3. Сферические оболочки.

4.4. Тороидальная оболочка.

4.5. Составные оболочки.

4.5.1. Сопряженные между собой цилиндрическая и сферическая оболочки.

4.5.2. Тороцилиндрический бак.

4.5.3. Цилиндрическая оболочка с центральным шпангоутом.

4.5.4. Составная оболочка из кусочно-однородного материала.

5. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОЙ МАССЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА НАПРЯЖЕНИЯ, ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ЧАСТОТУ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ.

5.1. Цилиндрическая оболочка с ограничениями на напряжения.

5.2. Цилиндрическая оболочка с ограничениями на перемещения.

5.3. Тороцилиндрический бак.,.

5.4. Исследование влияния внешнего давления, характера распределения толщины на значение минимальной собственной частоты.

5.5. Оболочка вращения минимальной массы с заданной критической нагрузкой.

5.6. Оптимизация по массе составной оболочки вращения при ограничениях на напряжения, частоту и толщину.

Интенсивное развитие науки и техники выдвигает повышенные требования к современным конструкциям. В настоящее время одной из актуальных проблем является уже не только проблема расчета конструкций, но и проблема определения конструкций оптимальных по заданным характеристикам. Важным этапом расчета вибрирующих конструкций, работающих в условиях динамического нагружения, является определение резонансных состояний, когда собственные частоты близки к частотам внешних нагрузок. Явление резонанса, с одной стороны, способствует .разрушению конструкций, с другой стороны, может использоваться в ряде вибрационных приборов, основанных на этом явлении. Наряду с требованиями относительно колебательных характеристик при реальном проектировании часто необходимо удовлетворять условиям по устойчивости, прочности, жесткости, а также учесть конструктивные и технологические факторы.

Таким образом, задача оптимального проектирования конструкций связана с таким направлением изменения спектра собственных частот, при котором некоторые наперед заданные частоты занимают определенное положение относительно частот возмущающих сил; критические нагрузки, напряжения, перемещения и геометрические характеристики не выходят за пределы допустимых.

Настоящая работа посвящена задаче оптимизации конструкций по массе при наложении ограничений на значение минимальной собственной частоты, максимальные напряжения или перемещения и геометрические параметры, когда собственные частоты зависят от предварительного нагрукения, и является дальнейшим развитием исследований, заложенных в работах Малкова В.П. [54]

- б и Тарасова В.Л. [77] . Объект исследования - составные оболочки вращения с заданной формой меридиана. Исследованию подлежат распределение толщины вдоль меридиана оболочки и геометрические размеры сечений шпангоутов.

1,1. Состояние вопроса

Задачи оптимизации конструкций относительно прочностных, жесткостных и колебательных характеристик в последние два десятилетия привлекают к себе все большее внимание. Появилось большое количество работ, посвященных как разработке методов решения экстремальных задач [4,9,19,30,67,68,76,84] , так и реальному проектированию упругих систем [5,23,54,64,78,80,83].

В теории оптимизации конструкций можно выделить два основных подхода. Первый основан на решении задач с использованием методов проектирования в бесконечном пространстве управлений. Второй основан на решении задач в конечномерном пространстве векторов параметрической оптимизации. Использование первого подхода при решении практических задач достаточно ограничено, но он позволяет получить теоретические границы для оценки реальных проектов. Обзор современного состояния методов, основанных на теории оптимального управления, дан в работе [83] . При оптимизации стержней, пластин и оболочек в настоящее время широко используется второй подход, основанный на сведении задачи оптимального проектирования к задаче математического программирования. Краткий исторический обзор и возможные пути развития этого подхода рассмотрены в работе [20] .

Основные задачи оптимизации для стержней и пластин сформулированы и решены в работах Баничука Н.В. [б] , Гринева В.Б. [23] , Малкова В.П. [54] , Троицкого В.А. [80] , Ольхоффа Н. [64] , Хога Э. и Ароры Я. [83] . При решении этих задач используются оба подхода. В качестве критериев качества выбираются масса (вес), жесткость, прочность, критическая нагрузка и собственные частоты. Большое число работ посвящено конкретным задачам оптимизации стержней и пластин при кручении, растяжении, изгибе и методам их решения. Наряду с вышеперечисленными работами можно указать работы Бирюка В.И., Липина Е.К. и Фролова В.М. [15] , Литвинова В.Г. [49] , Мажида К.И. [58], К а П На ¿оо [94] , ВоШпа М.£. [87] и других.

Круг работ, посвященных задачам оптимизации оболочек вращения несколько уже. Решение задачи о проектировании осе-симметричных оболочек является более сложным, так как краевая задача, описывающая состояние оболочки в некоторых случаях плохо поддается решению.

В работе [105] рассмотрены необходимые и достаточные условия для проектирования оболочек минимального веса. Предложен вариационный метод решения задачи оптимизации с помощью процедуры неограниченной минимизации. Получены доказательства для некоторых частных случаев. разработке алгоритмов оптимизации,с учетом свойств и специфики ограничений, для сложных конструкций посвящена работа [86] . Леви Р [48] разработал процедуры, улучшающие обработку ограничений на напряжения при использовании метода критериев оптимальности для проектирования конструкций минимальной массы с ограничениями на напряжения и податливость, заключающейся в использовании процедур сортировки при определении набора активных ограничений.

Баничук Н.В. и Кобелев В.В. [б] рассмотрели задачи оптимального проектирования упругих оболочек вращения в предположении, что масса, жесткость или прочность могут быть заданными величинами. Доказывается, что для некоторого класса оболочек критерием оптимальности является условие равнопрочности. Исследование задачи оптимизации формы двумерных упругих тел в задачах с неизвестными границами проводится в работе [7] . Предложена методика вывода необходимых условий оптимальности для класса локальных и интегральных ограничений, основанная на необходимых условиях оптимальности и анализе чувствительности. С использованием этого подхода в работах [40] и [2] изучаются соответственно задача оптимального распределения толщины в упругой оболочке, нагруженной внешним давлением и собственным весом, и задача распределения материала в стреловидных крыльях при ограничениях на потерю несущей способности, напряжения.

СНип У, М. и Hauij [90] рассмотрели постановку задачи оптимизации формы упругих тел и предложили методику вычисления вариаций функции цели и ограничений через вариации параметров управления. Приводится пример минимизации объема тела вращения цилиндрической формы с использованием метода проекции градиента.

Литвинов В.Г. и Медведев Н.Г. [50] рассмотрели задачу о напряженном состоянии ортотропяых некруговых цилиндрических оболочек как задачу оптимального управления. За управление приняты толщина и радиус кривизны направляющей оболочки. Минимизируется масса оболочки при ограничениях по прочности и другим параметрам.

Задача максимизации параметра верхнего критического давления цилиндрической круговой оболочки, нагруженной переменным вдоль оси давлением, при постошной массе рассматривается в работе [73 ] . Используются ограничения на толщину и ее производную. При решении задачи применяется метод последовательных приближений с использованием градиента параметра критического давления, как функции толщины оболочки. Обоснование вопроса о наложении ограничений на толщину и ее производную при решении задач оптимизации и исследование влияния на оптимальное решение ограничений на градиенты толщин проводятся в работе [8] .

Задачам оптимизации подкрепленных цилиндрических оболочек по массе, весу посвящены работы [27,56,74,99] . В работе [27] отыскивается толщина обшивки, высота и ширина продольных и поперечных ребер и расстояние между ними из условия минимума массы при наложении прочностных и технологических ограничений, а также условию устойчивости панелей между ребрами. Задача решается с использованием методов нелинейного программирования.

Максименко В.П. [56] рассмотрел вопрос определения оболочки минимальной массы с ортогональной сеткой ребер, а также ребер переменного сечения при нагружении локальной продольной нагрузкой.

Ра/г/газ М. и МогасИ у. исследовали подобную задачу для оболочки с кольцевыми ребрами Т-образного сечения. Варьируются толщина оболочки, размеры поперечных сечений колец и их расположение. Толщина и высота полок подкрепленных колец выбирается из условия исключения местного выпучивания [99] .

В работе [88] Вгосоа Я.Т, рассмотрел задачу оптимизации слоистых оболочек при ограничениях по прочности. Наряду с задачами оптимизации с ограничениями по прочности и жесткости к настоящему времени появились работы по управлению спектром собственных частот и критическими нагрузками.

Простейшие задачи проектирования с ограничениями относительно частотных характеристик были поставлены и решены впервые для стержней и пластин [5,23,24,64,77,96,98] . Задача оптимизации оболочек вращения с целью удовлетворения ограничениям на частоту собственных колебаний и критическую силу потери устойчивости является более трудной по сравнению с задачей по удовлетворению условий прочности. В литературе рассматриваются, как правило, оболочки простой формы.

Проблему проектирования упругих конструкций с целью получения наперед заданных собственных значений (собственных частот незатухающих колебаний или критических значений нагрузки, в задачах потери устойчивости) рассмотрел WißtLams 3. Г [104] . Особое внимание он уделил вопросу о влиянии изменения жесткос-тей масс и конструкции на собственные значения.

Беликовым Г.И. и Тарасовым A.A. [II] поставлена задача повышения низшей частоты собственных колебаний путем изменения геометрических параметров и формы меридиана градирни с учетом влияния собственного веса на напряженно-деформированное состояние оболочки. При решении задачи оптимизации используется метод релаксации с корректировкой вектора решения на каждой итерации.

В работе [70] с помощью методов теории оптимального управления решена задача отыскания зависимости радиуса тонкостенного стержня от координаты вдоль меридиана сетчатой сферической оболочки из условия, что параметр первой собственной частоты задан, а функционал массы принимает минимальное значение.

Методика построения области работоспособности по собственным значениям гафрированных оболочек вращения изложена в работе [65] . Приводится алгоритм проектирования упругих элементов с использованием сечений области работоспособности.

Малковым В.П. и Тарасовым В.Л. [55] поставлена в общем виде задача оптимизации по массе цилиндрической оболочки при заданной минимальной собственной частоте. Приводится решение задачи при фиксированной форме колебаний.

Задачи оптимизации цилиндрических оболочек вращения с однородным и симметричным расположением слоев по толщине с наложением ограничений на собственные значения сформулированы и решены Тетерсом Г.А., Рикардсом Р.Б. и Нарусбергом В.Л. [78] . Полученные авторами результаты охватывают широкий круг проблем по оптимизации оболочек из слоистых композитов. Задаче оптимизации композитных оболочек с ограничениями на собственные значения с использованием численных методов и принципа Релея посвящена работа [Ю2] .

JfashanLan Y. S, и Pafifias М. рассмотрели задачу оптимального распределения угла армирования по толщине цилиндрической оболочки, обеспечивающего максимальное значение минимальной собственной частоты или критической нагрузки при осевом сжатии и внешнем давлении. Решение строится с использованием методов математического программирования [97] .

В работе [72] предложена методика поиска оптимального решения для подкрепленной конической оболочки из композита, с помощью метода информационного планирования эксперимента, позволяющего аппроксимировать ограничение на значение критической нагрузки модельной функцией.

Решению задач оптимизации конструкций при взаимодействующих ограничениях на собственные частоты, критические нагрузки, напряжения и перемещения посвящены работы [79,93,95,100,101] .

Pat nal к S.N, и Ma it i M. [l00] рассмотрели задачу оптимального проектирования подкрепленной конструкции при наличии предварительного нагружения. В работе [Юх] Ра1па1к ¿.А/, показал, что при одновременном действии активных ограничений на собственные частоты и по устойчивости, надежность оптимального проекта следует повышать путем повышения его веса, по сравнению с весом оптимального проекта при невзаимодействующих ограничениях.

Численный подход к решению задач оптимального проектирования конструкций, воспринимающих статические нагрузки при совместном учете ограничений на напряжения, перемещения и собственные значения, дан в работе [93] .

Торопов В.В. [79] с использованием принципа поэтапной параметрической оптимизации [54] решил задачу минимизации веса составной осесимметричной оболочечной конструкции. Расчет конструкции при заданном наборе управляемых параметров толщины отдельных подконструкций осуществляется вариационно-разностным методом. Наложена система взаимодействующих ограничений на напряжения, перемещения и устойчивость.

При оптимизации стержней, пластин и оболочек относительно собственных значений в ряде случаев спектр частот оптимального проекта может содержать кратные значения. Это накладывает определенные трудности при решении задачи методами теории оптимального управления, а также может повысить чувствительность оптимального проекта к начальным несовершенствам. Этой проблеме посвящен ряд работ отечественных и зарубежных авторов.

В работе [95] исследована задача упругого равновесия цилиндрической оболочки при осевом сжатии и внешнем давлении при наличии'начальных напряжений, близких к критическим. Показано, что традиционный подход к проектированию, основанный на стремлении повысить критическую нагрузку, может привести к сгущению начального спектра частот. Предложен метод обеспечения в процессе проектирования уменьшения плотности первых собственных значений линейной задачи.

В работах [17,18] для случая двухкратных собственных значений для непрерывных и дискретных систем получены необходимые и достаточные условия оптимальности. Подход реализован на примере максимизации минимального собственного значения самосопряженных матричных и дифференциальных операторов.

В работах [59,60] рассмотрена задача об определении закона изменения толщины в ортотропной цилиндрической оболочке, обеспечивающего максимальную критическую нагрузку при ограничениях на вес, прочность и толщину. Показано, что при оптимальном законе изменения толщины потеря устойчивости может происходить по нескольким формам. В рассмотренной авторами задаче кратность равна 12.

Для конечномерных задач оптимизации с кратными собственными значениями СНо1 К. К. , Наиф , 5еап^ И, Ст. [89] предложили итеративную процедуру поиска оптимального решения.

В работе [81] отмечено, что у некоторых оболочек в зоне непрерывного спектра могут существовать собственные частоты, которым соответствуют формы колебаний особой структуры - в них возрастают безмоментные составляющие, аналогично как в явлении резонанса. Анализ проводился с помощью асимптотического метода.

Появление кратных собственных значений у оптимальных стержней, пластин и оболочек переменной толщины отмечалось также в работах [32,64,78] .

Наряду с вышеупомянутой проблемой, возникающей при оптимизации упругих конструкций, в литературе рассматривается вопрос о корректности постановки задачи оптимизации по собственным значениям.

Ольхофф Н. [64] показал, что в задачах оптимизации с ограничениями на собственные значения при неограниченных функциях управления могут появляться решения с бесконечно часто расположенными жесткостями - выступами и для них может не существовать оптимальное управление. В работе [51] доказано, что никакое конечное разбиение области на куски с различными значениями толщины не приводит, как правило, к оптимуму, если не наложить ограничение на управляемые параметры.

Таким образом, к настоящему времени накоплен большой опыт решения задач оптимизации стержней, пластин и оболочек вращения, как правило, при не взаимодействующих ограничениях. Использование необходимых условий оптимальности при решении задач оптимизации составных конструкций при смешанной системе ограничений является пока трудно разрешимой проблемой. Найти явное решение с помощью условий экстремума удается в ограниченных случаях. Подход сведения задачи оптимального проектирования к задаче математического программирования в конечномерном пространстве управляемых параметров позволяет обойти эти трудности.

Решение задачи математического программирования во многом зависит от выбранного метода решения. Теория численных методов оптимизации в настоящее время хорошо разработана. Однако, при численной реализации конкретных задач еще есть много проблем. Переход от методов к четкому алгоритму не прост. Требуется реализовать процедуры решения вспомогательных задач, задать параметры требуемой точности, выбрать критерии прерывания счета и т.д. В работах [30,68] проведены исследования по решению тестовых задач различными методами. Показано, что алгоритмы, имеющие большое значение при решении частных задач проектирования, как правило, не применимы к проектированию сложных систем. Трудности возникают из-за высокой размерности задач, при формализации целей и критериев проектирования. В задачах с неявно заданными функциями могут быть задачи с гладкими и не гладкими функциями, овражностыо, унимодальностью, многоэкстремальностью и т.д.

Результаты работы были использованы заинтересованными предприятиями.

Автор выражает признательность кандидату технических наук В.Л.Тарасову за оказанные поддержку и консультации при выполнении данной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ~ 177 "

В диссертационной работе поставлена и решена задача оптимизации по массе составных оболочек вращения при ограничениях на минимальную собственную частоту, напряжения, перемещения и геометрические параметры, когда собственные частоты зависят от предварительного статического нагружения.

Задача оптимизации сводится к задаче нелинейного математического программирования. Ограничение на минимальную собственную частоту заменяется системой ограничений на величины частотных определителей.

Для решения сформулированной задачи математического прог-рамирования разработана модификация метода проекции градиента. с целью создания эффективного алгоритма в смысле затрат времени ЭВМ. С учетом специфики геометрических и нелинейных ограничений модифицированы основные этапы метода проекции градиента. Получены соотношения для более эффективного вычисления проектирующей матрицы, направления спуска на границу допустимой области, множителей Лагранжа и величины шага вдоль касательного многообразия.

Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для ЭВМ БЗСМ-6 решения задач определения осесимметричного напряженно-деформированного состояния, частот и форм несимметричных собственных колебаний составных оболочек вращения и задачи параметрической оптимизации.

С помощью разработанного пакета программ проведены численные исследования по оптимальному распределению толщины в оболочках вращения простой формы и составных оболочек при наложении ограничений на минимальную собственную частоту и геометрические параметры.

- 178

Получен ряд новых численных результатов по оптимизации оболочек вращения простой формы и составных оболочек при. учете влияния предварительного нагружения на собственные частоты.

С использованием данного подхода решена задача оптимизации по массе цилиндрической оболочки с заданной критической нагрузкой.

1. Агапов В.П., Стрелин A.B., Коротков В.А. Модальный анализ тонкостенных подкрепленных конструкций с учетом их напряженного состояния методом конечных элементов. - Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура,1983, № 10, с.34-39.

2. Албул A.B., Баничук Н.В., Бирюк В.И., Коандэ И.И. Применение метода возмущений для отыскания оптимального распределения силового материала в стреловидных крыльях.-Уч.зап. ЦАГИ, 1983, 14, № 2, с.86-94.

3. Алексеев В.И. Градиентный метод поиска экстремума с вычислением коэффициентов овражности. Автоматика и вычислительная техника, 1976, с.43-46.

4. Базара М., Шетти Н. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы: пер. с англ. М.: Мир, 1982 - с.583.

5. Баничук Н.В. Оптимизация формы упругих тел. М.: Нау^а, 1980 - 256 с.

6. Баничук Н.В., Кобелев В.В. Некоторые вопросы оптимального проектирования оболочек вращения. Изв.АН Арм.ССР. Мех.1983, 36, № 2, с.10-17.

7. Баничук Н.В., Вельский В.Г., Кобелев В.В. Оптимизация в задачах теории упругости с неизвестными границами. МТТД984, № 3, с.46-52.

8. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М. Проектирование пластин с учетом ограничений на изменяемость толщин. МГТД983, № 6 с.130-136.

9. Батищев Д.И. Поисковые метода оптимального проектирования.-М.: Сов.радио, 1975.- 216 с.- 180

10. Безухов H.H. Некоторые обобщения методов строитедьной механики в динамике сооружений. В сб.: Исследование по теории сооружений. Госстройиздат,1939, № 3, с.172-213.

11. Беликов Г.и., Тарасов A.A. Оптимизация геометрических параметров гиперболических градирен при собственных колебаниях.-Строительная механика и расчет сооружений, 1982, № 4,с.12-15.

12. Белов М.А., Варна Я.П. Собственные колебания составных тонкостенных конструкций из цилиндрических и сферических элементов. Электродинам, и мех. сплошн.среды. Применение численных методов. Рига,1981, с.139-153.^

13. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика.-М.: Машиностроение, 1977.- 488с.

14. Баженов В.А., Гуляев В.И., Лизунова П.П. Исследование напряженного состояни цилиндрических оболочек с быстро изменяющейся толщиной на основе теории И.Н.Векуа. Теор. и прикл. механика, 1978, вып.Ю, № I, с.43-51.

15. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977.

16. Болотин В.В. О влиянии безмоментного напряженного состояния на спектры собственных колебаний тонких упругих оболочек.-Изв.АН СССР. Механика и машиностроение, 1962, № 4.

17. Братусь A.C., Сейранян А.П. Бимодальные решения в задачах оптимизации собственных значений. Прикл.матем.и механика, 1983, т.47,вып.4, с.546-554.

18. Братусь A.C., Сейранян А.П. Достаточные условия экстремума в задачах оптимизации собственных значений. Прикл.матем. и механика, 1984, т.48, вып.4, с.657-667.

19. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1981.- 400с.- 181

20. Вандерплаац Г.Н. Оптимизация конструкций прошлое, настоящее и будущее. - Аэрокосмическая техника, 1983, № 2.

21. Геминтерн В.И., Каган Б.М. Методы оптимального проектирования. М.: Энергия, 1980. - 160с.

22. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкций по механических характеристикам. Киев.: Наук.думка, 1976.- 294с.

23. Гринев В.Б., Иванов В.Н. Об алгоритмах управления спектром собственных частот стержней. Харьк.политехи.инст-т,Харьков,1980, Деп. № 4452-80.

24. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Успехи матем.наук, 1961, т.16, вып.З (29), с.171-174.

25. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Методы расчета оболочек. Теория оболочек переменной жесткости. Киев: Наук.думка,1981, т.4.

26. Гинсбург И.Н., Яковлев А.Н. Оптимизация параметров подкрепленных цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении. Строит.механика и расчет сооружений,1982,№ 3.

27. Даниленко G.E., Каган Б.М., Шахунянц Т.Г. Проекционныйградиентный метод решения задач оптимального проектирования.-Автоматика и вычисл.техника, 1976, № 3, с.31-36.

28. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. - 663с.

29. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации.- М.: Наука, 1982.- 432с.- 182

30. Ермолаев Н.В., Тарасов В.Л. Оптимизация оболочек вращения с заданной минимальной собственной частотой.-Прикл.проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем. Всес.межвуз.сб./Горьк.ун-т,1983,с.90-97.

31. Ермолаев Н.В. Конические оболочки минимальной массы с заданной минимальной собственной частотой. Прикл.проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. Всес.межвуз.сб/Горьк.ун-т,1984,с.119-124.

32. Ермолаев Н.В. Сосуд давления минимальной массы с заданной минимальной собственной частотой. Прикл.проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности. Всес.межвуз.сб/Горьк.ун-т, 1984,

33. Ермолаев Н.В. Оптимизация по массе ооставных оболочек вращения с ограничениями на собственные частоты, напряжения, перемещения и толщины. В кн. Тезисы докл.Всес.конф."Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций"»Горький, 1984, с.38-39.

34. Ермолаев Н.В., Малков В.П. Об оптимальном выборе типов конечных элементов. Прикл.проблемы прочности и пластичное-ти. Методы решения задач упругости и пластичности. Всес. межвуз.сб/Горьк.ун-т, 1982, с.61-69.

35. Ермолаев Н.В. Исследование оболочек вращения минимальной массы с заданной минимальной частотой. Аннотир.программа Всес.школы молодых ученых и специалистов. "Проблемы оптимизации в машиностроении". Харьков-Алушта,1983,с.17.

36. Зондендейк Г. Методы возможных направлений. М.: ИЛ,1983.

37. Кольман Э.Р. Экспериментальное определение собственных частот колебаний стальных усеченных конических оболочек- 183 вращения. В кн. Расчеты на прочность, 1968, вып.8, М.: Машиностроение.

38. Кольман Э.Р., Силкин В.Б. Свободные колебания конической оболочки при различных граничных условиях. В кн. Расчеты на прочность, 1963, вып.13, М.: Машиностроение.

39. Кобелев В.В. Некоторые вопросы минимизации веса оболочек при ограничениях по прочности. Аэрофиз.и геокосм.исслед. М.: 1982, с.76-78.

40. Космодемианский A.C. Татаранова О.П. Собственные колебания сложной оболочечной системы. Докл.АН УССР,А,1981,5,с.50-53.

41. Кононенко Н.И. Результаты расчета частот и форм собствен-^ ных колебаний тороидальной оболочки. Прикладные задачи мат.-физ.вып.1, Киев.: 1980, Деп.№ 4102, с.45-50.

42. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.- 720с.

43. Кузнецов О.В. Анализ собственных колебаний сопряженных между собой цилиндрических и сферических оболочек. Динамика и колебания мех.систем. Иваново, 1982, с.I19-125.

44. Кукуджанов С.Н. 0 свободных колебаниях предварительно нагруженной цилиндрической оболочки переменной толщины. -Прикладная механика. 1983, 19, № 2, с.33-37.

45. Кукуджанов С.Н. 0 свободных колебаниях цилиндрической оболочки, предварительно загруженной поперечной силой. -Строит.механика и расчет сооружений, 1984, № 4, с.41-44.

46. Лазарев И.Б. Применение помехоустойчивого алгоритма метода возможных направлений при оптимизации констру кций. -Строит.механика и расчет сооружений,1983, № I, с.8-12.

47. Леви Р. Ограничения на напряжения и их сортировка при проектировании методом критериев оптимальности. Аэрокосмическая техника,1984, № 3, с.86-94.- 184

48. Литвинов В.Г. Некоторые вопросы оптимизации пластин и оболочек. Прикл.механика, 1972, 8, № II, с.33-42.

49. Литвинов В.Г., Медведев Н.Г. Оптимальное управление в задачах о напряженной состоянии ортотропных оболочек вращения.- Матем.физика, Киев,1983, № 34, с.73-77.

50. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука,1975.

51. Люстерник Л.А., Соболев Б.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982.- 271с.

52. Ляв А. Математическая теория упругости. М-Л.: ГОНГИ, 1935.- 674с.

53. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем.-М.: Наука,1981.- 288с.

54. Малков В.П., Тарасов В.Л. Оптимизация цилиндрической оболочки при фиксированной собственной частоте. Прикл.проблемы прочности и пластичности. Всес.межвуз.сб/Горьк.ун-т, 1977, вып.6,с.88-97.

55. Максименко В.П. Об оптимизации подкрепленных цилиндрических оболочек при локальных нагрузках из условиях прочности.- Прикл.механика,1982, 18, № 2, с.41-47.

56. Малютин Н.С. К решению задач о собственных колебаниях цилиндрических оболочек, дискретно подкрепленных кольцевыми ребрами, при произвольных граничных условиях. Динамика и колебания мех.систем. Иваново,1981.

57. Мажид К.И. Оптимальное проектирование конструкций. пер. с англ. М.: Высш.школа, 1979.- 237с.

58. Медведев'Н.Г. Некоторые спектральные особенности оптимальных задач устойчивости оболочек переменной толщины.-Докл. АН УССР,1980,А, № 9, с.59-63.

59. Медведев Н.Г., Тоцкий Н.П. 0 кратности спектра собственных значений в оптимальных задачах устойчивости цилиндричес- 185 ких оболочек переменной толщины,- Прикл.механика,1984,№ 6 , с.II3-II6.

60. Методика и алгоритм оптимизации оболочек вращенияс заданной минимальной собственной частотой: отчеУ НИИ механики,№ ГР 018280264-86, инв.№02840048410,Горький, 1984,- 29с.

61. Методика и алгоритм оптимизации по массе составных оболочек вращения с ограничениями на собственные частоты:етчет/НИИ механики.№ ГР 018280026486, инв. W 02840068050.-Горький,1984.

62. Мяченков В.И,,Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. Справочник.-Машиностроение,1981.-216с.

63. Ольхофф Н, Оптимальное проектирование конструкций,- пер. с англ. M.î Мир, 1981.- 276с.

64. Нарайкин О.С., Осипов В.М., Шаурина Г. П. Проектирование гофрированных оболочечных упругих элементов при наложении ограничений на собственные частоты,- Известия ВУЗов, Машиностроение, 1984, №5, с.16-19.

65. Папкович И.Ф. Расчетные формулы для проверки устойчивости цилиндрической оболочки прочного корпуса подводной лодки.-Бюллетень научно-техн.комитета УМВС РККА,1929,2,с,ИЗ-123

66. Шлак 3. Численные методы оптимизации.Единый подход.-пер. с англ. М.: Мир,1974.-376с.

67. ГЬляк Б.Т. Введение в оптимизацию.- М.: Наука,1983,-384с.

68. ГЬстнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. JI, Судостроение,1977.-279с.

69. Пуртов В.А,, Шеничнов Г.й, Оптимальное проектирование сетчатой сферической оболочки с фиксированной первой собственной частотой осесимметричных колебаний,- Прикл. матем.и механика,1981,т.45,вып.5- 186

70. Расчет на прочность деталей машин. Справочник./Биргер И.А., Шорр Б.Р., Иосилевич Г.Б. 3-е изд.перераб. и доп.- М.: Машиностроение,1979.-702с.

71. Рикардс Р.Б., Эглайс B.C., Голдманис М.В. Оптимизация конической оболочки из композита подкрепленной шпангоутами,под действием внешнего давления. Прикл.механика, 1983, 19, № 12, с.44-51.

72. Рябцев В.А. Оптимизация цилиндрической оболочки заданной массы при внешнем давлении. МТТД983, № 6, с.124-129.

73. Оупонев Ю.Л. Весовая оптимизация подкрепленной цилиндрической емкости. Строит.мех-ка и расчет сооружений,1984, 4, с.7-11.

74. Статика и динамика тонкостренных оболочечных конструкций./ Корнишин A.B., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н.-М.: Машиностроение, 1975.-376с.

75. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука.-1978.

76. Тарасов В.Л. Оптимизация стержней, пластин и оболочеклс заданными собственными частотами или критическими нагрузками.- Диссерт.на соиск.уч.степ.канд.техн.наук,Горький, 1979,-170с.

77. Тетере Г.А., Рикардс,Р.Б., Нарусберг В.Л. Оптимизация оболочек из слоистых композитов.- Зинатне,1978.-240с.

78. Торопов В.В. Весовая оптимизация составных оболочек вращения из условий прочности, жесткости и устойчивости.-Прикл.проблемы прочности и пластичности. Всес.межвуз.сб/ Горьк.ун-т,1979, вып.13, с.122-127.

79. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация форм упругих тел.- М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры,1982.-432с.

80. Улитин М.И. О возможности существования особых собст- 187 венных частот и форм в зоне непрерывного спектра задачи об осесимметричных колебаниях тонких оболочек вращения.-Вестн.ЛГУ, 1980, № 19, с.65-69.

81. Филиппов С.Б. Свободные осесимметричные колебания сопряженных оболочек вращения. Сравнение асимптотическихи численных результатов,- Прикл.мех-ка,1981, № 5,с.164-171.

82. Хог Э, Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование.-пер.с англ. М.: Мир, 1983.-478с.

83. Численные методы условной оптимизации./ Гилл Р., Мюррей У.-пер.с англ. М.: Мир, 1977.-299с.

84. Шардаков И.Н., Ронжин Б.И. Определение собственных форм и частот осесимметричных конструкций с учетом начального неоднородного напряженного состояния.- Динам.и прочность машин,1980, № 246-81 Деп.с.75-78.

85. Browa R.T., Nachlas y.A. Optimization of laminated shell with multiple loading conditions and faSrication Constraints.— n Composite Struct. Proc. 1st, Int. Conf. Paisley 16-16 Sept1961 London , New '¡ferseu , 1961, p. iM-157.

86. Choi K.K., Haufy E.J., Seong H.Q. An iterative metod for finite dimensional structural- 188 optimization problems with vepeateoi eiyenvalues.-Int. J.Nam. Meth. Euyuy , voi 19 , ni 1 1935 , p 1 -156.

87. Chun y.W., Hauy B.J. Shape optimization of a solid of revolution . J. Iny. Me oh., 1985, 109 , , p. ¿0-^6 .

88. Delpak R. A finite element assessmentof natural frequencies of undamped elastic frotational shellst. Appl. Math . Modeltmo ,4 , a/5 , /5. 357 -3&3 .

89. Delpak R,, Hauye W.M, An experimental and theoretical investigation of the frequencies and mode shapes of asisymmetric shell models. J. Sound . and ViSr., 19&0 ,72 , a>2 ,p, 255-249.

90. A/au^ £.7., Pan K.C., Streder T.J). A computational metod for optimal structural design. L Piecewise Uniform structures. Int. J. for Humerical Meth in £nç. 1972, 5 , N2 ,3. /7/ W.

91. Karihaloo Ô.L, Eigenvalue problems in multi -purpose structural optimizations. -bracketing Biyenfreq . Contin . Struck. Suromech . Colloq N112 , Matrafilred , 1979, Budapest , mo , p. 233-250.

92. Kornev V.M. Optimization providing structure stability in connection with the density of eiyen values . bracketing Eiyenfreq. Contin. Struct. Buromech. Colloq , a>112 , Matrafilred , 1979 , 1980 , p. 261 - 271.- 189

93. Mathias D.W., Rohrle H. Optimal structural design of dynamically excited systems using the finite element method . ICAS. Proc. 1973 IttLi. Congr. Int Connc . Aerou . 5ci . otistoa , ws , v.1 , p- 582 -589.

94. Nshanian y .S., Pappas M . Optimal laminated composite shells for Buckling and vibration AIAA journal , 1935 , 21 , H3 , p. 430-437 ■

95. Olhoff N. Optimal design with respectto structural eigen values . Shear, and Appl, Mech. Proc , 15 th Int. Congr. Toronto , 1980 , Prepr. Amsterdam , 1980 ,p. 133 -149.

96. Pappas M., Moradi jjf. Optimal design of ring stiffened cylindrical shells using neultiple stiffener sizes. AIAA journal, 1980 , 18 , N6 , 1020 - 1022.

97. Patnaik S.N., Maiti M. Optimal design

98. Of stiff end structures with constraint on the frequency in the eresence of initial stresses. Comput , Meth , Appl , Mech and Siy. 1976.

99. Patnaik S.N. Safety of optimally designd structures like cglindres and plates . -Comput . and Struct , 1980 , 11, N4 , p. ¿63 -367.

100. Rand R.A. , Shen C.N. Optimum design

101. Of composite stulls suBject to naturalfrequency constraiuts. Computers Structures, 197b , V,3 , p. 247-263.- 190

102. Rosen y. 8, Jhe gradient projection method for nontinear programming . Part T. linear constraints . J. Soc. Ind . AppL Math. i960 , S , Ht , i960 , Part /7. Nonlinear constraints Jf. . /4/j/5£ . Math., mi, 9, , p-p. sm - S32.

103. WUtLams DesL^nun^ to achie vetarcjetvalues foreigen f-reguensies and critical Loads. Bracketing tigenfrec^. Contin. Struct, Buromech Cotlocj, . Mm , Motrafureg. 1919,

104. Budapest , 19&0 , p. 607 -640.105. laveiani Rossi A. Minimum - weight design for twodimesional bodies . - Meccanica ,