Совершенствование квантовомеханических расчетов в экспоненциальном и в слейтеровском базисах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСЗДЙРСШШМ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЗЛИ 539.192; 039.132

ЮС9П03 Одыя Наснрович

СОВЕРШЕНСТВОВЙЙИЕ КВйНТОВОШЛННЧЕСШ РАСЧЕТОВ В ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО! И В СЛЕИТЕРОВСШ БЙЗЙСЯХ

01.04.02 - теоретическая оязика.

ЙВТОРЕОЕРДТ

диссертация на соискание дчбиаЯ степени кандидата оизико-натенатячесюиг ка«к

Санкт-Петербург 1352

?

Работа виподнэка на «афэдре квантовой механики Санкт-Петербургского университета

Научный руководитель: доктор физико-иатеиатических наук М*Н.Адамов

Официальные оппоненты: доктор фкэкко-катекатических наук

АЛ .Веретен

кандидат физяко-иатекатических наук О.Фклкнский

Ведущая организацка - Институт атокной энергий км. Курчатова

«

Зе-ита состоится "Х Г - ^г. <О0) 133 в 4Х часов на заседании специализированного совета КШ.57.17 по присуЕдеккв ученой степени кандидата физико-катекатических наук при ■ Санкт-Петербургскок университете по адресу: 133034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией ноенэ ознакоцитса в библиотеке СПбГЙ автореферат разослан ■1 е-.

Зченый секретарь специализированного " совета доктор ст.кат. наук

С.й.Канада

_ 3 -

ОБЩЙЗ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТН

Актуальность темн. В последнее время возрос интерес к прецизионным ивгнтовонеханическим расчетам нерелятивнстских кд-лонсвсиих систем в экспоненчиальнои и в слейтеровско» базисах. Зти базисы прямо сЕязанн с точно резаеясй задачей квантовой механики о водородоподобноы атоие и позволяпт детально учитывать поведение волновых санкций связанная состояний вблизи . особенностей кулоновскаго потенциала Ш и на бесконечности [23.

Наряда с расчетами атоаов и молекул в адиабатическом приблкаении развивается квантовонеханическов изучение и нетрадиционных объектов, таких как незоиолекуяярнне иона, ку-лоновские систеая, состояние из элементарных частиц, злен-тронно-днрочнне комплекса в твердой теле. Ко многим иэ таких объектов адиабатическое приближение квантовой нзхаикаи неприменимо и поэтому необходим полный учат всех компонент кинетической энергия, а такие эффективный учет корреляции двиавния всех частиц., Такой учет воэиозеи при вкдзчзнии всех нзЕчастичных расстояний в вещественные базисние функции экспоненциального вида [3,4,51, Зшюнекцлальназ функции обэспечязазт получение прецизионных результатов s расчетах я как правило, их хораауы сходиаость. Сходимость расчзтсэ. однако, резко ухудзаетсз при переходе к колекуаярнна сясте-иаа [53, для которых физически достаточно адекватным.является адиабатическое приближение. Таким образои, актуально ручиение- сходимости расчетов в экспоненциальной базисе и поиск такого базисного набора, которнй бн обладая более энрокой областьв применимости, аклпчаз и адиабатические молекулярные системы.

йсяех расчетоз трехчасгичнах кдлонсвских систем в экспо-ренциальнон базисе ставит вопрос о применения этого базиса к аногочастичнны систенаа. в которнх скоррз-гярованность дви-аений частиц играет бояыгуа роль. Такая задача связана с трудностям вычислительного характера, возянкавчааи при расчете матричных элементов гамильтониана системы. Определенный прогресс был достигнут дла систеян четырех частиц

- А -

б работе [63. где для етого случая разработан метод расчете-, интегралов с экспоненциальной функцией, зависящей от всех вести иенчастичных расстояний, Зтот ыетод делает ьиЬвоаньш неадиайатические расчеты четырехчастичнкх систск с полным учеток двикекий веек частиц в экспоненциальной базисе.

Наряду с зтик экспоненциальный и слейтеровский базяск полезны такие при рассмотрении молекулярных систем в стандартной адиабатической прибливении, т.е. в задачах с неподвиь-но закрепленными ядрами. В таких задачах экспоненциальный ©актор в базисных Функциях слейтеровского типа позволяет хороио передавать поведение внутриколекулярногс электрического поля. Зто делает актуальным развитие ыетодов расчета соответствуЕЯйХ молекулярных интегралов.

Целью настоящей работы является обобщение экспоненциального базиса на случай комплексных показателей экспонент, расширение воэнозностей его использования в вариационных расчетах трех- и четнрьхчастичных систем с полным петом взаимно скоррелированного двивенкя всех частиц, совервенст-вование применения зкепонекциальннх и слейтеровских волновых функций к молекулярным системам с неподвианыни ядрами, КЕантовок-ех^нические расчеты гравитационных систем в экспоненциальной базисе.

Научная новизна. Б диссертации получены следувиие новые результаты:

1. йреддоеен новий класс вариационных базисных функций -комплексные экспоненциальные функции от межчастичных расстояний. Преимущества таких функций проиллюстрированы расчетами основного состояния систем, состоящих из трех зараженных частиц. Показана особая эффективность комплексного экспоненциального базиса в расчетах молекулярных систем.

2. Получена новая компактная и практичная волновая оункиий в квантовоиеханической задаче двух кулоновских центров. Высокое качество этой функции ¡¡отвергается расчетами энергии основного состояния" и ряда локальных характеристик молекулярного «она водорода.

3. Выполнены квантовонеханмчвекие расчеты систем, состоящих иг трех и четырех токдестввнках бозонов с гравитационным

взаимодействием между ними.

4. Предловен альтернативный прямому расчету способ вычислений градиента и напряженности внутрииолекцлярного электрического пола.

5. Разработан нсвай подход к внчислениа матричных эдекентоз оператора притяаения к ядру с функцияии сяейтеровскога типа при линейно» расположении трех центров.

Практическая и теоретическая ценность. В диссертации с единой точки зрений рассматривается кулоновские системы с произвольными кассаыи частиц, вклпчаа к модельный случай обращения масс некоторых из них в бесконечность. Разработан и отлазгн пакет программ для /¡«адиабатических расчетов трех- ^ частичных и четарехчастичнах систел в йазисе 'экспоненциальных я коаплексных экспоненциальных функций, зависящих от ■^сех йеачастичиых расстояний .Подученные оезультаты открнваат новые возмоаности для прецизионных квантозоааханических расчетов разнообразных кулоновских, а такае гравитационных систем. Предлояенная в диссертации новая компактная волновая Функция в задача двух кулонозских центров, построенная в экспоненциальной базисе, и разработанные о ней новые методы расчета аолакулярных интегралов со слайтеривскики функциями могут использоваться з различных задачах квантойоиеханичес-кой теории нолекул.

Йпробацкя работы и публикации. Основные результата диссертационной работа докладывались на сенинарах кафедры квантовой механики СПбГЧ . кафедря вычислительной физики и кафедры теоретической физики Самаркандского государственного университета, а такие на X Всесоюзном совещании по квантовой химии / Казань, 1591 /. Подученные в диссертации результаты опубликована з шести статьях' и в тезисах трех докладов.

Структура и оСьей работа. Диссертации состоит из введения, четырех глав, заклвчения н приложений. Обиий обьеа работа 121 страница иавинописного текста, включая 11 таблиц и 5 рисунков» Список литературы садергит 147 наименований.

- 6 -

СОДЕРЕйНИЕ РАБОТЕ

во введении дана обкая характеристика работы и кратко изла-вено содержание диссертаций.

В первой главе расскотревн вопроса, свяэаиаке с совершенствованием варкационинх расчетов трехчастичнкх кулоновских систев при квантовомеханическом учете движений всех частиц. Сначала /51/ проводится краткий обзор известных наборов базисных функций, прииеияеаах в прецизионных неадкабатичес-ких расчетах. Из рассматриваемых базисов наибольшей эффективностью обладает экспоненциальный базис. Он успешно применяется к репчетаи основных и возбужденных состояний аиро-ксго ряда систем, за исключение« молекулярных типа Предлагаемая в диссертации «одкоикация -- базис комплексных экспоненциальных функций от кесчасткчных расстояний /§ 2 / расЕмрлет возмоености применения экспоненциального базиса .

Для трехчастичной кулоновской систеан с зарядам! честиц У и ¡¡ассаии й^- ( 5 =1,2,3 ) .«онплексние экспоненциальное базиснне функции киевт вид:

Фи («*. ¿яр (-¿Ду Ч ) п>

( к=!,2,... Н ) Е (1) , , обозначат кевчастичние расстояния:

• » - А

(2) иница;

К / (Я

- ксиплекснае числа вида:Д;( С- мнимая едини: Кгадя йазяская Фувкция " определяет две векествеиин Функции:

<рГ'=Яе % =

Используя одну единственную) базисную функции И. когно построить простое вариационные пробные функции. ¿¡ля .расче-

тая симметричных систем с я Мл= пробная функ-

ция выглядит следупцим образам:

■ £"11 - опеоатоо певзстановки частиц; С.

(5)

Л. -

где 1 - оператор перестановки частиц; линейные парааетрк.

С волновой функцией С5) в диссертации проведены расчета атома гелия и гелиепоаобнах ионов, изотопов молекулярного иона водорода и мезомояекулярннх систен / $ Ъ /. Результата расчета энергии основного состояния приведена в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1. Результаты вариационная расчетов энергии трехчастичкнх куяоновских систеа с волновой Функцией (5). Значения энергий даны а а.е.

систена

„¿ар

гТОЧН

(Е^-Е^/Е^С X )

рре те.

Щ

М. -

Н-е

и+

О,57376 0.56340 111.853 109.017 101.801 0.20155 0,52430 0.52075 0.32703 2.30319 7.27339

0.59714 0.58512 112.373 109.817 102.224 0.20200 0.52505 0.52745 0.52775 2.Э0372 7.27991

3.3 2.7 ! ,0 0.7 0.41 0.17 0.13 0.13 0.13 0.02 0.007

Здесь ке для сравнения приведены наиболее точные значения, известные из литературы. СравнейЭе с вариационныки расчэтаыи других авторов показывает, что одна базиснаа функция обеспечизает в случае молекулярного кона водорода такая аэ точность расчета, как и 80 базисных функций вещественного экспоненциального вида, в случае <£<jL.fi как 20 экспоненциальных функций, а в случае иона - каи 10

Функций хидаераасовского типа.

Длй исследования сходимости расчетов б комплексной экспоненциальном базисе рассмотрены / § 4 / модельный^ молекулярный ион водорода с бесконечно тявелым ядрами н его Изотовы с реальными кассами ядер. Первый случай представляет и значительный иетодический интерес, так как эта система является идеально адиабатической и обычные экспоненциальные Функции оказались здесь непркгодныни £5]. Для построена неадиабатическая волновая функция в виде произведения электронной и "колебательной" функций;

¿Р= у^м) "Х- (и)

Используя иемллексние базисное функции ^ с паракетраии

Кг* > т

С к=1.2.... Е )

где о{ . ^р . У* н I*? - ьецественкые числа, с учетом перестановочной симметрии получки:

Выбор ^(''¿-х,^) в виде (8) позволяет использовать значений оптииальных параметров & к р из адиабатических расчетов [?] . Функция 'Х-(Т^) долкна по созкоености передавать девьтасбразный О ( &)

характер "колебательной" функции, где Л - равновесное расстояние ыекду неподвихнани бесконечно тажелкни .адраии.

Значения нелинейных параметров о( и брались аьз I ? 3 при & = 2 а.е.: о{ = 1.1305. р - 0.Л74 . Значения и Ю оптньизировались в расчете. Линейные лараимры £ц и ¿¿д находились из ревения матричной задачи на обобщенные собственные значения размерности К = 214+5 . Оптимальные значения параметров и энергия основного состояния ~при различных значениях И приведены в таблице 2. Здесь «е дам

С 8 >

"[ (3)

сравнения приведена результаты расчетаз з веаеставнаоы экспоненциальном базисе¿"57.

ТАБЛИЦА 2. Сходияость вариационная расчетов »

плекснаи экспоненциальном и в обччном взцегтвеннин экспоненциальном базисах. N - число базисных функций.

Комплексный экспоненциальный

базис

Ойячный экспоненциальной Оазис Г5]

Я

Г

Т оО

-Е (а. е.) И

-£ (а.е.)

3 0,004 1 74 0 оЗЗСО 1 150 0.57883

3 1.333 2 405 0 00038 ! 200 0.53612

15 1.?? 4 2 03 0 80130 ! 225 0.53717

23 1.33 2 73 0 20222 * 200 0.53847

23 2.0 7 и 0 00231 | 275 0.53244

3? 2.0 п ^ .0 0 00230 | 300 0.52055

47 2.5 и 8 0 00240 | 323 0.33117

93 2.3 2 .а 0 00243 5 -'50 0.39201

СС> 0 00244

В послгднва лараграоэ /' $ 3 / построена компактная волновал оуш;цич з чадзче двух кулоаозсках ч-^го». Сна строится из члеаоз ьксисненыиалькогп аяда я ог> 1 ,¿5 г тчите.»ька::а чрактическичи прйизупестз&яи лу сразяевиз •,"".":чно.1" чолкозой функцией, прйдстазляпгдэн собой прэиззегзн*:? д.зчх баскоиачпнх рядов по эллипсоидальная коордияатан

) = , (1гъ:)/в сю)

3 диссертация предложена сл&дцщал зариацкоанзд Фун;;цпд для основного состояния:

Здесь - нормировочный кноиктель* - гиперболи-

ческий косинус; , , , _ нели-

нейные сптиккгкрцекые параметры, С V: сС - линейные параметры. Лрк С - 0. сС § функци: (11) сводится к Функции Гкллеиккг-Зйнера [73. Электронная анергия иона , Еычислйеиаа с такой Функцией при И - 2 а.е., резная -!.10244 а.е.. совпадает с четырьмя значащими циграни с точняк значением анергии Е = -1 .10263421 а. е. Введение параметров , , С. и &С значительно улучшает качество водновой^функции. При оптимальных параметрах

-1.4345, -е>± -0.0335, Я-¿. =1 .3753, £ -- 1.30. С - -0.332376, тС =0.532273 волновая функция Ш) дает электронную внергке Е = -1.10203413 а.с. Это значение лквь на 3 10 а.е. отличается от точного значения. С волновс* Санкцией (И) был вычислен и ряд других электронных характеристик. чувствительных к качеству волновой функции: потенциал на ядре (/.(О) = -С.Б52339 ( -0.652350 ), напряженность на йдре и? { 0) = -0.25033 (-0.25022 5. градиент электрического пола ка здре (О/ - -0.1600 С -0.1661 ). электронная плотность ка ядре _р(0)- 0.203681 ( 0.205563 ). Б скобках указаны точные значений, известные из литературы. Сравнение показывает, что компактная волновая функция (11) эквивалентна 25-30 членноку стандартному разложение "точной" волновой функции задачи двух куленовских центров.

Бе втооой главе рассмотрены системы, состояние иг чьта-

..... 1 ......

рех кул0.чи£ских частиц. Дан обзор У у 1 / некоторых кетсдоь иеадкабаткческого • исследования колекулоподобных объектов гкпа , где й к Б - кудоновские частицы. Сюда отно-

сятся ■кояыг.ця& водорода и дЕухатешше двухэлектроиные ионы, а такяе симметричные бкзкеитоны в л&луприбедкиках и молекула позитрония Рб^-сильво неадиабатическая система, состоящая из Евух электронов к двух позитронов, йрваае неадизбатичгские расчеты таких систем немногочисленны.

Во втором параграфе приведены результаты вариационных расчетев иолекулк позитрония и тргхзлевтрониых бозонквх ато-йов с пробными зкепон&нцкальнкии функциями, зависящими от всок кесчасткчких расстояний .

Последний параграф второй глава / § 3 / посвявен внчис-лктелькаа аспектам применения экспоненциальных базисных оункцкй. Главное место уделено нзлошши метода расчета четнрехчастичннх интегралов 16]. Найдена конпактнке внра-у.8ния для производных по зкспонвнциахьниа параметрам, предложен удобный алгоритк расчета интегралов.

Т^та глава посвяаенв квантозоыеханмчйскояу расснотре-ние систем с гравитационна взаимодействием. Исследование таких систем представляет интерес для астрофизики и Физики елеаентгрннх частиц. Ввиду отсутствия сил отталкивания корреляция даишеняй частиц в гравитационных системах сузест-зенно отличается от корреляции в кулоновския системах и приводит к более .плотной упакоьке частиц..Для учета корреляции з ьвактоьойеханйческях расчетах гравитационных систем хорою юдхедят волковне санкции, экспоненциально зависящие от всех ¡екчастичных расстояний [3].

Гзкильтониак.системы Я тождественных бозонов иассы т гравитационна« потенциалом взаимодействия имеет вид :

Если взять пробкув волновуз фцнкцив, якспоне.чциалыю вексаздг от ьсех «езчастични.ч расстояний

/ а^ь Л. \

~ -ехр - Ъ]н } чз>

) «сенс показать, что в случае когаз 2сз пгрг:>.етры сна 1/2 , волновая еднииия (53) об«спсч:'.!згет точное волнение тгерекн в »¡риала и усаовиа Кат о п?я гтбех числе :сту.ц [33, аналогично случае йроиззольно.1 вдлойозсксй стекы трех завязанных частиц Ш. Такие свойств^. сункцьи 3) дзат основание полагзть, что она будет достаточно хоро-й воляигой сункцией гразитаиионлах снстез, приводя к с.ча-

Математическое свидание СицУ мохно вычислить для Н - 3 с пиао5ьв периметрических координат С 81, и Н = 4 с использование* йетода работы 151. В зтих случаях получены верхние границы энергий гравитационных систем:

Е (3) ^ -1.07142857 ^ \ Е (4) ^ -2.7835113 ^. где ^гг 2 ~ естественная единица энергии для

гравитационных систем.

Для улучвения значения Е0С 3 > были проведены прецизионный расчзтн в ЕШрокоы базисе« К функции (14) бала добавлена линейная комбинация й-1 базисных функций, сиииетризованнах по перестановка:* ]р трех частиц:

«Л/ „5,

£ I- Ь к=2,3,... И

базисные Функции ( 15 ) отличаются друг от друга значениям нелинейных параметров , 3 к , ¿Г/< . которые гене-

рировались квазислдчайныя образом [4,5]. Расчеты проводились при обвей числе базисных Функций В - 15, 20, 30, 40, 30, СО . При К = 60 получены слегавшие значения энергий основного и первых зозбузденных состояний трехчастичной гравитационной систеаи: Е0= -1 .0717794 Е-,- -0.574492 ^"" -С.353800 ^, Е3 = -0.33027 " _

Знание энергия первого возбужденного состояний ¿г^ дало возмозность найти по формуле Теиаяз уточненную низ- ^ ию-а границу знэргки гразя" -ционной скстеыа: Е(3'¡У'--1.0733 с'*. Полученные рездльтатн позволяет сделать внвод ой особой эффективности экспоненциальных функций в квантобоагхацачвиких расчетах граейтационнах систеы.

В четвертой глазе развита концепция внутримолекулярного поля на базисе ©уккцай сяейтзровского типа. В адиабатическом прибливений внутримолекцлярног поле состоит из пола, создаваемого неподвизянми ядрами к потенциала ¡¿(Ъ?), создаваемого электронной оболочкой молекулы. Потенциал и,{~?) з точке пространства ^ равен ••

- 13 -

удовлетворяет уравнению Пуассона

С10,171 и {1} - электронная плотность, нормированная 5 числи электронов в ыэлекцде. Истинный потенциал электрон-¡.•й оболочки лучие всего передается при использовании волно-«х функций экспоненциального и слейтеровского типа. Тради-ионнае .методы расчета обсуядавтся в первой параграфе

лаьы.

Вавной характеристикой внутримолекулярного поля является екзпр его градиента ( ГЭП ). Для двухатомной ыалекула злек-ротшй вклад в тензор ГЗП полностью определяется его диаго-альной компонентой,/ _-,> , ,—

десь ось I направлена вдоль оси молекулы. Прямые нетоды асчета интегралов, возникавших при дифференцировании фор-цлы ПС) малоэффективны. Однако возко'ген альтернативный одход. Зная с высокой точностью потенциал ¿¿-(2*) и злек-ронную плотность иовно численным дифференцирование* отенциала найти величины в лвбой точке пространства, качестве иллюстрации такг-го подхода вшшнена расчеты

§ 2/ и (г), Ц (?]. и "(г)*- Фг^ъяаяъ оси сседи-

.«ачй яд-а в молекулярном иоке водорода. Ход полученных ривы/ пои равнов'евснои ме'хядернои расстоянии -2 а.е.

риведен на рисунке 1 5 виде графиков. Начало отсчета^коор-инатк выбрано посередине между ядрами. Функция I/ (д)яъ-яетса нечетной , а фун ¿-((г), М "Ф четныни

о £. . На бесконечности все эти функции стрекятся к нули.

Электростатический потенциал электронной оболочки

Шг)

!:еет минимум б центре иалекулы ( 2- - 0 ) и ионотонно воз-эстает по мере удаления от него. Первая производная от по-екциала ¿¿'(г) изменяется неконотонно: зка имеет кинимук окрестности точки 2 =-1.30 и и'аксиыуи в сюа'аетричкой очке - 1.30 . Вторая производная от по.енцикда ^ (2) кет острые ыаксимдкы в точках расподозени^ ядер. Б сог-аенк с теоремой Като эти точки харантер"здвтся изломом.

- и - 0 %

ссответствувщш разрыву производной от плотности .дгд Найдена, что градкент электрического поля $¿¿{2) такхе имеет подобные пики.

Рис 1. Ход функций Шд.иь). 1Л к) оси молекулярного иона водорода . Начало систеиы координат 2? =0 соответствует центру яолекулы, значение 2 =-1 - точке располояения одного из ядер.

Полученные результаты показнзг»т практичность альтерна-ивного способе расчета градиентов пола как на ядрах, так и произвольных точках внутри ыолекулы. При применении ассматриваемого метода в базисе слейтероаскик функций сзникает вычислительная задача расчета трехцентровах интералов притявения к ад? у. Известные методы расчета связаны суимированиеи бесконечных рядов или кратнан численным итерированием. Б глазе / § 3 / предлагается другой под-од, основанный на аналитической дифференцировании выражения яя сравнительно просто вычисляемого генерирусчего интегра-а. Интегралы притягени.я к ядру с любыми слейтсровскинн ркцияйк нокно .построить кзк линейные комбинации частных эоизводных генеркрувцего интеграла. Получены выражения для гнерирувцего интеграла и вспомогательный функций, возникав-4Х в зтси подходе.

5 заклвчеиии кратко сфорнулирозаны ост.звнае результата, заученные в работе.

Основное содервакие диссертации опубликовано з работах: , Ребане Т.К., Юсупов О.Н. Коаг.лексные экспоненциальные базисные волновые санкции в кулзковской задаче Tpsx тал. // 23ТФ, 1930. Т. 9В, вып. 6. С. 1070-1877. Алаков H.Ü., Ребане Т.К., Иванов й.И., Юсупов O.K. Расчет градиента электрического поля на ядре в молекуле днл-оеренш'зоБгмшск ?кутри«елеиулгрного электростатического потенциала.// Опт спектр. '331. Т. 71. вкп. 1. С. 3-14. Гебане Т.К.. Г-супоа З.И. Бгриавиоккие расчете модзкддяр-•ппх сястб» з кс:еагг*с*он зкспанепциальнсм базисе.// Опт. и спектр. iS3i, Т. 71, вып. 2, С. 207-201. Адгмоз H.H., üseiJ05 А.Й., Ребзяе Т.К.. 5с;;яов О.Н. Кон-ц^пык» впгтринолену^щ'нсгп электрического пега в расчетах »оиси-зт пдернуй квггруаольной связи. // ZCX. 1^82, Т.33, II 2, С. 23-26.

РеЗгне Т.К., "супов О.Н. НовнЯ класс агоныах голаозих • функций.// Опт и спектр. 1992. Т. 72, шш. 3, С, 1-7. йаавов H.H., Есупов O.K. Вкчксягние иагричюн зленвятсв енератора притяаекиа к ядру дис^еренц'лрosiкг:зи генерируя иего интеграла.// Укр.$«.зич.гур:1. 1932 . Т.37, И б,С. 823.

- 16 -

7. РеСане Т.К., Всупов О.Н. Компактная волновая функция в задаче двух кулоновских центров. // Тезисы X всесоазног совещания по квантовой хиаии. Казань. 1391. С. 230.

8. Ребаие Т.Н., Юсупов О.Н. Комплексные экспоненциальные базисные функции в атоияо-молекулярных расчетах.

// Таи же. С. 289 .

9. Адаиов О., Юсупов О.Н. Новый подход к вычислении одно электронного трехцентрового интеграла.// Таи «е. С. 31

Цитируемая литература:

1. Sato Т. On the eigenfunctions of aany particle systems quantus Eechanics. //' Coimun. Pure, and flppl. Math. 195

.vol. 10. N 2. p. 151-177.

2. Рид. У., Сайкой Б. Методы современной математической Ф эики. Т. 4. йнадиз операторов. - '£.: Мир, 1332. - 372 с

3. Delves L.M., Xaiotas Т. Variational calculations for three body S - states with coulomb interaction.

// flustr. 3. Phys. 1966. vol. 21. N 4, p. 431-433.

4. Декков 'О., Филинский A.B. Вариационный расчет экзотических атоаов на экспоненциальной базисе.// Тезиса Всесоюзной конференции по теории атоиоэ и атомных спектров. Минск, 1933 , с. 22

5. Фролов Й.Н. Вариационные разложения з кулоу.овской задач: трех тел. // 13ТФ. 1967, Т. S2, вып. 6. С.1959-19??.

6. Frosm O.K., НШ ЕЛ. Analytic evaluation of three-electron integrals.// Ph-s.Rev.ft. 1987, v, 36, К 3. p. 1013

?. Kin S.. Chang ТЛ. hn-shfelder 3,0. GullleBin-Zeoer enei gy of $.// J.Clien.Phys. 1305. v. 43. К 4. p. 1092-U0i

8. Ребане Т.Н. Об энергии системы гравитируюаих бозонов. // 83Т0, 1991, Т. 39, вып. 6. С. 1653-iSG7. '