Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

САФИЕВ ЭЛЬШАН КАВЫ ОГЛЫ

УДК 517.956

СОВПАДЕНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ Й ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ И СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ МЛАДШИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

, Москва — 1991

/

с" А

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета тани М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент В.М.Говоров

Официальные оплоненты - доктор физико-математических наук,

доцент М.Л.Гольдман доктор физико-математических наук, доцент Н.В.Мирошин

Ведущая организация - Московский физико-технический инстдтут

Защита диссертации состоится Сй--КД1&^А_1991г. в {Ч час 3£? мин. на заседании специализированного совета К 053.05.87 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские гори, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2-й учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией ыокно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "

1991г.

Учений секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.М.Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теш. Известно, что не всякоа классическое шение является обобщенным и, конечно, не

якоа обобщенное гашение является классическим. Поэтому изуче-евэлроса о совладении клгзсических и обобщенных решений крае-х и смешанных задач является одним из важных направлений сов-менной теории уравнений с частными производными. Практическую нность получаемых результатов составляет возможность их лри-нения при решении различных конкретных задач уравнений с частый производными.

Впервые для оператора X общего вида вопрос о том, когда ассическое пешение задачи

¿,¡»1 I и « I

)

(I)

дет являться обобщенным из класса \л/А решением той же зада, был рассмотрен о 1960 году В.А.Ильиным и И.А.Шишаревым*. торг -¡той работы изучали тот случай, когда область явля-ся нормальной (область Я называется нормальной, если в этой ласти разрешима задача Дирихле для уравнения Лапласа при лю-й непрерывной граничной функции). Изучалась такая ситуация, г да оператор "X. -самосопряженный с гельдеровыми коэффициен-ми, а граничная функция - нулевая. При перечисленных ограни-ниях в качестве основного результата было показано, что клас-ческоо решение задачи (I) будет являться обобщенным из класса

Ильин В.А., Шишмарев И.А. О связи между обобщенным и классическим решениями задачи Дирихле // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1960. - Т.24, 3 4. - С. 521-530. . ■

\д/а решением той ке задачи. Так как наложенные ограничения допускали существование классического и единогЕенность обобщенного решений, то из доказанного следовало, что эти два решения совпадают друг с другом, т.е. что обобщенное решение обладает свойствами гладкости классического решения. Для частного вида оператора , (1,^ = 0.^,= О ) и для случая П. = 2. вопрос о совпадении классического и обобщенного решений задачи (I) был решен в утвердительном смысле, Р.Курантом^, но лишь в предположении, что коэффициент С1(| = й^три раза непрерывно дифференцируем.

Результаты указанной вышеработы (см. сноску I) В.А.Ильина и И.А.Шиошарева позволили тем же авторам доказать (см. сноску 3) что существует полная ортонормированная в система классичес-

ких собственных функций задачи (I) и эта система совладает с полной ортонормированной системой обобщенных собственных функций. Отсюда следовало, что обобщенные собственные функции обладают свойствами гладкости классических-собственных функций.

В 1974 году выпша в свет работа В.А.Ильина и Н.М.Круковско-го4. В этой работе была рассмотрена уже произвольная ограниченная область . В предположении, что существует классическое решение и(х)задачи (I), было показано, что оно будет являться

^ Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. - Т.2. -Гостехиздат, 1951. - С. 450-482.

о

Ильин В.А., Шишмарев И.А. Од эквивалентности систем обобщенных и классических собственных функций // Изв. АН СССР, с^. матем. й 1950. -. Т.24, Л 5. - С." 757-774.

4 Ильин В.А., Круковский Н.М. Теорема о совпадении классического решения задачи Дирихле для несамосопряженного эллиптического уравнения с обобщенным решением этой задачи // Дифференц.урав-неная. - 1974. - Т.10, & 4. - С. 699-711.

а км и обобщенным из класса решением этой задачи в предпо-

ожении существования е ¿„С^?)- Итак, в этой работе впер-ох£

ио было доказано, что необходим;.! и достаточным условием принад-эжности классического решения и.(Х) классу является су-

эствование продолжения из класса ^¿/^(О:) граничной функции зданной на в область (необходимость отого условия

?евидна, т.к. таким продолжением является, например, саг 1 реше-зе Ц. (х)).

В.М.Говоров^ перенес результаты указанной выше работы (см. юску 4) на случай произвольной неограниченной области при до-мшительных ограничениях:

Затем в работе В.М.Говорова было снято ограниченна

Автор диссертации рассматривает вопрос о совпадении класси-юких и обобщенных решений эллиптических систем с неограниченна младшими коэффициентами.

Ранее учениками В.А.Ильина был рассмотрен факт совпадения [ассического и обобщенного из класса решений краевой за-1чи для линейных эллиптических систем дифференциальных уравне-:й второго порядка с ограниченными .младшими коэффициентами да СЦхУ Е , где С1;(х) - ограничения скалярная функция, а Е единичная матрица. •

Говоров В.М. О принадлежности классу классического решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения в произвольной неограниченной области // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т.12, № 3. - С. 549-551.

Говоров В.М. О принадлежности классу классического решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения в произвольной (ограниченной или неограниченной) области // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т.12, Л II. - С. 2064-2067. '

В работе В.М.Говорова с использованием техники , развитой В.А.Ильиным, ^рассмотрен вопрос об интегрируемости первых производных классического решения параболического уравнения с ограниченными младшими коэффициентами как в цилиндрических, гак и в нв-цилиндрических областях.

о

В 1960г. В.А.Ильин среди других важных результатов доказал следующее: Пусть

равномерно эллиптический в оператор о действительными ко-

эффициентами: область £2 а коэффициенты оператора £ те ке, что и в работе для эллиптического уравнения (см. сноску I):

Тогда,

если существует классическое решение задачи

г $ -и --1 (в Ст,

и I = о (2)

7

Говоров В.М. Интегрируемость первых производных классического решения смешанной задачи для параболического уравнения в неци-линдраческой области // Докл. АН СССР. - 1975. - Т.225, Л 4. - С. 753-755

о

Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи мат.наук. - 1950. -Т.15, .'г 2. - С. 97-154

о оно является обобщенным из класса решением той ке зада-

и.

Классическим по В.А.Ильину решением задачи (2) называется эйствительная функция обладающая следующими свойства-

и:

) СЧ^ЛС^)

, 6 С

иь

) удовлетворяет е уравнению — £\Л ~ ¡г >

"И 4

з £т и <Г20 равна нулю и соответственно, совпадает

Этот результат В.А.Ильин в 1962 году перенес на случай урав-эний с разрывными коэффициентами.

С.М.Пономарев*® доказал единственность классического по В.А. иьину решения задачи (3) для несамосопряженного оператора с коэф-лциентами, зависящими лишь от X и принадлежащими в более широ-эй, чем , области классам (уч >0) , где

& -

эрмальная область.

В 1975 году В.А.Ильин*1 рассматривает уже произвольную огра-

Ильин В.А. Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами'// Докл. АН СССР. - 1962. - Т.142, № I. - С. 21-24.

Пономарев С.М. Об единственности решения гиперболического уравнения 2-го порядка в нормальном цилиндре // Мат. заметки. -1974. - Т.15. $ 3. - С. 437-444.

^ Ильин В.А. Единственность и принадлежность классического

решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения // Мат. заметки. - 1975. - Т.17, й I. - С. 91-101.

ничейную Ц -мерную область , в которой задан самосопряженный равномерно эллиптический оператор £. и пе^носит эти результаты (см. сноску 12) на случай несамосопрякенного оператора X. с коэффициентами, зависящими лишь от X .

Затем В.М.Говоров13 рассмотрел случай оператора, коэффициенты которого зависят не только от X , но и от "Ь .

Цель работы. Основной задачей данной работы является изучение совпадения классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем дифференциальных уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентами, причем никаких требований на гладкость границы области не накладывается.

Обшая методика. Метод исследования, применяемый а данной работе является некоторой модификацией схемы указанных выше работ В.А.Ильина и его учеников.

Научная новизна. Основными отличиями предлагаемой диссертационной работы от работ предыдущих авторов являются:

1) Отказ от условий ограниченности младших коэффициентов оператора X и использование лишь того факта, что эти коэффициенты принадлежат пространствам Ьр .'Это потребовало некоторой модификации ранее известной схемы доказательства с более широким применением техники теорем вложения.

2) Ранее существенным моментом было использование принципа

Ильин В.А. Теорема о единственности и о принадлежности классу \л/г классического решения смешанной задачи доя несамосопрякенного гиперболического уравнения в произвольном я"";шдре // Дифференц.уравнения - 1975. - Т.II, № I. - С. 60-65.

Говоров В.Ы. 0 единственности классического по В.А.Ильину решения смешанной задачи для гиперболического уравнения с коэффициентами, зависящими от времени // Дифференц.уравнения. - 1976. -Т.12, И 10. - С. 1804-1814.

максимума для обобщенного решения уравнения, что достигалось отходом от спектра в основной ^ аппроксимирующих областях за счет рассмотрения оператора при достаточно большом числе Я •

Причем при выборе Д использовались ограниченность младших коэффициентов оператора. В нашем же случае эти коэффициенты не ограничены и мы рассматриваем не одно уравнение, а систему уравнений, в результата чего нам пришлось применять некое обобщена принципа максимума.

Все доказанные в работе результаты являются новыми.

Приложения. Полученные в диссертации результаты имеют практическое применение при изучении вопроса о том, когда вариационный метод (или какой-либо другой метод, приводящий к нахождению обобщенного решения) приведет к нахождению классического решения. Результаты диссертации применимы и при изучении вопросов о единственности классических и гладкости обобщенных решений рассмотренных краевых и смешанных зада".

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ, на конференции молодых ученых факультета ВМиК МГУ, на конференции- по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям в г.Уфе и на межвузовской научной конференции по математике и механике в г.Алма-Ате.

Публикации. По тема диссертации опубликовано 4 работы, перечисленные в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 27 наименований. Объем работы составляет 67 страниц машинописного текста.

- 8 -

СОДЕК ЖЕ ДИССЕРТАЦИИ. Во введении дается обзор результатов, относящихся к предмету-диссертации, кратко излагается основные результаты диссертации.

. В. главе I диссертации изучается вопрос о том, когда классическое решение задачи Дирихле

ЛЧ?а = Ч

является обобщенным из класса решением той же задачи. Здесь —некоторая произвольная ограниченная область (т.е. открытое, связное множество) в евклидовом П. -мерном (п.-*2.)пространстве (никаких требований на гладкость ее границы не накладывается). Символом.Ьс мы будем обозначать замыкание области

, а символом "ал -г границу области Я.. X - равномерно эллиптический в

дифференциальный оператор с непрерывными действительными коэффициентами, т.е. для любой точки X = ) €

и любых действительных чисел ^ справедливо:

ац(х)=%(г), ^ сим* (4)

Коэффициенты" Д:(х), А(х) - квадратные матрицы порядка

Л/* Л/

с элементами ¡01^ : (X) , О. (X) > £, »п = 1/У,

зависящими от , X скалярные функции.

Введем в рассмотрение нормы матриц АСх):

Пусть

где p > п. , ул = Ctfvwt > О.

Здесь U, ^ и Y - действительные вектор-функции с Ы компонентами. Пусть

€ L J2- , if cVffi^n )ПФ)(6)

где М=И (если П>2),М>1 (если И =

Ограничения (5) и (6) являются общепринятыми при рассмотрении соответствующих обос^енных решений (см., например, сноску 14). Причем, вектор-функцию ^(Х), которая определяет граничное условие, будем считать определенной во всей области £t? и принадлежащей tyliQ).

Принадлежность вектор-функции к какому-либо пространству означает, что кавдая компонента вектора принадлежит этому пространству .

Под классическим решением задачи (3) понимается как обычно, определенная на

действительная вектор-функция удовлетворяющая системе ¿Си. - f- всвду в Q и совпадающая с (^(t) на üQ..

Символом \л/1(Я)обозначается множество всех определенных в

Я

действительных функций U"(X) 6 Ll ) , у которых при любом

14 Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М., Наука, 1973.

тс

Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - U.: Наука, 1988.

1=1,2.,..., П. существует обобщенная по С.I.Соболеву*^ частная производная гильбертово пространство относительно скалярного произведения

у™-

Символом обозначается пополнение по метрике пространства

Ц. (£2)множества С0 всех бесконечно-дифференцируемых

функций о компактными носителями, лежащими в ^ . Обобщенным из кла са рвением, задачи СЗ) называется зектор-функция

1Г(х)е №1(0.) \л/1(Я.), удовлетворяющая интег-

ральному тождеству

при любой чСъ)е\л/[(Я.).

В главе I доказывается следуюп-й, принадлежащий автору диссертации, результат:

Теорек а I. Пусть М.(х) - классическое решение задачи СЗ), коэффициенты системы Ы. = удовлетворяют условиям (4), (5), вектор-функции ^ и ^ подчиняются огравичениям (6). Тогда Ц.(£) является обобщенным из класса решением той щ задачи.

I

Следствие. Пусть существует последовательность гладких в вектор-функций £ ^(Х^ | , аппроксимирующая вектор-функцию в метрике пространства \л/[(0.) , тогда существует аппроксимация в метрике пространства к/^^) вектор-функции 1С (X) последовательностью гладких в £с! вектор-функций. Это

вытекает из того факта, что и. - ^ £ ).

В главе П диссертации изучается вопрос о том, когда классическое решение смешанной задачи для параболической системы

(В« ) (7)

. и.1 =0, и(х,о)= (Х6Я2)

1\\ 1

обладает первыми производным — (¡<¿6 И. ) из класса ЬХ(С1)^

л 0

Здесь Ь| - ограниченная область в пространстве (Ю1) , нижнее и верхнее основания которой принадлежат плоскостям "Ь = 0 и ¡¿Г= Т* ^ 0 соответственно, и при любом достаточн малом 0 ~> и область допускает ап-

проксимацию*® последовательностью областей £ , ограничен-

ных снизу и сверху плоскостями Ь = <Г и Ь - Т~ (Г соответственно, а сбоку - достаточно гладкими (например, из класса } Л > 0 ) поверхностями Б ' нормаль к которым нигде при ^¿Ьй Т- 6" не параллельна оси .

Примером области б может служить ¿С1+|) -мерный цилиндр х(0,Т), где - совершенно произвольная ограниченная И -мерная область. Другим примером области является область в пространстве (Г,,... ,!„., Ь), ограниченная поверхностью

Мы будем придерживаться следующих обозначений:

= (?Пи=Т)

В Q задан равномерно эллиптический дифференциальный оператор ¡£ с действительными непрерывными коэффициентами: .

Здесь , (г('Х}Ъ) - М -мерные вектор-функции; ^¿(Х^) ,

--кг 6 "I Г

16 т.е. I) (Г4 € , § ' с $ ют любого иг

2) для любой области (}<£(} найдется такой номер М , что 0[ (£ при всех щ, ? 14,

А(Х^) -1 матрицы дорящка Л/* |\Л , - скалярные функции.

Наложим на младшие коэффициенты общепринятые при рассмотрении обобщенных решений ограничения (см., например, сноску 17):

где р > \ + 1 , ¿л. - сою/£: > О .

Пусть и :действительные векторнфункции, причем:

Под классическим решением li.fr, Ь) задачи (7), ■ следуя В.А. Ильину, будем понимать непрерывную в ОУ Г вектор-функцию, все производные которой по переменным до второго поряд-

ка включительно и первая производная по Ь непрерывны в С( Ц.6 С°(0\)Г)(\ С1>,((}} ' • Удовлетворяющую системе

всюду в С} и совпадающую с ^ на Г.

В глаг" П диссертации доказан следующий результат: Теорема 2. Пусть (¿(хД)- классическое решение задачи (7), младшие коэффициенты системы - ¿Ы. = ^ удовлетворяют условиям (8), СЦ(Г, - условию равномерной эллиптичности, вектор-функции и подчиняются ограничениям (9). Тогда ^((¿¿4 И.)

принадлежит классу ((?).

Заметим, что при выводе оценки максимума модуля обобщенных . /4,1

из класса решений соответствующих краевых задач в аппроксими-

рующих областях мы используем непрерывность лишь коэффициентов оператора «С'и не требуем, по сравнению с общепринятым, существова-

Т7

Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и .. квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1957. .

- 13 -

НИв И Н8Ярй^ JBHOCTb } К /•

В главе Ш диссертации изучается вопрос о том, когда классическое по В.А.Ильину решение U-CT,b)смешанной задачи для гиперболической системы с коэффициентами зависящими от времени

Qt> «0)

U| - о

St

tcir,o)=^x), (хеЯ)

является обобщенным из класса С(?т) решением той не задачи.

Здесь Я - ограниченная И -мерная область (никаких

требований на гладкость ее границы не накладывается), Q,г -

= £2*(о,Т), $т =-дЯтП(о<1<Т),Т>0.

В задан равномерно эллиптический дифференциальный оператор с действительными непрерывными в Qj, коэффициентами:

- - A(z,t) и,

(Л - IV -мерная вектор-функция. Коэффициенты этого оператора подчиняются следующим ограничениям:

П Д а ^ ^ г I 10 )

оч iM.t ш)

II (AI II 0 * /д.

O'tbT Lp(aCt) V/

- 14 -

где р > VI , уД. = C<MЛ>t > 0 .

Потребуем от старших коэффициентов дополнительно:

Производные, фигурирующие в (12) можно понимать не в классическом а лишь в обобщенном по С.Л.Соболеву смысле.

Предполагается, что^Х^), ^(Х) , ^ (Т.) -заданные вектор-функции такие, что '

^ (х) у(г) б Ь, (&), 1(т, Ь) € ) (13)

Под Ц о ) бУД0м понимать замыкание в норме множества всех гладких в функций равных нулю в окрестности

Обобщенным из класса \л4 решением задачи (10) называется вектор-функция У(Т,Ь) € ^/¿о(0т) У(Х,0)= ^(Г)

удовлетворяющая тождеству

л

1=1 '

<?т

Т--' 'П1 . I I _ _ _

Я Чг

для любой Ц10С(?Т) , ^Г,Т) = 0.

В качестве основного результата главы Ш диссертации доказывается следующая

Теорема 3. Пусть - классическое по В.А.Ильину реше-

ние задачи (10), X - равномерно эллиптический в оператор, Если выполнимы ограничения (П)-(13), то Ы(Х,Ь) является обобщенным из класса решением той же задачи.

Ввиду единственности обобщенного из класса решения

- 15 -

из теоремы 3 следует теорема единственности:

Теорема 4. Пусть Я. и £. те же, что и в теореме 3. Тогда, если существует вектор-функция К^Х/^б. С°((?ТУ Шт)}

м| _0 М| =0 .то и.(Г,£) = 0 (в (?т).

Автор глубоко признателен В.А.Ильину и В.М.Говорову за постановку задачи, полезные советы и многочисленные обсуждения полученных результатов.

-16 -

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

статьях:

1. Говоров В.М., Сафиев Э.К. О пинадлежнрсти классу классического решения задачи Дирихле для эллиптических систем второго порядка // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т.25, & I. -С. 165-167.

2. Сафиев Э.К. Совпадение классического и обобщенного решений смешанной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. • 1989. - Т.3^7, 16 6. - С. 1322-1324. |

3. Говоров В.М., Сафиев Э.К. О единственности классического решения смешанной задачи для гиперболического уравнения с неог-раничеными младшими коэффициентами // Дифференц. уравнения. -1990. - Т.26, »1. - г 154-157.

ч/1.0

4. Сафиев Э.К. О принадлежности классу классического решения смешанной задачи для параболических систем второго порядка // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т.27, Я I. - С. 167-169.

Подл, в печ. 04.07.91 г. Тираж 100 экз. Заказ й 6974

Централизованная типография ГА "Союзстройматериалов"