Совйства решений эллиптических и параболических систем: суммируемость, неравенства Харнака, поведение при больших временах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Львівський державний університет ім. Івана Франка

г > ОД

ЮАСИШИН Лілія Михайлівна

УДК 517.956.2 + 517.956.4

Властивості розв’язків еліптичних та параболічних систем: сумовність, нерівності ГарнакЗ, лішедінка при великих часах

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів- 1998

Дисертацією с рукопис.

Робота виконана у відділі математичної фізики Інституту прикладних проблем механік« і математики ім. Я.С.Підстригана НАН України.

Науковий керівник • доктор фізико-математичних наук, професор ЕЙДЕЛЬМАН

САМУІП ДАВИДОВИМ, Міжнародний Соломонів університет,

/ професор факультету комп’ютерних наук.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор КЛЛЕНКЖ ПЕТРО

ІВАНОВИЧ, Державний університет “Львівська політехніка", завідувач кафедри обчислювальної математики та програмування;

Провідна установа* Чернівецький державний університет ім. Юрія Фсдьковича,

кафедра диференціальних рівнянь. Міністерство освіти України, м.Чернівці.

спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському державному університеті ім.іван Франка за адресою: 290602, м. Львів, вул. Університетська. І, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеиі Львівського державног університету ім. Івана Франка (290005, м. Львів, вул. Драгоианова, 5). ,

доктор фізнко-матсматичннх наук, професор ЛАВРЕНЮК СЕРГІЙ ПАВЛОВИЧ. Львівський державний університет ім. Івана Франка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь. '

Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена дослідженню якісних властивостей розв’язків лінійних еліптичних та параболічних систем рівнянь з частинними похідними.

Добре відомі глибокі результати в теорії еліптичних та параболічних рівнянь другого порядку з дійсними коефіцієнтами як лінійних, так і квазілінійних. При одержанні більшості з цих результатів істотно використовується принцип максимуму яля розв’язків таких рівнянь. Природне бажання, викликане як внутрішньою логікою математичних досліджень, так і практично необмеженими потребами застосувань, приводить до необхідності шукати методи, які дають змістовні результати і тоді, коли іринцип максимуму не справджується.

Основна частина роботи (розділ,і І - 3) - це подальший розвиток праць В.О. К н-фатьсва та С.Д.Ейдельмана, в яких на початку 70-х років запропоновано методи, що с стотними модифікаціями відомого для рівнянь другого порядку методу бар’єрів (суб- і ¡уперрозв’язків). .

Центральним фактом, установленим цим методом, є теорема про те, що додатні :лабкі розв'язки в області <7с К" лінійної системи N диференціальних рівнянь вигляду

1*11» •

і околі гладкого нехарактеристичного куска межі д<? області (7 мають властивість умовності. Додатність розв’язку и розуміється як належність множини Його значень до кіксованою гострого конуса з простору С*.

Оскільки рівномірно еліптичні системи не мають характеристичних многов'.щів, Та лЯ них сформульований вище результат перетворюється в теорему про сумовність одатних розв’язків _ довільній обмеженій області (7 з гладкою межею ¿0.

При доведенні теореми про сумовність природно виникає апріорна оцінка Ьі-орми додатних розв’язків вигляду

• \\и(х№хйС(С.Сх)\Ш<іх. а а,

е Сі - деяка область в К’, компактно вкладена в <?. Ця оцінка є одним з варіантів ак званої їй -нерівності Гарнака. Зауважимо, що приклад бігарманічної фуіікіі (х) = дг* +... + ХІ , хє Я", показує, що для розв’язків еліптичних рівнянь вищого

порядку класична нерівність Гарнака не має місця. З Li-нерівностей Гарнака виплива« інша змістовна інформація про додатні розв’язки еліптичних систем довільного порядку

Одержання такого роду інформації дня розв’язків загальних еліптичних систем і змістовною задачею сучасної теорії еліптичних систем.

Амяюгічна задача виникає при вивченні властивостей додатних розв’мкії параболічних за Пстровським систем в околі характеристичної гіперплощини {» - соп») У цьому випадку губиться, взагалі кажучи, властивість сумовності і навіть сумовмості 5 степеневою вагою додатних розв'язків. В.О.Кондратьсв а СД.Ейдельман вказалі спеціальну алгебраїчну умову, названу нимн умовою еволюційної квазіеліптичностї виконання якої гарантує збереження властивостей додатних розв'язків • параболічни систем, аналогічних властивостям розв'язків систем еліптичних. .

Виникає задача, яка розглядається в роботі, про встановлення оказани властивостей додатних розв'язків у випадку ширших класів параболічних систем.

При одержанні описаних результатів істотну роль відіграє апарат фундаменталі них матриць розв'язків с<р.м.р.) еліптичних і параболічних систем, спеціальним чино для таких задач пристосований.

Цей же апарат дозволяє в розділі 4 роботи провести достижения властивосте ро^'яіків деяких класів параболічних за Петровським систем довільних порядків по при великих часах (стійк/сгь за Ляпуновим розв'язків задачі Коші, теореми тиг Ліувілля, теореми про зв'язок між ф.м.р. параболічних систем і пучків відповідні еліптичних систем, поліноміально залежних від комплексного параметра). При цьо» істотно йикористовуються і узагальнюються методи СД.ЕАдельмана, роїроблені т для параболічних за Петровським систем першого порядку по /.

Зв'язок робити з науковими програмами, планами, темами. Дисертаи виконана в рамках держбюджети науково-дослідної роботи “Дослідження крайов задач та якісних властивостей розв'язків загальних диференціальних пссидодифсренціальних параболічних рівнянь" ( помар держресстрації 0193U033349 $ проекту Державного фонду фундаментальних досліджень “Дослідження корехто роів’язносл та властивостей розв'язків некласичних крайових задач для лінійних нелінійних рівнянь з частинними похідними" (№ !.4/305)

Мста І задачі дослідження. Метою робо і и е розвиток метсладослідження

з

ластивостей розв'язків (зокрема додатних) якомога шипших клас1 в еліптичних та араболічних систем. Безпосередніми задачами дослідження с:

одержання апріорних оцінок класичних розв'язків еліптичних і параболічних систем у вагових Ьі - нормах, застосування цих оцінок до вивчення додатних розв'язків; встановлення для слабких розв'язків загальних еліптичних систем Ьі - нерівностеП Гарнака, теорем про ріст та область додатності;

вивчення поведінки при великих часах класичних розв'язків загальних параболічних за Петровським систем.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі дістали юдальший розвиток ідеї та методи дослідження якісних властивостей розв’язків ліптичних і параболічних систем рівнянь з частинними похідними, розроблені в працях І.О.Кондратьєва та С.Д.Ейдельмана. Зокрема, в роботі вперше:

встановлені апріорні оцінки у вагових 1~і - нормах класичних розв’язків еліптичних та параболічних систем, спряжені до яких мають структуру Петровського і коефіцієнти яких належать до відповідних класів Діні; ці оцінки застосовуються до доведення таких властивостей додатних розв'язків: сумоЕності, 1-і - нерівностей Гарнака теорем про ріст (зростання і спадання у необмежених циліндричних і конічних областях); для слабких додатних розв’язків загальних еліптичних систем доведені теореми про Ьі - нерівності Гарнака Та про ріст; ■

введено нове поняття додатності ((#, /0 - додатність) розв'язків загальних еліптичних систем, яке враховує різнорідну структуру систем; знайдено умови, за якмх у кулі досить великого радіуса відсутні (#, /С)- додатні слабкі розв'язки таких систем;

■. виділено класи парабол'чних за Петровським систем аисоких порядків по і з сталими коефіцієнтами, для елементів матриць Гріна задачі Коші яких правильні оцінки в півпросторі {/>0} з оцінними функціями, що прямують до нуля при і-у+ао; для систем з виділених класів доведено теореми типу Ліувілля, про стійкість розв’язків задачі Коші, про зв'язок ф.м.р. аких систем з ф.м.р пучків відповідних еліптичних систем, які поліноміально залежать від комплексного піраметра.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний карактер. Результати та методика доведень можуть знайти застосування при дослідженні властивостей розв'язків лінійних еліпти іііих і параболічних систем

загальніше структури, а також нелінійних систем.

Особистий внесок здобувана. Всі результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних працях [1,8] С.Д.Ейдельману належить постановка задачі ті аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися тя обговорювались на: -

• міжнародних конференціях "Нелінійні диференціальні рівняння* ( Київ, 1995 р.), "Нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними’ (Київ, 1997р.);

■ наукових конференціях "Нові підходи до розв'язання оиференціальних рівнянь" (Дрогобич. 1994 р.. 1997 р.), "Нелінійні проблеми аналізу" (Івано-Франківськ, 1996р.), науковій конференції викладачів, співробітників та студентів, присвяченій |20-річчю заснування Чернівецького університету ( Чернівці, 1995 р.);

- винному засіданні сек. і математики Західного наукового центру НАН України в Прикарпатському державному університеті (Івано-Франківськ, 1993р.);

• наукових семінарах математичного факультету Чернівецького державного університет;

■і Чернівецького відділу Інституту прикладних проблем механіки та математики НАН України (керівник доктор фізихо-матсматичних наук, професор Івасишен СД 1994-1998 рр.);

• засіданні львівського міського семінару з диференціальних рівнянь (Льрів, 1998 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 7 статтях (у науковії журналах - 3, у збірниках наукових праць • І,- депоновано - 3) та 5 тезах науковк конференцій. Список цих праць подано в кінці автореферату.

Структура дисертації. Дисертація складається з вступу, переліку умови* позначень і скорочень, 4 розділів, додатку, виснов в, списку використаних джерел и містить 47 найменувань. Повний обсяг дисертації - 146 сторінок, з них 26 сторінс займає додаток, а 5 сторінок - список використаних джерел.

ЗМІСТ РОБОТИ

У «ступ! обгрунтовується актуальність теми дослідження, визначається мсі» дисертації, робиться огляд літератури за темою дисертації та описуються одержані результати.

Перелік умовних поэвачеяь І скорочень містить ті позначення і скорочення, що с іагальними для всієї дисертації. '

Перший розділ дисертаційної роботи носить в основному допоміжний характер і містить: означення еліптичних за Дуглісом-Ніреноергом та параболічних за

Іетровськнм систем; означения та необхідні далі властивості ф.м.р. указаних систем, исі містять лише групу старших членів і коефіцієнти яких залежать від параметра; (введення інтегральних тотожностей для класичних розв'язків еліптичних та іараболічних систем з спряженими системами структури Петровськсго. •

У підрозділі 1.3 подані деякі відомості з теорії конусів, наведено означення К~ вдатності та введено нове поняття (%, К) - додати ості вектор-функцій. Нехай К -нксований гострий конус з простору С*.

Означення. Вектор-функція и с додатною в області С відносно конуса К (АГ -одатною), якщо дня майже всіх х € С значення и(х) належать до коїсуса АС.

Нехай g = ^g^,...,gN)-дeяк& зядана в Є р"чтор-функція В значеннями з конуса у « Л* І у,> 0, І£/£Л’}.

Означення. Вектор-функція а «(і/,.....им) називається (?, АГ) - додатною в області

; якщо АГ-додатною и О с функція

“,(•*) - (*)), х є в.

Взагалі кажучи, поняття АГ - та (£, АО - додати ості різні.

Другий розділ дисертації присвячений встановленню оцінок у спеціальних вагових і- нормах класичних розв'язків еліптичних та параболічних систем, спряжені до яких іють структуру Петровського, а коефіцієнти належать до класів Діні. Вагами с степені цстаиі до межі області. При доведенні результатів використовується і розвивається гтодика В.О.Кондратьева та С Д.Ейдсльмліа. розроблена ними для еліптичних за лровським систем з рівними порядками і параболічних за Петровським сисіїм ршого порядку по / з коефіцієнтами з класу Діні.

Сформулюємо результати для еліптичного випадку. Нехай N.4.1- задані турельні, - цілі недодатні чиста. В обмеженій об лісп Ос й" з межею

8G єС' розглянемо систему рішіянь .

V

Z I(‘'’,,l«í(*)3l,,íW“/íW хєС . (І)

для якої правильні умови:

Аі. Система ріяномірно еліптична в С з сталою еліптичності 6.

Бі Похідні xeG, 0s|crjs-í(. |Л|55,+». lüi.jiN. обмежені числом Л.

неперервні і Тх модуль неперервності .

«M-max sup [3ía*(jr)-a^ef(y)¡. Ле(0.+»). ■

аЛл.і Счі-),‘<А

, „ Г"<Л).

задовольняє умову Діні ІГ(і) я < -ко.

о ^

Нехай р(х) - відстань від точки хеG до dG; />(*.£)•*ппп(р(х1р(£)). . (і.{)сС; е = - Л'-вимірний вектор; j>(t,.........jK). Означимо такі норми і п.внорки:

U'Mrj, ВХ Z >/ мdx,

<*l eí'; с

</;<?>,„ »£ £ j І, у, (О - ¿“.i Ц* - ії’тріх.т1“"'

f\,a"irtCG *

ae а = (я- ..., as), .. . .....rN..., \f{z) = z , Oí r S 1. А/(г) = I. z > I.

Теорема 2.1. Нехай система (І) задовольняє умови Аі і В», а и-її класичний розв'язок в області G. Якщо для деякого q € R норми

.кінченій. то скінченною с норма * правияьн.- оцінка .

Гут і далі через С позначаються додатні сталі, які залежать від заданих в умовах їли их А/, я. /. s, 6, Л, W' і не залежать від розв'язку u та правих частин /.

Важлива у гідродинаміці стаціонарна лінеарізована система рівнянь Наа’с-Стокса

Í Au(Jt) - grad р(х) ° fix), х е R,

{ dtv «(x) «=> 0,

не належить до класу систем (І), вона мас структуру систем Дугліса-Ніренберга. Проте для неї в пункті 2.1.4 також встановлені Li- оцінки класичних розв'язків. Це вдасться зробити завдяки тому, що ф.м.р. знайдено в явному вигляді.

Третій розділ присвячений встановленню якісних властивостей додатних слабких розв'язків загальних еліптичних систем, додатних класичних розв'язків еліптичних систем

(І) та параболічних за Петровським систем. Точніше, розглядаються розв'язки и, в яких вагові Li-норми від'ємних (відносно конуса К) компонент и- скінченні. Наведемо деякі

з властивостей. Перша з них - сумсвність додатних класичних розв'язків системи (І) в (7.

Теорема 3.2. Нехай и- класичний розв'язок в G системи (І), яка задовольняє умови Аі і Бі. Якщо для деякого q £ 0 скінченні норми

ML- •

то скінченними е норми ¡и;С50лс та і правильні оцінки

деСі- область, компактно вкладена в G.

Наступна властивість - Li - нерівності Гарнгка.

Теорема 3.8. Нехай сиситема (1) задовольняє умови Аі та Бі, а «-її класичний в 0 розв'язок, причому норми |и-;Ст|, j/;C|_j0, • (/;G)_j0 скінченні. Таді

frG| 5 с( 1И;Ял^)1 + |и-;с[ + |/;СЦ0 +(/;G). J , .

де />*()■) ={xeR" І Іх-^.<Л } -довільна куля з G.

Є інші варіанти нерівностей Гдрнака, в яких норма розп'язку по кулі Вк ) оцінюється нормою по кулі меншого радіуса 3^ (у) або нормою по будь-якій іншій

кулі з області G.

Зростання та спадання розв'язків вивчається ч необмежених циліндричних та конічних областях. Виявляється, що в циліндрі розв'яжи зростають і спадають не швидше експоненти. В конусі поведінка. розв'язків описується степеневою функцією, причому важливою с додаткова умова на степеневий рісг коефіцієнтів системи. Сформулюємо теореми про зростання і спадання в необмеженому циліндрі

U ш |л є Л"|о < Jt| < -ко, xf+...+■ дг* < KJJ , Я>0; U, я СУ П{х, < г}, 2>0.

Теорема 3. і 3. Якщо и - класнчний розв'язок и І/ системи (і >, яка задовольняє умови А» : Бі в І/, і для деякого а>0 правильні оцінки

|.Г;(фСгв. {/^).1і05Ов, *>0.

то існують сталі С'їХ) і оі>о такі, що |и;(/2| £ }и; "»І.»* ’ >0.

Теорема 3.14. Нехай и -додатний класнчний в V розв'язок однорідної (/ =0) системи ( І ), яка задовольняє умови Лі і Бі п (/. Тоді існує число и^О таке, що

^.и,\иг^кМіУт’ *>!•

Порял і системами (1) розглядаються загальні еліптичні системи

N ,

X '^(~\)І^,(а'Цх)у^х)ї-/І(х). І ты. хєв. (2)

у-І к чІ*і,

всі коефіціснін яких вечірні, обмежені, а коефіцієнти а У, \H.JiN,

неперервні в С. Один з варіантів Ьі - нерівностей Гарнака для слабких розв'язків таких

систем мас вигляд

і“-«!,,-

де **■ тах(л....лл,}. ВдО) - довільна куля з 0. Зростання і спадання слабких додатних розв'язків системи (2) вивчається не » усьому циліндрі чи конус?, а відступивши від межі.

V підрозділі 3.4 доведена теорема про область .А") - додатності слабких розв'язків системи (2) з £ ■ (£|,...,£л) • а (х)« <1 - ¡*|'' Я* . х€ВК»ВК{ 0). \SiHN. НехаЛ

Теорема 3.17. іісхай системи (2), задана в И\ задовольняє умови:

А». Коефіцієнти системи дійсні, вимірні, обмежені.

Бд. Існує конус А’і, який компактно вкладений у внутрішність конуса

А*«( І УлбК:(£х)2 0), та існує вектор й««Яч\{0| такі, шо для будь-яких

(сг.ц) € й"*1, \о\г+&=\, і будь-якого хеіГ вектори Щх-.о^лЬ належать до конуса

N

_І . 1 ( А/ . 1

А-!, де в(г,а.р) І

♦*/

. Функції /(, 1 Ш.У. визначені і локально ітегровні в В*.

Тоді існує стала Ло>0 така, шо будь-який І к. А')-додатний в В„ при деякому Я>Яо

слабкий розв'язок системи (2) (з правою частиною/. для якої для майже всіх

* *вл E/WM» —[xj /Я2)" £ 0 ) майже схрізь в В„ дорівнює нулеві, і-і

Теорема дас достатні умови відсутності слабких (g.K)- додатних розв’язків системи

(2) у кулі великого радіуса. Деякі необхідні умови наводяться для однорідної (/=0) системи (2) > сталими коефіціснтами.

У підрозділі 3.5 доведено сумог„:сть та Li - нерівності Гарнака для додатних класичних розв'язків тих параболічних за Пегровським систем з коефіцієнта"а з класу Діні. які задовольняють так звані умови еволюційної ква. еліптичності.

Четвертий розділ присвячений вивченню поведінки при великих значеннях часової змінної і класичних розв'язків параболічних за Петровським систем з сталими коефіціснтами

N N ї ї

(!,*)-]Г £ и,(і,х)* f,(t,x) .

y-1 y-12M,«-U і2Ьн,

• (/,дг> « В.**' * ( 0; +«)* R" . (3)

При цьому важливе значення мають Лі- та Лг оцінки матриць Гріна задачі Коші для системи (3), тобто оцінки я R.**' з оцінними функціями, які при t —► +оо прямують до нуля.

ХЬнаашм. - Матриця Гріна G • (G^.C,...........G*). G0 - , G, ■» (G,f,)'¿"J.x .

isys.V. задачі Коші для системи (3) задовольняє умову Л/ ( / = ІД), якщо для будь-якого ¿об Nvj(O). будь-якого мультиіндекса к і всіх |М)« Ч***1, 1 MiJiN,

правильні оцінки

G'fu.x)і«;

де о-додатна неспадна функція. crt0)=0, р$ та p'f - деякі кусково-сталі функції;

Еі(г.х) * ехр{-<\tf і'1} . £¡(r,x) a expl-cixj4 z'v - 4zU). q albl(2b-\)\ С,с, 7 - додатні сталі.

У підрозділі 4.1 виді ієно такі класи систем :

1. ІІііріїоолічмі системи (3), які місиш» .лише групу старших у параболічному розумінні членів, тобто системи /,0(», ,^<)и = 0 . Тоді пиконусться умова Аі.

П.Ддя деяких систем полкаюричнам) тінпу ( г е ()

Цс, - £ ак <?* )"л(т.аг)=,/(і.х), (*,х) єН. - 1 .

2г<1й2Ь

ЯКІ ІМІПИТІ. і МОЛОДШІ ЧЛСІШ, ВИКОІПСГкСИ \у*(Ова А|.

Ш.Ухюаа Лз виконується для параиолінішх систем (3), дпа яких дійсні частини X-корснів рівняння

іІеі

1

о

мс дсріьглюгь нулеві для всіх стє К\

У підрозділі 4.2 описано новий спосіб їлобудови ф.м.р. поліноміального пучка

(відносно параметра ц є С) еліптичних систем за допомогою ф.м.р. відповідних

/

параболічних систем, якщо останні >шло.'_ги, до виділених класів. А саме, ф.м.р. Е еліптичної система Г(|{/;,<?х)и = 0 при [іер^І) задасться формулою

Е{х) = |е"^'Г<Са;)Л , а є К\ 0

(4)

де Г - ф.м.р. відповідної параболічної снсхеми. Формулою (4) задасться також ф.м.р. еліптичної системи *

N .

]ГРу (ц,дх)и} -0^ \<.і <,4 ,

І' І

ярі. Ксц> - г], якщо відповідна параболічна система (3) належить до класу III. В усіх випадках одержані о ціню і для-похідних від елементів пооудованої матриц' £.

і’ пункті 4.3.1 вивчається пкганкя стійкості нульового розв'язку параболічної системи (3) з /=0. Очевидно, що для систем високого порядку по / при довільних печгджОіЯіх умовах стійкості немас. Со розв'язками с многочлени по г, які при і-»+оо необмежено зростають. У роботі виділено клас початкових умов, при яких е стійкість • розд'хіку задачі Коші для системи з класу І. При п, *=...■* пц = т вказаний клас оочатха&нх функцій складається з тих функцій <р для яких рівняння

А І£/і£т, мають розп'яло« іу*1. для яких скінченії:* нирчаїіі

Мг-0„м.

к

р^В <ІХ ! . р<<п.

Є555гр«=М'1. /7’=«\

«г

Нхіслстсть оістоін до класу ПІ гзрпптус“ лсимптотнчиу сіійкісп». нульового’ рози’ятху в»

)ООІіу КЛ2СІ СЛИіЮСГЇ.

У пункті 4.3.2 довезено теореми: ткпу Лїуиілпя, тобто твердження. про віпничешія вкгяжзу футощій іа їх асимптотичною пізедінкоіо. З них, зокрема, в:;пливас таюііїї фазгп;. Якою ДЛЯ ПЗра6оЛ5ЧІ!оТ системи (3) Енконустьсл умова Л| І ВСІ ПОГІДНІ1 ТО Є НІЛ! компонент и, до порчдху п - 1 , об-чежолі, то кожна функція ц,, є. стадсш. Яічіляї

а сіїстгкз належить до класу Ш, а погідні с*о, , 0 5 ¿і 2 я, - 1 , 1 $і.< N г ростуть, не швидше експоненти. то розв'язок нульогий.

У додатку розглядається параболічне рівняння другого порядку т оператором! Бесгеля і зростаючими коефіцієнтами. Дія тдкегй рівняння чи ай ден о а ¡гзному вигляді; ф\НДзиснталі.ні!Іі розв'язок. досліджено властивості породжених ни* інтегралі» Пуассомз віл функцій із спеціальних вагопия І_р - просторів і просторі» узагальнення; боретьсаих мір. На оснозі цих властивостей встановлена коректна розз'язніста- задаяіі Кооп з початковими даними з указаних просторів, знайдені необхідні' і достатні умспн зображення роіз'шкіа з інтегральній формі.

Відомі в теорії еліптичних і параболічних систем рівнянь з частинними похідними ідеї та методи дослідження укісних властивостей розв’язків поширені на значно шярел, ніж досі були розглянуті, класи систем рівнянь. При цьому одержані такі результати;

параболічних систем, спряжені до яких мають структуру Петровського і коефіцієнти

ВИСНОВКИ

- встановлені спеціальні апріорні Іл - оцінки класичних розв'язків еліптичних та

яких належать до відповідних класів Діні; за допомогою цих оцінок доведені теореми про сумовність, І*і- нерівності Гарнака, про зростання і спадання у деяких необмежених областях, (коротко: про ріст) додатних розв’язків;

• доведені теореми про Ьі - нерівності Гарнака і ріст слабких додатних розв’язків загальних еліптичних 'систем;

- для загальних еліптичних систем введено поняття (¿.X) - додатності роза’язків І знайдено умови, за яких у кулі досить великого радіуса відсутні (?Ж) - додатні слабкі розв'язки;

- виділені класи параболічних за Петровським систем високих порядків 'по часовій змінній / із сталами *о;фщіснтами. для елементів матриць Гріна задачі Коші яких правильні оцінки в півпросторі {/>0} з оцінними функціями, що прямують до нуля при і-* + оо; для систем з таких класів доведені теореми типу Ліувілля, про стійкість розв'язків задачі Коші, про зв’язок ф-м.р. таких систем з ф-м.р. пучк' відповідних еліш .чних систем;

- охарактеризовані деякі класи розв’язків одного параболічного рівняння другого порядку, яке містить оператор Бесселя і мас необмежені на нескінченності

коефіцієнті:. .

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ *

1.Ивасишин Л.М., Эйдельман С.Д. Об области положительности решений общих эллиптических систем // Доп. АН України. - 1994. - №8. - С. 13-15.

2. Івасишнн Л.М. Дослідження якісних властивостей розв’язків параболічних систем високого порядку по часовій змінній у пінпросторі К*1*1 //Доп. НАН України. -1998. *№ 1. - С. 17-23.

3. Івасишнн Л.М. Властивості класичних розв’язків еліптичної за Дуглісом-Ніренбергом системи і/ спряженою системою структури Пстровського II Доп. НАН України.

1998. - №4. - С. 21-26.

4 Іьасишин Л.М. Про властивості класичних розв'язків одного класу загальних

еліптичних систем рівнянь // Волинський мат. вісник. Вип. 2. - Рівне, 1995. • С. 79-81.

5. Ивасишин Л.М. Интегральное представление и множества начальных значений решений параболических уравнений с оператором Бесселя и растущими коэффициентами // ЧіГрноьии. ун-т. • Черновцы, 1992. - 62 с. * Деп. в УкрИНТЭИ 26.10 92, Ні 1731 -Ук9?

6. Івасишин Л.М Li- оцінки класичних розв'язків одного класу еліптичних за Дуглісом-Ніренбергом систем // Ін-т прикл. проблем механіки і математики НАН України. •

Львів, 1995. - 38 с. - Дел. в ДНТБ України 9.01.96, N» 229-Ук96.

’ /

7. Івасишин Л.М. Апріорні Li- оцінки розв’язків параболічних систем вищого порядку по часу // Ін-т прикл. проблем механіки і математики НАН України. - Львів, 1996. -

22 с. - Деп. в ДНТБ України 14.10.96, №І893-Ук96. а Івасишин Л.М., Ейдельман С.Д. Властивості додатних слабких розв’язків еліптичних систем // Всеукраїнська наук. конф. “Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь“ (25-27 січня 1994р., мДрогобич): Тези доп. • К.: Ін-т математики АН України, 1994. - С. 58.

. Івасишин Л.М. Властивості класичних ролі’яіків лінеаризованої стаціонарної системи рівнянь Нав'с-Стокса // Матеріали наук. конф. викладачів, співробітників та студентів, присвяченої 120-річчю заснування Чернівецького університету (4-6 травня 1995 р.).

Т.Х Фізи:<о-математичні науки. - Чернівці: Рута, 1995. • С. 90.

О.Івасишин Л.М. Li-оцінки класичних розв'язків параболічних систем вищого порядку по часу // Наук. конф. “Нелінійні проблеми аналізу” ( 24-27 вересня 1996 р., м.Івано-Франківськ): Тези доп. - Івано-Франківськ, 1996. - С. 37.

î.Ivasyshyn L.M. Asymptotic (as f-юс) propertics of solutions of parabolic systems of arbitrary order with respect to time variable // International Conf. “NonMnear DifTerential Fquations" (Kiev, August 26-30, 1997): Book оГ Abstracts. - Donetsk, 1997. - P. 80-81. Івасишин Л.М. Оцінки матриць Гріна задачі Коші для загальних параболічних за Петровським систем у півпросторі R."*1 та їх застосування II Всеукраїнська наук, конф. “Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь“ (15-19 вересня 1997 р., мДрогобич): Тези доп. - Київ, 1997. • С. 50.

АНОТАЦІЇ

Івасишин Л.М. Властивості' розв’язків еліптичних та параболічних систем: еумовність, нерівності Гарнака. поведінка при великих часах. - Рукопис. ■

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01 02- диференціальні рівняння. - Львівський державний університет ім. Івана Франка, Львів, 1998.

Дисертація присвячена вивченню якісних властивостей розв'язків досить широких класів загальних еліптичних та параболічних систем рівнянь з частинними похідними. Для додатних класичних розв’язків еліптичних і параболічних систем із спряженими

системами структури Петровського та коефіцієнтами з класів Діні встановлені спеціальні Li- оцінки, доведені теореми про сумовність, нерівності Гарнака, про ріст. Теореми про нерівності Гарнакг, про ріст та про область додати ості встановлені для слабких розв’язків загальних еліптичних систем. У роботі виділено деякі класи загальних параболічних за Псгровським систем і вивчено асимптотичні (при і -ко ) лластивості розв’язків таких систем: теореми типу Ліувілля, про стійкість, про зв'язок фундаментальних матриць розв'язків параболічних і відповідних еліптичних систем.

Ключові слова: еліптичні і параболічні системи, фундаментальні матриці розв’язків, додатні розв’язки, Li-оцінки, сумовність, нерівності Гарнака.

Ивасишин Л.М. Свойства решений эллиптических и параболических систем: сумммируемость, неравенства Харнака, поведение при больших временах. • Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02* дифференциальные уравнения. • Львовский государственный университет им. Ивана Франка, Львов, 1998.

Диссертация посвящена изучению качественных свойств решений достаточно широких классов общих эллиптических и параболических систем уравнений с частными производными. Для положительных классических решений эллиптических и параболических систем с сопряженными системами структуры Петровского и 'коэффициентами из классов Дини установлены специальные Li- оценки, доказаны теоремы о суммируемости, неравенства Харнака, о росте. Теоремы о неравенствах Харнака, о росте и об области положительности установлены для слабых решений общих эллиптических систем. В работе выделены некоторые классы общих параболически? по Петровскому систем и изучены асимптотические (при I -юо ) свойства решений таких систем: теоремы типа Лиувилля, об устойчивости, о связи Фундаментальных матриц решений параболических и соответствующих эллиптических систем.

Ключевые слова: эллиптические и параболические системы, фундаментальны^ матрицы решений, положительные решения, Li. оценки, суммируемость, неравенства Хярнакз. '

Ivasyshyn L M. Solutions properties of the elliptic and parabolic systems: summability, H&mk’s ¡¿equalities, behaviwf under large time. - Manuscript.

IS

Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.01.02 - differential equations. - Lviv State University, Lviv, 1998.

The dissertation is devoted to studing the qualitative properties for solutions of rather wide classes of general elliptic ind parabolic systems of partial differential equations. For classic positive solutions of elliptic and parabolic systems with adjoint systems , of Petrovsky structure and Dini classes coefficients we established spécial Li - estimates and proved the theorems about stimmability, Hamak’s inequalities, about a growth. The theorems about Hamak's inequalities, about a growth and about the domains of positivity are established for the weak solutions of general elliptic systems. It was selected some classes of general parabolic by Petrovsky systems and studied asvmptotic ( as i -*» ) properties of solutions of such systems: Liouville theorems, theorems about the stability and about the connection of fundamental matrices of solutions of parabolic and corresponding elliptic systems.

Key words: dliptic and parabolic systems, fundamental matrices of solutions, positive solutions, Li * estimates, summability, Hamak’s inequalities.