Спектральная теория некоторых классов несамосопряженных дифференциальных операторов с почти-периодическими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

од

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

"СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ"

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Симбирский Михаил Николаевич

ХАРЬКОВ 1993

Работа выполнена в Физико-техническом институте низких температур АН Украины, г.Харьков

Научный руководитель

ТКАЧЕНКО Вадим Александрович,... доктор физ.-мат. наук, профессор;

Официальные оппоненты:

БОРОК Валентина Михайловна, доктор физ.-мат. наук профессор;

ХРАБУСТОВСКШ Владимир Иванович, кандидат физ. -мат. наук, доцект.

Ведущая организация - Одесский электротехнический институт связи им. А. С. Попова.

4 июкЯ

Зааита_диссертации•состоится " " ¿нцелк 1998 года в /) ' ^ часов на заседании Специализированного Совета К 053.06.02 при Харьковском государственном университете С 310077, Харьков, пл. Свободы, 4 , ауд. 6-48 ).

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научно! библиотеке ХГУ. _

50

Автореферат разослан " марта 1993 года.

Ученый секретарь 7-у/// _ А. С. Сохи::

Специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время активно изучаются самосопряженные дифференциальные операторы СДО) с почти-периодическими Сп.-п.) коэффициентами (см., например, монографии Л.А.Пас-тура и А. Л. Фиготина*). Несмотря на заметный прогресс, спектральная теория таких операторов далека от завершения. Еще менее изучены спектральные свойства несамосопряженных ДО с п. -п. коэффициентами. До последнего времени не была известна структура спектра даже для ДО второго порядка с периодическим комплекснозначным коэффициентом**.

Тем не менее в начале 80-х годов в работах М. Г. Гасымова*** и П. Сарнака**** был обнаружен класс ДО с комплекснозначными периодическими и даже квазипериодическими коэффициентами, для которых удается описать их спектр и построить обобщенные собственные функции. Отличительной чертой таких операторов является то, что их коэффициенты представляют собой функции, имеющие лишь положительные показатели Фурье. Так, для оператора Штурма-Лиувилля

Ну] = -у" + ' (1)

с периодическим потенциалом дСх), имеющим лишь положительные показатели Фурье, М. Г'. Гасымов построил решения Флоке е(х,\) уравне-

Л. А.Пастур, А. Л. Фиготин, Случайные и почти-периодические самосопряженные операторы. Общие спектральные свойства и распределение собственных значений. М: "Наука", 1991,- 336 с.

** Ткаченко В.А., Спектральный анализ несамосопряженного оператора Хилла//Док1г. ДН СССР т. 322, N2, J 992.

*** Гасымов М.Г. , Спектральный анализ одного класса обыкновенных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. //Докл. АН СССР, 1980, т. 252, N2, с. 277-280.

**** Sarnak Р., Spectral behavior of quasi periodic potentials, Commun.- Math. Phys. 1982, v. 84, pp 347-401.

шш 1Ду] = Х^у. Оказалось, что функция еСхД) аналитична по пара-мэтру X. и, как функция от X, имеет простые полюсы в отрицательных полуцелых точках. С помощью вычетов функции еСхД) в этих точках М.Г.Гасымов определил нормировочные числа гп, пеШ, выяснил их спектральный смысл и поставил задачу восстановления потенциала ц по ним. Возникшая здесь обратная задача спектрального анализа была им решена в предположении малости последовательности <бп>. В последующих работах учеников М. Г.Гасымова эти результаты были перенесены на некоторые ДО с п.-п. коэффициентами, имеющими лишь положительные показатели Фурье.

Принципиальным моментом в исследовании указанного класса операторов оставалось предположение о дискретности множества показателей Фурье коэффициентов оператора. Это делает актуальной задачу об обобщении результатов М.Г.Гасымова на случай, когда показатели Фурье п.-п. коэффициентов ДО расположены произвольным образом Снапример, всюду плотно) на положительной полуоси.

Далее, Л. А. Пастур и В.А.Ткаченко*, назвав построенные М. Г.Гасымовым нормировочные числа набором спектральных данных оператора С13, дали следующий критерий того, чтобы заданная последовательность <зп>п€^ являлась таковым набором для оператора С13 с периодическим потенциалом ?(х), имеющим лишь положительные показатели Фурье: для того, чтобы коэффициенты Фурье функции дСх) лежали в I1 С или в I2 ), необходимо и достаточно, чтобы последовательность <п5Г1>7г£^ лежала в (соответственно, в А, а построенный по числам специальный определитель

ОСг) не обращался в нуль в замкнутой верхней полуплоскости. Этот результат указывает на определенное соответствие между аналитическими свойствами коэффициентов Фурье функции <?СхЗ и последовательности Отсюда возникает и другая задача - описать аналитические свойства коэффициентов ДО указанного общего вида в терминах его спектральных данных.

к Пастур Л. А.,Ткаченко В. А. К спектральной теории операторов Шредингера с периодическими комплекснозначными потенциалами. //Функц. анализ и его прил.-1988, т. 22, вып. 2,85-86.

Обе эти задачи решаются в данной диссертационной работе.

Целью диссертационной работа является:

1. Построение обобщенных собственных функций и спектральных данных для дифференциальных операторов с почти-периодическими коэффициентами, имеющими лишь положительные показатели Фурье.

2. Решение обратной задачи спектрального анализа по таким данным и описание соответствия между аналитическими свойствами коэффициентов ДО указанного вида и его спектральными данными.

3. Исследование задачи Коши для уравнения Кортевега - де Фриза с п.-п.. начальным условием, имеющим лишь положительные показатели Фурье.

Обаая методика работы. В диссертации используются методы спектральной теории дифференциальных операторов, теории интегральных уравнений, теории банаховых алгебр.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Построены обобщенные собственные функции операторов Штур-ма-Лиувилля, Дирака и одномерного дифференциального оператора произвольного порядка с я. -п. коэффициентами, ймеввдош лишь пояоги-телыше показатели Фурье.

2. Описаны спектры таких операторов и определены их наборы спектральных данных.

3. Найдены критерии того, что заданное множество является набором спектральных данных какого-либо из указанных операторов

4. Указана связь между аналитическими свойствами коэффициентов указанных операторов и свойствами наборов спектральных данных; доказано, что соответствие "коэффициенты оператора" - "набор спектральних данных" является взаимно однозначным и взаимно непрерывны;«! в.специальных банаховых пространствах.

3. Исследована задача Коши для уравнения Кортевега. - де Фриза с п.-п. начальным условием, имеющим лишь положительные показатели Фурье, Получены достаточные условия, при которых решение этой задачи продолжается на век ось времени и остается п. -п. функцией с положительными показателями Фурьэ.

Теоретическая и практическая ценность результатов.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть

использованы в спектральной теории несамосопряженных операторов с п. -п. коэффициентами. Методика работы может быть полезна при исследовании других классов ДО, например, ДО с коэффициентами, имеющими строго положительный спектр Карлемана.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинаре по спектральной теории линейных операторов под руководством Л.А.Ластура (ФТИНТ, г.Харьков), семинаре по спектральному анализу под руководством А.Г.Костюченко СМГУ, г.Москва), семинаре по спектральной теории операторов Шредингера под руководством X.Фурстенберга СИерусалимский университет, Израиль), XXII конференции молодых ученых ФТИНТ АН Украины С1991).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Общий объем работы составляет 109 страниц машинописного текста. Список литературы содержит 30 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы, дан краткий обзор известных до настоящего времени результатов, описаны структура диссертации и ее основные результаты, введены основные определения и обозначения.

Центральную роль в работе играют специальные банаховы алгебры п.-п. функций, которые определяются следующим образом. Пусть заданы произвольное замкнутое по сложению счетное подмножество положительных чисел М = <-АаУп^ и субмультипликативная функция р: Н—*11, +оо), называемая весом. Обозначим АРСЮ банахову алгебру п.-п. функций, показатели Фурье которых лежат в М, а коэффициенты суммируемы с весом р:

А<КЮ - {/: /Сх) - ^ /п-ехрС1Дпх); тА = ^ |/п|р(Лп) < *}

Важной характеристикой:веса р и алгебры АРСЮ является скорость роста функции рСД) при Л —» +оо. Введем такие характеристики веса р:

с;е.Г 1п рСЛЗ 1п рСЛЗ - т)А

77 = 1.1ш -т-; ц ~ 1дш ---С 23

Д"-»+га л д->+со 1п Л

Все элементы банаховой алгебры АР(.Ю аналитичны в полуплоскости П^ = 1т 2, > —т)> и непрерывны в ее замыкании. Для всякой функции / из алгебры АР(Ю не менее чем Сц-0] производных представимы па прямой <г: 1и г = -77} ряда™ Фурье, коэффициенты которых лежат в В терминах веса р можно выразить и ряд других аналитических свойстз функций из алгебры АР(Ю.

Для дальнейшего изложения удобно переупорядочить множество натуральных чисел, полагая а-п, если

В первой главе подробно изучен оператор Штурма-Лиувилля (1) с п.-п. по Безиковичу потенциалом дСх), показатели Фурье которого лежат во множестве М:

дСх3~п!гАехрал^ С3)

Пусть характеристика ц веса р (см. (13) не меньше единицы. Определим банахово пространство последовательностей с нормой

^^ = гЬ '^пР^г? * ( ЕбШ1Ла^12 ]1/г .

и банахово пространство СрСЮ п.-п. функций вида С33, у которых их вторая первообразная существует, является п. -п. функцией и ле-гит в алгебре Ар(.Ю. Это означает, что конечна норма

йеГ - 12") 1/2

р

Теорема 1.1. Уравнение ¿.[у] = X у с потенциалом оСх] класса ОР(.Ю имеет решение Вида

еСх,\) =ехрС1Хх}[1 + ¡Г -\— Г <рп ехрСьЛл )1

пеШ 11,а а >

3 которой числа <рп а>п удовлетворяет неравенству:

< со

При любом положительном Хд равномерно по х существует предел по некасательному к оси X направлению

z-lim е(х,-ХКХ-Хп/2) =

x-»v2

О , х0 € м

eRCx), Xq = Лп , пеШ

р

Функция е^Сх) является решением уравнения Ну] = X У при Х=Лп/2, линейно зависимым с е(х,Ла/2). Поэтому существуют комплексные числа гп, пеШ , такие, что едСхЗ = 5ае(х,Лп/2). В случае периодического потенциала д(х) числа зп лишь множителем 1/2 отличаются от нормировочных чисел, введенных М. Г. Гасымовым. Эти числа названы набором спектральных данных оператора С1) с потенциалом с?(х). Спектр оператора совпадает с множеством [0,+а0. На спектре имеется некоторое множество спектральных особенностей*, расположенных в замыкании тех точек СЛп-^2)а, где

Основной результат первой главы и вместе с тем ключевой результат всей работы заключен в следующей теореме.

Теорема 1.2. Аля того, чтобы множество <5П>П6^ было наборам спектральных данных оператора (1) с потенциалом (?СхЗ из класса ОР(.Ю, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:

1) последовательность принадлежит, пространству БраЮ;

113 бесконечный определитель

0С2;<5г1>3 = беЩ + ^^ ехр ( * ^ ¿г] ||® к=1

является обратимым элементам алгебры А&СЮ.

При зюм оператор I однозначно определяется своим наборов

* по поводу этого понятия см., например Павлов Б.С., Спектральный анализ диссипатйвного сингулярного оператора Шредингера i терминах функциональной модели. "Итоги науки и техники. СПМ. Фундаментальные направления." Т. 63, М.: ВИНИТИ, 1991.

спектральных данных.

Будем говорить, что множество Н обладает, положительный базисом, если существуют положительные числа со^, о^.....такие, что

всякий элемент из М однозначно представим в виде линейной комбинации этих чисел с неотрицательными целыми коэффициентами.

Теорема 1.3. Пусть множество И обладает положительный базисом. И пусть вес р таков, что первое выражение из (2) имеет не нижний, а точный, предел.

Аля того, чтобы множество {зп>Г1€^ было набором спектральных данных оператора С 1.2.1) с потенциалом дСх) из класса йР(.Ю, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:

I) последовательность <згг>П€^ принадлежит, пространству БРС Ю;

II) бесконечный определитель ОСг;^^), определенный в теореме 1.2, отделен от нуля в полуплоскости П = < г: 1ш г > -ц >, т.е.

1ПГ \й(г-Лзп>пё£\ > 0. г: 1т>~г)

При этом оператор Ь однозначно определяется своим набором спектральных данных.

Эта теорема содержит результат Л. А. Пастура и В. А. Ткаченко, цитированный выше. Чтобы убедиться в этом, нужно взять множество натуральных чисел в качестве множества Н и вес р равным 1+Л2 для случая {(?гг>е11 и, соответственно, равным 1+Л для случая Взяв в данном случае вес р равным 1+Лу+2, мы получим, что в теореме Л. А. Пастура и В.А.Ткаченко пространство 1г можно заменить' дискретным соболевским пространством ш*.

Во второй главе результаты из первой главы переносятся на

одномерный оператор Дирака Г = В + (2(х), В= [о-?]. хеС-оо.оо), в котором 2x2 матрица-функция СКх) имеет вид

£Кх) ~ Оп ехрС 1Лях) С4)

и удовлетворяет условиям

ШСх) + бСх)В=0 ; ^ И^ИЛд -рСЛп) + И^И2)1'2 <00 С 5)

С |'| • || обозначает евклидову норму 2x2 матриц).

Теорема 2.1. Уравнение ТУ = \У с потенциалом £Кх) вида (4)-

СЗ) имеет решения вида

е+СхЛ)=екр^{е ^ ехрС^х)] [£)

е_СхД)=еХРС-ах)(Е ^ 1п,аеХРС1Ла,))0

где Е обозначает, единичную шприцу, а шприцы <§п а>п удов-

летворяют. неравенству

п!н t а&п + < <°

Существуют пределы по некасательному к вещественной Х-оси направлению

е+СхЛ)СХ+Лп/2) = ^СхЗ; е_СхД)СХ-Лп/23 £ /п(хЭ

При этом функции /пСх) и ^пСх) оказываются решениями уравнения ТУ = \У соответственно при Х=Ла/2 и Х=-Лп/2, но уже линейно зависимыми с е^Сх, Дп/2) и е.Сх.-Л^/г). Поэтому для всех пеИ существуют числа з* и такие, что

]г(.х) = е+Чх,кп/г 8п(х) = г" е_Сх,-Лп/2 ).

Множество пар чисел { г*, э" >Г16^ назовем набором спектральных данных оператора Т.

Теорема 2.2. Аля того, чтобы множество пар чисел С б*, Зп ^пеДО бшо нпб°Р°и спектральных данных оператора Т с потенциалом сгсх) вида С43-С5) необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующе условия: 1) последовательности. принадлежат, пространству 5РСЮ;

Ш бесконечный определитель

Кг) н йе1||йп>к * Ч>М»г)1п"н

является обратимым элементом банаховой алгебры АРСЮ.

При этом потенциал ЙСхЭ однозначно восстанавливается по на-

бору спектральных данных.

В третьей главе изучается одномерный дифференциальный оператор Н, порожденный в пространстве Ь2(Ю дифференциальным выраже-

_ г т-ч 171—с. Г VI

нием Му] = + £ р СхЗу^' Сх). Характеристика и веса р Сем.'

у-0 '

(2)3 предполагается не меньшей числа т-1. Функции р^Сх) являются п.-п. по Безиковичу, а соответствующие ряды Фурье

р%.СхЗ ~ ^ р^ ехр( 1ЛахЗ , у=0, 1,... т-2 С 63

> .па удовлетворяют условиям:

^ |руп|-лг%сла) < с», у-~о,и...т-г т

^ \РуП!&~тг\г < г=ОЛ....пгг. С 83

Обозначим через с^ корни т-ой степени из единицы, отличные от единицы: со ^ = ехрСг^/тЗ, j =1, т-1.

Теорема 3.1. Пусть п.-п. коэффициенты р^Сх) вида С63 удовлетворяют. условиям С73-С83. Тогда спектральное уравнение Ну = \™у имеет решение вида

[т-1 , Л„ л-1

1+ Л Г%] ^.JeXp(lV)j (9)

в котором коэффициенты <рПа j> удовлетворяют неравенствам.

$ ,1» -к <■

т-1 г ? , Лг

дй Г Д I ' 1 < 00

Проведем в Х-плоскости луч I?. из начала координат через точку -1Д1-(^3. Решение е(х,Х) является аналитической функцией от X, вообще говоря, лишь вне лучей Я у j=l ,т-1. Однако при всех j=1,т-1 равномерно по х существует предел

Ап ■ Г 0 ' Х0 « « ¿-Пи еСхДК-Х - £ 4

А.- ^ I еМСх3- = Лп. гит

когда 1 стремится к -^/(Х-ь^) по некасательному к лучу ^ направлению. Функция еп ^ СхЗ является решением уравнения Ну = ,\',гу при Х.=-Лп/С1-и^), но ухе линейно зависимым с е(х, -(^ЛГ/(1~о^З 3.

Поэтому существуют комплексные числа б ( ,пей,j =1,т-1, такие что

'«

еп,]Сх3 еСх' т/С1-(^Э з..

Назовем множество этих чисел набором, спектральных данных оператора И.

Основной результат главы содержится в следующей теореме: Теорема 3.2. Аля того, чтобы множество 6ы"

ло набором, спектральных данных оператора И с коэффициентами р^СхЗ вида (63, удовлетворяющих неравенствам (73-(83, необходимо и достаточна , чтобы одновременно выполнились условия:

13 при последовательности принадлежат, прост-

ранству 5е (.Ю;

113 Функция 0(23, определенная формулой

Кг) = Ч ^ + а/%ап I 1=Т7ет

Гчо" 1-^1 &,пеШ;

является обратимым элементам алгебры Ар(.Ю.

При эти коэффициенты 3 оператора Н восстанавливаются п спектральным данным однозначно.

В четвертой главе для оператора (13, введенного в перво главе, подробнее рассмотрены топологические свойства (взаимно однозначногоЗ соответствия "потенциал" «—» "спектрально данные". Множество последовательностей, отвечающих операторам (1 с потенциалами из 0Р(.Ю, обозначим через б^Ш. Теорема 1. утверждает, что множество б^СЮ лежит в пространстве 5Р(Ю.

Теорема 4.1. Отображение "потенциал" <—* "спектральные да*

чыз" устанавливает, гомеоюрриза между метрическими пространствами еР(.Ю и оРт.

Аналогичным образом можно установить, что соответствие "спектральные данные" «—» "класс коэффициентов" является гомеоморфизмом и для рассмотренных операторов Дирака, и для дифференциальных операторов произвольного порядка, если соответствующим образом устроить норму из левых частей неравенств С5) и С7)-С8). Более того, почти не меняя рассуждений из доказательства теоремы 4.1, можно показать, что эти гомеоморфизмы бесконечно дифференцируемы по Гато.

Назовем потенциал qeGpUO конечно-параметрическим, если отвечающий ему набор спектральных данных -Cs^}^^ финитен. Как следует из теоремы 4.1 множество конечно-параметрических потенциалов плотно в классе 0Р(.Ю.

Пусть характеристика у веса р Сем. (23) не меньше трех. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Кортевега - де Фриза:

ut - 6иих + цухх = 0 , u(x;0) = иСх), -аз < х < оо, (10)

с функцией и(х) из класса Ср(.Ю. Пусть оператору (1) с потенциалом иСх) из класса СРСЮ соответствует набор спектральных данных

isn>nelN-

Основной результат этой главы может быть сформулирован в следующем виде:

Теорема 4.2. Пусть для всех t из некоторого интервала /, содержащего нуль, числа sn(t) = sR expCiA^t), яеШ, удовлетворяют, условиям теоремы 1.2. Тогда потенциал uCx;t), соответствующей множеству спектральных данных isR(оператора (1) является решением задачи Кош СЮ) но. интервале I.

Из теоремы 4.1 вытекает, что такой интервал I существует, поэтому задача Коши локально по времени имеет решение в классе

аРсю.

Далее в работе рассмотрены достаточные условия, при которых решение задачи Коши СЮ) продолжается на всю временную ось -со < t < +00.

Теорема 4.3. Пусть функция иСх) лежит, в классе СР(.Ю и имеет.

набор спектральных данных <гп>пе[^г причем числа С N ¿ <х> 1>, ссотЗегрстВукщле ненулевым элементам последовательнаст {гп>, линейно независимы над полем рациональных чисел. Тогд> функция и(.х, О ~ ретиение задачи Кош СЮ) - продолжается на 6с Временную ось -а < £ < +ю и при всех функции иСхгО лежат классе ИР<*Ю.

■ На простом примере в работе показано, что условие неооизме римости в теореме 4.3 существенна.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Симбирский М. Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля для поч ти-периодических потенциалов с положительными показателями Фурье //Докл. АК УССР, 1991, серия А, N 2, с. 5-8.

'¿. Симбирский М. К. Обратная задача Штурма-Лиувилля для одно го . класса почти-периодических потенциалов. //XXII научно техническая конференция молодых исследователей ФТИНТ АН УСС (Тезисы докладов), ФТИНТ,. 1991, с.79-80.

3. Siasbirskii M.N. Inverse problem for Sturm-Liouville ope rator with almost-periodic potential having only positive Fourie exponents.//"Advances in Soviet Mathematics", vol. 11 : "Entir and Subharmomc Functions", pp. 21-38, AMS, 1991.

Ответственный за выпуск Раи:ковский А.й.

Подписано в печать 19.02.93 Формат 60x84'/и ..Бумага тип.

Печать офсетная. Объем •¿.ф'з.п.л. Заказ N 2с Тираж ТОО зкз.

Ротапринт ФТИНТ АН УССР. Харысов-164, пр. Ленина, 47.