Спектральная теория систем дифференциальных уравнений и ее приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАШ

", институтшташи '

- ' ' -

4 . На правах рукописи

. (ЩНОВИЧ Александр Львович

.СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРШ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНШ

N ~

01.01.01 - мате'матичеакий анализ

А 13 Т О Р Е Ф Е Р А Т / диссертации на соискание ученой степени доктора'фйзико-математичёских наук

Киев -

Работа выполнена в Отделении гидроакустики Морского гидрофизического инсЭДтута Академии наук Украины.

..Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор НИЕНИК Л.П.

• ".V

|чл.-кор. ЛИ Армении,ь доктор физико-математических наук,. . профессор НЕРСЕСЯН А.Б. -

• .. . 4 доктор физикотматемдтических наук , ■ МИХАЙВД В,А.

Ведущая организация; Физико-технический- институт низких температур АН Украины.

Защита состоится " ^ О • 199 рг^ в часов

иа'заседании ученого спеггяализпрованного совета Л 016.50.01 при Институте математики АН Украины по-адресу; 252601, Киев 4, ЯбЯг ул. 'Репина, -3.

С диссертацией'можно ознакомиться в библиотеке института.-

»Автореферат разослан " 199Дг.

, ' ' - .

^ УчённП секретарь ■ .

ученого специализированного - •

I совета ' 1ГСАКГ Д.В.

/

х

^ ' л;'.. - ... -

■'; / '■. ' :'.'■:■■ ;

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и цель шботи. Одним из крупнейших достижений математики XX века является создание спектральной теории самосопряженных операторов. Основы этой теории закладывались такими видающимися математиками, как Д.Гильберт (спектральное разложение ограниченного оператора), Дж.Пойман и М.Стоун (спектральное разложение неограниченного оператора). С самого начала спектральная теория разрабатывалась в тесной связи с различными ее приложениями, - в первую очередь}приложениями к проблемам квантовой механики и математической физики.

Важным объектом изучения спектральной теории являются канонические системы

'™<Х,Л) = 1Л!}НСхМ(*.Л>,

и х

ГДе И? М ' Н(х)=и'<л)90, ^^'«С- '

К шил сводятся многие классические уравнения (матричное уравнение струны, уравнение Штурма-Лиувилля, уравнение Шредингера), спектральная теория которых была построена ранее усилиями целого ряда замечательных математиков. Каноническими уравнениями вида (I) описываются механические системы, гамильтонианы которых являются квадратичной формой аргументов, Исследованию канонических систем и родственным.вопросам посвящены работы М.Г.КреЙйа, И.М,Гель$ан-да, Б.М.Левитана, В.Б.Лидского, В.П .Потапова, С.А.Орлова, Б,А, Якубовича, Л. де Бранжо, Й.С.Каца, Ф.С.Рсфе-Бекетова и др.

К каноническим системам близки система

с1 зс

z

Системы'(2) исследовались В.П.Потаповым, М.С.Бродским, З.Л.Лей-бензоном, Л.А.Сахновичем и др. К виду (I), (2) сводятся вспомогательные системы для многих интегрируемых методом обратной задачи нелинейных уравнений. Обратная задача рассеяния для вспомогательных систем на оси изучается в ватеых работах В.Е.Захарова, С.В.Ма-накова, А.Б.Шабата, Л.Д.Фаддеева, М.Абловица, Д.Kayna, А.Ньюэлла, Х.Сигура, Р.Билса и Р.Кау{мана. Нестационарной задаче рассеяния для уравнений Дирака на оси и полуоси посвящены интересные работы Л.П.Нжника. Спектральной теории систем (I), (2) посвящены первые три главы диссертации.

Широко известны результаты по решению нелинейных уравнений на оси методом обратной задачи рассеяния (ОЗР). После пионерских работ С.Гарднера, И.Грина, М.Крускала и К.Миуры, а затем П.Лакса огромный вклад в ату тематику внесли В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, С.П.Новиков, С .В.Маншсов, Л.Д.Фаддеев, Л.А.Тахтаджян, Б.А.Дубровин, Н.М.Кричевер и их сотрудники, а также представители "потсдамской" группы. В течение последнего десятилетия активизировался интерес к учету граничных условий, к решению смешанных задач для нелинейных уравнений (см, работы Д.Kayna, А.Фокаса, И.М.Кри-чевера, Ю.М.Березанского, Л.А.Сахновича, Е.К.Скляшша и др.). В диссертации результаты по спектральной теории применяются к исследованию интегрируемых нелинейных уравнений на полуоси.

Методика 'исследования. Вопрос описания"множества спектральных функций системы (I) при dtt Ц(х)*о допускает переформулировку в терминах теории симметрического оператора. Сложнее свести к теории симметрического опергтора случай, когда JUt Н(Х) моасет обращаться в 0. (Сошлемся здесь на свидетельство И.Ц.Гох-бэрра и М.Г.Крейна^.) Поэтому имеет смысл непосредственно строить спзктральнуи тпорпга системы (I). При , как и

"Vpxiepr K.U., КреГш М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертов«« пространство и ее приложения. - М.: Наука, ХЭ67.

в ряде других классических задач, множество спектральных функций отбывается в терминах функций Неваилинны V (Л ) , задаваемых дробно-линейным преобразованием пар, обладающих {^-свойством, Если отказаться от требования (Ш Н? О , то для того, чтобы функция обложения Т , соответствующая У (А), била спектральной (или псевдоспектральноП), должны выполняться дополнительные условия. При (1-1 oniicaiaie мноз;:естса спектральных функций вытекает из книги I. де Бранжа (I9S8). Несколько позже В.П.Потапов разработал новый- метод решения интерполяционных задач с помощью основного матричного неравенства (ОНИ). Его учениках/л Л.Б.Голинским и И.В.Михайловой была предпринята интересная попытка исследовать связь мевду ОМН и теорией де Брашка (препринт ФГИНТ ЛИ УССР под ред. В.П.Потапова). В то же время наряду с СШ было введено преобразованное 0MI (ПСНП) (см. работы В.П.Потапова, В.Э.Кацнельсо-на, И.В.КовалпшноД, Л.А.Сахновлча, Т.С.Иванченко). Используя аналог ПОМП, нам удалось описать спектральные (или псевдоспект-ральше) функции канонической системы при П. > 4 • Далее в работе существенно используется метод операторных тождеств: AS~S8~ = П, Л/ Операторное тождество обобщает коммутационные соот-Н0ШЭ1ИЯ и лежит в основе понятия 5-узла, которое, в свою очередь, обобщает понятие узла. Канонические система, связанные с 5-узлами, детально исследовались в обзоре Л.А.Сахновича^, Где даны описание множества спектральных функций этих систем и метод решения обратной спектральной задачи. В диссертации виража^сй в терминах S-уз'лов максимальный скачок спектральной функция, аеим-

^С'ахиоЕич Л.А. Задачи факторизации п сператорпче югдестг:?. // Успрхи мат.наук. 1°86. Т.41. Bmi.T. С.3-55.

2 Ьап ;>е.

птотика спектральных функций и функций Вейля-Титчмарша.

■• Обратные спектралыше задачи (ОСЗ), с исчерпывающей полнотой исследованные в знаменитых работах И.М.Гельфанда и Б.М.Левитана, М.Г.Крейна, В.А.Марченко, сводятся к системе (I) с гамильтонианом

вида И W-V q ( П - 1) . в работе Л.А.Сах-

новича^ процедура решения обратной задачи для системы (I) обобщается на случай гамильтонианов, которым соответствуют S-узлы. В случае системы (2) рассматривалась задача восстановления /-/(■%-)

. Теорема существования была доказана В.П.Потаповым в его классической работе^). Теоремы единственности при различных дополнительных условиях получались в работах М.С.Бродского, З.Л.Лейбензона, Л.А.Сахновича. Имеется, наконец, (Л.А.Сахнович, IS68) процедура решения по {<t<0° ) обратной задачи для (2) при

H(x)=V(x)[En , О)

В диссертации система (2) рассматривается на полуоси {■¿~ео ). В случае гамильтонианов вида (3) и вида

н v д-^&Агг-А^, W^E/n (4)

для системы (2) вводится понятие функции Вейля-Титчмарша (и ее обобщение) .„Благодаря связи мелду функцией Вейля-Титчмарша Wffo и функциями , fl^fa) в работе строится.S-узел. После че-

го с помощью результатов Л.А.Сахновича^ легко восстанавливается

^Садговпч Л.А. Задачи $акториз?:;ш и операторные тождества // Успехи мат.наук. 1986. Т.41. Bun Л. С.3-55. ПегапЗв В.!1. Мультипликативная структура Пг -растягивающих мат-риц-??ико;Й //Труднее. 1955. Т.4. C.I25-23S.

¡-I (x) • Ю.М.Беразапский и Л.А.Сохнович плодотворно применили к решению нелинейных уравнений на полуоси метод обратной спектральной задачи (ОСЗ). 0ш1 рассматривали уравнения, для которых вспомогательная линейная система приводится к виду (I). В настоящей диссертации метод ОСЗ применяется к нелинейному уравнению Шредин-гёра "с притяжением", уравнению синус-Гордон и задаче А/-волн на полуоси, которым соответствуют несомосопряженные вспомогательные системы (2).

Основные результату, их научная новизна, теоретическая и практическая э^ачтаость, Среди основных результатов диссертации назовём решение задачи о максимальном скачке спектральной функции. Задача о максимальном скачке восходит еще к знаменитой работе П.Л.Чебышева^. Наш интерес к этой проблеме бил инициирован вопросом, сформулированным В.С.Владимировым и И.В.Воловичем в их оч

статье . í.-лрос и-^эн с вычислением свободной энергии гауссовой »'.одели на полуоси, и ответ на него вытекает из решения задачи о • максимальном скачке. Дальнейшее развитие результаты по максимальному скачку нашли в работах Д.З.Арова й В.М.Адамяна.

Существенным для характеристики операторов являотся вопрос об асимптотике спектральных функций. Обращаясь к истории вопроса, необходимо назвать Т.Карлемана, Б.М.Левитана, В.А.Марченко, А.Г. Коотюченко. Среда различных методов изучения асимптотики упомянем метод волнового уравнения, позволивший Б.М.Левитану, ряду его учеников и соавторов получить ваяние результаты В этом направлении. —»

'Cliebyuhcv P.L. Sur leo valeur:; limites des lütegrf.les // J.

Mçth.înres et Appl. Ser II, 1674, V.19.

?)

Linear nnâ Complex Дпа1уз1з Problem B;ok. 1ЭУ Research РгоЫюз

// Ifict.Jíotos ir. I'.'.th,-D?i'lir.: «primar Veri 195-!. 7.1"!;;.

Наш подход к .асимптотике'спектральных функций и функций Вейля-Титчмарша основывается на наличии, простой связи между определяющими 5 -узел матрицами-функциями Л , (&), П^ (X) и функцией Вейля-Титчмарша V7 (-А) • К основным результата!,! диссертации относятся также формулировка и решете обратной спектральной задачи для систем'(2) с гамильтонианами вида (3), (4). В отличие от результатов для системы (I) процедура восстановления МРО здесь идет непосредственно по функции Вейля-Титчмарша Ч С-/0 , а не по спектральной функции. Решение обратных задач (рассеяния и спектральных) сводится, обычно, к операторному уравнению. В интересных работах Р.Билса и Р.Каудмана, В.А.Юрко и ряде других возникает вопрос обратимости соответствующего оператора. Предлагаемая нами процедура такую-обратимость гарантирует.

При исследовании соответствующих системе (2) интегрируемых уравнедой описание эволюции функций Вейля-Титчмарша оказывается близким к результату Л.А.Сахновкча^.- Для уравнения синус-Гордон удается решить задачу Гурса в области ОС , О ^ Ь £ • Локальное решение этой задачи содержится в работе Н.М.Кричевера (ДА?{ СССР. - 1980). Доказывается существование решения / (Х/С) падачи /V-волн ( Л>уО , t , с заданной в начальный

момент фушсцией Вейля-Титчмарша % (Л) . В работе приводятся условия, при которых %СА) соответствует не более одного ограниченного решения, что свидетельствует о естественности постановки задачи" Л'-волн на полуоси. Методом обратной спектральной задачи мы строим явные решения'нелинейных уравнений и соответствующих яспоуогатсльнюс линеиных систем. На этом пути выясняется, что ме-

1' Спхиович Л.А. Эволинпя спектральных данных и нелинейные уравнения // Укр.гат.жур". 1933. Т.40, #4. С.533-535.

тод операторных тождеств (теория S-узлов) применим для непосредственного построения явных решений нелинейных уравнений.

В теории интегрируемых уравнений разработан целый ряд важных прямых методов построения явных решений и решений, выражаемых через 9 -функцию Римана. Одним из интересных подходов является подход, предложенный В.А.Марченко*\ Объединяя линейные уравнения в частных производных из его работы1' с методом операторных тождеств, мы получаем унифицированную и простую процедуру построения явных решений группы важшх нелинейных уравнений. В частности, строятся содержащие сингулярности явные решения f матричных урав-^ нений: НУШ, МКдФ, задачи /Y-волн с редукцией - ß $ ß (ß^Efn), уравнения главного кирольного поля. Получение этих явных формул представляется существенннм в связи с тем, что сингулярности решений физически интерпретируются как коллапсы, частицеподобпость, неустойчивость и т.д. и исследуются в целом ряде работ В.Е.Захарова и С.В.Манакова, В,А.Аркадьева, А.К.Погребкова, М.К.Поливанова, Д.Kayna, М.Яворского, Л.Л.Сахновича, Й.Ф.Твднюка.

В статьях Л.А.Сахиовнча, Г.Калина, М.М.Малаыуда А некоторых

других рассматривался вопрос подобия ьольтерровскйх операторов

оператору интегрирования J- J • J. U .Из результатов по обратной

Ö

задаче для^системы (2), (4) вытекает одна теорема о подобии оператору $ J»* с/ 1С . Методом операторных тождеств выводятся также

о

новые результаты по дифракции в волноводах.

Апробация работы. Результаты диссертаций докладывались на У-УК конференциях "Комплексный анализ а диффзренщалышз уравнения" (Черноголовка), на ХУ я ХИ Всесоюзных школах по теория опе-

.'Марченко В,А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. Киср: НаукоЬа дут.жа, 1983.

раторов в функциональных пространствах, на 1У школе-семинаре "Акустика океана" (Москйа, 1986 г.), на 3-ей региональной школе-семинаре по гидроакустике (Цимлянск, 1987 г.), на 1-ом республиканском семинаре гго теории целых и субгярмокичесгжх функций и её приложениям (Харьков, 1990 г.), на Крымской осенней математической школе по спектральным и эволюционным задачам (КР0ГЖ1-1), на республиканской конференции "Функциональный анализ и его приложения" (Одесса, 1990 г.), на семинаре по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством проф. А.Г.Костюченко и проф. Б.М.Левитана в MIT (1989, 1990, 1991 гг.), на семинаре при Институте математики All Украины под руководством акад. Ю.М.Боре-запского (1991, 1992 гг.), на семинаре при Харьковском госушвер-ситете под руководством акад. Б.А.Марченко, на семинаре по уравнениям математической физики при Московском физико-техническом институте под руководством проф. В. Б. Лидс кого, на_ семинаре при Институте математики АН Армении под руководством чл.-кор. АН Армении А.Б.Нерсесяна, на городских семинарах г.Одессы под руководством чл.-кор. АК УССР М.Г.Крейна, проф. Д.З.Арова, проф. Л.А.Сахновича, проф. Г.С.Литвинчука.

Публикации■ - Публикации автора по тематике диссертации приведены в конце автореферата. Содержащиеся в диссертации результаты принадлежат автору. •

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение и шестнадцать параграфов, которые разбиты на пять глав.

СОДЕРЖАНИЕ ГАБОта I. В главе I рассматривается система (I) с суммируемым на (О ,6) гемильтмшЕшом H0х) . Через [_г (Н) обозначается про- ■ странство вектор-функций со скалярным, произведеШ!ем

о

Вводится матрица-функция где

Xt/CXjA) удовлетворяет (I). Пространство де Бранжа состоит из

функций

fM = Ut=S<*(x>jiM(x)ttx)clx> ttfv-o, F'jpl

о

со скалярным произведениемС^/*, = ("// ^. (.Здесь , _ блоки порядка /г вектора F .) Равенством (/^ = задается оператор [/ . Через обозначается пространство Д -мерных вектор-функций со скалярным произведением

<х> -со

Определение I.I. Неубывающая матрица-функция T(t) назы-'

вается спектральной матрицей-функцией системы (I), если V' изо-

Z /2

метрично отображает £ (N) i [ ^ .

Определение 1.2. Неубывающая матрица-функция назы-

вается псевдоспеэтральной, если {/ яэшвчрячно отображает

*Lz{H)0faV в .

Существенную роль в описаний спектральных фунКдай играет дробно-линейное преобразование

L[атР(Л)+i(J\)Q(ji)][c(ji)p(J) ^¿(ЩШ]] (5)

где (L , £,-С ,d - блоки порядка П матрицу'^ М) = 0t (-ft J\) •

га (Л)

01 ^ 4c(j) dmJ. (б)

Определение 1.3. Пара мероморфных в верхней полуплоскости матриц-функций p(ji) , Q(ji) называется неособенной и-обладавшей ^-свойством, если почти всюду

Множество матриц-функций Ц (jt) , получаемых преобразованием (5). неособенных, обладающих ^-свойством пар Р , Q , обозначим через jT(OQ _ функции б допускают представление Не-

ванлинны

-а?

При этом матрицы, задаваемые парой Еа ( Q (70= ^

будем обозначать через f/p , Т0 ,JJ0 , \}0 соответственно. Как показал Л. де Бранж, ^(t) псовдоспектрапьна, т.е.

Теорема 2.1. Если (f(j\) <f (Х)-> то Для функции обложения T(t) при всех Fc В справедливо неравенство

Теорема 2.2. а) Пусть (j\)

ejT(Ol) и

Ч* 00

Тогда T(t) соответствующая Ч'(^) в представлении (7), псевдо-. спектральна.

б) Пусть Tit) псевдоспектральна, J^c"0 и из C(^)fl = 0 вытекает, что fi - О . Тогда существует tf(j1) 6jT~(0C) о функцией обложения Т(t) . Для это!! функции справедливо соотношение (S). '

В 5 3 главы I требования теоремы 2.2. переформулируются в терминах гамильтонианов.

2. Б § 4 (глава 2) рассматриваются матриин-функдаи

t, j)I*</, Л) +1(*, Л) с*(/,

являпцпеся анапсгамп полпномпальшх ядор. Предполагается, что

гамильтониан H О задан на полуоси X >у О .

4>(j\)-ß виполнено условие Согё

¿4 00

] (i*tZ)1 z'lt) 1 t "о. .

- CO

По теореме Крейна-Засухлна имеет место факторизация Т '(£) -- cL*(t) JL(t) .С помощью теоремы 2.1 выводится (при дополнительном условии) соотношение

4тe(t,л,(г*)* Ы1Ы

(Случай fi-Jt рассматривается в работах Д.З.Арова,М.Г.Крейна*]С€) В §§ 5-16 активно применяется понятие 5~узла^. Пусть заданы гильбертовы пространства С - (cUwGi' И •есо) и ^ . Через { > J обозначается класс ограниченных операторов, действующих из ^ в ^¡^ . Симметричным S~узлом называется набор операторов ^^ ffj, 5 Ж} f]- £ ф^ cpj £ (К J ' Удовлетворяющих операторному тождеству

- AS-SA** ¿11% П*. (Ю,

(Здесь 9, € м S'\ . то

5-узлу соответствует передаточная матрица-функция

*UpoB Д.З., Крейн М.Г. Задача об отысканий минимума энтропии в неопределенных цробле?лах продолжения // Функипон.анализ п его прил. 1981. Т.15, % 2. С.73-75.

?)

'Сахнович Л,А. Задачи факторизации я операторные тсядества // Успехи мат.наук. 1.993; Т.41. ВнпЛ. С.3-55.

^А п* ^(Е-АА)^. (п)

Важными примерами операторов 5 являются интегральные операторы

о

с разностными, суммарно-разностными и $-разностными ядрами. При

X

5 ^иу-ви-иу-^^-х), к ¿[¿и, (13)

и имоет место тождество (10), а

Матрица-функцля £ ( ¿(-X) - -S *(-*)) задает

семейство $-узлов в пространствах ^— (Ц^) > О*Ъ £.

Элементы этих 5-узлов мы будем обозначать через , Г!ц ,

Ц и т.д. Когда {Ж; , , //£ 7//Д (*/)

то имеет место представление-^ К

о

Таким образом, в случае дифференцируемости (ОС) семейству узлов соответствует каноническая система (I), где ^(Х).

Причем, -и?^ (ОС; -А) удовлетворяет (I). Из общей теоремы о континуальном разлояении-^ справедливость (14) следует и для многих других семейств операторов. Для решения спектральных задач важно выяснить, при каких Н(X) канонической системе соответствуют 5-узлы.

Теорема 5.Х. Пусть (-((Х)= ^(X) , где П-Х^П

патрица-функция £ (-Х) абсолютно непрерывна и удовлетворяет соот-

т) ,,

Сахноппч Л.А. Задачи факторизации и операторные тождества // "спсхп мат.наук. 1986. Т.41. Вып.1. С.3-55.

ношениям ß(X)$ ß En • ^ И ß'(x> U < 00

Тогда существует такое семейство 5-узлов вида (12), (13), что

Семейство 5-Узл°в задается также равенствами

[s(x~ä)fSW)l; SCM*£(-JO=S*(xj при о<%<*}

х.

А{= j (u-x)f(u)tiu, <p1$=zisc*>fr J Ъ^Я . (I5)

о

Теорема 5.2. Пусть Htx>- ß*(x)ß№ ,?№ПХ2П матрица-функция ß(дватсды дифференцируема и удовлетворяет соотношениям ß(X) % Ji*(JC)B О . = С Fп , S,-itj) II ß" (JC)II -¡г со , a tl x IX блок Jl2 матрицы Ji(x>-

- f ) ßz №)] невырозден в нуле. Тогда существует такое семейство' S -узлов вида (12), (15), что выполнено

(Заметим, что каноническая система, рассматриваемая в теореме 5.1, сводится к системе типа Дирака, а в теореме 5.2 - к матричному урагнению струны.)

Чтобы пояснить постановку задачи о максимальном скачке (§ 6), приведем некоторые факты по теории интерполяции (Т.С.Иванченко, Л.Л.СахноЕИч, 1987). Пусть задан 5"Узел и оператор/| удовлетворяет одной из двух групп условий: I. А обратим; ' П. А Л и нуль не является собственным «шелом /1 •

Положим

- fe/'^V'/' СЛД . - -Г, ..Sri

S-- < ,s,v Ф'/Wpnof {Е-а t), (1С)

[ 5Г сл-п

Через ß обозначается ¡пасс ноумотршья^шцмй Т (tJ ,

для которых ^ (¿I t ) (L ilt) и интеграл в (16) слабо сходится. Множество наборов^ , t £ , дающих представление.?- S , обозначим через JJ~(S) •

Интерполяционная теорема (Т.С.Иванченко, Л.А.Сахнович). Пусть S >0 обратим, выполнено операторное'тождество (10), ¡(¿/i »

А £ Mo и удовлетворяются условия I или П. Тогда для того, чтобы Ji , t принадлежали jJ~(S), необходимо и достаточно, чтобы при некоторой матрице \) - V* матрпца-функция VY-/0 вида (7) принадлежала (и^*(j\) ) . х х (Класс До включает как операторы L В J-к , А - ^(U-X). ¡¿ti ,

так и операторы А с{ У которых спектр (обозначаемый

SpA ) недействителен, a dim $JC * . Подробнее см. определение 6.2.) Разбивая в соответствии с (6) матрицу СЦЛ)г на блоки, введем

Как показал Л.А.Сахнович (1986), верно

О помощью (17) доказывается теорема о максимальном скачке.

Теорема 6.1. Пусть выполнены требования интерполяционной теоремы^ 2« £ и i Sf>A . Тогда для Tit) ¿J\f($) ™Б0Т место неравенство

f r(g,g) > ttt+o)-,

причем существует такая Tg (t) (; S), что В случае выполнения условий I справедливо неравенство

и существует такая матрица ^ $ у/" ( , что

"л- -[^(АУУсаТЦЗ'!

П.Л.Чебышев и А.А.Марков исследовали задачу о нахождении экстремальных значений 3 0, ^ £№) на множестве Т(й) , даицих а

решение усеченной степенной проблем моментов. Частным случаем этой задачи является вопрос о наибольшем значении 'СИ *0)-<С(г~0), Задачу о максимальном скачке спектральных функций струны решил Н.Г.КроГш (1970). Теорема 6.1 устанавливает неравенства типа Че~ билета-Маркова, Крейна для 2Г (£) £ £ .

Обобщением ^-узла (12), (13) является ^-узел, где ^-оператор с Э-ра^носттш ядром {В- ¿¿¿«^¿г^ <1г>" Л/О^'-

(18)

Теорема 7.1. Пусть задан $ -узел (12), (18), 5 ^О и матрица-функция удовлетворяет соотношению £ = - Асимптотика функции У (Л) , определяемой формулой (7) при и некотором = > задается соотношением

где м¿п <1% . £ - любое положительное число, //I

бт.л/иим ¿-£<0. (20)

Теорема 7.5.. Пусть задан £-узел (12), (15), К £ =

Асимптотика ¥ (-А) , определяемой (7), задается тогда в области (20) формулой ■ '

0 л (21) £ >0 > I.

С помощью тауберовых теорем из соотношений (19), (21) и аналогичных им выводится в § 7 асимптотика спектральных Функций 5 -узла, как, например,

Теорема 7.4. Пусть выполнены условия теоремы 7.1. Если матрица-функция ср (X) = ) {¿к ^ (х> + ^

абсолютно непрерывна на £ 12 , а (X) непрерывна в нуле и имеет ограниченную вариацию в окрестности нуля, то для любого вектора ^ £ выполнено неравенство

Отсода получается асимптотика спектральных функций системы (I) с гамильтогианом, удовлетворяющим условиям теоремы 5.1.

Асимптотические формулы (19), (21) могут переходить в точные равенства.

Теорема 7.3. Пусть функции (X) заданы на всей оса и соотношения (12), (18) при всех £ (■ (о/ °о) определяют ограниченные операторы ^ V О . Тогда существует , дащая при всех 1 представления ~ , а соответствующая ей по формуле (7) матрица-функция Ч (Я) имеет вид

' о

3. Глава 3 посвящена обратным задачам для несамосопряженных сгстои на полуоси. В § 8 рассматривается эквивалентная (2), (3)

егепт».

¿ЩХгI) . (22)

Л. х.

где

Система (22) является вспомогательной линейной системой для нелинейного уравнения Шредангера с "притяжением" и уравнения синус-Гордон. Зададим (X, Л)формулой (22) и равенством

Лемма 8.1. Если

&иг11У(Х)11 ± /Ч ( о<х<«>),

то при ;7ти - // существует единственная функция У (-А) , удовлетворяющая условию

00 Г тя

] с Е з л) Е и

о и п Л

Функция У (Л) называется функцией Вейля-Титчмарша системы (22) и удовлетворяет соотношению

Матрице-функции 'Р(^) удается поставить в соответствие оемейст-во Б -узлов, где £ = (М* ,

оО

2Ж-1° (24)

( _/1= г-г ¿^ , ^ > М )■

ос

Аналогом оператора из уравнения Гель^ацда-Левиташ-Марченко является оператор

S-E* j) ) Л - И)

о IX-UI

который удовлетворяет операторному тождеству

AS-SA* (26)

Б силу (26) . Через элементы 5-узла выражается п х2П

матрица-функция а ■

ß(ty=[o, jrS^WCE,, , (27)

о

Определение 8.2. Обратной спектральной задачей (ОСЗ) для

системы (22).называется задача восстановления по аналитической

матрице-функции V (А) такой матрицы-функции f (^О , что при

всех выполнено (23) и $Ир ¡1 V°° .

О* ос!<4.

Теорема 8.2. Пусть аналитическая матрица-функция У (Л)

удовлетворяет соотношении Ц [ ) /А] А 2 // * <*> .

Im J\<~h

Тогда решение ОСЗ существует и единственно. Оно вира-хается по формуле ^ {

ГШ -ß(x)lfi'(x)'] (f(o)--LfiUo^ l

гдеj9 задается равенствами (24), (25), (27), aß (Я) задается равенствами~ß&)ßU)=ß'cx)ß*(x)=0, ßfrJjffrMn , ßC&M. В § 9 рассматривается система, эквивалентная (2), (4)

(iJß-fW) <иГ(Х.Л), (28)

где Р = { d„, dt) dn)., d f >d t > , .. > d„> О ,

Определение 9.1. Обобщенной функцией Вейля-Титчмарша (ОВТ-фуйкцией) системы (28) называется аналитическая матрица-функция if(ji), удовлетворяющая при некоторых /f >(? , С >0 и всех /1 из области i/w ft * ' ft соотношениям

\ехр (iл Dx)4>*(A)yf;иУ(х)J)4>(/i)eocpi-¿хмВ-

-fx E^] J- * 00 . Причем доданы выполняться условия нормировки <^¿>0= 4 при .

Теорема 9. Г. Пусть £-Uj> (I f(X)ll & Но . Тоща ОВТ-функ-' O t.ос <аО

ция системы (28) существует и единственна.

ОВТ-функиия ) при всех £ удовлетворяет неравенст-sai.i ,

SMf> \ \4*г(ос, J) If {Л) еяр(-1А г . (29)

Определение 9.2. ОСЗ да система (28) называется задача восстановления по аналитической матрице-функции Ч>(-А) такой матрицы-функции — - (%/ О) , что при воех ■¿.¿<х> выполнено (29) и (I •

■ Пусть задана такая аналитическая У(-А), что

^(МШ-Ю-е,*)!!«" (Яыл'-К),

( j1- l-i i , z < <*>).

Тогда определена матрица-фуикция

(30)

60 -1

tl(x) - ^ jc eecp(.£jpx)Hfl d?

-ю

( si~ ¿-i % } £ > h \

(3t)

Оператор S = £} i- ' ciu. (и соответствую^!!/! S -узел)

определяется формулами (26), (31) и.

Б силу (26) получаем, что S > О и определена функция

Теорема 9.3. Пусть аналитическая функция f (j~l) удовлетворяет (30). Тогда решение ОСЗ существует и единственно. Оно выражается по формуле

■Ь

Гсг.^В^-ЭПьЪ)®.

г

, -Заметим, что много интересных работ посвящено задаче рассеяния для систем (22) и (28) на всей оси. Тем не менее даже в случае всей оси остается много важных открытых вопросов и, в частности, вопрос о. том, при каких данных рассеяния процедура решения ОЗР идет до конца.

4. Глава 4 посвящена приложению результатов главы 3 к теории нелинейных интегрируемых уравнений на полуоси. В § 10 формулируется общая схема и описывается эволюция спектральных данных. Приведем случай уравнения синус-Гордон № £ ) , где Ш - СО . Ему эквивалентна система

^-Мпи), и>ос-2Г. (33)

Теорема 10.2. Пусть в области О^ X г СО , О ¿- t ¿to существует решение 10 , У системы (33) с начально-краевым уело- -вием .

к, ЯМ 36)

Пусть при этом функции ) и и>г (?) непрерывны и

Л1 . Тогда эволюция функции Бейля-Титчмарша вспомогательной системы (22) ( Ц = < ) выражается по формуле

где (А) — С> Л) - функция Еейля-Титчмарша системы (22), когда сг (X) = 'Г(Х/ О) Щ'(х)/2 , а £ ^

опредатяется уравнением 1

"¿к 4 габщЮ ¿¿аи^кг Л ~[мп юг(0 -¿¿4 ш2т]'

Оператор, ставящий в соответствие функции решение ОЗР, обо-

значим через ^ ( Ч') .'(Этот оператор построен в теоремах 8,2 и 9.3 для систем (22) и (28) соответственно.) Основной в § II является

Теорема ПЛ. Пусть заданы непрерывная функция и)г (1) и аналитическая при От /I * - М функция Чо(~Л) , удов-

летворяющая неравенству

5<ир (Л) '¿МЦ<«>.

Зададим Си^х) равенствами -№¿(0) и -¿¿¿(Уо) .

Тогда решение и) , У системы (33), (34) существу?" и выражается по формуле , где^/^ Ю определяет-

ся равенствами (.35), (36).

В § 12 рассматривается задача Л/-волн

Здесь ¿¿tdj . 0*0*>О . fafj.fi* eUa^ ,.../„) j)*>Q.

- Теорема 12 Л, Пусть ( Д Vj , где (fe удовлетво-

ряет (30) и ¿. --Л* . Тогда определена и удовлетворяет (37) матрица-функция f (t) ~ Q (9J Ц (tt Jl)), где _

4lt, /I) = R (t,jt) % (A) eocj> (- ¿J\Pt)t

щлИг», lit) Ъ).

5. Различные приложения рассматриваются в главе 5. В § 13

содержится ответ на вопрос В.С.Владимирова и И.В.Воловича (1984).

Последовательность матриц 5 огоо Sc- S*D ) порядка п

Р 1 > г -р

ми Toimimo ^ z: Г S- _ £ I ^

£

задает семейство блочных матриц Теплица 5К ~ {/- , Соотношениями Ак~ при/>^' , С-/г)£п

при , ¿Гп пр" р У } V

задаются 5~узлы, удовлетворяющие (10). В.С.Владимировым и И.В. Воловичо.м изучался случай наличия внешнего поля в гауссовой модели на отрезке с взаимодействием О .В связи с этой моделью

взаимодействия они поставили задачу описания асимптотики $¿(0,0)-А с* * ^

- ы 'Я/ > "Р15 * 00 ь термииа^ Т ^ • Из теоремы 6.1 ^следует для - 1 $°рмУла

-31, I Ц^-.. ^ = (38)

Равенство (38) дает ответ на поставленный В.С.Владимировым и

I

И.В.Воловйчем вопрос.

5 14 содержи процедуру йостроешш явных решений нелинейных урсчвнеши" методом операторных тождеств. Пусть теперь А - ПУП-иатрпца и 5^/1 Л - ф . Тогда однозначно разрешимо опера-

торное тождество

А 5 -5/4"= ¿П8П*. (зэ)

Матрицу-функцию

введем с помощью соотношений, близких к соотношениям-В.А.Марченко (1986)

\1Х=САП& , (40)

(Здесь

^ т / — диагональные матрицы.) Таким образом, д П(зс^) при фиксированных

Р.¡9 ,В и К однозначно определяются матрицами А и Разобьем П на блоки из и Л7 д столбцов: П ~ I и

положим

Теорема 14.Г. Пусть Р= . Тогда

а) при Р?чг/П2 = 1 , К = '1 , В=ЕГП, функция ^ удов-

летворяет системе ¿£¿-/2 &Г1 № , Сс^^ = 2 а , эквивалентной уравнению синус-Гордон; б) при Г<1г~"1 , К--1 >'

и~и. функция и. удовлетворяет системе ¿¿±

в) при К -2, В удовлетворяется нелинейное уравнение Шре-

дингера = Ч ( «-хх**- ; г) "Р11 К =3,

В матрица-функция и. удовлетворяет МКдФ

ч^ = ж +3 (- 1)Р{ихи*и

Матрица-функция (Ь^ вводится здесь равенством

«ГА(Х,Ь, I в Л .

Из результатов § II следует, что в случае а) функция </(£,/!)= - ( 2, описывает эволюцию

спектральных дашшх, соответствующих решению (33):

Ч(Х, (УЦЛ)). (41)

Одновременно формула (41) определяет набор явных решений ОСЗ для системы (22).

Аналогичный факт имеет место для задачи Ы -волн и системы

(28) .При , ¡1 = (1 5 Л , функция (X, 8 (ЮЯ-А $)

удовлетворяет уравнению (37) и условию редукции - ~В $ 8 • Если 6 = Ет , то имеем / (X, £)

, где

А) . Через Л ) выражаются ре-

шения вспомогательных систем (22), (28). С помощью (39), (40) строятся также решения КдФ и других уравнений.

В § 15 доказывается теорема, вытекавшая из теоремы.9.3. Как ив§9, cUa.fr {е11г ¿г^К.Ы^О-

Теорема 15.1. Пусть матрица-функция порядка т тле-

ет на £ О^ •/J ограниченную производную, С-Х^/З ) = £ и

X ^

( О, Тогда оператор £ - I £

действующий ви^

(О, I)

, подобен оператору Д = £ из

е

того же пространства.

Учет специальной структуры оператора кра его обращении проводится во многих важных работах. Назовем, » частности, работы Н.Винера, Е.Хопфа, Н. Левинсона, И.ГДрейва, й.Ц.Гохберга, Л.А.Сахновича, 3.С.Аграновича, В.А.Марченко, В.П.Шестопалова, А.Б.Нерсесяна. В § 16 обращение оператора 5 методом операторных тождеств применяется для решения задачи ди^ракдаи, В этом параграфе оператор 5 неограничен, что требует дополнительных рассмотрений. Для получения соотношений,' родственных известим формула« В.А.Амбарщмяна, используется равенство (17).

/

ИТОГИ И В1ЛЗОДЫ

В диссертации разработан ряд взаимосвязанных вопросов спектральной теории систем дифференциальных' операторов и ее приложений.

1. Получено описание спектральных и псевдоспектральных функций канонических систем на отрезке.

2. Исследовано поведете спектральных функций канонических систем, порождаемых -узлами, - асимптотика и величина максимального скачка.

3. Развита спектральная теория важных несамосопряженных систем, близких к каноническим. Сформулирована и решена для них обратная задача.

' 4. Разработанными в диссертации методами обратной спектральной задачи исследованы уравнение синус-Гордон (задача гурса), нелинейное уравнение Шредингера "с притяжением" на полуоси, задача Ы-волн на полуоси.

5. Получены приложения результатов к построению явных решений нелинейных уравнений, к некоторым задачам математической физики. Предложенная процедура построения явных решений допускает обобщения, относящиеся к задаче "одевания" решений.

В диссертации решен ряд актуальных и важшх вопросов анализа. Значительная часть результатов нашла применение и развитие в работах других математиков.

На защиту выносятся теоремы 2.1, 2.2, 5.1, 5.2, 6.1, 7.1, 7.4, 7.5, 8.2, 9.1, 9.3, 10.2, 11,1, 12.1, 14.1, лемма 8.2.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах: '

1. Сахнович А.Л. Об одном методе обращения теплицевнх матриц /Д1ат.исслед. - 1973. - 8, № 4. - СЛ80-186.

2. Сахнович А.Л. Об одном методе прогнозирования десфчгинх'

стационарных процессов //Методы научно-технического прогнозирования средств связи. - М.: ЦООНТИ "Экое", 1979. - С.59-62.

3. Сахншич А.Л. О продолжении блочных теплицевых матриц // Функцион.анализ. - Ульяновск, 1980. - Вып.14. - C.II6-I27.

4. Сахнович А.Л. О продолжешш теплицевых матриц //Докл. АН УССР. Сер .А. - 1981. - Jt 7. - C.I9-24.

5. Сахновач А.Л. Об обращении операторов, удовлотворяздих двум операторным тоздествам.-Одесса. 1986. - 12 с.-Деп. в ВИНИТИ. 8.07.86, й 4954.

6. Сахнович А.Л. Спектршшше функции канонических систем // ХП школа по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 14-20 сентября 1987 г.): Тез.докл. - Тамбов, 1987.-С.69.

, 7. СахноЕИч А.Л. К спектральной теории канонических систем. -Одесса. 1987. - 37 с. - Деп. в ВИНИТИ. 25.06.87, № 4657.

8. Сахнович А.Л., Спитковский И.И. О блоч*;..-теплицевых матрицах и связанных с ними свойствах гауссовой модели на полуоси //Теорет. и мат.физика. - 1985. - 63, №. I. - С.154-160.

9. Сахнович Л.Л. Об одном классе экстремальных задач //Изв, АН СССР. Сер.мат. - 1987. - 51, й 2. - С.436-443.

10. Сахнович А.Л. Асимптотика спектральных функций S-узла //Изв.гузов. Математика. - 1988. - И. - С.62-72.

11. Сахнович А.Л. Смешанная задача для нелинейного уравнения Шредкнгера и спектральная обратная задача. - Одесса. 1989. -

75 с. - Деп. в ВИНИТИ. 16.05.89, У* 3255.

12. Сахнович А.Л. Задача Рур са для уравнения сйнус-Гордон // До!У1, All УССР. Сер.А. - 1989. - & 12. - C.I4-I7.

■ 13. Сахнович "А.Л. Учет начально-краевых условий в линейном уравнении Шредпнгера //Судостроительная промышленность. Сэр. Акустика. - 1990. - Вып.6. - С.65-87.

14. Сахнович А.Л. Нелинейное уравнение Шредингера на полуоси и связанная с ним обратная задача /Дкр.мат.яурн. - 1990. - 42,

№ 3. - С.356-353.

15. Сахнов и ч А. Л. Об одном методе решения задач дифракции // Журн.вычислит.математики и мат.физики., - 1990. - 20, К'1. -

С. 169-171.

16. Сахнович А.Л. Спектральные функции канонической системы 2п-го порядка //Мат. сб. - 1990. - 181, К И. - С.1510-1524.

17. Сахнович А.Л. Задача н-волн на полуоси //Успехи мат. наук. - 1991. - 46. » 4. - С.171-172.

18. Сахнович А.Л. Про побудову явних розв'язк1в нелШйних р1внянь методом операторних тотожностей //СпектральЩ I еволзэ-ц1йн1 задач1: Тез.допов. - Ки1в: КМК ВО, 1991. - С.68-69.

19. Сахнович А.Л. Задача И-волн на полуоси // 16-я Всесоюз. шк. по теории линейных операторов в функцион.пространствах: На- • терпалы к лекциям. - Н.Новгород, 1992. - С.95-114.

Подп. в печ. 27.08.92. Формат 60x84/16. Бумага тип. Офс.печать. Усл. печ. л. 1,86. Усл. щ>.-отт. 1,86. Уч.-над. л. 1,4. Тираж 120 экз. Зак. 3№ Бесплатно.

Отпечатано в Институте математики АН Украины 252601 Кйбв 4, ГСП, ул. Репина, 3