Спектральные свойства краевых задач на графе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ч/н

п /

На правах рукописи

Кулаев Руслан Черменович

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ГРАФЕ

01.01.02- дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-1998

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор

Покорный Юлий Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент

Завгородний Михаил Григорьевич.

Официальные оппоненты:: доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков А. Г.,

доктор физико-математических наук, Власов В. В.

Ведущая организация Саратовский государственный университет.

Защита состоится " 30 " июня 1998 года в (5.20 на заседании диссертационного совета К063.48.09. по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу 394593 г. Воронеж, Университетская пл. 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " 29 " М-ст_1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.Г. Задорожний

Актуальность темы. Большой теоретический и практический интерес представляет изучение спектральных задач, порожденных дифференциальными уравнениями на графах. Это связано как с развитием самой спектральной теории дифференциальных уравнений на графах, так и с запросами многих естественно - научных дисциплин. Многие задачи линейной теории устойчивости неконсерватнвных упругих систем сводятся к исследованию дифференциальных уравнений второго порядка. При исследовании устойчивости решений этих уравнений в инженерной литературе часто применяется спектральный подход. Так, решения задачи являются устойчивыми, если все собственные значения этой задачи имеют отрицательные вещественные части1' . В связи с этим вопрос устойчгаости решен™ дифференциальных уравнений тесно переплетается с вопросами о структуре спектра и о зависимости собственных значений от начальных данных.

Наиболее активно исследуемыми на сегодняшний день являются задачи определения собственных и присоединенных функций, разложение определенных классов функций в ряд по собственным и присоединенным функциям. Задачи подобного рода возникают, в частности, для обоснования метода Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных на графах. Эти вопросы имеют и важное самостоятельное значение в спектральной теории дифференциальных операторов. В настоящее время вопрос о базисности и полноте корневых (собственных и присоединенных) функций достаточно развит. В частности, М.Г. Завгородннм2' установлена спектральная полнота корневых функций краевой задачи, заданной на графе. При этом были рассмотрены вопросы

'' Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. // М. Физматтаз. 196]; Крейн М. Г. Лекции по теории линейных

дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.// АН Укр. ССР. Киев. 1961.

2) Завгородний М. Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе. //ДАН .1994. Т.335. №3. С.281-283.

нагшчия и вида цепочек собственных и присоединенных функций. Однако, вопросы, касающиеся описания корневых цепочек, вопрос о кратности собственных функций и длины цепочек присоединенных функций на графе до сих пор не затрагивались.

Цель работы. Описание структуры спектра краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на графе. Изучение зависимости собственных значений от параметров, входящих условие гладкости. Получение оденок для геометрической кратности собственных значений, а также исследование вопроса об алгебраической кратности собственных значений и о существовании присоединенных функций

Методика исследования. В диссертации используются качественные методы классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, методы теории уравнений математической физики, методы теории функций комплексного переменного, а также методы теории ОДУ на графах (развитые, в основном, воронежскими математиками).

Научная новизна. В работе изучена структура спектра краевой задачи на графе при произвольных (не обязательно положительных) параметрах^ (а), входящих в условия согласования. Выделено множество вещественных точек спектра, которые не зависят от параметров«, (а). Получены оценки геометрической кратности собственных значений, зависящие от параметров а: (а ). Приводятся свойства собственных значений, геометрическая кратность которых максимальна. Рассмотрен вопрос о кратности собственных функций и о существовании присоединенных функций краевой задачи на графе.

Все результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в дальнейшем развитии спектральной теории краевых задач на графах и в исследовании задач, возникающих в теории упругости, теории устойчивости и др.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались: на весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения V" (Воронеж, 1994 г.), на темней Воронежской математической школе "Современные методы в теории краевых задач'' (Воронеж, 1996 г.), в школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997 г.), а также на семинаре по качественной теории краевых задач (проф. Покорный Ю.В., НИИ математики ВГУ).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в коцце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит го введения, трех глав и списка литературы. Она содержит 119 страниц, включая библиографический список из 48 наименований работ соотечественников и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит кратким исторический обзор результатов по вопросам спектральной теории краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на графах и обзор результатов диссертации.

Первая глава состоит из двух параграфов. Первый параграф служит для введения основных понятий. Центральными являются понятия графа и дифференциального уравнения на графе. В этом пункте мы приведем эти понятия, а остальные будем вводить по мере надобности.

Пусть задан конечный набор ¡г = открытых попарно

непересекающихся интервалов го Я", т.е. множеств вида

{(1-/)а + /й| а,Ь е К", 0 < г < 11

Дополнительно об этом наборе будем предполагать, что у) П У } = ®

при / ■ф У (здесь у - замыкание у; в Я"). Пусть А - множество концов

интервалов У}, а А0 - множество тех концов этих интервалов, которые являются общим как минимум для двух интервалов.

Пусть А1 - некоторое подмножество Ас. Если множество Г , представляющее собой объединение интервалов у, (как множеств из К") и

множества А[, является связным в Я", то его мы будем называть открытым связным геометрическим графом (в дальнейшем - просто графом). При этом точки из А будем называть вершинами графа Г, точки из А1 - внутренними вершинами Г, а точки из А\ А1 - граничными вершинами Г.

Множество граничных вершин Г нам удобно в дальнейшем обозначать нерезв Г, а множество его внутренних вершин - через «/(Г). Ниже всегда будем предполагать, что д Г Ф- 0. Интервалы у; будем именовать ребрами графа Г. Объединение всех ребер Г, как множеств из Я", будем обозначать через Я(Г). Для любой вершины а графа Г через /(а) будем обозначать

множество = \,т\а е/, |. Будем ниже всегда предполагать, что если

а то |/(а)| = 1 (подобная мотивировка этого предложения

приведена в параграфе 1 первой главы).

Циклом графа будем называть его подмножество, гомеоморфное окружности. Если граф не имеет циклов, то его мы будем именовать графом-деревом. Везде в дальнейшем рассматривается случай, когда Г является деревом.

С каждой пнугренней вершиной а 6 ЛуГ) будем связывать набор вещественных чисел (а)] I 6 .

Гладкой на Г называется равномерно непрерывная на Г функция «(•), имеющая на каждом ребре у | равномерно непрерывные производные и удовлетворяющая равенствам

ТаХа)и](а) = 0 (аеУ(Г)). (3)

В (3) ил (й) обозначает производную функции и(-), посчнтшшуто в направлен™ "от а " вдоль ребра у,

Обозначим через С^Г), С'^Г), множество функций,

определенных на У?(Г), и обладающих на каждом ух равномерно непрерывными производными до, соответственно, нулевого, первого и второго порядков включительно. Множества гладких функций из С(Г)и из

С 2 (Г) будем обозначать, соответственно через С1 ( Г^ и С 2 (Г^.

Под дифференциальным уравнением второго порядка на графе Г

понимается соотношение

[р гС)+ци = / (х еГ) (4)

Смысл этого уравнения раскрывается в понятии его решения. Решением уравнения (4) называется функция из удовлетворяющая на каждом

ребре уравнению

где «,(•), /?,(-), <?,.(•), /(■)-сужения на функций (•), р {), Ц (•),

У(")- Всюду далее предполагается, что /5ёС'(Л, ё С(Г)', относительно /?(•) дополнительно предполагается, что

тф(х)}|* еД(Г) } > 0.

Для уравнения (4) можно ставить краевые задачи, добавляя к нему какие-либо условия на границе Г. В основном мы рассматриваем условия Дирихле.

и\д г = 0.

Во втором параграфе рассматривается вопрос о зависимости собственных значений задачи,

(/7 и'У+дк = Я и ,. иЬг = 0, (5)

заданной на графе-дереве Г, от параметров СХ1 (а), входящих в условие (3).

Напомним, что решение £/(•) уравнения (5) по определению принадлежит пространству С2(Г^и поэтому непрерьшно и удовлетворяет

(3).

Ранее было доказано1' , что если граф Г является деревом и параметрыСС1 (а) положительны, то спектр задачи (5), (3) вещественен.

Оказывается что при произвольных (не обязательно положительных) СС: (а) собственные значения задачи (5), (3) не всегда являются вещественными. При изменении ОС1 (а) точки спектра меняют свое расположение в комплексной

Л - плоскости. Однако часть точек спектра не зависит от параметров ОС, (а).

Будем говорить, что собственная функция обладает свойством (А), если в каждой внутре1шей вершине графа либо она сама равна нулю, либо равны нулю все ее производные вдоль ребер, примыкающих к этой вершине.

Теорема 1.1 Пусть Лд - собственное значение задачи (5), (3) при

некотором наборе не содержащем нулей, и ему отвечает

собственная функция, удовлетворяющая условию (А). Тогда Л0 является собственным значением и при любом наборе параметров СС^а^ и ему отвечает собственная функция, удовлетворяющая условию (Л).

Обозначим через <Т0 множество собственных значений (5), (3) таких, что среди собственных функций, отвечающих им, существует собственная функция, удовлетворяющая условию (А).

'' Аль-Обейд А., Прядиев В.Л. О спектре краевой задачи на графе.// Деп. в ВИНИТИ 09.03.93. №573-В93.20 с.

Теорема 1.2 Пусть фиксированное число Л0 является собственным значением задачи (5), (3) при любом наборе СС) (а). Тогда Л0 6(7,,.

Затем на основе этих двух теорем устанавливается такой факт: Теорема 1.3 Множество собственных значений задачи (5), (3), принадлежащих О~0, вещественно.

Далее рассматривается случай, когда все параметры ОС1 (а) равны нулю. Для этого случая установлено

следующее утверждение.

Теорема 1.4 Пусть С1 - произвольная внутренняя вершина графа Г. И пусть все параметры (Х1 (а) (7 е /(а)) равны нулю. Тогда спектр задачи

(5), (3) заполняет всю комплексную Л - плоскость.

' Во второй главе рассматривается вопрос о зависимости геометрической кратности собственных значений краевой задачи (5), (3) от параметров

СХ1 (а , ^ {с1] входящих в условие (3).

Пусть Л0 - собственное значение задачи (5), (3) при некотором

фиксированном наборе а^С^. Рассмотрим уравнение (5), суженное на

ребро /1 = (а^ ,(?,,). Пусть также Л0 является собственным значением

задачи

(р, щ ')'+<?,и, = я щ, и{аи) = 0 = и(а,г) (7)

если ребро у{ — {а^ , а^ | является внутреншш для графа Г, и Л0 не является собственным значением задачи (7), если ребро граничное. Обозначим через П число граничных ребер Г, а через - число внутренних его ребер. Через будем обозначать геометрическую

кратность значения Л0.

Рассмотрим набор {(11 е ./(Он содержит ровно

/=« + 2(5 — 1) элементов. Всевозможные наборы параметров ОС^а^

будем рассматривать как точки /-мерного евклидовою пространства Обозначим через Е' т (0 < Ш < /) множество всех точек пространства К', у которых ровно т координат равны нулю.

Теорема 2.1 Если {aJ и 0 < П1 < /, то = 1.

Теорема 2.2 Если е£/-т и 2 < /Я < Л1— 1, то

к(Ъ)<т.

Теорема 2.3 Если еЕ'~п и т< 2(^-1), то

Теорема 2.4 Если {(Xj(aJ е Е'"" и т < I, то

¿(Л,) <5

Теорема 2.5 Если ^6 то спектр задачи (5), (3)

заполняет всю комплексную Я-плоскость и геометрическая кратность любой точки спектра равна 5.

Приведенные в теоремах 2.1 - 2.4 оценки геометрической кратности

допускают уточнения, если на параметры CC¡ {а} ^ наложить дополнительные условия.

Пусть С11 (а])- произвольный элемент набора По

определению параметров СС1 (а^) а} является внутренней вершиной и индекс / е !(а] ), т.е. ребро у 1 примыкает к вершине а] {а] ). Т.о. каждому параметру ¿2Г, (¿/^) ставится в соответствие ребро у ¡,

примыкающее к а;. Пусть СС^ {а^ ^ и (Х^ (а^ ^ два произвольных

элемента из

набора и у ^ ,у ^ -соответствующие им ребра,

примыкающие к а^ ,. Маршрут, соединяющий вершины а^ , а^, и, содержащий ребра у г ,у ^, обозначим через Г [(_/',,/7 ), (]2,/2 )} • Отметим, что такой маршрут существует не обязательно.

Пусть € Е' т. По определению ровно т координат равны

нулю. Обозначим через Ет множество пар индексов (_/,2') таких, что, и соответствующее ребро является внутренним.

Обозначим через Г(£т) множество всевозможных маршрутов Г{(/1 А ), 02 Л )} л™ которых пары (/,),(у2, Маршрут

из Г(£т) назовем простым, если в нем не содержится других маршрутов из Г(Е„). Другими словами, маршрут Г {(у^ ,/2 ), У2 )} состоящий из ребер у 1 — ,ау (| {^П— 1 ,к— называется простым, если все параметры <2, +] ^ {( — \,к ~ отличны от нуля, а

СС1 (а^ ^ = 0 = Систему простых маршрутов {Г, } е Г(Ет )

назовем линейно независимой, если для любого / найдется ребро у1 € Г; и не принадлежащее одному из маршрутов Гу (У ^ ')'

Теорема 2.6 Пусть максимальное число линейно независимых маршрутов Г(£т) равно /П0. Тогда Ш0 < ^(Л)) — + 1

Следующие три теоремы описывают свойства собственных значений

задачи (5), (3) при а, отличных от нуля.

Теорема 2.7 Пусть к каждой внутренней вершине графа Г примыкает не менее трех ребер. И пусть геометрическая кратность

собственного значения Д., равна П — 1. Тогда значению Я^ отвечает собственная функция равная нулю во всех внутренних вершинах и нетривиальная на всех ребрах графа Г.

Теорема 2-8 Пусть к каждой внутренней вершине графа Г примыкает не менее трех ребер. Пусть Я^ собственное значение задачи (5), (3) и ему отвечает собственная функция равная нулю во всех внутренних вершинах и нетривиальная на всех ребрах графа Г. Тогда геометрическая кратность значения Лц равна П — 1.

Теорема 2.9 Если геометрическая кратность значения А^ равна П — I, то Лщ вещественно.

Третья, заключительная, глава посвящена изучению вопроса о кратности собственных функций задачи (5), (3). Рассматривается случай, когда Г является пучком.

Теорема 3.1 Пусть все параметры СС1 (а) равны нулю. Тогда спектр

задачи (5), (3) заполняет всю комплексную Л -плоскость и любому собственному значению отвечает собственная функция бесконечной кратности.

Пусть р, ,р2 и д{,д2- сужения коэффициентов р.д уравнения (5). Два ребра у1 и у2 графа Г назовем идентичными для краевой задачи (5), (3), если их длины равны и рх — рг, Чг- Пусть Г0 множество

ребер графа Г, обладающее свойствами: I) если у> ,у еГа, то они не идентичны; 2) любое ребро "/[ графа Г либо само принадлежитГ0, либо существует ребро идентичное с Обозначим через Г(/)

множество всех индексов ребер графа Г, идентичных с у . Каждому ребру из Г0 поставим в соответствие коэффициент СС = У Си (а)

(/, е Г0). Пусть множество Г0 содержит с1 элементов.

Теорема 3.2 Пусть Ль- собственное значение задачи (5), (3) и ему отвечает собственная функция равная нулю во внутренней вершине графа Г. Существует последовательность вложенных подпространств Е^ 3 Е* ' 3...1Э Е° такая, что для любого натурального числа к < (1 и для любых{<2, } € Е^ *\Е<* к ' существует собственная функция кратности не меньшей к + 1.

Теорема 3.3 Пусть Л^- собственное значение задачи (5), (3) и ему отвечает собственная функция не равная нулю во внутренней вершине графа Г. Существует последовательность вложенных подпространств Е 3 Е Э...ЭЕ" такая, что для любого натурального числа к < с1 и для любых {ц } 6 Е '' *\Е<' к 1 существует собственная функция

кратности не меньшей к.

В случае, когда дифференциальное уравнение (5), является каноническим, т.е. имеет вид и" + Ли = 0 результаты теорем 3.2, 3.3 допускают уточнения.

Пусть Я = р'. Обозначим через /, длину ребра /г Положим, что ребра графа Г занумерованы так, что р11 = лк1 {к1 б при

/ = 1 ,т0, р ^ = лк, при / = т0 +1 ,тх.

Теорема 3.4 Пусть т0 Ф 0 и с1 < 2пц < 2с/. Существует

последовательность вложенных подпространств Е^зЕ'* 1 Э...зЕ°

такая, что для любого натурального числа к < й и для

любых} вЕ^ к ' существует собственная функция кратности не меньшей г, где

г —

г —

Г к +1, при к <2{с1 — т^)

\2к-2(<1-щ) +1, при 2(с1 -т^<к<с1 Теорема 3.5 Пусть т0 = О, с1 < 2щ < 2(1. Существует

последовательность вложенных подпространств Е^ Е'' 1 Ю...1Э Е° такая, что для любого натурального числа к < с! и для любых{#,} €Е^ *\Е</ * 1 существует собственная функция кратности не меньшей г, где

[ А:, при к < 2(с1 - тх)

\2к-2(<^-т1), при 2{с1 - тх) < к < с1 Теорема 3.6 Пусть та = Существует последовательность вложенных подпространств Е^ ГЭ Е ^ ' 3...1Э Е° такая, что для любого натурального числа к и для любых {} £ Е^^'.Е"' к 1

существует собственная функция кратности равной г = 2 к + I

Теорема 3.7 Пусть /Я0 = 0 и тх — с1 Существует

последовательность вложенных подпространств Еи 3 Е^ 1 Е°

такая, что для любого натурального числа к<ё~ 1 и для любых{<2,} бЕ'' к ' существует собственная функция кратности

равной Г =

Теорема 3.8 Пусть т1} ^ 0 и 2/И, < ¿/. Существует

последовательность вложенных подпространств Е^ПэЕ^ ' Э...ЭЕ° такая, что для любого натурального числа к < с1 и для любых|СХ, | еЕ^ *\Е''' к 1 существует собственная функция кратности не меньшей к +1.

Теорема 3.9 Пусть = 0 и 2А«, < (I. Существует

последовательность вложенных подпространств Е" эЕ' 1 э.,.эЕ° такая, что для любого натурального числа к < ¿/и для

любых {«,.} & Е' к\Е'1 к 1 существует собственная функция кратности не меньшей к.

¿-к-1

Автор пользуется возможностью выразить сердечную благодарность своим научным руководителям Покорному Ю. В. и Завгороднему М. Г., а также всем участникам семинара по качественной теории краевых задач под руководством Ю. В. Покорного за полезные обсуждения результатов данной

Результаты диссертации полностью опубликованы в работах:

1. Завгородний М.Г., Кулаев Р.Ч. О существовании присоединенных функций краевой задачи на графе: Тез. докл. Весенний ВМШ "Понтрягинские чтения V". Воронеж, 1994 г. С. 49.

2. Завгородний М.Г., Кулаев Р.Ч. О кратности собственных функций краевой задачи на графе: Тез. докл. ВВМШ "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж, 1996 г. С. 77.

3. Кулаев Р.Ч. Зависимость собственных значений краевой задачи на графе от параметров, входящих в условие гладкости: Тез. докл. ВЗМШ "Современные методы теории функций и смежные проблемы".

' Воронеж, 1997 г. С. 101.

4. Завгородний М.Г., Кулаев Р.Ч. О зависимости собственных значений краевой задачи на графе от параметров, входящих в условие гладкости: \\ Деп. ВИНИТИ 19.12.97 № 3697-В97.19с.

5. Завгородний М.Г., Кулаев Р.Ч. К вопросу о кратности собственной частоты упругой системы из струн: Тез. докл. ВВМШ " Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения-1Х". Воронеж. 1998. С.76.

6. Кулаев Р.Ч. Оценка геометрической кратности собственных значений краевой задачи на графе: Тез. докл. ВЗМШ " Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения- IX". Воронеж. 1998.

В работах [1, 2, 4, 5] Завгороднему М.Г. принадлежит постановка задачи, доказательство всех лемм и теорем принадлежит Кулаеву Р.Ч.

аз Я? /.3 У /, О ¿ .__9Н г Тар /00_ 1 Лаборатория оперативной полиграфии 13ГУ.

работы.

С.118.