Спектральные задачи для оператора смешанного типа с сингулярным коэффициентом и применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правахрукописи

ИЛЬЯСОВ РАДИК РАФИКОВИЧ

Спектральные задачи для оператора смешанного типа с сингулярным коэффициентом и применения

01.01.02 - "Дифференциальные уравнения"

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Стерлитамак - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стер-литамакского государственного педагогического института и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала АН РБ

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор Сабитов К.Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сакс Р.С., доктор физико-математических наук, доцент Пулькина Л.С.

Ведущая организация: Институт математики

им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится июня 2004 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерли-тамакском государственном педагогическом институте по адресу: г.Стерлитамак, пр. Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакского государственного педагогического института

Автореферат разослан

1% сиал 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ. - мат. наук, доцент — '

Кризский В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Начало исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Три-коми и С. Геллерстедта, где впервые были поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известные как "задача Трикоми" и "задача Геллерстедта".

В дальнейшем были поставлены и исследованы новые задачи для уравнений смешанного типа как в нашей стране, так и за рубежом. Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В. Бицадзе, Л. Берса, К.Г. Гудерлея, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, Т.Д. Джу-раева, Е.И. Моисеева.

Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение спектральных задач, которое позволяет другим способом строить решения краевых задач в специальных областях для уравнений смешанного типа в виде сумм биортогональных рядов.

Спектральными задачами для уравнений смешанного типа и их применениями занимались Моисеев Е.И., Пономарев СМ., Кальменов Т.Ш., Сабитов К.Б., Мамедов Я.Н., Вагапов В.З., Ка-рамова А.А, Кучкарова А.Н., Хасанова С.Л. и другие.

Среди уравнений смешанного типа неизученным с точки зрения спектральной теории является уравнение СП. Пулькина с сингулярным коэффициентом вида

которое заменой переменной можно свести к уравнению смешанного типа с характеристическим вырождением на части эллиптической границы смешанной области.

Интерес к уравнению Пулькина вызван тем, что решение пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа

в теле вращения представимо в цилиндрических координатах в виде тригонометрического ряда Фурье, коэффициенты которого являются решениями плоской задачи Трикоми для уравнения (1).

5и = ихх + sgn I!'иУу-\--их = 0, д 6 II,

(1)

Ьи ~ ихх + иуу + Бёпг •«„=()

(2)

Пулькиным СП. [1-3] для уравнения (1) при q > 1/2 были: 1) в области гиперболичности решены задачи Коши и Дарбу; 2) в области эллиптичности построена теория потенциала, используя которую были решены граничные задачи первого и второго родов для областей с произвольным контуром, содержащим отрезок оси х — 0; 3) в смешанной области установлен принцип максимума и методами теории интегральных уравнений доказана теорема существования задачи Трикоми в случае произвольной области.

Основной целью работы является изучение следующих вопросов: исследование корректности постановок задач Коши, Дарбу и Гурса для гиперболического и эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом и комплексным параметром; построение собственных значений и соответствующих им собственных функций спектральных задач для оператора Пулькина с различными граничными условиями на эллиптической границе; исследование на полноту построенных систем собственных функций в пространстве Ьг ; построение решений краевых задач для уравнений с оператором Пулькииа.

Методы исследования. При построении собственных значений и соответствующих собственных функций спектральных задач, соответствующих задачам Дарбу, Гурса и Трикоми, используется метод разделения переменных. Существование и единственность решения задач Коши и Гурса для гиперболического уравнения с сингулярным коэффициентом доказывается методом Ри-мана. При построении решений задач Дарбу применяется метод Римана-Адамара. Построение решений задачи Трикоми и других краевых задач для уравнений с оператором Пулькина, осуществляется методом спектрального анализа, основанного на методе разделения переменных и теории разложений в биортого-нальные ряды [4]. При доказательстве единственности решения задачи Трикоми используется принцип экстремума, установленный в работах [3, 5].

Научная новизна. 1. Найдены условия, при которых классические задачи Дарбу и Гурса для гиперболического и задача Коши для эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом и комплексным параметром поставлены некорректно. Для

соответствующих им спектральных задач обнаружен непрерывный спектр собственных значений. В явном виде выписаны их собственные функции.

2. В случае корректных постановок в явном виде построены решения задач Коши, Гурса и Дарбу для гиперболического уравнения с сингулярным коэффициентом и комплексным параметром.

3. Построены собственные значения и соответствующие собственные функции спектральных задач для оператора Пулькина с различными граничными условиями на эллиптической границе специальной области. Построенные системы собственных функций исследованы на полноту в пространстве

4. Теорема существования решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина получена другим способом - методом спектрального анализа для специальной области. Этим же методом построены решения задачи Трикоми и других краевых задач для уравнения 5 и + А и = 0 при 0 < д < 1.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений смешанного типа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института (научные руководители - профессор К.Б. Сабитов, профессор Ф.Х. Мукминов и профессор И.А. Кали-ев, 1998 - 2004 гг.), а также на следующих конференциях.

1. Международная научная конференция "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (г. Стер-литамак, 1998).

2. Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач "(г. Воронеж, 1998).

3. Международная научная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Уфа, июнь 2001).

4. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Самара, май 2002).

5. Международная научная конференция "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы "(г. Стерлитамак, июнь 2003).

Публикация. Основные результаты опубликованы в работах [7]—[12], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 16 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 129 страниц, включая список литературы, состоящий из 61 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

В главе 1 в параграфах 1.1 - 1.3 изучаются краевые задачи для гиперболического уравнения

2 q

Lu = ихх — иуу -1--их + Au = 0,

(3)

где q 6 R \ {0} и А 6 С, в области G, ограниченной характеристиками АС (х + у = 0), СВ (х — у = 1), BD (х + у = 1) и

DA (х — у = 0) уравнения (3). Отметим, что Сабитовым К.Б. [6] исследовались краевые задачи для уравнения (3) при q = 0.

В § 1.1 для уравнения (3) в областях £>_ = С?П{у < 0} и G ставятся спектральные задачи, соответствующие задачам Дарбу и Гурса.

Спектральная задача Dix ■ Найти значения параметра Л и соответ ^,-рг \ юйствами:

u(x, у) € C{JD-) П С (D_),

Lu(x,y) = 0, (х, y)eD„, u(x, у) = 0, (х, у) €ÂC\JÂB.

(4)

(5)

(6)

Спектральная задача 2?гл • Найтизначенияпараметра Л и соответствующие имрешенияуравнения (5) со свойствами:

u(x, у) € C(D-.)nC1{D-UAB)nC2{D_),

(7)

«(*> y) = O, (x, y) € ЛС; (*, y) = O, (x, y) <E AB. (8)

Спектральная задача Гд . Найти значения параметра А и соот /_ ,л nCñ\ r\ n1tn\ ¡летними:

u(x, у) G C(G) ПС (G),

Lu(x,y) = 0, (x,y)eG, и (ж, у) = 0, (х, у) е ЛСи AD.

(9) (Ю) (11)

Найдены условия, при которых задачи .Du, D2X и Гд имеют непрерывные спектры собственных значений. Методом разделения переменных в явном виде выписаны соответствующие собственные функции этих задач.

Теорема 1.1. Если q < —1, то любое комплексноеХ ф 0 является собственным значением задачи (4) - (6), которому соответствует собственная функция

где Ja{-) есть функция Бесселя порядка а.

Теорема 1.2. Если q < 0, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (5), (7), (8), которому соответствует собственная функция

Теорема 1.3. Если q< 0, то любое комплекскф 0 является собственным значением задачи (9) - (11), которому соответствует собственная функция (12), где

В § 1.2 для уравнения (3) при д>0 в облас тях и G ставятся, соответственно, задачи Коши и Гурса.

Задача С. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

и{х, у) eC(D-)nCl(D-UAB)nC2(D.), (13)

Lu(x,y) = 0, (х, у)е D-, (14)

и(х, 0) = т(х), 0 < ж < 1; иу {х, 0) = f(x)> 0 < х < 1, (15)

где т(х) и и{х) —известные и достаточно гладкие функции.

и(х, у) € С{Сг) ПС,2(С), м;(16)

Ьи(х,у) = 0, (х, у) €(7, (17)

и (х, -х) = ф{х), и (х, х) = <р(х), О < х < 1/2, (18)

где ^(х), <^(х) — заданные и достаточно гладкие функции, ^(0) =

На плоскости характеристических координат и

г} — х — у решение задачи Коши определяется формулой Римана

где и)] ^о) есть функция Римана, которая имеет вид

(20)

■ ) — гипергеометрическая функция, ,7о( •) — функция Бесселя порядка нуль.

Отметим, что ранее функция Риманадля уравнения (3) при Л = —а2 < 0 была построена в виде степенного ряда Волкодаво-вым В.Ф.

Теорема 1.4. Если при q > 0 функции т(х) £ С[0, 1] П С2(0, 1) и и(х) £ L[0, 1] ПС^О, 1), то существует единственное решение задачи (13)—(15), определяемое формулой (19),вко-торой следует положить £о ~ х + уу т]о = х — у, v (£0) т/о) = и (х, у).

Решение задачи Гурса в характеристических переменных определяется формулой

Теорема 1.5. Если при 9 > 0 функции т1>(х) £ С[0, 1/2]П С2 (0, 1/2) и ^(0) = ^(0) = 0, то существует единственное решение задачи (16)-(18), определяемое формулой (21), в которой следует положить £о = х + У, *]о = % — У1 Цо )—.и(х,у).

В § 1.3 для уравнения (3) при д>0 в области ставятся

задачи Дарбу.

Задача В1. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

где т(х), ^(х) —заданные и достаточно гладкиефункции, т(0) =

т-

Задача Дг Найти функцию и(х, у) из класса

и{х, у)бС(1>_)ПС1(Р_и^4В)пСа(Л_), (26)

удовлетворяющую упавнению О1,) кпаевым условиям (24) и

и„(х, 0) = 1/(х), 0 < ж < 1, (27)

где 1/(х) - известная и достаточно гладкая функция.

^(решения задачЁДарбу^ад^Ются формулами ^

Со

+

^о + »7о Со

+

/ф (!) И0; ^_ Iл 0; чо)

о

.40

~ (I) н(0',?о' ~ ^я(0,775 ^М

о

Со

~ /ф (2) [л? 0; ^ " !л 0; * чо)] ^ " (29)

" /Ф (Ю (0, т Чо, £о) " Д(О, V, 40, £о) о

Со

+/НО Ш

<&7 +

Теорема 1.6. Если при q > 0 функции т(х) 6 С[0, 1] П С2(0, 1) и ф(х) 6 С[0, 1/2]пС2(0, 1/2), причем т(0) = Ш = 0, то существует единственное решение задачи (22) - (25), определяемое формулой (28), в которой следует положить (о = х + у, Т]0=х-у, vi (£oi Vo) =и(х, у) .

Теорема 1.7. Если при q > 0 функции rp(x) е С[0, 1/2] П С2(0, 1/2), гр(0) = 0 и v(x) б L[0, 1]ПСг(0.*)> ™ существует единственное решение задачи (23), (24), (26), (27), определяемое формулой (29), в которой следует положить = х + у, rjo — х-У, v2(£o, т?о) = гф, у).

В § 1.4 для эллиптического уравнения

о

Lu = uxx+uvv + — ux+Xu = 0, (30)

где q Ф 0 и А £ С, в области D, ограниченной отрезком KN оси х = 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей справа от оси х = 0, с концами в точках К и N, ставится спектральная задача, соответствующая задаче Коши с данными на отрезке KN.

Спектральная задача С\ . Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (х, у) со свойствами:

«(*, У) € C(D) nCHDUKN)n G2{D), (31)

Lu{x,y) = 0, {x, у) 6 D, (32)

u (*, ») = 0. (x, У) e Щ (x, у) = 0, (X, у) e iöv. (зз)

Справедлива

Теорема 1.8. Если q < 0, то любое комплексное X ф 0 является собственным значением задачи (31) - (33), которому соответствует собственная функция

и(х, у) = (л/Х*)1-2* (y/A(x*+]?)y~1J1-t (х/Лр+7)) •

В главе 2 изучаются спектральные задачи для оператора Пулькина С.П. В § 2.1 уравнение смешанного типа

еу

Su + Xu = ихх + sgny • иуу Л--Uz + Au = 0, (34)

где д Е Л \ {0} и А 6 С, рассматривается в области £>, ограниченной характеристиками АС (х + у = 0) и С В {х — у — .1) уравнения (34); отрезком АК оси х = 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках К и В. Обозначая £>_ = В П {у < 0}, = Б П {у > 0}, для уравнения (34) в зависимости от д ставится спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми.

Спектральная задача Т\. Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (х, у) с условиями:

и{х, у) е с{Б)пс1{П) л с2(1>_ и г>+),

Би(х, у) + Хи(х, у) = 0, ' (х, у) е Г>_ и £>+, и(х,у) = 0, (х, у)еАСиТ. и(х, у)=0, (х,у)еАК, д < 1/2.

(35)

(36)

(37)

(38)

В § 2.2 в случае, когда кривая Г совпадает с четвертью, единичной окружности Го = {(х, у) | х2 +у2 = 1, х > 0, у > 0}, методом разделения переменных найдено счетное множество положительных собственных значений и построены соответствующие им собственные функции задачи Т\ .

Теорема 2.1. Если д < 1/2, то собственными значениями спектральной задачи (35) - (38) являются положительные корни Хп,т, тп € 1М, уравнения ^п-д-1/2 (л/А) =0, п 6 N. Собственные функции в областях Б+ и имеют, соответственно, вид

к - Г(п+ЦГ(|-д)

Теорема 2.2. Ясли (¡г > 1/2, то собственными значениями спектральной задачи (35) - (37) являются положительные корни \п,т, т € М, уравнения /2п+д-з/2(л/А) =0, п € N. Собственные функции в областях и /?_ гшеют, соответственно, вид

< т (г. У) = ^Ап,т(г2+1/2)) (\/Кт{х2 +у2)^ X

„ /3 3 1 х2 N

Х \4 _ П' П 4' ^ 2' +

ип, т (г. у) = 72п+д-|

■ 3 1 1 х2-у2\

г _ Г(п + 1)Г(| + д)

В § 2.3 построенная система собственных функций задачи Т\ исследуется на полноту в ¿2.

Теорема 2.3. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при <7 > 1/2 полна с весом х29"1 в Хг(2?+).

Теорема 2.4. Система собственных функций спектральной задачи Ту при ц > 1/2 не полна с весом х2'-1 в Ьъ(0), причем размерность дефекта равна бесконечности.

Теорема 2.5. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при д < 1/2 полна в Ьг(£)+) и не полна в причем размерность дефекта равна бесконечности.

В §§ 2.4 — 2.6 в области Э поставлены спектральные задачи.

Спектральная задача ТИ\ д . Найти значения А и соответствующие им решения и(х, у) 6 С(£))ПС1(£)иГ)пС'2(и_и

D+) уравнения (36) с условиями и = 0; и — 0 при q< 1/2; &|г = 0.

Спектральная задача ТАГ2 А • Найти значения А и соответствующие им решенья и(х, у) € C(D) Г\ С1 (D U АК) П C2(D~ U Z?+) уравнения (36) при q > Ос условиями и — 0;

Ux)ak~q пРи 0 < g < 1/2 / и ]г = 0.

Спектральная задача TN\ . Найти значения А и соответствующие им решения и (х, у) € C(D) П C1(D U АК U Г) П C2[D_ U уравнения (36) при q > 0 с условиями и = 0; иг|ЛК = 0 при 0 < g < 1/2; =

В случае Г = Го построены собственные значения и соответствующие собственные функции указанных спектральных задач. Системы собственных функций исследованы на полноту в Ьг-

В главе 3 на основании работы [4] построены решения краевых задач, соответствующих спектральным задачам Т\, TN\ TN2 х и TN\, для уравнений с оператором Пулькина. В § 3.1 для уравнения Пулькина

2 q

S и = ихх + sgni/ • иуу Н--их - 0

X

в области D в зависимости от q > 0 ставится

Задача Т. Найти функцию и (ж, у) с условиями:

и{х,у) 6 C(D) Л С1 (D) Л С2 (D_ U D+), (39)

S и\х, у) = 0, (х, у) е £>_ U D+, (40)

и(х, у) = 0, (х,у)еАС, (41)

и {х, У) = 0, (х,у)еАК, 0 <д <1/2, (42)

и{х, y) = f{x, у), (х, у) € Г, (43)

где / (х, у) — заданная и достаточно гладкая функция, причем f(K)= 0 при 0 < q < 1/2 .

Единственность решения задачи Т следует из принципа максимума для уравнения Su = 0 при q > 0 в области D , установленного в [1, 5].

Теорема 3.1. Если 0 < q < 1/2 и функция f(tp) в С[0, 7г/2], /(7г/2) = 0 и дифференцируема в (0, зг/2), f'(<p) 6 ¿2/(1+2,)[0, тг/2]

то существует единственное решение и (х, у) задачи (39) - (43), которое имеет вид и (х, у) = fn(х> у) > Функция

ип (ж, у) в областях D+ и D— задается, соответственно, формулами

ui(x, =

„/3 13 х2 \

, íx2 _„2\2n-«-J

п./ 1 1 o 1 х2-У2\

x „_q+_i2n-g+-; —JL j ,

и коэффициенты fn определяются в работе:

Теорема 3.2. Если 1/2 < q < 1 и функция f[<p) е С[0, тг/2] tt дифференцируема в (0, -к/2), f'(ip) € Х2/(з-2?)[0, тг/2]> то существует единственное решение и (х, у) задачи (39) - (41), (43), которое имеет вид и{х, у) = fnVn[x, у), где функция ип (х, у) в областях D+ и D- задается, соответственно, формулами

< («, У) = (** + У2) 1 F (f - п, п + , - §, | 4- я ,

и~(х, у) = (х2-у2)п-*

„ ( 1 3 n 1

х F (n- n + q — -, 2n + q -

и коэффициенты fn определяются в работе.

В случае q > 1 решение задачи Трикоми также выписывается в виде суммы биортогонального ряда, но при дополнительных условиях разрешимости интегрального типа на граничную функцию f((p).

В параграфах 3.2 — 3.5 в области D для уравнения с оператором Пулькина при 0 < q < 1 и комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральных задач Т\, TNi\, XW2а и TN\f поставлены соответствующие краевые задачи. Решения этих задач при Г = Го представлены в виде сумм биортогональных рядов.

Для примера приведем результат § 3.2. В области D при Г = Го для уравнения Пулькина с комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральной задачи ставится задача Трикоми.

Задача Т. Найти функцию и(х, у) из класса функций (39), удовлетворяющуюуравнению

и условиям (41), (42) и (43).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 3.4. Если 0 < q < 1/2 и функция f(<p) удовлетворяет условиям теоремы 3.1, то существует решение и (я, у) задачи с условиями (39), (41) - (43), (44), которое имеет вид и(х, у) = ^"j/ntinfii у), где функция ип(х, у) в областях £>+ и D-. задается, соответственно, формулами

х

X

Теорема 3.5. Если 1/2 < д < 1 ифункция ${<р)удовлетворяет* условиям теоремы 3.2, то существует решение и(х, у) задачи с условиями (39), (41), (43), (44), которое имеет вид и (ж, у) = /п и„ (х, у) , где функция и„ (х, у) в областях

и Б- задается, соответственно, формулами

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Ка-милю Басировичу Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

1.ПулькинСП.Некоторыекраевыезадачидляуравнения ихх± иуу + £«1 = 0 I Уч. зап. Куйбыш. пединститута. - 1958. -Вып. 21. - С. 3-54.

2. Пулькин С П. Исследование по уравнениям смешанного типа: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Казань, КГУ. 1958.

3. Пулькин СП. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта // Известия вузов. Математика. - 1960. № 6(19). - С. 214-225.

4. Моисеев Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биортогоналъного ряда // Дифференц. уравнения. -1991. Т. 27. Л* 7. - С 1229-1237.

/х2_у2у-\ ( ! 3 1

1 X2 - у2 2' х2

Список литературы

5. Сабитов К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа //Дифференц. уравнения. -1988. Т. 24. № 11. -С. 1967-1976.

6. Сабитов К.Б. Построение в явном видерешений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. /// Дифференц. уравнения. - 1990. Т. 26. Л* 6. - С. 1023-1032.

7. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. Решение задачи Трикоми для уравнения с сингулярным коэффициентом методом разделения переменных / Труды, межд. науч. конф. "Комп. анализ, дифференц. урав. и смежные вопросы". - Ч. 3. Анализ и дифференц. уравнения. - Уфа: ИМ УНЦ, 2000. - С. 153-159.

8. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Известия вузов. Математика. - 2001. № 5(468). - С. 59-63.

9. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. Решение задачи Трикоми для уравнения с сингулярным коэффициентом спектральнымме-тодом II Известия вузов. Математика. - 2004. N* 2. - С. 6471.

10. Ильясов P.P. О некорректных краевых задачах для одного гиперболическогоуравнения/Тез.докл. конф. "Понтрягин-ские чтения X". Современные методы в теории краевых задач. - Воронеж, 1998. - С. 215.

11. Ильясов P.P. О спектре задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом / Сб. науч. трудов СФ АН РБ "Дифференц. уравнения и их применения в физике". - Ч. 1. - Стерлитамак: СФ АН РБ, 1999. -С. 24-30.

12. Ильясов P.P. Построениерешениязадачи Трикоми - Неймана для уравнения СП. Пулъкипа методом разделения переменных/Труды межд. науч. конф. "Дифференц. уравнения и их приложения". - Самара: СамГаса, 2002. - С. 147-151.

Работы [7-9] выполнены в соавторстве с научным руководителем Сабитовым К.Б., которому принадлежит постановка задач.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, коды грантов 99-0100934, 02-01-97901.

04- 13952

Подписано в печать Формат 60 х 84i/ie. Гарнитура "Time". Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № ¿osfatf

Отпечатано в типографии Стерлитамакского государственного педагогического института: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

Введение

1 Краевые задачи для гиперболического и эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом

§ 1.1. Спектральные задачи, соответствующие задачам Дарбу и Гурса.

§ 1.2. Решение задач Коши и Гурса.

§ 1.3. Построение решений задач Дарбу.

§1-4.0 неединственности решения задачи Коши для эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом.

2 Спектральные задачи для оператора Пулькина

§2.1. Постановка спектральной задачи Тд

§ 2.2. Построение собственных значений и соответствующих им собственных функций задачи Тд

§2.3. Исследование на полноту в ¿2 системы собственных функций задачи Тд

§2.4. Спектральная задача ТИ\\ с производной по нормали к части эллиптической границы

§ 2.5. Спектральная задача ТЛ^а с производной по нормали к линии сингулярности.

§ 2.6. Спектральная задача ТЛГд с производной по нормали к эллиптической границе

3 Построение решений краевых задач для уравнений с оператором Пулькина

§ 3.1. Построение решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина

§ 3.2. Построение решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина с комплексным параметром.

§ 3.3. Построение решения задачи TNi

§ 3.4. Построение решения задачи TN

§ 3.5. Построение решения задачи TN.

§ 3.6. Построение решения пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Начало исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [53, 54] и С. Геллер-стедта [61], где впервые были поставлены и изучены краевые задачи для модельных уравнений. Так, Ф. Трикоми рассмотрел уравнение уихх + иуу = 0 (0.1) в области И, ограниченной гладкой кривой Г, расположенной в верхней полуплоскости, с концами в точках А и В оси у = 0, и характеристиками АС {х + у = 0) и С В (х — у = 1) уравнения (0.1). Им была поставлена

Задача Трикоми. Найти в области Б решение и (х, у) уравнения (0.1) из класса функций и (х, у) е С(П) П С\В) П С2(И \ АВ), удовлетворяющее граничному условию и (х, у) = щ (х, у), (х, у) е АС и Г, где щ (х, у) — заданная и достаточно гладкая функция.

Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при условии, что гладкая кривая Г оканчивается в точках А к В двумя сколь угодно малой длины дугами "нормальной" кривой уравнения (0.1), а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.

Геллерстедт решил задачу Трикоми для уравнения

Ут ихх + иуу-си = F(x,у), где т = 2к — 1, к £ N, с — достаточно малая константа, F (х, у) — заданная функция, при тех же ограничениях на кривую Г, что и у Трикоми. Ему также принадлежит постановка краевой задачи, известной как задача Геллерстедта, которая является обобщением задачи Трикоми.

В 40 - х годах Ф.И. Франкль [56, 57] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля [58], A.B. Бицадзе [5] -[7], К.И. Бабенко [1] было положено начало современной теории краевых задач для уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены новые краевые задачи, которые в дальнейшем изучались многими авторами как в нашей стране, так и за рубежом. Основные результаты этих работ и соответствующая им * библиография приведены в монографиях A.B. Бицадзе [7, 8], Л. Берса [3],

К.Г. Гудерлея [11], М.М. Смирнова [50] - [52], М.С. Салахитдинова [48], Т.Д. Джураева [13], Е.И. Моисеева [23].

Прикладная значимость полученных результатов в теории краевых задач для уравнений смешанного типа указана в работах О.С. Рыжова [34], А.Д. Пилия и В.И. Федорова [28], Э.Г. Шифрина [60], Г.Г. Черного [59], А.Г. Кузьмина [20] в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы и другими вопросами.

Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение соответствующих им спектральных задач. В ,41 качестве примера приведем формулировку спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми, для оператора Лаврентьева-Бицадзе

Ви = ихх + sgn у • иуу в области D.

Спектральная задача Т\ . Найти значения комплексного параметра X и соответствующие им функции и (х, у) со свойствами: и {х, у) е C(D) n C\D) n C\D \ AB),

Ви (х, у) + \и (х, у) = 0, (х, у) G D \ AB, и{х, у) = о, (х, у) еЖиг.

Отметим нелинейный характер постановки спектральной задачи — неизвестные Л и и(х, у), называемые собственными значениями и соответствующими собственными функциями задачи Т\, входят в виде произведения в дифференциальное уравнение.

Спектральные задачи изучались Моисеевым Е.И. [23], Пономаревым С.М., Кальменовым Т.Ш., Сабитовым К.Б., Мамедовым Я.Н., Вагаповым В.З., Карамовой A.A., Кучкаровой А.Н., Хасановой C.J1. и другими.

Пономарев С.М. [29] в случае специальной области — полукруга для оператора Лаврентьева-Бицадзе методом разделения переменных нашел собственные значения задачи Т\ как нули функции Бесселя. Также им были выписаны в явном виде соответствующие собственные функции и исследованы на полноту в пространстве L2.

В работе [17] Кальменовым Т.Ш. было установлено существование одного собственного значения спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми, для оператора sgn у • ихх + иуу в случае произвольной области.

Сабитов К.Б. [40] исследовал спектральную задачу для оператора Лаврентьева - Бицадзе, соответствующую задаче Франкля.

Мамедовым Я.Н. [22] решена спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми, для оператора ихх + у иуу + а иу для значений 0 < с* < 1. При а > 1 спектральная задача изучена в работе Вагапова В.З. [9]

Карамовой А.А [45] изучены спектральные задачи для операторов смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Кучкаровой А.Н. [44] изучена спектральная задача, соответствующая задаче Геллерстедта, для различных уравнений смешанного типа. Хасанова С.Л. [47] исследовала спектральные задачи для уравнений с характеристическим вырождением. В указанных работах в случае специальных областей найдены собственные значения и в явном виде выписаны соответствующие собственные функции, а также выполнено исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве L2.

Моисеев Е. И. в работах [25], [26] на основе спектрального анализа предложил новый способ построения решений краевых задач в специальных областях для уравнений смешанного типа с комплексным параметром А, отличным от собственных значений соответствующих спектральных задач, в виде сумм биортогональных рядов. Развитием этого метода для других классов уравнений смешанного типа занимались Сабитов К.Б., Полосин A.A. [30], Вагапов В.З. [9], Карамова A.A., Кучкарова А.Н, Хаса-нова C.JI. и другие.

Среди уравнений смешанного типа неизученным с точки зрения спектральной теории является уравнение С.П. Пулькина с сингулярным коэффициентом вида

2 Q

Su = ихх + sgny Uyy--их = О, geR\{0}, (0.2) X которое заменой переменной можно свести к уравнению смешанного типа с характеристическим вырождением на части эллиптической границы смешанной области.

Интерес к уравнению Пулькина вызван тем, что решение пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа

Lu = ихх 4- иуу 4- sgn z-uzz = 0 (0.3) в теле вращения представимо в цилиндрических координатах в виде тригонометрического ряда Фурье [33], коэффициенты которого являются решениями плоской задачи Трикоми для уравнения (0.2).

Пулькиным С.П. [1-3] для уравнения (0.2) при q > 1/2 были: 1) в области гиперболичности решены задачи Коши и Дарбу; 2) в области эллиптичности построена теория потенциала, используя которую были решены граничные задачи первого и второго родов для областей с произвольным контуром, содержащим отрезок оси х = 0; 3) в смешанной области установлен принцип максимума и методами теории интегральных уравнений доказана теорема существования задачи Трикоми в случае произвольной области.

В связи с уравнениями смешанного типа второго рода отметим также исследования по краевым задачам для модельных уравнений Каро-ля И. Л. [18] и Сабитова К.Б. [35].

Целью данной работы является изучение следующих вопросов:

1) исследование корректности постановок задач Коши, Дарбу и Гур-са для гиперболического и задачи Коши для эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом и комплексным параметром: построение решений указанных задач для гиперболического уравнения в случае их корректных постановок;

2) построение собственных значений и собственных функций спектральных задач для оператора Пулькина с различными граничными условиями на эллиптической границе; исследование построенных систем собственных функций на полноту в ¿2 5

3) построение решений задачи Трикоми и других краевых задач для уравнений с оператором Пулькина;

4) построение решения пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа (0.3).

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул.

В главе 1 в параграфах 1.1 - 1.3 изучаются краевые задачи для гиперболического уравнения

2 о

Ьи = ихх — иуу Н--их + А и = 0, (0.4) где q ^ 0 и A G С , в области G, ограниченной характеристиками АС (х+ у-0), СВ (х-у = 1), BD (х+у = 1) и DA (х-у = 0) уравнения (0.4).

В § 1.1 для уравнения (0.4) в областях D- = G П {у < 0} и G ставятся спектральные задачи, соответствующие задачам Дарбу и Гурса.

Спектральная задача Dlx. Найти значения параметра А « соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям: и (х, у) е CfD) П С2(Г>), (0.5)

Lu(x,y) = 0, (х, у) ED-, (0.6) и (X, у) = О, (х, у) е AC U АВ. (0.7)

Спектральная задача D 2\ . Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (х, у) из класса и (х, у) е C(D-) HCl(DU АВ) П C2(£L), (0.8) удовлетворяющие уравнению (0.6) и условиям: Г и (х, у) = 0, (х, у) е иу (х, у) = 0, (х, у) е АВ. (0.9)

Спектральная задача Гд . Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (ж, у), удовлетворяющие условиям: и(х, y)eC(G)nC2{G), (0.10)

Lu(x,y) = 0, (х, у) G G, (0.11) и (х, у) = 0, (х, у) € AC U AD. (0.12)

Найдены условия, при которых задачи D\\, Д^а и Г\ имеют непрерывные спектры собственных значений. Методом разделения переменных в явном виде выписаны соответствующие собственные функции этих задач.

Теорема 1.1. Если q < — 1, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.5) - (0.7), которому соответствует собственная функция и (х, у) = -\у (х/Л(х2 y2)yq-1Jq1(cJX(x> - у2)) , где Ja( •) есть функция Бесселя порядка а.

Теорема 1.2. Если q < 0, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.6), (0.8), (0.9), которому соответствует собственная функция и (х, у) = [yj\{x2 - y2)y9J-q(y/\(x2 - у2)) . (0.13)

Теорема 1.3. Если q < 0, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.10) - (0.12), которому соответствует собственная функция (0.13), где (х, у) Е G.

В § 1.2 для уравнения (0.4) при q > 0 в областях D и G ставятся, соответственно, задачи Коши и Гурса.

Задача С. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) е C(DJ) П C\D U АВ) П С2(Г>), (0.14)

Lu(x,y) = 0, (x,y)€D-, (0.15) и (х, 0) = т(х), 0 < х < 1; иу (:г, 0) = i/(z), 0 < ж < 1, (0.16) где т(х) и и(х) — известные и достаточно гладкие функции.

Задача Г . Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и(х, у) GC(Ü)flC2(G), (0.17)

Lti(®,y) = 0f (0.18) и — и{х, —х) — ф(х), и = и(х, х) — (р(х), 0 < х < - , (0.19) где ф(х), ip(x) — заданные и достаточно гладкие функции, ф(0) = <р(0).

На плоскости характеристических координат £ = х + у и r¡ — х — у решение задачи Коши определяется формулой Римана

T)o Vo г(0 [Щ к, £ »?о) - Ъ, К, »7о)1 de-/ КО Д К, £ Éo, *7о) ^ о ÍO где г}] £о> ?7о) есть функция Римана, которая имеет вид х

Щ, т е., ,о) = (¿±2.)

ЗД = (1 - а)^ (д, д, 1; а),

0.21)

7 =

-ЫЬ-Чо) е + ^оЖо + г?)'

• ) есть гипергеометрическая функция, а 7о( • ) — функция Бесселя порядка нуль.

Теорема 1.4. Если при д > 0 функции т(х) е С[0, 1] П С2(0, 1) и 6 1] П С1 (0, 1), то существует единственное решение задачи (0.14)-(0.16), определяемое формулой (0.20), в которой следует положить £0 = х + у, г)о = х-у, V (£ о, V о) = и (я, у).

Решение задачи Гурса в характеристических переменных определяется формулой

6 У^/бЛ , ( чо

Ш'Ч1) - Ш'Ч?)

- /V (|) [щ К, 0; ео, т) -1 Я (С, 0; т) о

Ло Тф (I) К 775 (0' ^ *1о)

0.22)

Теорема 1.5. Ясли при д > 0 функции (р(х), € С[0, 1/2] П

С2(0, 1/2) и ^>(0) = -0(0) = 0, то существует единственное решение задачи (0.17) — (0.19), определяемое формулой (0.22), в которой следует положить £ о = х + у, г)о = х — у, V (£ о, Чо) = и (х, у) •

В § 1.3 для уравнения (0.4) при д>0 в £) ставятся задачи Дарбу. Задача Их. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и(х, у)еС(П-)пС2(П.), и и

Ьи(х,у) = 0, (х, у) е £>, = и (х, -х) = ф(х), 0<х<^, и(х, 0) = т(х), 0 < х < 1,

АВ

0.23) (0.24) (0.25) (0.26) где т(х), гр(х) — заданные и достаточно гладкие функции, г(0) = ^(СО-Задача • Найти функцию и (х, у) из класса и (:г, у) е С(Р-) Пи АВ) П С2(Л), удовлетворяющую уравнению (0.24), краевым условиям (0.25) и ди дИ

АВ иу (х, 0) = 1/(х), 0 < х < 1,

0.27)

0.28) где и(х) - известная и достаточно гладкая функция. Решения задач Дарбу задаются формулами : г]о У , СПо\ ( £0

VI

1о

2£о о + »7о гКо) - / т(0 [Щ К, 6 Г)о) - Д, К, 6 £о, »7о)] « + о

0.29) ь /V (|) [Де К, 0; £о, г/о) -1 л к, о; »70)] «

- /V (|) [я, (О, Г/; £0, Г70) - | Д (О, Г7; £о, *7о)] Л?,

- /V (|) [дс К. »70) - | Л К, 0; »70)] <*е

0.30)

Rri (O, m fo» lo) ~ - R (0, 77; fo, rjo) drj + o

Теорема 1.6. Если при q > 0 функции т(х) 6 С[0, 1] П С2(0, 1) и ф(х) в С[0, 1/2] П С2(0, 1/2), причем т{0) = = 0, то существует единственное решение задачи (0.23) - (0.26), определяемое формулой (0.29), в которой следует положить £о = х + у, "По = х — у, vi Ко, rio) = и (х, у).

Теорема 1.7. Если при q > 0 функции ф(х) G С[0, 1/2]ПС2(0, 1/2), ф(0) = 0 и v{x) 6 L[0, 1] ПС1(0, 1), то существует единственное решение задачи (0.24), (0.25), (0.27), (0.28), определяемое формулой (0.30), в которой f о = я + 2/, г)0 = х-у, v2 (£о> Vo) = и (я, у) ■ В § 1.4 для эллиптического уравнения где q и Л € С , в области В , ограниченной отрезком NN оси х = 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей справа от оси х = 0 , с концами в точках К и N, ставится спектральная задача, соответствующая задаче Коши с данными на отрезке КЫ .

Спектральная задача С\ . Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (ж, у), удовлетворяющие условиям: и (яг, у) = о, (яг, у) е KN; их (х, у) = 0, (a?, у) Е KN. (0.34)

Имеет место

Теорема 1.8. Если q < 0, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.32) - (0.34), которому соответствует

Ьи = ихх + иуу Н--их + Л и = 0, х

0.31) и (a?, у) G C(D) П С1^! U KN) П C2(D), Lu (х, у) = 0, (х, у) в D,

0.32) (0.33) собственная функция и(х, у) = (VXx)1'29 (M*2 + y2))e~Vff (у/\(х* + У2)) .

В главе 2 изучаются спектральные задачи для оператора Пулькина.

В § 2.1 уравнение смешанного типа 9

Su + Xu = ихх + Sgnу • иуу Н--их + \и = 0, (0.35) X где д £ R \ {0} и А £ С , рассматривается в области D, ограниченной характеристиками АС (х + у = 0) и С В (х — у = 1) уравнения (0.35); отрезком АК оси х = 0, К = (0, к), к > 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках К и В. Обозначая D- = D П {у < 0}, D+ = D П {у > 0}, для уравнения (0.35) в зависимости от q ставится спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми.

Спектральная задача T\(q < 1/2). Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х, у), удовлетворяющие условиям: и (ж, у) е C(D) П C\D) П C2(D U D+), (0.36)

Su (х, у) + \и (яг, у) = 0, (ж, у) G D- U D+, (0.37) и (х, у) = О, (х, у) е АС и АК U Г. (0.38)

Спектральная задача T\(q > 1/2). Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х, у) из класса (0.36), удовлетворяющие уравнению (0.37) и условию и (х, у) = 0, (х, у) е 1С U Г. (0.39)

В § 2.2 в случае, когда кривая Г совпадает с четвертью единичной окружности Го = {(х, у) | х2 + у2 = 1, х > 0, у > 0} , методом разделения переменных найдено счетное множество положительных собственных значений и соответствующие им собственные функции задачи Т\.

Теорема 2.1. Если q < 1/2, то собственными значениями спектральной задачи (0.36) - (0.38) являются положительные корни Ап>т, т € К, уравнения «72п-д-§(\^)= 0, п 6 N. Соответствующие собственные функции имеют вид ип,т{х, У) = < , . , . т(®| 2/) = (^п,т(ж2 + 2/2)) 972п9|(^/ЛП)т(ж2 + 2/2)) X / х2 /3 1 3 X2 \ 4 2 х2 + у2)' ип,т (*» у) = К- (л/А п,т(х2-у2)) (А», т(х2 - ?/2)) X х2-у2\п-1*( 11 л 1 я2-</2\

X -о— ^ п - 7, 7 + п - ъ 2п - д + -; х2 ; V 4'4 2' х2 ;'

Теорема 2.2. ^сли д > 1/2, то собственными значениями спектральной задачи (0.36), (0.37), (0.39) являются положительные корни АП) т > т € N, уравнения «727н-д-§(^'А)=: 0> п £ N . Соответствующие им собственные функции имеют вид ,/<т(я>2/)> (а?,у)е£>+, т (#» ^ — | гг ~ т (ж, г/), (х, у) € />-,

2/) = (\Мп,т(я2 + 2/2)) 9Лп+д|(л/Лп,т(а:2 + 2/2)) х /3 3 1 ж2 \ п + д - д + -; ь, II/ I у , у I , о . 2 )

4 4 2 х1-\-у1) ип,т у) = • (\Лп,т(я2-2/2)) 9лп+д|(улп,т(а;2-?/2)) х

1 X2 — ут

2' х*

- Г(п + 1) ГЙ + 9) к"-Г(1 -п) Г(2„ + д-1)

В § 2.3 построенная система собственных функций задачи Т\ исследуется на полноту в Ьч .

Теорема 2.3. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при д> 1/2 полна с весом х2я~1 в 1,2

Теорема 2.4. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при д > 1/2 не полна с весом х2я~1 в ¿2 (■£*)» причем размерность дефекта равна бесконечности.

Теорема 2.5. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при д < 1/2 полна в 1^2(1?+) и не полна в Ь2(-0), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В параграфах 2.4 — 2.6 в области Б поставлены следующие спектральные задачи.

Спектральная задача ТУУхд. Найти значения А и соответствующие им решения и(х, у) е С (И) П С1 (И и Г) П С2(1> и £>+) уравне

АС ния (0.37) с условиями и= 0; и= 0 при д <\] ^

АК 0.

Спектральная задача ТЛ^л- Найти значения А и соответствующие им решения и (х, у) е С(П) П С1(И и АК) П С2(/) и £>+) уравнения (0.37) при д > 0 с условиями и и

АЛ 0; их

АК 0 при 0 < д < \\ 0.

Спектральная задача ТЫ\. Найти значения А и соответствующие им решения и(х, у) е С(П) П С\0 и АК и Г) П С2[В- и £+) уравнения (0.37) при д > 0 с условиями и = 0; их =0 при

АС АК о<д<Ь Ш о.

В случае Г = Го найдены собственные значения и выписаны в явном виде собственные функции указанных спектральных задач. Системы собственных функций исследованы на полноту в 1/2

В главе 3 на основании работ Е.И. Моисеева [25], [26] построены решения краевых задач, соответствующих спектральным задачам Тд, ТЛ^ д, ТЫ2 д и Т^Уд, для уравнения с оператором Пулькина и комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральных задач. В § 3.1 для уравнения Пулькина

2д

Би = ихх + sgnу • иуу -|--их = О, где д > 0 , в области И ставится

Задача Т. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) Е С(П) П С1 (И) П С2(£> и £>+), (0.40)

Б и (х, у) = 0, (я?, у) в £> и £>+, (0.41) и (х, у) = 0, (х, у) е АС, (0.42) и (х, у) = 0, (х, у) е АК, 0 < д < 1/2, (0.43) и (х, у) = / (х, у), (я?, у) е Г, (0.44) где /(я, у) — заданная и достаточно гладкая функция, /(К) =0 при 0 < д < 1/2 .

Единственность решения задачи Т следует из принципа максимума для уравнения Б и = 0 при д > 0 в области £), установленного в [31, 37].

Решая в области £) вторую задачу Дарбу, получено функциональное соотношение между следом и (х, 0) решения и следом иу (х, 0) нормальной производной решения на отрезке АВ, на основании которого задача Т сведена к нелокальной эллиптической задаче в области И+.

Задача Т+ . Найти функцию и(х, у) е С(П+) П С1(Б+ и АВ) П С2 (£)+), удовлетворяющую уравнению Би = 0 в £)+, условиям (0.43), (0.44) и и{х>о)=/ {гЬТр {я> я>1; (гг!)2)о) ° - *

В случае, когда Г = Го, решение задачи Т+ построено в виде суммы биортогонального ряда. Вычислив след суммы ряда при у = 0 и подставив его в формулу решения задачи Дарбу, получено решение задачи Т в £).

Теорема 3.1. Если 0 < <? < 1/2 и функция ¡{<р) 6 С[0, 7г/2], тт/2) = 0 и дифференцируема в (0, 7г/2), /'(<р) е Ь2/(1+29)[0> -тг/2], то существует единственное решение задачи (0.40) - (0.44), имеющее вид

00

Ц /« <4 2/), (я, у) € £>+, х, 2/) = < п=1 оо

Ум ^п я, г/), (ж, 2/) е П=1 х> у) = х 2п-2д—| Ж

-п ж2 + 2/2 х п/3 13 \

Ж + у --д; ^^ I , ип 2/) = ®

--2п-2а-Ь (х У

2\ X

X*

1 1 1 х2-уТ х п-д + -, 2п-д + -; — где коэффициенты /п определяются в работе по формулам (3.32).

Теорема 3.2. Если 1/2 < д < 1 и функция /((р) е С[0, 7г/2] и дифференцируема в (0, 7г/2), /'(</?)€ Ь2/(з2д)[0, 7г/2], то существует единственное решение задачи (0.40) - (0.42), (0.44), которое имеет вид и{х,у) = оо ~ /п<4 К у), у) е £>+>

П=1 п ип п=1

0.45) (*» У) = (я2 + У2) 3

3 1 4' 2 ж'

П (*. у) = - У2) 4

-у 2 где коэффициенты /п определяются в работе по формулам (3.43).

В случае д > 1 решение задачи Трикоми также выписывается в виде суммы биортогонального ряда при дополнительных условиях разрешимости на граничную функцию /(<р). Приведем результат для значений д = т+ 1/2, т = 0, 1, 2, . .

Будем говорить, что функция f{^p) удовлетворяет условиям (А), если:

Теорема 3.3. Пусть д = т + 1/2, т = 0, 1, 2, . и функция /(<р) удовлетворяет условиям (А). Тогда существует единственное решение задачи (0.40) - (0.42), (0.44), которое имеет вид (0.45), где коэффициенты /„ вычисляются по формулам

В параграфах 3.2 — 3.5 в области Б для уравнения с оператором Пулькина при 0 < д < 1 и комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральных задач Та, ТЫ\\, ТЛ^а и Т/Уд, поставлены соответствующие краевые задачи. Решения этих задач при Г = Го представлены в виде сумм биортогональных рядов. где п = 0, ., втвёв '

В § 3.6 рассмотрена пространственная задача Трикоми для уравнения смешанного типа (0.3) в теле G, ограниченном: 1) при z > 0 поверхностью вращения Е : z = сг(г), г2 = х2 + у2, где cr(r) € С[0, 1], <т(г) > 0 для г € (0, 1), причем сг(0) = а0 > 0, сг(1) = 0; 2) при г < 0 боковыми поверхностями конусов К\ : z = —г, 0 < г < 1/2 и : z = г — 1, 1/2 < г < 1.

Задача Т. Найти функцию и (х, у, г) со свойствами: и(х, у, z)e C(G) nC1(G)nC2{G1\J G2), Lu (x, у, z) = 0, (ж, y, z) e Gi U G2, и и u (x, у, <r(r)) = Ф y), 0<x2 + y2 <1,

- = u(x, y, -r) = Ф (х, y), 0 < ж2 + y2 < i

Л1 J где Gi = <3n{z > 0}, G2 = GCi{z < 0}, Ф (x, у) и Ф (а:, у) — заданные и достаточно гладкие функции.

Отметим, что задача Т изучалась в работе [33]. Аналогичная краевая задача с граничным условием на конусе рассматривалась в [4].

Используя подход работы [33], вопрос существования решения задачи Т рассмотрен в случае, когда Е есть полусфера, Ф (х, у) = 0 и функция Фх (г, в) = Ф (г cos 0, г sin в) допускает разложение в равномерно сходящийся на [0, 1] х [—7Г, 7г] ряд Фурье: оо ф1 (г, в)= Y, г™ Am(r) cos m0 + Bm{r) sin тв

771=0

Показано, что при некоторых ограничениях на коэффициенты Ат(г) и Вт(г) решение задачи Т представляется в виде суммы равномерно сходящегося на <2 тригонометрического ряда Фурье: оо и (г, 0, z) = ^ rm Pm (г, z) cos 7710 + Qm (r, z) sin 1710

771=0

0.46) функциональные коэффициенты Рт (г, г) и фт (г, г) которого на плоскости (г, г) являются решениями задачи Трикоми для уравнения Пулькина при д = т + 1/2 с граничными условиями: т

-=Ат(г), дт=Бт(г), т 0.

Выписаны представления функциональных коэффициентов Рт (г, х) и Ят (г, в виде сумм рядов. Обоснована равномерная сходимость на 6? повторного ряда (0.46), а также возможность его почленного дифференцирования в области <3.

1. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М. 1952.-195 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973. - 296 с.

3. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

4. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа в многомерных областях // Доклады АН СССР. 1956. Т.110. № 6. - С.901-902.

5. Бицадзе A.B. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. Т. 70. № 4. - С. 561-564.

6. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 1951.

7. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 с.

9. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1 М: ИЛ, 1949. - 799 с.

10. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ, 1960. - 421 с.

11. Градштпейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и рядов. -М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

12. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно составного типов. - Ташкент: Фан, 1979. - 238 с.

13. Ильясов P.P. О некорректных краевых задачах для одного гиперболического уравнения / Тезисы докл. конф. "Понтрягинские чтения X". Современные методы в теории краевых задач. Воронеж, 1998. - С. 215.

14. Ильясов P.P. О спектре задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом / Сбор. науч. трудов "Дифференц. уравнения и их применения в физике". Ч. 1. - Стерлитамак: СФ АН РБ, СГПИ 1999. - С. 24-30.

15. Ильясов P.P. Построение решения задачи Трикоми-Неймана для уравнения С.П. Пулькина методом разделения переменных / Труды, межд. науч. конф. "Дифференц. уравнения и их приложения". Самара: Сам-Гаса, 2002. - С. 147-151.

16. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева- Бицадзе // Дифференц. уравнения. -1977. Т. 13. № 8. С. 1718-1725.

17. Кароль И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сб., -1956, -Т.38(80), № 3, С.261-283.

18. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. Т.77. № 2(1951). -С. 181-183.

19. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. JL: Изд-во ЛГУ, 1990. - 208 с.

20. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -830 с.

21. Мамедов Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 1. -С. 163-168.

22. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

23. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. - С. 177-179.

24. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 1. - С. 93-103.

25. Моисеев Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биорто-гонального ряда // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 7. - С. 12291237.

26. Олевский М.Н. О функции Римана для дифференциального уравнения // Доклады АН СССР. 1952. Т.87. № 3. - С. 337-340.

27. Пилия А.Д., Федоров В.И. Особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью // Журн. экспер. и теор. физики. 1971. Т. 60. - вып.1. - С. 389-399.

28. Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева- Бицадзе: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М. 1981.

29. Полосин А.А. О разложении решения обобщенной задачи Геллерстедта в биортогональный ряд // Дифференц. уравнения. 1996.- Т. 32, N 1. -С. 435-437.

30. Пулъкин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта // Известия вузов. Математика. 1960. № 6(19). - С. 214-225.

31. Пулъкин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнения ихх ± иуу + Еих = 0 / Уч. зап. Куйбыш. пединститута. 1958. - Вып. 21. - С. 3-54.

32. Пулъкин С. П. Исследование по уравнениям смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Казань, КГУ. 1958.

33. Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. -М.: ВЦ АН СССР, 1965. 236 с.

34. Сабитов К.Б. О задаче Трикоми для уравнения Лавреньтева-Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения. -1986. Т.22, № 11. С.1977-1984.

35. Сабитов К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 11. - С. 1967-1976.

36. Сабитов К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. К0- 6. - С. 10231032.

37. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики М.: Высшая школа, 2003. -255 с.

38. Сабитов К.Б. О спектре одной газодинамической задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР 1991- Т. 316, N 1С. 40-44.

39. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Известия вузов. Математика. -2001. № 5(468). С. 59-63.

40. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. Решение задачи Трикоми для уравнения с сингулярным коэффициентом спектральным методом // Известия вузов. Математика. 2004. № 2. - С. 64-71.

41. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. Спектральные свойства решений задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения // Сиб. мат. журнал. 2001. Т. 42. № 5. - С. 1147-1161.

42. Сабитов К.Б., Карамова A.A. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Известия РАН. Серия матем. 2001. № 4. -С. 133-150.

43. Сабитов К.Б., Гималтдинова A.A. Об одной газодинамической задаче для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 1. - С. 111-116.

44. Сабитов К.Б., Хасанова С.Л. Спектральные свойства краевой задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применения // Известия вузов. Математика. 2003. JV2 6. -С. 64-76.

45. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно составного типа. - Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

46. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

47. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292 с.

48. Смирнов M.M. Уравнения смешанного типа. M.: Наука, 1970. - 296 с.

49. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

50. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. M.-JL: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

51. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

52. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

53. Франкль Ф.И. К теории сопел Лаваля // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1945. Т. 9. № 5. С. 387-422.

54. Франкль Ф.И. О задачах Чаплыгина С.А. для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. № 2. -С. 121-142.

55. Франкль Ф.И. Об одной новой краевой задаче для уравнения у zxx -f Zyy = 0 // Учен, записки МГУ. 1951. - Вып. 152. Механика, 3. - С. 99116.

56. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. - 424 с.

57. Шифрин Э.Г. О единственности "в целом"решения прямой задачи Лаваля // Журн. вычислит, мат. и матем. физики. 1978. Т. 18. № 2. -С. 509-512.

58. Gellerstedt S. G. Sur on problème aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte: These pour le doctorat. -Uppsala, 1935. 92 p.