Сравнительный анализ краевых задач в теории колебания пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГБ ОД

1 3 г,)£8 __________________________________________

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЕГОРЫЧЕВ ОЛЕГ ОЛЕГОВИЧ

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва • 1994 г.

Работа выполнена в Московском государственном Строительно!. Университете.

Научный руководитель • доктор технических наук, профессор

Филиппов И;Г.

Официальные оппоненты -

доктор технических паузе, профессор Таратории Б.И.

доктор технических наук, профессор Мамадалиев И.

Ведущая организация - ЦНИИСК им. В.В. Кучеренко

Защита состоится 1995 г. в /Г* . часо!

на заседании Диссертационного Совета Д.053.11.02 при Московской государственном Строительном Университете по адресу: 113114, Мое ква, Шлюзовая набережная, дом 8, аудитория 409.

Просим Вас принять участие в защите и направить Ваш отзыв пс адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, дом 26, Ученый Сонет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан ".

Ученый секретарь Диссертационного Совета д.т.н., профессор

Шаблинский Г.Э

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ----------

Актуальность темы. Пластины, как плоские элементы конструкций, в настоящее время нашли широкое применение в различных областях техники и строительства. Это об'ясняется тем, чт тонкостенным конструкциям присуши легкость и рациональное п. форм, высокая несущая способность, экономичность и хорошая технологичность. Огромный размах промышленного н жилищного строительства приводит к необходимости дальнейшего развития положений строительной науки. Одним из таких вопросов является «опрос расчетаколебаний ограниченных в плане плоских конструкций. Поэтому развитие и уточнение теорий колебания пластин, а также точная формулировка краевых задач для этих теорий является одним из актуальнейших разделов прикладной теории упругости.

Отметим, что многие уточненные теории поперечных колебаний пластин основываются на ряде допущений и гипотез физического и геометрического характера, в ряде случаев не согласующихся между собой, а также отсутствует строгое обоснование начальных и граничных условий. В силу этого анализ полученных в диссертационной работе граничных услоиий, при решении краевых задач о поперечных колебаниях прямоугольных в плане пластин и сравнительный анализ полученных решений для различных видов урапнеиий х»ле-бания(т.е. для различных теорий колебания) является не< ьма актуальной темой для научного поиска, имеющей несомненный практический интерес,-

Цель диссертационной работы:

— строгий математический вывод граничных и начальных условий для уравнений поперечных колебаний пластин 4-го и более высоких порядков по производным для различных видов закрепления;

— решение задач о собственных поперечных колебаниях прямоугольной в плане пластины для различных теорий колебаний;

— вывод частотных уравнений и нахождение собп нешулч частот поперечных колебаний прямоугольных в плане пластин;

— сравнение полученных результатов для различных теорий колебаний.

Научная новизна:

— выведены повые граничные и начальные условия для уравнения поперечных колебаний 4-го порядка по производным но времени и по координатам, полученного по теории колебаний Филиппова;

— обоснован подход для строгого формулирования граничных и начальных условий для приближенных уравнений поперечных колебаний пластин 4-го и более высоких порядков по производным по координатам и Бремени, полученных по теории построен!^ уравнений колебаний пластин, основанной на математическом подходе (о дальнейшем часто называемая теорией Филиппова), для наиболее распространенных случаев закрепления; "JV-/;

— решена задача о собственных поперечных колебаниях, прямо* угольной в плане пластины шарнирно закреплённой по всем четырем краям, для теорий колебаний Кирхгофа, Тимошенко й Филиппова;

— выведены частотные уравнения и посчитаны частоты собственных поперечных колебаний прямоугольной: в плане пластины шарнирно закрепленной по всем четырем краям для теорий колебаний Кирхгофа, Тимошенко и Филиппова;

— выведены приближенные частотные уравнения » посчитаны частоты собственных поперечных колебаний для прямоугольной в плане пластины шарнирно закрепленной по двум протнвоположным краям, с жестко закрепленным третьим краем в свободным от закрепления четвертым, для теорий колебания Кирхгофа, Тямошевко и Филиппова; Vv^-v'iV '^иУлг í;^'■■•;•■■

— проведен сраввителышй аиализ полученных результатов.

Практическое значение работы. Получеиныетеоретические результаты для решения динамических задач яоперечного колебания пластин постоянной .толщины дшволякуг бойее;точцо рассч!ггы1вать иапряженно-деформироваииое сюстояине пластиН при весташюнар-ных внешних нагрузках.; Выведенные формулы для определения значений частот свободных поперечных колебаний пластины постоянной толщины д ля различных видов закреплений,удобны для практического использования и могут быть применены для.,расчета стро-втелъпых и других инженерных конструкций. Vс '•< У

Изложенные в диссертациопноЦ работе результаты «снованы па решении задач известными методами интегральных преобразований и методе декомпозиции Г.И. Пшспнчцова. .

Апробация работы. Основныеположепия выполненных исследований по диссертационной работе освещены о трех статьях. Результаты работы докладывались" па П-ом и Ш-ем российско-польских семинарах "Теоретические основы строительства", на паучном семинаре кафедры "Теоретическая механика" МГСУ.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заклю-

чепия и библиографии. Работа изложена на страницах, н»

них: 2 таблицы, £ рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы, уточняются основные теоретические посылки, обосновывается научная повита и практическая значимость работы, характеризуется ее структура. Дан краткий обзор по теории пластин.

Значительный вклад в развитие приближенных теорий колебания и методов решения динамических задач внесли Э.М. Григо-люк, В.Г. Коренев, Г.И. Пшеиичнов, М.Т. Селезов, С.П. Тимошенко, Я.С. Уфлянд и другие.

- Математические методы построения приближенных теорий колебания развивались в работах В.З. Власова, Б.Ф. Власова, H.A. Кильчевского, Г.М. Петрашеня, М.Т. Селезова, И.Г. Филиппова и

~ В нервом параграфе первой главы кратко описываются основные теории колебаний пластин и полученные на их основании уравнения (классическое уравнение параболического тина Кирхгофа, уравнения гиперболического тина полученные на основе различных гипотез Тимошенко, Б.Ф. Власовым, Briinelle и Селезоным) поперечных колебаний пластин, а также приведена постановка граничных и начальных условий для этих уравнений.

Отмечен, во-первых, тот факт, что для уравнений гни<ч>боличе-ского типа (Тимошенко, Селезова и др.) четвертого и более высоких порядков по производной но времени, необходимое число начальных условий не сформулировано в силу неясности способа задания на практике (в эксперименте) третьей и более высоких частных производных по времени от вспомогательной функции поперечного изгиба W(x,y, t), для которой написаны все эти уравнения; во-вторых, подчеркнуто отсутствие математически корректного вывода граничных условий Для этой вспомогательной функции. <

Во втором параграфе первой плацы подробно излагается теория построения уравнений колебаний пластин, основанная на математическом подходе (теория Фи; ипова), выписаны общие и приближенные уравнения поперечных колебаний пластин, полученные на основании этой теории.

vy Рассматривается упругая изотропная бесконечная в плане ила-стана, которая в н«деформированном состояний занимает слелую-

шую область:

П = {-оо < х, у < +оо; -А < г < Л}

(1)

Зависимости напряжений от деформаций принимаются в виде обобщенного закона Гука, компоненты тензора деформаций удовлетворяют соотношениям Коши.

Граничные условия на поверхности пластины г — ±Л имеют

вид:

«г« »««^«(».у.О;®».-^*.».') (2)

Начальные условия нулевые.

Решение краевой задачи методом интегральных преобразований позволяет перемещения точек пластины и, V, IV выразить через смещения и деформации точек срединной плоскости пластины по формулам:

пшО 4 4

г3"*1 (2п + 1)!

,(«) Л-Ь^ дг 2 ~ \ +2(1 ду*

Я

V)

л + л р (ди дУ\\ г*»

~\ + 2цЧп\дх + ду)}{ 2п)!

22П+1

(2 п + 1)!

(3)

(2п)!

где Л и ц — константы Ламе, Д — плоский оператор Лапласа, а остальные обозначения равны:

= £ А1Гт'1)4т)} 0° = 0; = 1

га«0

при этом ТУ — перемещение, а Г/,У — деформации в срединной плоскости г => 0 пластины. л

Общие уравнения колебаний мало пригодны для проведения инженерных расчетов н поэтому удобнее необходимо использовать приближённые уравнения конечного порядкя по производным, получаемые из общих ограничением числа слагаемых в рядах по Л. Например ограничиваясь в рядах членами порядка не выше Л2 получим:

Р (IV) - Л4- ( 81" -4- 0/Л 4- Л Л <>д7\ ^

б А + ) V Лг 01/ )

1

4р(ЗЛ-М/0 д £ 8/i(A + /i) л2]

А + 2/j <9i2 А + 2/J

(б)

Зто уравнение гиперболического типа четвертого порядка по производим. Ограничиваясь большим числом членов в общих уравнениях колебаний можно получить приближенные уравнения гиперболического типа более высоких порядков.

В третьем параграфе первой главы предлагается подход для строгого формулирования граничных « начальных условии для приближенных уравнений поперечных колебаний пластип 4-го п более высоких порядков по производным по координатам и времени, полученных на оспопапин теории колебании Филиппова, и выведены граничные и начальные условия для приближенного уравнения 4-го порядка для наиболее распространенных случаев закреплеппя.

, Для уравнения поперечных колебании (б) в случае нулевые начальные условия будут выглядеть следующим образом: ;

... d\V d2W 83\V :

Граничные условия для того же уравпеппя для разных видов закрепления будут иметь вид: а) жесткая заделка края х = const:

■ dW

W SS —— а о при X rs conet (8)

• .. OX

б) шарнирная заделка крал х ««coast:

, ff*W , ■ •.,:•.. ■ ■ '

- W ш • „ в 0 при х в const(9)

ох* •;•.-'.;.-.:-

' : Для жесткой и шарнирной заделки вновь выведенныеприбли-жеивые условия совпадают с классическими, однако для ураввеппя 6-го порядка соответствующие ему приближенные граничные условия будутотличатьсяот классических, в то же врёмяхохраняяпол-вый физический смысл точных граничных условий.Так, например, для уравнения 6-го порядка, для шарнирного закрепления получается: " „

в) свободный край х » coast: s

pd'W PW SX+7tiPW

t при х в const

Эти граничные условия свободного края дляуравнения 4-го порядка по производным отличаются от классических, которые имеют . вид: . ' '

дх5" * вх»" " при х » const . (12)

своим первым. f ,

. Первое условие (11а) учитывает динамическую деформируемость свободного крм, в этом условий появляется инерционный член, что вполне соответствует физическому пониманию поведения свободного от нагрузок края (т!е. здесь усматривается 'аналогия С; появлением инерционного члена в принципе Даламбера в теоретической механике).

Используя изложенный в этом параграфе метод можно однозначно формулировать начальные и грЦичиые условия для урааяе-вий колебания и более высоких порядков по производным

В первом параграфе второй главы строится точное аналитическое решение задачи о собственных поперечных колебаниях упругой прямоугольной в плане пластины, шарнирно закрепленной по всем

}

четырем краям. Выведены частотные уравнения для уравнений колебания Кирхгофа, Тимошенко и Филиппова. Для большого диапазона материалов й геометрических размеров пластяп посчитаны собственные частоты соответствующие теориям колебания Кирхгофа, Тимошенко и Филиппова. Результаты вычислений представлены в таблице и на графиках. Проведен сравнительный анализ частот

на основании теории Тимошенко; сплошная и пунктирная линии —г на основании теории Филиппова, сплошная с крестами — теории Кирхгофа. По осп абсцпсс откладывались значения параметра " 7, а по осп ординат — значения частот где « = 1,2.

где = + V (13)

; параметр у песет в себе, информацию о том -— насколько "тон-

кая"(или "толстая") рассматриваемая пластина, т.к. и этот параметр входят соотношения ^т и тт. " • '

Во втором параграфе второй главы приведена постановка краевых задач для прямоугольной в плане пластины, два противоположных края которой закреплены шарнирно, а два других произвольным образом. С помощью метода декомпозиции Г.И. Пшеничпова построены приближенные частотные уравнения для прямоугольной о плане пластины два противоположных края которой закреплены шарнирно, третий край закреплен жестко< и четвертый — свободен. Посчитаны частоты и проведен сравнительный анализ частот собственных колебаний для теорий Кирхгофа, Тимошенко и Филнппо-ьа. Результаты вычислений представлены в таблице и па трафиках.

' На графике точечная и штрихпунктирная линии соответствуют 1-ой и 2-ой частотам собственных колебаний прямоугольной, шарнирно опертой по всем четырем граням пластине, полученным на основании теории' Тимошенко; сплошная и пунктирная линии — на основании теории Филиппова, сплошная с крестами — теории Кирхгофа. По оси абсцисс откладывались значения а по оси ординат значения частот. л '

и

Частоты зависят от трех параметров: двух геометрических — щ — п г]2 ■ц-, первый из которых соответствует "вытяпуто-стп" пластины, а второй песет информацию о том, насколько "толстая". или "топкая" рассматриваемая пластина; н от коэффициента Пуассона V, который является физическим параметром, характеризующим материал из которого состоит рассматриваемая пластина. В диссертационной работе произведены расчеты значений собственных частот для следующих значений параметре»: и = 0,3, гц = 1; 5; 10, ¡72 = 0,01; 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3; 0,35; О,4; 0,45; 0,5.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Развиваемый математический подход к исследованию колебаг нпй пластии позволяет строго выводить граничные п начальные условия для уравнений колебаний 4-го и более высоких порядков по производной по времени н по координатам для поперечного смещения IV;

2. Частоты собственных колебаний шарннрно закрепленной прямоугольной в плане пластины найденные для уравнения поперечных колебаний полученного на основе математического подхода шике чем найденные для других теорий колебания, опирающихся пате или иные гипотезы физического и(пли) геометрического характера;

3. Для более сложных видов закрепления краев пластины, частоты собственных колебаний удобно рассчитывать с помощью метода декомпозиции;

4. Наличие в новом граничном условии для свободного края инерционного члена приводах к частотному уравнению С-го порядка, которое определяет две частоты, собствешшх колебаний фактически совпадающих с классическими и коэффициент затухания появляющийся'в связи с учетом в уточпеипом условии дппамп-чсской деформируемости свободного края.

5. Коэффициент затухания обратно пропорционален толщине пластины.

Список работ, опубликованных по теме диссертации.

1. Филиппов И.Г.Джаимулдаев Б.Д.,Егорычев 0.0.,Скропкин С.А. Филиппов С.И. Теория динамического поведения плоских элементов строптельпых конструкций.— Доклады П-го Российско-

Польского семинара "Теоретические основы стр-ва", 1993.

2. Филиппов И.Г.,Егорычев О.О. Иеклассическая теория нелинейных колебаний плоскихэлементовстроительных копструкцнй.-М.: Доклады 111-го Российско-Польского семинара "Теоретические основы стр-ва", Изд-во АСВ, 1994, с.84-88

3. Филиппов И.Г.,Егорычев 0.0. Численный метод декомпозиции в исследовании колебаний пластин.— М.: Доклады 111-го

| Российско-Польского семинара "Теоритнческие основы стр-ва", Изд-во АСВ, 1994, с.89-93

' 11 ■ Ii ............Г I I I I I

Подписано в печйть 6.01.95 Формат 60x84 /16 Печ.офс. И-I Объем I уч.-изд.л. Т.100 Заказ &

Московский государственный строительный университет. Типография ЫГСУ. 129337, Москва, Ярославское о., 26