Стабилизационные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ8 ОД 1 1 НОЯ 1336

На правят рукописи

Жаров Потр Анатольевич

СТАБИЛИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

. / V

Моема 1896

Диссертация выполнена в Московском Инженерно-физическом Ин-статуте

Научный руководитель - член-корр, РАН, доктор физ.-мат, наук, профессор Л.Д. Кудрявцев

Официальные оппоненты •

доктор физ.-мат. наук, профессор Г.Н. Яковлев кандидат физ.-мат, наук, доцент М.Ф. Сухинин

Ведущая организация -Московский Энергетический Институт

на заседании диссертационного совета К 053.'22.23 в Российском Университете Дружбы Народов по адресу:

117923 г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 485

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6)

Защита состоится

1996 года в 15 час. 30 мин.

Автореферат разослан

1996 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

М.В. Драгнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Классической одноточечной задачей для обыкновенного дифференциального уравнения является задача Коши:

х(*о) = го

. х<п-Що) = хп-и

решение которой дает информацию о поведении искомой функции х(() в некоторой окрестности точки <о € Однако, часто возникает необходимость налагать ограничения на искомую функцию не в конечной, а в бесконечно удаленной точке, и изучать поведение а;(<) именно в окрестности бесконечно удаленной точки. Таким образом, проблема построения обобщения задачи Коши на случай бесконечно удаленной точки имеет как практическое, так и теоретическое значение.

Цель работы.

Построение такого обобщения задачи Коши, которое, с одной стороны, позволяет получить информацию об искомой функции в окрестности бесконечно удаленной точки, и, с другой стороны, включает в себя классическую задачу Коши в качестве частного случая.

Методы исследования.

Главным инструментом исследований является теорема С. Банаха о сжимающих отображениях. При этом постоянно используются условия вида

(их можно назвать интегральными условиями Липшица), где функция ip(t) (заменяемая константой в классическом условии Липшица) обладает теми или иными свойствами суммируемости. Методы исследования, используемые в диссертации, развивают и опираются на методы, разработанные Л.Д. Кудрявцевым, построившим основы теории стабилизационных задач.

Научная новизна.

1. Построено обобщение задачи Коши, включающее в себя классическую задачу, и дан метод решения построенной задачи, позволяющий изучать поведение решения обыкновенного дифференциального уравнения на бесконечности. При этом оказалось, что рассматриваемое обобщение является по существу весовой задачей. Аналогичное обобщение и метод решения получены также и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Получены новые теоремы о стабилизации и лагранжевой (ядерной) стабилизации, введенных Л.Д. Кудрявцевым: если функция x(t) п — 1 раз непрерывно дифференцируема при t > Т, то

а) найдется дифференциальный оператор

с непрерывными коэффициентами = р^х(£), 4 > Т, такой, что в базисе ядра оператора Ь1адг функция ж(<) лагранжево (ядерно) стабилизируется к нулю.

б) если п > 2, то найдется дифференциальный оператор

с непрерывными коэффициентами д= ?;,х(0> ' > такой,что в ядре оператора Ь,%аь существует и единствен элемент, к которому стабилизируется х{1).

3. Для уравнения Риккати вида

^l = x\t) + h{t),t> О,

получена теорема о приближенном решении, а если к

h(t) = ^ a jtj, т <к,к> -1, ак < О,

j=m

то предложен простой способ нахождения его приближенного решения (по сути, метод неопределенных коэффициентов), позволяющий из системы алгебраических уравнений определить функцию zo(t) такую, что при t —► +00 имеет место соотношение

где x(í) - некоторое частное решение, а > 1 -любое наперед заданное число, С(а) - некоторая константа при всяком а.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории стабилизационных задач для дифференциальных уравнений.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на Международной математической конференции "Функциональные пространства, Теория приближений, Нелинейный анализ" (Москва, 27 апреля - 3 мая 1995 года), посвященной 90-летию академика С.М. Никольского, а также в Математическом Институте им. В.А. Стеклова РАН на семинаре по теории функций и ее приложениям, руководимом академиком С.М. Никольским, чл.-корр. Л.Д. Кудрявцевым, чл.-корр. О.В. Бесовым и чл.-корр. С.И. Похожаевым.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из пяти параграфов, четырех приложений и списка литературы, содержащего 19 наименований. Объем работы -82 страницы текста.

Содержание работы

§1 - введение.

§2 - посвящен изучению стабилизации и лагранжевой стабилизации функций к решениям обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение 1. Функция x(t) стабилизируется при t —► +оо с порядком m к функции v(t), если x(t) и v(t) обе m раз непрерывно дифференцируемы и

t Ишто ¿WO - «(0) = 0- 3 = 0,1.....т.

Определение 2. Лагранжевым разложением п — 1 раз непрерывно дифференцируемой функции x(t) по базису {u)t}J=1 ядра оператора L вида

^ÏF + EwWsr (1)

j=0

с непрерывными коэффициентамиpo(t),...,pn-\(t) называется представление

П !

x(t) = ^2ak(t)vk(t), k = 1

где ak(t) являются решением системы алгебраических уравнений k-l

Функция x(t) лагранжево (ядерно) стабилизируется к

п

чо = ^2akVk{t), t=i

если limt_+oo Qk(t) = «ь

Условно §2 можно разделить на три блока:

1. Теорема 1 (вариант одной задачи Ас.коли) - критерий того, чтобы п — 1 раз непрерывно на [0,оо) дифференцируемая функция х(<)1 отличная от тождественного нуля, принадлежала ядру некоторого дифференциального оператора Ь вида (1).

2. Теоремы '2, 3, 4, 5. Теоремы 2, 3, и 4, по сути дела, подчинены теореме 5, которая утверждает, что если »1 > 2, то для всякой п — 1 раз непрерывно дифференцируемой на [0, оо) функции ж(£) можно построить оператор Ь вида (1), в ядре которого существует и притом единственный элемент v, к которому стабилизируется при I +оо с порядком п — 1.

3. Теорема б и предшествующие ей леммы. Доказано, что если х(Ь) п — 1 раз непрерывно дифференцируема на [0, оо), то найдется оператор Ь вида (1) такой, что в базисе ядра Ь функция а;(<) лагранжево (ядерно) стабилизируется к нулю. Поскольку, как показано в Приложении 4, лагранжева (ядерная) стабилизация не зависит от выбора базиса, то базис можно брать любой.

§3 посвящен собственно изложению теории весовых стабилизационных задач и поэтому вместе с §5 является основным в диссертации.

Введем следующие обозначения. Положим

Сначала рассматривается невесовая стабилизационная задача

+ 00

■Г,

и при п > 1

/„[<,/(., 30-«(">(.)] =

{

= X,I > Т

[*О>(0 - «Ш(0] = 0, ¿ = 0,1.

(2)

Здесь / : [Г, оо) х К" —► К - заданная непрерывная функция, V : [Т, оо) -»1п раз непрерывно дифференцируемая известная функция,

х : [Г, оо) —» К - искомая функция. В теореме 1 утверждается, что задача (2) равносильна интегральной стабилизационной задаче

Г |/„[Г,/(.,х)-^)(.)]|<оо

I x(t) = (-irin[t,f(.,x)-vW(.)) + v(t), 1 }

то есть, x(t) является решением задачи (2) в том и только том случае, когда несобственный интеграл в (3) сходится и удовлетворяется интегральное уравнение. Задача (3) решается методом сжимающих отображений на шаре

BRie(v) = {х = я(0 : рв(х, v) < Я}, R > О,

где

п-1

Рв(х,у) = Vsup 1*0(0 - »О)(0|, в > Т.

Достаточные условия существования и единственности решения задачи (3) дает

Теорема 2. Если несобственный интеграл

In[T,f(.,v)-v(%)]

сходится, и при некотором Я > 0 существует функция tp(t) > 0, i > Т, с конечным интегралом

Г t"~l<p(t)dt

Jt

такая, что

| f(t,x(t),..., х(п-1)(0) - f(t, y(t),.... У(п_1)(0)| <

< - ^401. < > г (4)

J=0

для всех х,у 6 Br,t{v), то при достаточно большом в > Т решение задачи (3) существует и единственно.

Рассмотрение невес.овых стабилизационных задач завершается теоремой 3 о непрерывной зависимости от правой части и стабилизационных данных, в которой утверждается, что если задача (3) имеет решение zo(0> а задача

№<?(., у)-иН(.)]|<оо

y(t) = (-l)nIn[t,g(.,y) - «(»>(.)] + u(i), '

такова, что, во-первых,

t limJu^iO - wü)(i)) = 0, j = 0,1, ...n - 1,

во-вторых, функция £ на шаре Вкт(ь) удовлетворяет "интегральному условию Липшица" вида (4) с некоторой функцией т/> > О, tn~1i/i(i)d{ < оо , и, в-третьих,

(/(«»*.....ari—1») - .....ж«"-^)! < Л(<), Vx G 5я,т».

оо

¿п_1Л(0Л < оо, то задача (5) имеет, и притом единственное решение уо(') и

lim ЫЯ(0 - 4Л(0) = 0, j = 0, 1,..., »1—1.

1—>+оо

Поскольку для решения интегрального уравнения, к которому сводится задача (2), применяется метод сжимающих отображений, то не для всякого уравнения вида

*<"> = f(t,x,...Mn~l))

решение стабилизационной задачи (быть может, и существующее при подходящем выборе функции v(t) ) будет найдено, поскольку может оказаться, что при любых фиксированных Л>0и9>Тв "невесовом" шаре Bjite(v) содержится более одного решения задачи (2), а метод сжимающих отображений, по теореме С. Банаха, обеспечивает одновременно и существование, и единственность решения. Таким образом, недостатком стабилизационной задачи (2) является

L

неединственность, вообще говоря, ее решения. Возникает необходимость обобщения задачи (2) такого, которое бы этим недостатком не обладало. С этой целью вводятся неубывающие положительные весовые функции го(<),...,гп_1(<), вводится понятие весовой стабилизации и рассматривается задача

Г *(») = /(«,*.....*<"-')), ¿>Т

\ Пт^+ео г*(0(х(*>(0 - „(*)(0) = 0, к = 0,1.....п- 1, 1 }

которая при го = п = ... = г„_1 = 1 превращается в задачу (2). Теоремы 4, 5 и 6 являются весовыми аналогами теорем 1, 2 и 3, соответственно. Равносильной для задачи (6) интегральной весовой стабилизационной задачей является задача

' №,/(.,*)-^)(.)]|<оо

< *(0 = (-1)"/»[«,/(.,5)-«(п)(-)] + «(0 (7)

к иш.-.+оо гь(1)(хС*)(0 - = 0, к = 0,1, ...,п - 1,

Теорема 8 дает ответ на следующий вопрос:

Пусть уравнение :г(п) = /(<, х,..., имеет решения, неограни-

ченно продолжаемые вправо (при этом сами решения неизвестны, известен лишь факт существования таких решений). Можно ли каждое из этих решений найти как решение весовой задачи (7) при подходящем выборе функции V и весовых функций го, Г1,...,г„_1 ? Разумеется, если попросту "угадать" функцию V так, что удовлетворяется уравнение = /(¿, V,..., гД"-1)), то итерации при решении интегрального уравнения в задаче (7) тривиально сводятся к неограниченно повторяемому тождественному преобразованию: V = хо = х\ = Х2 = ... = Хк = ... . Но, возможно ли, не угадывая точного решения х(<) уравнения

*<"> = /(г.х,...,*^-1)),

взять в качестве функции ь(1) любую,"достаточно близко" расположенную к решению х(<) функцию такую,что при этом было бы гарантировано существование и единственность решения задачи (7) (равного х(*) )? По теореме 8, если /(¿,х.....а^"-1)) обладает частными

производными

д/ д/ дх' '"' дх(»-1У

локально ограниченными на области определения /, то для всякого решения х = x(t) уравнения х= f{t,x,...,x(n~lï), неограниченно продолжаемого вправо, можно указать неубывающую положительную весовую функцию r(i) = rx(i) > 1 такую, что для всякой функции v, принадлежащей "изотропному" весовому шару

п-1

Вя,т,Га(х) ={v = v(t) : Vsup |r,(0(«O)(0 " *Ш(0)1 <

при произвольно наперед заданном R > 0 (вес rx(t) зависит от R) можно указать неубывающую весовую функцию rv(t) > 1 так, что "изотропная" весовая задача (7):

« x(t) = (-1 )»/„[«, f(.,x) - «(»)(.)] + v(t) . limt^+eo r„(0(x(fc)(0 - w<*>(0) = o, ¿ = 0,1, — 1,

при достаточно большом 9 > T имеет единственное решение на [в, оо) (равное x{t)). Приведены формулы для вычисления весовых функций rx(t) и rv(t). Таким образом, процедура "угадывания" точного решения уравнения х= f(t, х,..., г^"-1)) сводится к подбору функции v, удовлетворяющей условиям теоремы 8.

§4 содержит два примера применения теоремы 5 §3: рассмотрены стабилизационные задачи для уравнения Дюффинга

^P + CY2sini(i) = /i(0, cv€®, ¿>0 (8)

и Риккати

^ = x2(0 + /t(0, <>0. (9)

Для уравнения (8) рассмотрена следующая весовая стабилизационная задача:

х"(0 = -cv2sinx(i) + /i(i), />0

lim«_+00 г(0(я(0 - w(i)) = 0 (10)

limt_+0o(x'(<) - v'(t)) = 0 и получена

Теорема 1. Пусть

,+оо 1

/ -г-гМ < ОО

Jo ко

и функции /»(¿) и «(<) удовлетворяют следующим условиям: существуют непересекающиеся открытые подмножества. Е и Е промежутка. [О, + оо) (хе и xf -их характеристические функции) та кие, что

/+00

гЫг)|Л(т)-аа|А- = 0

/+оо

гхг(г)|/1(т) + а2|сгг = О

Г+оо

К1 - Xß(r) - ХИТ))<*Т < ОО

/о

Г+оо

s:

/•+ОО

lim г(0 / r| - a2sin t»(i) + h(t) - w"(i)|(l - Хв(т) - xf(r))dr = О

i—+00 Jq

v(t) = ^ + 2jrfc, ke К ÇZ, teE

2 I

л

v{t) = у + 2тгт, тем ÇZ, t £ F.

Тогда при достаточно большом в > 0 решение задачи (10) существует и единственно на промежутке [в, +оо).

Для уравнения (9) при помощи весовой стабилизационной задачи, приведенной в тексте диссертации (задача (4.23)-(4.24), стр. 56), получена следующая

Теорема 2. Если непрерывно дифференцируемая функция xq(/) > О, t >Т, такова, что при некотором А > 2 имеет место соотношение

*о(0 - «о(0 + МО = 0(i), t +оо,

то при всяком фиксированном а € (1, 2А — 3) функция

x(t) = x0(t) - ехр(2 / г0М<*т)х J т

* Jt+W[«2(г) - *'о(г) + Л(г)]ехр(—2£ xo(Ç)d£)dr +

где е(<) = са(<) —► 0 при I —* +оо - некоторая непрерывно дифференцируемая функция, является решением уравнения (9).

В §5 результаты §3 обобщаются на системы уравнений. Пусть / : ([Т, оо) х К" - ®)п

-заданная непрерывная вектор-функция,

V : ([Г, оо) —» Ж)п

-заданная непрерывно дифференцируемая вектор-функция, М = - диагональная весовая матрица, то есть, г,-у = г,•;•(/) = О

при : ф Ненулевые (диагональные) элементы матрицы М -это заданные неубывающие положительные функции. Считаем (и это не ограничивает общности), что

Гц > 1, < > Т, I = 1,2, ...,».

Обобщением скалярной весовой стабилизационной задачи является следующая задача относительно неизвестной функции х(<):

Г ¿г/Л = /(«,£), 1>т

\ Нт,^+00 М(0(®(0 - т) = 0.

Нижеследующие теоремы 1, 2, 3 являются векторными аналогами теорем 4, 5, б из §3, соответственно.

Теорема 1. Функция х(1) является решением задачи (11) тогда и только тогда, когда, во-первых, сходится несобственный (векторный) интеграл

/•+00 _

/ [/(*,а?(0)-гГ'(0]Л, (12)

Jт

во-вторых, х(<) удовлетворяет интегральному уравнению

Г+оо

/+оо

[/>,£(г))-£Г'(г)]г/г+*;(0 (13)

и, в-третьих, соблюдено (векторное) стабилизационное условие

^хпоМ(1)(х(1)-Щ) = 0. (14)

Интегральное уравнение (13) решается методом сжимающих отображений. Метрика ¿0 введена формулой

ре,м(х,у) = ||М(г-у)|к.[»,ео),

где ||. ||с„[в,оо) - норма в пространстве непрерывных вектор-функций, в качестве которой, для определенности, взята следующая:

п

11у(011сг„[о,оо) = У^ир |г/;(<)|,

и через

Вц,в,м(») = {*= х(<) : ре,м(х, и) < Я}, Я > О

обозначен "весовой шар" радиуса Я с. центром в и. Теорема 2. Пусть интеграл

Г+со

[/МО) - г?'(0]<"

f

jt

сходится, причем

Г+оо

Л + РО

lim М(0 / [/(r,tr)-tT'(r)]rfr = 0,

«—+оо

и для некоторого Я > 0 существует функция <p(t) > 0 такая, что

/• + 00

/+оо

<p(r)dr = О

(через О обозначена нулевая п х п матрица), а также выполнено неравенство:

п

< ^оЕ^ломо - »(01.

< > Г, г = 1,2,...,п, х,уе В^тм^)-

Тогда при достаточно большом в > Т решение задачи (12)-(13)-(14) на [в, оо) существует и единственно.

Теорема 3. (о непрерывной зависимости от правой части и стабилизационных данных). Пусть задача (11) имеет решение хо = хо(0> < > Т. Пусть функция д : ([Т, оо) х Ш" —<• Ж)" непрерывна, функция и : ([71, оо) х М)" - непрерывно дифференцируема и выполнены следующие условия:

г Нгп^ М(0(гх(0 — ЯО) = О,

для некоторого Я > 0 существуют функции А(£) > 0 и ф(1) > 0 такие, что

/ + СЮ

А (т)(1т = О,

/ + 00

ф(т)(1т = О

(через О обозначены нулевые матрицы п х и),

п

-^(«,5)1 < Щ € вя,т,м№

\gi(t,i) - 3i(t,y)| < m - ад(01.

j=i

Vx, jf€ BRIT,M{V).

Тогда при достаточно большом 9 >Т задача

Г dy/clt = .V), i > Т I Hm«_+00 M{t)(y{t) - хЩ) = б

также имеет, и притом единственное, решение у(1) = уго(0> я это решение стабилизируется к xo(t):

<ИтоМ(0(Йг.(0-*о(0) = 0

Теоремы 4 и 5 являются векторными аналогами теорем 7 и 8 §3, соответственно. В теореме 6 установлена связь между лагранжевой (ядерной) стабилизационной задачей:

Г dx(t)/dt + A{t)x(t) = g(t,x(t)), t > T 1 x(t) и ?(<) = (Г€ ker(d/dt + A(t)), t +oo

(A(t) - заданная матрица n x n, символ "ss" означает "лагранжево стабилизируется"), рассмотренной Л.Д. Кудрявцевым, и следующей весовой стабилизационной задачей :

Г dx{t)/dt + A(t)x(t) = g(t,x(t)), t > T l lim^+00 M(t)(x(t) - v(t)) = Ô. '

Пусть Ci (t ),..., vn(t) - какая-нибудь фундаментальная система решений уравнения

а V = V(i) -соответствующая фундаментальная матрица. Для всякой матрицы В = (6;j)"j=1 обозначим

||S|U„= £|6У[ i,j=1

-ее норму. Теорема 6. Если

8ир||Л/(0П0||пХп <00 г>т

и

5ир||[М(<)И0]"1||пХп<ОО,

«>т

то задачи (15) и (16) равносильны.

В невесовом случае эта теорема была получена Л.Д. Кудрявцевым. После §5 расположены четыре приложения, в которых доказаны вспомогательные и попутные утверждения.

Публикации по теме диссертации

1. Жаров П.А. О стабилизации функций к решениям однородных линейных дифференциальных уравнений.// Доклады РАН, 1995.- Т. 341, N 1.- С. 17-19

2. Жаров П.А. Об обобщении задачи Коши. //Международная конференция "Функциональные пространства, Теория приближений, Нелинейный анализ". Тезисы докладов.- Москва, 1995.- С. 127

3. Жаров П.А. О стабилизационных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений.// Дифференциальные уравнения,1995. - Т.31, N 8.- С. 1294-1299

4. Жаров П.А. О стабилизации функций к решениям однородных линейных дифференциальных уравнений.// Дифференциальные уравнения, 1995.- Т.31, N 12.- С. 1947-1958

5. Жаров П.А. Об обобщении задачи Коши. - Доклады РАН, 1996.-Т.347, N 5.- С. 586-589.

Жаров Петр Анатольевич

Стабилизационные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассматривается обобщение задачи Коши на случай бесконечно удаленной точки. Это обобщение называется стабилизационной задачей. Как оказалось, стабилизационная задача является, по существу, весовой задачей. Дан метод решения стабилизационной задачи. Аналогичное обобщение вместе с методом решения приведены также и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Zliarov Pyotr Anatolyevicli

Stabilizational problems for the ordinary differential equations.

The generalization of the Cauchy problem for the case of the initial conditions set up at the infinity is given. That generalization is called the stabilizational problem. As it turned out, that problem is actually the weighted one. The method of solution for the stabilizational problem is also given. The similar generalization together with the solution method is given for the systems of ordinary diiferential equations as well.

17.10.96г. Объем In.л. Тир.100 Зак.357

Тип.РУДН, Орджоникидзе,3