Стабилизация статистических решений линейных гиперболических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Стабилизация корреляционных функций статистических решвний волнового уравнения. Оценки четвертых моментов.

§1. Статистические решения волнового уравнения с постоянными коэффициентами.

§2. Формулировка основных результатов.

§3. Корреляционные функции статистических решений волнового уравнения.

§4. Оценки моментных функций второго и четвертого порядка мер, удовлетворяющих условиям перемешивания.

§5. Сходимость корреляционных функций доказательство теорем 2.1 и 2.

Глава II. Стабилизация статистических решений волнового уравнения с постоянными коэффициентами.

§6. Формулировка основного результата. Слабая компактность статистических решений.

§7. Доказательство леммы б;2 о сходимости характеристических ких функционалов.•.

§8. Окончание доказательства леммы 6.2. Проверка условия

Линдеберга.

Глава III. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений с переменными коэффициентами.

§9. Постановка задачи.

§10. Решения с бесконечной энергией волнового уравнения во всем пространстве.

§11. Энергетические оценки.

§ 12» Асимптотика при Ъ—> <=»« решений задачи (9.1) - (9.?) с бесконечной энергией. и 13. Стабилизация статистических решений задачи (9.1)

-(9.2)

Дополнение I. 0 доказательстве теорем 2Л, 2.2 и 6.1 в случае нечетных К > 3.

Дополнение П. 0 стабилизации статистических решений задачи (I.I) -(1.2) в случае неоднородной начальной меры.

Дополнение Ш. Примеры случайных полей, удовлетворяющих условиям перемешивания.

В работе изучается вопрос о стабилизации при ~Ь статистических решений линейных гиперболических уравнений второго порядка при начальных условиях

Ш,0) = Щ*), ^Cx,o)=tiU, ыВ?. (2)

Предполагается, что случайная функция удовлетворяет условиям перемешивания: сильного (И.А.Ибрагимов [16]) или равномерно сильного (М.Розенблатт [32]). Грубо говоря, это означает, что значения и ^о(^) начальных дащшх слабо зависимы при . Кроме того, предполагается, что лучи уравнения (I) уходят на бесконечность при

При этих условиях с некоторыми дополнительными уточнениями доказано, что распределение ja^ решения задачи Коши (1)-(2) и его цроизводнои по Ъ в момент времени ~Ь слабо сходится при °о к гауссовой мере , связанной с распределением начальных данных явными формулами.

Такая постановка задачи для уравнений с частными производными в сочетании с условиями перемешивания в литературе до сих. пор не рассматривалась. Эта задача связана с одним из направлений в обосновании статистической физики, намеченным Р.Л.Добру-шиным в его докладе на заседании Московского математического общества [14] (см. также [15]).

Всюду в работе рассматривается случай нечетного VI Кроме того; считается, что начальные данные(R?.

Сформулируем точно условия перемешивания. Всюду в дальнейшем предполагается, что распределение р0 начальных данных U/o^l удовлетворяет одному из следующих условий:

I/ условие сильного перемешивания (по М.Розенблатту [32])

L)=Sicp|j4.(ArtB>)-j4.(A)/W,(B)|—о, к—; (3)

2/ условие равномерно сильного перемешивания (по И.А.Ибрагимову [1б1) lfl.(AnB)-fl.(A)fi.(b)|

Г—1,1

Здесь точная верхняя грань берется по всем событиям А , по-ровдннным Ue(x) xdf, всем событиям Ь , порожденным KlfyfttY (в случае 2/ JM0(b)>0) и всем выпуклым областямХ,Ус11ч с j>Q(;Y)>W>0 • Примеры таких случайных полей Ы0 известны: например, гауссово однородное поле с финитной корреляционной функцией. Другие примеры приведены в дополнении I.

Предполагается также, что распределение jv|Q трансляционно однородно; вопрос о стабилизации статистических решений Jvi^ , отвечающих некоторым классам неоднородных начальных мер, обсуждается в дополнении П .

Кроме того, предполагается, что мера JVt0 обладает нулевым средним и конечной средней плотностью энергии:

1*0(x) (Mo (Ли)-о, J

5)

0= J OmftlvuXx-rf+Wlxtf) p0(k)

6) J со, Г

В случае выполнения условия сильного перемешивания (3), более слабого, чем (4); накладываются дополнительные ограничения на моменты исходной меры JVJ0 . Именно; требуется, чтобы вместо условия (б) выполнялось условие: при некотором S>0 * r

От коэффициентов перемешивания d(Vj и требуется достаточно быстрое убывание при h->&<:> . Всюду в диссертации предполагается выполнение одного из следующих двух условий:

Jr/OOJU-,

7) со ГЧ4

1Уунк1Ц > ГУ eJt оо т)'

В первых двух главах изучаются статистические решения волнового уравнения с постоянными коэффициентами:

В третьей главе с помощью результатов I и I главы доказана стабилизация при "t а><=> статистических решений уравнения (I) с переменными коэффициентами.

Первая глава посвящена изучению свойств моментных функций статистических решений JM|0) уравнения (8) при условиях перемешивания для начального распределения JH0 . Основное внимание при этом уделяется вопросу о стабилизации при корреляционных функций мер . Чтобы сформулировать основную теорему I главы обозначим через корреляционную матрицу случайной функции •

Пусть - семейство операторов на X » сопоставляющих функции решение уравнения (8) с начальными условиями (2) и его производную по i в момент времени Ь :

1Ш

Пусть Q^Cpc,^) - корреляционная матрица случайной функции . Положим

Qw ■ г I

Здесь fy- (^(g) - фундаментальное решение оператора Лапласа б , f обозначает свертку двух' функций. В первой главе доказана следующая

Теорема I. ЕЬли распределение J40 начальных данных Ц0= U1] задачи Коши (8), (2) удовлетворяет условиям

4)-(7) (или (3), (5), (б)'и (7)') , то

II) 1

Основной результат второй главы составляет следующая Теорема 2. Пусть JH^ - распределение случайной функции Uj-tH • При условиях теоремы I

7 М. X, — ^ (12) слабо на С^СГ)®Vl>0 . При этом JA^ - гауссова однородная мера с корреляционной матрицей

Qoo , заданной в (ю).

Для доказательства этой теоремы достаточно проверить, что меры ,"t>0 образуют слабо компактное семейство на Ж , а их характеристические функционалы сходятся при ~t —> <=><> к характеристическому функционалу гауссовой меры. Отметим, что утверждение о слабой компактности не вытекает из одних только энергетических оценок для решения задачи Коши (8), (2), однако его удается доказать, используя условия перемешивания (4), (7) или (3), (7)' .

СХЗ

CXP

Доказательство сходимости характеристических функционалов основывается на следующем наблюдении. Решение задачи Коши для уравнения (8) дается формулой Кирхгофа в виде интеграла по сфере радиуса R=C0t , д'еленного на . Ввиду асимптотической независимости U0(£) и при|оС-^|получается таким образом, что решение Щя, t) при Ь • имеет, грубо говоря, вид 21%*/"iN ' , где ^ , •. ^ -слабо зависимые (при/V~t—) величины. Поэтому доказательство асимптотической нормальности М,(рс; it) при t—" мы проводим по с"хеме, аналогичной методу серий С.Н.Бернштейна [i]. Такой подход широко применяется при доказательстве различных предельных теорем для случайных процессов (В.А.Волконский, С.А.Розанов [8 , 9], И.А.Ибрагимов [17], М.Розенблатт [32], Я.Г.Синай [33] и др.) и полей (А.В.Булинский, И.Г.Нурбенко [з], [4], Н.Н.Леоненко, М.И.Ядренко [35] и др.)*

В работах А. В. Булине кого и И.Г.Журбенко [3 , 4] рассматриваются аддитивные случайные функции, в частности, интегралы по параллелепипедам; размеры которых стремятся к бесконечности. В работах Ю.Яеоненко и М.И.Ядренко [35] изучается, в частности, асимптотика сферических средних, когда радиус сферы стремится к бесконечности. Отличие нашего случая от [35] заключается в том, что в £35^ центр сферы ОС - фиксирован. Поэтому из результатов [35] вытекает стабилизация при i-лишь случайной неличины при фиксированном ССс Щ

Кроме того, в [35] предполагается дополнительно изотропность исходного случайного поля.

В основном тексте диссертации подробное доказательство теорем I и 2 приведено в случае Yl-Ъ .В дополнении I перечисW лены изменения, которые следует внести в доказательство для нечетных К>Ъ

В третьей главе аналогичный теореме 2 результат получен для статистических решений гиперболического уравнения (I) с переменными коэффициентами. Предполагается, что коэффициенты этого уравнения достаточно гладкие, причем при loC.|>R0 уравнение (I) имеет вид (8). Кроме того'; CL0(x)zO и матрица (Q'ikfc)) положительно определена для VxejR^. Наконец, требуется выполнение так называемого условия неловушечности (см. условие Д на с.234 монографик [5}), заключающегося в уходе на бесконечность при i лучей уравнения (I).

Пусть Ц ft);"t £ JR - семейство операторов на X # аналогичное Uo("0 (см. (9)), разрешающее задачу (1)-(2). Известно [23], что семейство "t^ 1R существует. Пусть распределение JM0 случайной функции удовлетворяет условиям теоремы 2. Пусть ро ~ статистическое решение уравнения (I).

Основной результат диссертации заключается в следующем утвервдении.

Теорема 3. При сформулированных выше предположениях и?—мЯ . i

И-L I \-£ «ХЭ оо ;

В) слабо на % Здесь J4^ ~ гаУссова мера на

Для доказательства этой теоремы в диссертации построена асимптотика решений уравнения (I) с бесконечной энергией. Чтобы сформулировать соответствующую теорему, обозначим через Xj подпространство функций из » Для которых конечна норма е

Теорема Пусть выполнены сформулированные выше условия на коэффициенты уравнения (I). Тогда решение задачи (1)-(2) придля достаточно малых 1 >0 допускает представление вида

1>о и) где -О. и tfyj^O - непрерывные, линейные операторы из В ^ .При этом для VR >0 Ю

15) где ^ - некоторое положительное число; зависящее только от коэффициентов уравнения (I). Здесь Ю обозначает норму в пространстве

Асимптотика (14) позволяет свести доказательство сходимости (13) к случаю постоянных коэффициентов. Эта асимптотика строится при помощи методов теории рассеяния [28] (отметим однако; что в теории рассеяния [28] рассматриваются решения уравнений (I) и (8) лишь с конечной энергией). Оценка (15) основана на теореме Б."Р.Вайнберга [5] об убывании энергии в ограниченных областях при t —* <=>0 .

Автор сердечно благодарит Александра Ильича Комеча и Марка Иосифовича Вишика за доброжелательное внимание к работе и многочисленные плодотворные обсуждения полученных результатов.

1. Бернштейн С.Н. Распространение предельной теоремы: теории вероятностей на суммы зависимых величин.- Успехи матем. наук, 1944, т.Х, с.65-114.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.- М.: Наука, 1977,- 352 с.

3. Булинский А.В. Предельные теоремы для случайных процессов и полей.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981,- 64 с.

4. Булинский А.В., Журбенко И.Г. Центральная предельная теорема для аддитивных случайных функций.- Теория вероятностей и ее применения, 1976, т.Ш. №4, с.707-717.

5. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982,- 296 с.

6. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидромеханики.- М.: Наука, 1980,- 442 с.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1981,- 512 с.

8. Волконский В.А.- , Розанов Ю.А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций, I.- Теория вероятностей и ее применения, 1959, т.1У, К, с. 186-207.

9. Волконский В.А., Розанов Ю.А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций, II.- Теория вероятностей и ее применения, 196I, т.УТ, №2, с.202-215.

10. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.- М.: Физматгиз, 1958,- 440 с.

11. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов, т.1 М.: Наука, 1971, - 664с.-12512. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин.- М.-Л.: Гостех-издат, 1949,- 264 с.

12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967,- 472 с.

13. Добрушин Р.Л. Проблема математического обоснования статистической механики.- Успехи матем. наук, 1977, т.32, №5, с.164-165.

14. Добрушин Р.Л., Сухов Ю.М. Временная асимптотика для некоторых вырожденных моделей эволюции систем с бесконечным числом частиц. В сб.: Современные проблемы математики. Итоги науки, т.14,- ВИНИТИ, 1979, с.147-254.

15. Ибрагимов И.А.3 Некоторые предельные теоремы для стационарных в узком смысле вероятностных процессов.Докл. АН СССР, 1959, т.125, №4, с.711-714.

16. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины.- М.:-Наука, 1965,- 524 с.

17. Иосида К. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1967,- 624 с.

18. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными.-М.: ИП, 1958,- 160 с.

19. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей.-М.: Наука, 1974,- 120 с.

20. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния.- М.: Мир, 1971, -312 с.

21. Лионе 1.-JI., Мадженес Э. Неоднородные задачи и их приложения.- М.: Мир, 1971,- 371 с.-12623. Михаилов В.П. Дифференциальные уравнений в частных производных.- М.: Наука, 1933,- 424 с.

22. Ратанов Н.Е. Об асимптотической нормальности статистического решения волнового уравнения.- В сб. Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа.- М.: Изд-во Моск. ун-та, IS64.

23. Ратанов Н.Е. Стабилизация статистических решений волнового уравнения.- В сб. Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1964.

24. Ратанов Н.Е. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка.- Успехи матем. наук, 1984, т.«39, вып. 1, С.15Ы52.

25. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность.- М.: Мир, 1978,- 395 с.

26. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: т.З. Теория рассеяния.- М.: Мир, 1982,- 443 с.

27. Рдд Mi, Саймон Б. Методы современной математической физики: т.4. Анализ операторов,- М.: Мщэ, 1982,- 428 с.

28. Розанов Ю.А. О центральной предельной теореме для аддитивных случайных функций.- Теория вероятностей и ее применения, I960, т.У, Ш2, с.243-246.

29. Розанов Ю.А. Марковские случайные поля.- М.: Наука,1981,- 256 с. П л32. io^xi&drt И. /1 Ф^ЪхЛ Uv^t O^Jl wuodvi^ CQfaktiРг^- №. Su. USA,. -127

30. Синай Я.Г. О предельных теоремах для стационарныхfпроцессов.- Теория вероятностей и ее применения, 1962, т.УГГ, №2, с.213-219.

31. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров.- М.: Наука, 1969,- 367 с.

32. Ядренко М.И. Спектральная теория случайных полей.Киев: Вища школа, 1980,- 208 с.