Статистические и кинетические модели в физико-химической газодинамике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ОД

ч - На.правах рукописи

РЫДАЛЕВСКАЯ Мари/г Александровна

СТАТИСТИЧЕСКИЕ И КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОЙ ГАЗОДИНАМИКЕ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ — 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Официальные оппоненты —

доктор физико-математических наук, профессор Жданов Владимир Михайлович,

доктор технических наук,

профессор Стасенко Альберт Леонидович,

доктор технических наук,

профессор Усков Владимир Николаевич.

Ведущая организация — Московский государственный авиационный институт (Технический университет).

Защита состоится "Я "0/СУ?7 1997 г. в "/4" часов на заседании диссертационного совета Л. 063.57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл. д. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета, по адресу Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан " О " С£Л£УЪ 1997 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д. 063.57.34 доктор физико-математических наук,

профессор С.А. Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена математическому моделированию различных состояний газовых смесей с физико-химическими превращениями. Рассматриваются квазистационарные состояния пространственно однородного газа и газодинамические течения с разной степенью неравновесности.

Мы ограничимся рассмотрением движения среды, состоящей из микрочастиц, которые движутся независимо друг от друга, взаимодействуя лишь при столкновениях, которые можно считать мгновенными. Хотя частицы могут обладать внутренней структурой, изменяющейся при столкновениях, их размерами и объемами столкновений можно пренебречь. В статистической физике такие среды подпадают под определение идеального или совершенного газа. Пренебрегая корреляциями, мы предполагаем, что состояние газа можно описать с помощью одночастичных функций распределения. В кинетической теории такой газ называют разреженным. При моделировании конкретных течений будем считать, что характерные размеры явления велики по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул. При этом из кинетических уравнений можно вывести уравнения сплошной среды, хотя отдельные физические и химические процессы могут быть сильно неравновесными. К решению таких задач могут быть привлечены методы газовой динамики.

Актуальность темы обусловлена широким спектром проблем. Это проблемы космической аэродинамики, высокоскоростной и высокотемпературной газодинамики, теории молекулярных лазеров, ряда отраслей химической технологии и, наконец, экологии.

В частности, изучение колебательно неравновесных распределений в газе из ангармонических осцилляторов может иметь важное значение для моделирования процессов в активной среде молекулярных лазеров на колебательных переходах, в соплах и струях, при входе космических аппаратов в атмосферы планет. Разработка статистического метода исследования химического равновесия играет важную роль в физической химии и химической технологии. Слабоперавновесные течения реаги-

рующих смесей наблюдаются при движении космических аппаратов в определенном диапазоне высот и скоростей, в целом ряде отраслей химической технологии и на выходе из камеры сгорания воздушно-реактивного двигателя.

Цель работы состоит в создании математических моделей течений газов с физико-химическими превращениями и неравновесными эффектами на основе объединенных в единую цепочку методов статистической механики, кинетической теории газов и газовой динамики. При втом рассматриваются следующие задачи:

— получения квазистационарных распределений частиц в пространственно однородном газе с физико-химическими превращениями и разной степенью неравновесности;

— кинетического описания динамики газовых смесей с внутренними степенями свободы и любыми химическими реакциями, включая диссоциацию и рекомбинацию;

— вывода и обоснования замкнутых систем уравнений, описывающих течения с физико-химическими превращениями и разной степенью неравновесности с помощью минимального числа уравнений для определяющих макропараметров;

— реализации полученных моделей в конкретных условиях.

Особое внимание уделяется математическому обоснованию

и физическому содержанию предлагаемых моделей.

Общая методика выполнения исследований. Основной метод исследования, примененный в настоящей работе, представляет собой сочетание методов статистической физики и кинетической теории газов. С помощью метода максимизации энтропии получаются равновесные и неравновесные квазистационарные молекулярные распределения в пространственно однородном газе. Далее эти распределения используются для корректировки кинетической модели течений газовых смесей с внутренними степенями свободы молекул и любыми химическими реакциями, включая диссоциацию и трехчастичную рекомбинацию. На основе этой модели выводятся внутренне замкнутые системы уравнений физико-химической газодинамики, содержащие минимальное число уравнений (в данных условиях неравновесности). Для решения таких систем осуществляется переход к интенсивным параметрам, сопряженным определяющим экстенсивным параметрам. Лля обоснования

возможпости такого перехода опять привлекаются методы статистической термодинамики.

Общий подход к исследованию динамики газовых потоков, предложенный в настоящей работе, может служить основой для оптимизации многих задач физико-химической газодинамики.

Достоверность результатов настоящей работы определяется применением проверенных методов статистической термодинамики, кинетической теории газов и газодинамики, строгим математическим доказательством ряда теорем и совпадением результатов с имеющимися данными экспериментальных и численных исследований.

Научная новизна заключается прежде всего в постановке задачи построения замкнутых математических моделей течений газа с физико-химическими превращениями на основе сочетания методов статистической термодинамики и кинетической теории газов. Новым является доказательство ряда теорем и обоснование методики исследования квазистационарных состояний газа в разных условиях неравновесности. Колебательно неравновесные распределения в газе из ангармонических осцилляторов, приведенные в работе, также являются новыми. Научной новизной обладают и обобщение кинетической модели Людвига-Хейля* на реагирующие газовые смеси произвольного состава, и доказательство И-теоремы для таких смесей. Новыми являются газодинамические модели течений двухатомного газа из ангармонических осцилляторов с разной степенью колебательной неравновесности. Поэтому конкретные реализации этих моделей обладают новизной. Постановки задач и исследования слабонеравновесных течений высокотемпературных газовых смесей с любыми химическими реакциями также содержат новые результаты. Обнаружена независимость функции распределения вязко-теплопроводного приближения (а соответственно векторов потока теплоты, диффузии и т.п.) от градиентов концентрации в диссоциирующем газе из гомоядерных молекул. Как следствие этого, в работе делается вывод о том, что градиенты концентрации не влияют на явле-

* Людвиг Г., Хейль М. Теория пограничного слоя с диссоциацией и ионизацией//Проблемы механики. М., 1963. С. 39-99.

ния переноса в газе с такими физико-химическими превращениями, при которых на быстрой стадии процесса сохраняется один сорт неделимых частиц. Все результаты, выносимые на защиту, впервые получены автором диссертации.

На защиту выносятся;

1. Способ получения и обоснования замкнутых математических моделей в физико-химической газодинамике на основе сочетания методов статистической термодинамики и кинетической теории газов.

2. Математическое исследование задачи о наиболее вероятных состояниях газовых систем, включая доказательства теорем существования и единственности, принципа двойственности задач статистической термодинамики и сходимости предложенных методов решения нелинейных систем, связывающих экстенсивные и интенсивные параметры.

3. Новые квазистационарные распределения, максимизирующие энтропию в неравновесном газе из ангармонических осцилляторов.

4. Модификация кинетической модели для описания течений газовых смесей с любыми химическими реакциями, включая диссоциацию и трехчастичную рекомбинацию, и доказательство для этой модели обобщенной ^-теоремы Больцмана в следующих случаях:

— для пространственно однородного газа;

— для произвольного объема, выделенного в пространственно

неоднородном газе;

— для плотности ^-функции в пространственно неоднородном

случае.

5. Замкнутые математические модели течений двухатомного газа из ангармонических осцилляторов с разной степенью колебательной неравновесности.

6. Получение и обоснование кинетическими методами замкнутой математической модели слабонеравновесных течений диссоциирующих газов на уровне макроскопических законов сохранения.

7. Обоснование в рамках кинетического подхода независимости векторов потока тепла, диффузии и т.п. от градиента концентрации в газовых смесях с такими физико-химическими превращениями, когда на быстрой стадии процесса сохраняет-

ся один сорт неделимых частиц.

8. Постановка и решение задач физико-химической газодинамики в терминах интенсивных параметров, сопряженных определяющим экстенсивным параметрам.

9. Запись обобщенных условий на скачках в соответствии с иерархией времен релаксации и их использование для исследования состояния газа на грашщах релаксационных зон.

Практическая ценность. Результаты могут быть применены в задачах о движении космических аппаратов в атмосфере планет Солнечной системы, в лазерной физике, в ряде отраслей химической технологии и при решении экологических проблем. Алгоритм построения замкнутых макроскопических систем уравнений для интенсивных параметров позволяет оптимизировать решение конкретных задач, облегчить постановку граничных и начальных условий и сократить время численного счета.

Приведенные в работе примеры решения конкретных задач показывают реальность применения предложенных моделей. Полученные автором результаты достаточно адекватно отражают физическую картину явления.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 4-х Всесоюзных конференциях по динамике разреженных газов (Северодонецк, 1980; Москва, 1985; Москва, 1989; С.-Петербург, 1991), на 5-ти Всесоюзных (Красноярск, 1977; Рига, 1979; Медео, 1981; Омск, 1985; Якутск, 1987) и 2-х Международных (Казань, 1993; С.-Петербург, 1995) школах-семинарах по моделям механики сплошных сред, на V Всесоюзном симпозиуме по горению и взрыву (Одесса, 1977), на VII Всесоюзной конференции по теплофизическим свойствам веществ (Ташкент, 1982), на всесоюзной конференции "Современные проблемы физики и ее приложений" (Москва, 1987), на Всесоюзной конференции по кинетической теории разреженных и плотных газовых смесей и механике неоднородных сред (Ленинград, 1987), на 3-х Международных симпозиумах по динамике разреженных газов (Новосибирск, 1982; Германия, 1990; Англия, 1994), на XIX симпозиуме по проблемам и методам динамики жидкости (Польша, 1989), на 2-х международных школах-семинарах "Неравновесная физико-химическая кинетика и газовая динамика" (Минск, 1994; Минск, 1996), на

1-й Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Москва, 1995). Результаты также неоднократно докладывались на семинаре "Физико-химическая кинетика в газовой динамике" в Институте механики МГУ, на научных семинарах кафедры гидроаэромеханики и кафедры статистической физики СПбГУ, на семинарах кафедры процессов и аппаратов С.-Петербургского (Ленинградского) технологического института и в БалтГТУ (ВОЕНМЕХ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 47 работах [1-47], включая монографию [3], выполненную в соавторстве. В частности, имеются публикации в журнале "Вестник С.-Петербургского (Ленинградского) университета, сер. 1 (математика, механика, астрономия)", в журналах АН СССР и РАН ("Физическая химия", "Химическая физика", "Прикладная механика и техническая физика"), в журнале "Fluid Mechanics-Sov. Res", в сборниках АН СССР ("Молекулярная газодинамика", "Химическая физика процессов горения и взрыва. Кинетика химических реакций"), в сборниках СО АН СССР и СО РАН ("Численные методы механики сплошной среды", "Моделирование в механике", "Механика неоднородных сред"), в межвузовских сборниках ("Аэродинамика разреженных газов"-Л., "Проблемы динамических процессов в гетерогенных средах,-Калинин", "Динамические процессы в газах и твердых телах"), в трудах ПАГИ им. Н.Е. Жуковского, в сборнике обзорных докладов на XIII международной школы но моделям механики сплошной среды, в иностранных изданиях ("Rarefied Gas Dynamic8"-PIejnim Press, "Rarefied Gas Dynamics"-VCH, "Rarefied Gas Dynamics"-Oxiord Univ. Press).

Некоторые из работ, материалы которых частично вошли в диссертацию, выполнены совместно с соавторами чл.-корр. АН СССР профессором C.B. Валландером, Е.А. Нагнибеда (кафедра гидроаэромеханики СПбГУ), В.М. и М.М. Кузнецовыми (ПАГИ), В.Т. Жаровым (химический факультет СПбГУ), а также с аспирантами Н.М. Климовицкой, К.Н. Марке-ловым, Т.В. Рябиковой и А.Г. Якуповой, защитившими кандидатские диссертации под руководством автора настоящей диссертации. Разделение результатов с соавторами содержится в приложении 4.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 314 страницах, включая 12 страниц приложений. Библиография — 250 назв., не считая приведенной в подстрочных примечаниях. Рисунков — 38. Таблиц — б.

Основной текст состоит из введения, семи глав, заключения и списка используемой литературы. Разбиение на главы соответствует необходимости последовательного изложения результатов от общего статистического описания газовых смесей с физико-химическими превращениями к иллюстративному материалу газодинамического характера. Изложение последующих глав опирается на результаты предыдущих.

Главы 1-2 содержат исследование квазистационарных состояний произвольных газовых смесей с общих позиций статистической термодинамики. Следующие главы 3-4 посвящены реализации общих статистических моделей в конкретных газовых системах. Далее в диссертации осуществляется переход к исследованию течений газов с физико-химическими превращениями на основании методов кинетической теории газов. В главе 5 предлагается кинетическая модель для описания движения атомно-молекулярных смесей с внутренними степенями свободы и любыми химическими реакциями, включая столкно-вительную диссоциацию и трехчастичную рекомбинацию. В следующих разделах диссертации (гл. 6-7) на основе этой модели осуществлен переход от кинетического к газодинамическому описанию тех сред, состояния которых исследовались статистическими методами в гл. 3 и 4. Рассмотрены некоторые течения таких сред, процессы переноса и релаксации. Каждая глава предваряется аннотацией и завершается выводами по главе.

В приложения вынесены список основных обозначений; дополнительные материалы иллюстративного характера в виде таблиц; список публикаций автора по теме диссертации и разделение результатов с соавторами по этим публикациям.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся общие сведения о работе, дается определение исследуемой среды, характеризуется применяемый метод исследования, указывается область применения ре-

зультатов, обсуждается актуальность темы, а также достоверность, новизна и практическая ценность результатов. Дается краткий обзор литературы по теме диссертации. Основной обзор литературы естественным образом распределен по главам.

В связи с использованием методов статистической термодинамики упоминаются монографии П. Шамбадаля, Л.Д. Ландау и Е.М. Лифпшца, Д.Н. Зубарева, Ю.Л. Климонтовича, Ф.М. Куни, А. Мюнстера.

Проведенное в настоящей работе статистическое исследование квазистационарных состояний двухатомного газа из ангармонических осцилляторов опирается на результаты основополагающей работы Ч. Тринора, Дж. Рича, Р. Рема,* на расчеты G.E. Caledonia и R.E. Center, на целую серию работ В.Ф. Горди-еца, А.И. Осипова и Л.А. Шелепина, их монографию, а также монографии Е.Е. Никитина и А.И. Осипова, С.А. Лосева, и коллективную монографию под редакцией М. Капителли.

В связи с со статистическим исследованием равновесия газовых смесей с любыми химическими реакциями упоминаются работы W.B. White, S.M. Jonson, G.B. Dantzig, R.J. Duffin, С. Ze-ner, монографии L.G. Napolitano, Н.Ф. Степанова, M.E. Ерлы-киной и Г.Г. Филиппова, Н.М. Кузнецова, а также работы диссертанта и его соавторов.

Так как значительная часть диссертации посвящена исследованию течений газов с физико-химическими превращениями на основе методов кинетической теории, указываются работы, внесшие существенный вклад в ее развитие в этом направлении: C.S. Wang-Chang & G.E. Uhlenbeck, L. Monchick, R.S. Yun, EA. Masón, L. Waldmann, E. Trabenbacher, Г. Людвига, M. Хей-ля. Упоминаются также работы С.В. Валландера, А.В. Беловой, И.А. Егоровой, Е.А. Нагнибеда, М.А. Рыдалевской.

Проблеме вывода замкнутых макроскопических систем из кинетических посвящены работы В.М. Жигулева, В.М. Кузнецова, М.М. Кузнецова, Е.А. Нагнибеда, Б.В. Егорова.

В связи с приближенными методами решения кинетических уравнений следует упомянуть серию работ В.М. Жданова и его учеников, в которых дано обобщение моментного метода на

* Treanor С.Е., Rích J.W., Rehm R.G.//J. Chem. Phys. 1968. V. 48. No 4. Р. 1798-1807.

смеси реагирующих и структурных газов. Обобщенный метод, действующий в разных условиях неравновесности был предложен в работах М.Н. Когана, B.C. Галкина, М.К. Макашева и развит в работах В.A. M ¡щука и В.А. Рыкова. Различные модификации метода Энскога-Чепмена в соответствующих физико-химических условиях были произведены, в частности, в работах C.B. Валландера, И.А. Егоровой, Е.А. Нагнибеда и автора диссертации.

Феноменологический метод замыкания системы уравнений сохранения для реагирующих газов был предложен Г.А. Тир-ским.

При рассмотрении течений колебательно неравновесного и реагирующего газа производится сопоставление с результатами из широко известных монографий В.В. Лунева, У.Г. Пиру-мова и Г.Г. Черного.

Изучение газов с химическими реакциями и обменом различными видами энергии при столкновениях частиц естественно начать с рассмотрения пространственно однородных и квазистационарных состояний полного или частичного равновесия. Поэтому начальные главы диссертации посвящены общему процессу моделирования тал сих состояний.

В первой главе дано статистическое описание смеси, состоящей из частиц различной природы. Это могут быть больц-мановские частицы (такие как атомы или молекулы), частицы Возе (например, фотоны) или частицы Ферми (например, электроны). Описание базируется на знаменитой формуле Больц-мана для энтропии

S = klnW, (1)

где к — постоянная Больцмана, W — вероятность данного макроскопического состояния системы. В статистической физике термодинамическую вероятность W макро со стояния системы с точностью до нормировочной постоянной полагают равной числу микросостояний, соответствующих данному макросостоянию (числу способов t, которыми все частицы В{ распределяются по Si состояниям).

В курсах статистической физики метод максимизации энтропии обычно применяется для получения равновесных распределений Больцмана, Возе и Ферми. В настоящей работе он

применяется для получения существенно неравновесных квазн-стационарных распределений. При этом в исследуемых смесях характер и число налагаемых связей может меняться в широком диапазоне в зависимости от физико-химических процессов, которые нужно учитывать в рассматриваемых условиях. В главе выписаны наиболее вероятные распределения различных частиц, максимизирующих энтропию системы,

А

Ni = Si<!Xv{Yl^xФ{?)}, »ев,

А=0

3 '

N1 =-т—5—гп-, »е в,

(е*р{-Ел=о7А^А>}-1)'

а .

= -Т——-7ТТ-, I 6 Е

при условиях сохранения общего вида

= (А = 0Д), (5)

где через ф^ обозначены аддитивные инвариапты столкновений, а через Фд — соответствующие им экстенсивные параметры, сохраняющиеся в системе за время наблюдения. Распределения (2)-(4) представляют собой не что иное как обобщенные распределения Больцмана, Бозе и Ферми в рассматриваемых условиях.

Здесь же дана математическая формулировка данного класса задач, доказаны существование и единственность их решения, а также двойственность задач статистической термодинамики. Результаты этого математического исследования сформулированы в форме 2-х лемм и 3-х теорем.

Имея в виду применение полученных распределений в задачах газодинамики, наряду с изолированными системами в главе рассматриваются ситуации, когда некоторые условия изоляции заменены условиями контактного равновесия. При этом с помощью преобразования Лежалдра осуществлен переход к функциям Массье-Плалка. Все математические результаты, справедливые для изолированных систем, доказаны и для случаев контактного равновесия.

(2)

(3)

(4)

Во второй главе даны вычислительные алгоритмы для определения интенсивных параметров через сопряженные экстенсивные параметры.

Проблема нахождения неизвестных интенсивных параметров является завершающим этапом исследования наиболее вероятных распределений частиц в системе при заданных условиях сохранения и важным промежуточным этапом решения многих прикладных проблем. Существование и единственность решения таких задач в их самой общей формулировке доказаны в I главе. Там же показано,что искомые параметры можно найти из системы трансцендентных уравнений (5) или из задачи минимизации некоторой выпуклой функции, полученной при подстановке наиболее вероятных распределений (2)-(4) в выражение для энтропии (1) или соответствующей функции Массье-Планка.

В первом случае естественным является применение метода Ньютона. Чтобы обосновать корректность его использования, в данной главе доказана лемма о невырожденности матрицы частных производных для самого общего вида условий сохранения (5).

Во втором случае естественным является применение методов минимизации. В качестве такого метода в главе предлагается вариант метода наискорейшего спуска для определения неизвестных параметров в наиболее вероятных распределениях (2)-(4). Важно подчеркнуть, что при этом осуществляется минимизация не искусственно построенного функционала, а той функции от интенсивных параметров, которая получается при подстановке (2)-(4) в выражение для энтропии или функции Массье-Планка. Здесь же приведено доказательство сходимости итерационной последовательности при любом выборе начального приближения. Обсуждается его возможный выбор.

Результаты II главы являются основой для конкретных расчетов интенсивных параметров и наиболее вероятных распределений в различных газах. Вторая глава завершает рассмотрение квазистационарных состояний произвольных газовых смесей с общих позиций статистической термодинамики. Следующие главы диссертации посвящены реализации общих статистических моделей в конкретных газовых системах.

Третья глава посвящена рассмотрению статистических мо-

делей квазистационарных состояний химически однородного двухатомного газа. Возможность формирования в газе неравновесных квазистационарных распределений связана с иерархией времен релаксации для разных видов молекулярной энергии.

Химически однородный двухатомный газ, являясь одним из наиболее простых объектов исследования в статистической физике и кинетической теории газов, в то же время дает возможность для изучения поступательной, вращательной и колебательной релаксации. В первых параграфах данной главы рассматривается газ без внутренних степеней свободы, с вращением частиц, с возбуждением нижних колебательных уровней, энергия которых описывается на основе модели гармонического осциллятора.

С повышением температуры модель гармонического осциля-тора должна быть заменена более точной моделью ангармонического осцилллятора. Ангармонизм молекулярных колебаний приводит к неожиданным эффектам в процессе колебательной релаксации. Именно в этих ситуациях ла основании численного решения релаксационных уравнений и ряда экспериментальных данных было замечено установление квазистационарных распределений небольцмаловского вида, относительная (и даже абсолютная) инверсия колебательных заселенностей.

В сипу исключительной важности упомянутых выше неравновесных эффектов для создания молекулярных лазеров на колебательных переходах их теоретическое изучение привлекло к себе внимание большого числа исследователей.

Однако, до последнего времени квазистационарных распределений, максимизирующих эвтрошпо системы и действующих на всем колебательном спектре в газе из ангармонических осцилляторов, не существовало. Более того, в этих условиях не было строгого разделения на стадии процесса колебательной релаксации и отбора молекулярных столкновений, участвующих в формировании неравновесных распределений. Основой такого отбора может служить систематический анализ теоретических и экспериментальных данных о вероятностях колебательных переходов. На основании такого анализа можно записать неравенство

т < тм « № < « г$2> « тут, (6)

(а)

где гхт, Пгт: ТУТ и ТуТ' — средние времена между поступательными, поступательно-вращательными, поступательно-колебательными переходами и колебательными переходами, при которых относительный дефект резонанса колебательной энергии не превосходит величины а (характерного относительного дефекта резонанса).

Соотношение (6) позволяет приближенно разделить процесс релаксации на следующие стадии:

1) поступательную релаксацию на временных интервалах г ~ ттт;

2) вращательную релаксацию на временных промежутках г ~ тцт;

3) начальную (сильно неравновесную) стадию колебательной релаксации на временах г ~

4) стадию колебательной релаксации на временах г ~ ;

5) предпоследнюю стадию ¡колебательной релаксации г ~ -(1/2).

6) заключительную стадию колебательной релаксации на временах г ~ тут» когда система приходит в состояние полного термодинамического равновесия.

Автору данной работы удалось не только разделить на стадии процесс колебательной релаксации, но и сформулировать критерий отбора столкновений, определяющих протекание каждой стадии, найти дополнительный аддитивный инвариант этих столкновений [39,42].

В качестве такого инварианта предложена некоторая квазигармоническая апроксимация £г^а(») колебательной энергии с относительной точностью а/2. В этих условиях наиболее вероятные распределения (2) имеют вид

N1$ - зг 31 ехр {70 + + £«) + 71+72 Фо,(ъ)е 1}. (7)

Для относительных колебательных заселенностей с учетом условий нормировки получены формулы

- *т - «р {-йг [£ - («.) - ь) (£ -1)]}. ю

Такое представление наглядно демонстрирует зависимость величин от перепада температур Тг/Т при фиксированной

температуре Гх первого колебательного уровня. Оно выявляет интересную закономерность: при одной и той же температуре Гх величины убывают тем медленне, чем меньше температура Г.

Если Г < Гх, то на промежутке V 6 [0, «*(а)] заселенности (8) больше тех значений, которые дает больцмановское распределение с температурой Гх, причем эти заселенности превосходят соответствующее больцмановское распределение тем больше, чем больше отношение Гх/Г.

Если Г > Гх , то на промежутке V 6 [0, «*(а)] заселенности (8) ниже болышановских при температуре Гх. Однако в этой ситуации деформация больцмановского распределения значительно слабее.

Относительные заселенности (8) колебательных уровней молекул N2, соответствующие 5-му этапу колебательной релаксации (а = 1/2), приведены на рис. 1. Рассмотрение проводилось для разных перепадов температур Гх/Г при фиксированной температуре Тх- Кривая 1 соответствует Гх/Г = 0,1; кривая 2 — Т\/Т — 1; кривая 3 — Гх/Г = 5; кривая 4 — Гх/Г = 10.

У = Ь г"/(£х/(кГх)).

На данной стадии релаксации относительные заселенности резко отличаются от больцмановского распределения с температурой Гх. На нижних уровнях распределение (8) совпадает с распределением Тринора, на верхних — с распре-

делением Больцмана при температуре Т, а на средних близко к распределению Гордиеца - Осипова - Шелепина. При Т\ /Т = 10 (кривая 4) наблюдается характерный платообраз-ный участок, о котором так много говорилось в литературе.

Интересно провести сравнение поведения колебательных за-селенностей при одной и той же температуре Т\ и одинаковых перепадах температур Т\ ¡Т на различных стадиях релаксации 3-5. Наглядной иллюстрацией различия таких квазистационарных колебательных распределений молекулярного азота при Т\/Т = 10 является рис. 2. Там же приведены больцма-новские распределения с температурами Т\ и Т. Кривая 1 соответствует больцмановскому распределению при температуре 2\; 2 — распределению (8) при а = 1/8; 3 — распределению (8) при а = 1/4; 4 — распределению (8) при а = 1/2; 5 — распределению Больцмана с температурой Т.

Рис. 2. Колебательные распределения N2 на разных стадиях релаксации, у = 1п 2?/(£1/(к1\)).

При последовательном переходе от стадии 3 к стадии 5 возрастает отличие распределений относительных заселенностей (8) от больцмановских с температурой Т\.

В поведении наиболее вероятных распределений наблюдаются все эффекты, которые ранее отмечались в экспериментах и при численных расчетах.

Результаты III главы наглядно иллюстрируют возможности методов статистической термодинамики обратимых процессов при моделировании и неравновесных квазистационарных со-

стояний газа. Кроме того, они важны сами по себе, ибо позволяют рассчитать неравновесные квазистационарные заселенности колебательных уровней молекул, не обращаясь к системам дифференциальных уравнений для этих заселенностей.

В четвертой главе рассмотрены статистические модели квазистационарных состояний высокотемпературной газовой смеси с внутренними степенями свободы и любыми химическими реакциями, допустимыми при данном атомарном составе.

Основное внимание в данной главе уделяется рассмотрению равновесного состояния реагирующей газовой смеси. Наш метод исследования отличается от методов определения равновесного состава смеси,основанных на решении системы уравнений химического равновесия (УХР), состоящей из уравнений закона действующих масс (УЗДМ) и уравнений материального баланса (УМБ), которые можно встретить в любом курсе физической химии. Метод, используемый в настоящей работе, опирается на методы максимизации энтропии или функций Массье-Планка, излоясенные в I главе. При записи наиболее вероятного распределения наряду с законом сохранения энергии мы учитываем законы сохранения атомов или неделимых частиц каждого сорта. Выписан наиболее общий вид равновесной функции распределения в газе с любыми химическими реакциями, включая диссоциацию и рекомбинацию частиц. Это позволяет определить и равновесный химический состав, и температуру в любой изолированной системе, если известны ее энергия и атомарный состав.

Если температура смеси известна, расчет равновесного состава смеси сводится к определению атомарных химических потенциалов из уравнений сохранения атомов (УМБ). УЗДМ при этом удовлетворяются тождественно, сокращается число уравнений и отпадает необходимость информации о реакциях, идущих в газе. Статистический подход, при котором учитывается закон сохранения атомов при каждом элементарном акте химического взаимодействия, позволяет значительно упростить исследование химического равновесия. Он находит все более широкое применение в задачах химической термодинамики. Развитию его различных модификаций для разных физических ситуаций посвящено много работ в пашей стране и за рубежом.

В качестве иллюстрации его применения приводятся результаты расчета равновесного состава воздуха и некоторых смесей галогеноводородных молекул с парами щелочных металлов. Наряду со смесями достаточно сложного состава рассматриваются газы с одной реакцией диссоциации, допускающие аналитическое решение задачи об определении зависимости равновесного состава от температуры и атомарных плотностей.

Четвертая глава завершает рассмотрение конкретных систем методами статистической механики. Далее в диссертации осуществляется переход к исследованию течений газов с физико-химическими превращениями на основании методов кинетической теории газов.

В пятой главе предлагается кинетическая модель для описания движения атомно-молекулярных смесей с внутренними степенями свободы и любыми химическими реакциями, включая столкновительную диссоциацию и трехчастичную рекомбинацию [5]. Эта модель является некоторой модификацией модели, предложенной ранее Г. Людвигом и М. Хейлем.

В системе кинетических уравнений

условия микроскопической обратимости получены в результате подстановки в равновесные кинетические уравнения наиболее вероятных распределений из главы 4.

Доказаны интегральная лемма и обобщение ^-теоремы Больцмала. Ранее в настоящей работе была введена в рассмотрение функция противоположная по знаку энтропии системы. Если учесть, что в данной главе поступательные степени свободы частиц рассматриваются квазиклассически, то можно записать функцию У. (I) для конечного объема V смеси в виде

= /!ь^гоГ'"(10)

(9)

Можно также ввести плотность 7/-функции:

(И)

Вид функций (10), (11) позволяет, опираясь на интегральную лемму, доказать ряд теорем.

Теорема. В пространственно однородном газе, при отсутствии массовых сил справедливо неравенство

Эта теорема обобщает Н-теореиу Больцмапа на смесь пространственно однородных диссоциирующих газов. Теорема. Функция (10)

«у(0 =

при любом выделенном в газе обземе У, ограниченном поверхностью ведет себя таким образом, что

где А-Нэу — изменение функции Ну за счет потока величины (1в(/< Л3/(8» я*?)) ~ 1) через поверхность внутрь обеема V.

Эта теорема являетя обобщением Н-теоремы для произвольного объема, выделенного в смеси диссоциирующих газов.

Теорема. Введенная в (11) функция А(г,{) удовлетворяет соотношению

^ + <Цу(Лу) + < 0, (12)

где

Я

— вектор потока величины (1а(/{Л3/ш®)) -1), с — собственная скорость молекул.

При этом величина Л(г, <) связана с плотностью энтропии в(г, <) равенством

Л(г,0= -в(г,1)/к.

Поэтому уравнение (12) моясно рассматривать как уравнение баланса для плотности энтропии. Оно позволяет исследовать производство энтропии газовой смеси как за счет столкновений частиц, так и за счет конвективных процессов. Для

смесей без диссоциации и рекомбинации оно было известно ранее*.

В частном случае локально равновесных течений, когда в каяедом физически бесконечно малом объеме успевает установиться равновесие, уравнение баланса для плотности энтропии соответствует изэнтропическому течению.

Далее рассмотрена связь между микро и макроописанием газа, из кинетических уравнений выведена система макроскопических уравнений сохранения и приведена запись кинетических уравнений в безразмерном виде.

Результаты этой главы могут служить основой для кинетического описания газовых смесей с внутренними степенями свободы и любыми химическими реакциями, включая диссоциацию и рекомбинацию, и для построения замкнутых математических моделей, описывающих течения газов с физико-химическими эффектами.

В следующих разделах диссертации осуществлен переход от кинетического к газодинамическому описанию тех сред, состояния которых исследовались статистическими методами в III и IV главах, рассмотрены некоторые течения таких сред, процессы переноса и релаксации.

В шестой главе моделируются течения химически однородного двухатомного газа из ангармонических осцилляторов.

Для получения замкнутого описания неравновесных течений газа на уровне минимального числа определяющих макропараметров в интегральных частях уравнений выделяются ведущие столкновительные операторы. При этом можно записать

Dfvr = + е<1, (13)

где J'VT и J"r — столкновительные операторы, определяющие "быстрый" и "медленный" процессы, соответственно.

Ведущий столкновительный оператор включает столкновения, которые происходят на временах, много меньших характерного времени течения. Именно они определяют режим течения, то есть те локальные состояния частичного или полного равновесия, которые устанавливаются в каждом физически

* Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М., 1964. 456 с.

бесконечно малом обьеме. Размеры этого объема и Бремя его рассмотрения зависят от пространственно-временных масштабов течения.

Особое внимание уделяется таким течениям, при которых ведущий столкновительный оператор наряду с поступательно-вращательными переходами содержит часть колебательных переходов, при которых относительный дефект резонанса колебательной энергии не превосходит величины а. В работе формулируется критерий отбора наиболее частых столкновений, определяющих ведущий интегральный оператор в разных условиях неравновесности, вводятся в рассмотрение системы их аддитивных инвариантов и выписываются предельные решения, соответствующие квазистационарным распределениям, полученным в главе 3. Для каждого режима течения выписана система уравнений для макропараметров, соответствующих аддитивным инвариантам столкновений быстрой стадии. Наряду с уравнением движения и уравнением для плотности частиц она содержит уравнение для плотности полной энергии и релаксационное уравнение для среднего значения дополнительного инварианта

В настоящей работе для замыкания системы макроскопических уравнений использовалась специальная модификация метода Чепмена-Энскога с учетом упомянутого выше разделения колебательных обменов на относящиеся к быстрым и медленным процессам и полученных предельных решений.

Исследованы теплофизические свойства газа с разной степенью колебательной неравновесности, на основе полученных газодинамических уравнений в приближении идеальной жидкости рассмотрены сверхзвуковые течения в расширяющихся соплах (в рамках квазиодномерного приближения), состояние газа па границах релаксационных зон за ударными волнами. Получена замкнутая система уравнений в приближении вязкой жидкости, исследованы явления переноса.

Как известно, переход к интенсивным параметрам облегчает постановку начальных и граничных условий и способствует стандартизации программ численного счета. В настоящей работе при решении конкретных задач осуществлен переход от определяющих экстенсивных параметров к системе сопряженных им интенсивных параметров. Выбор именно такой системы

интенсивных параметров является естественным с точки зрения термодинамики. При этом теплоемкости газа и все коэффициенты теплопроводности имеют положительные значения, что соответствует их физическому смыслу.

В качестве иллюстрации приведены результаты расчета параметров конкретных течений и кинетических коэффициентов теплопроводности для молекулярного азота.

Изложенные результаты позволяют считать, что в работе построена замкнутая математическая модель двухатомного газа из ангармонических осцилляторов с разной степенью колебательной неравновесности в условиях возбуждения всего энергетического спектра молекулярных колебаний.

В седьмой главе рассматриваются течения газовых смесей с внутренними степенями свободы и любыми химическими реакциями. Основное внимание уделено исследованию слабонеравновесных течений.

В этой ситуации весь столкновительный оператор обобщенных кинетических уравнений, выведенных в главе 5, определяет быструю стадию процесса, система уравнений для определяющих макропараметров совпадает с уравнениями сохранения. Для замыкания системы уравнений сохранения в работе используется обобщение классического метода Чепмена-Энскога. При этом в идеальном и вязком приближении исследуются макроскопические системы, содержащие наряду с уравнениями движения уравнения для плотности полной энергии и для плотностей атомов (или неделимых частиц) каждого сорта.

На основании системы, полученной в приближении идеальной жидкости, исследованы теплофизические свойства реагирующей газовой смеси, ее течения в расширяющихся соплах и состояния за ударными волнами. Исследованы также явления переноса в смеси вязких диссоциирующих газов. Как и в предыдущей главе, при решении конкретных задач в уравнениях был осуществлен переход от плотностей экстенсивных параметров к сопряженным интенсивным параметрам. Теоретические выводы проиллюстрированы расчетами газодинамических параметров и коэффициентов переноса для ряда газовых смесей.

В частном случае движения двухатомного газа из гомоядер-ных молекул с одной реакцией диссоциации система газоди-

- ди-

намических уравнений будет содержать уравнение движения, уравнение энергии и одно уравнение для атомарной плотности. При переходе к интенсивным параметрам в системе макроскопических уравнений наряду с уравнением движения будем иметь еще 2 уравнения относительно 70 (или температуры Т) и 71. Здесь 70 — интенсивный параметр, сопряженный полной энергии, 70 = — 1/(1с Г), Т — температура газа; 71 — интенсивный параметр, сопряженный атомарной плотности.

В первом приближении метода Энскога-Чепмена функция распределения не содержит градиента атомарной плотности или сопряженного ей параметра 71.

Этот же эффект наблюдался в химически однородных газах без учета и с учетом внутренних степеней свободы, когда на быстрой стадии процесса сохраняется один сорт неделимых частиц. В диссоциирующем газе из гомоядерных молекул наблюдается то же самое. Таким образом можно утверждать, что в газе, состоящем из неделимых частиц одного сорта, функция распределения 1-го приближения в методе Энскога-Чепмена не содержит градиента плотности этих частиц.

Для вектора потока энергии будем иметь выражение

а для вектора потока атомов я')1^ —

(1) д-ю дТ

Таким образом, в рассматриваемых условиях с помощью кинетического подхода установлена независимость векторов потока тепла и диффузии от градиента концентрации. При этом, как следует из (14), перенос энергии описывается законом Фурье.

Результаты VII главы служат дополнительному обоснованию и развитию моделей описания локально равновесных и слабонеравновесных течений реагирующих газовых смесей на уровне законов сохранения.

В заключении диссертации кратко сформулированы важнейшие выводы и перечислены основные результаты работы.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ

1. Валландер C.B., Рыдалевская М.А. Равновесные статистические распределения в химически реагирующей смеси идеальных газов//Избранные проблемы прикладной механики. М., 1974. С. 201-213.

2. Рыдалевская М.А. Кинетические коэффициенты в реагирующей смеси газов//Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1.

1976. №13. С. 160-169.

3. Валландер C.B., Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. Л., 1977. 280 с.

4. Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Кинетика возбуждения внутренних степеней свободы и химических реакций в смесях газов//Химическая физика процессов горения и взрыва. Кинетика химических реакций.Черноголовка,

1977. С. 75-78.

5. Рыдалевская М.А. Формальное кинетическое описание смесей газов с диссоциацией и рекомбинацией//Аэродинамика разреженных газов. Вып. 9. Л., 1978. С. 5-20.

6. Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Вывод уравнений для макропараметров из кинетических уравнений в случае смеси диссоциирующих газов//Аэродинамика разреженных газов. Вып. 9. Л., 1978. С. 29-42.

7. Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Уравнения для макропараметров в случае смеси вязких диссоциирующих газов//Аэродинамика разреженных газов. Вып. 10. Л., 1980. С. 80-94.

8. Климовицкая Н.М., Рыдалевская М.А. Равновесие диссоциирующей смеси газов с одной бимолекулярной реакцией. Леп. в ВИНИТИ, № 3081-80, от 15 июля 1980 г.

9. Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Решение уравнения Больцмана с малым параметром//Механика неоднородных сред. Новосибирск, 1981. С. 197-211.

10. Кузнецов В.М., Кузнецов М.М., Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Некоторые вопросы теории реагирующих газов и ее приложения в релаксационной аэродинами-ке//Молекулярная газодинамика. М., 1982. С. 137-154.

11. Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Влияние химических

реакций и колебательной неравповесности па теплофизи-ческие свойства веществ//УН Всесоюзная конференция по теплофизическим свойствам веществ. Тезисы основных докладов. Ташкент, 1982. С. .

12. Жаров В.Т., Рыдалевская М.А. О статистической термодинамике частичных химических равновесий в газовой фазе//Журнал физической химии. 1982. Т. 56. № 9. С. 2136-2140.

13. Жаров В.Т., Рыдалевская М.А. Статистические распределения и частичные химические равновесия в газовой фазе//Журнал физической химии. 1982. Т. 56. № 9. С. 2141-2145.

14. Нагнибеда Б.А., Рыдалевская М.А. Уравнения колебательной релаксации в смеси многоатомных газов с быстрым обменом колебательными энергиями//Проблемы физической газовой динамики. Вып. 2177. М., 1983. С. 34-43.

15. Власков A.B., Маркелов К.Н., Рыдалевская М.А. Интегралы движения идеального диссоциирующего газа// Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1983. № 7. С. 82-84.

16. Маркелов К.Н., Рыдалевская М.А. Явление переноса в смеси диссоциирующих газов. Ден. в ВИНИТИ, № 1612-84, от 13 марта 1984 г. 20 с.

17. Нагнибеда Б.А., Рыдалевская М.А. Некоторые проблемы современной теории реагирующих смесей газов с диссоциацией и рекомбинацией//Молекулярная газодинамика и динамика разреженного газа. Ч. 1. М., 1985. С. 117-136.

18. Рыдалевская М.А. Статистическое исследование состояний полного и частичного химического равновесия в смесях идеальных газов//Тезисы докладов VIII Всесоюзной конференции по ДРГ. М., 1985. Т. 1. С. 45-47.

19. Nagnibeda Е.А., Rydalevskaya М.А. The kinetic models of vibration relaxation of polyatomic molecules//Rarefied Gas Dynamics XIII. V. 1. New York-London; Plenum Press, 1985. P. 213-220.

20. Климовицкая H.M., Рыдалевская М.А. Соотношения динамической совместности на фронте ударной волны и обобщение адиабаты Гюгонио в химически реагирующих

смесях газов//Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1986. № 1. С. 88-93.

21. Рыдалевская М.А. Стационарные распределения и дуалистический принцип в термодинамике//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1986. Т. 17. № 4. С. 143-149.

22. Рыдалевская М.А. Н-теорема в газе с диссоциацией и рекомбинацией//Современные проблемы физики и ее приложений. М., 1987. Т. 17. № 4. С. 76.

23. Рыдалевская М.А. Кинетическое описание смесей газов с диссоциацией. Н-теорема и ее следствия//Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987. Т. 2. С. 73.

24. Рыдалевская М.А. Стационарные состояния вырожденного газа. Связь интенсивных и экстенсивных параметров//Проблемы динамических процессов в гетерогенных средах. Калинин, 1987. С. 96-101.

25. Рыдалевская М.А. Применение метода наискорейшего спуска к расчету состояния химического равновесия. 1. Построение итерационной последовательности//Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1988. № 8. С. 64-67.

26. Рыдалевская М.А. Применение метода наискорейшего спуска к расчету состояния химического равновесия. 2. Доказательство сходимости метода и выбор начального приближения//Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1988. № 22. С. 69-71.

27. Рыдалевская М.А. Модели описания ударных волн в химически реагирующих смесях газов//Моделирование в механике. 1988. Т. 2(19). № 5. С. 111-118.

28. Rydalevskaya М.А. The connection of intensive and extensive parameters in a rarefied gas//Book of abstracts the XIX Biennial Symp. on advanced problems and methods in fluid mechanics. — Warsaw: Polish Ac. of Sci., 1989. P. 117-118.

29. Рыдалевская М.А. Статистическое описание газовой смеси с физико-химическими превращениями. Дуализм задач статистической термодинамики. Деп. в ВИНИТИ, № 7283-В89, от 8 декабря 1989 г. 48 с.

30. Рыдалевская М.А., Якупова А.Г. Двухтемпературное стационарное распределение в газе с равновесными хи-

мическими реакциями//Вестп. Лешшгр. ун-та. Сер. 1.

1989. № 22. С. 74-77.

31. Rydalevekaya М.А. Equilibrium and nonequilibriam stationary states of gas mixtures with physical-chemical trahsformati-ons//Book of abstracts the XVII on RGD Symp. Aahen: VCH,

1990. P. 487-490.

32. Рыдалевская M.A. Приближенные методы определения неизвестных параметров, входящих в наиболее вероятные распределения. Деп. в ВИНИТИ, К» 5520-В90, от 29 октября 1990 г. 19 с.

33. Рыдалевская М.А. Определение параметров химически реагирующих газов за ударными волпами//Динамические процессы в газах и твердых телах. Л., 1990. С. 39-43.

34. Рыдалевская М.А. Вариационные статистические принципы в теории газа с физико-химическими превращениями/ /Молекулярная газодинамика и механика неоднородных сред. М., 1990. С. 82-87.

35. Рыдалевская М.А. Определение интенсивных параметров газовой смеси. Метод Ныотона//Вестн. Ленидгр. ун-та. Сер. 1. 1991. № 7. С. 88-92.

36. Рыдалевская М.А., Якупова А.Г. Колебательная неравновесность в газе с равновесными химическими реакци-ями//Труды X Всесоюзной конференции по ДРГ. М.,

1991. Т. 1. С. 114-120.

37. Rydalevekaya М.А. Equilibrium and nonequilibrium stationary states of gas mixtures with physical-chemical transformati-ons//Rarefied Gas Dynamics 17. Veinheim-New York-Basel-Cambridge: VCH, 1991. P. 408-413.

38. Рыдалевская М.А. Кинетическое описание колебательной релаксации двухатомного газа//Тезисы докладов XI Всесоюзной конференции по ДРГ. Л., 1991. С. 70.

39. Рыдалевская М.А. Наиболее вероятное распределение энергии в неравновесном газе из ангармонических осцил-ляторов//Хим. физика. 1994. Т. 13. № 1. С. 21-28.

40. Rydalevekaya М.А. Relaxing gas of anharmonic oscillators. Kinetics and gasdynamics//Book of Abstracts the XIX International Symp. on RGD. Oxford: Oxford University, 1994.

41. Рыдалевская М.А. Газодинамические скачки в релак-

сирующем газе//Прикл. мех an. и техн. физика. 1995. Т. 36. № 3. С. 92-97.

42. Рыдалевская М.А. Неравновесные стационарные распределения в газе с физико-химическими превращениями//Доклады на XIII Межд. шк. по моделям механ. сплошн. среды. С.-Пб., 1995. С. 195-213.

43. Rydalevskaya М.А., Ryabicova T.V. Relaxation processes in gases of anharmonic osciUators//l-6t International Conference on Nonequilihrium Processes in Nozzles and Jets. Collected Abstracts. Moscow, 1995. P. 124-126.

44. Rydalevskaya M.A. Relaxing gas of anharmonic oscillators. Kinetics and gasdynamics//Raiefied Gas Dynamics 19. Oxford Univ. Press, 1995. Oxford-New York-Tokyo: P. 578-582.

45. Rydalevskaya M.A. Quazi-stationary states of vibrational relaxation - dissociation coupling in gases//Nonequilibrium processes and their applications. Contributed papers of III Intern. school-seminar. Minsk: Belarus Acad, of Science, 1996. P. 50-54.

46. Рыдалевская M.A., Рябикова T.B. Сокращенное описание течений вязкого газа с разной степенью колебательной неравновесности//Прикладная механика. Вып. 10. К 90-летию со дня рождения профессора Н.Н.Поляхова. С.-Пб., 1997. С. 208.

47. Рыдалевская М.А., Рябикова Т.В. Разные стадии колебательной релаксации ангармонических осцилляторов// Аэродинамика/ под ред. Р.Н.Мирошина. С.-Пб., 1997. С. 101-114.

Перевод работы [34] опублшсован в журнале Fluid Mech.-Sov.

Res. 1991. V. 20. No 6. P. 18-24.