Статистические задачи для однородных и изотронных случайных полей, наблюдаемых на сфере тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

РГБ ОД

г, На правах рукопису

Іллічева Людмила Максимівна

СТАТИСТИЧНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ОДНОРІДНИХ ТА ІЗОТРОПНИХ ВИПАДКОВИХ ПОЛІВ, ЩО СПОСТЕРІГАЮТЬСЯ НА

СФЕРІ

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат

дисертації па чдобупя наукового ступеня кандидата фпико-математичних наук

Кііїв-1997

Робота викопана па кафедрі теорії ¡імовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського університету ім. Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичиик наук, професор ЛЕОНЕІІКО МИКОЛА МИКОЛАЙОВИЧ

Офіційні опонент: доктор фнпко-математпчші.х наук, професор НАКОНЕЧНИЙ ОЛЕКСАНДР ГРИГОРОВИЧ кандидат фізико-математичних наук, доцент КОВАЛЬ ТЕТЯНА ЛЕОНІДІВНА

Провідна організація: Львівський державний університет ім. Івана Франка

Захист відбудеться годин ауд. па

засіданні Спеціалізованої вченої ради К 01.01.21 нрн Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Київського Національного університету ім. Тараса Шевченка, (м. Київ, вул. Володимнрська, 58, к. 10)

Автореферат розісланії» а[997 р.

и чеііиіі секретар ^ .

Спеціалізованої ради О.О. Курченко

Актуальність теми. Задача оцінювання коефіцієнтів регресії с однією з основних в математичній статистиці- Цс пов'язано з можливостями застосувань методів рсгрссіііного аналізу або аналізу залежностей в економіці, біології, геофізиці, техниці та інших галузях знань. Останнім часом бурхливо розвивається напрямок, в якому “випадковий шум” є стаціонарним процесом з дискретним та неперервним часом або однорідним випадковим полем. У випадку, коли процес або поле має обмежений та неперервний спектр істотні результати про властивості оцінок коефіцієнтів регресії випадкових процесів отримали Гренандер, Розенблатт, Хеннан, Андерсон, Бріллінджер, Розанов, Холево, Дороговцев, Булдигін, Козаченко, Наконечний, Ковальчук, а для полів -Ядренко, Іванов та Леоненко, Пракаса Pao, Кнопов, Гінон. У випадку, коли спектральна щільність процесу або поля мас нулі, проблему оцінювання коефіцієнтів реї ресії досліджували Аденстедт, Холево, Расулов, Самарой та Текку, Ядренко разом з учнями.

Останнім часом значна увага приділяється дослідженню статистичних задач для випадкових функцій з сильною залежністю (або далекою пам’яттю або слабким спаданням корреляції). Аналітично це означає, що сиекіралміа щільність “випадкового шуму" необмежена и нулі або кореляційна функція не сумонпа. Такі ефекти виявили Пірсон (1902) у астрономії, Стьюдені (1927) при аналізі хімічних даних, Сміс та Уітл (1938, 1956) при дослідженні

сільскогосподарскнх відомостей, Кокс та Таунсенд (1948) при розгляді даних текстильної інженерії, Харст (1951) при вивченні гідрологічних даних (див. також Лоуренс та Категот (1977)), Манделбротта Валліс (1969) на основі лінгвістичних даних, Хасмст та Рафтері (1989) серед метеорологічних даних, Беран, Шсрман, Текку та Віллінджер (1992), Віллінгер, Текку, Лешіанд, Вілсон (1995) у телекомунікаційних даних. Таким чином, йдеться мова про стійкий феномен сильної зшіежності, характерний для багатьох типів даних, який потребує математичних досліджень. Такі дослідження проводились Текку, Добрушиним та Майором, Розенблаттом, Гіраіігісом та Сургайлісом, Коксом, Леоненком та іншими. Статистичні результати у цін області належать

Псрану, Кіоіпну, Яджима, Оамаропу та Текку, Гірайтісу та Сургайлісу, Леонепку та ішшім. У зіадапих роботах проблема оцінювання коефіцієнті реірссії однорідних та ізотропних випадкових полів, що спостерігаються на сфері, не досліджувались. .

Робота присвячена, в основному, дослідженню проблеми оцінювання середнього та коефіцієнтів регресії випадкових полів із сильною залежністю і продовжує та узагальнює деякі дослідження, згадані вище.

Mera роботи. Дисертація присвячена дослідженню оцінок методу найменших квадратів коефіцієнтів лінійної регресії гауссівських та неї ауссівсі.ких випадкових полін з сильною залежністю, які спостерігаються на сфері. '

Методи дослідження. Основний меюд дослідження полягає в розвиненні інісіральппх функціоналів від однорідних та ізотропних полін н ряди по відповідним ортогональним системам поліномів (Ерміта, Лагерра) з подальшим асимптотичним аналізом таких розкладів, з використанням спектральної теорії випадкових полів, геомеїричішх ймовірностей, властивостей кратних стохастичннх інтегралів та діаграмного формалізму.

З

И досліджено ефективність методу найменших квадратів лінійної реї ресії випадкових полів, що спостерігаються на сфері;

И знайдено асимптотику дисперсії та граничні розподіли оцінок найменших квадратів невідомого середнього локальних функціоналів від гауссівського поля з сильною залежністю, що спостерігається на сфері;

Ш знайдено асимптотику дисперсії та граничні розподіли оцінки коефіцієнта регресії плоского ноля, що спостерігається на колі;

Ш досліджено ядерні оцінки невідомої функції регресії випадкового поля з сильною залежністю;

Ш знайдено асимптотику дисперсії та негауссівські граничні розподіли оцінок найменших квадратів

И невідомого середнього випадкового поля типу хі-квадрат при сильній залежності;

И знайдені граничні розподіли оцінок найменших квадратів невідомого середнього у випадку, коли поле є нелінійним функціоналом від векторного гауссівського поля з сильною залежністю.

Теоретична та практична цінність. Робота носить теоретичний характер, отримані результати можуть бути використаними у галузях знань, які базуються на статистці випадкових полін, зокрема в метеорології, геофізиці, стапістнчнііі радіофізиці та деяких інших областях. -

Апробація роботи. Матеріали дисертації доповідались на конференціях молодих вчених механіко-математичного факультету Київського університету, на наукових семінарах кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики Київського університету, на II Україно-У горській конференції “Нові напрямки в теорії ймовірностей та математичній статистиці (Мукачеве, 1992), на міжнародній конференції “Статистичний і дискретний аналіз та експертні оцінки” (Одеса, 1994), III міжнародній науковій конференції пам’яті академіка М. Кравчука (Київ, 1994).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1 -5].

Структура роботи. Дисертація складається із вступу та двох глав. Загальний обсяг роботи 90 стор. друкованого тексту. Бібліографія містить 77 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі до дисертації обгрунтовано актуальність геми, наведений скорочений огляд досліджень, що пов’язані із темою дисертації, а також викладені основні результати роботи у скороченому варіанті.

В роботі прийнята така нумерація параірафів, теорем та лем: перша цифра означає номер глави, друга — параграфу, третя — теореми або леми.

У першому розділі розглядається проблема оцінювання невідомого середнього та коефіцієнтів регресії однорідного ізоторопного випадкового поля, яке спостерігається на сфері.

Hexan Rn -дійсний евклідів простір розмірності п > 2,

S(r) = Sn j (/") = {х Є R" : І х І =г} — сфера радіусом г>0,

{г,и),г > 0,и = (0, 2 ,ф) є s(l),0< dj < тс,

— сферичні

j - І,л,0< ф< ln координати точки х Є R’’

5/,, (її) - дійсні оріопормоиапі сферичні гармопікн ст сисні т, де

(2т + п - 2)(;» + п ~ 3)!

(п- 2)!/її!

число тких гармонік, a(d.x) - міра Лсбсга па сфері s(r), площа іюпсрхиі одиничної сфери

|s(l) І = 2!с"/2/Т(~ )

Припустимо, що випадкопс поле спостерігається на сфері:

^(r,u)=ag(r,u)+ri(r,u) (!)

де а - невідомим параметр, який треба оцінити за результатами спостережень, g(r,u) - відома функція, така, що для будь-якого г>0

{ g2(r,u)a(du)<co (2)

т(г)

ц(і,И) - Ііимірмс IIUHCpcpllllU у середньому кшідрйгпчпому однорідне Ііоіроіше випадкове йоле з нульовим середнім, кореляційною функцією Б, яка допускає зображення

«О

В(г)= І }' (>.r)G(d>.)

ft

де Yn(z)- сфсрнчна бссссльона функція; Jv(z) - функція Еесселя першого роду

порядку v > - і-

2

Надалі важливу роль відіграють функції: т=0,І,2,...

*„('■) = 2"-1 Г(і)^- І (Яг)(Дг)2-"С(</Я)

S

Введемо коефіцієнти Фур’є функції g(r,u) по системі функцій

{5І(и)Ь(/и,/)єГ= {0,1,...}х{1,2 ,...,Кп,т)},

ортонормованих на сфері glm(r) = | g(r,u)S‘m(u)a (du)

V.ü)

Припустимо, що

oo h{n,m)

X Z[^.('*)]2 //?,„(>) <°° (j,

»1=0 /=1

♦

Ядренко довів існування лінійної незсуненої оцінки аг параметра ‘а’, яка має найменшу дисперсію серед усіх незсунеїшх оцінок.

Оцінка найменших квадратів параметра мас вигляд:

ar= J ¿;(r,u)g(r,u)(Tr(du)/ jg2(r,ü)orr(dii)

*»-іИ іи-і('’)

її дисперсія: ,

<о h(n,m) oo h(n,m)

w-0 m=0 /=1

де числа

oo h{n.m)

I k»]1

m=0 /=1

утворюють дискретний розподіл на множині:

T={0,l,...}x{I,2,...,h(n,m)}

oo h(n,m)

тобто Z 4пЛг) = 1

т=0 1=1

У пункті 1.2 досліджується питання ефективності методу найменших квадратів коефіцієнтів лінійної регресії однорідного та ізотропного випадкового поля, яке спостерігається на сфері. Ефективність оцінок найменших квадратів визначається: ■

eff(riB)=Dar/Däre[0,\],

б

с#(оо,Б) = 1ітс#(/-,5)є[0,1]

г > «'

Аналіз формул дозволяє одержат висновки такого тину: Теорема 1. При умовах (2), (3):

<о >цпл1) и ЩП/П) /\ (г\ '

Є/І (Г, В) =

® /і(плі) “> Л(л/п) /«Л

(І І ^№.(г)ХІ I

т= О Ы /гс=0 /=І '/

Теорема 2. Якщо и моделі (!) дискретний розподіл {Д„/(/")}(/»,/) Є Т

зосереджений тільки п одній точці (/>7,, ,/0)єГ для кожного г>0, тоді еГГ(г,В)=еП'(°0,13)=1 для будь-якої кореляційної функції В.

Теорема 3. Припустимо, що для моделі (1) виконуються умови (2),(3) та

1ітЛт,(г) = /),(ш,/) єТ

існує такий, що

_ [і ,т = т0,1=10

[0,П1 * ТПа,І ї 10

Тоді еГҐ(оо,В)=1 для будь-якої кореляційної функції В.

Теорема 4. ІІри умовах (2).(3) для моделі (!) припустимо, що існує функція ц(г)>0, така що границя: Нт Ьт(г)/и(г) = Ье (0,оо) існує і не залежить від ш,

Г~> со

тоді сГГ( оО,В)=1

У пункті 1.3 досліджугться асимптотика дисперсії та знаходяться асимптотичні розподіли оцінки найменших квадраті« невідомою середньої о однорідного ізоіронноіо випадкової о поля, яке спостерігається на сфері. Розглядається задача оцінювання невідомого середнього, тобто схема регресії (1), в якій ^(г,и) = І.

Крім того, припускається, що виконуються такі умови:

1.1) £(л) - дійсне вимірне неперервне у середньому квадратичному

однорідне ізотропне гауссіїїсі.ке ііппадкоие поле, Еє(х) =о, Еє7(х) = 1 Кореляційна функція 1І( І х | )=со\ ( £(0), ¿г(л)) монотонно прямує до 0 при |х І —>со,В(0)=І.

1.2) В( І х І )=Ц І х І)/1 х! “ , а>0

де 1,(1), 1>() - функція, що повільно змінюється на нескінченності та обмежена в кожному обмеженому інтервалі.

1.3) Р(и), иєЯ—дійсна борелівська функція, ЕР(є(0))=0, ЕР:(с(0)) < зс.

1.4) і](х)=Р(б(х)), ХЄД", де поле задовольняє умові 1.1), а функція Р(и) - умові 1.3).

При умові 1.3) функція Р(и) може бути розвішена в ряд:

Р(и)=^Гс//(і/)/і?!> який збігається у гільбертовому просторі ,=0

^(/г1 ,(ехр|--^-|/л/^г)^«). а {Яв(и)};=0- поліномі! Ерміта із старшим коефіцієнтом 1.

1.5) Нехай існує таке іп>1, що С, =... С^, = 0, Ст ^ 0

1.6) Для цілого т>1 з умови 1.5) існує граннця

1 л-З ‘

Ііш ■ЕГ'" (/•)!" м"~2(1-и2) 2 В”(2ги)сІи = І, де функція В — з умови 1.1).

Г-КО ^

0

Для оцінки найменших квадратів невідомого середнього, яка має вигляд сферичного середнього, можна одержати таку оцінку асимптотичної понеділки дисперсії:

Теорема 5. При умовах 1.1), І.3)-1.6)

[ЕГ(г)гп-']' -> 0,г -+оо,£>а, = с2(п)С2т(т\Г1ІВт(г)(1 + о(1))

С!(/0 = 22->Г!ф/я(л-2)! '

В частинному випадку, коли виконується умова 1.2),

-♦2

а єГо,—),п>2,т>1: Оаг = с3(«)-^р^(1 + 0(1)) V т ) т! г™

г»п

с,(и) = 22п~та-г---------

3 я(и-2)!

Далі вивчається питання про граничні розподіли

а -а

при Г —У 00 .

Отримані результати є варіантом нецентрально! граничної теореми, яку отримали Текку, Добрушин, Майор, Леоненко, Оленко та інші.

Теорема 6. При умовах 1.1), І.3)-І,5) та якщо існує 8 є(0,1) для цілого ш >

1 з умови 1.5), таке що (припущення

п-3>

,ЛТ

І-7));Іішг“(',1’‘5 Г і"'2Вт(г)

Г-кОО і

■-'і

сіі = +оо граничні розподіли двох

сімейств випадкових величин співпадають при г —> оо, якщо хоча 6 один з них

X, = J F(£(x))a(dx)l foriJoTr

• і(г) -

існус: ' ______

Хт,=Ст\ Hm{8{\))cr{dx)l

П') L

Як наслідок, одержимо, що іраничний розподіл випадкових величин ^ _я Xm,=(r''sgn{Cm}JcJn)m\B”(r)ir'

г одинакошій при

Г Нт(бІх))аШ,с5(п) = 22п-'лп-'/(п~2)\

VDa' si

Т —> оо та при виконанні відповідних умов.

Граничний розподіл випадкових величин Xmr можна знайти у вигляді кращого стохіієііічііоі о ¡місі ралу І іо-Іїіпсрп при умові 1.8).

1.8) ГІоле Є(Х),ХЄЯ!\ яке задовольняє умовам 1.1), 1.2) має

спектральну щільність , котра при Ц| —> со монотонно гтрямує

до нуля, починаючи і деякого місця: с (V) = f e^imwidl)

нг

Тоді можна довести слабку збіжність розподілів випадкових величин:

^m,r та

},; = г70i,nua,р) J /„.2(|л+ - ^|)|Л + - +^ П КГП "ЩУ

АГ" 2 J=i )~х

І

с, (н,/и. а. р) =(-------/Т-~----------1 sgn{Cm)

V Цс6(л.а)с,(іі)) ь 1

Осиошіпй результат параграфу складає:

Теорема 7. При умовах 1.1)-1.5), 1.7), 1.8), п>2, mil, а щ 0, ——-],/•—>оо

V ’ Пі У

граничний розподіл випадкової величини а,~ а слабко збігається до розподілу

'lüâr

випадкової велнчипп Ym.

У параграфі 1.4 досліджується асимптото дисперсії та пснмнїопічиш розподіл оцінки панмешшіх квадратікоефіцієнта рсірссії ’а’ сіаінсгичиої моделі (1),

яка спостерігається на площині. Оскільки функція реіресії є довільною, то в схемі доказів виникають деякі особливості.

У параграфі 1.5 розглядається узагальнення результатів Харта та Холла, які вивчали нспарамстрнчну схему регресії, на плоский випадок.

Розглянемо статистичну модель: випадкове поле

причому |у(,||= та.ч{Н,И},(5,Г) єг2- Мп)} • послідовність, яка повільно змінюється на нескінченності. •

спроможною оцінкою функції регресії статистичної моделі (4).

У другому ртділі задача оцінювання невідомого середнього розглядається для полів типу хі-кшідрат.

Нехай £(С0,Х) = <£(*), (О Є£2,ХЄ К ,І = незалежні копії

вимірного неперервного у середньому квадратичному однорідного ізотропного гауссівського поля Г]{х), Е)]{х) = 0 та кореляційною функцією Д]л|) 1 0 при |лі -» оо , В(0)=1

Конструктивно задане однорідне ізотропне випадкове поле:

(4)

при (/,;) є

де є ^ - дійсне однорідне випадкове

поле,

За допомогою функції К(х, >')( { К{х, у)йхду = 1)

к1

будується оцінка функції регресії:

Конструктивним методом доводиться, що ядерна оцінка

називається полем типу хі-квадрат.

р(и)=иг~1е и іт{^,и>0

Для дійсної борелсвської функції Р(.), такої що ЕРг (£(0)) < ос

<г> «

справедливий розклад //(„) - £ ^ („), Г(и)е¿и)р(и)<ін . (5)

»4 0 .

який збігається у гільбсртовому просторі ((0, оо), р(и)(1іі)

1 *

^я(и) = 4",(«)|"‘П'(|)'г[| + ;и]|ї,« = 0,и,... де /Г’(м).м>0-

узагальнені поліномі! Лагерра.

У параграфі 2.2 вивчаються асимптотичні властивості оцінки найменших квадратів невідомого середнього випадкового поля, яке є локальним функціоналом від поля типу хі-квадрат. Задачу оцінювання невідомого

середнього 0 розглядасмо для полів ¿¡'(х) = Г(є(х)), заданих на сфері в /?" . Оцінка найменших квадратів мас вигляд:

Я(Ф')М^)

Зробимо пршіуїнсміш.

IV.2) Ісиус ціле іп>1, такс що у розкладі (5):

с\ =...= = 0,Ст * о

ІУ.З) Існує Є (0,1), що для цього ш:

1ІШГ <л 1,<<ї1)б2т(/') = +оо

Г-> сг)

IV/4) Для т гї IV.2) ісиус скінченна ірашіця:

1 я-З

/(/^) = 1ітГ2т(г)[/Л2(1-іГ) 2 В2т(2ги)(іи

0

Тоді асимптотика дисперсії визначиться теоремою 8.

Теорема 8. При умовах ІУ.2)-І\Г.4):

ООг = С^с, (//)/(//,мі)5!т(г)(1+о(1)),г-> оо (»)

Сі(”) = ^2ІГ

В частинному випадку, якщо Д^д}) = ¿(|д)) /|д(а ,а> 0 де - функція, що

повільно змінюється па нескінченності та обмежена п кожному обмеженому інтервалі (умова IV.!), одержимо:

л Тгт(г)

ИОг = СІс2(пЖп,т)---2т~(і + о(1)),г-> оо

Якщо ввести супроводжуючі функціонал»:

Хт,г = Ст |ет(є(х))а(4х)/§5(/%[5(Гг),пі> 1

¡(Г)

для Л’г = (в- в) І \ 1)9, ,то при умовах ІУ.2),1У.5):

(ІУ.5) Існує 8 Є(0,1) і ціле тії, такі що:

2г ( 7Л1 —

1ішг'гіп'І) Гг"~2(1 - ) 2 В1т(г)сіг = -ню

г—*х> * V. 2г /

граничні

розподіли двох сімейств випадкових величин Xг та Xт г співпадаючі, при Г —>оо.

Припущення відносно поведінки спектральної щільності для

<^у(Л'),у дозволяє використати тауберову теорему Леоненка та

Оленка і довести слабку збіжність розподілів випадкових величин Х) до

розподілу випадкової величини: 1 ^¡С }]Гг ’де

■^2к ул У

г}=сь(п,а)^п +^4+лГ (КіІлІ)5^ тщ

Якщо у розкладі (5) (?, = 0, Сг £ 0 то при аналогічних умовах рошаділн випадкових величин Х7 г слабко збігаються до розподілу випадкової величніш.

58П{С2} ' '

де ири

і,І є{1,...,к},а є(^0,—

Р} - *^«-2 (|>^г-+-...-ЬА4|)|Аі+-...-|-Я4{ 2

2

4 = 2с6(»,а)^.лД|д,+...+Я^+...+ЛІ 2 /<Н|...И,|) г •

Символом позначено модифікований кратний стохастнчннй інтеграл по незалежним копіям Щ(.) та Wj(.) комплексного гауссівського білого шуму и R” .

У параграфі 2.3 розглядається задача оцінюііаінія сферичної о середньої» для випадкового поля тішу хі-квадрат, побудованого з компонент векторного однорідного ізотропного гауссівського випадкового поля. Функціонали такого тну розглядались Лсонспком.

Автор щиро пдячпа науковому керівнику професору Миколі Миколайовичу Леонепку за формулювання задачі, допомогу та постійну уваї у до роботи над дисертацією.

ПІДСУМКОВІ висновки

1. В роботі досліджено питання ефективності методу найменших квадратів лінійної регресії випадкових полів, що спостерігаються на сфері.

2. Метод найменших квадратів використаний для оцінювання невідомого середнього однорідного ізотропного випадкового ноля з сильною залежністю, що спостерігається па сфері. Досліджена асимптотика дисперсії та знайдені асимптотичні розподіли оцінки найменших квадратів.

3. Розглядається оцінка найменших квадратів коефіцієнта регресії плоского поля, що спостерігається на колі.

4. Використовує!ься немарамегричшш підхід при оцінюванні функції реї ресії з сильною залежністю.

5. Проведено дослідження асимптотики дисперсії та граничних розподілів оцінки найменших квадратів невідомого середнього випадкового поля типу хі-квадрат.

Основні результати дисертації опубліковані у наступних роботах:

1. Іллічева JI.M. Про спроможність ядерної оцінки функції регресії випадкового поля // Вісник Київського університету, серія фізнко-матсматичні науки. -1993. -№ 3, с. 14-18.

2. Leonenko N.N, Yadrenko М.I., Il’icheva I,.M. Efficient estimation of regression coefficients of a homogenous isotropic random field observed on the sphere // Доповіді HAH України.-1996.-№ 3.-C. 21-25.

3. I ..M.U'iclievn, N.N.I.conenko On estimator of a linear regression coefficient of slmngly dependent lamlom Helds // New Ticnds in Probabl. and Statistics, I’roc. Second IJkrainian-l iimgaiian (..'onleience (M.Arato and M.Yadrenko, ets) TBIMC'. 1995, 77-87.

4. іллічева JI.M. Про окіїїіоііаііпя коефіцієнта лінійної регресії випадкового поля тину хІ-квадраі//1Іраці Всеукраїнської конференції молодих вчених (математика). - 1994.-ч.2.59-67.

5. Іллічева Л.М.. Леоненко М.М. Асимптотичні властивості вибіркового середнього одного класу негаусеівських випадкових полів // Теорія ймовірностей іа маїемапічна езашепіка. - 1996. - № 54. - С. 38-46.

Ильичева Л.М. Статистические задачи для однородных и тшрониыл случайных полей, наблюдаемых на сфере. Рукопись. Диссертация на соисканнс ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1997.

Работа посвящена исследованию оценок метода наименьших кнадратої коэффициентов линейной регрессии гауссовских и негауссовских случайных полей с сильной зависимостью, наблюдаемых на сфере.

L.M.Il'icheva. Statistical problems for homogeneous isotropic random fields observed on the sphere. Thesis for degree of Candidate of Science (Ph. D) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.05 - theory of probability and mathematical statistics. National University T. Shevchenko, Kiev, 1997.

This work is about exploring least squares estimator of a linear regression coefficients of strongly dependent gaussian and non-gnussian random fields, observed on sphere.

Ключові слова: лінійна регресія, оцінка найменших квадратів, однорідне ізотропне гауссівське випадкове поле, кратний стохастичний інтеграл Іто-Вінера

Зак.№ 51. тир. ЮО.Уч.тнп. КУ. 1997 г. 14