Статистика переноса заряда в квантовых проводниках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

PÍO Oíi

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

На правах рукописи

Лесовик Гордей Борисович

СТАТИСТИКА ПЕРЕНОСА ЗАРЯДА В КВАНТОВЫХ ПРОВОДНИКАХ

Специальность 01.04.07. - физика твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Черноголовка 1997

Работа выполнена в Институте физики твердого тела РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Л. Гуревич доктор физико-математических наук В.В. Рязанов доктор физико-математических наук Ю.М. Белоусов. .

Ведущая организация: Институт Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Защита состоится " -¿О " С*_199 У года в ^^ часов на

заседании специализированного совета Д 003.12.01 в Институте физики твердого тела РАН (142432, Московская область, п. Черноголовка).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики твердого тела РАН.

Автореферат разослан " ¿-^" 199 7 года.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор Зверев В.Н.

физико-математических наук

© Институт физики твердого тела РАН, 1997.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. По мере развития мезоскопики - физики объектов, промежуточных по своим свойствам между микроскопическими и макроскопическими, появляются новые задачи, которые ранее либо не привлекали особого внимания, либо для изучавшихся ранее систем представлялись нереалистичными.

Одной из таких задач является описание статистики переноса заряда в квантовых мезоскопических проводниках. Полное описание статистики флуктуации является задачей, интересной не только с чисто научной точки зрения, но и с практической, так как применение мезоскопических микроэлектронных устройств ставит реальную проблему минимизации шумов и создание максимально предсказуемых квантовых устройств. С другой стороны, можно рассматривать флуктуации не просто как нечто, от чего следует по возможности избавиться, но как объект позволяющий чрезвычайно детально изучить квантовые проводники.

Значительная часть представленных результатов получена с использованием подхода опирающегося на матриду рассеяния который в последнее время чрезвычайно широко п успешно применяется для описания электронного мезоскопического транспорта (хорошо известный пример -формула Ландауэра).

Этот подход применим для описания когерентных мезоскопических проводников, в которых характерный размер области падения напряжения Ь много меньше всех неупругих длин. Для таких проводников практически бессмысленно говорить о величинах типа локальной проводимости и задача ставится именно о транспорте - переносе электронов из пункта А (левый резервуар) в пункт Б (правый резервуар). В этом случае перенос электронов через проводник есть чисто квантовомеханическая задача. Отличие данного подхода от более традиционных, например с использованием формулы Кубо, функций Грина, диаграммной техники и т.д., состоит главным образом в следующем.

Полная проводимость системы (или полный ток), как оказывается , может быть выражена через квантовомеханическую прозрачность проводника (в общем случае - через матрицу рассеяния ) и числа заполнения точных электронных состояний рассеяния.

На первый взгляд такой способ описания транспорта всего лишь переносит проблему с вычисления функций Грина на вычисление прозрачности, а эта задача ничуть не менее сложна. Это однако не совсем так. Во-первых для многих случаев с простой геометрией образца и простым

потенциалом рассеяния прозрачности можно вычислить аналитически, и это вычисление проще и нагляднее, чем вычисление функции Грина. Во вторых, часто удается сделать разумное предположение о матрице рассеяния и получить удовлетворительное описание эксперимента. Наконец, для грязных проводников со сложным потенциалом рассеяния вероятности прохождения удается эффективно описать статистически. Более того, даже если матрица рассеяния не известна ( т.е. не вычислена для конкретного потенциала рассеяния), формально удается описать всю статистику переноса заряда за большие времена, так же как средний ток. Таким образом, если известна прозрачность, то известен не только кондактанс, но и спектральная плотность флуктуации тока на малых частотах, функция распределения заряда Р{С?), перенесенного за некоторое фиксированное время и т.д. В традиционном подходе потребовалось бы всякий раз производить новое вычисление для 5 , Р и других величин отличных от кондактанса.

Цель работы, в соответствии с вышесказанным, состояла в построении теории, описывающей статистику переноса заряда в квантовых проводниках.

Научная новизна и достоверность. Основные результаты, положенные в основу диссертации получены впервые, а ее научные положения и выводы обоснованы, во-первых, согласием теоретических выводов с экспериментальными результатами в тех случаях, когда экспериментальная ситуация достаточно адекватно соответствовала теоретической модели, во-вторых, более поздними расчетами других авторов, и, в-третьих, взаимным согласованием полученных результатов с выводами, полученными другими авторами в рамках известных ранее более простых моделей.

Следующие результаты получены впервые и выносятся на защиту:

1. На основе обобщенной нелинейной формулы Ландауэра дан адекватный анализ эксперимента в четырехконтактной геометрии по наблюдению нелинейного эффекта в поперечном ("Холловском") напряжении, аналогичного осцилляциям термоэдс при разогреве током.

2. Показано, что величина кондактанса в трехмерном баллистическом проводе с адиабатической геометрией определяется количеством уровней с энергией меньшей фермиевской в двумерном "ящике", образованном сечением провода. Для случая когда сечение провода обладает какой-либо симметрией предсказаны: большое (в квантовых единицах) магнетосопротивление случайного знака; флуктуации кондактанса, заметно превышающие по величине флуктуации кондактанса в грязных проводниках.

3. Получено общее выражение для величины тока в когерентном микроконтакте металла и сверхпроводника (N8) через матрицу рассеяния в нормальном металле, и функцию распределения электронов в резервуаре. Полученная общая формула использована для качественного описания последних экспериментов по нелинейному транспорту в мезоскопических ^-контактах.

4. Получено общее выражение для спектральной плотности флуктуации тока для квантовых проводников, в которых взаимодействием электронов, а также влиянием неэлектронных степеней свободы можно пренебречь. Показано, спектральная плотность может быть выражена через квантово-механические амплитуды прохождения через когерентный проводник, а в пределе малых частот через прозрачность (вероятность прохождения).

5. Из полученного общего выражения для спектральной плотности флуктуации сделан вывод о подавлении квантового дробового шума в проводниках с безотражательным транспортом, в частности в баллистических квантовых микроконтактах.

6. Описаны ситуации, когда при конечном токе через когерентный контакт флуктуации могут уменьшаться по сравнению с равновесными.

7. Исследована статистика переноса заряда через когерентный проводник за большие времена. Получено общее выражение для вероятности прохождения определенного заряда в течении фиксированного времени при произвольных величинах температуры, тянущего напряжения и прозрачностей образца. При нулевой температуре и конечном токе статистика оказывается близкой к Бернуллиевской, с биномиальной функцией распределения, что является проявлением фермиевских корреляций между электронами и вероятностного характера квантового туннелирования.

8. Предсказан новый эффект: если в дополнение к постоянному напряжению к контакту прикладывается переменное, то в производной спектральной плотности тока по постоянному тянущему напряжению будут появляться ступеньки всякий раз, когда величина постоянного напряжения соизмерима с частотой переменного еЦ = пКш.

9. Показано, что флуктуации напряжения в квантовом проводнике нетривиально зависят от величины и шумовых свойств сопротивления во внешней цепи.

10. Рассмотрены источники негауссовости флуктуаций тока и напряжения в квантовых проводниках. Помимо примеров Пуассоновского и биноминального распределения, указано на негауссовость флуктуа-

ций тока из-за перемещений дефектов в мезоскопических образках, и представлен результат вычислений для соответствующей характеристической функции.

Предсказан новый эффект - сдвиг частоты Джозефсоновской генерации, обусловленный негауссовостью флуктуаций напряжения на Джозефсоновском переходе (контакте).

11. Показано что низкочастотные флуктуации тока в идеально проводящем кольце, в котором возможно протекание незатухающих токов, аномально велики и определяются шириной уровней дающих вклад в средний ток.

12. Для системы содержащей как нормальный когерентный проводник так и сверхпроводник, получено общее выражение для коррелятора токов через собственные волновые функции уравнений Боголюбова^ деЖена, описывающих данную систему.

Рассмотрены флуктуации тока в коротких БЖ контактах длиной менее сверхпроводящей длины когерентности. Для коротких контактов получена функция распределения для величины Джозефсонов-ского тока. Представлена схема вычисления времен релаксации.

13. Исследована неаддитивность вкладов во флуктуации тока от нескольких мобильных примесей.

14. Показано что в дробном квантовом эффекте Холла при факторе заполнения 1/2 и в высокотемпературных сверхпроводниках, флуктуации эффективного магнитного поля должны быть достаточно велики, если существующие калибровочные теории сильно коррелированных электронных систем верны. Предложено использовать измерение шума в Холловском напряжении для регистрации таких флуктуаций.

15. Рассмотрен вопрос об измерении флуктуации на заданной частоте. Проанализирован модельный детектор - резонансный ЬС контур, получена общая формула для отклика детектора через корреляторы токов. На основе общей формулы указаны условия при которых вакуумные флуктуации в токе (аналогичные электромагнитным флук-туациям) могут быть зарегистрированы.

Практическая ценность работы состоит в возможности использовать развитую теорию при экспериментальном исследовании квантовых проводников и при создании современных микроэлектронных устройств.

Апробация работы. Результаты представленных в диссертации исследований были представлены и докладывались:

на конференциях: 1989 Нелинейные аспекты физики твердого тела (НАТО), Флоренция; 1994 Международная конференция по мезоскопике, Черноголовка; 1994 Кулоновские и интерференционные эффекты,(Rencontre de Moriond), Виллар сур Оллон, Швейцария; 1995 Современные направления в теоретической физике, Черноголовка; 1996 Системы коррелированных фермионов и транспорт в мезоскопических системах,(Rencontre de Moriond), Лез- Арк, Франция; 1996 Нанофизика (НАТО), Курасао.

На научных семинарах в : ИТФ РАН, ИФТТ РАН, ИФП РАН, ИРЭ РАН, ЛФТЙ РАН, Римском университете ла Сапиенса, Университете Пе-руджия (Италия), инст. Теор. Физики Кельнского университета, инст. Макса Планка в Штутгарте ,инст. Макса Планка в Гренобле , иссл. центр Сакле (Франция), Женевском университете , инст. Теор. Физики ЕТН Цюрих, Вазельском университете, Университете Дельфт (Голландия), исследовательском институте NEC (Принстон), Массачусетском Технологическом инст.(Бостон), Университете Урбана (Иллинойс), лаборатории IBM (Yorktown), Bell Lab.

Публикация работы. Основное содержание диссертации опубликовано в 1989 -1997 годах в 17 научных статьях [1-17], приведенных отдельным списком в конце реферата. Из этих же работ взяты приводимые в диссертации графики и рисунки.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, 9 глав, заключения, списка литературы и списка работ автора. Главы 1-2 посвящены изучению усредненных по времени характеристик микроконтактов и их флуктуациям в зависимости от геометрии квантовых контактов, в главах 3- 9 рассматриваются динамические флуктуации тока в квантовых проводниках (контактах).

Основное содержание работы

Диссертация начинается введением, в котором дана характеристика объектов исследования, обоснована актуальность выбранного направления, кратко обсуждаются методы теоретического описания статистики переноса заряда в квантовых проводниках. Здесь же сформулированы цели работы и приводятся результаты, выносимые на защиту и план диссертации.

В первой главе вводится формализм матрицы рассеяния применительно к описанию электронного транспорта, вычисляются средние по времени величины.

В §1.1 для пояснения описания электронного транспорта "в духе Лан-дауэра" (подход с использованием матрицы рассеяния) в качестве примера рассмотрен квантовый точечный контакт. Дается теоретическое объяснение хорошему квантованию кондактанса в баллистическом двумерном сужении со всеми характерными размерами одного порядка величины.

В §1.2 выведена общая формула для тока через матрицу рассеяния. В многоконтактном проводнике для тока из контакта а.

(I)« = \ £ / ¿ЕТа„(Е)[па(Е) - пр(Е)] (1)

Тад{Е) - вероятность прохождения из резервуара а в резервуар (в многоканальном случае следует еще просуммировать по всем каналам Т н->• £уТу.) Вид чисел заполнения па(Е) вообще говоря должен быть установлен путем решения (квантового) кинетического уравнения с подходящими граничными условиями на бесконечности (в резервуарах). Можно, однако, с разумной точностью считать, что числа заполнения даются фермиевской функцией

щ(х) = = , при этом химические потенциалы и темпера-

тура в резервуарах могут различаться.

Заметим, что использованные при выводе (1) состояния рассеяния, в каждом из которых имеется "падающая" волна лишь в одном из резервуаров, вместе с диагональной по таким состояниям матрицей плотности, обеспечивают для Келдышевской функции грина правильные асимптотические значения в резервуарах при произвольных числах заполнения. В то же время матрица плотности, диагональная в некотором произвольном базисе, так что различные резервуары формально оказываются скоррели-роваными, может быть использована лишь для вычисления равновесных величин (в том числе, разумеется, для вычисления линейного отклика по формуле Кубо).

В §1.3 рассматриваются термоэлектрические и нелинейные явления в контактах с квантованным сопротивлением. На основе обобщенной формулы Ландауэра (1) предложено объяснение эксперимента в четырехконтактном проводнике в котором наблюдалось поперечное (Холловское) напряжение квадратичное по тянущему току.

В §1.4 рассмотрено квантование кондактанса в трехмерном проводе. Величина кондактанса определяется количеством уровней с энергией меньшей фермиевской в двумерном "ящике", образованном сечением провода. Статистика уровней в "ящике" является Дайсоновской, либо близка к Пуассоновской в зависимости от интегрируемости системы (т.е. на-

личия, либо отсутствия симметрии двумерного ограничивающего потенциала). Для поперечного ссчения обладающего определенной симметрией следует ожидать что магнетосопротивление будет большим и иметь случайный знак С(^) - С(0) ~ [(х)3£]1/М = а флуктуации кон-

дактанса от образца к образцу бй ~ АСгпах могут заметно превышать по величине так называемые универсальные флуктуации кондактанса в грязных проводниках.

Происхождение пуассоновскох! статистики в симметричном случае можно пояснить так: так как из-за наличия по крайней мере одного дополнительного интеграла интеграла движения I все уровни могут быть расклассифицированы по квантовому числу I, при этом в каждой группе со своим значением I образуется свой энергетический спектр, который можно считать слабо скоррелированным со спектрами других групп при энергиях Е Н2/тБ. Поэтому в заданный интервал энергий могут с независимыми вероятностями попасть уровни из разных групп, что ведет к пуассояовскому ответу для среднего квадрата флуктуации <(,«У(Д£))2) = (М).

Во второй главе получено общее выражение для тока и кондактанса когерентного микроконтакта металла и сверхпроводника (N8) через матрицу рассеяния в нормальном металле, аналогичное формуле Ландауэра для нормальных контактов: I = /¿б[пп(б) — п,(б)]СДб)/е, пп — (ехр{/Зп[е — еУ]} — I)-1. В квазиодномерном случае:

Г (Л - 2е2 (1+| а 1)Г+[1-1 а 1 Д_]

Л 1+ | а |2 - 2Ле[аг+г*_]' К '

1 — Т± = 1{± =| г(±е) |2, г - амплитуда отражения от нормального рассеивателя со стороны сверхпроводника, а - квадрат амплитуды Андреевского отражения, а = [е — г^/А2 — е2\/\е + гу/А2 — е2].

Полученная общая формула заключает в себе в качестве соответствующих пределов все известные ранее аналогичные результаты, в частности формулу Блондера-Тинкхама -Клапвика, выведенную для дельта-функционного барьера на N3 границе, формулу Бинаккера для линейной проводимости при произвольном нормальном рассеивателе и нуле температур, и дает возможность описать новые ситуации.

Анализ транспорта в простой модели с двумя барьерами в нормальной области позволяет удовлетворительно описать на качественном уровне последние эксперименты по нелинейному транспорту в ^-контактах, в которых наблюдались пики в дифференциальной проводимости при нулевом и конечном напряжениях. При этом пик при конечном напряжении

появляется в ситуации когда прозрачность барьера, удаленного от границы N8, меньше прозрачности барьера, расположенного непосредственно на границе. В этом случае структура резонансов, связанных с наличием размытых Андреевских уровней (положение которых дается минимумами знаменателя в формуле (2)), является определяющей для зависимости спектральной проводимости от энергии. В противоположном случае пик в проводимости появляется на нулевом напряжении, при этом более важной оказывается зависимость от энергии прозрачности нормальной части (двухбарьерного потенциала), которая входит в выражение для N8 кон-дактанса при двух энергиях - электрона и дырки (числитель формулы (2))-

В третьей главе рассмотрен вопрос о флуктуациях тока.

В §3.1 содержатся общие замечания о статистическом описании транспорта и о способах вычисления корреляторов.

В §3.2 получено общее выражение для спектральной плотности флуктуации полного тока. Показано, что спектральная плотность может быть выражена через квантово-механические амплитуды прохождения через когерентный проводник, а в пределе малых частот через прозрачность (вероятность прохождения). Для одного канала:

¿и0 = ~/^{Т2(Е)(п|(1-4)+п«(1-п|))

+ Т(Е)[1 - ВД(п|(1 - п|) + п|(1 - п|))} (3)

п1,гг -числа заполнения в левом и правом резервуарах.

В §3.3 рассмотрен дробовой шум. Из полученного общего выражения для спектральной плотности для квТ = 0,еУ ф 0 получаем (в одномерном случае):

¿1=0 = еУ2~Т(1 - Т) (4)

Из данной формулы сделан вывод о подавлении квантового дробового шума в проводниках с безотражательным транспортом (Т=1).

Для пояснения рассмотрим простую задачу: туннелирование потока электронов через барьер. Как известно из квантовой механики, если вероятность прохождения р конечна (0 < р < 1), то каждый электрон, налетающий на барьер, будет зарегистрирован либо за барьером (если конечно измерения производятся), либо перед барьером (вероятность отражения от барьера 1 — р ).

Из этого следует, что даже если последовательность "поступления" электронов в налетающем на препятствие потоке абсолютно регулярна, то

результирующий поток (за барьером ) будет флуктуировать во времени. Это явление (расщепление и последующая редукция волнового пакета в процессе измерения) является причиной квантового дробового шума.

В квантовых баллистических микроконтактах удается реализовать ситуацию, когда ток течет в двумерном вырожденном электронном газе через баллистический канал являющийся своеобразным волноводом для электронов, причем вероятность прохождения одной или нескольких первых "мод" есть единица, а остальные моды "заперты" с хорошей точностью.

В этом случае вероятностный характер туннелирования электронов "не срабатывает" , а поток электронов из резервуара в свою очередь оказывается довольно регулярным из-за Фермиевских корреляций - (принцип Паули); два эти обстоятельства ведут к полному подавлению квантового дробового шума на малых частотах. Этот эффект был многократно подтвержден экспериментально.

В §3.4 на основе общей формулы для флуктуации (3), описана ситуация, когда при конечном токе через контакт флуктуации уменьшаются по сравнению с равновесными, либо вообще исчезают. Для реализации последней из упомянутых возможностей, важной для создания малошумя-хцих приборов, необходим контакт с большой прозрачностью в некотором интервале энергий, и нулевой проводимостью вне такого интервала.

В четвертой главе рассматривается статистика переноса заряда через когерентный проводник за большие времена.

В §4.1 получено общее выражение для вероятности прохождения определенного заряда в течении фиксированного времени при произвольных величинах температуры, тянущего напряжения и прозрачностей образца. При нулевой температуре и конечном токе статистика оказывается не Пуассоновской, как обычно предполагается, а Бернуллиевской, т.е. функция распределения биноминальная. Качественно перенос электронов можно при этом описать как последовательность попыток туннелирования с частотой, определяемой тянущим напряжением, и вероятностью успеха равной квантовомеханической прозрачности.

Характеристическая функция ~ {ехр{г'А<3}) (для одного канала) оказывается равной

х(Х) = [Я + Теа'е)еП'\ (5)

а функция распределения для числа прошедших электронов близка к биномиальной:

ДГ1

где N = eVt/h.

В §4.2 обсуждается "полная" статистика переноса. Полученные общие выражения для динамических вероятностей через прозрачности, и результаты для функций распределения прозрачностей, выведенные для различных систем методами случайных матриц, дают возможность полного описания статистики квантового транспорта, учитывающего как динамические флуктуации при заданном потенциале рассеивания, так и флуктуации от образца к образцу; т.е. позволяют ответить на вопрос: какова априорная вероятность прохождения некоторого заряда через проводник, в котором потенциал рассеяния известен только в среднем, например известна лишь длина рассеяния. Приводится пример простой системы, для которой легко вычислить "полную" функцию распределения. В пятой главе исследованы временные корреляции между электронами на масштабе обратного тянущего напряжения.

В §5.1 для выявления характерной для задачи частоты предложен эксперимент в духе ступенек Шалиро, а именно: в дополнение к постоянному тянущему напряжению к контакту прикладывается переменная э.д.с., и в производной спектральной плотности тока предсказывается появление ступенек всякий раз, когда постоянное напряжение соизмеримо с частотой переменного.

dSo/ÖV = — £ Лn9(eV ~ пШ), (7)

TT п

где в(х) = 1 для х > 0, — 1 в противоположном случае. Функция dSo/dV вырастает на положительную величину ступеньки А„ при всех Vn = hün/e.

Высоты А„ ступенек в dSo/dV даются

An = Г>(1 - D)J2n{Фа/Ф0), (8)

где Фа/Ф0 можно представить в виде е£/Ш, £ - амплитуда переменной э.д.с. Они осциллируют как функции величины Ф„/Фо и обращаются в ноль в нулях функций Бесселя.

В §5.2 обсуждается влияние квантовой статистики частиц на транспорт. Эффект подавления дробового шума связан с принципом Паули, запрещающем электронам с одинаковым спином находиться в одной пространственно-временной точке. Именно этот эффект ответственен за разделение во времени попыток туннелирования и возникновение биномиальной функции распределения, упомянутой ранее.

Для выявления роли квантовой статистики частиц (Фермиевской либо Бозевской ) в статистике переноса рассмотрена задача о вытекании иде-

ального газа из некоторого изначально замкнутого объема П. Рассмотрим для простоты две тождественные частицы с одинаковыми направлениями спинов (спин частиц может быть целым либо полуцелым), так что исходно эти частицы занимают два разных дискретных уровня. После того как в момент времени < = 0 открыта "заслонка" позволяющая частицам вылетать вовне, поинтересуемся, какова вероятность того, что в более поздний момент времени t в объеме осталось две, одна, или ноль частиц (Р(2),Р(1),Р(0), соответственно) .

Ответ таков:

Р( 2) = Рт±\д\2, Р( 1) = Р1(1 - Рз) + р2( 1 - Р1) т 2 | 9 |2, Р(0) = (1-Р1)(1-Р2)±Ы2-

Здесь р 1,2 = /п | Ф]]2(^) |2 ¿г - вероятности того что частица, одна исходно находившаяся в объеме в состоянии 1 либо 2, будет зарегистрирована там же в момент времени д есть интеграл перекрытия на объеме П одночастпчных волновых функций описывающих временную эволюцию состояний 11),| 2): д=

Верхний знак относится к бозонам (целый спин), нижний знак - к фермионам (полуцелый спин). Как видно из приведенных выражений для вероятностей, они явно зависят от квантовой статистики частиц. При этом среднее число частиц

(п) = 0 • Р(0) + 1 • Р(1) + 2 . Р(2) = Р1 + рг,

определяется только одночастичной эволюцией состояний | 1), | 2), в то время как средний квадрат флуктуации уже чувствителен к статистике:

((8п)2} =Р1(1 -Р1) + й(1 -ра) ±2\д\2.

В шестой главе рассматриваются эффекты связанные с влиянием флуктуаций напряжения на транспорт.

В §6.1 показано, что флуктуации напряжения в квантовом проводнике нетривиально зависят от величины и шумовых свойств сопротивления во внешней цепи.

Такое влияние ранее не учитывалось, и применялись "электротехнические" схемы перевода флуктуаций тока во флуктуации напряжения типа ¿V = —1181 без учета возмущения движения электронов флуктуирующим электрическим полем.

В §6.2 указывается на существенную негауссовость флуктуадий тока и напряжения в квантовых проводниках. Помимо примеров Пуассоновского и биноминального распределений, указало на негауссовость флуктуации тока из-за перемещений дефектов в мезоскопических образцах (при различающихся временах перехода 71 ф 72 в случае двухуровневой системы), и представлен результат вычислений для соответствующей характеристической функции. Как правило в работах, где требовалось вычислять среднее от сложной функции случайной величины, предполагалось, что эта величина гауссова, не столько потому, что это часто разумное предположение, сколько из-за больших технических сложностей, привносимых негауссовостью ( наличие бесконечного числа ненулевых неприводимых корреляторов, вместо одного или двух). Однако учет негауссовости флуктуации напряжения приводит, например, к нетривиальному результату для Джозефсоновской генерации.

Показано, что помимо уширения линии генерации, уже описанного ранее в предположении о гауссовости Ларкиным и Овчинниковым, флуктуации напряжения на Джозефсоновском переходе вызывают сдвиг частоты генерации, который можно в общем виде выразить через неприводимые корреляторы напряжения нечетного порядка:

Для дробового шума: AulJ = //е(2е2Л/Й — вт[2е2В,/й]).

Для асимметричного телеграфного сигнала от мобильных примесей оценка: До;,/ = //е(е2Я/?4)3Аг1>Пр, Аг,'тр - количество мобильных примесей.

Качественно пояснить описанный эффект можно так. Если к Джозеф-соновскому переходу помимо постоянного напряжения приложить еще и переменное, то помимо основной частоты будут генерироваться субгармоники, и при наличии затухания положение основной линии сместится. Именно к такому эффекту фактически сводится влияние негауссовых флуктуации напряжения.

В седьмой главе рассмотрены флуктуации тока связанные с динамикой неэлектронных степеней свободы.

В §7.1 даются общие пояснения о различных источниках шумов.

Вклад во флуктуации из-за неэлектронных степеней свободы быть может наиболее важен для практических применений. Для пояснения вернемся к исходной задаче о туннелировании. Пусть величина барьера случайным образом зависит от времени - таким образом можно приблизительно описать динамическое взаимодействие с фононами, мобильными

примесями и другими, неэлектронными, степенями свободы. Если пренебречь дробовым шумом, величина тока в момент времени I будет пропорциональна зависящей от времени прозрачности Т(<) и интенсивности потока /о, поэтому коррелятор токов может быть записан как:

шт) = /02№№)>

Из-за квадратичной' зависимости от среднего потока (в отличии от линейной для дробового шума) такого рода вклад в шум при большом среднем токе обычно самый большой. Изучение этих флуктуаций (называемых иногда корреляцией через среду) может дать важную информацию о динамике неэлектронных степеней свободы в системе.

В §7.2 исследована неаддитивность вкладов во флуктуации тока от нескольких мобильных примесей.

В §7.3 показано что в дробном квантовом эффекте Холла (ДКЭХ) при факторе заполнения 1/2 и в высокотемпературных сверхпроводниках, флуктуации эффективного магнитного поля должны быть достаточно велики, если существующие калибровочные теории сильно коррелированных электронных систем верны.

В ДКЭХ, например, при V — 1/2 предполагается что реальное магнитное поле полностью скомпенсировано фиктивным магнитны .1 полем пропорциональным плотности электронов, к каждому из которых "прикреплено" два кванта потока. Тогда флуктуации плотности электронов должны приводить к заметным флуктуациям эффективного магнитного поля (кроме того имеется дополнительный вклад во флуктуации, того же порядка величины, связанный с собственной динамикой поля).

Предложено использовать измерение шума в Холловском напряжении для регистрации таких флуктуаций, и тем самым для проверки калибровочных теорий.

В восьмой главе рассмотрены флуктуации тока в системах с квазидискретным спектром: в проводящих кольцах и Э^-контактах.

В §8.1 рассмотрены флуктуации тока в идеально проводящем кольце. Среднюю по времени величину тока можно вычислить в рамках одно-частичной картины, однако коррелятор токов не затухает со временем, если не учесть взаимодействие размывающее дискретные уровни, в явном виде.

Данное явление является вполне общим для всех изолированных многочастичных систем с дискретным спектром. Если описывать систему в равновесии матрицей плотности в в ее обычном, диагональном по собственным состояниям виде, то различные состояния имеют различные

вероятности, но собственная динамика системы не обеспечивает переходов между различными состояниями с течением времени, в отличии от системы с непрерывным спектром. Для системы с непрерывным спектром, при условии слабого взаимодействия с резервуаром, как в выражении для среднего тока, так и для старших корреляторов, интенсивность взаимодействия с термостатом не фигурирует явно; в случае же дискретного спектра необходим учет такого взаимодействия в явном виде.

Учет взаимодействия с резервуаром приводит к конечному времени затухания коррелятора, которое можно оценить как обратную ширину уровней. В этом случае коррелятор (1(0)1(£)) будет равен:

где тм - характерное время "перемешивания" состояний с М = ±|М|. В спектральной плотности имеются пики на частотах переходов между

В §8.2 для описания флуктуации тока в Б^-контактах получено общее выражение для коррелятора токов в системе содержащей как нормальный когерентный проводник так и сверхпроводник(и), через собственные волновые функции уравнений Боголюбова-деЖена, описывающих данную систему.

Для коротких контактов длиной менее сверхпроводящей длины когерентности получена функция распределения для величины Джозефсо-новского тока. При этом ситуация с флуктуациями здесь вполне аналогична ситуации с проводящим кольцом, из-за наличия у Боголюбовских квазичастиц дискретных уровней. Приводятся оценки для размытия уровней из-за переходов с испусканием и поглощением фононов, а также схема вычисления времен релаксации коррелятора токов.

В девятой главе рассмотрен вопрос об измерениях.

В §9.1 проанализировано измерение флуктуации тока на конечной частоте, в частности вакуумных флуктуации.

В качестве модельного детектора флуктуации выбрал резонансный ЬС контур , индуктивно связанный с исследуемым проводником, так что контур реагирует только на переменный ток. Величина заряда на емкости служит величиной, характеризующей интенсивность флуктуаций тока в проводнике на резонансной частоте контура.

</(0)/(г))=<(/2))ехрН/тм],

(10)

(11)

На основе вычисления по теории возмущения (в представлении взаимодействия) сделан вывод, что измеряемый отклик может быть выражен через корреляторы токов следующим образом:

йпеаз = + - (12)

где

5+(П) = /Л(/(0)/(*))етр(»т), и 5_(П) = /Л</(4)7(0))ехр(»Ш).

Резонансная частота О во всех выражениях предполагается положительной. N0 - Бозевские числа заполнения, т.е.

Мп = [ехр(Ш/&дТ/,с) — 1]_1> К- эффективная константа связи проводника с детектором.

Полученное выражение не совпадает со стандартно используемым ЗчитИ = 1сИехр(гиЩ{1(0)1^) +/(*)/(0)}), которое приводит к формуле Найквиста для коррелятора токов

Из этой формулы следует, что при нулевой температуре на нулевой частоте имеются конечные флуктуации, которые по аналогии с электромагнитными принято называть вакуумными.

Согласно же полученному выражению (12), отклик детектора будет нулем при условии что к^Тьс Ш, а в обратном случае отрицательным,

5теа8 = К{-2вквТ1С}, (14)

т.к. в этом случае детектор отдает энергию колебаний электронам проводника.

В §9.2 рассмотрен вопрос о вкладе вакуумных флуктуаций в перенесенный заряд при регистрации квантовым гальванометром.

Так как при вычислении характеристической функции, определенной по аналогии с классическим выражением как

Х(А) = (ехр{гА^Ш'}>

возникает вопрос об упорядочении операторов тока во времени, был использован модельный гальванометр - спин 1/2 вращающийся в магнитном поле созданным током в проводнике. Классический ток поворачивает спин на определенный угол, квантовый ток создает суперпозицию состояний спина с разными углами поворотов, квадрат амплитуды таких состояний естественно интерпретировать как вероятность того что перенесен

соответствующий заряд. При этом оказывается что характеристической функции следует поставить в соответствие такое выражение -

Х(А) = {ехр0м({гЛ/2/о/Л'} ехр^0{гЛ/2/0' /Л"}).

Оказывается, что при таком способе измерения средний квадрат флуктуации протекшего заряда, например, в равновесии, может быть вычислен путем интегрирования выражения для спектральной плотности флуктуации из формулы Найквиста:

{(<?2(<))) = /^утет(^) /о дЛх ]*0 (И2ехр{-^1 -12)ш}<1ш/2ж, и, таким образом, вакуумные флуктуации могут быть зарегистрированы. Качественно такую возможность можно объяснить тем, что спин-измеритель, приготовленный в начальном состоянии с поляризацией перпендикулярной переменному магнитному полю, при дальнейшей эволюции не меняет своей энергии.

Заключение

Из представленного цикла исследований, основные результаты которого изложены в статьях [1]-[17] можно сделать следующие выводы:

1. На основе полученной автором ранее обобщенной для случая произвольных электронных функций распределений в берегах формулы Лан-дауэра, дал адекватный анализ эксперимента в котором наблюдался нелинейный эффект в "Холловском" напряжении, аналогичный осцилляциям термоэдс из-за неоднородного нагрева четырехконтактного проводника.

На этом примере продемонстрировано что при полной когерентности нелокального квантового транспорта могут проявляться эффекты, аналогичные вызванным неоднородной функцией распределения на протяжении проводника в локальном (некогерентном) транспорте.

2. Рассмотрено квантование кондактанса в трехмерном баллистическом адиабатическом проводе. Показано, что величина кондактанса определяется количеством уровней с энергией меньшей фермиевской в двумерном "ящике", образованном сечением провода. Статистика уровней в "ящике" согласно теории квантового биллиарда является Дайсоновской, либо Пуассоновской в зависимости от интегрируемости системы (т.е. наличия, либо отсутствия симметрии двумерного ограничивающего потенциала). Для поперечного сечения обладающего определенной симметрией предсказаны: большое (в квантовых единицах) магнетосопротивление случайного знака; флуктуации кондактанса, заметно превышающие по величине флуктуации кондактанса в грязных проводниках.

Тем самым с одной стороны, транспортные эксперименты в ЗБ проводниках с квантованным кондактансом можно использовать для проверки предсказаний теорий, описывающих статистику уровней, с другой стороны, на основе результатов этих теорий сделаны предсказания о свойствах ЗБ проводников, которые могут оказаться полезными при планировании экспериментов и изготовлении наноструктур.

3. Получено общее выражение для кондактанса когерентного микроконтакта металла и сверхпроводника (N8) через матрицу рассеяния в нормальном металле, аналогичное формуле Ландауэра для нормальных контактов. Полученная общая формула заключает в себе в качестве соответствующих пределов все известные ранее точные результаты для простых моделей, и дает возможность анализировать новые ситуации, что позволило на качественном уровне удовлетворительно описать последние эксперименты по нелинейному транспорту в ^-контактах.

На настоящий момент основное достоинство использованного подхода в том, что физика сложных интерференционных эффектов в МБ контактах может быть представлена для простых моделей (например для двухба-рьерного нормального рассеивателя) в исключительно прозрачном виде; с другой стороны при условии успешного дальнейшего развития теорий описывающих матрицы рассеяния статистически, полученные общие выражения для нелинейной проводимости могут быть использованы при количественном описании сложных систем.

4. Получено общее выражение для спектральной плотности флукту-аций полного тока в когерентном проводнике. Показано, спектральная плотность может быть выражена через квантово-механические амплитуды прохождения через когерентный проводник, а в пределе малых частот через прозрачность (вероятность прохождения).

5. Из полученного общего выражения для спектральной плотности флуктуации сделан вывод о подавлении квантового дробового шума в проводниках с безотражательным транспортом, в частности в баллистических квантовых микроконтактах. Это предсказание было впоследствии неоднократно подтверждено экспериментально. Заметный интерес к дальнейшим исследованиям квантового дробового шума обусловлен тем, что помимо дискретности заряда электрона, в нем ярко проявляются два других фундаментальных явления - Фермиевские корреляции (принцип Паули) и расщепление волнового пакета при туннелировании.

6. На основе полученной общей формулы для флуктуаций, описаны ситуации, когда при конечном токе через контакт флуктуации уменьшаются по сравнению с равновесными, либо вообще исчезают, что важно

для создания малошумягцих приборов.

При этом важно не столько то, что такой контакт не производит шума сам по себе, сколько возможность подавления низкочастотных флуктуации тока (и>КС <С 1) во всей цепи включающей квантовый контакт и внешний проводник (при условии что внешнее сопротивление много меньше квантового).

7. Исследована статистика переноса заряда через когерентный проводник за большие времена. Получено общее выражение для вероятности прохождения определенного заряда в течении фиксированного времени при произвольных величинах температуры, тянущего напряжения и прозрач-ностей образца. При нулевой температуре и конечном токе статистика оказывается не Пуассоновской, как обычно предполагается, а Бернулли-евской, т.е. функция распределения близка к биноминальной, что является проявлением фермиевских корреляций между электронами и вероятностного характера квантового туннелирования.

8. Предсказан новый эффект: если в дополнение к постоянному тянущему напряжению к контакту прикладывается переменное, то в производной спектральной плотности тока по напряжению будут появляться ступеньки всякий раз, когда постоянное напряжение соизмеримо с частотой переменного.

9. Показано, что флуктуации напряжения в квантовом проводнике нетривиально зависят от величины и шумовых свойств сопротивления во внешней цепи.

Можно сделать вывод, что при применении обобощенной Ланжеве-новской схемы для вычисления флуктуаций напряжения в цепи задача должна решаться самосогласованно, с учетом зависимости флуктуаций тока в каждом элементе цепи от флуктуаций напряжения. Фактически это означает наличие эффективного взаимодействия.

10. Изучены причины и возможные следствия негауссовости флуктуаций тока и напряжения в квантовых проводниках. Помимо известных ранее примеров Пуассоновского и биноминального распределения, указано на негауссовость флуктуаций тока из-за перемещений дефектов в мезо-скопических образцах, и представлен результат вычислений для соответствующей характеристической функции.

Предсказан новый эффект - сдвиг частоты Джозефсоновской генерации, обусловленный негауссовостью флуктуаций напряжения на Джозефсонов-ском переходе (контакте). Тем самым можно заключить, что в ситуации с заданным током, в отличии от ситуации с заданным напряжением, частота Джозефсоновской генерации не является универсальной величиной.

11. Показано что флуктуации тока в идеально проводящем кольце, в котором возможно протекание незатухающих токов, аномально велики и определяются шириной уровней дающих вклад в средний ток.

12. Для системы содержащей как нормальный когерентный проводник так и сверхпроводник, получено общее выражение для коррелятора токов через собственные волновые функции уравнений Боголюбова-деЖена, описывающих данную систему.

Рассмотрены флуктуации тока в БЩ контактах. Для коротких контактов длиной менее сверхпроводящей длины когерентности получена функция распределения для величины Джозефсоновского тока. Представлена схема вычисления времен релаксации.

13. Исследована неаддитивность вкладов во флуктуации тока от нескольких мобильных примесей. Показано, что если предполагать примеси бистабильными с распределением времен перехода обратно пропорциональным характерному времени, спектральная плотность модифицируется поправкой вида 1п /// к основному вкладу ос 1//.

14. Показано что в дробном квантовом эффекте Холла при факторе заполнения 1/2 и в высокотемпературных сверхпроводниках, флуктуации эффективного магнитного поля должны быть достаточно велики, если существующие калибровочные теории сильно коррелированных электронных систем верны.

Предложено использовать измерение шума в Холловском напряжении для регистрации таких флуктуации, и тем самым для проверки калибровочных теорий.

15. Рассмотрен вопрос об измерении флуктуаций на заданной частоте. Проанализирован модельный детектор - резонансный ЬС контур, получена общая формула для отклика детектора через корреляторы токов. На основе общей формулы указаны условия при которых вакуумные флуктуации в токе (аналогичные электромагнитным флуктуациям) могут быть зарегистрированы.

Можно сделать вывод, что так же как и в оптике, вопрос об измеримости вакуумных флуктуаций в токе и напряжении нельзя ставить абстрактно. В зависимости от конкретного способа измерения могут осуществляться следующие варианты: а)вакуумные флуктуации дают вклад в измеряемую величину, и при этом их интенсивность дается формулой Найквиста (случай квантового гальванометра).

б)вакуумные флуктуации дают определенный вклад в измеряемую величину, но этот вклад не тождественен Найквистовскому (для спектрального датчика с высокой температурой).

в)вакуумные флуктуации не дают вклад в измеряемую величину (для спектрального датчика с низкой температурой).

Я признателен моим коллегам и соавторам В. Я. Кравченко, Д.Е. Хмельницкому, В.И. Фалько, Л.С. Левитову, A.A. Голубову, Р. Лузену, Л.Б. Иоффе, Дж. Блаттеру за их вклад и помощь на различных этапах представленной здесь работы, я также благодарен моей жене Наталии за большую помощь в подготовке рукописи.

Список литературы Работы, представленные на защиту:

[1] Г. Б. Лесовик. Избыточный квантовый шум в двумерных баллистических точечных контактах. Письма в ЖЭТФ т.49 с.513-515 (1989)

[2] G.B. Lesovik, V.l. Falko. Quantum Conductance Fluctuations in 3D Ballistic Wires. Sol. St. Com. v.84 pp.835-837 (1992)

[3] Л. С. Левитов, Г. Б. Лесовик. Статистика переноса заряда в квантовых проводниках. Письма в ЖЭТФ т.55 с.534-537 (1992)

[4] G.B. Lesovik, С. Presilla. Nonliear Voltages in Multilead Coherent Conductor. Phys. Rev. В 47 pp. 2398-2401 (1993)

[5] Л. С. Левитов, Г. Б. Лесовик. Распределение заряда в квантовом дробовом шуме. Письма в ЖЭТФ т.58 с.225-230 (1993)

[6] G. В. Lesovik, R. Loosen. Negative Excess Noise in Quantum Conductors Z. für Phys. В 91 p.531-563 (1993)

[7] G. B. Lesovik, L. S. Levitov. Noise in ac biased junction: Nonstationary Aharonov- Böhm effect. Phys. Rev. Lett, v.72 p.538-541 (1994)

[8] G. B. Lesovik, J. Hajdu. On the additivity of Flicker contribution to the excess noise in quantum contuctors Z. für Phys. В 94 pp.487-492 (1994)

[9] Г. Б. Лесовик. О влиянии случайного напряжения на равновесные флуктуации тока в квантовом проводнике. Письма в ЖЭТФ т.60 с.801-805 (1994)

[10] Г. Б. Лесовик. Негауссовы флуктуации тока и напряжения в квантовых проводниках. Письма в ЖЭТФ т.60 с.806-809 (1994)

[11] Г. Б. Лесовик. Флуктуации тока в идеально проводящем кольце. Письма в ЖЭТФ т.62 с.715-718 (1995)

[12] A. Golubov, G. Lesovik. Supercurrent noise in short Josephson junction, pp. 341-346 In: Proceedings of the 31 Rencontre de Moriond, Correlated Fermions and Transport in Mesoscopic Systems, France , Eds.: T. Martin, G. Montambaux, J. Tran Thanh Van (1996)

[13] L. В. Ioffe, G. В. Lesovik, A. J. Millis. Hall Voltage Fluctuations as a Diagnostic of Internal Magnetic Field Fluctuations in High Temperature Superconductrs and the Half-filled Landau Level. Phys. Rev. Lett., v.77, pp.1584-1587 (1996)

[14] L. S. Levitov, H. Lee , G.B. Lesovik, Electron Counting Statistics and Coherent States of Electric Current, J. of Mathematical Physics, v.37, pp.4845- 4866 (1996)

[15] Г. Б. Лесовик, А. Л. Фушер, Дж. Блаттер, Описание нелинейного транспорта в NS - контактах с помощью матрицы рассеяния, Успехи Физических Наук, т.166 с. 901 (1996).

[16] G. В. Lesovik, A. Fauchere, G. Blatter, Electron Transport in Normalmetal - Superconductor Junction; Scattering Matrix Point of View. Phys. Rev. В v.55 pp.3146-3154 (1997)

[17] G.B. Lesovik, R. Loosen, On the detection of the finite frequency current fluctuations. Письма в ЖЭТФ т.65, с.280-284 (1997)

Содержание

Общая характеристика работы 1

Основное содержание работы 5

Заключение 16

Список литературы 22

Отпечатано ТОО «Принт» г. Ногинск Тел. (8-251) 5-29-51