Стационарные задачи термоупругости для тел цилиндрической формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА I. Однородные решения теории упругости и их применение к нахождению напряженно-деформированного состояния в полом круговом цилиндре

§ I. Общая постановка задачи о деформации однородных призматических брусьях

§ 2. Общий метод нахождения однородных решений для призматических брусьев.

§ 3. Фактическое нахождение однородных решений для кругового цилиндра

§ 4. Нахождение собственных функций и собственных значений одномерных краевых задач

§ 5. Преобразование полученного решения. Упрощения, связанные с наличием осевой симметрии напряженно-деформированного состояния

§ 6. Выводы.

ГЛАВА П. Соотношение биортогональности. Обобщенная ортогональность.• •

§ I. Преобразование системы дифференциальных уравнений для собственных функций 2Н и 2а к системе дифференциальных уравнений первого порядка специального вида.

§ 2. Сопряженная краевая задача.^

§ 3. Соотношение биортогональности между собственными функциями сопряженных краевых задач

§ 4. Обобщенная ортогональность.

§ 5. Представление решения задачи теории упругости в цилиндре со свободными торцами в виде ряда по однородным решениям. Определение коэффициентов разложения из условий на боковой поверхности

§ 6. Выводы.

ГЛАВА Ш. Задачи термоупругости для тел цилиндрической формы

§ I. Основные уравнения стационарной термоупругости и их частные решения специального вида.

§ 2. Интегрирование уравнений термоупругости в случае плоского напряженного состояния

§ 3. Задачи термоупругости для тел цилиндрической формы в теплоизолированной боковой поверхностью и их аналитическое решение.

§ 4. Температурные напряжения в сплошном цилиндре с теплоизолированной боковой поверхностью и с заданным распределением температуры на торцах

§ 5. Выводы.

ГЛАВА 1У. Краевые задачи теории упругости и термоупругости для полых круговых цилиндров конечной длины со смешанными краевыми условиями.

§ I. Постановка краевой задачи о действии внутреннего давления в полом цилиндре. Соотношения эквивалентности влияния давления и температуры

§ 2. Новый метод интегрирования уравнений осесиммет-ричной краевой задачи теории упругости для полого цилиндра конечной длины

§ 3. Аппроксимация решения и основное разрешающее уравнение. Результаты численной реализации.

§ 4. Выводы.XI

В современной технике и некоторых отраслях машиностроения возникает много задач по расчету прочности конструкций цилиндрической формы при различных условиях их эксплуатации. Поиски и исследования направлений эффективного решения этих задач представляют существенный интерес, так как, в конечном итоге, определяют уровень научных и технических достижений на современном этапе. К числу таких задач, охватывающих целое направление в механике твердого деформируемого тела, относятся задачи по определению температурного поля и напряженно-деформированного состояния неравномерно нагретых тел и конструкций. Последствия температурных напряжений приходится учитывать во многих видах инженерных расчетов: в атомной энергетике при проектировании ядерных реакторов [ 53]; в процессе термообработки цилиндрических слитков [46]; в технологических процессах изготовления и обработки элементов металло-конструкций и приборов, связанных с использованием индукционного нагрева [44]; в твердотопливных зарядах ракетных двигателей, которые представляют собой толстостенные полые цилиндры, скрепленные с оболочкой двигателя 171] и т.д.

Достигнутые за последнее время успехи в термоупругости отражены в ряде журнальных статей, а также в монографиях ведущих ученых в нашей стране и за рубежом. Среди них отметим работы [5, 10, 18, 21, 25, 35, 42, 44] , в которых имеется и довольно обширная библиография по задачам термоупругости. Список литературы, приведенный в конце диссертации, в той или иной мере связан с рассматриваемым здесь кругом задач и, конечно, не претендует на полноту. В этот список входит также литература математическая, а именно та, которой автор пользовался в процессе работы. Задача термоупругости в общей постановке представляет большие математические трудности и требует хорошего владения обширным математическим аппаратом. Здесь надо особо отметить монографию [25], где даны не только формулировки основных задач математической теории упругости и термоупругости, но и доказаны соответствующие теоремы существования и единственности их решений. По поводу метода разделения переменных, применительно к скалярным уравнениям в частных производных, отметим [2, 4, 17, 20, 23, 24, 40, 49] . В этих же книгах, а также в [ 39, 54, 57] можно найти необходимые сведения о функциях Бесселя, которые использовались в диссертации. Что касается метода разделения переменных для векторных уравнений, какими и являются уравнения термоупругости, то здесь дело обстоит гораздо сложнее, причем вопрос обоснования метода Фурье нельзя считать исчерпанным. В связи с нахождением частных решений теории упругости по методу Фурье в цилиндрических координатах отметим работы С7, 10, 18 , 22 , 28 , 29 , 33 , 34 , 35 , 42 , 45, 58, 60, 62, 63]. В связи с разложением решения теории упругости в ряд по частным решениям, удовлетворяющим на боковой поверхности цилиндрического тела определенным однородным условиям, возникает проблема нахождения коэффициентов разложения. При изучении этого вопроса были использованы следующие источники Г1, 3, 7, 8, 38, 45, 47, 48, 56, 59] и, особенно, работы [61].

Данная диссертация посвящена стационарным задачам термоупругости для тел цилиндрической формы. При решении подобных задач на практике часто пренебрегают торцевыми эффектами, т.е. фактически рассматривают среднюю часть цилиндра, предполагая, что она находится в условиях плоской деформации. Это допущение является приемлемым для достаточно длинных цилиндров, однако для коротких цилиндров от него приходится отказаться, так как влияние торцев будет, вообще говоря, достигать и средней части. Учет же влияния торцев сильно усложняет задачу, так как при этом вся граница не охватывается одной координатной поверхностью, а состоит из кусков разных поверхностей: цилиндрических и плоских. Это приводит к тому, что приходится формулировать граничные условия отдельно для всех кусков, из которых состоит граница, и потому число этих условий возрастает. Усложнение граничных условий происходит также и за счет появления в них новых величин. Таковы вкратце те принципиальные особенности рассматриваемых задач, которые и не позволяют использовать для получения решения стандартную схему разделения переменных с последующим ее обоснованием.

Поскольку температура в линейные уравнения термоупругости входит также линейно, то решение соответствующей краевой задачи можно расщепить на два, одно из которых легко определяется и учитывает влияние температуры, а другое соответственно заграничные условия и удовлетворяет обычным уравнениям теории упругости. В общем случае задачу термоупругости можно свести к обычной статической задаче упругости, когда на границе задан самоуравновешенный вектор напряжения. Такое сведение возможно многими способами, например, с помощью потенциала термоупругого перемещения ГУдьера [641, или так, как это сделано в третьей главе данной диссертации. В связи с этим становится ясным содержание первых двух глав диссертации, посвященных нахождению системы частных решений уравнений Ляме, удовлетворяющих соответствующим однородным условиям на боковой поверхности цилиндрического тела. Это, так называемые, однородные решения.

В первой главе дана общая постановка задачи о деформации однородных призматических брусьев со свободной боковой поверхностью. Показано, что однородные решения возникают в связи с попыткой уточнить "смягченные" краевые условия на торцах бруса, согласно которым на торцах задается главный вектор и главный момент внешних воздействий. Задача о нахождении однородных решений для призматического бруса сведена к задаче о нахождении собственных вектор-функций и собственных чисел в области поперечного сечения бруса. Подробно рассмотрен случай кругового поперечного сечения бруса: найдены собственные вектор-функции и получено характеристическое уравнение для собственных чисел, которое является трансцендентным и содержит коэффициент Пуассона. Случай же, когда поперечное сечение имеет форму кругового кольца, не рассматривается, так как принципиально ничем не отличается. В итоге получены две серии однородных решений для кругового цилиндра со свободной боковой поверхностью. Эти решения можно использовать при нахождении напряженно-деформированного состояния в полубесконечном цилиндре, загруженном тем или иным образом по торцу. Далее выполнено удачное преобразование полученного частного решения, в результате которого удалось найти однородные решения другого типа. Эти новые решения должны удовлетворять однородным краевым условиям на торцах, причем они отличаются от тех, которые были использованы в работе С 7]. Решения такого вида были без вывода указаны и использованы в работе [331. Для случая, когда имеет место осевая симметрия, полученные однородные решения значительно упрощаются и принимают вид: U r = U3=22C2Q3) Т0 ( ]3 г ) .Для функций £ л С сс3) и (зсз) получена паевая задача, связанная с решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при однородных краевых условиях на торцах ос3 |= 4 . Разобраны случаи свободных и закрепленных торцев, найдены соответствующие собственные функции , 22 и получены характеристические уравнения для определения параметра ^ . Полученные однородные решения, очевидно, можно использовать для решения краевых задач о деформации цилиндров со свободными или закрепленными торцами. При этом, однако, возникает сложная . задача о возможности фактического разложения функций, присутствующих в 1 граничных условиях на боковой поверхности, в ряды по собственным функциям 21К(эсз) и ^(Д^з) и их комбинациям. Этоаду посвящена вторая глава.

Особенность краевой задачи на собственные функции 2нк > и собственные значения J3K состоит в том, что эта задача не является самосопряженной и, 1фоме того, параметр J3 входит в задачу нелинейным образом. Для таких задач получен ряд общих результатов, обзор которых и ссылки имеются в работе [8]. Отметим, что одним из трудных вопросов в этой области является получение соответствующих условий обобщенной ортогональности для собственных вектор-функций. Для решения этого вопроса применяется метод, предложенный в работах Блисса [61] для задач, связанных с решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, в которые параметр р входит линейно. Формально, конечно, систему дифференциальных уравнений для 21 и 22 можно свести к системе первого порядка, причем многими способами, однако фактически оказывается при этом, что параметр J3 входит в нее попрежнему нелинейным образом и потому метод Блисса остается в стороне. Тем не менее, нужное преобразование было найдено, после чего были установлены соотношения биортогональности между собственными функциями сопряженных краевых задач. В случае, когда на торцах cCg^ + 'l отсутствуют перемещения, полученные в диссертации соотношения биортогональности являются новыми. Когда же торцы я?3=±/1 являются свободными, собственные функции и ?2к удалось выразить через функции Папковича FK для которых соотношение ортогональности известно [47]. Далее показано, как можно использовать эти соотношения при решении !фаевых задач теории упругости для цилиндра со свободными торцами. Решение представлено в виде ряда по однородным решениям так, что условия на торцах автоматически удовлетворяются, а коэффициенты разложения определяются из условий на боковой поверхности. Если на боковой поверхности цилиндра задано нормальное перемещение и касательное напряжение, то коэффициенты разложения находятся сразу. Если же на боковой поверхности задан вектор напряжения, то для определения коэффициентов разложения получается бесконечная система алгебраических уравнений. Аналогичные результаты, полученные более сложным путем, содержатся в работе L73. Так как соотношение биортогональности получено нами и для случая затепленных тор-цев, то можно получить соответствующие решения для цилиндра и в этом случае.

Отметим, что непосредственное использование метода однородных решений при фактическом нахождении решения краевых задач связано с большими трудностями. Во-первых, трансцендентное характеристическое уравнение для определения комплексных собственных чисел приходится решать отдельно для каждого значения коэффициента Пуассона. Во-вторых, разложение искомого решения в ряд по однородным решениям не является равномерно сходящимся. При практической реализации метода это приводит к тоэду, что увеличение числа членов ряда приводит к ухудшению точности получаемого решения. Результаты первых двух глав диссертации имеют теоретическое значение и в дальнейшем при решении конкретных задач не используются.

Значительными по содержанию и основными в диссертации являются третья и четвертая главы, посвященные решению конкретных задач термоупругости для тел цилиндрической формы. Тела считаются вполне упругими, однородными и изотропными с механическими и термическими характеристиками, не зависящими от температуры. В качестве определяющих соотношений, связывающих компоненты тензоров напряжений, деформаций и температуры, взяты соотношения i . Дюгамеля-Неймана.

Б третьей главе рассмотрен новый способ нахождения частных решений уравнений термоупругости. Оказывается, что можно найти частное решение в удобной для приложений форме, если дополнительно потребовать, чтобы напряженное состояние было плоским. Полученное решение состоит из двух. Первое из них для вектора перемещения имеет вид "косого градиента" и представляет решение, которое было впервые получено Вестергардом [70] и широко использовалось впоследствии Лурье [29], а также Снеддоном и Тейтом 152].

Здесь следоет отметить, что в работе [521 получены точные аналитические решения задач термоупругости для цилиндров со свободными торцами и теплоизолированной боковой поверхностью. Краевые условия на боковой поверхности, однако, имели специфический вид: задавались нормальная составляющая вектора перемещения и касательная составляющая вектора напряжения (в данном случае равная нулю). Наиболее важный для практики случай, когда боковая поверхность является свободной, в этой работе не был рассмотрен. Другая составляющая вектора перемещения представляет общее решение однородных уравнений Ляме при плоском напряженном состоянии. Полученное решение является более общим по сравнению с решением Вестергарда и обладает замечательной особенностью: используя его в диссертации удалось получить точные решения в аналитической форме осесимметричных задач термоупругости для круговых цилиндров, полых и сплошных, конечных и полубесконечных, у которых боковая поверхность является теплоизолированной. Этот результат является новым и имеет общий характер. В этой же главе в качестве иллюстрации решена конкретная задача определения температурных напряжений в сплошном цилиндре при заданном распределении температуры на торцах.

В четвертой главе рассматривается задача о статическом поведении полого кругового цилиндра конечной длины, наружная боковая поверхность которого является закрепленной, а внутренняя подвергнута действию постоянного давления. Торцы цилиндра считаются свободными. Показано, что действие внутреннего давления эквивалентно влиянию постоянного температурного поля. Получены соотношения, позволяющие находить решение одной задачи из решения другой путем прямого пересчета. Для решения этих конфетных краевых задач предложен новый метод интегрирования, который имеет общий характер и может быть использован при решении других задач. Суть метода состоит в том, что в качестве основного неизвестного выбирается осевое напряжение. Далее,путем последовательного интегрирования основных уравнений по радиальной координате с учетом всех краевых условий на боковых поверхностях определяются все остальные величины (перемещения и напряжения) через осевое напряжение. В итоге для осевого напряжения получается интегродифференциаль-ное уравнение, в котором присутствуют производные только по осевой координате. Это уравнение решается затем приближенно с использованием предположения о том, что осевое напряжение не меняется по сечению цилиндра. Проведен анализ полученного решения, приведены необходимые графики распределения напряжений и перемещений, представляющих практический интерес.

Основным достоинством предложенного метода интегрирования, по сравнению с имеющимися, является то, что все искомые величины (перемещения и напряжения) выражены в аналитическом виде через осевое напряжение (э 33 . При этом оказывается, что какова бы ни была функциональная зависимость 633= б33(г, ос3) точно удовлетворяются все краевые условия задачи на боковых поверхностях цилиндра, а также все дифференциальные уравнения, 1фоме одного: соотношения закона 1Ука в осевом направлении. Требование, чтобы удовлетворялось и это соотношение приводит к основному разрешающему уравнению, которое оказывается интегродифференциальным.

Основные результаты, полученные в данной диссертации, имеют как теоретическое, так и прикладное значение в области механики деформируемого твердого тела и заключаются в следующем:

1. Для кругового цилиндра получены однородные решения теории упругости для двух случаев, когда торцы цилиндра являются свободными или закрепленными, и установлены соотношения обобщенной ортогональности для этих решений.

2. Впервые получены точные решения в аналитической форме осесимметричных задач термоупругости для круговых цилиндров,полых или сплршных, конечных или полубесконечных, у которых боковая поверхность является теплоизолированной.

3. Предложен новый метод интегрирования основных уравнений теории упругости и дано его применение к решению смешанной краевой задачи для полого кругового цилиндра со свободными торцами, наружная боковая поверхность которого является закрепленной, а внутренняя подвергнута постоянному давлению. Полученное приближенное решение этой задачи и его анализ показывают высокую эффективность метода при всех допустимых значениях коэффициента Пуассона.

4. Установлено, что действие внутреннего давления в цилиндре эквивалентно влиянию постоянного температурного поля. Получены соотношения, позволяющие находить решение одной задачи из решения другой путем прямого пересчета.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в работе научно-исследовательских организаций и конструкторских бюро, связанных с расчетами на прочность.

- 121

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алексидзе М.А., Арвеладзе Н.М., Лекишвили Н.Л., Пертая К.В.

2. О решении граничных задач с помощью неортогональных рядов.Сообщение АН Груз.ССР, Т.49 № 2, Тбилиси, 1968. с.281-286.

3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 431 с.

4. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968 . 749 с.

5. Бейтмен Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн. М.: Наука, 1958. 180 с.

6. Боли В., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. 517 с.

7. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 607 с.

8. Бухаринов Г.Н. Исследование по задаче П.Ф.Папковича в случае осесимметричной деформации цилиндра. Проблемы механики твердого деформированного тела (к шестидесятилетию акад.В.В.Новожилова), Л., Судостроение, 1970. с.89-98.

9. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек. Труды П Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, вып.З, М., Наука, 1966. с.116-136.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 575 с.

11. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев, Наукова думка, 1978. 264 с.

12. Данелия Р.В. Спектр однородных решений в полом однородном полубесконечном упругом цилиндре. Труды ГПИ им.В.И.Ленина, № 5(226), Тбилиси. 1980. с.102-108.

13. Данелия Р.В. Термоупругие напряжения в полом цилиндре.Труды ГПИ им.В.И.Ленина, № 2(247), Тбилиси, 1982. с.27-32.

14. Данелия Р.В. Температурные напряжения в цилиндре конечной длины с теплоизолированной боковой поверхностью. Труды ГПИ им.В.И.Ленина, № 2(247), Тбилиси. 1982. с.33-36.

15. Данелия Р.В. Задачи термоупругости для тел цилиндрической формы с теплоизолированной боковой поверхностью и их аналитическое решение. Труды ГПИ им.В.И.Ленина № 2(262), Тбилиси. 1983. с.127-130.

16. Данелия Р.В. Интегрирование уравнений термоупругости в случае плоского напряженного состояния. Тезисы докладов X Республиканской научно-технической конференции математиков высших учебных заведений Груз.ССР.Тбилиси, 1983. с.59-59.

17. Джеффрим Г., Свирлс Б. Методы математической физики. М.:Мир, 1970. 344 с.

18. Ионов В.Н. Температурные напряжения в упругом цилиндре. В журн. Известия ВУЗов, Машиностроение, № 6, М., 1958. с.75-80.

19. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.

20. Канторович Л.В., Крилов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

21. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость. Киев, Наукова думка, 1965. 204 с.

22. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: Высшая школа, 1975. 525 с.

23. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Определения, теоремы, формулы. М.: Наука, 1968. 717 с.

24. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частныхпроизводных математической физики. М.: Высшая школа, 1970710 с.

25. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башалейшвили М.О., Бурчуладзе

26. Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 627 с.

27. Лебедев Н.Н. Температурные напряжения в теории упругости.JI-M: ОНТИ, 1937. НО с.

28. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 464 с.

29. Лившиц П.З. К расчету температурных напряжений в цилиндре конечной длины. В журн. Энергомашиностроение, № 5, Л. Машгиз, 1961. с.24-27.

30. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. 492 с.

31. Ляв А.Е. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.

32. Майзель В.М. Температурная задача теории упругости. Киев, АН УССР, 1951. 152 с.

33. Майзель В.М. Обобщение теоремы Бетти-Максвелла на случай термического напряженного состояния и некоторые его приложения. ДАН СССР, Т.ЗО, № 2. М., Наука, 1941. с.115-118.

34. Мартыненко М.Д. Вторая краевая задача теории упругости для однородного изотропного слоя. ДАН СССР, т.156, № 6, М., Наука, 1964. с.I323-1325.

35. Маховиков В.И. Об определения температурных напряжений в цилиндре. В журн. Инж.-физ.журнал, т.2, № 12. М., 1959. с.84-89.

36. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 70 с.

37. Наймарк М.А. Линейные дифференцируемые операторы. М.: Гос-техиздат, 1954. 352 с.

38. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. 303 с.

39. Никольский Э.В. Некоторые вопросы теории двумерных дифференциальных уравнений и систем 2-го порядка. В журн. Сиб.мат. журн., т.ХХШ, № I, Новосибирск, 1982. с.I14-129.

40. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

41. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

42. Папкович П.Ф. Обзор некоторых общих решений основных дифференциальных уравнений покоя изотропного упругого тела. В журн.ПММ, Новая-серия, т.1, № I, М., АН СССР, 1937. с.117-132.

43. Подстригач Я.С., Бурак Я.И., Кондрат В.Ф. Магнитотермоупру-гость электропроводных тел. Киев, Наукова думка, 1982. 293 с.

44. Положий Г.Н. Теория и применение р аналитических и (р, )-аналитических функций. Киев, Наукова .пумка, 1973. 423 с.

45. Померанцев А.А. Термические напряжения в телах вращения произвольной формы. М.: Московского университета, 1967. с.76-103.

46. Прокопов В.К. Однородные решения теории упругости и их приложение к теории тонких пластин. Труды П Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, вып.З, М., Наука, 1966.с.253-259.

47. Рапопорт И.М., Хзарджян С.М. Дислокация в упругом цилиндре. ДАН СССР, т.201, № 4. М., Наука, 1971. с.813-816.

48. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука. 1980. 336 с.

49. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том Ш, часть П. М.: Наука, 1974-672 с.

50. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 1У, М.: Госиздательство технико-теоретической литературы, 1957. 812 с.

51. Снедцон И.Н., Тейт Р.Д$. 0 решении Лурье уравнений термоупругого равновесия. Проблемы механики сплошной среды (к 70-летию акад.Н.И.Мусхелишвили). М., АН СССР, 1961. с.390-404.

52. Соболев С.Л., Мухина Г.В. Определение термических напряжений в среде с пустотами. В журн. Атомная энергия, т.5, № 2, М., Энергоиздат. 1958. с.178-181.

53. Соболев С.Л. Уравнения математической изики. М.: Наука, 1966. 443 с.

54. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.

55. Титмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. т.П, М.: ИЛ, 1961. 555 с.

56. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: Физматгиз, 1963. 515 с.

57. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории урру-гости. Л.: Наука, 1967. 402 с.

58. С.М.Хзарджян. Напряженное состояние призматического тела со свободной или жестко закрепленной боковой поверхностью. В журн. Известия АН СССР. МГТ, № 3, М., Наука, 1975. с.45-51.

59. Шачнев В.А. Об ассесиметричной задаче термоупругости. В журн. Известия АН СССР, Механика и машиностроение, № 5, ОТН, М., ОТН, 1962. с.75-79.

60. B6iss У. А. Transactions Americ. Mat ft. Soc. 28 (1926), p. 561-58^; 44 (1938), p. 413-428.

61. CftaftraSart; A. Derivation of cer-taln finite Le8>edev transforms and t&eir uses in e£astostatics. v Arc ft. mecR. stosowanej (<9 -1968, 20, M°6, p.635-650

62. FGugge W. , r V.,Tfte pro6£em of Q-n e£as-tic circular с finder. In-Lernat. J. So6fds and Structures, 1968., vo£. 4, n1 4, p-397-400.

63. GoocHer J. H. On tfte Integration o^ t&e -tftermo- elastic equations, PftiB Mag., ser.?23, IOI7-Г023 (I937> J.AppB. Mecft. 4,33,1937.

64. Goodier J. H. Thermae stress- J. Appe. MecR. 4,33, i937

65. MindEfn R.t}., Cfteng T».H., T^ermoe6as-tic StrenS in tfte semi infinite soCid-Journ. Appe. P^yS., 2i/-f950), p. 93d-933.

66. Poritsftg M.T^erma£ stresses in cge;ndricaB pipes. PMag., ser.7, 24,1937, p. 209 223.

67. Sneddon J.N., Locftett R. J., On t&e steady-state tfternaoeEos-tic pro&£em for tfte space and t&e t&icfc pCate. „ Qqart. App£. Mat?,.", 18, M2,1960, p-145-153.

68. Sternberg E. Mc. "boweBB. E.L.0n-fc&e steadg stateerr-no elastic pro62em |or -t&e Space. Quart.

69. Appe. Mat^:',i957, 14, КЮ4, p. 381-398.

70. Westergaard H. M. ,Tfteorg of Eeasticltij and p£asti-ci-bg, Co-mSrrdge, 1952.7T. "Dure88l A. J., Rreeg W.P. Introduction to PRotomecRa-nics. Pren-hice- Ha.ee Inc./ Engeewood N.V, 1965.