Стохастические свойства двухдиффузионной конвекции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

На правах рукописи

Сибгатуллин Ильяс Наильевич

СТОХАСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДВУХДИФФУЗИОННОЙ КОНВЕКЦИИ

01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Московском государственном университет« им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук,

профессор С.Я. Герценштейн.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук,

профессор Ф.В. Должанский;

доктор физико-математических наук, профессор Д.В. Любимов.

Ведущая организация: Ростовский государственный университет.

Защита диссертации состоится 26 мая 2006 г. в 16 ч. 20 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.89 при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "_" апреля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного с

доктор физико-математических наук

А.Н.Осипцов

ообЬ-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

(/¿О

1.1 Актуальность темы

Изучение возникновения и развития турбулентных гидродинамических течений имеет большое фундаментальное и прикладное значение. Турбулентные течения широко распространены в природе. При решении технических и промышленных задач описание турбулентных движений жидкости и газа играет важную роль. Поэтому исследование механизмов возникновения и развития турбулентности, эффективные способы расчета основных характеристик турбулентных течений принадлежат к числу актуальных задач современной гидромеханики. Г.И. Петров впервые начал использовать обобщенный метод Бубнова-Галеркина в теории гидродинамической устойчивости для несамосопряженных операторов. Впоследствии метод показал свою эффективность для исследования нелинейных задач, в том числе для описания турбулентных режимов.

Долгое время считалось, что хаос задается случайными начальными данными и прочими внешними причинами. Исследования Лоренца, Рю-эля и Такенса и последующие работы показали, что сценарий Ландау-Хопфа возникновения турбулентности, основанный фактически на суперпозиции независимых линейных возмущений, маловероятен. Новая теория была основана на рассмотрении нелинейных взаимодействий. И здесь на первый план выходит существование аттрактора в диссипа-тивных системах и чувствительная зависимость решений от начальных данных.

В то же время, несмотря на важное значение системы Лоренца, она не может адекватно описывать уравнения Навье-Стокса в турбулентном режиме. Это происходит потому, что по отношению к уравнениям Навье-Стокса система Лоренца является лишь вторым приближением по методу Бубнова-Галеркина. Кроме этого, как в частности показано в настоящем исследовании, свойства странного аттрактора при учете большего числа гармоник могут сильно отличаться от свойств странного аттрактора типа Лоренца. Поэтому актуальным является изучение невязки численного решения и изучение решений при соответствующем контроле малости невязки. При небольшой надкритичности механизм перехода к стохастическому режиму в гидродинамических диссипатив-ных системах соответствует отображению Пуанкаре в виде кривой с одним минимумом. Исследование сценария, по которому происходит дальнейшее развитие турбулентности, по-прежнему являвхия¿^(ЭДУДОЭД^дя

дачей. С увеличением надкритичности структура аттракторе кзгщйСЫНй!-

{

но усложняется.

Так как в практических приложениях, в основном, измеряются осред-ненные характеристики течений, актуальным является также изучение возможности составления и решения уравнений для этих осредненных характеристик. Классические моментные уравнения могут расходится и актуальным является изучение свойств когерентных структур.

1.2 Цель работы

Изучение возникновения и развития турбулентных режимов двухдиф-фузиониой конвекции в горизонтальном плоском слое методом Бубноваг Галеркина.

Исследование невязки численного решения в турбулентных режимах. Оценка возможности моделирования турбулентных режимов путем составления и решения моментных уравнений.

Изучение изменения структуры аттрактора при увеличении надкри-тичности.

1.3 Методы исследования

В работе применяются методы механики сплошной среды, математического анализа, качественной теории динамических систем, численные методы, в частности, метод Бубнова-Галеркина.

1.4 Научная новизна

Исследование позволило изучить структуру притягивающего многообразия и ее изменение с ростом надкритичности. Если фиксировать солевое числа Релея и увеличивать надкритичность по тепловому числу Релея, то возникающему стохастическому режиму в фазовом пространстве будет соответствовать аттрактор, имеющий вид двумерного листа Мебиуса. При этом точки отображения Пуанкаре будут располагаться вдоль одномерной кривой с одним минимумом. При дальнейшем увеличении теплового числа Релея будут наблюдаться бифуркации разрезания листа Мебиуса вдоль себя и области существования периодических решений, после которых структура стохастических решений усложняется, но отображение Пуанкаре сохраняет вид одномерной кривой.

Исследована зависимость относительной невязки в турбулентных режимах от числа опорных функций. Показано пространственное и временное распределение неязки.

Скорость сходимости исследовалась с помощью норм кинетической энергии и диссипативной функции в пространстве Соболева.

Проводится оценка сходимости цепочки модифицированных момент-ных уравнений с выделением когерентных структур. Классическая цепочка моментных уравнений в данной задаче расходится.

1.5 Достоверность полученных результатов

Замечательной особенностью данного численного исследования турбулентной конвекции является возможность оценить точность полученного решения.

При вычислении невязки решения, то есть при подстановке решения в исходную систему уравнений и вычисления остаточных членов в правой части, не требуется вычислять производную по времени. Таким образом не накапливается погрешность при вычислении невязки. Для оценки близости решения абсолютная невязка нормируется на основные силы в исходной системе уравнений. Скорость сходимости можно оценивать в пространстве Соболева с помощью норм энергетической и диссипативной функций.

1.6 Научная и практическая значимость

Наряду с фундаментальным значением работы практическая ценность данного исследования состоит, в частности, в разработке методики вычисления невязки, позволяющей определять необходимое количество гармоник для расчета при соответствующих надкритичностях.

Отметим, что свойства полученного на базе полных уравнений Навье-Стокса странного аттрактора принципиально отличаются от свойств аттрактора Лоренца. При этом наглядно демонстрируются свойства реальных систем гидродинамического типа, свойства аттрактора в фазовом пространстве, структура отображения Пуанкаре и изменения структуры аттрактора с ростом надкритичности.

Изучение данных стохастических режимов имеет важное значение при апробации различных методов расчета осредненных характеристик турбулентных течений, в частности с учетом выделения когерентных турбулентных структур.

1.7 Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на

школе семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2004, 2005),

международной конференции МСС-04 'Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" (Москва, 2005), научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва 2004, 2005, 2006),

международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность" (Москва, 1997, 2000, 2002, 2004, 2006),

6-ом математическом конгрессе по математическому моделированию, (Нижний Новгород, 2004)

конференции-конкурсе молодых ученых института механики МГУ (Москва, 2002,2004),

3-я Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2002),

международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2005),

8-ом всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001),

По материалам работы имеется свыше двадцати публикаций. 1.8 Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 125 страницах и содержит 35 рисунков и 2 таблицы. Библиографический список включает 147 работ.

2 ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

в первой главе обсуждаются актуальность темы, известные результаты, дается обзор литературы, формулируются цели, пречисляют-ся основные результаты, методы получения результатов.

Приводится исторический обзор и современные предствления о природе зарождения и описания турбулентности. Для многих классов нелинейных динамических систем обладающих инвариантной мерой были установлены понятия эргодичности, перемешивания, введено понятие

б

1^=9110 Я3=8000 а=0.71 ст=1 \|/11(0)=1е-006 п=201=180

Т.в

0 1 2 3 4 5

Т + А Т, в + А Э

Рис. 1, Постановка задачи На верхней и нижней границах температура и соленость постоянны и отличаются на ДТ и ДЯ соответственно По оси I волновое число а = \/2/2.

энтропии качественно характеризующей степень перемешивания. В случае применения метода Бубнова-Галеркина к уравнениям в частных производных с граничными условиями число базовых функций должно быть достаточно большим. В соответствующих фазовых пространствах возникать притягивающее многообразие малой размерности на котором происходит движение аналогичное перемешиванию. В данном случае установление инвариантной меры, равно как продвинутое анали-тичесое описание, представляется затруднительным. Для описания стохастических режимов будем использовать отображение Пуанкаре. Также в диссертации приводятся соответствующие спектральные характеристики. Во всех стохастических режимах о которых будет идти речь имеется чувствительная зависимость от начальных данных с положительным показателем Ляпунова.

Далее рассматриваются свойства тепловой конвекции при наличии дополнительного диффузионного механизма, противодействующего чисто тепловой неустойчивости. Эта модель активно использовалась в биотехнологии для описания конвекции с учетом диффузии микроорганизмов; в океанографии для исследования влияния диффузии соли на конвективные движения в морях; в астрофизике для моделирования влияния диффузии гелия на конвективные движения в звездах. Для определенности в работе далее говорится о конвекции в растворе с учетом диффузии соли. Впервые исследования развития трехмерных возмущений во подогреваемом снизу вращающемся слое методом Бубнова-Галеркина опубликованы в работах С.Я. Герценштейна и В М. Шмидта.

во второй главе описывается математическая постановка модели термосолевой конвекции между двумя горизонтальными пластинами.

7

Пусть на границах плоского слоя г = 0 и 2 = Н поддерживаются постоянными температура и соленость, ускорение силы тяжести направлено вдоль оси г. В качестве единиц длины и времени выберем Н и Н2/кт, где кх — коэффициент диффузии тепла. Для зависимости плотности жидкости от температуры Т и солености 5 примем линейный закон р = ро(1 — аТ + /?5). В плоской задаче для компонент скорости можно ввести безразмерную функцию тока ф: ух = ктфх/Н, у2 — —ктфх/Н. Координаты х и г и время í далее предполагаются безразмерными. Вместо температуры и солености введем безразмерные величины т, з, такие

что: Г = 2Ь + (71 - 7о)(1 -г + т), 5 = 50 + (5Х - 50)(1 -* + «), где

То,Т\; 5о, 51 означают температуру и соленость на границах слоя (при 2 = = 1 соответственно).

Полная система уравнений термосолевой конвекции в приближении Буссинеска в плоском случае имеет вид

В уравнении притока тепла не учитывается вязкая диссипация. В системе (1, 2, 3) введено четыре безразмерных параметра — число Рэлея по температуре К? = ад{Т\ - 7о)#3/(&г^), число Рэлея по солености Дз = 1 — 5о)Я3/(/гу1/), отношение коэффициентов диффузии соли и тепла кв/кт, число Прандтля а = и/кт- Якобиан ■/(/, д) определен формулой J(f, д) = /хдг - ¡гд,х- Для системы (1, 2, 3) при г = 0иг = 1 примем граничные условия Рэлея отсутствия касательных вязких сил. Итак, полная система граничных условий имеет вид:

Обсуждаются вопросы, связанные с указанной постановкой задачи, приближением Буссинеска и адекватностью граничных условий.

в третьей главе исследуется устойчивость особых точек, положения равновесия и предельные циклы при нелинейной аппроксимации исходных уравнений двумя пространственными гармониками

Представим решение в виде разложения по двум пространственными гармониками

^ + о(Игтх - - А2ф) = Аф); П + фх- Ат = 81 + Фх — кАв = 1(ф, з).

(1) (2)

(3)

ф = Аф = т — я = 0 при г — 0,1.

(4)

Подставляя данное разложение в исходную систему уравнений в частных производных по методу Бубнова—Галеркина, получим систему пятого порядка

Точка означает дифференцирование по времени дпН/2. При к = 1 указанная система уравнений сводится к системе Лоренца. Однако в физических приложениях коэффициент к = кт/к$ < 1 и динамические свойства качественно отличаются от свойств системы Лоренца.

Система (7) имеет особую точку О в начале координат X = У = Z — P = Q — 0. Характеристическое уравнение для этой точки имеет вид

а\ — к + а + 1; = к + сг{к + 1 + г$ - гу); а3 = а(к - кгт + Г5).

При 0102 = аз уравнение (8) имеет комплексно-сопряженную чисто мнимую пару корней. Если фиксировать все остальные параметры кроме гт, то с увеличением гт точка О из устойчивого фокуса превращается в неустойчивый. Рождается предельный цикл. Траектории из окрестности начала координат с ростом времени навиваются на предельный цикл, т.е. стремятся к периодическому движению. В окрестности кривой а,1а,2 = аз амплитуда периодических колебаний пропорциональна у/—а\а,2 + аз- Еще раньше, чем статическое решение теряет устойчивость, у системы (7) появляются четыре новых положения равновесия, соответствующие режиму стационарной конвекции (стационарным валам):

X + а(Х - У + Р) = О,

у - гтх + у + хг = о, г + ъг - ху = о; (б)

Р + кР - г3Х + Х<2 - 0, <5 + кЪ<3 -ХР- 0. (7)

Здесь введены обозначения:

X = ^п/3, У = -*щ/>/2,

2 ' -7ГГ02, Р = -ТГЯц/ч/г, = -7Г502,

Гт = 4Лт/27тг4, г3 = 4Й5/277Г4, Ъ = 8/3.

А3 + 01 А2 + а2А + а3 = 0;

(8)

¿¿ + 1' к* + /л' к2 + ц'

гтУ . р _ гвХк _ г3/1

Здесь введены обозначения: 2р = гт - 1 - к2 - rsk ± y/d, d = (гт - 1 - к2 - г$к)2 + 4(гт - 1 )к2 -

Характеристическое уравнение для малых возмущений этих положений равновесия имеет вид

Л5 + М4 + Ь2\3 + Ь3Л2 + к А + Ь5 = 0, (10)

где

Ь1 = (1 + Ь)(1 + Л) + <7,

h = Ь(к2 + 2/1 + 1) + к(Ь + I)2 + а((к +í)(b+l)-e + kf, Ьъ/Ь = (1 + b) (1 + к)(к + ft)-a(f-k-bk- ек2 - Зц), Ь4 = Ь2{к2 + (1)(ц + 1)-Ьа(2ц(1 + &)(/- ке) + bfk{ 1 + р) - eb(k2 + ц)), Ьь = 2Ь2ца{е{к2 + ß) - f(l + ß)), е = гт/(1 + ц)\ f = rsk/(k2 + ß).

Из (10) следует, что решение, соответствующее паре корней с минусом перед yfd является неустойчивым. Одно из условий устойчивости Рауса—Гурвица > 0 совпадает с условием существования стационарных валов d > 0. При числе Прандтля а = 1 положения равновесия (9) с плюсом перед yfd являются устойчивыми в области своего существования (d > 0). При а — 7, как показывают численные расчеты с использованием одного из неравенств Гурвица (6.5 - 61&4)2 + (63 — 6162) (hbi — ¿2^5) > 0, режим стационарных валов (12) устойчив лишь при гт < 26,6 + krs{í + (1 - fc)(0,205 - 0,0003rs)). При cr = 7 стохастические режимы качественно аналогичны стохастическим режимам системы Лоренца, когда траектории хаотически блуждают между неустойчивыми циклами вокруг положений равновесия (явление странного аттрактора). Далее мы рассмотрим лишь случай а = 1, в котором диффузия солености приводит к качественно новым эффектам. Численные расчеты системы (7-8) при а = 1, к = 1/VTÖ обнаруживают предельные циклы с удвоенным периодом для начальных данных Х(0) = Ю"10, У(0) = Z(0) = V(0) = W(0) = 0 в весьма узких диапазонах изменения параметра Rt при фиксированном Rs: например, для Rs = Ю4 RT е (8737,838; 8738,225); для R$ = 8* Ю3 RT е (7551,8;7552,241).

ю

в четвертой главе исследуется невязка исходных уравнений в частных производных при подстановке решения, полученного методом Бубнова-Галеркина. Продемонстрирована сходимость в пространстве Соболева с помощью норм кинетической энергии и диссипативной функции.

Для описания турбулентных конвекционных режимов можно использовать динамическую систему обыкновенных уравнений небольшого порядка, получающуюся в методе Бубнова-Галеркина при разложении искомых функций по полной системе базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Эти динамические системы имеют замечательные свойства, открытые в 60 годы Лоренцем, Рюэлем, Такенсом и др. заключающиеся в появлении в них в некотором диапазоне изменения параметров странного аттрактора (свойства хаотического запутывания траекторий).

При таком подходе возникает вопрос насколько точно указанные динамические системы описывают свойства исходной нелинейной системы уравнений в частных производных, какова невязка решений. Известно, что при применении конечно-разностных схем вычисление невязки само по себе сопряжено с ростом погрешности в связи с тем, что приходится брать производную по времени от быстроменяющихся функций. Поэтому оценить точность решения зачастую оказывается практически невозможно. Принение метода Бубнова-Галеркина дает уникальный шанс расчитать невязку без нарастания погрешности в ходе ее вычисления.

Будем искать решение системы (1, 2, 3) по методу Бубнова-Галеркина в виде, удовлетворяющем граничным условиям:

V>jv = Vtj{t) sm(i-Kx/V2) a'mj-Kz,

__X

TN = E ry(¿) cos(¿7r~Ts) sin j~z, íj v 2

X

S]V = ^2sv(t) COs(Í7T—j=)s\nj-KZ. (11)

i,] v 2

Здесь суммирование проводится по всем парам целых положительных чисел с четной суммой i+j = 2п, причем i2+j2 ^ (2N)2. Длина периодичности по оси х соответствует длине волны, при которой статическое решение теряет устойчивость с минимальным числом Рэлея Rt = 277г4/4. При N > 1 индексы i,j у функций фг}, т1}, sl} играют роль проекций волнового вектора на оси х, у. Этим объясняется условие i2 + j2 < (2N)2 для равномерной аппроксимации решения Соответствующие динамические системы принадлежат к системам гидродинамического типа, сжимающим фазовый объем с течением времени.

11

Рис. 2: а) Абсолютная невязка Ят = 11000,Ля — 10000 в физической плоскости 1,гв фиксированный момент времени, б) Соответствующая норма некомпенсированных членов Ят = 11000, Лг — 10000 в физической плоскости х, г в тот же самый момент времени.

Определение невязки с помощью нормы в Ьг- Естественнее всего определить невязку решения в пространстве ¿2- Несбалансированные члены в уравнениях появляются только в якобианах правой части уравнений. Для якобиана в уравнении теплопроводности несбалансированные члены возведем в квадрат и проинтегрируем по длине волны и по вертикальному расстоянию. Затем отнесем это выражение к такому же но полученному для всех членов якобианов, куда подставлено решение с данным числом гармоник, суммированному с квадратом нормы характерного линейного члена. Тогда получим относительную величину невязки, характеризующую точность приближения решения с помощью конечного числа пространственных гармоник. Прямым путем оценки сходимости является вычисление нормы ¿2 членов, которые остались нескомпепси-рованными после подстановки решения в исходную систему уравнений Навье-Стокса. В качестве меры сходимости мы будем брать сумму

\щаф)\\1 щ,т)\\1 \шз)\\1

шлфж \шт)\\1 \ш*т

Индексы "п" и "с" здесь относятся к нормам невязки и компенсированных членов соответственно.

Сходимость и энергетические нормы Динамические СИСТвМЫ, СООТВеТСТВующие приведенным уравнениям в частных производных, принадлежат к системам гидродинамического типа, сжимающим фазовый объем с течением времени.

С целью оценки сходимости решений в форме (11) в системе гидродинамического типа для решений исходной системы (1, 2, 3) введем энергетическую норму решения пропорциональную кинетической энер-

12

Рис. 3: Уменьшение невязки с увеличением числа гармоник

гии жидкости в ячейке периодичности 0 < л < 1; 0 < ж < 1/\/2. Для аппроксимации с 2N пространственными гармониками (5) имеем следующее приближенное выражение для Е{1):

т) = г^ю +/), < т2- (12)

Для оценки сходимости в пространстве Соболева И^1 = \/< Е > + у/< Б > (символ О означает среднее по времени вдоль фиксированной траектории динамической системы) используем норму, пропорциональную диссипативной функции

т) = £ ФЪ («) + 2; ¿2 + у1 < (2А02. (13)

Для оценки меры близости решения к истинному будем вычислять выражения < 1>лг > / < Олг-1 > -1 и < Ец > / < > -1.

Сходимость решений динамических систем Бубнова—Галеркина к решениям системы уравнений термосолевой конвекции (1, 2, 3) иллюстрировалась с помощью сходимости по нормам Е и £> и по потоку тепла и солености на границе г = 0.

Моментные уравнения и когерентные структуры Как показали ВЫЧИСЛеНИЯ усредненных моментов для статического решения, классическая цепочка моментных уравнений расходится. Из рисунков 4 видно, что усредненные по х моменты имеют явную тенденцию к расходимости.

13

«т,> N .-ают м-оляог «»V ы'.гиму.мин «".V -влвв»лм.|«л7в1

Рис. 4- Некоторые из членов классической цепочки моментных уравнений, осредненные по х, демонстрирующие расходимость при увеличении длины цепочки. М - максимальное значение

В тоже время если составлять моменты для разности между точным решением и когерентной структурой, то имеется тенденция к сходимости (рис. 5). Кроме того, проведенный анализ позволяет судить о том сколько гармоник может быть достаточно для того, чтобы ухватить качественные свойства системы, даже если невязка не является малой.

Отметим, что имея даже грубое приближение к аттрактору, например в виде когерентной структуры, можно вблизи нескольких характерных участков ее траектории решать задачу с начальными данными на относительно небольших отрезках времени. Перебор и осреднение подобных частных решений позволит описать основные осредненные характеристики турбулентного течения (трение, теплообмен и т.п.) и существенно упрощает процедуру прямого численного моделирования турбулентных течений. В частности, поправки к когерентной структуре получаются аналитически путем разложения искомого решения в ряд по В качестве начальных данных можно задавать на фоне когерентной структуры и мелкомасштабные возмущения.

в пятой главе изучается последовательность бифуркаций, приводящая к стохастическому режиму. Исследуется структура притягивающего многообразия с помощью отображения Пуанкаре, изменение структуры притягивающего многообразия с ростом надкритичности.

Лоренц впервые описал стохастические режимы у динамической системы 3-го порядка, получаемой методом Бубнова—Галеркина для мо-

14

Рис. 5: Момента, построенные для разности между точным решением и приближенным, учитывающим четыре гармоники.

дели Буссинеска тепловой конвекции с помощью введения отображения Пуанкаре (или отображения последования) х3 для относительных максимумов теплового потока на одной из границ плоского слоя. Для различных фазовых кривых точки {х^х^} ложились всюду плотно на некоторую кривую с особенностью типа полукубической параболы. Фей-генбаум установил, что в типичных семействах диффеоморфизмов прямой на конечном интервале изменения параметра может происходить бесконечное число бифуркаций удвоения периода. Для описания каскада бифуркаций удвоения периода предельных циклов в динамических системах он рассмотрел универсальное (с точностью до замены координаты) квадратичное отображение отрезка в отрезок, зависящее от параметра. Возникает вопрос как эволюционирует стохастический режим (хаос) после обратного каскада слияния витков лгент при А > Лео, когда последняя обратная бифуркация приводит к ленте с одним витком при Л > Л-!.

Интерпретация численных расчетов траекторий динамических систем. Рассмотрим метаморфозы решений исходной системы уравнений в частных производных с ростом числа Рэлея по температуре не как функций времени, а как фазовых кривых соответствующих динамических систем в проекции на определенную плоскость. Такой геометрический подход позволяет выявить неожиданные свойства соответствующих стохастических режимов.

Фиксируем значения параметров к = 1/л/ТО, а = 1, Я3 = 8000. Для выявления асимптотических свойств решений траектории рассчитыва-

15

Рис 6* Первый стохастический режим, возникающий при росте числа Релея Яг Траектории в фазовом пространстве всюду плотно наматываются на лист Мебиуса с четырмя петлями

лись для достаточно больших значений времени (порядка £ = 100—300). Начальные данные были взяты из окрестности начала координат:

^и(О) = Ю-6, ^(0) = 0, {¿, л ф {11},

ТЦ(0) = 0, ^(0) = 0. (14)

Проекция предельного цикла на плоскость (фп,тц) является замкнутой несамопересекающейся кривой, диффеоморфной окружности вплоть до значений параметра Ят = 8890. При этом значении параметра Ят происходит бифуркация удвоения периода предельного цикла. Качественно механизм бифуркации можно понять с помощью отображений последования (отображения Пуанкаре). Пересечем локально предельный цикл гиперплоскостью (трансверсально) и точки пересечения траектории с этой гиперплоскостью обозначим М3, ] — 1,2,.... При малых возмущениях системы около предельного цикла получим линейную систему с периодическими коэффициентами, которая по теореме Фло-ке с помощью линейной замены переменных с периодической матрицей сводится к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Корни соответствующего характеристического уравнения будут собственными значениями (мультипликаторами) матрицы монодромии системы с периодическими коэффициентами. Если все мультипликаторы различны и по модулю меньше единицы, то предельный цикл устойчив. Если один из мультипликаторов при увеличении параметра переходит через —1, то локально преобразование монодромии в трансверсальной плоскости (используя возможность линейного преобразования параметра и переменной х) можно представить в виде

х,+1 = -х3 (1 + А) + х) + (15)

16

При Л < 0 преобразование последования сходится к нулю, что соответ ствует устойчивому предельному циклу При А > 0 последовательность сходится к циклу из двух точек х\^ — ±уА/(1 + /3). Таким образом, при А > 0 появляется устойчивый предельный цикл удвоенного периода.

Вернемся к численным расчетам. Предельный цикл с удвоенным периодом становится неустойчивым при Ят = 9095. При потере устойчивости предельного цикла с учетверенным периодом возникает стохастический режим: вместо предельного цикла траектории всюду плотно заполняют сплошную ленту с четырьмя витками (см. рис. 6), на трансверсальной поверхности точки М: всюду плотно заполняют четыре интервала одномерной кривой. В качестве х3 выберем значения ф\\ при пересечении траекториями трансверсальной гиперповерхности тц = -0,36. Тогда точки последования на плоскости х3,х}+1 при неограниченном возрастании времени всюду плотно заполняют четыре разделенных интервалами куска гладкой кривой с одним минимумом. Отметим, что линейным преобразованием отображение последования можно свести к некоторому невзаимооднозначному отображению точек отрезка (—1,1) в себя. На рис. 6 изображены точки отображения Пуанкаре при 40 < 2 < 240 и Кт = 9095,6. С ростом Ят интервалы между кусками кривых, заполненными точками, сокращаются и при Ят = 9098 точки отображения последования всюду плотно заполняют непрерывную кривую с одним минимумом. В фазовом пространстве траектория всюду плотно заполняет перекрученную ленту (лист Мебиуса рис. 7). При этом точки отображения последования всюду плотно заполняют кривую с одним минимумом (рис. 7). Таким образом, с точностью до гомеоморфной замены координаты ф-ц /(фи) численные результаты до Ят & 9100 следуют началу сценария Фейгенбаума.

Однако, после этого с ростом Ят начинается обратный процесс: лента с одним витком превращается в ленту с четырьмя витками (численный счет при Ят = 9100). Разрезание листа Мебиуса дает снова лист Мебиуса! (свойство неориентируемой поверхности). Затем ленты вырождаются в предельный цикл с учетверенным периодом (Ят — 9120). Последний становится неустойчивым при Ят = 9130. Параметр А теперь меняет знак с плюса на минус. Происходит бифуркация уменьшения периода предельного цикла вдвое. Возникший предельный цикл с удвоенным периодом становится неустойчивым при Ят = 9145, когда появляется предельный цикл с одним периодом.

При Ят = 9162 начинается новая волна бифуркаций: образуется предельный цикл с удвоенным периодом, который теряет устойчивость при

17

48

54

52

5

4.8

5

52

5.4

Рис 7: Проекция притягивающего многообразия после бифуркаций слияния витков притягивающего многообразия в один сплошной лист Мебиуса Ит = 9098, Я5 = 8000 и сообтветствующее отображение Пуанкаре

Vм0 я»"юо° «-0 71»„(о)-"-«* |-1»ог« '„-о зе п^гоо ^.аооо а-о 71 о-1 »„(Щ-и-оов п-и ыво«о »„-о м

Рис 8 При дальнейшем увеличении Ят система проходит через обратный каскад бифуркаций до периодического режима Затем повторяется каскад бифуркаций удвоения, пока не возникает стохастический режим, который имеет более сложную стоктуру На рисунке слева трансверсальное сечение (сечение Пуанкаре), справа отображение Пуанкаре Яг = 9200, Дз — 8000

Вт = 9163. Возникает сложный стохастический режим. Фазовая кривая всюду плотно заполняет перекрученную ленту (двумерную неориенти-руемую поверхность). Соответствующие точки отображения Пуанкаре при Гц = —0,36 всюду плотно заполняют кривую с несколькими минимумами (рис. 8), поэтому взаимно однозначные замены координаты не могут привести отображение Пуанкаре к универсальному отображению Фейгенбаума с одним минимумом.

Число пространственных гармоник, необходимых для точного описания стохастических режимов конвекции, быстро увеличивается с ростом чисел Рэлея (в нашем случае при Ет > 9500). Вместе с тем в эксперименте измеряются лишь осредненные характеристики, такие, как средний поток тепла и солености и т.д. Однако цепочка моментных уравнений, приводит, как правило, к расходящейся цепочке. Аналогичная расходимость проявляется и в рассматриваемой задаче.

-»

^10688 4,-10000 в-0.71 0-1 уп<ОИе-ООвп-вивО-1»* - 0Л8 Яг-'0600 В3-1<Л0° 71 *и(0)-1в-в0вив0-ав0тп—олв

Рис. 9: Отображения Пуанкаре при фиксированном Л$ - 10000 и возрастании Дг- Д? = 10700, Ят = 10800, Нт = 11000. Ниже даны две проекции фазового пространства для Ят = 11000

Вместе с тем учет так называемых когерентных нестационарных турбулентных структур позволяет эффективно описывать осредненные и пульсационные характеристики турбулентных течений.

Проведенные расчеты свидетельствуют о наличии некоторого среднего предельного цикла в сравнительно узкой ленте, в которой происходит стохастический разброс фазовых переменных. Этот средний предельный цикл можно трактовать как когерентную структуру турбулентного течения.

Для Лв > 104 динамическая система демонстрирует более сложное поведение. В работе дается представление об эволюции притягивающего многообразия и сообтветствующего отображения Пуанкаре. Существование периодических режимов, в частности, троякопериодического режима, согласуется с утверждением теоремы Шарковского. Показано, при увеличении надкритичности структура листа Мебиуса сохраняется и точки отображения Пуанкаре лежат вдоль одномерной кривой, но при этом структура отображения значительно усложняется после периодических режимов.

3 Основные положения, выносимые на защиту

В диссертации получены следующие результаты исследования двухдиф-фузионной конвекции в плоском слое, выносимые на защиту.

1. Определено понятие невязки решения в пространстве Получено временное и пространственное распределение абсолютной невязки для различных значений определяющих параметров и показана ее малость по отношению к главным физическим силам. Установлено монотонное уменьшение относительной невязки при увеличении числа базисных функций в стохастических режимах. Основные расчеты в стохастических режимах проводились при относительной невязке порядка Ю-3. Скорость сходимости продемонстрирована с помощью энергетической нормы и нормы диссипативной функции.

2. Показано, что классические моментные уравнения, определяющие напряжения Рейнольдса, расходятся. В тоже время модифицированная цепочка моментных уравнений, выписанная для разности между точным решением и когерентной структурой, может иметь тенденцию к сходимости. Например, в качестве когерентной структуры выбирается грубое решение с малым числом гармоник.

20

3. Исследован процесс перехода к турбулентности через последовательность бифуркаций, начиная от образования предельного цикла Пуанкаре-Андронова до формирования странного аттрактора с отображением Пуанкаре в виде кривой с одним минимумом.

4. Установлено, что странный аттрактор имеет вид листа Мебиуса. Изучена структура отображения Пуанкаре при умеренных надкри-тичностях. Показано что после возникновения турбулентности точки отображения Пуанкаре ложатся вдоль несамопересекающейся кривой с одним минимумом. При увеличении надкритичности после обратного каскада бифуркаций система проходит через периодические режимы, в частности, троякопериодический режим. Показано, что аттрактор сохраняет вид листа Мебиуса при дальнейшем увеличении надкритичности, но его структура значительно усложняется после прохождения через периодический режим. Отображение Пуанкаре сохраняет вид одномерной кривой, но с несколькими минимумами и самопересечениями.

Основные результаты исследования отражены в следующих публикациях:

Список литературы

1. Сибгатуллин И. Н. О расчете невязки при турбулентном течении слоя раствора // Материалы XII международной школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости".— Москва: МГУ, 1997. - С. 65.

2. Герценштейн С. Я., Сибгатуллин И. Н. Стохастическая конвекция в растворах / / Материалы Всероссийской конференции "Современные методы и достижения в механике сплошных сред". — Москва' МГУ, 1997. - С. 24.

3. Герценштейн С. Я., Сибгатуллин И. Н. О стохастических свойствах при конвективной неустойчивости слоя раствора. Препринт ИМ МГУ № 46-99. - Москва: Институт механики МГУ, 1999 - С. 58.

4. Герценштейн С. Я., Сибгатуллин И. Н. Свойства двухдиффузион-ной конвекции в горизонтальном слое раствора // тезисы докладов конференции посвященной 40-ю и-та механики МГУ 22-26 ноября

1999 года. - Москва: МГУ, 1999.- С. 114-118.

21

5. Герценштейн С. Я., Попов В. Н., Сибгатуллин И. Н. О возникновении турбулентности в двухфазном горизонтальном слое раствора, подогреваемом снизу / / Материалы международной школы семинара Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность. — Москва: МГУ, 2000. — С. 77-79.

6. Sibgatullin I. N. On the Mechanisms of Turbulence Initiation in a Two-Phase Horizontal Layer of a Solution heated from below // International Conference on Multiphase Systems 2000, June 15-17, 2000.— Ufa, Russia: UFA, 2000.- P. 242.

7. Сибгатуллин И. H. К модельному описанию возникновения и исчезновения когерентных структур // Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь 23-29 августа 2001 г. — Пермь: Типография купца Тарасова, 2001. — С. 526.

8. Герценштейн С. Я., Сибгатуллин И. Н. Некоторые свойства стохастических режимов термосолевой конвекции в плоском слое // Вестник Московского Университета. — 2002. — Т. 2. — С. 50-56.

9. Сибгатуллин И. Н. Отображение Пуанкаре и когерентные структуры в задаче двухдиффузионной конвекции при закритичных числах Релея // Труды конференции-конкурса молодых ученых 15 октября - 17 октября 2002 года. — Москва: Издательство Московского Университета, 2003. - Р. 84.

10. О новых моделях возникновения турбулентности в гидроаэромеханике / Н. С. Бухарин, С. Герценштейн, Д. Ю. Жиленко и др. // Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке. — Москва: Издательство Московского университета, 2003. — С. 28.

11. Sibgatullin I. N., Gertsenstein S. J., Sibgatullin N. R. Some properties of two-dimensional stochastic regimes of double-diffusive convection in plane layer // Chaos. - 2003. - Vol. 13. - Pp. 1231-1242.

12. Sibgatullin I. N. Mathematical modeling of stochastical processes for double-diffusive convection //VI international congress on mathematical modeling, September 20-26, 2004. — Nizhny Novgorod, Russia: University of Nizhny Novgorod, 2004. — P. 301.

13. Sibgatullin I. N. Stochastic motions in plain laver with double-diffusive convection // Proceedings of The International Conference MSS-04 «Mode conversion, coherent structures and turbulence». — Moscow, Russia: POXOC, 2004. - Pp. 472-476.

22

14. Сибгатуллин И. H Отображение Пуанкаре и когерентные структуры в задаче двухдиффузионной конвекции при закритичных числах Релея // Труды конференции-конкурса молодых ученых 12 октября - 14 октября 2004 года. — Москва: Издательство Московского Университета, 2004. - Pp. 220-225.

15. Сибгатуллин И. Н. Стохастические режимы двухдиффузионной конвекции. Отчет о научно-исследовательской работе НИИ механики МГУ № 4723. — Москва: Институт механики МГУ, 2004.

16. Сибгатуллин И. Н. Турбулентная конвекция в горизонтальном слое бинарной смеси // Ломоносовские чтения Научная конференция. Секция механики. — Москва: Издательство Московского университета, 2004. - С. 148.

17. Сибгатуллин И. Н. Турбулентные режимы двухдиффузионной конвекции и когерентные структуры // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. — Москва: Издательство Московского университета, 2005. -- С. 171.

18. Гидродинамическая неустойчивость, хаос и турбулентность / С. Я. Герценштейн, Н. В. Никитин, К. В. Показеев, И. Н. Сибгатуллин // Наука и технология в России. — 2005. — Т. 2-3. — С. 14-17.

19. Sibgatullin I. N. О нерегулярных режимах двухдиффузионной конвекции // International Ufa Winter Mathematical & Physical School-Conference.

20. Gertsenstem S Y., Sibgatullin I. N. Stochastic motions in plain layer with double-diffusive convection // International conference Fluxes And Structures In Fluids. - Moscow, Russia: MSU, 2005,- Pp. 213-215.

21. Некоторые задачи теории гидродинамической неустойчивости, хаоса и турбулентности / С. Я. Герценштейн, Н. В. Никитин, К. В. Показеев, И. Н. Сибгатуллин // Фшические проблемы экологии. — 2005. — Т. 13. - С. 69-77.

¿t^L

дум?

- 94 20

Принято к исполнению 24/04/2006 Заказ №>326

Исполнено 24/04/2006 Тираж 100 экз

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 (495) 747-64-70 www autoreferat ru

Введение

1.1 Обзор работ.

Использование прямых методов является основной альтернативой применению конечно-разностных схем в исследовании возникновения и развития турбулентной конвекции. При применении прямых методов естественно обнаруживаются свойства течения, которые при применении конечно-разностных методов можно выявить только с помощью достаточно громоздких конструкций, например при изучении бифуркаций и использовании отображения Пуанкаре. Г.И. Петров впервые начал широко применять метод Галеркина в задачах гидромеханики. При использовании метода Галеркина решение краевой задачи ищется в виде разложения по полной системе базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Значения коэффициентов разложения находятся из условия ортогональности невязки уравнений функциям базисной системы. В работе [1] Г.И. Петров показал, что для отыскания коэффициентов разложения можно использовать другую систему функций, являющуюся базисом в более широком функциональном пространстве (метод Бубнова-Галеркина-Петрова). В тоже время метод Галеркина фактически использовался только для линейных задач, так как в случае нелинейных задач аналитическое вычисление коэффициентов являлось достаточно трудоемкой задачей. До Г.И. Петрова метод Галеркина был обосновал только для самосопряженных операторов. В [1] приведено обоснование применения в случае несамосопряженных операторов на примере задачи Орра-Зоммерфельда. Основная же часть проблем связанных с турбулентным течением не может быть обьяснена с помощью линейной теории [2; 3; 4; 5] и необходимо рассматривать полные уравнения Навье-Стокса.

Л.Д. Ландау в 1944 году в статье "О проблеме турбулентности" предложил теорию возникновения турбулентности, основная идея которой состоит в том, что при увеличении силы, приложенной к жидкости извне, возрастает количество мод (периодических движений), пока их не станет столько, что движение жидкости извне будет казаться турбулентным. Аналогичную теорию в 1948 году предложил Хопф [6]. Такое объяснение на первый взгляд казалось вполне естественным, но ее главное ограничение состоит в том, что моды должны быть независимыми (или почти независимыми). И такая ситуация конечно не могла в полной мере удовлетворить исследователей временной эволюции динамических систем. Гораздо более вероятно, что в вязкой жидкости существует сильное взаимодействие мод. И к тому же, по теории Ландау чувствительная зависимость от начальных данных отсутствовала.

В 1963 году Эдвард Лоренц опубликовал статью, которая стала культовой в течение последующих десятилетий вплоть до настоящего времени [7]. Будучи метеорологом и исследуя конвективные атмосферные движения, Лоренц учел первые гармоники при разложении двумерных уравнений и получил нелинейную систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, которую теперь принято называть системой Лоренца. Сам Лоренц называет ее системой Сольцмена (Барри Сольцмен), который рассматривал подобные системы и привлек внимание Лоренца к существованию непериодических решений уравнений [8]. Высокий математический уровень и знание работ Пуанкаре позволили ему не побояться неожиданного результата, полученного в результате численного расчета и списать результат на "барбарашку" в вычислительной машине. В результате мы получили то, что сейчас чаще всего называется аттрактором Лоренца, или странным аттрактором, имея в виду частный случай странного аттрактора, общее определение которого дал позднее Рюэль [9].

Центральным понятием в работах Лоренца является чувствительная зависимость от начальных данных [10; 11; 12; 13; 14; 15]. Адамар, Дюгем и Пуанкаре еще в конце девятнадцатого века активно развивали теорию динамических систем и говорили о чувствительной зависимости от начальных данных, непредсказуемости и случайности при рассмотрении отдельных задач [16; 17; 18]. Одна из самых известных - о бильярде, более общий вид которой был решен уже в 1970 году Синаем [19; 20]. В качестве второго примера Пуанкаре приводил метеорологию. Работа Лоренца наглядно показала чувствительную зависимость от начальных данных в ограниченном объеме фазового пространства. Тем не менее несколько лет работа Лоренца оставалась без резонанса. В 1971 году Рюэль и Такенс преодолевая скептицизм окружающих сумели опубликовать работу "О природе турбулентности"[9], в которой была развита качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений для описания турбулентных явлений. После этой работы началось лавинообразное развитие нелинейной науки и применения численных методов для исследования стохастических свойств динамических систем. Еще одним базовым понятием здесь является то, что на западе чаще всего называют бифуркацией Хопфа [21], хотя основные утверждения были доказаны еще A.A. Андроновым [22; 23; 24; 25; 26]. Работа Лоренца очень эффектно демонстрирует стохастические свойства динамической системы на наиболее простом примере. В тоже время с точки зрения механики она не имеет никакого отношения к реальности. Двух гармоник при разложении по тригонометрическому ряду совершенно не достаточно для сколь-нибудь адекватного приближения исходных уравнений Навье-Стокса. Более помпезным языком, описанное явление можно даже назвать ложным хаосом. Тем не менее фундаментальное значение этой работы состоит в том что на картинке можно увидеть турбулентность, описываемую динамической системой. Фраза "Взмах крыльев бабочки может привести к тайфуну" сейчас у всех на языке и стала нарицательной.

Изобретение в 1965 году Кули и Тьюки быстрого преобразования Фурье [27] позволило вычислять коэффициенты в методе Галеркина не проводя громоздких сверток. После этого популярность метода Бубнова-Галеркина для расчета конвективных течений сильно выросла.

Параллельно происходило развитие нелинейных систем строгими методами. Была доказана теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера, появилась универсальная техника приближенного усреднения нелинейных систем Крылова-Боголюбова-Митропольского. Важнейшим событием явилось введение понятия энтропии Колмогорова-Синая как свойства нелинейных систем. Энтропию как понятие ввели основатели статистической механики прошлого века Кла-зиус, Максвелл, Больцман, Гиббс и другие в результате исследований явлений необратимости. Новый смысл энтропия приняла после ее появлении в теории информации и теории динамических систем, образовав новое направление в эргодической теории [28; 29]. Новый метрический инвариант динамических систем h был введен Колмогоровым в 1958 году [30; 31]. Синай развил это определение [32; 33]. Энтропия отражает в количественной форме возможность нелинейных систем совершать движение с перемешиванием, свойством, которое ранее исследовалось в работах Е. Хопфа и Н.С. Крылова. Советские ученые занимали ведущее место в развитии нелинейной науки на протяжении многих лет. Работы в области эргодической теории В.И. Арнольда, Д.В. Аносова, Г.М. Заславского, В.В. Козлова, А.И. Нейштадта, А.Н. Колмогорова, Р.З. Сагдеева, Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова и других [34; 35; 36; 37; 38; 39; 40] широко используются и цитируются во всем мире, являясь фундаментом для дальнейших исследований [41]. Широкое практическое применение находит фрактальная механика [42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50; 51; 52; 53; 54; 55; 56; 57]

Авторами школы А.М.Обухова выполнен большой цикл исследований посвященный изучению моделей, названных ими системами гидродинамического типа [58], в частности посвященным турбулентным течениям [59; 60; 61; 62; 63; 64; 65].

В.И. Юдовичем дано обоснование принципа линеаризации в гидродинамике, в ряде задач о бифуркациях стационарных и периодических течений получены математически строгие результаты [66; 67]. В.В. Колесов, A.JI. Урин-цев и В.И. Юдович в статье [68] рассматривали конвективную неустойчивость в горизонтальном слое теплопроводя-щей вязкой жидкости с примесью. В работах Ладыженской доказаны некоторые теоремы существования решений уравнений Навье-Стокса [69]. Работы Гершуни и Жу-ховицкого в области конвективных течений стали классич-скими, образовалась большая пермская школа [70; 4; 71]. Д.В. Любимов получил ряд результатов касающихся переходов к турбулентности в конечноразмерных моделях конвекции [72; 73; 74; 74; 75]. Ряд задач естественной конвекции был рассмотрен Е.Л.Таруниным методами математического моделирования [76]. В.И. Полежаев один из первых начал активно исследовать конечно-разностными методами турбулентные режимы в различных ситуациях в том числе в условиях малой гравитации и невесомости [77; 78; 79; 80; 81? ]. Работы A.A. Павельева показали важную роль чувствительности от начальных данных в экспериментальных исследованиях [82; 83; 84; 85; 86; 87; 88; 89; 90; 91; 92].

Начиная с 1970-х годов в институте механики МГУ получен ряд результатов в области нелинейной гидродинамической устойчивости. Герценштейн и Шмидт впервые исследовали механизм нелинейного взаимодействия возмущений конечной амплитуды при конвекции во вращающемся горизонтальном слое [93; 94; 95; 96; 97; 98; 99; 100; 101; 102; 103; 104; 105; 106] и обнаружили возникновение стохастических конвективных течений (гидродинамический странный аттрактор). В.Я. Шкадов был одним из первых, кто начал решать нелинейные задачи методом Галеркина [107; 108]. Н.В. Никитин впервые численно расчитал турбулентное течение в трубе методом Галеркина и конечно-разностными методами, развил эффективный численный аппарат для прямого численного моделирования турбулентных течений на базе решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса [109; 110; 111; 112; 113].

В прикладном отношении исследование турбулентных течений - одна из важнейших задач механики [114; 70; 115; 116; 117; 118] Палымский провел расчеты конвекции Релея-Бенара для больших надкритичностей по числу Релея и сделал большую работу по сравнению численных и физических экспериментов с различными граничными условиями [119; 120].

В представленной работе исследуется конвекция с двумя диффузионными механизмам. Двухдиффузионная конвекция может встречаться при рассмотрении следующих задач [121; 122]:

1) Диффузия раствора соли в жидкости, которую можно встретить в океанологии.

2) Диффузия простейших микроорганизмов Tetrahymena pyriformis в задаче биоконвекции, где микроорганизмы обладают свойством всплывания.

3) Диффузия гелия в звездах, в которых температура падает от нескольких миллионов градусов в центре звезды (где происходит термоядерная реакция синтеза атомов водорода в атом гелия) до нескольких тысяч градусов на поверхности.

4) Наличие в растворе двух компонент, одна из которых легче, а другая тяжелее растворителя в задачах химической инженерии.

Все исследования проведены при контроле невязки решения в норме Поэтому все представленные картины странного аттрактора являются не абстрактными, а объективно отражающими свойства исходной системы уравнений Навье-Стокса.

Результаты работы, в частности, подтверждают, что из различных принципиально разных картин возникновения турбулентности похоже, что сценарий Рюэля-Такенса наиболее адекватно соответствует численным расчетам и явление странного аттрактора соответствует сущности начальной стадии развития турбулентного режима.

Для численного счета автором был создан собственный комплекс программ.

1.2 Содержание диссертации.

Диссертация посвящена изучению конвективного движению жидкости между двумя горизонтальными пластинами.

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе дан краткий обзор состояния исследований турбулентных конвективных течений вязкой жидкости и математических работ повлиявших на формирование направления, связанного с гидродинамической устойчивостью и турбулентностью.

Во второй главе излагается математическая постановка задачи и вывод основных уравнений движения, который в дальнейшем будут анализироваться.

В третьей главе проводится линейный анализ уравнений, полученных в первой главе, и нелинейный анализ системы, аналогичной системе Лоренца, но состоящей из пяти уравнений. Показано, что имеет место бифуркация рождения предельного цикла Пуанкаре-Андронова. Исследована устойчивость стационарных состояний нелинейной системы.

Четвертая

глава содержит описание применения метода Бубнова-Галеркина к полной системе уравнений в частных производных, полученной ранее.

Определяется и вычисляется невязка решения, полученного по методу Бубнова-Галеркина. Показывается расходимость классической цепочки моментных уравнений. Исследуется сходимость модифицированной цепочки моментных уравнений относительно когерентных структур.

Пятая

глава посвящена изучению последовательности бифуркаций, приводящих к стохастическому решению. Показывается как развивается стохастический режим с увеличением надкритичности.

Глава

Математическая постановка

2.1 Уравнения движения среды

В представленной работе исследуется нелинейное развитие двумерных конвективных возмущений в горизонтальном слое вязкой жидкости, на границах которой поддерживаются постоянные, но разные температуры. Модель жидкости содержит два диффузионных механизма.

Для определенности будем рассматривать раствор соли, заключенный между двумя бесконечными горизонтальными пластинами.

Вывод уравнений движения и диффузии основан на классических уравнениях Навье-Стокса и уравнениях диффузии двухкомпонентной среды [123; 124].

Рассмотрим классическую задачу об образовании стационарных конвективных валов в слое вязкой жидкости с постоянным градиентом температуры. Для этого, сле

-уу.'-уу.''

Рис. 2.1: Схематический вид цилиндрических конвективных валов при небольшой надкритичности. дуя Релею, используем граничные модельные условия: при г = 0 и г = Н условие непротекания и условие отсутствия касательного трения, температура при £ = 0 и г = Н поддерживается постоянной: Т = То при г = 0 и Т = Т\ при г = Н. Исходная традиционная для теории конвекции система состоит из уравнений Навье-Стокса, уравнения неразрывности и уравнения теплопроводности. Жидкость обладает способностью расширяться при нагревании, поэтому р = ро(1 — а(Т — Т0)), где ро - плотность жидкости при температуре Т0. При отсутствии конвекции температура в слое линейно зависит от высоты ТаЬ = То Н--;-г.

Гидростатическое давление рз1 = ро — ^ рд ¿г. В задаче о конвекции используют приближение Буссинеска, которое позволяет несколько упростить задачу.

Основное уравнение механики сплошной среды имеет вид:

Выделяя из тензора напряжений шаровой тензор давления для поверхностной силы имеем: = — Угр + У^т1-7.

Тогда уравнения движения приобретают вид

Используя выражение тензора вязких напряжений с помощью феноменологического закона Навье-Стокса ту = + где егз = ~(угуэ У-7?/), I = е\ = сИуу, получаем уравнения Навье-Стокса р— = -+ рАуг + (А + цУ7хйШ + рГ

Сл/1/

Или вводя "вторую вязкость" формулой А = —+ £ окончательно получаем у1 ■ /1 \ р— = Чгр + рАуг + (-р + С ) У1(Иуу + рГ. (2.1)

В отличие, например, от течения с ударными волнами, где вторая вязкость принципиальна, при конвективном движении вторую вязкость не учитывают.

2.2 Приближение Буссинеска

Далее приведем несколько аргументов в оправдание использования приближения Буссинеска. Из уравнения теплопроводности =кАТ' предположения о том что плотность р линейно зависит от температуры р = р0(1 — а(Т — То)) и уравнения неразрывности + рагуу = О, р йр (1Т представляя — в виде —, получаем что аъ а± аъ

СИуу = —акАТ. Р

В задачах конвекции движение возникает за счет перепада температуры (Т\ — То) в слое толщиной Н и теплопроводности сплошной среды. Введем параметр е = (7\ — То)а, считая его малой величиной. Если перейти к безразмерным величинам у => ку/Н; х,у,х х1г, ук, гк; Т т = (Т - То)

Ti - Т0) выписанное уравнение примет вид aivv = — --Л г.

Отсюда, в нулевом порядке по е, получаем условие несжимаемости diyy = 0 и, таким образом, исключаем из уравнений Навье-Стокса (2.1) члены с diyy.

Зависимость массовой плотности от температуры проявится в архимедовой силе, возникающей в уравнениях Навье-Стокса.

В статическом случае из уравнения

Pdt = ~VP + ^ + ~ ^ " Т°^ получаем Vlpst = /?о(1 — ol(T — То))дг. Учитывая то, что гр г£

Tst = Т0 -1--——вводим обозначения: р = pst + р, Т =

Tst +т. Тогда уравнения движения перепишутся в виде р— = Чгр + рАуг - p0atig\ at

В безразмерных переменных перед последним членом в правой части возникнет новый параметр - число Релея (а не е), который не является малым. Далее поделим обе части уравнений движения на р и пренебрежем в них членами порядка £ : йд{ V *р

- адг$ + иАуг, где а - коэффициент теплового расширения, т - отклонение температуры от статической Т = То Н--г + т.

Указанные приближенные уравнения носят название уравнений Буссинеска. Таким образом эти уравнения могут быть получены как асимптотические при разложении по малому параметру е = а(Т—То). Подробное обсуждение приближения Буссинеска как асимптотического разложения см. в книге [125], страница 143.

2.3 Полная система уравнений тепловой конвекции

Уравнения Навье-Стокса в форме Громеки-Лэмба в приближении Буссинеска можно записать в виде: дг) /г;2\ + дгаа I — 1 + гоЬу х у =

- дгайР + г/Ау — д (- — 1 ) ё2. Р о \Ро ) дух дуь л + ^=(2-2)

Из уравнения неразрывности следует, что существует функция тока ф, такая, что дф дф х — "7Г~ г — о ? ох ох гоШ)у = фхх + фгг = А ф. (2.3)

С учетом этого берем ротор от обеих частей уравнения (2.2) чтобы исключить давление: д <9ф {дф дАф дф дАф\ дЬ \ дх дх дх дх )

Л2/ ( дТ Ж

В результате имеем следующую полную систему уравнений: д дфдАф дфдАф а + иА2 . дЬ дг дх дх дг ^ дх ^ ' оЬ дг ох ох ох а ох При потере устойчивости статистического решения возникают стационарные конвективные валы. Исключая д из линеаризованной системы, в которой левая часть уравнений (2.4 ) равна нулю, получим ад(Т0 - Г,) 8= дз

Ъук дх

Если перейти к безразмерным координатам х' = х/к, г' = ¿//г, то, после введения числа Релея Ят = — Т\)кгк1/, это уравнение запишется в виде

Решение, удовлетворяющее граничным условиям ф = Аф = 0 при г = 0,1, можно искать в виде

Соответствующие дисперсионные уравнения имеют вид

Ятк2 = (п27г2 + к2)3.

Для того, чтобы оценить наименьшее значение числа Релея, при котором происходит возникновение конвективных валов, найдем минимальное значение числа Релея как т12тт функции к2, получим к2 = . Таким образом мини

27тг4 г мальное число Релея равно Нт = —;— = 657.5.

Перепишем теперь уравнения теории конвекции в безразмерном виде, введя обозначения а = у/к (число

Прандтля), £ = Н2/Ы', ф = кф', = ад{Т0 - Т^ки число Релея), х = х'И, х = х'И, Т' = —-—-. Далее у

То — Т\ безразмерных переменных знак "штрих" опустим: д | дфдАф дфдАф | (пдт Л дЬ дг дх дх дг \ дх ) ' т + дфдт д±вт + дФ АТ = 0ш (2 5) дЬ дх дх дх дх дх Аналогично представленным выводам уравнений конвекции в плоском слое получаем уравнения для двухдиф-фузионной конвекции.

Пусть на границах плоского слоя х = 0 и х = Н поддерживаются постоянными температура и соленость, ускорение силы тяжести направлено вдоль оси г, К - расстояние между пластинами,

1^=9010 1^=8000 а=0.71 о=1 \1/11(0)=1е-006 п=161=

Т+ДТ, Б+АЭ

Рис. 2.2: Постановка задачи. На верхней и нижней границах температура и соленость постоянны и отличаются на ДТ и А 5 соответственно. Изображены линии тока для параметров, указанных сверху рисунка. На рисунке высота слоя равна 1, при этом по оси х волновое число а = Подробнее поведение линий тока и изотерм будет рассмотрено в главе 6.

Б1 - температура и соленость на верхней пластине, То, 5о - на нижней.

В дальнейшем считаем, что плотность не зависит от давления, а от температуры и концентрации зависит линейно р = ро(1 — а(Т — Т0) + /35). Для потока концентрации соли в растворе будем считать справедливым закон Фика, и следовательно для солености имеет место уравнение диффузии 7 АО

В статическом случае (при отсутствии конвекции) считается, что температура и соленость распределены по высоте линейно.

В качестве единиц длины и времени выберем Н и Н2/кт, где кт — коэффициент диффузии тепла.

Обезразмерим все длины с помощью расстояния между границами Л, время с помощью Ь?/кт, где кт — коэффициент диффузии тепла, функцию тока с помощью коэффициента теплопроводности, температуру с помощью Т0 -Тх : г = Г/(Г0 -Тх), соленость 50 -з = 5/(50 - 5х). Введем обозначение: и* а) = ^^

Итак, имеем следующую систему уравнений (относительно возмущений г, ф и в):

1 А дф <9г ^ а2 , 1 т/ / а /\ дт дф » т/ , ч сЬ дф 4 / , х /

Для этой системы уравнений должны быть выполнены граничные условия

Равенство = 0 (г = 0,1) означает отсутствие касательных напряжений на границах. Здесь введены обозначения: адН?(Т0 - Тг) Кт - температурное число Релея: Кт =-;-, р » - Я

Кз - число Релея солености: Кз =-^-, а - число Прандтля: <т = и/к, к - отношение коэффициента диффузии соли к коэффициенту теплопроводности: к = кз/к.

Отметим любопытное обстоятельство. Если отношение коэффициентов к равно единице, то система уравнений может быть сведена к системе уравнений чисто температурной конвекции заменой числа Релея на разность температурного числа Релея и числа Релея солености. Поэтому при к = 1 термосолевые валы появляются при Rt — Rs = 277г4/4 . Эти конвективные валы в свою очередь теряют устойчивость при A(Rt — Rs)/277т4 = (<т+17/3)а/(а-11/3).

Далее будем предполагать к < 1, при котором выход на режим стационарной конвекции происходит в виде раскачивающихся осцилляций.

В литературе полученную систему уравнений обычно записывают в виде.

Ai/;t + a(RTrx - Rssx - А2ф) = Аф); (2.8)

П+фх-Ат = ^ф,т); (2.9) st + Фх ~ kAs = J(V>, s). (2.10) ф = Аф = г = s = 0 при ¿ = 0,1. (2.11)

В статье [121] уравнения (2.8-2.11) решались с помощью разностных схем. Там же были построены области устойчивости в пространстве Rt, Rs для линеаризованной системы.

2.4 Граничные условия Релея

Голдстейн и Грэхэм [126; 127] изучали конвекцию в слое силиконового масла, заключенном между слоем ртути (находящимся снизу) и слоем гелия (сверху). Измеренное кри

Рис. 2.3: Сравнение экспериментальной и расчетной изотерм при Яа/Касг = 2. тическое число Релея оказалось в разумном согласии с теоретическим значением для граничных условий отсутствия вязких касательных напряжений и в хорошем согласии со значением, найденным при учете конечной теплопроводности ртути и гелия.

Большая работа по исследованию адекватности граничных условий Релея отсутствия касательных вязких сил проведена в работах [119; 128; 120; 129; 130]. И.Б.Палымский сделал сравнительный анализ, основываясь на собственных расчетах и на результатах многочисленных работ других авторов - см. например [131; 132; 133; 134; 135; 136; 137; 138; 139] - как по численному моделированию, так и связанных с физическими экспериментами [140; 141; 142; 143; 144; 145; 146; 140; 147; 148; 149; 150; 151; 152; 153; 154]. Это сопоставление показывает, что в широком диапазоне надкритичности отличия в осреднен-ных характеристиках не превышает двадцати процентов, то есть при этом основные качественные характеристики фактически мало изменяются.

Далее приведем некоторые примеры сопоставления экспериментов и расчетов конвекции с жесткими и свободными границами. Везде где речь идет о расчете без указания ссылки имеется в виду расчеты граничными условиями Ре-лея. На рис. 2.3 изображены изотермы полной температуры, слева - экспериментальная интерферограмма [140] при Ra/Racr = 2.2 (вода), справа - расчет предлагаемым методом при Ra/Racr = 2 и Рг = 2. Примечательно поразительное визуальное соответствие изотерм температуры, полученных экспериментальным и расчетным путем.

Рис. 2.4 представляет профиль среднеквадратичных пульсаций температуры при умеренной надкритичности г = 1250. Здесь черные кружочки обозначают результаты экспериментов [145] (г = 1470, воздух), пустой квадратик -результаты экспериментов [146] (г = 1400, воздух), знак о - результаты экспериментов [143] (г = 1250, газообразный Не), сплошная - результаты настоящей работы (г = 1250, Рг = 10).

Рис. 2.5 представляет профиль пульсаций температуры при высокой надкритичности г = 6000. Здесь знак • обозначает результаты экспериментов [145] (г = 5900, воздух), пустые квадратики - результаты экспериментов [146] (г = 5900, воздух), знак о - результаты экспериментов [143] (г = 5900, газообразный Не), сплошная - результаты настоящей работы с [128*32] и прерывистая - результаты настоящей работы с [256*64] гармониками (г = 6000, Рг = 10).

Рис. 2.4 и 2.5 показывают согласование наших численных результатов с экспериментальными данными в воздухе и газообразном гелии. Рис. 2.5 показывает также, что увеличение числа гармоник приводит к изменению профиля среднеквадратичных пульсаций температуры только в приграничных точках.

Значение среднеквадратичных пульсаций вертикальной д,2>0.

0.0 +

Рис. 2.4: Профиль пульсаций температуры при г =

Рис. 2.5: Профиль пульсаций температуры при г = ■ ■ ■ ■ I ■ ■ I ■ .> . «

Рис. 2.6: Пульсации вертикальной скорости при у = 0.5 как функция надкритичности г

Но, / Яасг [155] [139] Настоящая работа Отклонение в %

5 3.30* - 3.47 5.

10 4.24 - 4.47 5.

20 5.33 5.32 5.48 2.

40 6.68 6.67 6.55 2.

50 7.16 7.34 7.01 3.6+

Таблица 2.1: Сравнение чисел Нуссельта при небольшой надкритич-ности скорости при у = 0.5 представлено на рис. 2.6 как функция надкритичности до г = 34000. Здесь черные кружочки - результаты настоящей работы (Рг = 10), сплошная - трехмерное численное моделирование [136] (воздух), прерывистая - результаты экспериментов [146] (воздух), знак 0 - результаты экспериментов [145] (воздух) и знак о- результат численного моделирования [133] со свободными граничными условиями.

Рис. 2.9 и 2.6 показывают, что данные нашего двумерного численного моделирования с Рг = 10 согласуются с экспериментальными данными и результатами трехмерных численных расчетов конвекции в воздухе и газообразном гелии, большой разброс результатов численных расчетов ДО V ~ 1000 отражает существующий разброс экспериментальных данных (см. например [145]). Возможно, что некоторая потеря точности настоящего численного моделирования при высоких значений надкритичности (г > 104) обусловлена ограничениями двумерного моделирования.

В таблице 2.1 сравниваются значения числа Нуссельта, полученные предлагаемым спектрально-разностным методом (Рг = 10) и данные работ [155; 139]. В работе

0.4

0.2 о 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 О.Э

Рис. 2.7: Профиль средней температуры при Ra/Racr =

155] использовался спектральный метод, а в работе [139] - конечно-разностный с разрешимостью 48*34. Значение, обозначенное * получено линейной интерполяцией по значениям при близких надкритичностях, а отклонение, обозначенное знаком + вычислено как среднее арифметическое двух отклонений.

На рис. 2.7 изображен профиль средней температуры. у обозначает поперечную координату. На рис. 2.7 черные кружочки обозначают результаты экспериментов [145] (Ra/Racr = 5900, воздух), прерывистая - результаты экспериментов [142] (г = 5500, вода), сплошная - результаты численного расчета (Ra/Racr = 6000, Рг = 10).

Значение среднеквадратичных пульсаций температуры при у = 0.5 представлено на рис. 2.9 как функция надкри-тичности до г = 34000. Здесь черные кружочки - результа

2^,0.

Рис. 2.8: Профиль пульсаций вертикальной скорости при Ла/Ласг = ты настоящей работы (Рг = 10), прерывистая - трехмерное численное моделирование [136] (воздух), штрих пунктирная - экспериментальные результаты [146] (воздух) и [143] (газообразный Не), знак х обозначает результат экспериментов [147] (только одна точка, воздух), знак о - экспериментальные результаты [145] (воздух), и пустой ромбик -результат численного моделирования [133] со свободными граничными условиями.

На рис. 2.10 представлено число Нуссельта как функция надкритичности при 200 < г < 34000. Здесь жирным кружочком обозначен результат численного счета И.Б. Па-лымского (свободные границы и Рг = 10), сплошной - экспериментальные данные [142] (вода), пустой квадратик -результат трехмерного численного расчета [136] (воздух),

12 0.

Рис. 2.9: Пульсации температуры при у = 0.5 как функция надкри-тичности Ra/Rac

2.10:

Число Нуссельта как функция надкритичности г

Рис. 2.11: Число Нуссельта при умеренной надкритичности г прерывистой - экспериментальные данные [146] (воздух), знаком х - результат двумерного численного расчета [137] (вода) и знаком о - результаты трехмерных численных расчетов [133; 134; 135] со свободными от напряжений границами на горизонтальных плоскостях.

На рис. 2.11 также представлено число Нуссельта как функция надкритичности, но при 20 < г < 1350. Здесь черными кружочками показаны результаты расчета Палым-ского (Рг = 10), квадратиками - результат трехмерного численного расчета [136], ромбиками - результаты численных расчетов [138; 137], знаком х - результат двумерного расчета [137], прерывистой линией - результат двумерного численного расчета [139] (for 5 < г < 50) со свободными граничными условиями (тонкая линия), метастабильная часть режима 1 (for 340 < г < 610) и данные эксперимента [148] (вода) (толстая линия), сплошной - данные эксперимента [142] (вода), знаком о - экспериментальные данные Silveston, 1958 (вода, данные из работы [148]) и знаком + (прерывистая) - результат двумерного численного расчета [139] со свободными граничными условиями.

Глава

Аналитический вывод критериев устойчивости стационарных решений нелинейной системы (второе приближение по методу Бубнова-Галеркина)

3.1 Температурная конвекция

Решение системы (2.5) для возмущений периодических по координате х будем искать в виде разложения по полной системе ф = Фт,п(I) &т{шхт) вт(7гаг), т,п

Т = ^ тт>п(£) 8т(тгахт) сов^пг).

Тогда граничные условия выполняются автоматически. В качестве длины волны для определенности выберем такую, для которой неустойчивость будет проявляться при минимальном значении числа Релея. Если ограничиться двумя первыми гармониками

Т = Гц соз(7пе/\/2) зт(тг^) + т02 зт(27г^), то согласно методу Бубнова-Галеркина получим фи + сгЗтг2^/2 + о-Ял/2гц/(37г) = О,

Гц + пфп/у/2 + 37Г2Тц/2 + л/27Г2^цГ02 = о, г02 - 7Г2^11гЦ/2\/2 + 4тг2г02 = 0. (3.1)

Система уравнений (3.1) после очевидных замен запишется в виде системы уравнений Лоренца

Х = а(У-Х); У = гХ -У- ¿ = +

Система уравнений (3.1) допускает стационарное решение при Ят > 27тг4/4: п = 24(^д-1), N4 = 1 - ТГГ02 = 27^4/4Д, ч/2^ц27тг

Здесь имеет смысл числа Нуссельта, определяемого через тепловой через тепловой поток, осредненный по длине волны на нижней границе г = 0. Этому стационарному решению соответствуют стационарные конвективные валы с функцией тока ф = 2\/б(27^4/4 ~~ ^ 8т(7Г2//&).

3.2 Потеря устойчивости конвективных валов

Однако с увеличением надкритичности числа Релея конвективные валы теряют устойчивость. Действительно, представим

Х = у/(г- 1)Ь(1+х), У =у/(г-1)Ь(1+у), г = 1 -г+г.

Тогда для малых возмущений х,у,г получим х = а(у — х), у = х = у — г,. ¿ = —Ьг + (г — 1)Ъ(х + у).

Соответствующее характеристическое уравнение для этой системы имеет вид

Л3 + (а + 1 + Ь)\2 + Ъ(ст + г)Л + 2(г - = 0.

При потере устойчивости пара комплексно-сопряженных корней, переползает из левой полуплоскости комплексного плоскости Л в правую полуплоскость. Для кубического уравнения Л3 + а\\2 + агЛ + аз = 0 это происходит тогда, когда коэффициенты а,- связаны соотношением а\а% = а3 (критерий Раусса-Гурвица). Таким образом условие устойчивости стационарных решений системы (2) имеет вид т(а + 3 + Ь) г<гст = ----А сг — 1 —

При г > гсг система Лоренца приобретает стохастические свойства, подробно изученные в 60-е годы. Именно в связи с этой системой был введен термин странный аттрактор.

Может возникнуть предположение, что странный аттрактор возникает только при приближенном описании гидродинамических систем с помощью конечного числа гармоник. Укажем остроумный пример, найденный Велан-дером, где система Лоренца получается точно.

Рассмотрим вертикально поставленную тороидальную трубу, заполненную вязкой жидкостью с термическим коэффициентом расширения а: р = р0(1 — а(Т — То). Радиус поперечного сечения трубы будем предполагать много меньше радиуса кольца (тора) Я. Плотность, давление, температуру будем считать постоянными по сечению трубы, а скорость жидкости распределенной по сечению по параболическому закону. Применяя интегральную теорему о моменте количества движения ко всей массе жидкости получим

ЗСо = — В?д / рътфйф — рш, (3.2) где и = угловая скорость движения жидкости (из уравнения несжимаемости следует, что она не зависит от угла ф. Уравнение теплопроводности в данном случае можно записать в виде дТ дТ д

Здесь Тгп- температура стенок трубы, которая предполагается распределенной линейно по высоте

Т1 — Тп Тп -Ь Т То — Тл тш = То + = + соз ф.

Предполагается, что приток тепла в жидкость пропорционален разности температур жидкости и трубы с коэффициентом теплообмена К. Коэффициенты V здесь пропорциональны соответствующим диссипативным коэффициентам. Будем искать решение системы (3.2, 3.3) в виде

Т — Т^ = ]Г]П апсоз(пф) + Ьп зт(п0). Тогда из системы (3.2, 3.3) получим

ЗСо = В?др^аЬ\/2 — 1усо,

1 = — а\{к + К) + 07&1, = -(к + К)Ьг - аю7(3]Ь - Г1)/2.

Эта система относительно о;, ах, 61 после очевидных замен сводится к системе Лоренца. Таким образом в вертикально поставленной трубе находящейся в температурном линейно убывающем поле, жидкость начнет вращаться с постоянной угловой скоростью при ародВ?(Т0 — /2(К + к)1У > 1. Однако это вращение становится неустойчивым для достаточно больших чисел Релея, приобретая стохастические свойства.

3.3 Особенности двухдиффузионной конвекции

Двухдиффузионная конвекция (биоконвекция, конвекция в соленой жидкости, некоторые модели конвекции в звездах) отличается от чисто температурной конвекции: интенсивность движения подсаливаемой и подогреваемой жидкости может нарастать даже когда плотность убывает с высотой, т. е. когда базовое статичное состояние устойчиво. Этот явление связано с эффектом диффузии, который оказывает стабилизирующее влияние в случае температурной конвекции, но в двухдиффузионной конвекции может выступать в роли освободителя потенциальной энергии, заключенной в одной из компонент и переводить ее в кинетическую энергию движения. Описанные эффекты имеют свое отражение в свойствах динамических систем, полученных по методу Бубнова-Галеркина.

Физический механизм, лежащий в основании одной из основных форм двухдиффузионного движения, может быть прояснен следующим рассуждением:

Рассмотрим жидкость, у которой соленость и температура монотонно убывают с высотой.

Если жидкая частица поднимается, она попадает в более холодную, менее соленую и менее плотную среду. Из-за того,что скорость молекулярной диффузии тепла (теплопроводности) больше, чем солености, температурное поле частицы выравнивается быстрее, чем ее поле солености. Тогда частица становится тяжелее окружающей среды и тонет. Но из-за конечности температурного коэффициента дуффузии, температурное поле частицы не успевает выравниваться с температурным полем среды в которую она попала и т. о. приходит в свое изначальное положение тяжелее. Вследствие чего она опускается еще глубже. Далее процесс повторяется, что ведет к нарастающим колебаниям. Последние в конце концов приводят к появлению термосолевых конвективных валов, которые, в отличие от чисто температурной конвекции, при потере устойчивости конечным образом отличаются от статического решения.

Если градиент температуры достаточно большой, чтобы быть сравнимым с градиентом солености, могут существовать нелинейные возмущения, которые ведут к стационарным движениям, т.к. большой градиент температуры способен подавить восстанавливающую тенденцию поля солености.

3.4 Линейный анализ

Для линейного анализа статического решения системы пренебрежем в ней правыми частями и будем ее решение искать в виде

Ф = Фп sin(7тха) sin 7rz), Т = Гц COs(7тха) SÍn(7T2:), S = su cos(7nm) sin(7rz).

При этом граничные условия выполняются автоматически. Для функций фп(t), Tu(t), su(t) из (2.8) получаем систему

-7г2(1 + а2)фп + ЯтгП7га - Rssn7ra + 7Г4(1 + а2)2фп = О, о

7-ц + фцтта + 7г2(1 + а2)гц = О,

5ц + фцтта + Х7Г2(1 + a2)sn = 0. (3.4)

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид det О = 0, где матрица Q равна

Л + к2а RTirak 2 —Rs^ak 2 \ к2 = 7г2(1 + а2). па \ + к2 О

7Га 0 Л 4- як2 У

Раскрывая определитель имеем:

Л3 + к4{а + х + 1)А2 + (к4(а + ая+1)~ 7Г2а2к~2^т - Rs)) + - тг2а2о-(Дтх - #<?)) = 0.

При потере устойчивости происходит переход комплексно сопряженной пары корней из левой полуплоскости в

Рис. 3.1: Линейная теория устойчивости для о = 1. Для каждой области и разделяющих границ схематично указано положение корней дисперсионного уравнения. правую. При таком переходе корни характеристического уравнения Л3 + а\\2 + + аз = 0 удовлетворяют условию а\а2 = а3 (3.1).

Для характеристического уравнения при заданных значений параметров <т, х, а число Релея определится из условия а\й2 = аз следующим образом: к2(а + х + 1)[к4(а + <тх + 1) + тг2а2АГ2(Дт - Д5))] = ахк6 + тг2а2и(Ктх - Я3)) = 0, откуда т + х . ч. 1Ч7Г4(1 + а2)

Ят = —+ (1 + к) 1 + ха 1 ^ ;

7 + 1 а'

Минимальное значение критическое число Релея при

2 1 Ж (1 + <*2)3 нимает при а = - т.к. функция---имеет минимум при а2 = -. Итак, критическое число Релея равно Ri: л сг + х .л W1 1ч 7Г4(1 + а2)

Ri = —TTRS + (1 + X 1 + KG 1 v } . a +1 cr

3.5 Нестационарные режимы конвекции

Решение нелинейной системы уравнений (2.8) можно аппроксимировать с помощью двух гармоник: ф = Фи (0 sin KZ sin —J=,

Т — Гц (¿) sin 7TZ COS —=. + T02 (¿) sin 27Г£,

S = 5ц (t) Sin 7TZ COS —-=. + Tq2 (t) sin 27TZ.

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА

Подставляя эти выражения в систему (2.8) и приравнивая слева и справа члены при одинаковых гармониках получим нелинейную систему пятого порядка

Ц^п + Ятт- Пвзи^д + = 0, (3.5) . , 7Г 23 у/2 2 /

Гц + + п 2Тп = — 7г 3 о л/2 о

5ц + 'Фп-^д + 271 К81Х = —2-71" Г02 + 47Г2Т02 =

502 + 47Г2Х502 = (3.6)

Для докритических значений Ят линейная система (3.4) имеет затухающие по времени решения. Поэтому по теореме Ляпунова нелинейная система (3.5) при Ят < Лх также будет устойчива в смысле Ляпунова.

При переходе через критическое число Релея имеет место бифуркация Пуанкаре-Андронова рождения предельного цикла (как заметил В.И. Арнольд за рубежом ее неправильно называют бифуркацией Хопфа). В этой области возникают нестационарные автоколебания малой но конечной амплитуды. Аналитические и численные результаты в данном случае свидетельствуют о мягком характере потере устойчивости, когда возникают осцилляции, которые асимптотически приводят к установлению периодических решений амплитуда и частота которых полностью определяются числами Релея, Прандтля и коэффициентом я. Решения с произвольными начальными данными выходят асимптотически на этот режим (наматывание траекторий на предельный цикл).

Для описания периодических режимов конвекции обратимся к нелинейной системе (3.5). Для упрощения вида ее коэффициентов введем новое время £ 37г2/2£, и новые искомые функции фп %/2^п/3,Тц => 7ГТц,Т02 7ГТ11,5ц 7Г5П,802 7Г802. Тогда система (3.6) примет вид

Периодические решения системы (3.7) будем искать в виде фп(г) = аеш +с, Гц = Ъеш +с, зц =1и)Ь +с. г02 = ¿е2{шЬ +с. + /, 502 = ее2Ш +с. + га. (3.8)

Подставляя эти выражения в систему (3.7) и приравнивая в ней члены с нулевой, первой и второй гармониками

Фп + ГТТц - Гзвп + фп = о,

Гц + Фп + Гц = -фцТ02, ¿11 + Фп + НЭП = -^11502, получим алгебраическую систему:

1 + г—)а + гтЬ - г5с = О, а + (1 + гш)Ь + а*й + а1 = О, а + (ги + х)с + а*е 4- ат = О,

8 1 8 1 (ш + -)бI - -аЪ = О, (ш + -х)е - -ас = О, о А О ¿

1 = тттИ* + а*ъ)»ш = ттг-(ас* + а* с). (3.9)

1о 16х

Из этой алгебраической системы можно исключить функции Ь, с, б?, е, т и получить одно комплексное уравнение для ш и |а2|. Приравнивая нулю вещественную и мнимую части этого уравнения получим систему для определения квадрата амплитуды колебаний \а2\ и частоты ш, которые таким образом оказываются однозначно определенными. Итак система для определения |а2|,о; имеет вид , 1 11 угт , г5[(х2 + (|)2а>2)(х-1) + г/(х+|)] п а 88 + . х , гг[(1 +

§) У)(х - 1) - + 1)] , \\Ухг5 п + а <5 + 8«! ~

Здесь введены обозначения

Ч 1 ^

Л = (1 + ь>2)(1 + (|а,)2) + 32/2 + 22,(2 - ^о;2), (х2 + о;2)(х2 + (Цы)») + Зг/2 + 2у(2к2

На границе области устойчивости статического решения х + сг) ^ ч(х + ст)

Гт = Г1= Г57Т~-Г + (1 + -^ выписанная система имеет решение п 2 ~ *)<?

Для малых надкритичных значений гТ эта система имеет решения, пропорциональные гт — П : а2\ = а(гт - п), и2 - = -¡5{гт - г1), где а, /3 есть некоторые положительные константы, выражающиеся через 7*5, х, а.

Итак при достаточно малых надкритичных значений температурного числа Релея в солевом растворе возникают периодические по времени термосолевые валы. Проблема получения границы области устойчивости этих периодических решений остается открытой, хотя численные расчеты говорят о том, что на самой границе может иметь место апериодический режим. Однако характер этой флуктуа-ционной неустойчивости проявляющейся в данном случае сильно отличается от стохастизации, происходящей при сверхкритических значений температурного числа Релея в чисто тепловой конвекции, когда становятся неустойчивыми стационарные конвективные валы и в теории возникает явление странного аттрактора.

Систему 3.5 путем замены переменных можно привести к виду уравнений Лоренца. х + а(х-у + р) =0; (3.10) у-гтх + у + хг = 0; г + ьг-ху = 0;

Р + кР - гбх + х(э = 0;

Э + ад - хр = о.

В системе 3.10 введены обозначения

X = фц/З; У = -тггц/л/2; £ = -7гг025 р = —7г5ц/у/2]

Я = -7Г502; Гт = 4^т/27тг4; г5 = 4Я5/27тг4; Ь ее 8/3.

3.6 Стационарные термосолевые валы и их устойчивость

В некотором диапазоне значений Ят система (3.5) имеет устойчивые стационарные решения, которые соответствуют термосолевым конвективным валам.

Для их нахождения в системе (3.5) производные по времени положим равными нулю. Получим:

Фити Фпзц

Т02~Ш' 502 ^ + + ^ =

3 + ^ Зх+^х 4 Обозначим ^ = Зу, = гт, ^г = Тогда для у из

0 4 7Г 4 7Г уравнения (3.6) получим квадратное уравнение

У2 + у[{х? + 1) + (г<?х - гт)] + х2 + (г5 - хгт)х =

Если положить здесь х = гз = 0, то получим у = гт — 1, откуда следует результат, полученный нами в первом параграфе: при отсутствии солености стационарные волны появляются только при числах Релея 11т > х71"4 = 657.5. При наличии же солености уравнение (3.6) всегда имеет один положительный корень при я + гз — ягт < О или при Ят > ^ + ^7г4. Но это есть неустойчивая область по линейному приближению, где у характеристического уравнения имеется два отрицательных и один положительный корень. Рассмотрим теперь возможность, когда уравнение (3.6) имеет два положительных корня в области гт < + 1. Тогда, очевидно, должны одновременно выполнятся неравенства ^ + 1 > гт > х2 + 1 + т^х, что возможно лишь при х < 1. Для существования корней необходимо потребовать положительность детерминанта Б = (гт — г^х-Ь х2 — I)2 — 4x^(1 — х2). Итак, положительные корни существуют только в диапазоне + 1 > гт > к2 = г5х+1 - х2 + 1 + 2л/х(1 - х2)г5.

Любопытно отметить, что (Уттт(1 - +у/ЧГ^») 2 >

Я2 ее -^7г4гт. (3.11)

Таким образом, стационарные решения существуют в области устойчивости статического решения, граница которой как показано выше определено выражением (9). Осталось проверить устойчивость термосолевых конвективных валов. Для этого линеаризируем систему пятого порядка (3.7) около полученного стационарного решения. При этом получится линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка. Характеристический полином пятой степени для этой системы А5 + а1А4 + а2А3 + а3А2 + <24 А + аб имеет как показывают весьма громоздкие вычисления следующие коэффициенты:

11 / ,ч

1 = у(х+1) +<7,

8/9 \ 121 ч И / - \ а2 = + у) + -у х + -(1 + у) + —+ 1) ( гтяг

1 + у) (к + у/хГ аз = у (х2 + у + х(1 + у)) + <т|(х2 + у) +

8/1 ч гт ,8. ч И НгттФ** - у>+ х + ?//х)

4 = у (1 + ?/)(х2 + У) + <т[у (х2 + У + х(11 + У))~

Гт /88 ^ ч , 8,

-х(1 -2/) +-К+ ?/))+,

1 + 2/) 9 4 ^

3.7 Устойчивость стационарных решений нелинейной системы

Для устойчивости стационарного решения необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Раусса-Гурвица для определителей, составленных из коэффициентов щ, г = 1,., 5. Из этих условий нетривиальным является уелоа5 - й1а4)2 + (а3 - а1а2)(а3а4 - а2а5), куда нужно подставить выражения для коэффициентов

Для случая я = 1 выписанный полином пятой степени для Л факторизуется в произведение

11 8 16 [А3 + (у + с)А2 + -(<т + гт - г5)А + — <г(гт - г5 - 1)]

В этом случае конвективные валы будут устойчивы при 4(ЯТ - Д<?)/27тг4 = (<т + 17/3)сг/(сг - 11/3), что можно получить кубического полинома: здесь второй фактор (квадратный трехчлен) имеет всегда корни с отрицательной действительной частью.

Заключение

В диссертации получены следующие результаты исследования двухдиффузионной конвекции в горизонтальном плоском слое, выносимые на защиту.

1. Получено временное и пространственное распределение абсолютной невязки для различных значений определяющих параметров и показана ее малость по отношению к главным физическим силам. Установлено монотонное уменьшение относительной невязки при увеличении числа базисных функций в стохастических режимах. Основные расчеты в стохастических режимах проводились при относительной невязке порядка Ю-3. Скорость сходимости продемонстрирована с помощью энергетической нормы и нормы дисси-пативной функции.

2. Показано, что классические моментные уравнения, определяющие напряжения Рейнольдса, расходятся. В тоже время модифицированная цепочка моментных уравнений, выписанная для разности между точным решением и когерентной структурой, может иметь тенденцию к сходимости. Например, в качестве когерентной структуры выбирается грубое решение с малым числом гармоник.

3. Исследован процесс перехода к турбулентности через последовательность бифуркаций, начиная от образования предельного цикла Пуанкаре-Андронова до формирования странного аттрактора с отображением Пуанкаре в виде кривой с одним минимумом.

4. Установлено, что странный аттрактор имеет вид листа Мебиуса. Изучена структура отображения Пуанкаре при умеренных надкритичностях. Показано что после возникновения турбулентности точки отображения Пуанкаре ложатся вдоль несамопересекающейся кривой с одним минимумом. При увеличении надкри-тичности после обратного каскада бифуркаций система проходит через периодические режимы, в частности, троякопериодический режим. Показано, что аттрактор сохраняет вид листа Мебиуса при дальнейшем увеличении надкритичности, но его структура значительно усложняется после прохождения через периодический режим. Отображение Пуанкаре сохраняет вид одномерной кривой, но с несколькими минимумами и самопересечениями.

1. Self-affine nature of the stress-strain behavior of an elastic fractal network / A. S. Balankin, O. Susarrey H, G. Urriolagoitia C., L. H. Hernández // |Physics Letters A. 2002. - Vol. 297. - Pp. 376-386.

2. Fractal radar scattering from soil / K. Oleschko, G. Korvin, B. Figueroa et al. // |Phys. Rev. E. 2003. -Vol. 67, no. 4. - Pp. 041403-+.

3. Erratum: Fractal radar scattering from soil Phys. Rev. E 67, 041403 (2003)] / K. Oleschko, G. Korvin, B. Figueroa et al. // |Phys. Rev. E.- 2003.- Vol. 68, no. 3.-Pp. 039904—h

4. Crossover from antipersistent to persistent behavior in time series possessing the generalyzed dynamic scaling law / A. S. Balankin, O. Morales Matamoros, E. Gálvez

5. Development of finite-amplitude two-dimensional and three-dimensional perturbations in jet flows / S. I. Gertsenshtein, I. I. Olaru, A. I. Rudnitskii,

6. An approach to wall modeling in large-eddy simulations / N. V. Nikitin, F. Nicoud, B. Wasistho et al. // |Physics of Fluids.- 2000.- Vol. 12.-Pp. 1629-1632.

7. Математическая постановка 11

8. Уравнения движения среды.1122 Приближение Буссинеска.13

9. Полная система уравнений тепловой конвекции .15

10. Граничные условия Релея .20

11. Аналитический вывод критериев устойчивости стационарных решений нелинейной системы (второе приближение по методу Бубнова-Галеркина) 32

12. Температурная конвекция .32

13. Потеря устойчивости конвективных валов . . 34

14. Особенности двухдиффузионной конвекции . 3634 Линейный анализ.38

15. Нестационарные режимы конвекции .40

16. Стационарные термосолевые валы и их устойчивость.45

17. Устойчивость стационарных решений нелинейной системы .4738 Заключение.48

18. Применение метода Бубнова-Галеркина. Оценка близости численного решения к истинному решению посредством вычисления невязки исходной модели. Оценка скоростисходимости решения. 50

19. Применение метода Бубнова-Галеркина . 50

20. Адекватность численных методов.56

21. Определение невязки с помощью нормы в ¿2 59

22. Сходимость и энергетические нормы.61

23. Моментные уравнения и когерентные структуры .62

24. Переход к турбулентности 68

25. Сценарий перехода к турбулентности.68

26. Поведение решения в фазовом пространстве . 72

27. Структура отображения Пуанкаре .776 Заключение 97