Стойкость и бифуркация решений некоторых классов разностных уравнений с двумя отклонениями аргумента тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ІД -І. .9,’$

Академія наук Україна Інститут математики

На правах рукопису

Сушко Ірина Михайлівна

УДК 517.9

Стійкість та біфуркащї розв’язків ДеякйК класів різницевих рівнянь з двома відхиленнями аргументу

01.01.02 - Дйферешгіальві рівняная

Автореферат -

_ - дйсерїацй на здобутій вченого ступеня «айдйДатй. фІомо-матешітичйвх наук

КИЇВ

1992

Робота виконана у відділі теорії динамічних систем Інституту математики АН України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичнЕх наук

МАЙС^РЕНКО К)-Д.

Офіційні опоненти: дохтор фюико-математичвих наук,

професор МАРТИНЮК Д.І.,

. дохтор фіоиго-математичннх Наук, професор ДМІТРІЄВ О.С.

Провідна організація: Інститут кібернетики ім. В.М. Піупкова

АН Україна.

Захист відбудеться” £? ” <л<&Гсп-о 1993 р. о год. наьасіДаняі спеціалізованої ради Д.016.50.01 при Інституті Математики АН Україна оа адресою:

252601 Київ 4, МСП, йул. ^реаде^івська, 3.

З дисерїавіею моікна ^найоМй$ї№ь в бібліотеці Інституту. Автореферат розісланий ” ЗО 1992 р.

Вчений секретар теціадіїїонаної ради . доктор ^ііолЦаТІ раук, вррф.

^|ІУШ А.ір.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Нелінійні різницеві рівняння моделюють велику кількість прикладних задач, що відносяться до найрізноманітніших областей природознавства. Інтерес до такого роду рівнянь особливо зріс останнім часом завдяки їх використанню для опису процесів хаотизації та виникнення структур. Поряд о одновпміршшц різницевими рівняннями, теорія яких досить добре розвинута, важливу роль відіграють різпицеві рівняння другого порядку, розв’язки яких характеризуються великою різноманітністю асимптотичної поведінки, що відкриває нові можливості їх застосування.

Серед робіт з різницевих рівнянь другого порядку значна кількість присвячена рівнянням, динаміка розв’язків яких визначається двовимірними дифеоморфізмамн. В топ же час багато реальних задач моделюються різницевими рівняннями другого порядку, що породжують двовимірні ендоморфізми, тобто невзаемнооднозначні відображення площини. Невзаємнооднозначність вносить свою специфіку в поведінку траєкторій, структуру граничних множин, механізми та послідовність біфуркацій. Тому викликає інтерес вивчення такого роду рівнянь з точкп зору відшукати особливостей, що вносяться невзаемнооднознач-пістю в ясимгіотичну поведінку розв’язків.

Метою работа є дослідження асиматотнчної поведінки при і —юо розв’язків різницевих рівнянь другого порядку з кусочно-лінійною та изадратпчною правою частиною; знахождення умов існування та стійкості циклів відповідних відображень; вивчення біфуркацій та структури а тракторів о застосуванням обчислювального експерименту та машинної графіки.

Наукова Новизна. Для двовимірних кусочно-лінінних зідобраймнь, котрі виникають прп вивченні різницевих рівнянь другого норядїу. з хусотио-лінійною правою частиною, встановлено ісвупгпня стійких циклів уп періодів п — 3,5,6,...; в площині параметрів одержані точні аналітичні вйраая для кривнх, що обмежують області існування ї*а стійкості даних цкхлів. Вивчена біфуркація втратн стійкості циклів

Що приводять до виникнення хаотичних притягуючих множин тшіу страйпнх атракторів. З використанням о бчислювалЬНоГо експерименту ВсткйойЯєно типовий порядок біфуркацій даййх притягуючих мппжнтг, Дано койетруктнвне оШсання їх топологічної структури.

Для двовимірних квадратичних відображень пйіиейа біфуркалія ртря-

ти стійкості нерухомої точки; описано механізм хаотдзації, що являє собою каскад біфуркацій подвоєння, який реалізується на деякому одно-вимірному многовпді.

Практична цінність. Работа носить теоретичний характер. Одержані результати е новими і можуть знайти застосування при дослідженні фізичних та інших прикладних задач, що описуються нелінійними різницевими рівняннями другого порядку; одержано математичний опис відомого в радіофізиці явища додавання періоду для кільцевих радіофізичних систем о двома нелінійними підсилювачами та двома лініями оатримки.

Апробація роботи. Результати дисертаційної роботи доповідалися на конференції молодих вчених Інституту математики АН УРСР (и. Алушта, 1990 р.), на третій школі "Динамічні системи та турбулентність” ( сея. Кацивелі, 1991 р.), па радянсько-іспапсько-чехословацькому симпозіумі ’’Динамічні системи та їх застосування” (м. Київ, 1991 р.), па шкоді о динамічних систем (м. Т^зі -ест, 1991 р.), на конференції молодих вчених механіко-математичного факультету МДУ (м. Москва, 1992 р.), на семінарі о динамічних систем та ергодичної теорії механіко-математичного факультету МДУ (м. Москва, 1992 р.), на семінарі факультету прикладної математики Російського відкритого університету (м. Москве, 1992 р.), а також на семінарі відділу теорії динамічних систем Інституту математика АН України.

П у б л і к а ц і Юсновні результати дйсертації опубликован! в роботах [1-4].

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається о вступу, трьох глав і списку літератури. Об’єм роботи бГ сторінок Машинописного тексту.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дається стислий огляд деяких праць о нелінійних різницевих рівнянь другого порядку, дослідження яких зводиться до вивчення динаміки Двовимірних невааємнооднозначних відображень. Описана фізична модель - кільцева радіофізична система о двома нелінійними підсилювачами і двома лініями затримки,- яка описується різницевими рівняннями класу, що досліджується. Приведено стислий зміст дисертації. , .

В першій главі йде мова про одиозимІрне різницеве рівняння о неле, рерашш аргументом

*(*+!)“/»*(*(<)). (1)

де

t _ П* + 1-/(1 + 1/р), х<1 + 1/р,

*>і+і/р, {І)

t,p - параметри, (!,р) € П =< {(1,р): 0 <7 < 1 ,р < -1}.

В ттерйтому тарягряфі описуються атракторл лідгкгеідгїого кусочіто-яїяіїшого відображення інтервалу Др : 7 —> 7, І = [0,1], виду

/і,р : а: Д,(я), а: Є Л1. (3)

Під атрактором розуміється іпваріантна оамкнсиа множіша, що притягує їгсі Ю'іг.ц -і дслгого свого охояу. Наоедеао умови Ісііувазля сїінких днкдів 7а = .’-V.} всіх натуральних періодів п = 1,2,...

та умови кніг-аініг. сііїшис цаиа!» Іцїсрса«и Г4 — {Гі,п — 1,2,.,.. Оіш«шо иіт.у ііа„.д.І7 дйішх щ-їкііь при ямійі йараистріи ' і і>, що суттєво ЙдрЬкавлі-аг зад біфургацід з глгдкоуу випадку, а саме: ігри ' avp&ti і-і’^аосгІ ццад 7» ііідбуіи«лгся {т|£ризиїя додв»и;ака, з резуяь-■*cti Яїі'Т.Іііфоджууііісд не ФочйсчшЗ, а Інтерсїіьіай цзхз подвоєного яг,|5Іпду ц хаоїН’що» ігойедІЕйііб трпт'оріи і» саенеп-їах циклу. 7їо¥ін_ 2і$у*юЬяь(:я зворотна $фурзка>Ія ііод£»«ішя; інтервали із ГКі2|і йоШфЯо _6®tsri!otU-a 5 аироджуе±ня цшс Іаіерішіа Г„,а. Нарешті, з рсву~,тят! яіїстуйЕо! .Сіфурк/щії всі lu-tepsaaa іа ГВ)» оашзаюїься в цшд Гттт^пчйііті періоду 1 Г»д ** *« ВіДОІКнвм ПІД решти є ваяадок п « 2. В реауяьгзіЛ Вїраїіі сіШцостіщхау.ft Щ>фЩ'еіьі4штерлаішшЗшікя Т2гі періоду 2і, де к ьюзсе бутя доМиьтш натуральним числом, йке аа-ііайтті, від t S р. ІІасгутші біфуркації соїшаЬтЬ у поварному aaatTi «кмєятіз ЦЕкау._ Iha самш, й оагальному тнадку для одвовішіргшх хуто'їва-пІяШаах підображнь з сДйпм ексгремумоіі ііае иісце Tata fib-слідов&кті» біфуркацій атракторін: .

. 74 її ** # *• '’«♦ Ґї,і*♦ f) я> 7S *»' ■ __ '

• ** (Гі,» **Га,і ^ (tieГі,4 (4)

аф. * • ‘ *► 7,, (ГЙ,1ж їф Гв,» І) Їф ^+1 ^ .

V другому ііарагряфі neptttat гйа»и олйсайа аойїатотй^яа иойедійка роЗй*іо«І8 йра t -юо різницевого рівйійай (1) Ішійеде&і ораоїйграфікій

з

цих розв’язків. На відміну від диференціальних рівнянь, для нелінійних різницевих рівнянь типовими е розв’язки, які при * —» оо вбігаються в метриці Хаусдорфа до граничних періодичних розривних функцій. При цьому, якщо число точок розривів на періоді у граничної функції скінченне, - це розв’язок релаксаційного типу. Гладкі обмежені розв’язки, у яких граничний узагальнений розв’язок має нескінченне число розривів на періоді і такі, що частота їх коливань необмежено зростає разом з ростом <, називаються розв’язками турбулентного типу.

У другій главі досліджується різницеве рівняння о неперервним аргументом другого йорядку

^ + 2) = Т^(/^(0)+/^(^0 + 1))>, (5)

Де /і,р - кусочно-лінійна функція виду (2), е > 0 - параметр. Вивчається питання про поведінку розв’язків рівняння (5) прп ( —»оо в залежності від значень параметрів і,р і с. Поведінка розв'язків г(4) при 1 —» оо визначається поведінкою траєкторій динамічної системи, що задається відображенням

ч~,СМ*ім£лл») ' (6)

Основна увага приділяється симетричному випадку (с = 1), коли відображення (6) має вигляд

’ (х,У)Єії2‘ (7)

, Площина П} разбиваеться на Чотири області /(, і = 1,4:

= У<Ь},\

У>ЦЛ

. Ь = {{х,у)--х>Ь, У>Ц, . А ~ {(*> у)'-х>Ь, у<Ь},

де Ь = 1 +■ 1/р; в кожній о цих областей Г/іР є лінійне відображення, яке позначено Р/р, і = 1,4.

В першому параграфі сформульовані теореми існування та стійкості циклів періодів п < 4 відображення • .

Неорема 2.1. Відображення (7) при (1,р) € П має єдину нерухому точку (хо,уо) = (р/(р — 1),р/(я — 1))і яка належить області /3. Точка

(яоїй)) е притягуючою, якщо -2 <р < —1,0 < І < 1, і відштовхуючою, яицо р < -2,0 < І < 1»

Теороиа 2.3. Для відображення (7) прп р = —2,0 < / < 1 кожна точка області б? = {(ж, у) : х > 1/2, 1/2 < г/ < — х + 3/2}, крім не-

рухомої^ періодичною періоду 3, а псі Інші точкй (.т, у) $ О потрапляють в область О за скінченне чпсло ітерацій ЛГ = №(х, у).

Тїтремя 2.4. Пргг р < —2,0 < І < 1 відображення (7) мне два цикли періоду 3:

Іїрп цьому дгая ?з е прптягую-там, якщо —1/2 — 2// < р < —2, 0 < І <

1, і сідловям, якщо р < -7/2 - 2/1, 0 < 1 < 1; цикл 7І е сідяоюш прп

' всіх р < —2, 0 < І < 1. Тгттгх іттстіп періоду 3 відображені?* (7) не

має.

Теорема 2.3. Відображення (7) стійких циклів періоду 4 не має. Другий параграф е допоміжнім. Впдйсаіхо роов’ядок різницевого рівняння другого порядку

дй т - деяке дШсзе гшсло. Роаз’лоок рівшшш (8) о йочглтеовймй уііовада (9) аапссуеться у вигляд

Уз " {(.ї’/і*г/),*— 1)2,

~ -1 Нр-Нр _, > + р + ір

"І р(2 — 1 — ІрУ 2 р{2-р-1р)‘

£?„ « т(гі„_і + (Ія-а)» » - 2,З, .и,

(8)

в тттзеовши умовами

(4«0, ііі г» т,

(3)

(10)

Лема 2.1. При всіх п =* її 2,...

(И)

де ё„ -розв’язок різницевого рівняння (8) о початковіша умовами (9).

Як наслідок із леми 2.1, справедлива формула

- «Ы,-з = (-І)"-1"*'', « = 3,4,.... (12)

В третьому параграфі досліджується цикл періоду п, п > 3, відображення (7) 7„ =з {(уьЫ> (йг. Ы. • • •. ІРп,Уі)} такий, що

(г/ь Уг) Є І2; (гй, Уз) € Г4; (уз, 2Л»), • • •. (м., Ці) Є А- (13)

У площині параметрів (/,р) одержано умови існування та стійкості циклів періодів п виду (13) відображення (7), що сформульовані у вигляді двох теорем. Введено позначення:

І Р

--т,

Теорема 2.6. Крива (5, п) втрати стійкості циклу періоду п виду (ІЗ) відображення (7) €

тє(0’і/2)* <14)

д? £?„ - розв'язок різницевого рівшшіш (8) з початковими уиоиама (9).

ЇІри народ-кгппі цпкгту у„ точка (ух, у і) яе:::лть ви Прямій х = Ь, тобі й ?Л ї= &; тому дляоааход*свяг-ртаоТ (Е, я) «ярсдогашг цикду ,маємо г'пійпІдиошсігня

^г’“2Лі») “ (Ь,й). (15)

Тоорсыа 2.7. Крива (£, п) народження і^іклу періоду » ваду (13) .відображення (7) е

.... М

де Лп - розв’язок різницевого рЬнкіїШЕ (8) о початковими умовами (9).

Іккіш чином, одержано точніш ацалігії’іаия вираз для границь області ісйувіішиі притягуючого циклу періоду п виду (13) відображення {7): ■ • • • . ■ т, ,, ч „ „ ,1 4„ + тііп_і -т тг(«І»-і+І) і

" " •0< Ш < 2’ «!*_! -ап~ т»(- 1)п-і <9<~ 4+1 + (-1)»гп"+'5

• •- (П)

где и = 3,5, б....

На малюнку показані області П„ в площині параметрів І — 2т і р' ■-

У четвертому параграфі досліджу і ия питаная про існування та структуру хаотичних ахрздгорів дткшічцої системи, що породжується відображенням у випадку, коли (1,р) $ ІІ„, п — 3,5,6,.... Дослідження тгролрдеяо о тяпгорпегапням обчислювального експерименту та мапипшої графіки. Прп перетині кривої (5, п) точкою (/,;>), цикл у„ вгрзкяі стійкість тати чином, що одпн з мультиплікаторів дятлу проходить через -1. Детальне дослідженая структури притягуючої мло-, жили, що народжується в результаті цісї біфуркації, проведено у випадку п — 3. . . .

Теорема 2.8. При (І,р) Є (8,3) а трактором динамічної снстемгцщо дароцжуегься згідобрвгковш Рі,г, е цикл відріоків періоду 3: Р(-({.4*,/г*1), і^р{(,4',,В*])}, ИО прятггуе до сббе псі ТОЧКИ О І?, хрНі топск мясшгой Жідагіа. Кокиз то'гка сідріагів [Л5,ВоЗ> Ді>Ио>А)]> Щ, ((45, в;)), крій точок пнкяу 7з, е періодячиоїо періоду б відображення

р<*- ■ : ' : . ■' ' •/'. V ■" ... •

У формутоаанні цієї теореми втюрастаяі такі гюааачеяй£ та ао-'

(*,»)€/і, ^{х,у)ЄІі}, (18)

де С\{1,р) - пряма, ідо проходить через точку 0і{яі,*і)> паралельна власному напрямку, що оадається вектором ді = ^1,(2 + і)/(2 - і)^, ике відповідає мультиплікатору = —1 відображеная і^р в точці О і. Під множиною Жюліа розуміємо оамішшая шюжшш точок з і?', що породжують нестійкі ПО Ляпунову траєкторії.

Ситуація істотно змінюється, якщо точка (1,р) мине біфурхаційне оначешія, тобто коли в точні 0і(*ь.гі) мультиплікатор відображення буде дорівнювати Аі = -1 - £, 0 < є < 1. Так як другий мульти-

плікатор Аг по модулю меншим 1, то точка Оі (*і, її) є сядаовою. Нестійкий многовид точки 0і(хі,хі) під дією РІ*р~неперервна ламана ваду

їП“ = и»о^([Ло,До!), (19)

де [Лс.Во] 6 £і{1,р), Сі(І,р) - пряма, що проходить через точку О і, паралельно власно;,;}’ напрямку, хцо віддовідає мульїішшкатору Аі; Вц £ бо *- {(ж, у) Є В2: у = Ь,х < 6}, А0 « ^(і?о)- Відрізка, що складають нестійкий многовпд \¥“, можуть перетинатися, тазе як відображеная $),г невоаемноодшкшачне.

Позначимо

Мі~Щ\\УЇ, М3 = Я^Мі), Мг * РЦМх).

Теорема 2.9 ПрИ значеннях параметрів І і р таких, що Аі = -1 -е, 0 < є < 1, миожтіа М3г3 і* <=» Ц*„}Мі Є хаотнчнай атрагтор ди-памічної системи, що породжується відображенням причому з

‘ є щші шіожіш пєрЕоду 3 • 2*, де к ііоже бути довільним натуральним числом, в залежності від Іі р.

При подальшій оміні пграметр'ш ци*я мяоашн Мзд.р періоду 3 *,2* біфуртуе в цвиг множин Мг##-1 періоду 3 * 2*-1 і т. д., нохя не іш-пвкве деяка одноов’язва притягуюча множина ЛІ*,|. Опасано стр^-ж-туру елементів пяхлу множна М$^ ва приладі вняаджу <:«1: М^-{Л<і>ьЛ^г,і,'Л^і,і^Мі^Иа12иЛ4*>ї)»^1і,»и^и “ . і «1Г5. ТЬяояо-

гічно жожаа множина Мф і *° 3, 3,} » 1,2, *вя*е собою яеаереряяу ламану о аанторовіА» Мважжаою їочої евмоперетайу, Що с*лада«*іей а’’жанторової множная відрізків* (тащо розгяляутй будь-яку січву «іеї

множин, то множина топок перетину є ніде не щільною шюишноіо.що містить канторову підмкомишу).

Досліджено аагаяьшш випадок я = 5,6,, для якого введено позначення . .

Мі = Г,1е ^1% ' пестііікпіі многовпд будь-якої точки

циклу 7„, « = 5,6,... під дією •

Прн значеннях параметрів !,р таких, що Аі = —1 — г, 0 < є <<

1, де Аі - один о мультиплікаторів відображення. Р/‘р у точці шіклу 7„, ті — 5,6,..., мпожпна ^п,гп=и/'=і ^■' є атрактор дннамічої системи, що породжується відображенням Гі ру причому Мп;ы - цикл множин періоду 2п.

При подальшій аміні параметрів, елементи никлу множин Мп,і„ періоду 2п попарно алпваються, утворюючи цикл множин Мп,п періоду гг, після чого зливаються о одноов’язну прнтягуючу множпну М.„у.

Проведні дослідження дають омогу зробити висновок, що для динамічної системи, що породжується відображенням в нагальному випадку має місце така послідовність біфуркацій атракторів:

7і => 7з => (М^к =*> Мг,гу-' =>■■■=> Мг,ї => М%.\) =>■

=>• 75 =* (Мі,5 2 => Мь,ь =► Мі,і) =>• 78 =>- (Мь,б-2 => => Л^в.і) =>

=> .. - =ф- уп ^ (Ліщ2п Аіц,п ^ •Мп,ІІ 7п+1

де А може бути будь-яким натуральним числом, що залежить від 1,р.

В п’ятому параграфі наведені деякі аналітичні та чисельні результати для несиметричного випадку (с ф 1), коли відображення, що вивчається, має вигляд (6). Як і в спметрпчном випадку, біфуркація втрати стійкості циклу уп має наслідком народження притягуючого циклу М хаотичних множил подвоєного періоду 2п. Встановлено, що структура елементів Циклу М визначається значеннями мультиплікаторів /4,/4 відображення в деякому охолі напівпрямої 0» = {ж < Ь, у = Ь}. Мають місце три Можливості: І) якщо < 1, < 1, то відбувається

звичайна біфуркація подвоєння періоду 7„ Т2п> і множина М е цикл подвоєного періоду 2п; 2) якщо \р\\ < 1,|//2| > 1, то структура елементі» циклу М аналогічна симетричному випадку: елементи циклу М-це множина типу странного атрактору; 3) у випадку, коди |/<',| > 1 и (#41 > 1) структура елементів циклу М буде іншою: кожен елемент циклу М е так ована хаотична область (містить відкриту підіятожину іа

і У шостому параграфі другої глави паведеві приклади графіків розО’яо-кіп різницевого рівняння (5) в залежності від значень параметрів 1,р і с.

У третій главі досліджується різницеве рівняння другого порідку а неперервним аргументом

*(* 4- 2) - -L-(/e(*(*)) + fa(Y~4t +. т< *е>, (Щ

де /„(.).•) = ах (І — а;), о > 0, с > 0. Поведінка розв'язків г({) рівщшші (20} прп t -* ос визначається поведінкою траєкторій давамІ'іцоа qj-стемя, що задається відображенням

ММлі/.И+Ш)) ■ *>

У першому параграфі доейдокоао питяке* про стійкість та Щу$-кііції верухшої 'єочки (?o,lv) відображення (2Т) п оалежності, гід оМ»-чстіь Я8раи»трі» «і с. В пагшуші jtapawtvipfc одержало точний о&я&Ш-длїїй дай стзїіаосхі то**іс*і ) J'S) ^ ?

npit перетині ш>ї відбуваються тяхі біфуркації: 1) я;що с то зідбуЕабтмд біфуркацій їіьр&ШшЛ жрухшої їх>%ш 2) &$$}

с Є [йй,оє), то пра юідсутпосї! склщото рсзояансу;(1іЙ,1;3 аіїо KpQ, tpf місце біфуркаціє Елродйеїюг кеа^іатвоТ £роШ Ь ірраціональним «гас/иді оберімиіа. Яри ішіаіості сііяькЬгй р^а&йа&су маємо *жорИї*у" йгрйзу «з-Шжіі и«ру&аМ wjsk. 'Геэлжзйй^'г^-аадох 1:3 рош'шшуто дйхаяьйй - fcla ttfese Црв с — ?•. , . .

У другому аар^рафі зШуїйві иерєбудоіш фгшоЗйГй lisjHtpesy 0“'U?!* ■‘.шо* сксїєші н сішеїраг'ійоліу &1дйДк^'(й й» t}, J»aa й!добра&£йй& П.С uae юігллд

■ <*

ІЬорема 8.2. Відображеная #І. має дві верухомі Tomte ^5%, ifo) ц {І'1- 1 /й,х - 1/а) 5 (і4*Кб) “ (0і0}‘ ІЬчжа {*#*!(#) в ttp«rsry»4eto «рй 1 < в < 4 і &3дшмвхутйй нр« d > 4} *o<ete (z'0l^) « відагїовхуйопсіо ари л> 1/&

ibopena a.s. Відобрйясввйй ft t$* а > і 4 2V5*&* j^a і****#

іафіПЬі- :v ■: ‘ '•.• ’ . ... ’ . • • .

* tii.'

а+ 1 Wa2 - 2а - 7 *»■*“---------------------.

Цикл 7j притягуючий при 1 + 2,Д < а < а* і сідловпй при а > а‘; цикл сідловпй при а > 1 + 2\/2. Інших циклів періоду 3 відображення не має.

З теорем 3.2 і 3.3 виплпвае, що прп 1 4- 2%/2 < л < 4 для відображення Fa мае місце мультпстабільність: атракторадш системи е нерухома точка (*0) Vo)» цикл 7І періоду 3.

Обчислювальний експеримент свідчить, що подальше ускладнення фазового портрету при збільшенні значення параметру а йде через каскад біфуркацій подвоєння ппхлу з подальшим утворенням хаотичного або регулярного атрактора. Перша біфуркація подвоєння періоду дшслу має місце прп в = а* и 4.18.

Механізм біфуркапій подвоєння е одповнмірннм в тому розумінні, що реалізується на деякому одновпмірному многовпді. Це мас місце завдяки невзамнооднозиачності відображення, в сплу чого зміна одного із мультиплікаторів циклу від 1 (прп народження) до —1 (при втраті стійкості) може не супроводжуватися виходом мультиплікаторів у комплексну площину, що обов’язково буде для дпфеоморфізмів.

У третьому параграфі наводяться приклади графіки розв’язків різни-' цевого рівняння в належності від значень параметрів а і с.

Основні результати дисертації опубліковані в роботах:

1. Майстренко 5В.JL, Майстренко Ю.Л., Сорока И.А., Сушко И.М. Ди-

йампка решешга разностных уравнений с двумя отклонениями // Тез. ІІВсесоюз. конф. "Нелинейные колебания механических систем”, Горький, 11-13 сект. 1990 г.-ГЬрышй, 1990 С. 103-104. ,

2. Maistrenlco V.L., Malstrenko Yu.L., Soroka I.A., Sushko I.M. Dynamics

of the nonlinear difference equations with two deviation // Abstracts of . the ХЇІ Intern. Conf, on Nonlinear Oscillations.-Cracow, 2-7 th September, 1990.-P. 97-98. V . . .

3. Майстренко В.Л., Майстренко Ю.Л., Сушко Й.М. Об одном нєпзапм-ноодйозначном отображении плоскости, Возникающей в радиофизике.

- Кпев, 1992. - 34 с. - (Препр./АН Украины, Ин-т математика; 92.2).

4. Майстрепко В.Л., Майстренко Ю.Л., Сушко И.М,, Аттракторы кусо-

чнолпнейнмх отображения прямой и плоскости.- Кпев, 1992.-* 55 с.* (Препр. /АН Украины. Йн-т МЕ.гематики; &2.33). ,

И