Строение, асимптотика и сведение специальных развязок системы линейных дифференциально-разностных уравнений с с заниженным или ослабленным аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

і, *, ^

київськім уііівкрситет імамі тараса шивчша

па прагпк рукопису

АЗІЗОВ ГЛііРАТ

іюадовл, асімш'от!!;« і звкдёшш сшцішшх ризв"найй

СіКЛ'КМИ ЛІНІШЖ ДЦІЕГЕЩЇАЛЬНО-РЇЗНИЦЕКІХ РІВНЯНЬ З ЗЛШЗКГУСМ АБО ЗІДХШІШАІШ АРГУМЕНТОМ

01.OI.O?. - диференціальні ріпнлмнл

A it 'Г U Р S у її, Р А Т дпсерїячгї на ;>чоі).уттл sayitзлого "7.уі:енч кзцгіидчга фідшга-гт«тт»гпшх пт/п

Робота виконана на кафедрі "Вища математика та обчислювальна техніка" Каршинського аграрно-економічного інституту

Науковий керівник - доктор фіаика-математнчних наук, професор Валеев К.Г.

Офіційні опоненти - доктор фізпко-математичшіх наук, професор Мартинюк Д.І.

- кандидат фізико-математнчшк наук,

\сгарші і науковім співробітник Колсмієць В.Г.

Провідна організація - СанктІІетериургзькиіі університет

Захист дисертації відбудеться 1993 р

__________год на засіданні спеціалізованої ради К Оьй.іб.П

у Київському університеті імені Тараса Левченка за адресов: 2Ь<іІН'/, .м.Київ, проспект акад. Глушкова, б., ме/аніко-нате-мат ич іін: і фа кул ьт ет

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці .університету, в.ул. Володимирська, 62

Автореферат розісланий "і* Р- 1993 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради, доктор фіз.-мат.наук, професор

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ .

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена актуальній темі - теорії диференціальних рівнянь з відхильним або за-гаювальним аргументом, зокрема, побудові спеціальних рішень, які . описуються диференціальними рівняннями без відхилень аргументу, доведенню асимптотичного.характеру спеціальних розв'язків і зведенню диференціальних рівнянь з загаювальним аргументом або рівнянь нейтрального типу. Цій темі присвятили свої роботиО.Д.Мишкіс, Л.Е.Ельсгольц, а також багато вітчизняних та закордоні«: вчених: М.В.Абзелсв, Р.Беллман, К.Г.Валєєв, В.1.Зубов, U.C.Колесов, М.М.Красовський, Д.Î.Мартишок, Ю. О.Митропольський, Ю. І.Неймарк,

В.0.Носов, П.С.Панков, Б.П.Разуміхін, В.ІІ.Рубанік, Ю.О.Рябов, А.М.Самойленко, В.1,Фодчук, Дж.ХеЯл, С.М.Шиманов і багато інших.

В дисертації досліджується стійкість рішень системи диференціальних рівнянь я загаювальним аргументом, а також системи диференціальних рівнянь нейтрального типу за допомогою попередньої побудови системи звичайних диференціальних рівнянь визначаючих асимптотичні розй"язки.

Знайдені умови достатні для існування і єдності існування спеціальних розв'язків, які вивчали в соїх роботах О.Д.Мгапкіса,

И.О.Рябова, К.Г.Валєєва, П.С.Панкова, В.Г.Уваров, С.М.Шиманов та інші.

В теорії стійкості ваісливу роль вирішуй принцип зведення А.М.Ляпунова, який дозволяє при досліджені стійкості розв'язків знижувати порядок досліджуваній роботі. Цій темі присвятили свої роботи Є.П.Бслан, Ю.О.Митропольськиіі, К.І'.Валєсв, б.І.Діхман, Г.В.Камєнков, 0.Б.Ликова, Ї.Г.Малькін, Р.І.Мєльніков, А.М.Самойленко,

В.0.Плісе і багато інших. В нашій роботі принцип зведення розповсюджений на системі диференціальних рівнянь з загаювальним аргументом

і—оямупл’їіпя 1552

і систем» диференіальних рівнянь нейтрального типу.

Мета роботи. Знаходження умов існування інтегрального много-виду спеціальних розв"язкір, знаходження способів їх побудови для диференціально-різнецевих рівнянь, доведення асимптотичного характеру спеціальних розв'язків, розробка принципа зведення для диференціально-різнецевих рівнянь.

Методика досліджень. В роботі використані методи функціонального аналізу. Введено банаховиіі простір С ?) функцій

обмеженого експоненціального росту при і -* і <» , .Для розв'язку операторних рівнянь використовується метод послідовних наближень. Досліджується збіжність метода послідовних наближень і доведені теореми існування та єдності за допомогою теореми про нерухому точку, Розроблено чисельно-аналітичні способи побудови спеціальної системи диференціальних рівнянь з застосуванням ЕОМ.

Наукова новизна. В роботі введено банаховиіі простір

С. функцій обмеженого експоненціального росту при

■i~*too вивчено властивості елементів простору і дано оцінку нормам лінійних операторів.

Знайдено умови існування і вказано засоби побудови інтегрального многовиду спеціальних розв'язків для диференціально-різнецевих рівнянь нейтрального тицу.

Доведено асимптотичний характер інтегрального многовиду спеціальних розв'язків для диференціально-різнецевих рівнянь з загаюваннями нейтрального тицу. '

Сформульовано і доведено принцип зведеній для диференціально-різнецевих рівнянь з загаювальним аргументом і рівнянь нейтрального типу.

Для лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами і постійними загаюваннями аргументу запропоновані чисельно-аналітичні методи побудови спеціальних розв'язків і зведень.

Теоретична і практична цінність. Дисертація маз теоретичний характер. Отримані а ні Я результати і розвинуті методи можуть бути використані для дослідження стійкості розв'язків диференціальних рівнянь з загаювальним аргументом і рівнянь нейтрального типу. '

кого інституту в I98I-IS92 p.p., на семінарі кафедри вищої математики і обчислювальної техніки Каршинського агрс-екоиоміч-гого інституту, семінарі кафедри вищої математики Київського державного економічного університету, ца республіканській конференції "Цоделированиа и иселєдопаїша устоіічипости процзс-еоз" п м,Кислі з 1992 р.

Публі;гиції. Оспоепі результати дисертації опубліковані в 7 роботах, список яких приведено в кінці автореферату.

Структура і об"пм роботи. Диезртація складається зі вступу, трісх глав, розбитих ¡із II параграфів, висновків, описку літератури, додатків, таблиць і програм.

Бібліографія п кліті ас 112 паГмзіг/ваяі--. Загальний об"см дисертації І59 сторінок. .

У вступі подається короткий огляд літератури по розгледуют в дчссрїапії ітагніїлх, пг«і одзно сбгруїиозана актуальні сі ь тзмп. Дасться короткий додятс» омі ату дисчргіції.

В першії глазі розглядапться способи побудови інтегрального тюго&пду спеці злмш розо"лчків системи диференціально-різне-різнань.

В § 1.1, зводиться лінійний норешнатій простір C^.j5,51) фунчцііі неперервний на всій осі і з нормою, визначеній

аміст дисертації

З-УсіМО J.'GHiirf \?'£

по формулі

И х(і) II - гпах{<*;6}} .

а= $ир \х'(&)вхр{-ы(М)]\} №ФІ• (І)

Доведено леми про норми з різними параметрами •

Теорема І.І. Лінійний нормований простір '

неперервних функцій Л'(г{) з нормою, визначенною по форм.урі (І) е повно».

Визначимо оператор по формулі ‘

х(4) = х (4 + т;) - .

&Т н II / >

Доведено, що Ц$г110- е (?>о)у //^1^=2 (Т<-о)-

Для оператора інтвізування і

!/., х(-і)~ 5 я?($)&.$ при С-¿>0' р>о

У

от рішана оцінка = /«ш1 М/>- ...

Нехай - вектор-функція з проекціями -Л-нопєревними на всій осі. Вектор-функції! К(І) належить простору

стК/, Г) , якщо при дечкюс О >0 ВЇІКОН.УСТЬСЯ нерівність

ЛхШІІіі)}, (і і- >'),

ІІХ(т!)ІІі £е*р{, (і*)') .

Норку в 0 М(^ /З У1) р-изначаумо ) , / '

:о формулі

¡ІХіЧ)Цс = мах {а; б}} а= $іф ¡Х(і)іхр{-<*(Р-і)}1 а= $чрІХ(-і)іхрІ~г> '--і')}!. ш

ІіГ с 1

і ^ ' \

Теорема 1.2. Для того, щоб Х(і)Є £ ^/,^7 > нзосхідио

достатньо, щогі Х-^(і) 0. (^- М) •

В [■ 1.2 наведені результати про існування і пойудог.у інтактних многоввдів розв'язку системи лінійних диференціальних івнннь з загаювальним аргументом

Р} Лк(-і)Х(і^ткСі))} І с (- ^ <*>) . (3)

Теорема І.З, Якшо для системи рівень (3) шінснані умови я неперервних матриць .

(4),

-гі і Те_{і) <- О ('10 при виконань,

ов;і

Л- -і -і

о & /С -і- «'ь - г , --Vу =? ц .

ьн *

І' / * / • ІЬ ' }

існує єдиний }юяв"иаок сніте»» (л) Л(?/ <= с? оі .

.іаданся початісояою уповод Х(о)~ Х0 •

Теорема І.б. Ивхаї дяд сигіока (З/ виконайі з/мзди (41 і

*::Р, і,'". У.)-

№0;

10 НерІВНОМ'І

А' -¿й

л и ц.

—- і. Є І и

К:п *• 7

відносно оі^ уз мають додатній розв"язок, то система рівнянь

довольняе умові К(о) ~ Ха •

Аналогічні результати доведені для Нелінійних систем днфа-ренціально-різнецевих рІВНЯНЬ.

В 5 І.З, шукаються частні розв'язки системи лінійних і нелінійних різнецевих рівнянь в просторі £} р} Р) • Отри-

мані висновки використовуються для побудови частних розв'язків системи диферокціально-різнецевих рівнянь нейтрального типу. .

Теорема 1.7. Нехаіі коефіцієнти системи лінійних різнецевих рівнянь •

, яке за-

Х(і)~ и'т .

' /£оО '

Теорема 1,9. Нехай коефіцієнти системи рівнянь (5) неперервні і задовольняють уморам (4). Нехай F({} неперервний на всій осі і f(Vj 6 (2 ^ (*!г j*jOiJ • Itexart відхилеїш аргумену Гк(-і) задовольняють .умовам

і, •••_, n).

Якщо виконуються умови

то система рівнянь (5) має єдиний розв'язок X (V J £ С і який коже бути знайдено методом послі -

повних наближень (б).

Теорема І.10. Нехай коефіцієнти системи лінійних рівнянь

і

х(і)=Р(1)+£№)Х(І+ТНсю

неперевні на всій осі ■£ і задовольнявть умопем

І(А(т)Ц-І <<к f ¡lBk(i)lßßK . (9)

htm р(і)б о) і відхилеїш аргументу Т%(і) задовольняють утіооаіі *

k*-t, "[,*) (io

t при r/>c?? >o виконані нерівності

-'ї9мовп«і*ня 132

*ы> * (П) то система рівнянь (8) мае єдиний розв"язок Х(і)Є Є Д,о) , Цей розв'язок може бути знайдено методом послідовних наближень

А'

х0 (і) во; Хн^ (І) - Р(1)+ Ак (І)хн (і+ТК &)]

(ЗІ ЪкФК(*+Тк(4)№ < №* &и Хщ (І).

' ^ (Сг1 9 К-+ЧЄ* '

Теорема І.ІІ. Нехай коефіцієнти системи лінійних диферен-ційно-різнецевих рівнянь

5ііг~- (із)

неперевні і задовольняють умові (9), а відхиленя аргументу Т(4) задовольняв умовам (10), Якщо при деякиху9>с? ,

виконані нерівності (II), то система диференціальних рівнянь (ІЗ) має сдиниіі розв'язок X (і) £ С * С /*> *

яке задовольняє умові х0°)=хо , яке може бути знаґідено методом послідовних наближень при розв"язКу системи рівнянь

гн)* 2:4к(і) х(і+ткв})+ х. 8,(і)(х*і ,

£=1 ІС-і. О

, х&)* X. - [ ■

Отримані результати узагальнені для нелінійних дифєренціально-різнецевцх рівнянь. '

В § 1,4, розглядається лінійні диференціально-різнецеві рівняння а постійними коефіцієнтами і постійними відхиленями аргументу. Будується система лінійних диференціальних рівнянь без відхилень аргументу, яка описує спеціальні розв'язки. Виведені матричні рівняння, які визначають цю систему і знаіідено умови збіжності метода лослідовііих наближень для розв'язку матричних рівнянь.

Розглядається система диференціальних рівнянь

¿хИ) я ... Л ’ ¿¿(і*?*) Л

сіі

'= Кх(і)+^Л'4!^*Т-Ь№т,) їм.

і шукається інтегральний многовид розв"язнів системи (14), які е розв'язками системи ріенянь

аха) (І5)

При цьому матриця Сі з розв"язком рівняння л/

Се ав^Х (\й + &ь) ЄХр{йТн} . ^

к* 4

Теорема І.ІЗ, Якщо ісцуе додатній роор"язок нерівності

та існує система рівнянь (Ш і матриця £ може бути знайдена

при цьому збіжним методом послідовних наближень

В § І.б досліджуються лінійні диференціально-різнецеві рівняти з зміними коефіцієнтами і зміними відхиленями аргументу. '

Теорема 1.17. Якщо для системи лінійних диференціальних рівнянь

то існус сім"л спеціальних рОпгГ'іІЗКІВ системи ШЗ), які є розв".«г каші системи рівнянь . '

^АМх(і)*ІЬак(і)х(ЬТь(і))

(10)

виконується нерівність

(19)

де позначено

(¿:0)

де матриця Ь(~І) є границе» рівноиірчо о:>іпюї гюс іт цсвності

лліриць > Д-

Аґ ■

\н(і)^а(4)*Х.АН)К(^%(Ц і); â'VUo,

Л- 1

S .

. yV*(sJJ-Е+$В„(и)К(и,^) d“ > ҐЯ--?/,2,'"Л ■і

Теорема 1.18. Нехаїі для системи дифяренціяльнс-різнецевих рівнянь нейтрального типу

виконана нерівність

/4 * рК A*zzei*fe +ЙАе V-»

де sfpHK&Ml, /¡г^рИК'Ш (k=w’,f')-

При цьому існує система лінічних рівнянь

й0!ф) <Е>

всі розв"язки якої s розв'язками системи а матриця

С (~é ) е границее рівномірно збіжної псслтдормості мттг:;ць

С у, (і) .Де

£ уЦ^О С (Ч) ~ S ^d^'h

'w ‘ y 4+L О K-l

ь'СУ■'Кй>;

' і .

+ /йн(и)К(Ч,4) ОІИ .

/ .

У другій главі здійснюється дослідження асимптотики розв’язків системи диференціально-ріанецевих рівнянь з загаювальним аргументом. .

В § 2.1 розглядається система лінійних диференціальних рівнянь з загаювальним аргументом

£ 4,юх«-т,т, <гз>

де виконані умови

ЦАе(^)Ц^ ¿к 7 <*>). (24)

Теорема '¿.І. Нкщо ддя системи (23) а неперервними коефіцієнтами і загашаннями аргументу виконані умови (24) і при деякому оі > О Л*

<УР + <2

к*і ' .

то існує система рівнянь і

й(4)х&

ВСІ розв’язки ЯК0Ї е розв'Язкоц Системи (23) і ден лрбого розв'язну Х=Н9Н) системи (£3) ІСКУ6 певний РОЗВ'ЯЗОК системи (25) тркиіі, ідо

Теорема 2.2. Нехаіі виконана .умова теореми 2.1. Для того, щоб був стійкий нульовий розв'язок системи (23), Необхідно і достатньо, щоб був стійкий нульовий розв'язок системи (26).

В § 2.2 вивчається система лінійних диференціальних рівнянь нейтрального типу

існує спеціальна система лінійних диференціальних рівнянь

всі розіз"лзки яко'Г о розв"язками системи (27).

Теорема 2.3. Нехсйї для системи рівнянь (27) виконується

для якої при виконані нерівності

де при виконані умови

(29)

умова (20. Тоді для кожного розв'язку Х=Хо(4) спот (27; існус розв'язок системи (29) Х=ХІ(І) пиконанс співвідношення (26) і виконана оцінка ниду

системи

%г-*згї№

В § 2.3 пропонується метод дослідження стііікості розв'язків систем ваду (23), (2?) за допомогою функцій Ляпунова, яка будується для спеціальних систем без загаювального аргументу (25),

У третій главі розроблюється додаток принципу зведення для дослідження стійкості розв'язків диференціально-різнецевих рівнянь загаювальним аргументом.

В 5 3.1 розглядається система лінійних диференціально-різнецевих рівнянь

а постійними коефіцієнтами і постіЯниш відхиленнями аргументу. Щдаеться інтегральний иноговид розв"язків Системи (ЗО) ваду

(29).

(ЗО)

(ЗІ)

Пропоцуда, шо при учг р для системи рівнянь виконані оцінки

(ЗГ”)

Теорема 3.1. Якщо для системи (ЗО) виконані оцінки (32), то при ¡уці < ' , де позначимо

&Ы**+УГ+6 /«, б£ \

*.’М, и=£икі,/‘£ік\\,

М, /=”шх

л' . V

Т-1Г ~

і

то для системи (ЗО) існує інтегральний многовид розв'язків, визначений системою рівнянь (ЗІ). При цьому матриця К(^і) . , Н(уи) аналітичні залежать від у**- при _/** о • Теорема 3.2. Нехай виконані .умови теореми 3.1 для системи

(30) з загаювальним аргументом при -&. £ О • При цьому стійкість нульового розв'язку системи (ЗО) рівносильна стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь

(31).

В § 3.2 вивчається система лінійних диференціальних рівнянь з загаювальним аргументом

£¿4 ‘ / иТ{

схт - і (33)

^рліітіі/хсс/т-^ а»).

- 16 - ■ ■ Припускається, що для неперервних матриць ■Ак(4) ^ 0^(4)

$к(4) ПРИ 4 Є (- <*) виконані умови •

ИфЫк, //Ш/^ К

а загаювання аргументу неперервні і задовольняють ^і.юва^ , ■

о е тк (і) і 4 ; /і - ІЖХК { С} , ( * = і, « Ы) . №)

Припускаєм також, що.фундаментальні матриці розв'язків рі%т) М(і,т) систем ди],еронцівльних рІВН-ЧНІ!

л^шх(і) > ¿у® шпяі)

задаБольинють слідушіш умовам

е(4-т) -Л(і~г)

Ц0,т)Ц^сае г Ші^Ціс^ (Л>оя€>о\ ^

При цьому знаіідено достатні умови існувшія спеціальних розв'язків із яких випливає, ио при достатньо малих значеннях

ІІ > О система рівнянь (32) має інтегральне.! ішогошід розв'язків, визначаюиігд системою рівнянії . •

~~~ с(4Ір)х(4)} у(4)-ч(4,м)у(^)

Зиаіідені рівняння для визначенії матриць СЧ 'ІҐЇ, і

досліджена збіжність методу послідовних наближень, яка віізна-час матриці С (і,у*) ,

ІІри цьому доведено, що любий розв'язок системи (37) експоненціально притягується до інтегрального многовиду (33), і стійкість нульового розв’язку системи (33) рівносильна стійкості нульового розв'язку системи диференціальних рівнянь (37).

- 17 - .

В § 3.3 розглядається система диференціальних рівнянь ' нейтрального типу

=8 amhf £ (e¿i)x(t:-rs(í))*x№(-T¿m.

Припустимо, то виконані умови (33)-(36), а тзко-ї

II &к (і)І!~'у<к (к = і ,"<v ; і є (- с*% оо) .

В роості она.їдені достатні умогш існування спеціальних ропи"чукіD, із яких виходить, що при достатньо малих значеннях система рівнянь (30) нас інтегральний многошід роав"язкіп, яі-іі’! визначається системою рівнянь виду (37). íігі:і цьому стійкість нульового роза"язку системи (38) рівносильно, СТІ “КОСТІ нульового рОЗЗ"ЯЗК.У системи диференціальних РІГІПНІІ виду (37).

В додатках розглянуто чисельні приклади побудова інтегр.vil-oí ¡х миогевидіп спеціальних роз«''язків, досліджується збі,-шість методів послідовних наближень і дослідгсусться стійкість р зв"яя-ків дяферонціальио-різивцеБ!я рівнянь, наводяться графіки і таблиці, а такот. програма па мові swfcAsic • -

Осітоокі результати дпсортсці.;ної робота відобргшіїі в у публікаціях.

Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Валее» К.Г., Азизов Г. Построение асимптотического интег- ' рального многообразия решений системи линейных диффзренциалышх уравнений с запаздывающим аргументом /ЛІзвестия АН УэССР, серия фаз.-иатаа. наук. 1986, - !? І5. - С.Ь-9.

2.' Валеев К.Г., Азизов Г, Со' асимптотическом xapsiCTope специальных рекенніі систеци линз иных дцфференциалыых уравнений с запаздывающим аргументом /ЛІзвестия АЦ УзССР, серия фиэ.-матем. наук, 1937 г- К‘ 6.-С.9-13.

3. Азизов Г., Валеев К.Г. Принцип сведения для дифїюренциаль-но-раэцосткцх уравнении. Деп. в-УкрІШІГОІ, 01.04.92, jf> 409-Ук 92.

4. Валеев К.£’., Азизов Г. Построение интегрального многообразия решений системи линейных дифференциальных .уравнений с отісло-ищ^щися аргументом. Деп. в УіїрІШНТЙ, 21.03,91., )/' 3!л2 - У к 91.

Б. Азизов Г. Численний способ построения интегрального5 многообразия решений системы лииоШик дифференг,из.льцік. ураг.няпиіі с отклон.шіакся аргументом. Деп. и УкрШШТИ, 01.04.92, !;■ 411-Ук92.

6. Азизов Г, Построение резони:'! окспоньнциальнзго роста eue-тска ди^рендоаяыик уравнений с отклоняющимся аргументом.

Доп. н УкрШ'ЛНЩ, 01.04.9?.., )i 410- Ук 92.

, 7. Азизов Г. Построение асимптотического интегрального мно-

гообразия рода ни :і сцст«4м липєіінцх дифференциапыю-разноетшп уравнений нейтрального типа // Тезиси докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости процсосоз" Ч.І. Киев, 1992,-стр. 4-5.' •