Структура киральных солитонов в модели Скирма тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

£,1-2 93

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВШХ! И ТЕМИЕСКОЛ ПОЛИТИКИ

РОСЖСКОЛ 2ЕДЕРАИК1

РОССИЛСШ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

ПОТАПОВ Михаил Викторович

УДК 539.12.01 : 539.171.017

СТРУКТУРА КИРАЛЬНЫХ сшштонов В модыл СКИРМА

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

—— ГОС^'. .....

^'•"'Л | БИБЛИОТЕКА

Работа выполнена на кафедре теоретической фгаики Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель:

кандидат фгаикр-матеыатических наук доцент Рыбаков Р.П.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,профессор Дубовик В.П.. • . кандидат фыэико-математических наук Копелиович В.Б.

Ведущая организация -Научно-исследовательский институт ядерной фгаики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Запита диссертации состоится ШиОрЛ/ЬЛ- 1993 г. в

^час .Ойош. на заседании специалхэировашогосовёта К 063.22.01 в Йэоснйском университет» дружбы народов по адресу 117302, Москва, уд. Орджоникидзе, д. 3, зал N1 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу : 117198, Москва, ул. Мик-лухо - Макпал, д. 6.

у

Автореферат разослан /Ли^^й 199Зг.

———у —

Ученый секретарь слециалнэяроваяяс-го совета кандидат фгаико-математических . „. •

наук,доцент ~ С.И.Эапарованный

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной физике ядра и элементарных частиц проявляется большой интерес к топологическим моделям, в рамках которых можно определить сохраняющиеся величины, не зависящие от динамических уравнений. Особое значение имеггг модели, рассматривающие в качестве координатного многообразие с реалистической размерностью - IR3'1. К последним относится и модель Т.Х.Р.Скирма (МС), задающая отображение К3» S? * SU(2) Ш. Однако в течение долгого времени (около 20 лет) внимание исследователей было сконцентрировано, скорее, на математических аспектах этой теории. Важным этапом развития МС стало появление в начале 80-х годов работ т'Хоофга и группы Э.Виттена, способствовавших выяснении физического смысла скирмовских конструкций.

Т'Хоофт рассмотрел лагранжиан МС в качестве эффективной лагранжввой плотности, получаемой из квантовой хромодинамики (КХД) при предельном переходе к бесконечному количеству цветов N 12). В свою очередь, Э.Виттен с соавторами предложили кон-

с '

структивныЯ способ квантования коллективных ротационных возбуждений сферически-симметричного классического решения ("ежа") 13]. Возникающие при этом нетеровские токи позволяют рассчитать статические наблюдаемые ■ рионов: среднеквадратичные радиусы, магнитные моменты. Результаты вычислений отличаются от данных эксперимента в среднем на 15%. Для упрошенной модели сильных взаимодействий, работающей в пределе низких энергий, указанные ошибки являются приемлемыми. Однако для данной задачи остается нерешенным целый ряд проблем. Среди них - вопрос о способе генерации ротационных возбуждений. Часто .спользуют "закрутку" главного кирального поля модели, описываемую заменой UCгЗ *■ U Сг.О - А*(О UCiO ЛСО, где UCrJ - "ежовый" анэац, АСО -

rot

матрица из группы 9U(2), которая выводит, на что было указано в ряде работ (например, [41), полевые функции из класса решений уравнений дьижения исходной модели Скирма. Чтобы исправить ситуацию, необходимо учесть деформацию классического солитонного профиля, приобретающего при вращениях аксиально-симметричную

структуру. Возможный подход к решению этой проблемы был предложен в работе В.Б.Копелиовича J5).

Другой быстро развивающейся областью приложения МС является является глубоконеупругое рассеяние (ГНР) заряженных пептонов на нуклонах. В частности, МС эффективна при определении нуклонных структурных функций и суммы Готтфрида Sq. Бели в ранних работах по этой тематике использовалась непосредственно плотность топологического заряда, то в недавней работе С.Форте [6] был продемонстрирован более реалистический подход, основанный как на анализе нарушений иэоспиновой симметрии, так и на изучении неинвариантного поведения кварковых распределений при преобразованиях иэ группы большого спина К. Однако и в процитированной работе не учитывается фундаментальное различие процессов, происходящих при низких энергиях и в ГНР. Бели первые могут бьггь описаны вполне удовлетворительно с помощыз равновесных термодинамических величин, то последние требуют применения новых подходов, не использующих представлений об адиабатическом характере процесса рассеяния (примером такого подхода может служить работа 171). При этом выяснение роли киральной симметрии в ГНР оказывается весьма далеким от своего завершения.

Не менее актуальными в настоящее время остаются исследования структуры подстановок, минимизирующих энергию в классическом варианте МС, не связанные с приложением модели к конкретным физическим ситуациям. С интересом были встречены работы группы О.П.Рыбакова, в которых доказывается наличие сферической

симметрии у решений в случае <3 = 1 18], аксиальной - при Q > 1

в в

[9]. Не так давно Н.С.Мантоном была рассмотрена реализация модели на сферическом и гиперболическом координатных пространствах (101. Я.Иосонг изучал зависимость значения энергии при обобщении киральных функций на случай римановых пространств произвольной размерности Н *■ N С11]. Представляют интерес и попытки объяснения зависимости значения функционала энергии от величины топологического заряда для класса сферически-симметричных подстановок при U < 10, полученной В.П.Нисиченко и Ю.П.Рыбаковым в числен-

ньи расчетах [12,13]: £ = fl •CQ + 1> Е / 2, где Е , Е суть Q в в 1 Q \

энергии подстановок с барионными зарядами, равнши Q и 1 Тре-

в

бует изучения связь этой зависимости с оценкой величины Е снизу при <2в оо, содержащейся в работе Е.Б.Богомольного и В.А. Фатеева [14].

Таким образом, исследование структуры киральньн решений модели Скирма является актуальным, так как его результаты могут быть использованы при интерпретации современных экспериментальных данных (для низких энергиях и ГНР) и при построении более совершенных версий НС.

Цельо диссертационной работы является исследование структуры киральных солитонов модели Скнрма путем:

- получения уточненной оценки, для энергетического спектра сферически-симметричных скирмионов с зарядом Q ;

в

- исследования применений специальной пробной подстановки для случая ненулевой пионной массы;

- построения деформированного скирмионного профиля и изучения схем расчета статических наблсдаекых нуклона и Д-реэонанса при квантовании коллективных вращательных возбуждений этого профиля;

- использования структуры функционала энергии модели Скирма при теоретическом анализе данг х экспериментов по ГНР.

Научная новизна работы.

1. Предложи сферически-симметричный анэац для модели с нетривиальной пионной массой, поэволяший получить нерасходяшуюся изо-скалярную плотность для барионов. Значение 'функционала энергии на нем отличается от значения И на чу пенноы решении менее, чеы на 0.4%. Разработан и применен метод, позволяющий находить на основе аналитических вычислений значения интегралов от широкого класса подынтегральных вырагений вида : (0')' sinJG г* cos10, где

1, j, k, 1 е (-2.....8).

2. Получено "»цразвние для оценки снизу значения функционала энергии модели Скирма на сферически-симметричных подстановках при Йв 5 1, основанной на использовании информации о точках г^ ;

в(г ) « 1П, где О < I < О .

1 В

3. Предложены две схемы расчетов статических наблюдаемых нуклона и Д-реэонансг ка основе квантования коллективных врашательных возбуждений деформированного скирмиока, в результате применения которых обнаружена тенденция к улучшению соответствия результатов численных расчетов с данными экспериментов по сравнении с твердотельным квантованием классического скирмиона.

4. На основе использования структуры функционала энергии модели Скирма (11 в рамках метода континуума температур [7 3 предложен вид функций распределения для валентных и, с2 и морских кварков, рассчитана структурная функция протона разность - и отношение Г^ /Г^ нуклонных структурных функций, значение суммы Готгфрида, а также вклады распределений валентных и морских кварков в полное импульсное распределение для протона.'

Практическая и научная ценность работы заключается в том,

что:

1. на основе предложенного анэаца для случая нетривиальной пион-ной массы и соответствующего метода расчета интегралов можно быстро вычислить значения энергии и моментов инерции, нахождение которых требует, как правило, значительных затрат времени;

2. для произвольного сферически-симметричного анэаца (в случае нулевой пионной массы) на основе предложенного неравенства можно оценить снизу величину энергии, не прибегая к сложным аналитическим или численным расчетам;

3. проведенные вычисления свидетельствуют в пользу гипотезы о деформации скирмиона при рассмотрении его ротационных возбуждений, что позволяет расширить список критериев отбора при построении уточненных версий модели;

4. успешное использование структуры функционала энергии модели Скирма при проведении расчетов нуклонных формфакторов дает дополнительную информацию, необходимую для выяснения глубинного физического смысла коммутаторного члена модели Скирма.

Апробация Результаты выполненной работы докладывались на XI, XIII, XV Международных семинарах по физике высоких энергий и теории поля в г. Протвино (1988, 1990, 1992 гг.), на XI. XIII конференциях молодых ученых РУДН (1988, 1990 гг.), на XXVI, XXVIII научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (1990, 1992 гг.), III конференции НУЦ физико-химических исследований РУДН (1990 г.), семинарах кафедры теоретической физики РУДН, семинаре ОТФВЭ НИИЯФ МГУ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения и включает, в том числе; 7 рисунков, список литературы из 127 наименований. Объем диссертации составляет 128 страниц машинописного текста!

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:

Во введении кратко описан процесс становления и современный статус модели Скирма (МС), формулируется цель работы, обосновывается актуальность темы и излагается содержание диссертации .

В первой главе. в § 1.1 рассматриваются симметрийные аспекты МС, связанные с добавлением в нелинейную ег-ыодель скирмов-

ского коммутаторного члена [L ,L )г, где L ■ V*д U, V » ехрИв

2 а ^ ^ 1 Р Я

пл.), п =1, т - набор матриц Паули, и члена, пропорциональ-

2 2

ного квадрату пионной массы: (m^/X )(1 -соs в). Та« гэ предлагается при построении киральных токов использовать неоднозначность представления оператора Лапласа, входящего в уравнения движения. Он может быть выражен как через оператор трансляции Р, так и через оператор нелинейных конф даых преобразований К. В § 1.2 изучается возможность получения коммутаторного члена скир-мовской лагрантевой плотности и высших . степеней по киральньш токам в обобщенных моделях путем "слабого" изменения масштаба в алгебраических тождествах Маурера-Картана, Бианки и в закона сохранения - дологического тока. В § 1.3 предлагается явный вид радиальной функции "ежового" анэаца Скирма для случая нетривиальной пионной массы:

г-Ж 5

6(r) « г arcctg fx (С/ + Ьхгт + хг(1 + 6хг) J)1 хгJ, х = г/а,

где а. Ь - свободные вариационные параметры. В § 1.3 указывается таш» на возможность представления отдельных слагаемых в выражении для энергии и моментов инерции через табличные интегралы и производные от них по параметрам, входящим в подынтегральное выражение. Количество таких производных, необходимых для вьгчис-

1 i 1с 1

ления выражений вида (в ) sin в г соs 0, где i, j, k, 1 е (-2.....8), может быть велико, поэтому были использованы возможности пакета программ REDUCE для проведения аналитических вычислений на компьютере. В примере, содержащемся в этом параграфе, проиллюстрирована работа предложенного метода для вычисления одного из слагаемых, входящих в выражение функционала энергии.

В § 1.4 приводится вывод неравенства, позволяющего оценить снизу.значение функционала энергии на сферически-симметричных подстановках при Q >1. При этом используется воэмож-

в

ность масштабного деформирования Q-скирмионной конфигурации, функциональное отображение для которой задается ¡2экземплярами (листами) изотопической сферы ^ и ^ экземплярами компактифицированного координатного пространства S3 (¡R3 *■ S3 ) . Суще-

Sp Sp

ствование периода п для киральной функции 6 (в S^) и для компактифицированной координаты' обусловлено структурой функционала' энергии. Наличие периодов позволяет непрерывно сшивать последовательные листы в координатном, а также изотопическом пространствах . Масцл'абные деформации Q-скирмионного анзаца приводят к увеличению значения функционала энергии, задаваемого на этом анэаце. Вместе с тем, такая подстановка после деформации может обладать более высоюй (дискретной) симметрией, чем произвольный

сферически-симметричный анэац с зарядом Q . Этот факт позволяет

в

оценить энергию Епоследнего через величину энергии скирмиона при Q=l:

В

2 Н(18 ) = 2 Q (1/с + с )Е /2,

1 i 1 В 1 11

где с - коэффициенты деформации скирмиона, принадлежащего листу

1=1,йв, получаемые при подгонке в координатном пространстве

О-скирмнонной конфигурации к произвольному оцениваемому анэацу

из класса сферически-симметричных подстановок с зарядом (2 . Рас-

в

смотрена возможность дополнительного нарушения симметрии кираль-ного лагранзсиана, заключающаяся в различии матриц II и 11^ в выражении для обобщенного кирального тока II* Показано, что это приводит к оценкам, пропорциональным квадратному коряв из полинома четвертой степени по заряду .

Во второй главе в отличие от распространенного способа генерации врашательных возбуждений скирмиона делается предположение о деформации классического скирмовского профиля ("елового" аизаца) при вращениях солитона, необходимое для согласования классического и квантового вращений солитона. Показывается невозможность введения (для Еыбрашюго класса аппроксиакацнй) малого параметра деформации сферически-симметричной подстановки, пропорционального квадрату угловой скорости "закрутки" солитона, так как это приводит к иэлучательному виду асимптотик киральных <5ункций и к соотношение и > щ, где ш - безразмерная масса пиона, противоречащему исходной гипотезе о малости безразмерной частот« вращения и. В § 2.1 предлагается подстановка, 'учитываемая различное асимптотическое поведение полевкх функций вдоль оси вращения и в плоскости, перпендикулярной ей. Такая подстановка свивается с более простой аппроксимацией при г таком, что = гс/6. На основе схемы квантования аксиально-симметричного анэаца, рассмотренной в § 2.2, и вытекающего из нее явного вида моментов инерции в § 2.3 обсуждаются два варианта оценочны:-: расчетов статических наблюдаемых нуклона и Д-реэонанса. В первом из них сделано предположение о том, что вращательное движение классического профиля при фиксации орбитального момента J, может изменять значение спина изоспина А - резонанса на величину При "этом наблюдаемые значения спинов и иэоспинов нуклона (статический скирмион с Л = 0) и Д-реэонанса (вращающийся анзац с Л = 1) получаются после квантования коллективнных ротационных возбуждений

исходных классических профилей я увеличения полного углового

момента на -. Во втором варианте ротационные возбуждения с cod-2 1 з

ственными числами - и сопоставляемыми значениям спина и изо-2 г

спина изучаемых Ларионов, рассматриваются на исходном аксиально-симметричном профиле. В § 2.3 проводится сравнение наших оценок о данными эксперимента 115) и предсказаниями классических работ по данной тематике (например, 133). Отметим, что наши оценки дают некоторое улучшение в предсказании значений магнитных среднеквадратичных радиусов и магнитных моментов по сравнению с вычислениями, основанными на квантованиии недеформированного "еяэ-вого" анэаца.

Третья глава посвящена использоваению структуры лагранжевой плотности модели Скирма при параметризации эксперимента по глу-боконеупругому рассеянию. В основе нашего подхода лежит аналогия между свойствами сверхпроводящей фазы и промежуточного состояния процесса взаимодействия элементарных частиц при больших значениях переданного импульса. В Главе 3 выявляются общие черты различных фазовых переходов - испусканием нейтрона тяжелым ядром [16], переходом образца в сверхпроводящее состояние при отсутствии внешнего магнитного поля, характеризуемое наличием щели между основным и возбужденным состоянием, и фиксацией пионных фаз при спонтанном нарушении киральной симметрии. Мы получаем весовой множитель больцмановского типа, который используется для усреднения матрицы плотности одночастичной осцилляторной ямы а квазиклассическоы пределе. Усреднение производится по континууму температур, рассматриваемому в рамках одного из подходов к неравновесной термодинамика. Найденное таким образом распределение по импульсам, после перехода в систему бесконечного импульса, применяется для анализа экспериментальной ситуации в глубоконе-упругом рассеянии пептонов на нуклонах. В § 3.1 проводятся аналогии между ГНР и фазовыми переходами (переход образца в сверхпроводящее состояние, испарение нейтрона из тяжелого ядра в облако свободных нейтронов, окружающих ядро). В 4 3.3 кратко рас-с*„грено современное состояние теории (в частности кварк-

партонной модели) и эксперимента, связанных о ШР. В I 3.4 выводится явный вид структурных функций нуклона f^, аппроксимированных распределениями валентных и морских кварков. Для валентных кварков получена формула:

xix х) = х N еха. а II + 6 с х - х )2/ xt 1 - х) ]'/г

v v о

Здесь х = m /Н, 6 = Н/ат , И = m + Н значение а = 0.77 могвт

О v v с v R

быть вэято иэ анализа данных по нуклонным формфакторам, массы валентного кварка т^ и остатка WR, температура т^ и нормировочный множитель должны находиться при фитировании экспериментальных данных по структурным функциям.

Распределение морских кварков сопоставляется импульсному распределению, которое получается при удвоении числа степеней свободы, соответствующем рождению в море виртуальной пары q-q.

После перехода в систему бесконечного импульса мы имеем:

1/2

xSc х) - xN К (z)/ г , z = 16 х / (1 - х)] s i s

в пределе а *■ 0, m >0, т > О, интерпретируемом в нашем под-

V с

ходе как переход к физическому вакууму. Ns и находятся при обработке экспериментов по ГНР. В этом re параграфе приведены таблицы, содержащие результаты расчетов разности F^ - F^ и отношения F^ / F^ нуклонных функций на основе использования явной структуры функционала энергии модели Скирма. Наблюдается хорошее согласие наших предсказаний с данными последних экспериментов НМС, БЦДМС и работами СЛАКа. Рассчитаны эначениясуммы Готтфрида

[так для Q2 = 4 ГэВ2 S »0.258 (по данным НМС 1991 года S 3 о

0.240 ± 0.016)], вклады валентных кварков и, d ароматов и морских кварков а полное импульсное распределение, описывающее структуру протона.

В заключении приводится сводка основных результатов, полученных в ходе работы над диссертацией и вынесенных на защиту.

В приложении помещены графики зависимостей разности и отношения нуклонных структурных функций от х при (f= 4 ГЬВ2. На них нанесены теоретические кривые и экспериментальные точки.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Потапов М.В., Рыбаков Ю.П. К проблеме существования вращающегося солитона // Мат. XI конф. мол. ученых Ун-та др. нар.: мат.. фиэ., химия (15-19 марта 1988)/ УДН. - М., 1988. - Ч. 2. -С. 34-37. - Деп. в ВИНИТИ 01.07.88, N 5304-В88.

2. Потапов М.В., Рыбаков Ю.П. О существовании вращающегося скир-миона // Проблемы физики высоких энергий и теории поля: Труды XI семинара, Протвино, .5-9 июля 1988. - М.: Наука, 1989. - С. 236239.

3. Потапов М.В., Рыбаков Ю.П. Вращающийся скирмион // Гравитация и гипотетические взаимодействия. - М.: Иэд-во УДН, 1989. - С. 66-73.

4. Потапов М.В., Рыбаков Ю.П. Структура вращающихся киральных солитонов // Тез. III конф. науч.-уч. центра УДН. (20-23 фзвр. 1990)/ УДН.. - М., 199О. - Ч. 1. - С. 44.

5. Потапов М.В. Спин и иэоспин Д-реэонансов в SU(2)-модели Скир-иа // Теэ. XXVI науч. конф. ф-та фиэ. мат. и ест. наук (14-19 мая 1990)/ УДН. - М., 1990. - Ч. 1. - С. 32.

6. Потапов Ы.В. Структурные свойства нуклона и Д-реэонанса в Sl/(2)-модели Скирма // Мат. XIII конф. мол. уч. Ун-та др. нар.: мат., фиэ., химия (24-25 окт. 1990)/ УДН. - М., 1990. - Ч. 2. -С. 4-6. Дэп. в ВИНИТИ 13.02.91, N 748-В91.

7. PotapoY M.V., Rybakov Yu.P. Deformed solltons in the Skyrma model // Problems of High Ehergy Physics and Field Theory. Proc. of the XIII Workshop, Protvino, 9-13 July 1990. - M. : Kau-ka, 1991. - P. 234-238. '

8. Потапов М.В. Возможны! подход к обобщению киральной симметрии // Теэ. докл. XXVIII н.ауч. конф. ф-та фиэ.-мат. и ест. наук(18-25 мая 1992)/ УДН. - Ы., 1992. - Ч. 1. - С. 41.

Литература

1. Scyrme T.H.R. // Nucl.Fhys. - 1952. - Vol. 31. - P. 556.

2. t'Hooft G. // Nucl.Phys. - 1974. - Vol. B72. - P. 461.

3. Adklns G.S., Nappl Ch.P., Wltten E. // Nucl.Phys. - 1983. -Vol. вггз. - P. 552.

4. Kudrjavtsev A.E., Martemyanov B.V. Does the rotating chlral sol iters exist? - H.. 1986. - 10 p. - (Preprint / ITEP; № 9).

5. Копегаович В.Б. // Ядерная фгэика. - 1988. - Т. 47. - С. 1495.

6. Fortw S. The Gottfried sum rule and the slgma term: testing the flavour content of the nucleon. - Turin, 1991. - 15 p. -(Preprint / INFN - DFJT; 91/23).

7. Гранин А.Ф., ЕЬламов Я.Я. // Яцерная $яэика. - 1979,- Т. 29.

- С. 625.

8. Рыбаков Ю.П.// Проб.теории грав. а элем.част. Вып. 10. - М.: Атомиэдат, 1979. - С. 194.

9. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санпк В.И. // УФН. - 1992. - Т. 162. - С. 1.

10. Manton N.S. // Phys.Lett. - 1987. - Vol. В192. - P.- 177.

11. Yang Yiosong// J.Math.Phys. - 1989. - Vol. 30. - P. 824.

12. Rybakov Yu.P.// Proc.Int.Conf.NE2LS-92. - Singapore: Wbrld Scientific, 1993.

13. Нисиченко В.П., Рыбаков Ю.П.// Проблемы квант, и стат. фа.

- м.: Иэд-во УМ, 1981. - С. 49.

14. Богомольный Е.Б., Фатеев В.А.// Ядерная физика. - 1983. -Т.

37. - С. 228.

15. Dumbrajs 0. et а'.// Nucl.Phys. - 1983. Vol. В216. -P.217.

16. Гейэенберг В. Теория атомного ядра. - М.: ИЛ, 1953. - С. 106.

11

Надписано к печати. Объем 1,0 п.л. Тир. 100, вак

' —— ---

ТШОГРАФШ РОССИЙСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ДРУЖБЫ НАРОДОВ