Структура волн в реальной жидкости, содержащей пузарьки свободного газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ С

ПУЗЫРЬКАМИ ГАЗА.

§ I. Математическая модель газожидкостной среды.

§ 2. Стационарные решения нелинейных уравнений движения газожидкостной среды.

§ 3. Анализ влияния гидродинамической нелинейности и нелинейности уравнения состояния жидкости на стационарные возмущения.

§ 4. Заострение солитонов. Сравнение солитонных решений с экспериментом, с солитонными решениями уравнения Кортевега-де Вриза и двухволнового уравнения. Нелинейная дисперсия.

§ 5. Установившиеся волны с учетом поверхностного натяжения.

ГЛАВА П. СТРУКТУРА СТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СРЕДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ

ЖИДКОГО КОМПОНЕНТА.

§ I. Анализ стационарных ударных волн в жидкости с пузырьками газа с учетом нелинейности уравнения состояния жидкости.

§ 2. Влияние нелинейности уравнения состояния жидкого компонента среды на структуру ударных волн.

§ 3. Генерирование стационарной ударной волны движущимся поршнем.

ШВА Ш. СТРУКТУРА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН РАЗРЕЖЕНИИ

В РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.

§ I. Структура и эволюция волны разгрузки в задаче о распаде разрыва в реальной жидкости.

§ 2. Граница пороговой величины падения давления,-.'. вызывающего рост пузырьков до видимого размера.

§ 3. Взаимодействие нестационарной ударной волны со свободной поверхностью в реальной жидкости.

ГЛАВА 1У. ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ В

КАВИТАЦИОННОЙ ЗОНЕ ВБЛИЗИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ.

ВЫВОДЫ.

В настоящее время наблюдается большой интерес к проблеме распространения волн в газожидкостных системах. Это связано с тем, что газожидкостные потоки часто встречаются в гидродинамических процессах современной технологии и энергетики. Поэтому актуальность вопросов волновой динамики газожидкостных систем помимо чисто научного интереса обусловлена важностью приложений результатов исследования к проблемам энергетики, химической и ультразвуковой технологии, трубопроводного транспорта. Так, например, подавляющая часть процессов ультразвуковой технологии осуществляется в газожидкостных средах.

Как правило, исследования распространения волн проводятся в жидкости со специально созданными пузырьками газа, объемная концентрация которого относительно велика. Между тем известно, что реальная жидкость, например водопроводная вода, всегда содержит свободный газ в виде микропузырьков. При этом, согласно экспериментальным данным [l-з] , в зависимости от состояния воды, например, от времени отстаивания, ее газосодержание определяет

О (г ся следующими параметрами: радиус пузырьков 10 * 1СГ см, л то объемная концентрация 10 * 10 х . На этом основании в данной работе, также как и в [4, 5] реальная жидкость рассматривается двухфазной средой с начальными параметрами газосодержания, соответствующими вышеуказанным экспериментальным данным. При таких значениях газосодержания возрастает влияние жидкого компонента, его сжимаемости на параметры распространяющихся волн. Цель данной работы состоит в аналитическом и численном исследовании структуры волн в реальной жидкости с малым газосодержанием.

Модели динамического поведения двухфазной смеси жидкости с пульсирующими пузырьками газа в виде замкнутых уравнений движения предложены в [26-30, 48, 49, 61, 70] . Кроме того, в [14, 15, 31, 32] разработаны различные приближенные модели, описывающие движение газожидкостной смеси: уравнения Кортевега-де Вриза, Клейна-Гордона, Бюргерса-Кортевега-де Вриза, двухволно-вое уравнение. К настоящему времени на основе этих моделей проведено изучение акустических свойств жидкостей с пузырьками газа, а также исследование волн конечной амплитуды в смесях с достаточно крупными пузырьками газа.

Одним из аспектов исследования распространения волн малой амплитуды является зависимость фазовой скорости от частоты. Эта зависимость при распространении звука в воде с пузырьками воздуха экспериментально получена в [33] . В случае пузырьков одного размера.теоретическая частотная зависимость фазовой скорости [25, 7б] указывает на существование так называемого "окна непрозрачности". Учет пузырьков различного размера даже при отсутствии вязкости жидкости приводит к исчезновению указанной особенности и удовлетворительному согласованию теоретических значений фазовой скорости с экспериментальными [2ll . Обзор работ, посвященных исследованию распространения малых возмущений с учетом тепловой диссипации, а также с учетом других факторов, дай в [ 8] . Указанные теоретические исследования проведены на основе линеаризованных уравнений движения. Между тем принципиальной особенностью процессов, протекающих в газожидкостной среде, создающей значительные трудности для теоретического исследовании, является их нелинейность, проявляющаяся в виде нелинейности радиального движения жидкости вокруг пузырьков, гидродинамической нелинейности и нелинейности уравнения состояния жидкого компонента среды. В связи с этим представляет интерес получить дисперсионное соотношение для нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа и выяснить частотную зависимость фазовой скорости нелинейных периодических волн от амплитуды.

Совместно с сильной нелинейностью газожидкостная среда обладает высокой сжимаемостью. Сжимаемость смеси зависит от сжимаемости ее жидкого и газового компонентов. В основном она определяется сжимаемостью газовой составляющей. В некоторых работах предполагается, что влиянием сжимаемости жидкого компонента или влиянием гидродинамической нелинейности можно пренебречь. Имеются также работы, показывающие, что такие подходы в ряде конкретных задач вполне оправдывает себя, а результаты, полученные на основе этих предположений, согласуются с экспериментальными данными. В частности, если объемная концентрация пузырьков газа в смеси значительно превышает величину R>/Л С0 ( Р0 » » С0 - равновесные значения давления и плотности, скорость звука в жидкости), то, как отмечается в обзоре [в]' , при не очень малых длительностях возмущений сжатие смеси фактически происходит за счет сжатия ее газовой составляющей, т.е. плотность жидкой фазы можно считать постоянной. Для воды при

2 - ^ нормальном давлении величина ^о / Ра ^ о ~ 4 О .В отстоявшейся воде объемная концентрация пузырьков газа, согласно указанным выше экспериментальным данным, сравнима или меньше этой величины. Поэтому в данном случае необходимо учитывать сжимаемость жидкого компонента среды.

В реальных условиях проявление сжимаемости сопровождается , другими, во многих случаях не менее важными эффектами, такими, как вязкость, теплопроводность и т.п. Однако, если изменение состояния среды происходит достаточно быстро, за времена много меньшие характерных времен протекания диссипативных процессов, то свойство сжимаемости оказывается определяющим и может быть выделено и изучено независимо [9] . Поэтому для быстро протекающих процессов в газожидкостных средах определяющими эффектами являются дисперсия, нелинейность и сжимаемость. Аналитически оценить влияние гидродинамической нелинейности и сжимаемости жидкого компонента среды на нестационарные решения не представляется возможным. Поэтому представляет интерес получить точные стационарные решения бездиссипативной модели, учитывающей гидродинамическую нелинейность, нелинейность радиального движения жидкости вокруг пузырьков, нелинейность уравнения состояния жидкости, и выяснить это влияние на примере рассмотрения стационарных возмущений.

Точные стационарные решения, соответствующие сильно нелинейным пульсациям пузырьков, получены при отсутствии диссипации в [10, 16-18, 73 ] . В этих работах предполагалось, что движение пузырьков относительно жидкости отсутствует, а их число в единице объема смеси постоянно. Кроме того, в [10, 73J уравнения гидродинамики линейны, в [16, 17] жидкий компонент среды несжимаем, в [18] учтена гидродинамическая нелинейность и сжимаемость жидкости, рассматриваемая, также как и в [iO, 73] , в акустическом приближении. В [10, 73J на основе качественного анализа стационарных решений показано, что возмущения, скорости распространения которых меньше замороженной скорости звука, могут быть как периодическими нелинейными волнами, так и солито-нами. Стационарные возмущения, распространяющиеся со скоростями превышающими замороженную скорость звука, являются только периодическими. При этом зависимость давления от объема пузырька является линейной и имеет особенность, когда скорость распространения возмущения равна замороженной скорости звука. В частности, при стремлении скорости распространения солитонов к замороженной скорости звука амплитуда их неограниченно возрастает. То есть, при отсутствии гидродинамической нелинейности солитоны не имеют конечной предельной амплитуды. Существование последней для стационарных волн означает, что при достаточно больших амплитудах дисперсионные эффекты не могут "уравновесить" нелинейное укручение профиля волны, что приводит к ее опрокидыванию [7] . Отметим, что в [18] для стационарных решений получена связь между давлением и объемом пузырька с учетом гидродинамической нелинейности и сжимаемости жидкости рассматриваемой в акустическом приближении. Однако, как и в [10, 73 ] , она является линейной и содержит ту же особенность. Найденные в [16, 17] решения описывают волну разрежения [Хб] и сжатия [17] , распространяющиеся с постоянной скоростью без изменения формы. Анализ солитонных решений, выполненный на основе [17] , показывает, что, в отличие от [10, 73] , при отсутствии сжимаемости жидкости солитоны могут распространяться с произвольной скоростью, превышающей лишь равновесную скорость звука, т.е. с увеличением скорости распространения солитонов амплитуда их неограниченно возрастает. Таким образом, при отсутствии сжимаемости жидкости как и при отсутствии гидродинамической нелинейности солитоны не имеют конечной предельной амплитуды.

Как уже отмечалось, жидкость с пузырьками газа является нелинейной средой с дисперсией и диссипацией. Нелинейность, дисперсия и диссипация в совокупности обуславливают формирование в ней ударных волн. Одной из первых работ по исследованию распространения ударных волн является [76^ , в которой в рамках равновесной модели получены соотношения на скачке и найдена скорость ударной волны. В [77]отмечается, что вследствие инерционных эффектов, связанных с радиальным движением жидкости вокруг пузырьков, ударные волны должны тлеть переходную область, в которой за крутым фронтом скачка следует участок более медленного повышения давления до равновесного значения. В [81, 82] показано, что в жидкости с пузырьками газа могут распространяться осциллирующие ударные волны. Существование последних экспериментально подтверждено в работах [78, 79, 83] . В [19, 20, 80, 83] получены условия существования ударных волн с осцилляцион-ной структурой. Кроме того, в [19, 20] показано, что стационарные ударные волны, скорости распространения которых больше равновесной и меньше замороженной скорости звука, имеют непрерывную структуру. Ударные волны, распространяющиеся со скоростями, превышающими замороженную скорость звука, имеют скачок с последующей осциллирующей зоной релаксации. Однако, в указанных выше теоретических работах нелинейность, вызванная нелинейностью уравнения состояния жидкого компонента среды, не учитывалась. Представляет интерес поэтому выяснить влияние этой нелинейности на структуру стационарных ударных волн.

Наряду с волнами сжатия в жидкости с пузырьками газа и, в частности, в реальной жидкости могут распространяться волны разрежения, которые возникают, например, при истечении предварительно нагруженной жидкости, при отражении ударной волны от свободной поверхности, при импульсном разрушении жидких объемов, при излучении звука в жидкость и т.д. Одной из первых работ по теоретическому исследованию распространения волн разрежения в газожидкостной смеси является [1б] . Полученное в [1б] частное решение соответствует некоторому однопараметрическому закону движения поршня и описывает вблизи него распространение кавитационной волны разрежения, профиль которой не изменяется. В [84] при изучении эволюции прямоугольного импульса давления, образующегося при вдвижении и остановке поршня, обнаружено существование осцилляции в волне разрежения. Структура волны разрежения, возникающей в результате распада разрыва в газожидкостной смеси, в рамках односкоростной модели с учетом межфазного теплообмена численно исследовалась в [34] : по обе стороны от диафрагмы помещалась насыщенная пузырьками жидкость (с объемными концентрациями газовой фазы порядка процента). Приведенные в работе профили волны разрежения гладкие, но отмечается наличие осцилляций. Осцилляционная структура волн разрежения наблюдалась экспериментально в [60] . Параметры волны разрежения в зоне развивающейся кавитации в осесимметрично-й постановке для случая подводного взрыва сферического заряда вблизи свободной поверхности изучались в [4, б] . При этом как в [34, 84] так ив [4, 5] жидкий компонент среды считался несжимаемым. Как уже отмечалось, при изучении возмущений в жидкости с малым газосодержанием необходимо учитывать сжимаемость жидкого компонента. Поэтому представляет интерес провести исследования структуры и эволюции волн разрежения с учетом сжимаемости жидкости. В свою очередь, возникновение в жидкости растягивающих напряжений приводит к росту пузырьков и развитию кавитации. Возникновение пузырьковой кавитации в жидкости существенно меняет ее физические свойства. В частности, экспериментальные исследования звукового поля показали, что излучение звука в кавитирующую жидкость будет иным, нежели'излучение в однофазную жидкость, а именно, кавитация приводит к уменьшению интенсивности и сопротивления излучения, к изменению звукового давления как на излучающей поверхности, так и внутри кавитационной области при неизменной амплитуде колебаний поверхности излучателя [38-41] . Указанные экспериментальные исследования проводились в жидкости с малым газосодержанием. Так, например, в [зэ] использовалась дистиллированная вода. Учитывая лишь гидродинамическую нелинейность, изменение звукового давления, а следовательно, и искажение формы волны при кавитации изучалось в [85] на основе уравнения

-ац^^Й * d PJ

ЪХ ЪТ Ъг2 DZ3

С т> t-x/c., c«c0H + 2ffNR0CeVa)02)~' cuU-h^c2,

N - тшсло пузырьков в единице объема смеси, R0 - равновесный радиус пузырька, С0о - резонансная частота пузырька, £ - коэффициент затухания, ct - параметр дисперсии), описывающего распространение плоских волн конечной амплитуды в диссипативных и слабо диспергирующих средах [86, 87] . Структура волн, генерируемых поршнем, при наличии кавитации с учетом нелинейных колебаний пузырьков рассматривалась в [42, 43] . Таким образом, динамика кавитационной области определяет структуру результирующего звукового поля и накладывает ограничения на его параметры в связи с необходимостью затрат энергии на ее образование. Поэтому важным моментом решения задачи об интенсивном излучении звука в кавитирующуго жидкость является создание модели, позволяющей описывать указанные процессы.

Диссертационная работа состоит из четырех тлав, выводов и приложения.

В первой главе в рамках односкоростной бездиссипативной модели получены точные решения нелинейных уравнений движения жидкости с пузырьками газа без ограничения на степень нелинейности их пульсаций. Дан качественный анализ решений и выяснено влияние одновременного учета сжимаемости жидкого компонента среды и гидродинамической нелинейности. Приведено сравнение солитонных решений с аналогичными точными решениями линейных уравнений акустики и нелинейного уравнения Рэлея [l0, 73] . На примере рассмотрения солитонов выяснено влияние нелинейности уравнения состояния жидкого компонента смеси. Рассмотрен вопрос о заострении формы солитонов с увеличением их амплитуды. Проведено сравнение солитонных решений с экспериментом

12, 13] , а также с солитонными решениями уравнения Кортеве-га-де Вриза [14] и двухволнового уравнения [15] . Получено дисперсионное соотношение для нелинейных волн в жидкости с пузырьками.

Во второй главе дан анализ стационарных решений нелинейных уравнений движения жидкости с пузырьками газа с учетом вязкой диссипации энергии при радиальном движении пузырьков и выяснено влияние нелинейности уравнения состояния жидкого компонента среды на структуру стационарных ударных волн. В этой же главе рассмотрена задача о генерировании стационарной ударной волны движущимся поршнем.

Содержанием третьей главы является изучение структуры и эволюции нестационарных волн разрежения в реальной жидкости, исследования которых, ввиду малой объемной концентрации газа, проведены с учетом сжимаемости жидкости. Рассмотрены распад разрыва в ударной трубке с реальной жидкостью в камере высокого давления и газом (воздухом) в камере низкого давления и отражение нестационарной ударной волны треугольного профиля от свободной поверхности. В задаче о распаде разрыва анализируется также возможность возникновения видимой пузырьковой кавитации. В связи с этим в рамках модели одиночного пузырька в этой же главе исследуются пороговые величины мгновенно приложенных постоянных растягивающих напряжений, вызывающих рост пузырька до видимого размера.

В четвертой главе на основе двухфазной модели реальной жидкости, газосодержание которой соответствует отстоявшейся водопроводной воде, исследованы особенности структуры звукового поля в кавитационной зоне вблизи осесимметричного преобразователя.

В выводах сформулированы основные результаты, полученные в работе.

Диссертационная работа выполнена автором в соответствии с планом научно-исследовательских работ в лаборатории подводного взрыва Института гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО АН СССР в период 1978-1984 гг. Численный счет проведен на ЭВМ "БЭСМ-6" ГПВД СО АН СССР с помощью алгоритмического языка программирования "Фортран-Дубна". Результаты счета приведены в виде графиков, часть которых выполнена на графопостроителе " Benson"

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44-47, 74] и докладывались на П Всесоюзной летней механико-математической школе - семинаре МГУ по механике многофазных систем (Рыбачье, 1979 г.), Всесоюзной школе по гидродинамике больших скоростей (Чебоксары, 1980 г.), на выездной сессии Объединенного научного совета АН COOP по комплексной проблеме "Физическая и техническая акустика" по теме "Волны в средах с пузырьками" (Ленинград, п. Ольгино, 1981 г.), на Ш Всесоюзном симпозиуме по физике акусто-гидродинамических явлений и оптоакустике (Ташкент, 1982 г.), на Ш Всесоюзной школе - семинаре по физике взрыва и применению взрыва в эксперименте (Красноярск, 1984 г.), на X Международном симпозиуме по нелинейной акустике (Кобе, Япония, 1984 г.), на семинарах лаборатории физической гидродинамики Института теплофизики СО АН СССР, сектора механики многофазных сред Института механики МГУ, отдела гидродинамики взрыва Института гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО АН СССР.

В заключение автор выражает благодарность В.К.Кедринскому за руководство данной работой, а также благодарит В.Ю.Ляпидевского и С.М.Шугрина за внимание к работе и обсуждения.

выводы

Основные новые результаты работы состоят в следующем:

1. В рамках односкоростной бездиссипативной модели получены точные решения, описывающие распространение нелинейных установившихся волн в жидкости с пузырьками газа без ограничения на степень нелинейности их пульсаций. Дан их качественный анализ и показано, что учет гидродинамической нелинейности и сжимаемости жидкости приводит к существованию конечной предельной амплитуды солитонов.

2. В результате анализа влияния нелинейности уравнения состояния жидкого компонента на структуру стационарных ударных волн в газожидкостных средах показано, что учет нелинейности приводит к существенному уменьшению максимальной амплитуды волны, при которой происходит ее опрокидывание и образование скачка.

3. Найден закон движения поршня, генерирующего стационарную ударную волну в газожидкостной среде.

4. При исследовании в рамках двухфазной модели структуры и эволюции волны разрежения, возникающей при разгрузке реальной жидкости с микропузырьками свободного газа в камере высокого давления ударной трубки, показано, что возмущенное течение в разгружаемой среде расслаивается на предвестник и основное возмущение. При этом имеет место подобие течения сформировавшегося основного возмущения.

5. Показано, что истечение вскипающей жидкости имеет волновой характер, причем в релаксационной зоне, примыкающей к предвестнику, возможно возникновение интенсивных пульсаций с усилением положительной фазы давления,

6, При исследовании отражения ударной волны треугольного профиля от свободной поверхности реальной жидкости обнаружено, что по мере распространения вглубь жидкости отраженная волна формируется в волновой пакет, в голове которого происходит образование положительной фазы давления с интенсивно возрастающей на конечном интервале времени амплитудой,

7, В результате расчета звукового поля в зоне развивающейся кавитации вблизи осесимметричного преобразователя показано, что использование двухфазной модели позволило определить структуру формирующихся волн в реальной жидкости и обнаружить эффекты уменьшения амплитуды силы реакции среды и средней интенсивности излучения, известные из экспериментальных данных.

1. Флин Г. Физика акустической кавитации в жидкостях.-

2. В кн.: Физическая акустика. Под ред.Мэзона У., т.1, Б. Пер.с . англ.- М.: Мир, 1967, с.7-138.

3. Гаврилов Л. Р. Содержание свободного газа в жидкостях и методы его измерения.- В кн.: Физика и техника мощного ультразвука, книга Ш, Физические основы ультразвуковой технологии. Под.ред. Розенберга Л.Д.- М.: Наука, 1970, с. 395-426.

4. Чулкова Н.В., Макаров В.К., Супрун С.Г., Макарова Т.В. Исследование концентрации кавитационных зародышей в воде.- В сб.: Акустика и ультразвуковая техника, вып. 15, Киев, 1980, с.13-16.

5. Кедринекий В.К. Динамика зоны кавитации при подводном взрыве вблизи свободной поверхности.- журнал ПМТФ, 1975, № 5, с. 68-78.

6. Kedrinskii V.K. Negative pressure profile in cavitation zone at underwater explosion near free surface.- Acta Astro-nautica, 1976, v.3, No. 7-8, p.623-632.

7. Дж.Уизем. Линейные и нелинейные волны.- Пер. с англ.-М.: Мир, 1977, 622 с.

8. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах.1. М.: Наука, 1973, 175 с.

9. Губайдуллин А.А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С. Волны в жидкостях с пузырьками.- В сб.: Итоги наукии техники. ВИНИТИ. Механика жидкости и газа, М.: 1982, т.17, с. 160-249.

10. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики.-М.: Наука, 1981, 368 с.

11. Гончаров В.В., Наугольных К.А., Рыбак С.А. Стационарные возмущения в жидкости, содержащей пузырьки газа,- журнал ПМТФ, 1976, $ 6, с,90-96.

12. Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р., Гасенко В.Г. Волны умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками газа.- В сб.: Волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1980, с.5-19.

13. Кузнецов В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Экспериментальное исследование распространения возмущений в жидкости с пузырьками газа.- В сб.: Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977, с.32-44.

14. Kuznetsov V.V., Nakoryakov V.E., Pokusaev B.G., Shreiber I.R. Propagation of perturbations in a gas-liquid mixture.

15. J.Fluid Mech., 1978, v.85, part 1, pp.85-96.

16. Накоряков В.Е., Соболев В.В., Шрейбер И.Р. Длинноволновые возмущения в газожидкостной смеси.- Изв.АН СССР, МЖГ, 1972, № 5, с. 71-76.

17. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. Двухволно-вая модель распространения возмущений в жидкости с пузырьками газа.- журнал ПМТФ, 1979, № 6, с. II9-I27.

18. Когарко Б.С. Одномерное неустановившееся движение жидкости с возникновением и развитием кавитации.- ДАН СССР, 1964, т. 155, В 4, с. 779-782.

19. Когарко Б.С. Движение смеси жидкости с газовыми пузырьками.- Неустановившиеся течения воды с большими скоростями. Труды II/ ТАИ , -М.: Наука, 1973, с. 243-246.

20. Богуславский Ю.А., Григорьев С.Б. О распространении волн произвольной амплитуды в газожидкостной смеси.- Акустический журнал, 1977, т.23, № 4, с. 636-639.

21. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш. Структура ударных волн в жидкости с пузырьками газа.- Изв.АН СССР, МЕГ, 1974, № 6, с. 30-41.

22. Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С., Шагапов В.Ш. Об ударных волнах в жидкости с пузырьками газа.- ДАН СССР, 1974, т. 214, № 4, с. 779-782.

23. Кедринский В.К. Распространение возмущений в жидкости, содержащей пузырьки газа.- журнал ПМТФ, 1968, $ 4, с. 29-34.

24. Кедринский В.К. Ударные волны в жидкости с пузырьками газа.- Физика горения и взрыва, 1980, т.16, № 5, с. 14-25.

25. Декснис Б.К. Распространение умеренно сильных ударных волн в двухфазной среде.- Изв. АН Латв. ССР. Сер. физ. и техн. наук, 1978, № I, с. 75-81.

26. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Структура ударной волны умеренной интенсивности в жидкости с пузырьками газа.- В сб.: Исслед. по гидродинам*.и теплообмену. Новосибирск, 1980, с. 24 29.

27. Бэтчелор Г.К. Волны сжатия в суспензии газовых пузырьков в жидкости.- Механика. Период.сб. перев. иностр. статей, 1968, $ 3, с. 65-84.

28. Когарко Б.С. Об одной модели кавитирующей жидкости.-ДАН СССР, 1961, т. 137, £ 6, с. I33I-I333.

29. Нигматулин Р.И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред.- ПММ, 1971, т.35, № 3, с. 451-463.

30. Гарипов P.M. Замкнутые уравнения движения жидкости с пузырьками.- журнал ПМТФ, 1973, № 6, с. 3-24.

31. Воинов О.В., Петров А.Г. Об уравнениях движения жидкости с пузырьками.- ПММ, 1975, т.39, № 5, с. 845-856.

32. Van Wijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles. J.Fluid Mech., 1968, v.33, part 3, pp. 465-474.

33. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. Приближение Бюргерса-Кортевега-де Вриза в волновой динамике газожидкостных систем.- В сб.: Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, 1977, с. 17-31.

34. Малых Н.В., Огородников И.А. О применении уравнения Клейна-Гордона для описания структуры импульсов сжатия в жидкости с пузырьками газа.- В сб.: Динамика сплошной среды, вып. 29, Новосибирск, Изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1977, с. 143-148.

35. Fox F.E., Curley S.R., Larson G.S. Phase velocity and absorption measurements in water containing air bubbles. J. Acoust.Soc., Amer., 1955, v.27, pp. 534-539.

36. Перевод: Фокс Ф., Керли С., Ларсен Г. Измерения фазовой скорости и поглощения звука в воде, содержащей воздушные пузырьки. Пробл. соврем, физ., сб. перев. и обз. иностр. период.лит., 1956, № 8, с. 22-30.

37. Губайдуллин А.А. О распаде произвольного разрыва в жидкости с пузырьками газа.- В сб.: Нелинейн. волновые процессы в двухфазных средах, Новосибирск, 1977, с. 62-66.

38. Се Дин-Ю Рост пузырька в вязкой жидкости, вызванный кратковременным импульсом,- Труды Американского общества инженеров механиков. Теоретические основы инженерных расчетов, 1970, т. 92, Jfc 4, серия Д, с. I2I-I24.

39. Перссон В. О границах пороговой величины падения давления, вызывающего рост пузырей.- Труды Американского общества инженеров механиков. Теоретические основы инженерных расчетов, 1973, т. 95, № I, серия Д, с. 170-174.

40. Wentzell R.A., Lastman G.J. Acoustic cavitation and bubble dynamics due to a tension wave. "Cavitation and Inhomo-genities Under water". Acoust.Proc. 1st Int. Conf., Gottingen, 1979, Berlin, 1980, pp. 72-78.

41. Kikuchi Y., Shimizu H. On the variation of acoustic radiation resistance in water under ultrasonic cavitation. J.Acoust. Soc. Amer., 1959, vol.31, Wo.10, pp.1385-1386.

42. Розенберг Л.Д., Сиротюк М.Г. Об излучении звука при наличии кавитации.- Акустический журнал, I960, т. 6, № 4, с. 478481.

43. Розенберг Л.Д. Кавитационная область,- В кн.: Физика и техника мощного ультразвука, книга П, Мощные ультразвуковые поля. Под ред. Розенберга Л.Д.- М.: Наука, 1968, с. 221-266.

44. Фокусима К., Санееси Д., Кикучи Е. Характеристики звукового поля, связанные с работой ультразвуковых преобразователей.- В кн.: Ультразвуковые преобразователи. Под ред. Кикучи Е. М.: Мир, 1972, с. 353-399.

45. Плаксин С.И. Структура периодических возмущений в реальной жидкости.- В сб.: Динамика сплошной среды, вып. 37, Новосибирск, Изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1978, с. 90100.

46. Kedrinskii V.K., Plaksin S.I. Structure of periodical disturbances in real liquid. J. de Physique, 1979, vol.40, No.11, pp.293-295.

47. Плаксин С.И. 0 стационарных решениях уравнений движения жидкости с пузырьками газа.- журнал ПМТФ, 1983, I, с.75-82.

48. Плаксин С.И, Генерация ультразвуковых волн осесимметричным преобразователем в режиме кавитации.- Акустический журнал, 1982, т. 28, в. 4, с. 535-540.

49. Ляпидевский В.Ю., Плаксин С.И. Структура ударных волнв газожидкостной среде с нелинейным уравнением состояния.- В сб.: Динамика сплошной среды, вып. 62, Новосибирск, Изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1983, с. 75-92.

50. Кедринский В.К., Плаксин С.И. Структура и эволюция волны разгрузки в задаче о распаде разрыва в реальной жидкости.

51. В сб.: Динамика сплошной среды, вып. 64, Новосибирск, Изд-во Инта гидродинамики СО АН СССР, 1984, с. 48-56.

52. Иорданский С.В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа.- журнал ПМТФ, I960, № 3, с. I02-II0.

53. Иорданский С.В., Куликовский А.Г. О движении жидкости, содержащей мелкие частицы.- Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, № 4, с. 1219.

54. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация.- Пер. с англ.-М.: Мир, 1974, 687 с.

55. Коул Р. Подводные взрывы.- Пер. с англ.- М.: ИЛ, 1950, 494 с.

56. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.- М.: Наука, 1978,- 687 с.

57. Гасенко В.Г. Нелинейные волновые процессы в газожидкостных смесях.- Дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук (01.04.14).- Новосибирск, 1980.- 239 с. В надзаг.: АН СССР, Сибирское отделение, Институт теплофизики.

58. Шрейбер И.Р. Волны конечной амплитуды в двухфазных системах.- Дис. на соиск. учен. степ. докт. физ.-мат. наук (01.04. 14) Новосибирск, 1981, - 376 е.- в надзаг.: АН СССР, Сибирское отделение, Институт теплофизики.

59. Benjamin Т. Brooke, Discussion of paper by Wijngaarden . Proc. 6th Symposium on Naval Hydrodynamics, Washington,1966, pp.129-135.

60. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах.- Пер. с ант. М.: Мир, 1983, - 136 с.

61. Дж. Уизем. Волны с дисперсией и вариационные принципы.-В кн.: Нелинейные волны, под ред. С. Лейбовича и А. Сибасса.-Пер. с англ. М.: Мир, 1977, с. I5I-I80.

62. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений.- Пер. с англ. М.: Мир, 1980, -279 с,

63. Перник А.Д. Проблемы кавитации.- Л.: Судостроение, 1966,- 439. с.

64. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р., Кузнецов В.В., Малых Н.В. Экспериментальное исследование ударных волн в жидкости с пузырьками газа.- В сб.: Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, 1975, с. 54-97.

65. Нигматулин Р.И. Эффекты и их математическое описание при распространении волн в пузырьковых средах.- В сб.: Избранные вопросы современной механики, ч. I, М., 1981, с. 65-89.

66. Тешуков В.М. Пространственный аналог центрированных волн Римана и Прандтля-Мейера.- журнал Ш/ТГФ, 1982, № 4, с.98-106.

67. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск, Наука, 1981, 208 с.

68. Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева И.Л., Плинер Л.А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках.-М.: Наука, 1970, 112 с.

69. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М., Наука, 1972, - 720 с.

70. Рассохин Н.Г., Кузеванов B.C., Циклаури Г.В. Нестационарное истечение двухфазной среды при разгерметизации парогене-рирущего канала.- Теплофизика высоких температур, 1974, т. 12, № 6, с. I2I5-I22I.

71. Neppiras Е.А., Noltingk В.Е. Cavitation produced by ultrasonics: Theoretical Conditions for the onset of cavitation. Proc.Phys.Soc., 1951, vol.64, No.3, pp. Ю32-Ю38.

72. Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С. Теплообмен газового пузырька с жидкостью.- Изв. АН СССР, MKT, 1974, В 5, с. 94-100,

73. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред.- М.: Наука, 1978, 336 с.

74. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.- Новосибирск, Наука, 1967, 195 с.

75. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды.- М.: Гос.изд-во техн.-теоретич. лит-ры, 1955, 804 с.- 206

76. Гончаров В.В. Стационарные возмущения в жидкости, содержащей пузырьки газа.- В сб.: Симпоз. по физ. акуст.-гидродинам. явлений. Сухуми, 1975. М., Наука, 1975, с. 172-175.

77. Kedrinskii V.K., Plaksin S.I. Interaction between non-stationary shock wave and free surface in real liquid. Abstracts, 10th International Symposium on Nonlinear Acoustics, 1984, Kobe, Japan.

78. Л.Ван Вейнгарден. Одномерные течения жидкостей с пузырьками газа.- В сб.: Реология суспензий.- М., Мир, 1975, с.68-103.7бв Campbell L.J., Pitcher A.S. Shock waves in a liquid containing gas bubbles. Proc. Roy. Soc., 1958, A234, No.1235, pp. 534-545.

79. Паркин Б.P., Гилмор Ф.Р., Броуд Г.Л. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха.- В сб.: Подводные и подземные взрывы.-М.: Мир, 1974, с. 152-258.

80. Бурдуков А.П., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Соболев В.В. Шрейбер И.Р. Некоторые вопросы гидродинамики гомогенной модели двухфазной среды.- В сб.: Численные методы механики сплошной среды, т. 2, № 5, Новосибирск, 1971, с. 72-77.

81. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Когарко Б.С., Когарко С.М. Исследование волн сжатия в смеси жидкости с пузырьками газа.-ДАН СССР, 1973, т. 213, № 5, с. 1043-1046.

82. Кутателадзе С.С., Бурдуков А.П., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. О структуре слабой ударной волны в газожидкостной среде.- ДАН СССР, 1972, т. 207, № 3, с. 313-315.

83. Crespo A. Sound and shock waves in liquids containing bubbles. Phys.Fluids, 1969, vol.12, No.11, pp. 2274-2282.

84. Van Wijngaarden L. On the structure of shock waves in liquid-bubble mixtures. Appl. Sci. Bee., 1970, vol. 22, No.5, pp. 366-381.

85. Noordzij L. Shock waves in bubble-liquid mixtures. Phys. Comm. Twente Univ. Techn., 1971, vol.3, No.1, 51 p.

86. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Нестационарные волны в жидкости с пузырьками газа.- ДАН СССР, 1976, т. 226, & 6, с. 1299-1302.

87. Красильников В.А., Кузнецов В.П. Распространение нелинейных звуковых волн в жидкости при кавитации.- Акустический журнал, 1974, т. 20, № 3, с. 473-477.

88. Khoklov R.V., Soluyan S.I. Propagation of acoustic waves of moderate amplitude through dissipative and relaxing media., Acustica, 1964, vol.14, No.5, pp. 241-247.

89. Кузнецов В.П. Уравнения нелинейной акустики.- Акустический журнал, т. 16, в. 4, с, 548-553.

90. Van Wijngaarden L. Linear and non-linear dispersion of pressure pulses in liquid-bubble mixtures. Proc. 6th Symposium on Naval Hydrodynamics, Washington, 1966, pp. 115-128.