Структурные свойства некоторых почтиколец преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

_ КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ гаени ТАРАСА ИЕВЧЕНКО

~ 'На правах рукописи

/

- . - ' * Киртадзе Лаван Варламович®

СТШОТУНШ СВОЙСТВА НЕКОГОЩХ^ ^ 1ШШЩ ПГЕОБРАЗОВАНИЙ

0I.0I.Ö6, -'манематичеокая логика, алгебра и теория чисел

„ -а

АВТОРЕ 5J.P А Т . • даоовртйции на соискание ученой, степени

4 ' кандидата ^зиксАтема-ютвйких науй

"КИКЕ - 1992

/

.Работа выполнена в Киевском Университете-им. Тараса Шевченко.

Научйые руководители:

- доктор (Уизикр-ыатеыатических наук, • профессор Кириченко Владимир Васильевич}

J кандидат физико-математических наук, доцент Усенко Виталия Михайлович.

Официальные оппоненты: ■

- доктор (Тизи кб-мат ематиче с га« наук, профессор Михалев Александр Васильевич; -

- кандидат физико-математических наук, доцейт Новиков Борге Владимирович.

Ведущая организация: Институт математики с Щ

, ' All Республики Молдова. " .

V.-92. Г.

Защита диссертации состоится " 49 11 ССгмЗкл^Л

В час. на оаседании специализированного совета

К.068Д8.Ц ттри Киевском Университете им. Тараса В!евчанко_ ро адресу : ^

г.Киев, проспект акад. Глушкова, механяко-математическиА Факультет Киевского Университета.

' ' ■

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.,

Автореферат разослан

" " v.sz г.

Учет.'!!, секретарь '' v

сп-чохлнгиго вшиюго совета - Ни^нскп * ';t.H

- . : ЛЯ эЙЬЛУ.и 1 СЕ^ДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЛГОШ.

Актуальность тем;. Отмеченная ¿'дксонсм ега в начале XX в. взаимная независимость сбойств левой и правой дистрибутивности кольца и полученное им пример! алгебр, наззшпих впоследствии почтипола.гл Диксона, а такта работы Менгера <10-;с - нач. 50-х гг о кемпозпцноып.чс алгебрах послушми источником теории лочтикс-лец, сгоршровйвзеГ'ся как самостоятельное направление к концу 50~х гг. в работах П.Лсрдана, Плэг.етта, .Лэскикса, '/.Heit?aнн и других '.;атимат1л{оз. 3 настоящее время теория почтмколэц - ото обширная область алгебра, связанная с теорией килец, теорией групп, теорией £2-групп, представленная многочисленный! структурными результатами, результатами о почтикольцах преобразований и о поляаашальшх пэчтшеольцах, а таякз реаульхатами, позеоля->тзе.(ч говорить о некоторых сг'срлровавпгсся самсстоятслкггс направлениях этоГ: теории (дистотбут]!ЕНОпсроя,г.э!Пие лочтигольца, плашрннз почтикельч-а и др.). Среди работ по теории почтиколец -гаоколько сбзороз и моногр^'ий. Одной из каибелез полга-: ягляет-ся монография 1'лльца

(G,. Pili. Л'еаг-rings. TJi<> üeorv яп/ iis Uffltö oAionsJf Rev. ed. A mg-ierc/am в. о,. -. fy'orih.-l-tcß'. Pu$£. Po.. -13ti. - m, 4Wpf.)

/¡дльпоГэ'ео развитее rcopira почтиколец свяпзло как с наделением и изучением нсът классов почти,чолзи, гая и с изучением кс'пггчгт}'--;*- почтияолец, чановп.ш, lmnr.vep» является почтикелмо прэобрассгаинй групп или полиномиальное почтительна. Синтез яттяс дяух наставлений исследований происходит прп ронэтш задачи описания представления'того или ¡шего пласта по'тжолец печтитгаль-цомз прзобразеи^гетй. Обраэцси подобного вязытя исслэдоная;тЯ ягокггея работа об а-Мапв-т пггтгаслзиач. Глумск» ариетт, пр-лтюПпчг грострс-чстэ (аппт п др.) г";;гйло .г нсэ-

-д-

никновешю понятия абстрактного а^Нснного почтикольца, охарактеризованного впоследствии как почтикольца преобразований модуля над кольцом.

В настоящей диссертационной работе одной из основных задач является изучение почтиколец, возникающих как обобщение аМинных почтиколец путем отказа от требования коммутативности их аддитивных групп. При этом описывается представления таких почтиколец преобразованиями групп.

Основные, известные к настоящему времени, результаты о поч-тикольцах преобразовании групп - ото теоремы о простоте тага« почтиколец ( Бер.;ан, Сильверман, ¡Дельдрум, Адлер, Кпэкетт) и о строении их односторонних идеалов (Хэтерли, Дкоксон, Епэкетт, Скотт). Простота (в смысле отсутствия двусторонних идеалов) почтиколец преобразований групп отнлдь не упрощает изучения тр.-ких почтиколец и требует поиска ко гак методов их изучения.

Другой основной задачей настоящей диссертационной работа является задача изучения структуры почтиколец преобразовать групп, разлагакщгхся в прямое произвел,ение своих подгрупп.

Решения обеих основных задач диссертационной работы являются развитием сложившееся и всесторонне апробированной тематики современной теории почтиколец, что и слулг.т обоснованием актуальности теш диссертации.

Цель работы, "елью работы является изучение почтиколец преобразований групп. ста цель реализуется описыиеы почтиколец, порожденных эндоыор'изнами группу в ее абе/.ев нормальный делитель и копстантньми преобразованиями, a такте гараетеризацие? почтикольца преобразовани)! прямого произведения групп в торжнз:: гнегсней почтнкольцевся конструтарт, построеию«1 в работе.

Научная новизна. Fee сснспшс регультати гс-'оту явлк'отсл

ношми.К mai относятся следующие :

- определение и описание класса псевдоаг^-инннх почтиколец; псевдоа^-иннна почтчкольца являются обобщением известного понятия аМиншх почтиколец, а их основное отличие от последних состоит в тон, что аддитивная группа псовдса^иизк почтиколец, вообще гоЕоря, не является абелевой;

- построение конструкции ^^-связки семейства групп, предстайлятое;: co6oü решение задачи о продолжении почтикольце-шх умнолени» на группе;

- характеризация с по/опые конструкции jM-связки почтиколец с дистри бути виши идемпотентами;

- характеризация с помоп;ьв конструкции [/^-связки поч-тикольца преобразований прямого произведения групп.

Результаты работн носят теоретически!} характер и найдут применение в исследованиях по теории почтиколец, теории полугрупп, теории групп.

Общая мзтодика исследования. Метода диссертационной работа осное&нн на классических (*акториэацио'нных кетодгх общей алгебру и методах конкретной характеризации алгебраических систем, развитых в работах Кэли, А.И.Мальцева, Л.М.Глускина, Е.С Ляпина, А.Г.Куроша, Пирса и др. математиков. Существенным является использование техники скребенных приведенных гомоморфизмов,введенных В.М.Усенко н примененных в его работах о подгруппах полуттрятк произведений.

В работе предложены и ноте методе исследования почтиколец. Таковют! являглся: ■

- метод описания почтиколец с поко>»ь» '»к дистрибутняттт« дефектов; этим методом шг,-эген класс псе вдоа'Иинкнх почтиколец -

из оеновнж объегтеа исследования ? ^".^рт&по^шо^ рАботч;

- метод мат]'(гпг.»г -f вяпоя гпуп:т; этот нгоч ямяяТ"я

развитием метода пирсовской декомпозиции колец и позволяет существенно обогатить технику изучения почтиколец преобразований; с помощью этого метода охарактеризованы почтикольца с дистрибутивными идемпотектами и почтикольца преобразопаний прякмх произведения групп.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международных алгеораичвских конференциях (Новосибирск, Ыарибор (С1ТЮ)- 1989, Барнаул - И1?!), на VI Симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Гьвов - 1990), на Сибирской школе по многообразиям алгебраических систем (Парнаул - Ш-.8), а также на алгебраических семинарах Киевского университета (1965 - 1992).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в'6 работах автора, список которых приведен в конце ре-^рата.

Структура и объем работы. .Диссертационная работа изложена на 81 стр. машинописного текста, состоит из введения, двух глав, состоящих из девяти параграфов и списка литература, содержащего ^ наименования работ.

содЕгганга: раешн.

Во введении дан краткий обзор основ!шх направления исследований по теории почтиколец, приведена мотивировка и постановка основных задач, а также краткое описание содержания работы.

Глава I содержит основные понятия и наиболее дшь'е, отиосл-к^ося к теме диссертации, результаты теории почтиколец (Ш - ''), а также полученные автором результаты о псевдпа'Минннх почти-кольцах, введешмх в работе (ЗМ, 5),

Почтикольцом называется множество Ж' с двумя определенными на нем ог.ос1шатив!Зг.ш операциями * и • такими,что А (■У) * г) -

группа, MW) - ( •) - полугруппа и для всех и, V, í 6 выполняется тождество левой дистрибутивности:

{(UHr)--éW-ir.

Через ву обозначаем нейтральный элемент группы A (W) , а через х - элемент, ггротивополозшый элементу X£ AW) (т.е. опт = X' * = ) . Нейтральный элемент полугруппы М(У) (если он существует,) обозначается через £^ . Через

G,) обозначается сишетрическое почтикольцо на группе G, , т.е. почтикольцо всех преобразований группы (G>,*) относительно операций композиции

X((f<l) =(xip)!f и суммирования преобразований:

ау, if f yA'T(G<) • При этой ff^ - нулевое, a <5¿j -тождественное преобразования группы Q, .

Если Л - почтикольцо, то его дистрибутивным дефектом называется функция

D. (и, V¡i)=. J (luir) = vi *Ü1*(U* v)i и V.-é 6 кл/.

VI t 1 ' I

В п.1.6 гл.1 приведены основные функциональные свойства дистрибутивных дефектов.

В í'4 вводится понятие дистрибутивного мультипликатор« t0 ) почтикольца

i/ ,

= / Vu,vt кА' (utr){-= uii vi}-

Дютрибутивний мультипликатор, являясь подполугруппой мульти-плякатигной полугруппы гхчгикольиа, подпочтикольцои, вос^де говоря, не является. Уля хагактеризачии ^с»ркбут1г?нвго иу/ы-í-

пликатора вводится следующее понятие: Финитным замыканием множества ХЯуУ называется подгруппа группы А(^) , пороя-денная множеством X . Доказано (пп. A.Z, 4.4 гл.1,) , что (ти-нитное замыкание J0дистрибутивного мультипликатора

) является в Ж подпочтикольцом, значения дистр1бу-тивного дефекта которого принадлежат коммутанту аддитивной группы почтикольца . Далее определяется понятие предабедэ-ва почтикольца как почтикольца, км.я-утаит аддитивной группы которого является идеалом. Получен критерий предабелевости почтикольца (теорема

В §5 главы I вводится и изучается понятие псевдоагМлнного почтикольца.

Почтикольцо назовем псевдоа№инннм, если его дистрибутивный дефект удовлетворяет тождеству

где » vi - внутренний автоморфизм группы А , оп-

ределяемый элементом V~i . Если 6} - некоторая группа, V - ее абелева нормальная подгруппа,a £ (V) =

и

= {ср е £пс/ Q, I 3»п<р ( Vj , то

j хг Gr, ф е t'e, OOj - псов-

доаМянное подпочтикольцо симметрического почтикольца ^V(G), которое названо почтикольцом псевдоа^ишпк преобразовать группы Gt . Произвольные псевдсэЛгишше почтикольца охаракте-рюованы в работе ю гшоморг»1эма\ш в почтикольца псевдоа^Л'н-ных преобразований. Поведем о ту характеотпанмч. ,|у1я почтикольца полагаем

Ш) = V -ft. J,

| ие ЧсеССх*)

Доказано (п.о.7.2 гл.1), что в любом почткколыга \М множество С, (>*') является идеалом. Если »У псевдоаЯАинно, то

3%(\М) содерглт коммутант аддитивной группы подпочтиколь-ца Ы . Подгруппа группы Г = И (СС^У)) , порожденная

множеством Г' Кявляется абелевой нормальной в Г .

ТЕОНМА (п.о.гл.1). Пусть - псевдоаМЫнноз почти-кольцо, Г - аддитивная группа подпочтикольца С С^) , а V - подгруппа группы Г , порожденная множеством Г- И0>М) . Почтикольцо

изоморфно вкладывается в почтикольцо (У) псевдоа№иншх преобразований группи Г .

Эндоморфизм аддитивной группы потпочтикольца С (Л) назовем \*/~эндоморгиэмом, если Ущо< * < А (С (%Л/)) , Ендомор^изм ( £п</А(С(*У)) назовем Ы -внутренним, если существует и е ^ % длЯ которого ср* С и , каков бн

НИ был С € .

Поданожество 6 почтикольца называется редуктивнш*, если из того, что равенство (-1 € ) имеет '

место дал всех т с 6 , следует, что Ч » и' .

ТЕСГОА. Пусть - псевдса^инноо почтикольцо, Г« а А С С ((/V)) , V подгруппа группы Г , порожденная множеством Г' К . Почтикольцо ^ тогда и только

тогда изоморфно почп-кольиу «псевдоа^Лшных преобразований группы Г , когда Г - редукгишоо подогнсж^ство в ^ , а каждой У-пндомср^'гт груши Г является ¿/-утренним.

В главе П строится конструкция -срячш с*1ейства

а

групп и с ее помощью характеризуются почтикольиа с дистрибутивными идемпотентами и симметрические почтикольца па прямых произведениях групп. При отом существенно используется понятие приведенного бискрещениого аддитивного отображения - аналога понятия приведенного скрещенного гомоморфизма СУсенно В.М. Полупрямые произведения моноидов// Дмс. ... канд. физ.-мат. наук,- Киев, 19Ь4), в связи с чем в §1 приводятся основные свойства этого понятия.

Пусть U, W , б - группы. Отображение Ч t U* И -*• G, ("i A) i-* Си-, К)? назовем R -адаптивным

(R -анткадцитивным), если ( К) Ji, * nt) ^ = "(Ui^jy (соответственно - ( и •,!>,* hx =

= О? * (U¡ ) /'ЛЯ всех и( W, li,,JiteW -Если Л < G , (f¡ U *Н -»/lué <ч : - R-аэдитев-ное.а i U*U Aui (я : (иj )i)ь» ^ - ентиаддитивное отображение, То отображение U * 1-/ -» fi ( (u; ) •-» С и, h назовем ^-аддитивным (гуднтигшп Д-приЕеденшм

) -бискрещенкам), если существует отображение t I M*W* W Л I (Ц;Ы)1-* (lij 4 ) fc" таксе, что

({/¡/.«Ш *-(u¡i)\tu¡i .

При U = } 0Ц} говора! о ¿-приведенном ' ДО^-бискрещенном гомомор яэме ( ft^-rouvzojr'Kiuo) грглт" li в группу $ fipi <А» ^Qg J (3mifeíof Q, или Ут ^ = Мб ) будем говорить о {^аддитивном ((?Д-а,"дитисном или ^ц>0"адл;и"

тивнем) отображении. .¡".окапана

ТЕОРЕМА (¡1.1. ?, гл .11). Дгя групп U, Н, G , £ - аддитивного отобржзнич U» И Aui <л и отобрагэтпш Ь LV —» следуя ;>¡e утгешдениг р-^гкосплыг-:

1) X - радарное отображение;

2) существуют "группа Г , мономорфизм у: 8 Г , -ад-дативное отображение —* Т и К -анотадцитиЕноа отображение (Г•• Ы«М -»Г такие, что , = —,— -4

для всех и е {/, и Ц и > = <<г*зг) у*1

Один из мотивов изучения Р-аддитивных отобратеютЛ состоит в том, что почтикольцс можно {посматривать как группу, снабженную £ -аддитивным отобракешем. А именно: ног.ением на группе (* называется -аддитивное -отображение р •• (* * в (я , удовлетворявшее условию:

Vu.tr, ((и-,0-)}<;у»)|< а (и5(ТГ,*)/»)}<•

Группа с определенным на пей ^^-укнонением является, как легко заметить, почтпкольцем.

Задача об одцитпзноЛ ''гисторязации -умножений состоит и поиске условия, необходимых к достаточных для того, чтобы сумма , иД б а Л: 6 -^хМТ'(С)-. 4 м ?

ц 0, -* ¿/9'С & ) : и V-» г" задавала некоторое ^Щ-умно-

ненио ( и 4 ) ^ и ( * £ г" на группэ $ • .ияя репеппя этой задачи рассматриваются следующие оператор;!, определяемые дал произволызгс

- да 6 ) М, » С- а ; „<ра* - агV «Л

п Ч М ?

iO

Условия, шоЗходамыа и достаточные для того, чтобы функция задавала -умножение на группе

ß , Принимают в этих обозначениях вид (теорема n.I.B гл.И):

* л в ^V .

% * ¿Vi« = 4 •

t Ut, it «,-t

Дуеть, далее, Gi =*U* H , причем U - iA^X -группа над почтикольцо« ^ . йгорая задача, рассматриваемая в §1 гл.И, состоит в поиске условий, необходимых и достаточных для того, чтобы 6 была -группой над »V , содержащей U в ка-

честве -подгруппы. Такие условия приведены в теореме n,I.I2j

ТЕ0Ш.1А. Цусть U - Л/Я-группа над почтикольцом iM . Группа ß « UxW тогда и только тогда будет -группой над

»У , содершпей U в качестве ttf-подгруппа, когда для всех gt (я , V, u (г U существуют гомоиорТизми i А (.М) -^»AuiQ, ,

Aul ft и, соответственно, -гомоморфизмы

c/#iAQt)-* 61 и ¡^ -гочоморЧга.и Ч"'-. АСУHU такте, что »(¡руН* 4 $ ' и выполнятся условия:

a, Vt.we^ ( i Ubh*w/)

Ьдроь через обозначена канотшзская проекция па U .

В §?. гл.И осуществляется построение внешней почтикольцевой кокструкцги, названной здесь »//$ -связкой семейства групп. С одной стороны пта конструкция ол;ткит решением задачи о продол?;е-¡31И ^Й-умнстениЛ, а с другом - применяется в 5§'л, 4 для ре-п?ния .других задач.

Пусть ^ = ^ € * семейство групп. \ -мят-

и

рицей назовем 2*2-матригу [и^] такую, что Цу е , е■Надмножество всех "Ф- -матриц обозначим через \MC4~) . 1!уль группы (я., будем обозначать через 6.- . Предполагая, что заданн

и о

гомоморфизм

в* б 1 «

Аи+ I * м г» к

и антигомоморфизм

V

на множестве МЧ)

[и..]* [у,.] =

11 ^ II *

Аи\ : X Н» Та

12- г

зададим операцию по правилу:

Ч ' Гц 5

и

и » 1Г <г

и <г V • и * г

81 » £» > п *гг

Относительно этой операции множество ^С^) является группой

[ (?(.• ] , причем

с нейтральным элементом б.

и. : и м » иг.

- 7,.

и > и

. . . Л I ' гг

Группа »Я (л!/ и я сморена группе (б х (я ) * Г(л

0 л в; ' к '

где Ц4 ^Х

4г. о;

22.

связи о*

- полупрямое произведение с гомоморфизмом а 6и - полупрямое произведение с антиго-

МОМОр^ИЗИО'; связи

Вввдем, далее, следупцие обозначения: если "X С

а.. е 6..

У ЧА. Ч

то будем полагать х - С^д ] = С ]

[ ! е- { -( 2. ^ 5 череа р (4 ) будем обозначать •^-матрн-

. . Ч /э

цу, на (¡)(|) -м место которой находится элемент 'Ь б С*^

( ¡)(| £ ^1,2.)) , а на остэлыя1х - нули соответствует« гр/пп

из % ; для все-,; я , 6 {1,2} пологом

1Z z

¡Tt x т Í V i

í, « * r«£ , < ,

ie,* I®e JíC-%1, Uf/rtO- ЛС*,)],

y J

Получаем

для всех .В предположении, что заданы -умножения ^ • fi(l X • » * UaJ i на группе , далее, описывается «Ж-умножение, служащее продолжением »Уй -уиножений jj» . Для этого используются R -аддитивные отображения ^

*.. > Л. (4f)" в,. -» вц « М С^у^ц ,

й , -аддитивное и, соответственно, R.-аддитивное отобрало f,o

женин

4sl,JUfy) * Glf - ■ С*>0 C"vtn¿( ,

где

y p< „У-'*»«

,1 «O- ■!« Л■ - tf

s,i ' i ÍV '

^ ,ia./V9iTiiBHce н, соотве'

0;A

otcСражения

) < fiat Gia t I U; -- ( ,

a Ttuse ,1ГлДЦИТ№н;е н, соответственно, P ^.-аддитивное

41

v ««^ X -* (âie , es,?? к- is,a)4it, где u _

it,v л » Г»,г г

Соответствуйте продолжение цД? -умножений р., задается введением мультипликативной операции для и, 9-6 i^C^j) s U V* » где элемент lyti^ C^f ^ определяется следук^им

образом;

С* (илн<„ * . ч С - с«»*«}*« * <;и С-^Г'^)^'5^ * омън,«,

причем указаны ограничения для <i.. ( ру , необходимые и достаточные для того, чтобы iMCfy-) было почтикольцом. Полученное таким образом почтикольцо названо -связкой семейства > I')2-} относительно Факторной сие-темы 3W»

В §3 гл.II рассмотрены почтикольца, допускапцис описание в тер:инах ^Уй-связок. Тактам почтикольцакн оказывается почтикольца, обладающие ортодоксальными идекпотеитамп. Ненулевой идемпотент (Z почтикольца i-V называется ортодоксальным, если он дистрибутивен и удоачетворяет услсвиг:

(-te)ï с- vVe .

Поли - ортодоксальный ияемпегент почтикольца vV с еги-

•ицей t у , то ¿2 3 f-| * - такте ортодоксальный идем-

иотенг. Подгруппа U ^ >А GV) называется L-инвариантной, если U*l€ U .для всех ие U, 4 ¿ь// . Имеет место

ПЩдаЖЕНКЕ (п.3.4 гл.П). Почтикольцо Л тогда и только тогда обладает ортодоксальными идеыпотентами, когда его аддитивная группа разлагается в пряиое произведение L-инвариантных подгрупп.

Пусть (S - однородное почтикольцо с единицей £у и с ортодоксальным ицемпотентш , гг = Тл * s.^ и

ап = * |ж jf__ j

У

Множества A^ оказываются подгруппами аддитивной группы поч-тикольца Jf . Для семо Яства IX ■= ¿^¡j } существует такая векторная система - < fij ((П е ^ 8.} » 410 верной оказывается

ТЕОРЕМА (п.З.И гл.П). иА^-связка ^(Ж) относительно Аакторкой системы Я- (У-) является почтикольцом, изоморфным почтикольцу йЖ .

Эта теорема указывает на роль -связок, аналогичную

роли йирсовсклх разложений в теории колец.

В §4 гл.П рассматриваются симметрические почтикольца на прямнх произведениях групп.

Цусть = Ut * U^ ~ прямое произведешь групп и U^ , £• - ндемпотентние ондсадорТизмы групш Qt С it {^j с г> = U^ . Вндоморлизмн являются ортодоксальными

пдемпотентоми однородной части ( Q ) симметрического поч-тииодьна ifi'^'C 6) на группе Q . С помощью идемпотентоа охаррггернзоваш некоторые струятурн;;« свойства почтиколца IV^ (Q) xn* \M-rmmm над собой (предложение М.Э гл.П,).

Для (Qt ) введем аледутаие обозначения:

G,{i -- i т 6 vA/g; С а) j <3«p « ut«p - {eftlf, fifi e v^g; an| а* «и,, и1<Р = {eaij} е,!г . 1 «p CG.) | fi<p « U,tf * {9^, , {.je iMi.

Основном результатом параграфа является

ТЕСГЕМА (п.4.5 гл.И). Дня семейства = -j j t i,j e существует гекторная система * J';j, V Ej 1 У е- {.(,2.} •

относительно которой множество Jfo(-fy) всех "^--матриц является почтикэльцом, :шоморгтнш почтикольцу С Of) .

РАБОТУ АНГОРА ПО TSffi ДИССЕРТАЦИИ.

1. Киртадэе .'1.13. С комнутаторно определение: почти?:ольцах// Сибирская гжола по многообразиям алгебраически* систем. Тоз. докл.- Рарнаул, IGiJS.- с.35.

2. KlrinJze L.V. Affine near-rinys anJ l4s generali а o-iicnä/ 4 Monierenca, In fegika.Marrfor, 19.

3. Киртадзе Ji.ß. ПредзЛТ'Г.нше почтикольцэ// Международная конференция по алгебре. Тез. дохл, по теории колец, алгебр и но,цулей,- Новосибирск, 1989.- с .СР.

4. Киртадэе Л.В., Уеекко В.М. Скрежета-га эндоморТипия адцитил-них групп почтиколец и дкетрибутившо дегектн// I Симп. по теор'ч' коле-% алгебр и модулей. Тез. докл.- j'bi-св I99C.-

с .70.

5. 1шртадзгз Л.В., Усенко В.М. %М$-сьазш и пачтикольца преобразований// Международная конференция по алгебра. Тез. докл. по теории колец, алгебр и модулей.- Барнаул, 1991.-с.121.

6. Киртадза Л.В. ПредаОелеш и псевдоафЯншша почтихольца// Киев, ун-т.- Киев, 1992.- 22 о.- Дзп. в УкрНИИНТН.