Существование решений системы дифференциальных уравнений, близких к приближенному решению тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

005001076

ВАСИЛЬЕВ Владимир Андреевич

Существование решений системы дифференциальных уравнений, близких к приближенному решению

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

1 7 НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

005001076

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: член-корреспондент Российской академии наук, доктор физико-математических наук, профессор Плисс Виктор Александрович. Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Розов Николай Христович (Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова);

кандидат физико-математических наук, доцент Иванов Борис Филиппович (Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров).

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет " ЛЭТИ ".

Защита состоится " 8 " декабря 2011 г. в 13 час. 00 мин. на заседании совета Д 212.232.49 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28. Математико-механический факультет СПбГУ. Ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб.,

405.

7/9.

Автореферат разослан

II

м

ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.49, доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

С конца 60-х-начала 70-х годов прошлого столетия предпринимаются многочисленные попытки исследования качественного поведения периодических и автономных систем с помощью вычислительной техники. Идея такого рода исследований состоит в следующем: строятся приближенные решения (одно или несколько) на весьма длинном промежутке изменения аргумента. Эти приближенные решения задают некоторое множество точек в фазовом пространстве. Есть весьма веские основания надеяться, что эти построенные множества содержат в себе аттракторы и неблуждающее множество изначальной системы. Часто подобными методами удается установить наличие или отсутствие периодических решений, гомоклинических точек и контуров. Все это позволяет получить важную информацию о качественном характере поведения решений заданной системы дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что описанный метод исследования может быть использован только в случае, когда в окрестности приближенного решения системы дифференциальных уравнений существует истинное решение этой системы, в противном случае такой метод исследования не позволяет получить никаких новых данных о качественном поведении решений рассматриваемой системы. В связи с этим встает вопрос о существовании истинного решения в окрестности приближенного.

Диссертация посвящена изучению проблемы существования истинного решения в окрестности приближенного и получению новых условий, при которых данному приближенному решению системы дифференциальных уравнений соответствует истинное решение, располагающееся в малой окрестности приближенного решения.

Цель работы.

Формулировка условий существования истинного решения си-

стемы дифференциальных уравнений в окрестности приближенного решения, вычисленного на длинном интервале изменения аргумента.

Методы исследований.

В работе применяются современные методы исследования структурно устойчивых систем дифференциальных уравнений. Однако, эти методы существенным образом видоизмененяются в соответствии с поставленной задачей; предлагается метод построения приближенных решений линейных систем дифференциальных уравнений на длинных интервалах времени.

Основные результаты работы.

Сформулированы условия существования истинного решения системы дифференциальных уравнений в окрестности приближенного.

Построены методы эффективной проверки указанных условий.

Научная новизна.

Сформулированы новые условия существования истинного решения системы дифференциальных уравнений в окрестности приближенного и представлены новые методы эффективной проверки этих условий.

Теоретическая и практическая ценность.

Теоретическая и практическая ценность работы состоит в том, что в ряде случаев (при выполнении условий существования истинного решения системы дифференциальных уравнений в окрестности приближенного) можно делать конкретные выводы о качественном характере поведения решения заданной системы дифференциальных уравнений на основе анализа приближенных решений этой системы, построенных с помощью вычислительной техники.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на заседаниях Городского семинара по дифференциальным уравнениям (г. Санкт-Пе-

тербург) н на XII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением проводимой ОАО Концерн ЦНИИ "Электроприбор" (г. Санкт-Петербург).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36]. Работы [3], [4] опубликованы в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи глав, списка литературы, содержащего 25 наименований. Объем диссертации — 88 страниц.

Содержание диссертации

В первой главе диссертации рассматривается система

^ = (1)

где х, X — п-мерные векторы; относительно вектор-функции X будем предполагать, что она ограничена, непрерывна при £ е (—оо, оо), при х £ И" и имеет непрерывную и ограниченную матрицу Якоби ЭХ/сЬс. Далее в этой главе дается точная формулировка проблемы рассматриваемой в диссертации. Приводится обычное определение ¿-решения системы дифференциальных уравнений и приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие проблему.

Во второй главе рассматриваются линейные системы

|=р«>*. и

где, х € Н,™, а Р(£) — ограниченная кусочно-непрерывная на промежутке J матрица размера п х п. Обозначим через Ф(£) фундаментальную матрицу решений системы (2). (7 = (9, в'), где в может быть равным —оо, а в' может быть равным оо.) Вводится понятие (Л1,Л2,ах,а2)-гиперболичности системы (2)

Определение 2.1. Будем говорить, что система (2) (Лх, Л2, аь <22)-гиперболична на промежутке 3, если существуют числа А^, А2 > О и «1,«2 > 1 и линейные пространства £/г!(£) и {/"(£), определенные на 3 и такие, что сПт ия{1) = к, сНт Vй (I) = п - к, для всех £ е 3, Ф(£)Ф-1(г){/®(г) = г = е 3, и если £ е С/8(т), г б 3,

то выполняется неравенство

при £ > т; т е ,7, а если £ е ии{т), то

|Ф(£)Ф_1(т)£1 < о2|С|еА2((-т)

при £ < г; т 6

Далее в этой главе исследуются некоторые свойства (А1, Л2,01,^2)-гиперболичных систем.

В третьей главе доказывается ключевая теорема диссертации. Рассматривается линейная система (2), заданная на промежутке 3. Предполагается, что она удовлетворяет следующим четырем условиям.

Условие I. Существуют числа £о < ¿1 < ••• < ¿т < 1 = такие, что система (2) (А^, Аг,», а2,г)-гиперболична на промежутке [и, и+1] (г = 0,1,..., га).

Пусть [//(£) и [/"(£) — линейные пространства, фигурирующие в определении 2.1 гиперболичности системы (2) на промежутке

[и, £¿+1]-

Условие II. Выполняются неравенства г = 0,1 ,...,т — 1, т < п. Предполагается, что подпространства и™(и+1) и ?7/+1(£г-|_1) пространства И." (г = 0,1,..., т - 1) пересекаются трансверсально, причем углы между ними задаются числами щ {о.г+1 = 1), Щ+1(^+1)), г = 0,1,..., ш - 1).

Введем величины 0 < г < т — 1; Д» > 0, 0 < г < ш, Д»+1 < 2Дг, при 0 < г < га — 1; 1 < г < т; 1 < г < т. Значения этих величин произвольны и определяются рекуррентно из приведенных

ниже соотношении и неравенств.

ßi+i = Oj+i - у, 1 < г < то - 1,

где ßi = ai.

2Ai

Pi = "i-:-, 1 < г < m — 1,

Ai+isinwj

где щ — наименьший положительный корень уравнения

2А* ■ (Я л

sin и = —-sin(/?i+i — и);

A¿+i

при этом (ßi+i/2) <щ< ßi+i, 1 < г < т — 1;

До

Ро = д—:-'

Ai sm щ

где щ — наименьший положительный корень уравнения

sin и = ^ sin(/3i — и);

при этом {ßi/2) < щ < ßi-

Условие III. Выполняются неравенства:

o2,o(bi + + До) + До < 1; PiAi+1 + 2Дi < bit 1 < i < т - 1; 01,j(2b¿ + (Pi-l + 1)Дг) + Дг + +42,i ( 2\ , + bi+i + ЛД4+1 + 2АЛ < 1,

\Pi-l + 1 /

при 1 < г < т — 1;

(ai i + 1) + 1)Дт < 1,

где значения — константы гиперболичности.

Условие IV. Разности í¿+i — í¿ удовлетворяют неравенствам

Ol,

¿(p¿-i + <1,

— sin _ 2oi <е-Ам&+1-*<> > 1 +

«2, < 2 ' bi

при г = 1, ...,m — 1.

По условию I система (2) (Ai,¿, \2,i, a^i, а2,г)-гиперболична на промежутках [í¿,i¿+1] поэтому существуют числа k¡ > 0 такие, что Z({7/(í), Uf{t)) > /c¿, при í е [í¿,í¿+i]> i = 0,1,...,ш. Положим

Ai,¿Аг,j sin Kj

^ =-\—т—

01,гЛ2,г + <3.2,iAl,¿

Теорема 3.1. Если выполнены условия I-IV, то при любой кусочно-непрерывной при tg < t < t' вектор-функции f(í), удволет-воряющей неравенствам

\m\<vAi,

при t G [ti,ti+1], г = 0,1,..., т, система

~ =P(t)x + f(t), (3)

имеет решение ¡p(t), удовлетворяющее неравенству

Ш\ < 1,

при t е [ío,í']-

В главе 4 проводится сравнение результатов работ [1,2], а именно приведенных в них условий существования ограниченного решения у линейной неоднородной системы, с теоремой 3.1. Показывается, что условия теоремы 3.1 являются существенно менее стеснительными, чем условия, приведенные в [1,2].

В пятой главе снова рассматривается исходная система (1). Она приводится к виду

Вектор X(t, ip(t) + у) представим в виде

х((,«.(г) + у) = X(t, f(t))+

+2My+F(t,y),

где вектор-функция F(i,y) равномерно непрерывно дифференцируема по вектору у и F(i, 0) = 0, dF(t, 0)/ду = 0, и положим P(i) = dX(t,ip(t))/dx и X(t,ip(t)) - i>(t) = i{t). Тогда система (4) принимает вид

^=P(i)y + F(i,y) + f(i), (5)

где вектор-функция f(i) непрерывна при to < t < tJ и удовлетворяет неравенствам |f(i)| < Si при t € ¿г+i]> i = 0,1,..., т. Рассмотрим линейную систему

! = Р«)у. (С)

Предположим, что система (6) удовлетворяет условиям теоремы 3.1 на промежутках [ij,ii+i] с константами щ и Д,, i = 0,1,..., то, введенными при формулировке этой теоремы. Зададим произвольные положительные числа £{, г = 0,1,..., то, при этом будем считать £j столь малыми, чтобы в шарах |у : (у| < вектор-функция F(i, у) удовлетворяла условию Липшица:

|F(i,y') - F(i,y")| < h\y' - y'|,0 <k< vA,

при t e [ii,i»+i], у',у" e Bi,i = 0,1,...,m.

Теорема 5.1. Если Si < (^Д* - li)Si, г = 0,1,..., то, то система (5) имеет решение у = u(i), удовлетворяющее неравенству |u(i)| < £i при t S [ti,ti+i], i = 0,1,...,то.

В главах 6 и 7 даются эффективные методы проверки условий теоремы 3.1 с использованием методов приближенных вычислений.

Список литературы

[1] Плисс В. А. Существование решения дифференциального уравнения, близкого к приближенному решению // Дифферент уравнения. 2002. Т.38, №7. С.897-906.

[2] V. A. Pliss. The existence of a true solution of a differential equation in the neighbourhood of an approximate solution // Journal of Differential Equations. 2005, №208. P. 64-85.

Публикации автора по теме диссертации Статьи в рецензируемых журналах и изданиях:

[3] Васильев В. А. Условия существования решения системы дифференциальных уравнений, близкого к приближенному решению // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 3. С. 310-321.

[4] Васильев В. А. Об одном способе построения приближенных решений линейных систем на длинных интервалах времени / / Вестник Санкт-Петербург, ун-та. Сер. Математика, механика, астрономия. 2011. №3. С.3-6.

Другие публикации:

[5] Васильев В. А. Анализ линейной системы с помощью приближенных вычислений // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2011. №3. С. 138-157.

[6] V. A. Vasiliev On One Method of Constructing Approximate Solutions to Linear Systems on Long Time Intervals // Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. 2011. Vol.44, №3. P. 167170.

Введение.

Глава 1. Постановка 'задачи

Глава 2. Исследование (Лх, Л2, а\, (^-гиперболических систем

Глава 3. Условия существования ограниченного решения линейной неоднородной системы.

Глава 4. Сравнение условий существования ограниченного решения линейной неоднородной системы.

Глава 5. Применение условий существования ограниченного решения линейной неоднородной системы к основной задаче

Глава 6. Анализ линейной системы с помощью алгоритмов приближенных вычислений

Глава 7. Дополнительные сведения о (Ль Л2, аь «2)-гиперболических системах.

С конца 60-х - начн т 70-х годов прошлого столетия предпринимаются многочисленные попытки исследования качественного поведения периодических и автономных систем с помощью вычислительной техники. Идея такого рода исследований состоит в следующем: строятся приближенные решения (одно или несколько) на весьма длинном промежутке изменения аргумента. Эти приближенные решения задают некоторое множество точек в фазовом пространстве. Есть весьма веские основания надеяться, что эти построенные множества содержат в себе аттракторы и неблуждающее множество изначальной системы. Часто подобными методами удается установить наличие или отсутствие периодических решений, гомоклинических точек и контуров. Все это позволяет получить важную информацию о качественном характере поведения решений заданной системы дифференциальных уравнений.

В настоящее время известно довольно много работ, связанных с этой проблемой, например [1-15].

Приведем некоторые результаты, изложенные в этих работах. Одной из первых и наиболее известных является статья [1], посвященная исследованию уравнения Дуффига с периодическим вынуждением.

В ней изучается дифференциальное уравнение: х I- 5х — (Зх + ах3 = / соз(и;£), где / > 0 произвольный параметр, а а, (3,5, си фиксированные положительные числа. На основе исследования приближенных решений автор делает выводы о наличии или отсутствии у него аттракторов, неявляющихся периодическими решениями, гомоклипических решений и гомоклинических контуров в зависимости от параметра /. А также исследуются свойства (структура) этих решений, путем анализа приближенного решения.

В работе [13] с помощью приближенных вычислений изучаются предельные циклы осциллятора i = е,(1 - щ) - ai/10 + J2f(ai)ivij - ai)> j где а а > 0 =

0 а < 0. e¿ > 0, Vij равняется +1 пли —1, г = 1,., 6.

В недавно опубликованной статье [14] при помощи указанных методов изучается структура аттрактора системы i = 2( - 2£(£ + п) - ^(cos в + с2 sin 9) i] = 2т) - 2г/(2£ + Зт?/4) - 2^77(cos в - с2 sin 0) - /с2ту 0 = с2(2£ - 77/2) + (2£ + 7]) sin 6> + (2£ - rj)c2 cos в + 2схк2 в зависимости от параметров Ci, с2 и fc, при этом r¡ > 0.

В работе [15] при помощи численного анализа показано, что в системе i + ¿i - az\ + b\zi\2zi = cz\z2 ¿2 + 0.5 z2 = z\ могут присутствовать бифуркации при Imí>, Ree ^ 0.

Описанный метод исследования систем дифференциальных уравнений позволяет получить важную информацию о качественном характере поведения решений заданной системы дифференциальых уравнений лишь при условии, что в окрестности приближенного решения располагается хотя бы одно истинное решение заданной системы, однако, для достаточно длинных интервалов изменения аргумента это условие может не выполняться.

В работах [16], [17] сформулированы достаточные условия, при которых в окрестности приближенного решения существует истинное решение.

Настоящая работа посвящена нахождению более слабых условий, чем приведенные в [16], [17] п построению методов конструктивной проверки этих новых условий.

В первой главе данной работы поставлена задача нахождения условий, при которых любому приближенному решению системы дифференциальных уравнений соответствует близкое ему истинное решение этой системы.

Во второй главе вводится понятие (Ль Лг, аь (^-гиперболичности линейной системы, которое следует понимать как обобщение понятия гиперболичности линейной системы (см. определение [18]). Производится исследование некоторых свойств таких систем.

В третьей главе доказывается теорема, в которой сформулированы обо-щенные условия существования ограниченного решения линейной неоднородной системы.

Четвертая глава посвящена сравнению условий, полученных в главах 2 и 3, с уже существующими результатами опубликованными в [16], [17].

В пятой главе доказана теорема, в которой сформулированы условия существования истинного решения в окрестности приближенного.

В шестой и седьмой главах показывается, каким образом условия теоремы из главы 5 могут быть конструктивно проверены с помощью алгоритмов приближенных вычислений.

Основные результаты опубликованы в работах [19], [20], [21], и [22].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе сформулированы условия, при которых данному приближенному решению соответствует истинное решение, располагающееся в малой окрестности приближенного решения, являющиеся более слабыми, чем условия, которые являются результатом работ [16], [17].

Как было показано в главах 6 и 7 настоящей работы, полученные условия могут быть использованы для построения алгоритмов исследования систем дифференциальных уравнений с помощью вычислительной техники (проверки корректности вычислений приближенных решений на весьма длинных промежутках изменения аргумента). Построение алгоритмов исследования систем дифференциальных уравнений, реализуемых на ЭВМ, с учетом приведенных в настоящей работе условий существования истинного решения в окрестности приближенного — предмет отдельного исследования, так как ЭВМ работают с заранее заданной нижней границей точности вычислений.

Дальнейшие исследования будут проводиться в направлении построения необходимых условий, при которых данному приближенному решению соответствует истинное решение, располагающееся в малой окрестности приближенного.

1. P. Holmes A nonlinear oscillator with a strange attractor. // Phil. Trans. Roy. Soc. 1979. 292. 419-448

2. F. Cirak, J. Cisternas, A.M. Cuitino, G. Ertl, P. Holmes, I.G. Kevrekidis, M. Ortiz, H.H. Rotermund, M. Schunack and J. Wolff Oscillatory thermo-mechanical instability of an ultrathin catalyst. // Science. 2003. 300. 19321936.

3. R. Goodman, P. Holmes, and M.I. Weinstein Strong NLS soliton-defect interactions. // Physiea D. 2004. 192. 3-4. 215-248.

4. T.R. Smith, J. Moehlis and P. Holmes Low-dimensional models for turbulent plane Couette flow in a minimal flow unit. //J. Fluid Mech. 2005. 538. 71110.

5. T. McMillen and P. Holmes An elastic rod model for anguilliform swimming. //J. Math. Biol. 2006. 53. 843-866.

6. J.E. Seipel and P. Holmes Three-dimensional translational dynamics and stability of multi-legged runners. // Int. J. Robotics Research. 2006. 25 (9). 889-902.

7. R. Bogacz, E. Shea-Brown, J. Moehlis, P. Holmes and J.D. Cohen The physics of optimal decison making: A formal analysis of performance in two-alternative forced choice tasks. // Psychological Review. 2006. 113 (4). 700 -765.

8. P. Holmes, R.J, Full, D. Koditschek and J. Guckenheimer Dynamics of legged locomotion: Models, analysis, and challenges. // SIAM Review. 2006. 48 (2). 207-304.

9. R. Kukillaya and P. Holmes A hexapedal jointed-leg model for insect locomotion in the horizontal plane. // Biological Cybernetics. 2007. 97 (5-6). 379-395.

10. J. Gao and P. Holmes On the dynamics of electrically-coupled neurons with inhibitory synapses. //J. Computational Neurosci. 2007. 22. 39-61.

11. Y.S. Liu, P. Holmes and J.D. Cohen A neural network model of the Eriksen task: Reduction, analysis, and data fitting. // Neural Computation. 2008. 20 (2). 345-373.

12. P. Varkonyi, P. Holmes, T. Keimel, K. Hoffman and A.H. Cohen On the derivation and tuning of phase oscillator models for lamprey central pattern generators. //J. Computational Neurosci. 2008. 25 (2). 245-261.

13. Т. С. Ахромеева, Г. Г. Малинецкий О странном аттракторе в одной задаче синергетики. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. №2. С. 202-218.

14. А. Ю. Колесова, Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов Резонансная динамика нелинейных флаттерных систем. // Тр. МИАН. 2008. Т. 261. С. 154-175.

15. В. А. Плисс Существование решения дифференциального уравнения, близкого к приближенному решению // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. №7. С. 897- 906.

16. V. A. Pliss The existence of a true solution of a differential equation in the neighbourhood of an approximate solution // Journal of Differential Equations. 2005. №208. P. 64-85.

17. JI. Я. Адрианова Введение в теорию линейных систем дифференциаль-ныхуравнений. С-Пб. 1992.

18. В. А. Васильев Условия существования решения системы дифференциальных уравнений, близкого к приближенному решению // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. №4. С. 1-12.

19. В. А. Васильев Анализ линейной системы с помощью приближенных вычислений // Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления. 2011. №3. С. 138-157.

20. В. А. Васильев Об одном способе построения приближенных решений линейных систем на длинных интервалах времени// Вестник СПБГУ. 2011. №3. С. 3-6.

21. V. A. Vasiliev On One Method of Constructing Approximate Solutions to Linear Systems on Long Time Intervals // Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. 2011. Vol. 44. №3. 167-170.

22. Б. П. Демидович Лекции по математической теории устойчивости. М.

23. Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чиженков Численные методы в задачах и упражнениях М. 2000. С. 363-369.

24. J. G. Blom, М. Louier-Nool A class of Runge-Kutta Rosenbrock metods for solving stiff differential equations. // A F Deling Numerieke Wiskunde Department of numerical mathematics. Mathematish centrum . 1982. №125.1967.