Свободная интерполяция образами теплицевых операторов с внутренними символами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи УДК 517.5

БОРИЧЕБА Инна Анатольевна

СВОБОДНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ОБРАЗАМИ-ТЁПЛИЦЕВЫХ ОПЕРАТОРОВ С ВНУТРЕННИМИ СИМВОЛАМИ

(01.01.01 - математический анализ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена ео ВНЯЛ злетстроизадрительцых приборов, Санкт-Петербург.

Научный руководитель -

кандида! физико-иатеыатшчеокю: наук,

старший научный сотрудник ДЫНЬЕИН Евсей Матвеевич

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук,

профессор ШИРОКОВ Николай Алексеевич

кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник ТОЛОКОННИКОВ Вадим Артурович

Ведущая организация - Санкт-Петербургское отделение из?еретического института РАН имени В.А.Стеклова.

Запита состоится ■ ■ Ос/са^ц 1992 г» в ■ % * часов на заседании специализированного совета К 063.57.29 по присуадению ученой степени кандидата физико-математических наук в Саккт-Петер-бургском государственной университете по адресу! 198904, Санкт«Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ¡тени Ы.Горысого Санкт-Петербургского университета, Университетская наб., 7/9*

Автореферат разослан »20 * ... /У^ФЯ 199Ъ г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

0.И.РЕЙВ0В

РОССИЙСКАЯ

DCbV'^i'fc'fiH.'irtij БйоЛИО";

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи интерполяции в различных пространствах аналитических функций активно изучались б 50-80 гг. Начало их рассмотрению полонила теорема Л.Карлесона об интерполяции в пространстве Харди Н°° /I/ (1952). В ней впервые поставлена задача интерполяции для целого класса функций, в отличие от тех постановок (например, задача Неванлинна - Пика), где речь идет об интерполяции индивидуальной функции. Поставленная Карлесоном задача состоит в описании интерполяционных последовательностей, то есть тех последовательностей {Zk} точек открытого единичного круга, для которых оператор сужения Я; f-*-(f(Zi)t ¿(¿Zz)....) отображает лро-

Н» „(Я '

на пространства е всех ограниченных последовательностей комплексных чисел. Необходимость условия очевидна; задача Карлесона есть задача описания тех последовательностей, для которых это необходимое условие является достаточным. Такая задача - описание множеств пузлов интерполяции", для которых естественный класс (класс, выделяемый некоторыми необходимыми условиями) совпадает с образом оператора сужения R - получила название задачи свободной интерполяции /2/, Постепенно в конце 70-х -начале 80-х гг. к задачам свободной интерполяции стали относить не только задачи описания интерполяционных множеств, но и задачи выбора естественного класса следов.

В работах С.А.Виноградова, В.П.Хавина, А.Н.Коточигоза, Е.М. Дынькина, С.В.Хрущёва, И.Бруна (70-80-е гг.) рассматривались задачи свободной интерполяции во многих классах гладких функций, в том числе и в классах Гёльдера, Бесова, Жеврея. Существенным для гёль-деровской интерполяционности множества оказалось наличие на нем меры с определенными условиями роста, так называемой однородной меры (см., например /3/). Ранее такие меры появлялись в работах Е.М.Сгей-на, Г.Вейсса, ЧЯ'еффермана (конец 50-х - начало 70-х гг.) по сингулярным интегралам и теории Литтльвуда - Пэли. Результаты Вольберга -Конягина (1984) связали наличие на некотором множестве £" однородной меры с метрическими свойствами множества В .

Интерполяционные задачи тесно связаны с задачами описания идеалов и факторпространств по ним в различных функциональных пространствах /2/. Так, задача описания естественного класса данных интерполяции в аналитической масса Гёльдера f\ , 0<5<S, есть задача описания факторпространства AS п0 идеалу

Е- А5-

1=

интерполяционное мноаество.

Естественным обобщенней такой задачи является задача описания факторпространства по произвольному идеалу. Общий вид (замкнутого) идеала в пространствах Гёльдера А* описан в работах Ф.А.Шамояна /V и Б.йДоренблхша /5/. Квядый такой идеал й характеризуется замкнутым ынокествоы Е на границе и внутренней функцией & в том смысле, что , „ „, п, . . .,

с?=[{бА*: /¡е =0, ¡/в б А*},

где множество В и функция в связаны между собой следующим условием: граничная часть спектра функции О лекит в £ .

Идеал О отличается от I наличием деления на функцию ^ . Задача описания факторпространства по идеалу 3 является далеко идущим обобщением задачи свободной интерполяции, и ее решение неизвестно. Рассмотрим, однако не, действие на наше пространство А* тёплицева оператора с символом & . Известно, что это действие сохраняет гладкость функции (см., например, /б/). Будем изучать сужение тёплицева образа на спектр идеала й . Ясно, что оно зависит только от класса функции в А*/Э . Множество таких сужений отражает структуру этого факторпространства. Поэтому полное описание возникающего пространства следов - естественная составная часть общей проблемы. При 6=1 такое описание сводится к задаче классической свободной интерполяции.

Цель работы. Описание следа тёплицева образа Т§ X , где в качестве X выступают классы Гёльдера, Бесова, 2еврея, а & -сингулярная функция, поровдающая__мерв которой однородна. Описание пространств следов в терминах Э -производной. Альтернативное описание пространств следов как пространств днсетов переменной гладкости. Изучение пространств функций-дкетов переменной гладкости. Решение задачи свободной интерполяции образами тёплицевых операторов с символами .указанного вида.

Общая методика исследований. Используются общие методы теории операторов, комплексного анализа, техника диадических оценок интегралов типа Коши, техника Уитни продолжения гладких функций с произвольного замкнутого множества и техника Е.Н.Дынькина продолжения гладких функций с оценкой на д -производную.

Научная новизна. Все ооновные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут бить применимы к вопросам описания граничного поведения гладких функций, к теории неквазианалитических классов Карлемана и к исследованиям интегралов типа Коши.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ЛОМИ - ЛГУ по спектральной теории функций и на аспирантской семинаре ВЕШИЭП.

Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в работах /10-12/.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения и трех глав, разбитых на 9 параграфов. Список литературы содержит 41 название.

КРАТКОЕ СОДЕРЕАНИЕ РАБОТЫ

Общее описание. В диссертации решается задача свободной интерполяции тёшшцевьши образами в трех шкалах пространств гладких функций: классах Гёльдера ^ , Бесова Лр и йеврея . Первая глава целиком посвящена постановке и решению задачи свободной интерполяции образами тёплицевых операторов в пространствах Гёльдера А* . Применяя теплицев оператор к функции £ из /И , мы получаем новую функцию ^ а Т& $ и рассматриваем ее след на спектре

нашей внутренней функции в . Само понятие следа здесь неочевидно и обсукдается отдельно в тексте главы. Тёплицевы образы гёльде-ровых функций описываются в терминах продолнений с оценкой на производную, а их следы характеризуются как элементы некоторого пространства дкетов в смысле Уитни.

Вторая глава посвящена рассмотрению классов Бесова. Однако по техническим причинам оказывается удобным рассмотреть более общую шкалу пространств функций типа Ар с переменной гладкостью. В терминах таких пространств и получается решение нашей задачи для классов Бесова.

Третья глава посвящена задаче свободной интерполяции образами тёплицевых операторов в классах Жеврея. Пространство следов в этом случае выглядит как пространство джетов бесконечной длины, обладающих переменной гладкостью. Описываются свойства таких пространств - обобщённых классов Карлемана. В этой не главе приведена интерполяционная конструкция, позволяющая завершить решение задачи сво-

- б -

бодной интерполяции образами теплицевых операторов во всех рассматриваемых пространствах функций (классах Гёльдера, Бесова и Жеврея).

Во всей работе предполагается, что символы рассматриваемых операторов Теплица являются сингулярными функциями, порождающая мера которых удовлетворяет условию удвоения /3/. Всюду далее задача интерполяции тёплицевыми операторами с такими символами называется неклассической интерполяционной задачей.

Перейдем к более детальному обзору диссертации по главам.

ГЛАВА I. Неклассическая интерполяционная задача в пространства:

Гёльдера

Первый параграф этой главы носит вводный характер, в нем приведены некоторые нужные в дальнейшем изложении технические результаты, В § 2 рассматривается неклассическая интерполяционная задача в пространствах Гёльдера А5 с малыми показателями гладкости, 1/2, В этой ситуации след тёшшцева образа функции можно понимать буквально, то есть как сужение.

Пусть теперь Ес1%— - интерполяционное мноаество (услови! интерполяционности одинаково для всех значений показателя гладкости 5 ). Согласно /3, 7/ на Е существует однородная мера с показате^ лем роста, меньшим единицы, то есть такая мера уи , что для любого интервала I вещественной оси с центром в Е

ы, С=ССЕ), (£>,)

Число ^ , Oi.fr <1 , называется показателем роста меры .

Пусть Э - сингулярная в €■- функция с г>оро>кя/)кщеьг мер'о.

/А , - оператор Теплица, действующий по формуле Пусть {бА5, 0<5< 1/2, =

Теорема I главы I. Пусть 21, 2г €. £ . Тогда

I $ (г,) - Н2)к< соу)^ ( '^сг^г^з) ] (I)

где — уу-мера интервала вещественной оси с центром

в 21 длины

Формула (I) показывает, что гладкость функции ^ колеблется между 5(2-^) и 25.

Функции, удовлетворяющие на Е условию (I), можно псевдоанали тически продолжать в С I Е , как и функции из обычного класса Гёль дера.

Теорема 2 главы I. Пусть / - непрерывная на Е функция, удовлетворяющая (I). Тогда существует продолжение р функции £ в CIE такое, что

l&F(Z)\ iСJ)LZ)s"1rnin^it jH2)/\íZ))S, 26 С\Е, (2)

Здесь fíZ) — регулярязованное расстояние от точки 2 до адокества Е !Ь/} — JA -мера интервала на ÍR с центром в ближайшей к 2 точке Е длины 2J^tZ).

При 5У/ 1(2 для описания пространств следов тёплицевых образов разностная оценка типа (I) становится недостаточной. След фун-здии на Я должен включать и значения ее производной. Е мокет меть изолированные точки - мы сталкиваемся с необходимостью определяя производных в них. Еще большие трудности возникают при $> 1 лежду s(2-f) и 25 ыонет находиться целое число. Становится не-юнятно, производные какого порядка доляны войти в описание простран-;тва следов. Чтобы избегнуть этой неоднозначности, нам придется связать показатель S гладкости исходного пространства и показатель у юста меры jj условием: существует такое целое 1 , что

t<S(2-J)$2S(t + i (3)

Мы предполагаем, что S и SÍ1-J) не являются целыми чис-

[аии.

В § 3 рассматриваются произвольные нецелые значения S , удо-шетворякщае' (3). Определяется пространство 0О5 функций / , не-¡рерывных в С и непрерывно-дифференцируемых в С \ Е таких, что

с_ fj>c2)z)s

^ J& VHzT/ ? zeC\E, W

его i/ineqji

Üs'[ IgjDs\I{(b)]ÍCC/(Z)S}.

Оказывается, что у функций из

ыонно определить (непрерыв-ые в точках Е ) производные , о & К i t , 'Z определено

(3). Идеал теперь описывается как идеал функций, обращаю-

ихся на Е в нуль вместе со всеми производными порядка до ъ ключительно.

Теперь вд ыоаем определить пространство функций гельдерова ти-а, обладающих переменной гладкостью.

Определение, л <£ АЧЮ , если „

с / ¡х-т \5

- ) > (5)

дс, а 6Е, 1, г;

г-к /

«к Г/; = /- { ¿1 С*')

След тёплицева образа конкретной функции /б /И определяется как факторкласс в }функции = ^¿Г^/-Здесь

^ — перепродолкение непрерывной на функции Ь , совпадающее с Ь на 5" и достаточно близкое к И в окрестности Е , имеющее контролируемую оценку на 3 - производную. При эта

оценка обеспечивает принадлежность классу <¿3""

{при с<5< У/2 в классе «<¡9 лежали сами тёплицевы образы Т^т ^ > , и не нукно было дополнительно перепродолнать

их). Обозначим через Г оператор, сопоставляющий функции ^ так определенный след ее тёплицева образа.

Теорема 8 главы I. Т( Л5>) ~ 7\$ ^

В этой гщаве доказывается только включение Обратное включение доказывается в § 3.3.

ГЛАВА 2. Пространства функций переменной гладкости

В этой главе содержится описание пространств Т-образов классов Бесова, однако ее предмет несколько шире. При описании таких пространств естественно возникают условия на Ъ -производную,выраженные в терминах не равномерных, как (4), а интегральных оценок. Пусть ^ лежит в аналитическом классе Бесова Ар) 445<<^>}-1^р<оа> — перепродолжение, определенное в первой главе,

Тогда \ ш.,^

¿{е1I < ^

где ~ул СТг), 12 - интервал на £ с центром в ближайшей

к 2 точке Е длины

Удобным для работы с условиями типа (6) является рассмотрение целой шкалы функций переменной гладкости. Средством измерения гладкости является некоторая вспомогательная весовая функция.

Пусть Е —интерполяционное (для классов Гёльдера и Бесова)

множество, Н —неотрицательная функция, заданная на множестве всех пересекающихся с Е интервалов вещественной оси В • Пусть существуют JL iß У О такие, что

причем для некоторого целого t

0< 1 iß < 14-1 (7)

Условие (7) здесь аналогично условию (3).

Свяжем с весовой функцией Н функцию точки ht2) , 'Z€<C-\Et определив ее формулой hcS) =H(Iz-) , где

- интервал на R

с центром в блинайшей к 2 точке Е длины 2

Пусть 4i р < оо , Дополнительно предположим, что число t , определенное в (7), не равно нулю.

Определение. Непрерывная в С и непрерывно-дифференцируемая в С)Е функция £ принадленит пространству eDf , если Г I ftiZ) .P^XfAxJu

I P<Z> J (8)

При p~oo рассматривается естественная модификация (8)

h&)/j>iz), геС\Е. (8-)

При р — о° допускается значение ^ , равное нулю.

Видно, .что если положить Н(1)~ ( JH3 Г то

4 ju

(8) превращается в (б), а (8') - в (4), то есть тёплицевы образы классов Гёльдера и Бесова содержатся в этой шкале пространств.

Функции из ¿Эр определены на Е , и ш можем говорить об их следах как о днетах. Ко если для рм (например, для образов классов Гёльдера) днет содержит % непрерывных на производных, то для р<°° ш можем гарантировать существование только (Ч — У )-ой непрерывной на Е производной. Оказывается, однако, что I,лишняя" Ч- -ая производная токе существует. Но она уке не является непрерывной на Е , а лишь принадленит L ( с1/У) . Здесь У-произвольная однородная мера на f с показателем роста, меньшим единицы, связанная с j-/ соотношением

и (.Di/ст) , , (Э)

-t+i £ const

где ( I к Э - пересекающиеся с В интервалы вещественной

оси), /Г| обозначает длину интервала 1 . ^

Для определения следа на Е функций из ^ нам, как и в главе I, понадобится рассмотреть некоторый идеал.

Определение. Пусть , Кр< с* . » если

При р=со (/£?) заменяется на

с/кг), *6С\Е. Но')

Теорема I главы 2. Пусть , Ир<■<& , У удо-

влетворяет условию (.9 ). Тогда при р<оо ~ ° >/<•=<? »4,

...-О У-/7. в. ; при р = сх>

4,..., ъ. н

Теперь мы можем определить след на £ функции из Л)^ как

класс, соответствующий ^ в факторпространстве дО^ I^ . Нам осталось описать его на языке джетов. . , ^ ^

Пусть джет 411>, ..., лекит в С(Е) *

ьр (¿¡¡/) I I ^ определено в ^ удовлетворяет ус-

ловию (3). н

Определение. ^ принадлежит пространству » если

где остатки ( определены в (5"').

При р~оо считаем, что исходный диет ^ лежит в С (В) , а ({!) заменяется на

и У_7

(< С е Е; ш')

Теорема 3 главы 2. = X /? 1<р$оо.

Эта теорема позволяет отождествить следы тёплицевых образов пространств Бесова с некоторыми пространствами днетов (в роли меры

в этом случае выступает порождающая мера сингулярной функции символа рассматриваемого оператора Теплица.

Пусть пр<*> , джет Л = П1о\ £ в

СС£Г*1Р(<//). ^ 1 Ч > * > >1 '

Определение. ^ £ (В) , если

¿г0 Л /х-у/2*-" I ут^дз^ <*/(*и/у)<».

Е*Е

5 '—' $

Теорема 4 главы 2-Т ( Ар) -- Рр (Е) } 5> /} 1<.р<оо.

Как и в гладе I, в этой главе доказывается только включение

Т ( йр) ^ Вр (Е) • Обратное включение доказано в § 3.3.

ПАВА 3. Неклассическая интерполяционная задача для классов 2£еврея. Неоднородные классы Нарлемана

Эта глава стоит несколько особняком: в ней рассматриваются небанаховы функциональные пространства. Речь идет о 7"-образах классов Нарлемана С { М^ , среди которых особо выделяются классы 1е-врея .

Отметим, что в отличие от классов Гёльдера и Бесова условие -интерполяционности множества зависит от показателя . Е -интерполяционное для класса О ынояество, если /§/ для любого интервала ■

¡с/Е! <С1 л".

г

В этой главе обсуждаются два вопроса:

1) определение неоднородных классов Нарлемана - аналогов пространств переменной гладкости с весовой функцией бесконечного порядка;

2) постановка и решение неклассической интерполяционной задачи для классов Жеврея. _

В § I получено описание ^-производных тёплицевых образов функций классов Жеврея, аналогичное описаниям (4 ) и (6). Из-за экспоненциальной оценки, которой удовлетворяют д -производные самих функций класса Жеврея, возникает новый эффект. На этот раз оказывается, что если исходная функция £ лежит в классе Ееврея <г , то есть /8/

где

то ее тёплицев образ ^ { подчиняется условию

то есть кроме обычной замены возникает еще

и сдвиг показателя Л-»" и+Х • Однако этот эффект проявляется только при дополнительном условии

■к ^ < <«>

которое ш и предполагаем выполненным в течение всей главы.

Следы на Е функций, удовлетворяющих (14), являются диетами бесконечной длины. Приведем описание пространства следов. ^ Определение. Дзет { ]0 принадлежит пространству & (.0 , если для любого пересекающегося с Е интервала вещественной оси Г

6ЕЛ1 , 0$ К^п , У) < сощЬ (ун(Г)/ц\г) ,

к.,* х, у) = гй - Ш

Ьл+1 (с/хсъ)) Мп (X) = -: ,

а с/хСъ) — С - гладкая монотонная функция, такая, что

¿хС'г)¿иСН^ъ))!?*отделено от нуля и бесконечности. Здесь И^^)" интервал вещественной оси с центром в оСеЕ длины .

Если в ( У2 ) заменить + ± на некоторую другую функцию,

обладающую определенной регулярностью, то естественным аналогом неоднородного класса йеврея становится неоднородный класс Карлемана. Определение (4 ) токе изменяется соответствующим образом.

Неоднородные классы Карлемана являются аналогами определенных во второй главе пространств функций переменной гладкости на этот раз с весом бесконечного порядка. Неоднородность класса проявляется в том, что оценка остатка зависит от конкретной точки,в ко-

торой он вычисляется - коэффициенты Мп не являются постоянными.В § 2 доказано, что следы на Е функций, удовлетворяющих обобщенному условию (12), совпадают с неоднородным классом Карлемана, определенным в (Ц). Заметим, что здесь ыы имеем дело с бесконечно дифференцируемыми функциями, поэтому необязательно переходить к фактор-пространству, след мокно понимать и буквально.

Наконец, в § 3 проведена интерполяционная конструкция, позволяющая закончить решение нашей неклассической интерполяционной за-

дачи дця всех рассматриваемых классов функций (классов Гёльдера,Бесова и 1еврея с показателем Л , удовлетворяющий ¡12 /). Для классов Гёльдера и Бесова исходное множество Е считается интерполяционным, для классов Ееврея ситуация несколько другая - множество должно удовлетворять не обычному, а пперемасштабированноыу" условию

Основными результатами этой главы (я всей диссертации) являются следующие теоремы.

Теорема 4 главы 3. ТС А5) -

Теорема 5 главы 3. Т(Ар) — Вр СВ') > \ <р< со.

Теорема б главы 3.

при условии (13).

ЛИТЕРАТУРА

1. Carleson L. On bounded analytic functions and closure problems

// Ark. for Mat., 1952. V.1. - P.74-82.

2. Виноградов С.А., Хавин В.П. Свободная интерполяция в H00 и не-

которых других классах функций // Зап. научн.сем. ЛОМИ, 1974. Т.47. - С.15-54.

3. Дынькин Е.М. Свободная интерполяция функциями с производной из Z-/1 // Зап.научн.сем. ЛОМИ, 1933. Т.126. - С.77-87.

4. Памоян Ф.А. Структура замкнутых идеалов в некоторых алгебрах

функций // ДАН СССР, 1975. Т.60, Ш 3. - С.133-136.

5. Коренблюм Б.И. Замкнутые идеалы кольца /\" П ФА и его прил.,

1972. Т.6, № 3. - С.38-53.

6. Хавин В.П. О факторизации аналитических функций, гладких вплоть

до границы И Зап.научн.сем. ЛОШ, 1971. Т.22. - С.202-205.

7. Вольберг А.Л., Конягин C.B. На любом компакте в /R* существует

однородная мера // ДАН СССР, 1984. Т.278, ¡ó 3. - С.783-786.

8.Дынькин Е.М. Конструктивная характеристика классов Соболева и Бесова // Тр. НЙАН, 1931. Т.155. - С.41-76.

9. Дынькин Е.М., Хрущёв СЛ. Интерполяция аналитическими функциями,

гладкими вплоть до границы // Зап.научн.сем. ЛОШ, 1976. Т.56. - С.59-72.

10. Боричева И.А., Дыаысин Е.М. Об одной неклассической задаче сво-

бодной интерполяции // Алгебра и анализ, 1992. Т.№ 5. - С. 45-90.

11. Боричева И.А. Следы функций переменной гладкости на множествах

малой размерности // Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 23?б-в%эт 21.о?.92.

12. Боричева И.А. Следы функций неоднородных классов Карлемана на мнояествах малой размерности // Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 2Ъ?7-В92 от 2-/. <7?. 92..