Свободные и несвободные группы дробно-линейных преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. СЮ ГОДНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ДВУМЯ

ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫШ ПРЮБРАЭОВАНИЯШ .II

§ I. Определения и теоремы, необходимые для дальнейшего изложения .II

§ 2. Свободные группы Н^

§ 3. Дополнительные результаты о свободных точках

ГЛАВА 2. НЕСВОБОДНЫЕ ГРУППЫ, ГОРОЗДЕННЫЕ ДВУМЯ

ДРОЕНО-Л ЙН Е ЙНЫШ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ

§ I. Построение областей несвободных точек

§ 2. Несвобода корней из единицы

§ 3. Рациональные несвободные точки

ГЛАВА 3. СЮ ВОДНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ТРЕМЯ

ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫШ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ.

В самых различных областях науки с успехом применяются матричные представления изучаемых объектов. В связи с этим особый интерес всегда представляло и представляет изучение одного из основных разделов теории груш - линейных групп, с которых по существу и начиналась современная теория групп. В частности, большое значение имеет такой раздел, как свободные линейные группы, особенно в свете альтернативы Титса[2б] . В настоящей диссертации рассматривается вопрос, в каком случае дробно-линейные преобразования расширенной комплексной плоскости, которые можно задать квадратными матрицами второго порядка, являются свободными образующими порожденной ими. группы.

В 19¿Ю году Д.И.Фукс-Рабинович [18] получил матричное представление-свободной группы ранга 2. Элементами группы являлись квадратные матрицы второго порядка. Это представление было довольно, .сложным, в записи элементов штриц использовались трансцендентные числа.

В 1947 году И.Н.Санов [17] получил простое представление, показав, что группа, порожденная матрицами является свободной. Санов полностью описал матрицы, являющиеся элементами этой группы, а именно, показал, что они имеют вид где

I Л, ( и г1 - любые целые числа, выбранные с единственным условием: ог$>еделитель О равен I.

В 1955 году Бреннер [21] доказал, что группа С^ , порожденная двумя матрицами

4) « % С0.1) является свободной для всех действительных ул ^ 2 * Элементы группы имеют вид с целыми ^у и определителем I. Матрица /И принадлежит группе , если отношение не лежит между корнями уравнения

При у<~2 группа сводится к случаю, рассмотренному Сановым.

Впоследствии, в 1960 году, Бреннер [22] уточнил свой результат, показав, что найденное условие является необходимым, но не достаточным.

Результат %еннера обобщется для комплексных чисел ул : группа, является свободной для всех \уи\ ^2 .Из того, что группа является свободной для некоторого ул , следует непосредственно, что свободна для всех трансцендентных

У* . Кроме этого, группа свободна для любого алгебраического уи »имеющего алгебраическое сопряженное ул , для которого соответствующая группа свободна.

В 1956 годуХирш [27] поднял вопрос, для каких алгебраических ух , в частности, действительных -2<ул<2 , группа свободна. Между ~2 и 2 бесконечно много значений ух , для которых не свободна. В частности, при есть полная унимодул*фная группа.

В 1957 году Голдберг и Нькмэн [25] доказали, что матрицы

В.( см I и и ~~ I А чи/ \ игг порождают свободную группу, если ~ доминанта в А и ^ - доминанта в В . порожденную матрицами

0.2)

Параметры и и Л связаны соотношением .г п\

0.3) где т=Ъ-(АВ)-1.

При выполнении условия (0.3) группы (э^ и А/д сопряжены в полной линейной группе и, следовательно» изоморфны. Условие . Бреннера >2 для того, чтобы группа (^и была, свободной, равносильно условию /АI ^2 для того, чтобы группа Н^ была свободной. Чанг, Дженнингс и Ри усилили его до условия, что каждая из. величин не меньше I.

В 1961 году Ри Г3^] показал, что значения у/ , для которых не свободна, вскду плотны в единичном круге и в связном открытом множестве на плоскости, содержащем открытые интервалы (-2; 2) и С+ 4) . Точки ^и , для которых 6и свободна, были названы свободными.

М.Нысмэн [31] в 1968 году доказал, что а-:с* ■ е-:1а где а , с , У, </ , ^ , й и = б/—¿У ^ 2 , = 3^ X , свободно порождают свободную дискретную подгруппу из

В том же году Линдон и Ульман [28] значительно упростили доказательство этого результата, а также результата Бреннера[21] . При этом они воспользовались теоремой Макбета [30] , доказанной в 1963 голу. Там же Линдон и Ульман попытались дать условия того, что два дробно-линейных преобразования порождают свободную группу, исходя из расположения фиксированных точек этих преобразований. Но при этом были допущены ошибки, обнаруженные Пурзиц-ким [33] .

В 1969 году.Линдон и Ульман [29] продолжили изучение групп, порожденных дзумя параболическими дробно-линейными преобразованиями, с помощью теоремы Макбета. Было доказано, что свободны все точки А расположенные вне фигуры, образованной единичной окружностью и касательными к ней из точек . Кроме этого, свободны все точки вне объединения четырех кругов, два из которых имеют радиусы / и центры в - 1 , а два других с радиусами 2 и центрами в £ .

Пусть есть множество свободных точек А и /? - множество несвободных точек. Линдон и Ульман показали, что из А £/? следует, что множество /? всщду плотно в некоторой окрестности А . Отсюда множество Р , являющееся замыканием внутренних точек , есть наибольшая замкнутая область, включенная в ./"" . Дополнение к /"" , обозначаемое /? и являющееся внутренностью замыкания К , есть наименьшая отбытая область, включающая /? . Каждое из множеств Г и ^ симметрично относительно действительной и шимой осей, поэтому все результаты достаточно формул1фовать только для первой четверти комплексной плоскости.

Исследуя несвободные точки, Линдон и Ульман взяли порождающие элементы в виде (ОД). Было установлено, что если и0 - комп

2 ^ лексное число такое, что ^ для некоторого натурального п , то несвободные точки ^ расположены всюду плотно на прямолинейном сегменте, соединяющем с нулем. Как следствие отсюда вытекает результат Ри о том, что несвободные точки у всюду плотны в единичном круге.

Записав произвольное слово и/<ч в) в виде матрицы и исследовав элементы этой матрицы как многочлены от и , Линдон и Ульман установили, что точки и несво(3одны. Было установлено также, что если у/ - несвободная точка, то ~также несвободная точка для любого целого ПфО . Но в доказательстве была допущена неточность, и фактически утверждение доказано для •

Изучая структуру групп 6г = для действительных ^ ,

Линдон и Ульман рассмотрели более широкую группу Н , полученную добавлением к й элемента о)

Вообще говоря, для различных уц. элемент 7 может как принадлежать, так и не принадлежать группе 6 , и группа Н соответственно или совпадает с & , или является ее расширением. Так как , то группа п порождена элементами

А и 0 Было показано, что если 2 с^д ^77" , где р. и ^ взаимно простые целые числа, , то Н - свободное произведение циклических групп, порожденных У порядка

2 и 5-А2 порядка О, .В этом случае если ^ нечетно, то б совпадает с Н . Если ^ = четно, то & - собственная подгруппа Н и является свободным произведением циклических групп, порожденных А бесконечного порядка и А В =5 порядка VI .

Рассштривая рациональные ^ , Линдон и Ульман установили, что точки |г/ ^ являются несвободными. Для ^ ответ не был получен. В книге Линдона и Шуппа [з] указано, что несвобода установлена независимо Конвеем и Бреннером (не опубликовано).

В 1973 году Ю.И.Мерзляков выдвинул в "Коуровской теоради" [I] проблему 4.41 выяснить, какие точки свободны. В частности, был выделен вопрос, верно ли, что все точки А вне ромба с вершинами свободны.

М.Нысмэн [32] в 1974 году доказал, что точки являются несвободными при 4 = 2 или р" , где р - нечетное простое число с условием, что 2-первообразный корень по модулю р

Бреннер, Маклеод и Олеский [23] в 1976 году доказали, что являются несвободными все рациональные числа , где

0(= 2; 3 или Ц и \^\<2 . фи доказательстве для случая Д= У они применили ЭВМ.

В статье [в] автора настоящей диссертации была найдена область свободных точек А , расположенная вне ромба, выделенного Мерз-ляковым. В тезисах [7] была указана область свободных точек А , граничащая с ромбом на большом участке его границы, за исключением промежутка между точками ^ и $ .В тезисах ^8] из этого промежутка были исклкяены точки А с условием Яе, \ ^ , но этот результат оказался неточным. Впоследствии с помощью ЭВМ была вычислена новая граница, и в настоящее время известна область свободных точек, включающая большой участок границы ромба за исключением промежутка с условием <Rt\<OJ7 .

В этих же тезисах, а затем в статье [13] была указана область, заполненная всюду плотно несвободными точками À . Эта область является объединением большого числа множеств, каждое из которых вычислено с помощью ЭВМ. Граница этой области близка к границам ромба с вершинами -2, . В частности, область включает в себя ромб с вершинами

В статье [13] было показано, что некоторая окрестность точки А — О, 7+ 0,63с , расположенной на границе ромба, указанного Мерзляковым, заполнена всюду плотно несвободными точками. Это дает отрицательный ответ на вторую часть проблемы Мерзлякова. Одновременно была найдена область свободных точек, определенная условиями

А| £ i , \1т\ \ > j . Эта область расположена внутри ромба с вершинами ±J? . Полученные результаты даг* ют основания предположить, что граница между областями г и R имеет сложную форму и трудно поддается вычислениям.

Одновременно с автором диссертации и независимо отрицательный ответ на вторую часть проблемы Мерзлякова получил А.И.Шкуратский [19] . Шкуратский указал на отрезке гиперболы

Г= {214(3Ht2-if-12ОтZ)Ц J»>ZïO\ всюду плотное множество точек А , для которых группа //^ имеет кручение, и выписал соответствующие соотношения в группе. В отличие от этого метод, описанный в статье [13] , позволяет находить не точки на линии, а области на плоскости, вклшенные в R . Но этот метод не позволяет определять, какие точки этих областей принадлежат /? .

В 1978 году Ю.И.Мерзляков в обзоре fil] выделил еще два подвопроса проблемы: существует ли рациональное число ß в промежутке от -2 до 2 , являющееся свободным (вопрос 3.I.I), и существует ли JU ^ П. являющееся свободным (вопрос 3.1.2). На последний вопрос в диссертации дан отрицательный ответ. Этот ответ был получен одновременно и независимо автором диссертации [9] , [15] и Эвансом [26] .

При исследовании рациональных точек была показана несвобода S 6 т±1 рациональных чисел вида и~ и —jpf при условии ja\<2 . Этот, результат опубликован в 1983 году в тезисах [Ю] .

В 1976 году Еахмут и Мочизуки [20] начали изучение свободных групп ранга 3 , порожденных тремя матрицами

4=(о /)' вг(р и /Л).

Эти группы играют особую роль в исследовании групп автоморфизмов разрешимых групп. Бахмут и Мочизуки показали, что если комплексные числа d , , К по модулю не меньше Л1- то А^ , Вр и С, свободно порождают свободную группу.

Ю.И*Мерзляков [1б] в 1978 году усилил этот результат, понизив границу свободы до

Шарлеман [35] в 1979 году показал, что для действительных значений параметров этот результат усилить нельзя: группа является свободной, если

L.L + 1 <3 ^ ß К

В настоящей диссертации к исследованию этих групп применена теорема Шкбета, позволившая получить новые результаты о тройках чисел оС , ß , Jf , для которых соответствующая группа является свободной ранга 3 . Эти результаты опубликованы в статье [14] в 1980 году.

Заключение

В ходе решения проблемы Мерзлякова о расположении свободных точек на комплексной плоскости значительно усилены результаты, полученные ранее в этом направлении. Расширены границы как множества свободных точек , так и множества /?* , в котором несвободные точки всюду плотны. При этом доказано, что множество /? выходит за границы ромба с вершинами , что дает отрицательный ответ на частный вопрос проблемы Мерзлякова.

Часть результатов получена с помощью ЭВМ. Надежность вычислений обеспечивается тем, что области, вычисленные при построении I? , частично перекрывают друг друга. Правомерность применения ЭВМ вытекает также из того, что для каждой точки из вычисленных областей результаты вычислений можно проверить без использования ЭВМ.

Между вычисленными подмножествами /"" и /? осталась узкая полоса, для точек которой неизвестно, принадлежат ли они г или $ . Полученные результаты дают основание предполагать, что граница между этими множествами имеют сложную форму и может быть вычислена лишь приближенно.

Доказаны некоторые теоремы о несвободных точках. В частности, теорема о том, что все корни из единицы несвободны относительно параметра у/ , дает ответ на другой частный вопрос проблемы Мерзлякова. Доказано, что рациональные числа у/ вида ^рр , 9 ^ и ур! являются несвободными, что приближает решение вопроса о том, есть ли свободные рациональные числа в промежутке от ~2 до 2 .

Разработан метод, дающий достаточное условие того, что три дробно-линейных цреобразования свободно порождают свободную группу. С помощью этого метода получены некоторые результаты о свободных тройках чисел. Метод может быть применен и для исследования групп, порожденных большим числом параболических или эллиптических дробно-линейных преобразований.

По полученным результатам делались доклады на 14-й Всесоюзной алгебраической конференции в Новосибирске в 1977 году, на 15-й Всесоюзной алгебраической конференции в Красноярске в 1979 году, на Герценовских чтениях в ЛГПИ имени А.И.Герцена в 1977 году, на алгебраическом семинаре при АН БССР в Минске в 1977 году, на семинаре по теории групп в МГУ в 1980 году, на семинаре по алгебре и логике в Туле при ТГПЙ имени Л.Н.Толстого неоднократно.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю Мартину Давидовичу Гриндлингеру за помощь в выборе темы и постоянное внишние к работе в ходе ее выполнения.

1. Коуровская тетрадь (нерешенные проблемы теории групп). -6-е изд., доп. Новосибирск, 1978. - 98 с.

2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1977. ~ 240 е., ил.

3. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. - 448 е., ил.

4. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. Представления групп в терминах образующих и соотношений. -М.: Наука, 1974. 456 е., ил.

5. Форд Р. Автоморфные функции. М.-Л.: Объед. н.-т. изд. НКТП СССР, 1936. - 340 е., ил.

6. Игнатов Ю.А. Свободные группы, порожденные двумя параболическими дробно-линейными преобразованиями. В кн.: Современная алгебра. Вып. 4. - Л.: ЛГПИ, 1976, с. 87-90.

7. Игнатов Ю.А. Свободные группы, порожденные двумя дробно-линейными преобразованиями. В кн.: ХШ Всесоюзный алгебраический симпозиум: Тезисы докладов. 4.1. - Гомель, 197 5, с. 121.

8. Игнатов Ю.А. Свободные и несвободные точки комплексной плоскости. В кн.: 14-я Всесоюзная алгебраическая конференция: Тезисы докладов. 4.1. - Новосибирск, 1977, с. 24-25.

9. Игнатов Ю.А. Корни из единицы несвободные точки комплексной плоскости. - В кн.: ХУ Всесоюзная алгебраическая конференция: Тезисы докладов. 4.1. - Красноярск, 1979, с. 60.

10. Ю. Игнатов Ю.А. Несвободные рациональные точки комплексной плоскости. В кн.: ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция: Тезисы сообщений. - Минск, 1983, с. 82.

11. Мерзляков Ю.И. Линейные группы. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 16 (Итоги науки и техники). - М.; ВИНИТИ, 1978, с. 35-89.

12. Ершов Ю.Л., Мерзляков Ю.И. Четырнадцатая Всесоюзная алгебраическая конференция. Успехи мат. наук, 1978, т. 33, .Я (199), с. 239-244.

13. Игнатов К).А. Свободные и несвободные подгруппы PSLZ (С), порожденные двумя параболическими элементами. Шт. сб., 1978, т. 106 (148), }§ 3 (7), с. 373-379.

14. Игнатов Ю.А. Группы дробно-линейных преобразований, порожденные тремя элементами. Шт. заметки, 1980, т. 27, В 4,с. 507-513.

15. Игнатов Ю.А. Корни из единицы как несвободные точки комплексной плоскости. Мат. заметки, 1980, т. 27, В 5, с. 825-827.

16. Мерзляков Ю.И. Матричные представления свободных групп. -Докл. АН СССР, 1978, т. 238, JS 3, с. 527-530.

17. Санов И.Н. Свойство одного представления свободной группы. -Докл. АН СССР, 1947, т. 57, с. 657-659.

18. Фукс-Рабинович Д.И. Об одном представлении свободной группы. -Уч. зап. ЛГУ, 1940, т. 55, с. 154-157.

19. Шкуратский А.И. О проблеме порождения свободной группы двумя у ни треугольными матрицами. Шт. заметки, 1978, т. 24, $ 3, с. 4II-4I4.

20. Bach mu th S, ïïlochizuiïi H, Tripdes of 2x2 matrice* which aenerate free aroupx,-Proc

21. G mer: math Soc"1976, 59, »1, p. 25-\28.

22. Bremer 1L. Quelques Itères de ma tri

23. CX dead Set Paru, /955, p.

24. Brenner IL. The linear homogenous aroup UI~a m tîlatkj I960, 71, n2, p 2/0 -223.

25. BrennerJ.L., IThcfeodR.a., Oiefy W. tlon-free grouùi generated Su two 2*2matrices Can,

26. J.maih, WS, 2/; */2, p 237-m2t. Chang B.,JenninQ5 5.Û., Ree R. On certain painof mai ri-ces which generate free groups.

27. Can.J.tWo th, №8, W, p. 279-m

28. Gold 1er g K.; fleurman LTt. Pairs of matrices of order two which generate free a roups, —m„on j.niatk, 1957, i, p. m-m.26. <fvani R.j. Hon-free flroupi genera teo7 êy taro paraêoùc motricei.-J. Re), / fori. Bur, Stand.1979, M, a/2, p.!79 -/80.

29. Hinch KA Review of21. -M.R. 17,1.ndon R.S., UiCmQnJ.L. Pain of read motrice i that generate free group y fflichiqanmath.., m, /5, a/2, p. /6/-/66 9

30. Lyndon RtSy UtCmanfj,L< Groups Generated êy two paraêoùc linear fractional transformations

31. Can. J Watk, 1969, 2L*6, p/388-tm.30. tYlocSeaih Û.ÏÏJ. Pacing**, free product*, and reù duo élu finite groups. Proc. CamêridQe Phrfcs. Soc, 196Z, Щ p 555-558.31. ¡lewmoin ÏÏ). Patr-s c?f matrices generating discrete free groups and free producti.

32. Michigan IVath.\ 1968, f5J />. /55-/60.32. tlewman til. Ct conjecture on a matrix group whith two generator^, -TRe^ Hat. Bur.1. Stand, /97B78%2, p69-m

33. PurziUftg /? Turo-generators discrete free.product*.-fflatt. % 1972, Щ »2, p 95-/0%

34. Ree R. On certain pain oj^matrices which do not generate a free group. Can. tTtatk Buff.,

35. ShorCemann til. Suêgroupi of SL(2,R) freettg generatedêg three, pam^odic element*,-Linear and тыm Ùnear ai^êra, 1979, » 7, p ШЧ91.

36. Ttib J. Free iuoorroupi ir> linear groupi. — /fyefn*, 1972, 20, p. 250-270.