Свойства решения начально-краевых задач в динамике атмосферы и океана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТЕОРЕШ СУщЕСТВОВАНИ! И ЕДЖСТВЕННОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАдАЧ ДЯл СИСТЕМ ДИНАМИКИ АТМОСФЕРЫ И

ОКЕАНА.

§1. Линейная задача динамики атмосферы и океана

§2. Линейная задача с переменными коэффициентами с лапласианом в третьем уравнении. Единственность обобщенного решения

§3. Существование обобщенного решения и доказательство сходимости метода Галеркина

§4. Существование сильного решения

§5. Нелинейная задача <• лапласианом в третьем уравнении. Существование обобщенного решения

§6. Единственность обобщенного решения нелинейной задачи.

ГЛАВА П. ЗАДАЧА киЬх ДЛл ЛИНЕлННХ СИСТЕМ С ПОСТОлННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, НЕ РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО

ПРОИЗВОдаи

§7. Асимптотика решения задачи Коши для системы динамики атмосферы и океана. Класс единственности решения.

§8. Формулировка теоремы об асимптотическом разложении при ~Ь оо решения задачи Коши с лапласианом в третьем уравнении при ц) фо

§9. Построение решения и получение асимптотического разложения при —> со. ЮЗ

§10. Асимптотика при —^ оо решения задачи Коши при ц; - О.

§11. Класс единственности решений задач Коши в случае и) ф о и Ш = О.

ГЛАВА Ш. О СТАБМИЗАЦйИ И ПРПЙЕДЬНОЛ АШШГУДЕ РЕШИ,! НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЛ ЗАДАЧИ В СЛОЕ ДЛл СИСТЕМЫ дМНАЛЖИ АТМОСФЕРЫ 'Л ОКЕАНА.

§12. Решение однородной системы и получение его асимптотического разложения при

§13. О стабилизации решения начально-краевой задачи в слое при стационарных внешних силах

§14. О предельной амплитуде решения начально-краевой задачи в слое при периодических по внешних силах.

В цикле работ В.Н. Масленниковой ^16-20, 41] и других авторов [1,4,6-8,10-12,24,27-29] исследовались асимптотические свойства решении различных систем гидродинамики вращающейся жидкости. Уравнения движения в этих системах содержали производные от вектора скорости жидкости по времени. Однако, в ряде задач динамики атмосферы и океана [14,15,26 ] , когда размеры по горизонтали значительно превышают размеры по вертикали, при численных расчетах используются системы, в которых отсутствует полная производная /<?(£ , а в случае вязкой жидкости, в третьем уравнении движения иногда не учитывается и лапласиан.

С математической точки зрения системы такого вида мало изучены, особенно это относится к асимптотическим свойствам решений при большом времени. Настоящая работа посвящена исследованию решений именно таких систем.

Цель работы состоит в отыскании условий на коэффициенты системы и начальные и граничные условия для однозначной разрешимости начально-краевых задач для систем динамики атмосферы и океана в различных функциональных пространствах, применению метода Галеркина для наховдения приближенных решений и доказательству их сильной сходимости, изучению асимптотических свойств решений при большом времени и асимптотических разложений, в том числе изучению скорости убывания решения для однородных систем с неоднородными начальными условиями и скорости стабилизации начально-краевых задач при стационарных и периодических по времени внешних силах, а также изучению предельной амплитуды в случае периодических колебаний. Так как системы, исследуемые в диссертации, не принадлежат к типу Ковалевской, то проводится всестороннее изучение задачи Коши для таких систем, как с точки зрения разрешимости и классов единственности, так и асимптотических свойств при X -ЪсО

Решение начально-краевых задач как для линеаризованных систем с переменными коэффициентами, так и для нелинейных систем находится методом Галеркина в подходящим образом подобранных функциональных пространствах, в которых доказываются сильная сходимость приближенных решений к точным обобщенным решениям и теоремы единственности этих обобщенных решений.

В работе широко используется преобразование Фурье, метод априорных оценок, специальные функции и различные методы математического анализа для нахождения асимптотик.

Все результаты диссертации являются новыми. Впервые получены - методом Галеркина приближенные решения начально-краевых задач для различных систем динамики атмосферы и океана; и доказаны теоремы о сильной сходимости метода Галеркина.

- Всесторонне изучена задача Коши для систем гидродинамики с учетом вязкости, не разрешенных относительно производных

ЭУ51П » найдены классы единственности и асимптотические разложения решений при большом времени.

- Найдена точная скорость стабилизации решения начально-краевой задачи в слое при неоднородных начальных условиях и стационарных внешних возмущениях, а также изучены свойства предельной амплитуды при периодических по времени внешних возмущениях.

Изучаемые в диссертации задачи возникают при математическом моделировании гидродинамических процессов в атмосфере и океане; поэтому результаты диссертации могут найти применение в этих областиях науки. Полученные в диссертации точные асимптотические оценки и асимптотические разложения при большом времени решений задачи Коши и начально-краевых задач, а также метод Галеркина могут быть использованы при численных расчетах задач физики атмосферы и океана.

Полученные в диссертации теоремы об однозначной разрешимости начально-краевых задач и задачи Коши интересны с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений в частных производных, так как рассматриваемые линеаризованные системы с переменными коэффициентами и нелинейные системы не разрешены не только относительно dP/?t , как это бывает в математической теории несжимаемой жидкости, но и относительно производной по времени от третьей компоненты скорости, т.е. относительно dt • Отметим, что наибольшие математические трудности вызвало решение задач именно для таких вырожденных систем.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Университета дружбы народов, на семинаре под руководством проф. A.A. Дезина и проф. В.Н. Масленниковой в математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР и на семинаре под руководством проф. В.В. Пененко в ВЦ СО АН СССР, Новосибирск. В течение ряда лет 1982-1934 результаты диссертации докладывались на ежегодных конференциях молодых ученых и на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах

Остановимся более подробно на содержании настоящей диссертации.

Она состоит из трех глав, главы делятся на параграфы.

В первой главе в §1 доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения начально-краевой задачи для системы динамики атмосферы и океана вида

ЭР ^ - ь>С*Л)Ух - + £ дЬ 1 2 (0.1)

2*5 эл + + = О

Ъх^ 7>/5 в области ^Г-Лх(0,7] , где Л - криволинейный цилиндр в с основаниями К -О их, = И-»В частности, слой

3 3

Л г {х : X = , х'б /К* с начальными условиями где ,1 = 1,2 - первые две компоненты некоторого соленоидального вектора ^"¿Ч) = } и с граничными условиями вида

3 ^

Здесь М, 1/2(х,у,1/3Сх^)) - компоненты вектора гГ скорости движения жидкости и Р (Х^) - давление. $ (х,"к) - ~ ЕектоР внешних сил; и)Сх,-Ь) - параметр Кориолиса; - постоянные коэффициенты вязкости.

Обобщенное решение задачи (0.1)- (0.3) определяется в пространстве функций \/№г)с Н0РМ0Й

V) - I "Чесол-М^ * ' где ^'(л) - есть замыкание - £ М ¿х) ■ и £ М-0^ в норме, соответствующей скалярному произведению

Г ¿Г -¡Л = У + ^ ^ I л*

Чг» г*,- эх,- + а^

В §1 доказана

Теорема I. Если ^>¿>0, ШЗД 6 1в0№т), £ ^ 1>2 и 4 с*!*) € ^(фт) , то существует единственное обобщенное решение задачи (ОЛ)-(О.З) в У(б!-г), которое удовлетворяет неравенству

И*1*®,)

Существование обобщенного решения доказывается методом Галер-кина, при этом как известно, для определения Галеркинских приближений получаем задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Однако, из-за отсутствия ЪУ3/дЬ в третьем уравнении системы (0.1) , матрица, стоящая при старших производных в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, является матрицей некоторого специального вида г

X оо ' (0.4) где - первые две компоненты полной линейно независимой системы вектор-функций 4А*Ы) = (И?, Ъ//, У*) £ Т/ОД £=1~ёо . Для обратимости матрицы (0.4) нужно доказать линейную независимость системы ("укороченного"вектора - без третьей компоненты)

- 9 х) \

Этот факт доказываем пользуясь свойством соленоидальности векторных полек М Си), затем устанавливаем фундаментальность последовательности Галеркинских приближений в норме •

В последующих двух параграфах доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения начально-краевой задачи для линеаризованной системы вида [44] 2. и л 3 3 км [ г ый) = о в области б)^ = Л X (0,7] , где Л - произвольная область, и

Ч^/*-» = 2, (0.6) лежащая в слое П , (в том числе и ^ , с начальными условиями

Ь = о где предполагается, что Г(х)1/;°(х) - первые две компоненты неко'

I* торого соленоидального вектора рЫ)1)°(х) ~ (ГУ^ГЯ и с граничными условиями

0.7; о

Здесь <\)1у = Ц,) - вектор скорости движения вязкой неоднородной жидкости, Р(Х^) - давление. ^(¿Л)- £>

- вектор внешних сил; - параметр Кориолиса; - плотность жидкости; ^¿(х^ /¿¿Ы), ¿ = 1,3- коэффициенты вязкости - заданные функции в , - символ Кронекера.

Обобщенное решение задачи (0.5) - (0.7) определяется в пространстве функций с нормой где р (л) замыканию ур с*)-. в норме [21,22] . В §2,3 доказана

Теорема 2. Если коэффициенты системы (0.5) удовлетворяют условиям

0<г„£ гы) 5 го , 0<%&п.ы)<у1'0, 0</хо ¿л 00 ¿x, г- а,

IV ?\ «А , I ъ, 1=х7з, е к ^т^СФЛ^ь 6 1-2¿¿V) » то существует единственное обобщенное решение задачи (0.5^ -(0.7) в которое удовлетворяет неравенству где постоянная С зависит от \г . Это решение может быть приближенно найдено методом Галеркина, при этом приближенное решение сходится к точному решению в норме У± (б}т) .

В §4 главы I исследуется вопрос о гладкости найденного обобщенного решения в случае, когда коэффициенты в системе (0,5) постоянные, т.е.

0.8)

Пусть \] (б?у) - пространство функций с нормой Й1 о

0 0 0 где (я) и есть замыкание в норме I. (л), \ЛЛ, (л.) соответственно. Доказана

Теорема 3. Если 1У/&) £ Б £ С* ?£ 12 Щ в ¡2 (Фт) > т0 обобщенное решение, найденное в теореме 2, при условиях (0.8) будет сильным, то есть (х,1) € Ч^Ш-г)

5> и ур 6 удовлетворяют системе (0.5,) почти всюду в (5Т , при этом справедлива оценка *ЗД + «* С, [ "?<и/ « где постоянная С^ зависит от £ Т и к.

В §5,5 главы I рассматривается нелинейная система вида

-^щ+ся-уч += £^

Эх3 о/ = О с условиями (0.6) , (0. Здесь и) и V - положительные постоянные. В §5 методом Галеркина доказывается существование обобщенного решения Хопфа [40] задачи (0.9), (0.б) и (0.7) в том же пространстве \!± , что и для линейной системы (0.5) . Однако, в отличие от линейной задачи (0.5)- (0.7) здесь доказана (теорема 5.1 §5) сильная компактность в [,2 Галеркинских приближений, при дополнительном условии на ! где - первые две компоненты полной линейно независимой системы вектор-функций ТА^Сх.) = , £ Я/СО

Наконец в §6 (теорема 6.1 §6) доказана единственность обобщенного решения задачи (0.9) ,(0,6) и (0.7) для Су Л), £ = 1,2. в пространстве (®7) Л 3/<

2,оо] , так как, классы существования и единственности обобщенного решения не совпадают для первых двух компонент вектора скорости жидкости.

Во П главе диссертации рассматривается задача Коши для линейнЕгх систем (0.1) и (0.5) с постоянными коэффициентами.

В §7 изучается асимптотическое поведение при t оо решения задачи Коши для системы динамики атмосферы и океана, т.е. для системы (0.1) с 10Сх,±) и = у >0 , которая имеет вид

ЭР (оло) 3 к У 7 - О.

Дано явное представление решения задачи (0.10) , (0.2) .

Доказана

Теорема 4. Если 6 и 1)? Сх) , ¿-±,2 - первые две компоненты вектора ,11°то вектор £Г

- решение задачи (0.10) , (0.2) при t<*> стабилизируется к функциям лет

ЩхЛ) У2 Ы) 1 оО ф) г г иъ к ■ !Ъ? соиог втия \ / -щ ¡¡пил а>&и>г) ( 2£ )

Цг г% v, м) =

Лт 7 с г 2 ЭР /, , ,эр где а 6

Л?1 ^ ,2/ со скоростью ОС'Ь'^2) на компакте & С • функция Р не зависит от t . Так же доказана

Функции У^Ы) , С- 1, г , как решение задачи (О.ГО) (0.2) единственны в классе функций, удовлетворяющих при 0<Ь*Т оценке

1-иШ)1 £ Ст^хр{а71х|2] , с,а>о, ссе:

- О. а (х,^ и Р£х,£) единственны в классе: Т «-^чл Отметим, что класс единственности решения 1С- 1,2 совпадает с классом единственности решения задачи Коши для классического уравнения теплопроводности.

Б §8,9 главы П изучается асимптотическое поведение при -{;-><*> решения задачи Коши (0.2) для р системы (0.5) с ^ г О при условиях (0.8) (0»П) на компакте 0\ с . Представление решения задачи (0.11), (0.2) в образах Фурье (§9) позволяет доказать одну из основных теорем в диссертации: о поведении решения задачи Коши при —^ оО.

Теорема 5. Пусть 0\ - компакт в (Я и (/■) , ь -первые две компоненты вектора х) - (У^,!)*, ) £ Тогда главный член асимптотического разложения решения задачи C0.Il), (0.2) при t Ъ,т((л)>0 имеет вид

- ¿з( -да + -¡юъ) (Я>ъ) > (0.12) где и С'ь зависят от начальных данных (0.2^ .

При доказательстве теоремы 5 фактически дается асимптотическое разложение при большом ~Ь , из которого следует (0.12) .

Как видно из теоремы 5, в выражении (0.12) не возможно перейти к пределу при с0 О . Поэтому в §10 главы П отдельно исследуется асимптотика при ^ оо решения задачи (0.11), (0.2) без учета Кориолисовых членов; при этом получено асимптотическое разложение на компакте (уу . В частности, при условиях теоремы 5 главный член асимптотического разложения имеет вид —>> где С Сх) и С^ (х) зависят от (0.2) .

В §11 главы П с помощью теорем о мультипликаторах в преобразованиях Фурье доказано (теорема 11.1 §11) , что решение задачи Коши и и УР(*Л) > построенное в §9,10 (то есть в случаях си ф.0 и ии~ о) является единственным в классах и 6 и С'Ф , где - /£3Х (0,т).

Наконец последняя, Ш глава посвящена вопросу стабилизации и предельной амплитуде решения начально-краевой задачи в слое для системы динамики атмосферы и. океана. Рассматриваемая система имеет вид эо£ , ЭР -и?^ + — ъь ъх

2Ь 1 ^ (0.13)

ЭР

573 где ¿р- ускорение силы тяжести. Для системы (0.13^ в слое = {(х,-Ь) ' X £ П , £ >0^ с начальными условиями (0.2)и граничными условиями вида построено решение, которое имеет вид ^ I 2ъ>НЬ ¿¡I к и>ь*ь)\

Исходя из представления (0.15) , доказана теорема об асимптотическом разложении решения задачи (0.13) , (0.2) и (0.14) .

В частности, справедлива

Теорема 6. Если \%\1)-Сх)е1±(п) и Ю -О, С - 1,2. , то классическое решение (0.15,) убывает при 7 > О следующим образом:

У^СХЛ) ~ о ^ е ) ? 1,2 равномерно по X 6 П и

Ъ^,Ь) - О и равномерно по Х3 е [о,^.

Здесь Л2}-'/^ - первае собственное значение краевой задачи:

Кроме того, С = 4,2 из (0.15) как решение задачи

0.13) , (0.2) и (0.14) единственны в классе функций, удовлетворяющих при о < I < Т оценке и!*'!2 1

КС*>Ь)\ < ст е 1 ^ |х'|2 = равномерно по Х^&Ц

Функции и Р^х^) единственным образом определяются из граничного условия (0.14) , причем зависит от t

В §13 главы Ш рассматривается система вида (0.13) при стационарных внешних силах, т.е. 1

1 >2 у 2

Эл, 3 з Э?/а

--. 4- г ^ (О

Эх, + + э7 - а с однородными начальными условиями

Ч<х'Р1Ыо = о, ¿=1,2 (ол?; и с граничными условиями (0.14) . Решение задачи (0.16) , (0.17) и (0.14) , определяемое по принципу Дюамеля из (0.15) стабилизируется при г> оо к решению стационарной системы

- УДТ^ -г др/эХ1 ^ Н-с^ -УД^ +эР/Эх2 - ^Сх) (0.18)

ЭР/2хз - 1ЪС*) чц - о с граничными условиями (0.14) . Это решение единственно в классе функций при / >с1 { —$ оо . Стабилизация происходит со скоростью т.е. с той же скоростью, с которой убывает решение однородной системы.

Наконец в §14 главы Ш рассматривается неоднородная система (0.16) при периодических по внешних силах, т.е.

Щ/дь ~ши2 -ти^др/э^ =11сх.)ем где А 6-Л?1 ) с начальными условиями (0.17) и граничными условиями (0.14) . Решение задачи (0.19) , (0.17) и (0.14) при Ь}Т>0 может быть представлено в виде к -гс,/, (0.20)

РСХ,*) = $ где 1) (х) ~ решение стационарной системы (О.Щ) с граничными условиями (0.14) , которое имеет вид

I г

УС*) = J у (хЛ)c¡t » где V (х,±) имеет вид аналогичный (0.15) о о с заменой £=1,2 на соответственно. А гоунк-ция 1А (X) имеет виц где и(х,т) имеет вид аналогичный о

0.15) , но с заменой ^(х), 1-1,2. на 1)1Сх), .

Здесь вектор-функция V Ух) есть единственное

Л, 2. у 3 / решение стационарной системы

- и;Ц2(х)-1МЛ±(х) - 00

1ХМг(х) -9£К2(Х) =-С*1)2(Х)

Лм и ОО = О в классе х, = о[ =Ц, ¿йШФ^Щ^+хЪ]ч ¿

1х'/->со 1 Ы25П/1 '^-J2))L ■>/'

Вектор-Функция (г, V убывает при следующим образом: ад = =

1Л)

1. Векуа И.А. О метагармонических функциях. -Тр. Тбилисского Математического Института, 1943. т. ХП, с. 105-174.

2. Гальперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными. -Труды Московского Математического Общества, 1950, т. 9.

3. Масленникова В.Н. Решение в явном виде задачи Коши дляодной системы уравнений с частными производными. -Известия АН СССР, серия матем., 1958, т. 22, № I.

4. Масленникова В.Н. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для системы Соболева. -СМ, 1953, т. IX, Р 5.

5. Масленникова В.Н.-Оценки в 1.р> и асимптотика прирешения задачи Коши для системы С.Л.Соболева. -Труды МИАН СССР, 1958, т. 103.

6. Масленникова В.Н., Ззхай С. Лакшминараянан. О стабилизации, предельной амплитуде и методе Галеркина для решений задач в динамике атмосферы и океана. -ДАН СССР / в печати/.

7. Миллионщиков М.Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости. -ДАН СССР, 1939, т. ХХП, № 5.Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1932. -254 с.

8. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. -Л.: Гидрометеоиздат, 1981. -351 с.

9. Справочник по специальным функциям. -М.: Наука, 1979. -830 с.

10. Лакшминараянан Э.С. Асимптотика по времени решения задачи Коши для вырожденной системы гидродинамики. -М.: УДН, 1934,в кн.: Дифф. урав. и функ. анализ, /сб. науч. тр./, с. 39-60.

11. Лакшминараянан 3.0. Асимптотика по времени при t — решения задачи Коши для вырожденной системы гидродинамики, -в кн.: Дифф. урав. и функ. анализ, /сб. науч. тр. УДН/в печати/.5,8 Adams Robert A. Sobolev Spaces. -NY.: Academic Press, 1975« -268 p.