Связки полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

СЕЦ Ш)

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

с?)

о_

Кізіменко Олександр Михайлович

УДК 512.53

СПОЛУКИ НАПІВГРУП

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наухового ступеня кандидата фізико-математичннх наук

•— Є,-

Киш-2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому державному університеті.

Науковий керівник: кандидат фізико-м атематичних наук доцент Усенко Віталій Михайлович, Слов’янський державний педагогічний інститут, завідувач кафедрою алгебри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Кириченко Володимир Васильович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедрою геометрії.

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Новіков Борис Володимирович,

Харківський національний університет імені В. Каразіна.

Провідна установа: Львівський університет імені Івана Франка, м. Львів.

Захист відбудеться /Уггр&я 2000 року о /З'годині на засідані спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському Університеті імеї Тараса Шевченка за адресою:

м. Київ-ІП, проспект акад. Глушкова, 6, Київський університет іл Т.Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київської національного університету імені Тараса Шевченка ( вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий ^ ^У~2000 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

ПЕТРАВЧУК А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Сполуки (bands) напівгруп - одна з найбільш уживаних теоретико-апівгрупових конструкцій. Така конструкція виникає кожного разу, коли та, и інша напівтрупа володіє гомоморфізмом на деяку напівтрупу ідемпотеїггів. Іерші найбільш відомі застосування сполук - теорема про будову цілком ростах напівгруп (Rees D. On semi-groups // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1940. -

6. - p. 387-400; зараз цю теорему називають теоремою Сушкевича-Ріса) та еорема Кліффорда (Clifford А.Н. Semigroups admitting relative inverses // Ann. of /lath. - 1941. - 42,- p.1037-1049) про будову інверсних напівгруп, що є об’єд-іаннями груп. Певний час конструкція сполуки використовувалась лише як асіб декомпозиції напівгруп з метою описання їх структурних властивостей. Іа цьому напрямку природньо постає пряма задача теорії сполук - задача ласифікації декомпозицій напівгруп заданого класу в сполуки своїх іднапівгруп. Зворотньою задачею теорії сполук є задача побудови композиції імейства напівгруп, індексованих елементами деякої напівтрупи ідемпотентів.

На наш час напівгрупові сполуки утворюють окремий самостійний розділ з шроко розг&туженими тематикою і застосуваннями, Визчаються властивості ізних типів напівгрупових сполук, сполуки сімейств напівгруп, що адовільняють тим чи іншим умовам щодо властивостей їх елементів, [іднапівгруп, структурних властивостей тощо. Так в роботах Гріна, Краузо, /Іакліна, Петрича, Саса та інших вивчаються комутативні сполуки простих іапівгруп. Комутативні сполуки слабокомутативних напівгруп вивчалися Ццом, Петричем, Понделічеком, Тамурою, Ямадою. Предметом робіт [.М. Глускіна, І.Є. Бурмістровича, Хьюітга та Цукермана, Мак-Алістера є омутативні сполуки сепаративних напівгруп. Комутативні сполуки рхімедових напівгруп із скороченнями описано в роботах Р.Е. Холла, Хіггінса, Іетрича, Тамури. Значна кількість результатів стосується матричних сполук, (еякі загальні властивості цієї конструкції описано Ханшмото, Петричем, :.Г. Шутовим, Йошидою. Матричні композиції та декомпозиції комутативних шіівгруп із скороченнями вивчалися В.А. Баранським і А.Н. Трахтманом, Іікінсоном, Петричем, Б,М. Шайном. В роботах Бернелла, Петрича,

І.Г. Шутова, Уорне вивчалися декомпозиції напівгруп з лівим скороченням та ідемпотентами.

Класифікацію напівгрупових сполук в термінах теорії многовидів дійснено в роботах Холла, Хоуві, Петрича, Ямади.

Теорію сполук напівгруп з нулем розвинуто в роботах Богдановича і Гирича, С. Шварца.

Поняття та методи теорії напівгрупових сполук узагальнюються та застосовуються і в інших класах алгебраїчних систем (див,, наприклад, ШварцВ..Я. О плотных расширениях коммутативных п-полугрупп // Теория полугрупп и ее приложения. Вып. 9. Изд. Саратов, ун-та. - 1988.- е. 86-95).

Актуальність теми даної дисертаційної роботи визначається проблемами, що постають в зв’язку з подальшим розвитком теорії напівгрупових сполук. До таких проблем перш за все слід віднести проблему класифікації зовнішніх конструкцій напівгрупових сполук та проблему описання декомпозицій інших напівгрупових конструкцій (таких, наприклад, як вінцевий добуток, вільний добуток тощо) в сполуки своїх піднапівгруп.

Одним з основних загальних засобів розв’язку задачі композиції є спектральний метод Кліффорда (Clifford А.Н. The strucrure of orthodox unions of groups // Semigroup Forum. - 1972. - 3. - p. 283-337), який було узагальнено Б.М. Шайном (Schein В.М. Bands of monoids // Acta Sci. Math. Szeged. - 1974. -36. - p. 145-154) за допомогою подвійних систем гомоморфізмів у застосуванні до сполук одноідемпотентних моноїдів. В іншому напрямку спектральний метод було розвинуто Петричем. Зв’язки конструкцій сполук з іншими напівгруповими конструкціями розглядались по відношенню до прямих та підпрямих добутків (див., наприклад, Petrich М. Introduction to semigroups. -Columbus, Ohio: Charles E. Merrill. - 1973). Декомпозиції вільних напівіруп вивчалися Гріном і Рісом, а також Герхардтом (Gerhardt J.A. The lattice of equational class of idempotent semigroups // J. Algebra. - 1970. - 15, - p. 195-224).

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми В-81.50-1/2.20 -“Симметричні (т,м)-напівгрупи. Напівгрупові кільця. Сполуки напівгруп ”, що здійснювалась у Донецькому державному університеті.

Метою дисертації є:

• подальше узагальнення спектрального методу Кліффорда з метою побудови нових зовнішніх конструкцій напівгрупових сполук;

• класифікація декомпозицій напівгрупових конструкцій вінцевого та вільного добутків напівгруп в сполуки своїх піднапівгруп;

• застосування напівгрупових сполук до класифікації розширень та симетричних зображень напівгруп.

Основні методи дослідження - загальноалгебраїчні з використанням основних методів теорії напівгруп.

Автором запропоновано також нові методи побудови зовнішніх конструкцій напівгрупових сполук.

з

Основні результати дисертації:

1. визначено та вивчено конструкцію подвійного спектру напівгруп-, цим результатом узагальнюється спектральний метод Кліффорда.

Узагальнення досягнуто за рахунок використання подвійних спектрів. Це дозволило поширити метод збалансованих систем гомоморфізмів Б.М. Шайна на напіврешітки довільних напівгруп, завдяки чому вдалося суттєво посилити описання комутативних сполук, запропоноване Петричем;

2. визначено поняття транзитивної системи трансляцій, в термінах якої побудовано зовнішню конструкцію довільної сполуки довільного сімейства напівгруп; описано симетричне зображення цієї конструкції;

цим результатом спектральний метод Кліффорда узагальнюється ще в одному напрямку - відмові від гомоморфності елементів тразитивних систем;

3. описано декомпозиції вінцевих добутків;

за допомогою дього результату для визначеної в дисертації конструкції афінного розширення напівгруп отримано аналог теореми Калужніна-Краснера.

4. описано матричні декомпозиції вільних добутків напівгруп.

Наукова новизна та теоретичне значення. Усі результата роботи є новими. Результати роботи мають теоретичне значення як такі, що є внеском в подальший розвиток структурної теорії напівгруп. Вони можуть бути застосованими до вивченя будови різних класів напівгруп.

Тема роботи є пов’язаною з науковими дослідженнями, що здійснюються в Київському університеті імені Тараса Шевченка, в Харківському університеті імені В. Каразіна, в Слов’янському державному педагогічному інституті.

Особистий внесок здобувача. Усі результати роботи одержані автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на

• XYIII Всесоюзній алгебраїчній конференції (Кішинев, вересень 1985),

• III Всесоюзному симпозиумі з теорії напівгруп (Свердловськ, червень 1988),

• Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті акад.

A.I. Мальцева (Новосибірськ, серпень, 1989),

» Міжнародній конференції з теорії напівгруп на честь проф. Е.С. Ляпіна (С.-Петербург, червень 1995),

» Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті проф.

Л.М. Глускіна (Слов’янськ, серпень, 1997),

» Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті проф.

JI.A. Калужніна (Київ-Вінниця, травень, 1999),

» II Міжнародній конференції з теорії напівгруп на честь проф. Е.С. Ляпіна (С.-Петербург, липень 1999),

• алгебраїчних семінарах Київського, Московського, Харківського, Донецького та Екатеринбурзького університетів 1988-1999 pp.

Публікацію основних результатів дисертації здійснено в 14 робота? автора, з яких 4 в співавторстві. Результати співавторів в дисертації ш використовуються. Список робіт наведено в кінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 11( сторінках і складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури, що містить 77 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі роботи визначено основні поняття, що використовуються в подальшому, сформульовано основні задачі теорії сполук, наведене основні результати про напівтрупи ідемпотентів.

Якщо 5 - напівтрупа, З— напівтрупа ідемпотентів, то гомоморфізм

у3 \ 5* 31 х нт» х[5

називають -7-декомпозицією напівтрупи Б, а піднапівгрупи

компонентами цієї У-декомпозиції. В природній спосіб при цьому визначаєтьсі категорія, об’єкти якої називаються 5-декомпозиціями напівгрупи 5. Задач) описання #-декомпозицій даного класу напівтруп назвемо задачек Вя-класифікації.

Напівгруп ову діаграму

Р—2-+Й

назвемо квазіточною, якщо ц є сюрьєкцією а ішу співпадає з деяким класої^ конгруенції гомоморфізму т]. Сукупність квазіточних діаграм

2-* Д, кєК

(К - деяка множина індексів) назвемо трансверсальною, якщо Іт^ = 1іаут <=>к = т, к,тєК.

Нехай [і'.Б 3 - деяка У-декомпозиція напівгрупи 5, © = {5'г})Єу -

сімейство напівгруп. Я-композицією (Ву -композицією) сімейства & назвемс трансверсальну сукупність квазіточних діаграм

5,—іьЗ, де - мономорфізми. Задачу побудови й-композиції сімейства напівгруг деякого класу називатимемо задачею ^«-розширення.

Якщо для напівгрупи 5 існує деяка В у -композиція сімейства © = {5,-}/єу то говоритимемо, що 5 є ^-сполукою цього сімейства (або ^-сполукою свої? піднапівгруп 5,, іеУ).

У другому розділі роботи вивчаються та застосовуються так звані лів сполуки напівгруп за допомогою техніки, запропонованої Петричем.

Напівтрупа Ь називається напівгрупою лівих нулів, якщо ху~х для всі? х,уеЬ.

Якщо Ь - напівтрупа лівих нулів, а 5 - напівгрупа, дня якої існує деяка ^-декомпозиція, то 5 називають лівою сполукою відповідних піднапівгруп.

В першому параграфі розділу описуються універсальні властивості конструкції лівої сполуки. Для цього визначається поняття і?-мережі сімейства напівтруп.

Нехай © = {£;},£=/- сімейство напівгруп, напівгрупи правих зсувів

напівтруп 5, (і є /). Будемо говорити, що визначено Л-мережу сімейства ©, якщо задано деяку систему Я = {#/},,,=/ гомоморфізмів

Рі] '■ -> Т%{Б]): х ь-> р*і.

й-мережу, що визначається системою Л = позначимо через Л"/ [©; У?].

Зрозуміло, що в двоїстий спосіб можна було б визначити 2,-мережі на сімействі ©, використавши систему Ь — {Л,уантигомоморфізмів

Лу ; $ у) '•х Щ

в напівгрупи T<(Sj) лівих зсувів напівгруп . Усі результати для й-мсреж при цьому дуалізуються.

Будемо, далі, говорити, що система Ф = {«>, }/є/ гомоморфізмів

<р{і: 5; -> ^: х (-» х<рі

є накриттям напівгрупи Р Я-мережею Д] (або, коротше, Жнакритгям

цієї напівгрупи), якщо

Р = иіт^., х<Рі ■УЧ>і

які б не були х є £(, у є , і, j е І. Жнакритгя напівгрупи Р позначатимемо через $(Ж;Р;Ф) .

Якщо З (У; /’і; Ф), - деякі накриття напівгруп ^ та Рі

^-мережею Ж = Л(,У[©;Я], то гомоморфізм цих накриттів визначимо як іюрьєктивний гомоморфізм

/: Р2 : х ь» х/,

що задовільняє умові у/і = <р;/ при будь-якому / є І. Категорію, що при цьому виникає, назвемо категорією Жнакриттів та позначимо через N3-

Множину N{1) = {у, }Іе1 коигруенцій уі напівгруп 5, (/ є /) назвемо

шнгруенцсистемою Д-мережі У = якщо для всіх і,],ка1,

хєБі, (,([,(2 є 5и,и1,и-1еБк виконуються умови:

В термінах конгруенцсистем визначається напівгрупа 23(Х), яку названо -оловною конгруенцнапівгрупою Я-мережі ЛГ = Л'/[©;Д]. Основним результатом § 1 розділу II є

ТЕОРЕМА (п. 1.8, розд. II). У-накриття головної конгруенцнапіегрупи В(У) будь-якої К-мережі У-У’[<3,К] є універсальним об’єктом категорії У-накриттів УЗ-

Оскільки при цьому капівгрупа !В(У) виявляється лівою сполукою, то наведена теорема є універсальною характеристикою конструкції лівих сполук.

В § 2 другого розділу вивчаються декомпозиції вінцевих добутків і застосовуються для описання так званих афінних розширень напівгруп.

Нехай 5 - напівгрупа, %Х) — симетрична напівгрупа на множині X. Афінною 5-параметризаціею напівгрупи 7{Х) назвемо відображення а.БхХ ->У(X):(^;д:)і-> а(і;х),

що задовільняє умові

а(5-,х)а№;у) =а(х\ха(ґ,у)).

Якщо задано деяку афінну 5-параметризацію а напівгрупи 7{Х), то поклавши

Оі^іХ^г) = Гла(л'1;л2);-515г).

хьх2еХ, *ья2<=8, отримаємо на множині ХхБ асоціативну операцію, що визначає напівтрупу (X; 3)Аіа, яку в роботі названо афінним (Х\а) -розширенням напівгрупи 5.

Нехай У = У І [ЗС; /?] - деяка /вмережана сімействі X = {Х,},є/ , що визначається системою /? = {А/}иє/ > Т=0{Т) - симетрична напівгрупа на

множині 1, £ є Т. Через Хг позначимо множину усіх відображень

/ -1 ~>и^і :іі~* >

іеі

для яких і/ є Хц при будь-якому ієі, а через д, - відображення щ:Т*Х( ^ПХ4):(г;/)у^^(г,Г), де ^ (г; /)- перетворення множини Х^ таке, що

для всіх і є І, g є Х§. Відображення щ є афінною 7-параметризацією напівгрупи У(Х^). Виникає, отже афінне (Х^\рс)-розширення {Х^,Т)А^г

напівгрупи Т- 9(1). Такі афінні розширення в роботі названо мережевими, а систему {(Щ \Т)А^ )^еТ - афінною мережею над напівгрупою Т. Основним

результатом другого розділу є такий аналог теореми Калужніна-Краснера:

ТЕОРЕМА (п. 2.4, розд. П). Будь-яке мережеве афінне розширення напівгрупи Т=СГ(1), шо належить афінній мережі {(Х^,Т)А^ }^,іТ над Т,

ізоморфно занурюється в вінцевий добуток головної конгруенцнапіегрупи 2(У) Я-мережі У = У,,[Х,К\ та симетричної напівгрупи Т.

В цьому параграфі описано також ліві декомпозиції вінцевих добутків.

А саме, якщо розглянути вінцевий добуток ]У = (&(У\Г);І')1Уг гангруенцнапівгрупи "В(ЪГ) та напівгрупи Т=7{1), визначити на Т структуру іапівгрупи лівих нулів (позначивши її Ьт), то для напівгрупи \У матиме місце ТЕОРЕМА (п. 2.5, розд. II). Для афінної мережі II = {(Хі',Т)Аиі}^сТ існує

Я-мережа № — Ж І'7 [II; IV] така, що

(ЩуУ)-/)ІУг £ $(№).

У третьому розділі визначаються, вивчаються та застосовуються узагальнення спектрів Кліффорда.

Нехай Ь - лінійна напіврешітка (тобто ху = х або ху-у для всіх х,уеЬ),

- сімейство напівгруп. Через Гг(5,) ( 7^(6^) ) позначатимемо

іапівгрупу правих (лівих) зсувів напівгруп 5, (і є І). Трансляційним спектром :імейства 5 назвемо системи А = (Л/-' }(і^)еет, , Р - {р1’1 антигомо-

«юрфізмів

Xі'1: 8 і -> 7^ (^ ): х ?1/,

•а гомоморфізмів

Я,-» 7,(5,):* і-»/*" ,

цо задовільняють умовам

фи будь-яких (і;і) есо1, (],к)е<з)1, и єБ,, че8к, і,],к є І (для і = у при іьому хЦ=ух, хр‘у’ = ху, х,у є 5,) і

іри будь-яких (у;/)єйь , (к;і)єсо1, uєSJ, V є 8,.

’ут через <»ь позначено канонічне упорядкування напіврешітки £. рансляційиий спектр сімейства 5={5,}ієі позначатимемо через Т/(Л;Р). Дпожина

5(1) = {(/;*)( «є є 5,} напівгрупою відносно операції

(і\і)(і‘-,Л = (Ірі'‘,0,

(';./) е ■

Ця напівгрупа є І-ком позицією сімейства 5 - лінійна Ь -напіврешітка £(/,) = (А,Р,Б)Ь з трансляційним спектром т[ (А,Р). Більше того - має місце

ТЕОРЕМА (п. 1.4,розд. Ш). Нехай Ь - лінійна напіврешітка. Напівгрупа 7 тоді й лише тоді є £ -сполукою сімейства 8 = {5,},^ коли 7'з(Л,Р,5)7. для

деякого трансляційного спектра Т[ (Л,Р) на сімействі £

В § 2 третього розділу описуються напіврешітки довільних напівтруп. Результати, що при цьому отримано, узагальнюють результати Кліффорда про напіврешітки груп, посилюють результати Петрича про напіврешітки напівтруп та доповнюють результати Б.М. Шайна про довільні сполуки одно-ідемпотентних моноїдів.

Через 77)(Л) позначимо трансляційну оболонку напівтрупи А.

Нехай Уг = {і,],к} - трьохелементна напіврешітка, така що Д -к] = і Говоритимемо, що сімейство 5 = {5/,5^,5*} напівгруп Si,Sj,Sk утворює спектральний -симплекс 5(Г3,Я,р,р), якщо визначено гомоморфізми

5,->772(5, ):^->^ = (4,^)

та відображення

р[ : х 8к -» 5,: (х; у) -» (х, у)р{,

р.* : х 5,: (/;и) -> (І,и)р*

такі, що (л1,р*), (Лк,рк) - трансляційні спектри сімейств {Sj,Sj} і відповідно, і для всіх и,х&Ба, (,уеБ^, а,{5 є{к,]},а& р

виконуються умови

\г.у->4 ~ ’ Р(і,и)м!! ~р‘ р“ ’

РЇ&у =$Р?,

де ра (Яа) - внутрішній правий (лівий) зсув, який визначається елементом а Якщо 5(И3 ,Я,р,р) - деякий спектральний 5//-симплекс, то покладемо 5(К3) = {(^)|?еК3,Лб^},

(Х;ЧХУ>Ч) = (ХУ,<І)> <7ЄК3, х,ує8Ч,

(х;дХа;і) = (аЛІ,і), ає5„ <7є О;*}, хєБд,

(а;0(х',д) = (ар^;і), а є 5,, <7 є {./;£},

(*,Чі)(У,Ч2) = (І*>У)мчя12 Л ЧьЙ2^{ї>к),Ч\*Яг, * є ^, у є . Останні чотири рівності коректно визначають на множині 5(К3) бінарну операцію. Ця операція є асоціативною.

Напівгрупу S(V3) назвемо композицією спектрального Sit-симплексу ?(F3, Л,р,р), позначаючи

S(V3) = CompS(V3,A,P,M)-

Напівгрупа § тоді й лише тоді є У3 -сполукою своїх тдпатвгруп S,, S;, Sk, •оли існує спектральний Slt-сштлекс S(V^,X,p,/u) сшейства S~{Sj,Sj,Sk}, Ш якого

S s CompS(V3 ,X,p,p).

Нехай Z- довільна напіврешітка, S = {Sa }сє^ - сімейство напівгруп. 'оворитимемо, що S є Sit -комплексом, якщо для будь-яких а,/3 є £ іизначено деякий спектральний Sit -симплекс Sajj(y^'^ ,Л,р,р), де Да/*}, Я = {Ла’а<},Л^}, p = {pa^,pfi'aP), /л = {/*$,/*£}, mo у іипадку ар — Ра = а пов’язані співвідношеннями

(х\у)р.ар=хрруа, xeSa, yeSj),

= xkpx'a, xeSjj, yeSa.

Sit-комплекс сімейства S = {Sa}аеу позначатимемо через £(<£,Л,Р,М), де ^ = {^Д}(а,/?)Єдаг..Р = {Яа^}(а,^-М='^и^- Якщо І(*,Л,Р,М) -іеякий Sit -комплекс сімейства S = {Sa }aev, то множина

SQL) = {(х,а) І а є L, л є Sa}

: напівгрупою відносно операції

{хрР-а;а), (a,P)ecoz,

(х',аХу,Р) = - (Р,а)єа>£,

((x-,y)Mfl',aP), (u,P)AP,a)£a}z.

Іозначимо цю напівгрупу через Сотр £(£, Л, Р, М). Безпосередньо іеревіряється, що Сотр £(£,Л,Р,М) - У, -сполука сімейства S.

ТЕОРЕМА (п. 2.3, розд. Ш). Нехай £ - деяка напіврешітка. Напівгрупа S поді йлише тоді є £-сполукою сімейства S - {Sa}ae2 своїх піднапівгруп, коли S £ Сотр Z(<£, А, Р, М) для деякого Sit -комплексу £(с?,Л,Р,М).

Коли Sa е групами, отримуємо результати Кліффорда про напіврешітки руп. У разі, коли Sa є одноідемпотентними моноїдами, отримуємо описання їх іапіврешіток в термінах збалансованих систем Б.М. Шайна. Коли, нарешті, Sa : слаборедукгивними, отримуємо результати Петрича про напіврешітки їлаборедуктивних напівгруп.

В § 3 третього розділу наводиться модифікація спектрального методу, що іикористовує довільні відображення напівгруп.

Нехай З - напівгрупа ідемпагентів, 8 - {5, }іе7 - сімейство напівгруп,

Систему 8# = {0)}іь]ЄІ відображень

9‘} : 5, -> SJ : х н-» хв)

назвемо транзитивною трансляційною системою (або транзитивною системою трансляцій сімейства <■>’), якщо при будь-яких і,},к є З виконуються умови

(хЄ\-у)в\^ху,

((/£>' ■ и)в[ ■ У)0*к = Щк • (иві -ї)В%)в*, які б не були х,у,і є. 5,, ие.8], У<вБк.

Відображення 0у (і,у є 3) при цьому називатимемо трансляціями сімейства 8.

Нехай 8*=Щ)Г

- транзитивна система трансляцій сімейства

§ = . Покладемо

8(3) = {(х;і)]іе .7,* є Я,.}

і визначимо операцію

{х-МУ,І)^{{хЄ)-уЩ-і}).

Множина 8(3) відносно так визначеної операції є напівгрупою. Напівгрупу 8(3) назвемо трансляційною сполукою сімейства § і позначимо через :£(<•>#).

Важливий приклад трансляційних сполук виникає на сімействах симетричних напівгруп. Нехай = - сімейство множин, індексованих

елементами напівгрупи ідемпотентів 3, Х# = {м))і- системавідображень

/іу: Хі —> X1 \ х і—> хц^ таких, що — іх. -тотожні (і є У) і для всіх і, і,к є 3 виконується умова

М/Р к — Мк ■

Розглянемо сімейство М = {Мі}іеІ симетричних напівгруп МІ - Т(ХІ) і покладемо

Ж (3) = {(<р,і)1 рєМі,іеЗ},

М* = {0‘ )ие3ъ

де 0іі визначаються за правилом

срЄ)=ц!<рм).

Тоді множина Ж* є транзитивною системою трансляцій для сімейства Ж, а множина Ж(3) є трансляційною сполукою напівгруп М, відносно операції

(9иХг,з)=(гі;<РН;т1',>Л- .

И

Визначимо на M(J) відношення =а, поклавши

(9>;03а (VJ)

гаді й лише тоді, коли

rfw'h =f*'jWkj, ki-kj

хля всіх к <г 7. Відношення ==а є конгруенцією налівгрупи M(J), що дозволяє эхарактеризувати її симетричне зображення.

ТЕОРЕМА (п. 3.6, розд. ПІ), існуємоиоморфізм

)<? ЭЕГ = {(jr;i) І хєХ,,іе J}.

В цьому параграфі охарактеризовано також один клас напівгруп, що зозклздаються в трансляційну сполуку.

В останньому, четвертому розділі роботи описуються декомпозиції вільних добутків напівгруп в сполуки різних класів. Результати, що їх утримано, доповнюють результати Гріна і Pica, Герхардта та інших авторів про декомпозиції вільних напівгруп.

У першому параграфі розділу описано декомпозиції вільних добутків эдноелементних напівгруп. В основі цього результату - описання вільного цобугку довільної напівгрупи і одноелементтюї.

Нехай S - довільна (мультиплікативна) напівгрупа, F[.S] - вільний адитивний моноїд в алфавіті S {в - порожнє слово), є — зовнішній ідемпотеит. Покладемо 7=SU {£} і визначимо /х/-матрицю ГІ = (яг,у) умовами

в, і = j = є,

J, і = є, jg S,

і, ieS;j = £,

ij, iJeS.

Через Af(S) позначимо напівгрупу Pica матричного типу /4(1, F[5], /; П) над

F[5] із сендвіч-матрицею П = Ц,-) і визначимо И3-натврешітку напівгруп S, {£•}, поклавши se= (s; в; є), ss = (s,9,s) і

є S, Ui;x;is)J є S,

sa — < as = <

l(s;x;j),i = є, l(i-,x-,s\j = S,

f a,e~i, f a,j = B,

ea = \ as-{

Цг; і + x;j), і є S, + ;; s),j є S

ядя всіх seS, a = (i;x;j) є A/%S).

Так побудовану напівгрупу позначимо через SfrJSj.

Для вільного добутку ЭДе] напівгрупи Sта одноелементної напівгрупи {є},

viae місце

ТЕОРЕМА (п. 1.4, розд . IV). S{s] =Sltc[S].

Яйцо через Е*п позначати вільний добуток п одноелементних напівгруп, то наслідком останньої теореми є ізоморфізм (п.1.5, розд. IV)

Е;=5/ЦіСа п>2.

Це рекурентне описання набуває потрібної повноти описанням напівгрупи Е\.

Нехай / = (0;1}, №- адитивний моноїд невід’ємних цілих чисел,

Р = (paj) -І х І -матриця, що визначається умовою

(О, а = р = Ъ,

Ра.р ~ 1. . .

[1, в 1НШ1Х випадках.

Через M2(N) = М(І,№,І,Р) позначимо напівгрупу Pica матричного типу

над N із сендвіч-матрицею Р. Елементи множини 1 вважатимемо при цьому

зовнішніми ідемпотентами такими, що (0)' -QeN, (1)' = 1 є №. Для всіх

е,£, є /, a = (a;nr,fl)zM2(N) покладемо

= ^)eM2(Nl

[а, є=а,

єа = \

{(є',(а) +m;j3), є#а,

\а, Р = є,

ає = {

\(а;т+(Р);є), fi*e.

Отримаємо, як неважко помітити, V3-сполуку напівгруп {0}, {1} та М2(/У), де Vj - напіврешітка ідемпотентів 0, 1 та 0 1 = 10 ~а>. Щойно отриману напівгрупу позначимо через і покладемо \ |0;0;0).

Множина A/^IW] є піднапівгрупою напівгрупи Маємісг/е ізоморфізм Е*2 £ M2’X[N].

В § 2 четвертого розділу описуються декомпозиції вільних напівгруп в термінах поняття налівретракції, визначеного В.М. Усенком (див., наприклад, Усенко В.М. О полуретракциях групп // Вопросы алгебры. Вып. 11. Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та. -1997. - с. 141-157).

Перетворення г напівгрупи S називається напівретрацією цієї напівгрупи, якщо

(ху)т = (хт-уг)т

при будь-яких X,yeS.

Якщо г - напівретрація напівгрупи S, то множина Imr = 6’r є напів-групою відносно операції

х-гу = (ху)т.

Ця напівгрупа називається r-мутацією напівгрупи 5 і позначається через Sr. Напівретракції та мутації напівгруп дозволяють вивчати гомоморфні образи довільної напівгрупи S внутрішніми засобами цієї напівгрупи. Саме ця обставина використовується для розв’язку основної задачі § 2 четвертого розділу.

Напівретракції г,,г2 иапівгрупи 5 назвемо еквівалентними, якщо ;гі —

Оскільки згідно відомої теореми Кліффорда будь-яка напівтрупа іемпотеїггів є напіврешіпсою прямокутних напівтруп ідемпотентів, то писання декомпозицій вільної напівтрупи в § 2 четвертого розділу роботи озглядається для двох випадків - декомпозиції в напіврешітки і матричні екомпозиції.

Нехай Р=Р\Х] - вільна напівтрупа (в не більш ніж зліченому) алфавіті Напівретракцію п напівгрупи Р назвемо 5//-напівретракцією, кщо я--мутація Ря е комутативною напівгрупою ідемпотентів.

Для описання ^/ґ-напівретракцій напівгруии Р введемо деякі позначення. Довжину елемента = є? позначимо через І(м>)=т.

[складемо далі, =х^ для всіх 1 < / <т. Якщо х, є X, № є РД є то

эворитимемо, що елемент хк є дільником елементу V (в позначеннях х* І н»), кщо .

IV = ■Н'1х/1 И^х/2 ...'Л>ГХ*Г\УГ + 1,

$1+...$2=к 5^2...$г * 0

порожніми можуть бути лише елементи Н'} або И’г+1. Для всіх м>еР, iєN, окладемо

&і(У9) = 0, якщо X,

&І(м') = кєІУ, якщо і хк+і\м>.

Іехай далі,

ГО, хі ї н»,

^ Є х,єЛ\

и» ^іі^.

і(т) - максимальне з чисел /є N таких, що х, | ж Перетворення 5 напівгрупи Р таке, що

Ті;/? _ у'^С4') . Г^(№)

ідемпотентною напівретракцією напівгрупи Р. Називатимемо 5 декартовою апівретрахнією напівгрупи Р = Р[Х}\

Якщо а) є деяким відношенням еквівалентності на множині X, то через а>§ эзначимо перетвореній множини X, яке визначається умовами

(х;хсо4)єа), хєХ Х\фи-=Х2Ю# <=>(^і; дг2) еа), х\,хіє,х.

ля всіх

И> = Є Р,

экладемо

Перетворення со* є ідемпотентним ендоморфізмом напівгрупи F = F[>V] Будемо називати ендоморфізми о* канонічними ретракціями.

Перетворення А напівгрупи F = F[X], яке визначається рівністю wZ = -Xj2^ weF, i-i(w)

назвемо лінеаризацією елементів weF. Лінеаризація елементів напівгрупи F < напівретракцією цієї напівгрупи.

ТЕОРЕМА (п. 2.7, розд. IV). Будь-яка Slt-нстівретрація п є еквівалеитион композиції деякої канонічноїретракції а? та лінеаризації Л.

Виявляється, крім того, що мутація вільної напівгрупи F = F[X], як; визначається її лінеарізацією є вільною напіврешіткою. При цьом; застосування вільних добутків Е*(Х) одноелементних напівгруп дозволяї отримати зображення вільних наліврешіток в термінах U -напіврешітої непорожніх скінченних підмножин множини X, а також описання конгруенції таких напіврешіток.

Напівретракцію ж вільної напівгрупи F = F[X] назвемо /to-напівретрак

цією, якщо F* є прямокутною напівгрупою ідемпотентів.

Нехай £і> йг ~ довільні ідемпотентні перетворення множини X. Для всі: и' = х, ...х є F покладемо

М */п

= Х& • х£г, ХіЄХ.

Безпосередньо перевіряєтья, що ^ = ~ Дс/-напівретракція напівтрупі

F = F[X]. Напівретракцію £ = ^ х назвемо /?с/-добутком ідемпотентів £і

O'(X), де 7(X) - симетрична напівгрупа на множині X.

ТЕОРЕМА (п. 2.13, розд. IV). Будь-яка Rct-иапівретракція вільної напів групи F[X] є еквівалентною Ret-добутку деяких ідемпотентів ,&є7(Х).

ВИСНОВКИ

В роботі досягнуто суттєвих просувань в розв’язку проблеї ^«-класифікації та £л-розширень напівгруп.

Розв’язок задач Вя-класифікації дозволив описати новий таї напівгрупових розширень, названих в роботі афінними розширенням! напівгруп. При цьому отримано аналог теореми Калужніна-Краснерг Отримано, крім того, описання основних типів В-декомпозицій вільни: напівгруп та вільних добутків.

В напрямку проблеми Вя-розширень запропоновано два узагальненн спектрального методу Кліффорда, за допомогою яких отримано узагальненії та доповнення відомих результатів про зовнішні конструкції напівгрупови: сполук.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

татті:

Кизименко А.М. Аффинные расширения и левые связки полугрупп И Современная алгебра. Вып. 3(22). Ростов н/Д: Рост. гос. пед. ун-т,- 1998.- с. 112-119.

Кизименко А.М. Трансляционные связки полугрупп // Вопросы алгебры. Вып. 13. Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та,- 1998.-е. 121-129.

Кізіменко О.М. Прямокутні сполуки напівгруп. // Вісник Київ. Ун-ту. Сер. фіз.-мат. наук.- 1999,- вип. 2.- с. 37-39.

Кізіменко О.М. Про вільні добутки одпоспемептпих напівгруп //Вісник Київ. Ун-ту. Сер. фіз.-мат. наук.- 2000,- вип. 1,- с. 41-45.

Кизименко А.М. Колшутатативные связки полугрупп // Донецк: ДонГУ.-1986.-10 с.- рус,- Деп. в УкрНИИНТИ. - 1986, № 2038. - Ук-Д85.

гзи доповідей: ■

Кизименко А.М., Потемкин Л.В. Колшутатативные связки полугрупп // XVIII Всесоюзн. алгебр, конф. (Кишинев, сентябрь 1985). Тез. сообщ., 4.1,-Кишинев: Инст. Матем. с ВЦ АН МССР. - 1985. - с. 245.

Кизименко А.М. Об одном типе связок полугрупп // III Всесоюзн. симп. по теории полугрупп. (Свердловск, июнь 1988). Тез. сообщ.-Свердловск; Уральск, гос. уи-т. - 1988. - с. 36.

Кизименко А.М. О правых композициях полугрупп // Международн. конф. по алгебре (Новосибирск, август 1989). Тез. докл. по теории моделей и алг. систем. - Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР. -1989. - с. 58.

Kizimenko A.M., Soroka L.I. On right compositions of semigroups // Международн. конф. «Полугрупы и их приложения» (С.-Петербург, июнь 1995). Тез. докл. - С.-Петербург: «Северный очаг». - 1995. - с. 25-26. >.Кизименко А.М. О коммутативных связках циклических полугрупп // VI Міжнародна матем. конф., приев, пам’яті акад. М.П. Кравчука (Київ, травень 1997). Матеріали конф,- Київ: Ін-т матем. АН України. -1997. - с. 193. .Кизименко А.М., Усенко В.М. Левые связки полугрупп И Міжнародна алгебр, конф. приезяч. пам’яті проф. Л.М.Глускіна (Слов’янськ, серпень 1997).-Київ: Ін-т матем. НАН України,- 1997,- с.9-10.

!.Кизименко А.М. Свободные полугруппы и коммутативные связки // П Міжнародна алгебр, конф. в Україні, приев, пам’яті проф. Л.А.Калужніна. (Київ-Вінниця, травень 1999).- Вінниця: ВДПУ,- 1999 - с. 84-85.

.Кизименко А.М. Свободные полугруппы и прямоугольные связки //Ibid.- с. 85. .Kizimenko A.M., Usenko V.M. The bands and free products // П Международн. конф. «Полугрупы и их приложения» в честь проф. Е.С. Ляпина (С.-Петербург, июль 1999). - С.-Петербург: «Северный очаг». -1999. - с.85.

16

АНОТАЦІЇ

Кізіменко О. М. Сполуки напівгруп. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математични наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський університе імені Тараса Шевченка. Київ, 2000.

В роботі розглянуто проблему класифікації напівгруп за допомогою ї гомоморфізмів на напівгругш ідемпотентів. Досліджено як внутрішній (задач декомпозиції) так і зовнішній (задача розширення) аспекти цієї проблеми.

Описано декомпозиції вінцевих добутків напівгруп. Визначен конструкцію афінного розширення напівгруп. Для афінних розширен отримано аналог теореми Калужніна-Краснера.

Узагальнено метод транзитивних систем гомоморфізмів Кліффорда. З допомогою цього узагальнення описано зовнішню конструкцію довільне комутативної сполуки об’єднання напівгруп.

Описано матричні декомпозиції вільних добутків напівгруп. Описан основні типи декомпозицій вільних напівгруп.

Ключові слова: Напівгрупа, напівгрупа ідемпотентів, напіврешітк; сполука, прямокутна сполука, транзитивна система гомоморфізмів, вінцеви добуток, вільна напівгрупа, вільний добуток.

Kizimenko О. М. Bands of semigroups. - Manuscript.

Thesis for the candidate degree by speciality 01.01.06 - algebra and numbi theory. - Kyiv Taras Shevchenko University. Kyiv, 2000.

The structural semigroup classification problem in terms of banc decompositions and band compositions is considered.

The decompositions of semigroup wreath products are described. T1 construction of affine semigroup extension is defined. The analogue of Kaloujnim Krasner theorem is obtained for affine extensions.

The Clifford’s method of transitive homomorphism system is generalized fi description of arbitrary semilattices of semigroup union.

The matrix decompositions of semigroup free products are described. The ma types decompositions of free semigroups are described.

Key words: semigroup, semigroup of idempotents, semilattice, rectangul band, transitive system of homomorphisms, wreath product, free semigroup, fr< product.

Кизименко А. М. Связки полугрупп. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-[атематических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. -[невский университет имени Тараса Шевченко. Киев, 2000.

Работа посвящена проблеме структурной классификации полугрупп в ерминах связок их подполугрупп или, что равносильно, в терминах их омоморфизмов на полугруппы идемпотентов. Исследуются как внутренний задача декомпозиции) так и внешний (задача расширения) аспекты этой роблемы.

Одним из основных методов построения связок семейств полугрупп вляется метод транзитивных систем гомоморфизмов Клиффорда. В работе тот метод обобщается в двух направлениях. С одной стороны - использование дойных систем гомоморфизмов в сдвиговые оболочки позволяет описывать онструкции произвольных полурешеток семейств полугрупп, а с другой -спользование определенных в работе транзитивных трансляционных систем озволяет описывать конструкции произвольных связок и их симметрических редставлений. В первом из указанных направлений получено обобщение езультатов Петрича о полурешетках слаборедуктивных полугрупп. Кроме того ля полурешеток произвольных полугрупп модифицируются результаты . М. Шайна о связках одноидемпотентных моноидов, полученные его методом рямых сбалансированных систем гомоморфизмов над квазипорядками.

Задачи декомпозиции в работе рассматриваются для таких полуфупповых онструкций как сплетение и свободное произведение полугрупп. Описанные в аботе декомпозиции сплетений в применении к введенной здесь конструкции ффинного расширения позволили получить соответствующий аналог теоремы 'алужнина-Краснера. Для свободных произведений получено описание екомпозиций в терминах полугрупп Риса матричного типа.

Ключевые слова: полугруппа, полугруппа идемпотентов, полурешетка, рямоугольная связка, транзитивная система гомоморфизмов, сплетение, зободная полугруппа, свободное произведение.

Підписано до друку 11.05.2000 р. Формат 60x84/16. Папір офсетний. Друк офсетний. Обсяг 1,0 друк.арк. Тираж ИОекз. Замовлення № 183.

Видавництво та друк - Інформаційно-видавничий центр Товариства "Знання" України 03150, м.Київ, вул. Велика Васильківська (Червоноармійська), 57/3, к.214. Тел.227-41-45, 227-30-97