Течение вязкой жидкости через периодическую структуру частиц тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

СЫРОМЯСОВ Алексей Олегопич

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКУЮ СТРУКТУРУ ЧАСТИЦ

Специальность 01 02 05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации »а соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОО-З А*3 " "

Казань - 2007

003161511

Работа выполнена на кафедре математики и теоретической механики Мордовского государственного университета имени Н П Огарева

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Сергей Иванович Мартынов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Петр Константинович Волков

- доктор физико-математических наук, профессор Александр Беницианович Мазо

Ведущая организация - Институт механики и машиностроения

Казанского научного центра РАН

Защита состоится 8 ноября 2007 года в '' час 30 мин на заседании диссертационного совета Д212 081 11 при Казанском государственном университете по адресу 420008, г Казань, ул Кремлевская, 18

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета

Автореферат разослан октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент С/^ А А Саченков

Общая характеристика работы

Гидродинамическое взаимодействие дисперсных частиц влияет на макроскопические свойства суспензии и может качественно изменять профиль скорости Диссертация посвящена исследованию гидродинамического лзаи-модействия частиц, образующих бесконечную периодическую решетку, в потоке вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса

Актуальность темы исследования При определенных условиях частицы в суспензии образуют периодические структуры (коллоидные кристаллы) Физические свойства коллоидных кристаллов могут сильно отличаться от свойств неструктурированных дисперсных систем Адекватное описание гидродинамического взаимодействия частиц в периодических средах необходимо при разработке высокотехнологичных материалов с заранее заданными характеристиками Кроме того, твердые сферы, образующие неподвижную решетку, служат моделью пористой среды при фильтрации жидкости через нее и при распространении звуковых волн

К данному моменту известно много подходов к моделированию гидродинамических взаимодействий в периодических суспензиях метод точечных сил, решеточного уравнения Больцмапа, стоксовой динамики, метод осреднения периодических структур, подход, соединяющий Фурье-анализ с представлением решения в виде суммы сферических гармоник Как правило их применение ограничивается кубическими решетками сфер или квадратными решетками бесконечных цилиндров При этом однородные и линейные потоки описываются с разных точек зрения Методы стоксовой динамики и решеточного уравнения Больцмана позволяют рассматривать решетки произвольной симметрии, по при этом бесконечная решетка заменяется структурой конечных размеров, и вычислительные затраты резко возрастают с ростом числа частиц Кроме того, в методе стоксовой динамики гидродинамические взаимодействия представляются суммой парных, что может привести к значительным погрешностям Поэтому актуальной является разработка метода, позволяющего при небольших вычислительных затратах описать течение вязкой жидкости через бесконечную периодическую структуру частиц произвольной симметрии и взаимодействие частиц в такой структуре

Объектом исследования является вязкая жидкость, содержащая одинаковые твердые сферические частицы Эти частицы образуют периодическую структуру, простирающуюся бесконечно во всех направлениях Относительно жидкости и частиц принимаются следующие предположения

• Размеры частиц велики по сравнению с размерами молекул жидкости Это позволяет описывать жидкость в рамках механики сплошной среды и считать, что на поверхности частиц выполнено условие прилипания

• Жидкость несжимаема, ее плотность и вязкость постоянны

• Размеры частиц достаточно велики, так что их броуновским движением можно пренебречь

• Число Рейнольде а много меньше единицы Это позволяет для описания дисперсной системы использовать линейные уравнения Стокса

• На жидкость и на частицы не действуют внешние по отношению к дисперсной системе силы и моменты. В частности, частицы имеют нейтральную плавучесть 1

Цель и задачи исследования Цель работы - разработка и реализация па компьютере метода расчета гидродинамического взаимодействия бесконечного числа одинаковых твердых сферических частиц, образующих периодическую структуру, при пренебрежимо малых числах Рейнольде а Научная новизна работы заключается в следующем

• Разработан новый аналитический метод решения задачи *о гидродинамическом взаимодействии бесконечного числа частиц, находящихся в узлах бесконечной периодической решетки Общее решение уравнений Стокса представлено в виде разложения по мультиполям периодическим относительно данной решетки и инвариантным относительно ее группы симметрии Неизвестными в решении являются тензорные коэффициенты разложения, вид которых определяете я симметрией решетки частиц и граничных условий, и зависящие от одного скалярного параметра Метод может быть применен для изучения решеток произвольной симметрии

• Предложенным методом решены задачи

- о фильтрации жидкости через кубическую и гексагональную решетку частиц,

- о гидродинамическом взаимодействии частиц в узлах кубической и гексагональной решеток в сдвиговом потоке и потоке расширения,

- о гидродинамическом взаимодействии частиц в узлах кубической решетки, находящихся под действием внешнего момента,

- о деформации кубической решетки сфер в сдвиговом потоке при постоянном градиенте скорости или среднем напряжении

• На основе полученных решений найдены тензоры проницаемости и эффективной вязкости суспензий с кубической и гексагональной решеткой сфер

• Получен критерий, позволяющий определить, в каких случаях произвольная периодическая решетка, деформируемая сдвиговым потоком,

восстанавливает свой первоначальный вид Найдена средняя по времени сдвиговая вязкость суспензии с кубической решеткой сфер форма которой восстанавливается

• Показано, что при постоянном среднем напряжении в суспензии с кубической решеткой время необходимое для восстановления первоначальной конфигурации частиц, увеличивается с ростом их концентрации

• Разработан программный комплекс, включающий

- программу, генерирующую и решающую системы линейных алгебраических уравнений, к которым сводятся краевые задачи

- программу, вычисляющую решеточные суммы, что позволяет найти мгновенные характеристики решетки в потоке,

- программу, моделирующую деформацию решетки сфер при сдвиге с заданным градиентом скорости или среднем напряжением

Достоверность полученных результатов вытекает из того что они получены из общих уравнений и законов механики жидкости с помощью строгих математических доказательств и выводов Решения задач, найденные предлагаемым методом, для известных частных случаев совпадают с результатами, полученными другими методами

Область применения и практическая ценность результатов Полученные в диссертации результаты позволяют более глубоко попять механизм гидродинамического взаимодействия бесконечного числа частиц и могут быть применены на практике В частности, предлагаемая модель может быть использована для детального исследования свойств коллоидных кристаллов при производстве различных материалов и покрытий, а также для описания течения жидкости через фильтры

Основные положения, выносимые на защиту

• Разработан и реализован па компьютере метод расчета возмущений, вызванных присутствием в вязкой жидкости бесконечной периодической решетки частиц Возмущения зависят от группы симметрии решетки и граничных ус ловий

• Найдены тензоры проницаемости и эффективной вязкости суспензии с гексагональной решеткой сфер

• Определена средняя сдвиговая вязкость суспензии с деформирующейся кубической решеткой сфер

• Обнаружено, что при постоянном среднем напряжении решетка в сдвиговом потоке испытывает периодические сжатия/растяжения, а средняя скорость течения снижается при увеличении концентрации взвеси

Апробация результатов Основные результаты диссертационного исследования обсуждались на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (г Казань. 2003 г), на конференциях Средневолжского Математического общества (г Саранск, 2003, 2005, 2006 гг), конференции "Роль пауки и инноваций в развитии хозяйственного комплекса региона" (г Саранск, 2003 г), па Международной летней школе по гидродинамике больших скоростей (г Чебоксары, 2004 г), па Всероссийском конгрессе по теоретической и прикладной механике (г Нижний Новгород, 2006 г) и научном семинаре НИИ математики и механики при Казанском государственном университете (г Казань, 2006 г)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав>, заключения, еписка литературы и двух приложений Общий объем работы составляет 164 листа машинописного текста Диссертация содержит 32 рисунка, 1 таблицу и список литературы из 126 наименований

Во Введении показана актуальность изучаемой проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, проведен краткий обзор работ, посвященных движению вязкой жидкости через периодическую структуру частиц при малых числах Рейпольдса, кратко изложено содержание диссертации

В Главе 1 приведена общая постановка задачи о движении жидкости с периодической структурой твердых сферических частиц Решение уравнений Стоке а представлено в виде разложения по мультиполям, периодическим относительно решетки частиц Неизвестными являются тензорные коэффициенты разложения Указаны группы симметрии периодических мультиполей и тензорных коэффициентов

В разделе 1 1 дала постановка задачи Пусть твердые сферические частицы радиуса а, взвешенные в жидкости вязкости г/, образуют решетку Бра-вэ с основными периодами трансляции rs, s = 1,2,3, Центр произвольной частицы имеет радиус-вектор rn = nsfs, ns G Z Начало правой ортонорми-ровапной неподвижной системы координат с базисом (ëi, ег, ёз) совмещено с центром одной из сфер Положение точки относительно начала координат задается вектором х = хгег, а относительно п-й сферы - вектором хп = х — гп Движение жидкости описывается в приближении Стокса

Здесь й, р - скорость и давление в каждой точке жидкости

На поверхности частиц должно быть выполнено условие прилипания

Содержание работы

TjAiï = Vp, div û = 0

(1)

щ{х) = игр{гп) + Гг]{гп)х3п, хп е дп Т]г{гп) = —Гу(гп),

где игр - непрерывная функция, такая, что игр(гп) есть поступательная скорость твердой сферы с центром г", Г ,,(г") - вращательная скорость частицы, <90 - поверхность сферы радиуса а с центром в начале координат

На частицы действуют только гидродинамические силы и моменты

ТХ;у'\гп) = ф atJ(xn)m3dS, Jm

= et]k <f x^kt(Sn)midS

Je n

an

Здесь m - единичная внешняя нормаль к дП, и - тензор напряжений, eVJ\. -символ Леви-Чивиты

Качественная особенность изучаемой проблемы - отсутствие условий на бесконечности Поэтому предполагается, что па основной поток, определяемый движением сфер, накладываются периодические возмущения, обусловленные наличием частиц

иг = игр + уг, р=Р + р', (3)

ц(х + г") = ьг{х), р{х + г'1) = р(х)W" (4)

Доказано, что свойство периодичности деформирующейся структуры частиц не теряется с течением времени, только если Up линейна по координатам

игр = С,Л, Скк = О (5)

Если выполняется (4), то Р также есть линейная функция координат

P = Ph + AjX„ (6)

Величины CtJ, А3, Pq могут зависеть от времени t как от параметра

Подстановка (3)~(6) в (1)-(2) приводит к уравнениям, которым должны удовлетворять периодические возмущения vt и р'

vt + El}Xj = ш1]хп],хпедй (8)

-(Су 4- Cjt), Uij = rtJ — -(

— + Cji)> — rtJ — r(Cy — C]t) (9)

Здесь E и ш суть тензоры скоростей деформации и относительной угловой скорости Из (4) вытекает, что ш одинакова для всех частиц Поскольку уравнения (7), (8) линейны, их решение может быть представлено в виде суммы решений трех задач I, II и III

В задаче I Ег} — 0, u>tJ — 0 Ее решение описывает фильтрацию жидкости через неподвижную решетку под действием градиента давления

Задача II - это задача о вмороженных твердых сферах в деформационном потоке вязкой жидкости Аг = 0, шг] = О

В задаче III Аг = 0, Ег] = 0 Это задача о вращении частиц, которые не движутся поступательно относительно жидкости

В разделе 1 2 общее решение задач I, II и III представлено в виде

р' = H,{L? - Ъкхк) + F}kLJ + G}UL?k[ + D,UmL%,m + +T]klmsL%lms + T]Vi = T)Ut - \Нг(ь\T - - iHj(Kу - at}kixkxi) +

+BV(L? - Ъкхк) + \F]k{M%h - ßl]klXl) - ^GljkL% -

-^GMLvuW2 + EM*")!*"!2 - Lvu(-n\ - r n|2]} - (10)

пф 0

' ' -b-Dl]klL?kl-^D]klmY,L4Um (x")\xn\2-

n

~]Ыт ~ 22^}klms LtjUms(x )\x | —

n

Ut = const

Мультиполи Lj k, Мг]к, Кг] определяются формулами

ОД = Lj к{х) = А ¿ОД, М13к{х) = /ОД = Щ

Функции к строятся так Если число индексов не меньше трех, то

LT *(*) = *(*") = Li *(*) + Ц k(S), L>3 k(x) = k{xn) (11)

n пф 0

Если число индексов менее трех, то эта формула модифицируется

= Lv(x) + L'tJ(x), L'tJ(x) = Г L' k{x)dxk,

J о

Lf(x) = ОД + ад, ОД = Г I/y(x)dx„ (12)

Л

Lf(S) = ОД + ОД, ОД = Г L[(x)dxt

J S

Аналогично,

= +к* =f £ ¿¿M^n^dxidxm

= Кч + К'гр к'гз(х)= Г Г Г

Jq JО JÖ k 1 m

Теп юры 7, ß, а вычисляются по формулам

= 2L?ßt]U = а1]Ы = (14)

Здесь г* - компоненты векторов взаимного к (fi, т2, тз) набора

Тензорные коэффициенты Н,, Bt], , а также ¡7, не зависят от х Подстановка (10) в (7) приводит к дополнительным условиям

Атт

-—Яг = Аг, Fkk = О, \В\ = П (т* X п) (15)

В разделе 1 3 найдено выражение для гидродинамических сил и моментов, действующих на частицу

J-hyd = 47ri/ji ТЫ = 47reijkBk3

Чтобы найти неизвестные тензорные коэффициенты, необходимо разложить функции L', М' и К' в ряд Тейлора и подставить выражения (10)—(15) в граничные условия задач I, II или III После приведения подобных слагаемых по компонентам х получается система линейных алгебраических уравнений Из нее Ht, BtJ, могут быть найдены в виде разложения по степеням малого параметра е = а/г, г = mm(|?i|, |-?2|, |тз|)

В разделе 1 4 показано, что решение задачи упрощается, если учесть симметрию периодических мультиполей и тензорных коэффициентов по ряду индексов и их инвариантность относительно определенных точечных групп Мультиполи и тензоры 7, ß, а зависят только от вида решетки и инвариантны относительно ее точечной группы 6lat Для определения тензорных коэффициентов необходимо учесть и симметрию граничных условий, поэтому они инвариантны относительно группы Qcoei = C?lat |") Qext Здесь 50Xt -точечная группа одних лишь граничных условий (без учета геометрии решетки) Зная бы и <7cocf, можно воспользоваться теорией нелинейных тензорных функций [4] и разложить искомые величины по тензорному базису соответствующей группы Неизвестными будут лишь скалярные параметры этого разложения

В Главе 2 рассматривается задача о фильтрации жидкости через неподвижную решетку частиц Методом, предложенным в Главе 1, найдены решения задачи I для кубических и гексагональных решеток, определены скорости фильтрации через них и тензоры проницаемости этих решеток

В разделе 2 1 в общем виде указан вид возмущения скорости вблизи начала координат, в задаче I v, есть четная функция х Поэтому неизвестными являются Нг,0ф, , а Bt],Fjk, DtJki, равны нулю

В разделе 2 2 построены мультиполи, периодические относительно кубической решетки В данном случае <?lat = 6/4 (в обозначениях Шубникова) Если орты е1,в2,ез совмещены с осями решетки, то базис этой группы составляют 5 = ef + е| + е| и Oh = ef + + <23

В разделе.2 3 решена задача о фильтрации вязкой жидкогти через кубическую решетку В силу линейности задачи достаточно описать фильтрацию в направлении трех координатных осей В кубической решетке оси равноправны, поэтому можно рассмотреть фильтрацию лишь вдоль оси аппликат Для этих граничных условий Охз - поворотная ось бесконечного порядка, поэтому = оо-т и <5сосГ = 4 т Базис <?сооГ составляют тензоры 5, Он, Ь = ёз Если считать иг = 11Ьг фиксированной величиной, то, например,

Тг,к1т = Пи^г^ьфккЬт) + г/ф^Ьффт + ииЬ%0,Ыт + 1Ы0,1зиЬт)]

Скобки в индексах означают симметризацию без деления на число слагаемых Аналогичные г/21, >^31 скалярные параметры разложения Н,, Сг/к, по тензорному базису найдены с точностью до е8

На рис 1 можно проследить элементы симметрии группы 4 т при распределении скоростей вокруг частицы в узле простой кубической решетки

1 ' s

t / / / // М >

Рис 1 Проекция v на Ох\х2 в задаче I, U Ox¿, xltx2 £ [—г/2,г/2],= О Ir,а = 0 25г

Рассмотрен предельный переход от задачи о фильтрации жидкости через решетку к задаче об обтекании одиночной частицы однородным потоком при £ —> О В задаче о фильтрации заранее заданной величиной может быть как скорость однородного потока Uu так и макроскопический градиент давления Аг Если известна Ut, то предельный переход существует Если задан градиент давления, то переход невозможен, ибо в этом случае при е —► О скорость однородного потока стремится к бесконечности

В разделе 2 4 получен вид мультиполей для гексагональной решетки, для которой Оы = т 6 т (рис 2) Шаг решетки по оси аппликат может отличаться от шага по оси абсцисс, относительное удлинение шага вдоль Охз определяется параметром А

В разделе 2 5 задача о фильтрации вязкой жидкости через гексагональную решетку решена с точностью до е6 В данном случае Qmd зависит от того, вдоль какой оси происходит фильтрация при фильтрации в направлении

О

V

о

У

т.

Я

о

Рис 2 Структура гексагональной решетки

Охз 0сос1 = 6 т, а при фильтрации в направлении Охх ЯсосС — 2т Проекции возмущения скорости на плоскости, перпендикулярные направлению фильтрации, приведены на рис 3 и 4

Рис 3 Проекция V на 0хгх7 в тдачо I, 0 ТТ Ох3, ц £ [-г/2,г/2], х2 € [-л/Зг/4, ч/Зг/4],

xJ = 0 1 Аг, а = 0 25г

В разделе 2 6с помощью найденных решений определены скорости фильтрации через рассмотренные решетки и тензоры проницаемости этих решеток Эти величины представлены в виде разложения по степеням параметра ф = /е3 - доле твердого вещества в суспензии Величина / различна для разных конфигураций частиц

Результаты для кубической конфигурации, полученные предложенным в диссертации методом, совпадают с результатами [2,3) Скорое гь фильтрации через гексагональную решетку и тензор проницаемости этой решетки найдены впервые Коэффициенты проницаемости кг, кз вдоль осей Ох 1 и Охз зависят от параметра А При неизменном ф и сохранении поворотной симметрии растяжение вдоль оси аппликат в А раз приводит к сжатию в \[А

Рис. 4: Проекция v па Ох2х3 в задаче I, U Tí Ох\, х2 6 [—>/3г/4, ч/Зг/4], x¿ е [—Ar/2, Ar/1], ii = 0.1г,а = 0.25г

раз вдоль осей абсцисс и ординат, а площадь сечения ячейки решетки плоскостью Ох\Х2 уменьшается в А раз. Это затрудняет фильтрацию в направлении Охз, и коэффициент кз уменьшается с ростом А. Напротив, сечение ячейки плоскостью ОХ2Хз увеличивается в \[А раз, что облегчает фильтрацию вдоль Ох i. Поэтому к i растет с увеличением А.

Коэффициенты проницаемости к\, кз могут быть представлены в виде

2а2 2а2

= Тьа Кз = lim Qi(0) = lim Q3(0) = 1

9<р 90 ÍÍ>—>i) <¡>-»o

Графики <5i(0) и С}з{Ф) при различных значениях А приведены парис. 5.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 б) «3 (Ф)

Рис. 5: Линия 1 .4 = 1; линия 2 А = 2i/2/3; линия 3 А — 2

Глава 3 содержит решение задач о периодической структуре частиц в линейных потоках вязкой жидкости, те в сдвиговом потоке и потоке расширения или сжатия Найденные распределения скорости позволяют вычислить тензор эффективной вязкости периодической суспензии

В разделе 3 1 указан общий вид уг для линейных потоков, теперь это возмущение - нечетная функция х Поэтому неизвестными являются коэффициенты Вч, F3k, , а Нг, Gl}i, следует считать равными нулю

В разделе 3 2 мультиполи, построенные в разделе 2 2, использованы для описания возмущений, вызываемых кубической решеткой в сдвиговом потоке в плоскости Ох\Х2 (gcoef = т 2 т) ив потоке расширения вдоль Oxz (0cocf = т 4 т) В обоих случаях задача II решена с точностью до г8, построены картины течения, иллюстрирующие группу симметрии задачи

Чтобы частицы в узлах кубической решетки приобрели относительную угловую скорость, на них должен действовать внешний момент Для определения вращательной вязкости такой суспензии задача III (CJcoef = 4 m) решена с точностью до es Полученный результат согласуется с [1]

В разделе 3 3 изучается поведение гексагональной решетки в линейных потоках Хотя возмущения скорости при сдвиге в плоскостях 0х\хч и 0х\хз имеют одну и ту же группу симметрии (2 т), в первом случае частицы в отсутствие внешнего момента вморожены в жидкость, а во втором - имеют ненулевую относительную угловую скорость Описано также поведение гексагональной решетки частиц в потоке расширения вдоль оси шестого порядка (группа симметрии т 6 т) Эти задачи решены с точностью до £б

В разделе 3 4 решения, полученные в разделах 3 2 и 3 3, используются для нахождения эффективной вязкости суспензий с кубической и гексагональной решеткой сфер Эффективная вязкость периодической суспензии есть тензор четвертого ранга, связывающий девиаторную часть среднего напряжения и тензор скоростей деформаций Для суспензии с кубической решеткой сфер этот тензор определяется двумя параметрами, вычисленными, например, в [1] Метод, предлагаемый в диссертации, воспроизводит эти результаты с высокой точностью

Развиваемый в настоящей работе подход позволяет найти тензор эффективной вязкости периодической суспензии произвольной структуры В суспензии с гексагональной решеткой сфер он определяется тремя параметрами щ, г/2 и т]з Они могут быть интерпретированы как коэффициенты вязкости при сдвиге в плоскости 0х\х%, при сдвиге в плоскости 0х\хз и в потоке растяжения вдоль оси Охз Как и коэффициенты проницаемости, они зависят от удлинения А шага решетки Графики ift и г]2 приведены на рис 6

Если А растет, то (при фиксированной концентрации взвеси ф) частицы в плоскости 0Х\Х2 сближаются, сопротивление сдвигу в этой плоскости увеличивается Поэтому щ монотонно возрастает с ростом А В потоке растяжения решетка сжимается в направлениях, перпендикулярных направлению растяжения При больших А частицы, лежащие в плоскости Ох 1X2 находят-

Рис. С: Линия 1 .4=1; линия 2 А = линия 3 А = 2

ся ira малом расстоянии друг от друга, что препятствует дальнейшему их сближению. Поэтому 773 также есть возрастающая функция А. При малых ф зависимость между 772 и А обратная, так как при относительном удлинении решетки в А раз площадь сечения ячейки плоскостью 0х\х% становится в \/~А раз больше, а сопротивление сдвигу в этой плоскости уменьшается. При больших ф значительный вклад в возмущение скорости дают частицы, лежащие в разных плоскостях, параллельных Ох 1X3. При увеличении А эти плоскости сближаются, что ведет к увеличению

В Главе. 4 рассмотрена деформация кубической структуры в сдвиговом потоке. Поскольку в линейном потоке конфигурация частиц со временем меняется, такие величины, как эффективная вязкость, также зависят от времени. Чтобы приписать суспензии некую макроскопическую характеристику, необходимо осреднить мгновенные значения соответствующей величины.

В разделе 4-1 выясняется, какой должна быть ориентация сдвигового потока относительно решетки, чтобы исходная конфигурация частиц восстанавливалась с течением времени. В этом случае мгновенные макроскопические характеристики суспензии можно осреднить по отрезку времени, необходимому для восстановления решетки. Рассмотрено периодическое и почти периодическое течение суспензии.

В разделе 4.2 описана динамика кубической решетки в случае, когда тензор градиентов скоростей известен заранее и постоянен. Предполагается, что сдвиг производится в одном из трех направлений:

1. вдоль ребра куба,

2. вдоль диагонали одной из граней,

3. вдоль главной диагонали куба

В этих трех случаях <7сое? = 2 тп Возмущения скорости и давления найдены с точностью до £3

При деформации решетки частицы приобретают отличную от нуля мгновенную угловую скорость в отсутствие внешнего момента Эта скорость (как и мгновенная сдвиговая вязкость) меняется с течением времени

"(<?) = ^Мд), тГ = ф + + 5/+(9)|)]

Здесь 7 - скорость сдвига, д = ^ - безразмерное время

Графики функций /±{д) для простой кубической решетки при трех разных направлениях сдвига приведены на рис 7

Рис 7 Сплошная линия -/+(д), пунктир ~

Среднее значение сдвиговой вязкости зависит от типа исходной решетки и направления сдвига, по сравнению с мгновенной вязкостью суспензии с недеформированной решеткой оно может как увеличиться, так и уменьшиться При ф < 0 1 изменение составляет 1-2% Для рассмотренных начальных конфигураций частиц и направлений сдвига можно указать такой момент времени 4 = что сдвиговая вязкость 7?8,> и относительная угловая скорость частиц ш суть четные функции t — Время отсчитывается от момента, когда

частицы образовали кубическую решетку Это свойство позволяет снизить вычислительные затраты

В разделе 4 3 исследуется динамика периодической суспензии, в которой поддерживается постоянное среднее напряжение В этом случае скорость сдвига меняется с течением времени, а на основной сдвиговой поток накладываются расширения/сжатия ячейки решетки вдоль координатных осей При сдвиге в направлениях, указанных выше, эти движения периодичны Основным следствием такого 'дыхания" решетки является увеличение промежутка времени, необходимого для восстановления исходной конфигурации Характер и вменения сдвиговой вязкости и угловой скорости частиц аналогичен случаю 'педыпгащей" решетки Влияние периодических расширений/сжатий ячейки на среднее значение сдвиговой вязкости обнаружено не было

Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в ходе диссертационного исследования

В Приложении А указаны некоторые свойства специальных функций, использованных для построения общего решения уравнений Стокса

В Приложении В приведены значения решеточных сумм по кубическим и гекс атональным решеткам, а также средние значения мультиполей по ячейкам периодичности решеток

Основные результаты

Основные результаты работы таковы

• На основе мультипольпого разложения решения уравнений Стокса и теории нелинейных тензорных функций разработана и программно реализована модель течения жидкости, содержащей периодическую структуру твердых сферических частиц

• Описано поведение жидкости, содержащей кубическую или гексагональную решетку сфер, в однородном и линейном потоках С помощью найденных периодических возмущений скорости и давления получены макроскопические характеристики таких суспензий - тензоры проницаемости и эффективной вязкости

• В частных случаях, когда в жидкости взвешена кубическая решетка сфер, результаты, полученные с помощью предлагаемой модели, хорошо согласуются с результатами полученными другими методами

• Описана динамика решетки частиц в сдвиговом потоке Указаны условия, при которых исходная конфигурация частиц периодически восстанавливается Для трех типов кубических решеток и трех различных направлений сдвига найдено среднее значение сдвиговой вязкости Показано, что учет деформации решетки и осреднение по времени приводит к изменению вязкости по сравнению с ее мгновенным значением для исходной кубической структуры

• Разобраны случаи, когда в суспензии с деформирующейся структурой частиц постоянны градиенты скорости и средние напряжения Показано, что основное различие между ними заключается в увеличении времени, необходимого для восстановления исходной структуры, в случае с постоянными средними напряжениями

Финансовая помощь РФФИ (проекты №01-01-00435, №04-01-00607) позволила ускорить выполнение исследований и написание диссертации

Список литературы

1 Adler Р М Spatially periodic suspension of с onvex particles m linear shear flows III Dilute airays of spheies suspended m Newtonian fluids / M Zuzovsky, PM Adler and H Brennei // Physics of Fluids - 1983 -V 26, N 7 - P 1714-1723

2 Hasimoto H On the periodic fundamental solutions of the Stokes equations and their application to viscous flow past a cubic array of spheres / H Hasimoto // Journal of Fluid Mechanics - 1959 - V 5, pt 2 - P 317328

3 Sangani A S Slow flow thiough a penodic an ay of spheres /AS Sangam and A Acnvos // International Journal of Multiphase Flow - 1982 - V 8, N 4 - P 343-360

4 Лохин В В Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов / В В Лохин Л И Седов // Прикладная математика и механика - 1963 - Т 27, N 3 - С 393-417

Научные статьи в ведущих рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК РФ для публикации по кандидатским и докторским диссертациям

1 Мартынов С И Вя зкость суспен зии с кубической решеткой сфер в сдвиговом потоке /СИ Мартынов, А О Сыромясов // Известия РАН Механика жидкости и газа - 2005 - N 4 - С 3-14

2 Мартынов С И Симметрия периодической решетки частиц и потока вязкой жидкости в приближении Стокса /СИ Мартынов, А О Сыромясов // Известия РАН Механика жидкости и газа - 2007 - N 3 - С 7-20

Другие публикации

3 Сыромясов А О Периодические решения трехмерных уравнений Стокса / А О Сыромясов // Труды Средпеволжского математического общества - Саранск, 2003 - Т 5, N 1 - С 274-279

4 Сыромясов А О Кубическая решетка сфер в сдвиговом потоке / А О Сыромясов // Лобачевские чтения - 2003 материалы третьей всероссийской молодежной научной тколы-конференция {Казань, 1-4 дек 2003 г) - Казань, 2003 - Т 21 Труды Математического центра имени Н И Лобачевского - С 156-157

5. Сыромясов А О Обтекание периодической решетки сфер вязкой жидкостью /АО Сыромясов // Наука и инновации в Республике Мордовия материалы III респ науч -практ конф "Роль науки и инноваций в развитии хозяйственного комплекса региона", Саранск, 25-26 дек 2003 г в 3 ч - Саранск, 2004 - 4 2 Естественные пауки - С 261-264

6 Мартынов С И Периодическая решетка твердых сфер в линейном потоке вязкой жидкости /СИ Мартынов, А О Сыромясов // Прикладная математика и механика . сб науч тр - Ульяновск, 2004 - С 172-176

7 Martynov S I The motion of viscous fluid containing a periodic lattice / Sergey I Martynov, Alexey О Syromyasov // High speed hydrodynamics (HSH-2004) abstracts of the Second international summer scientific school, June 27 - July 3 Cheboksary, Russia - [Чебоксары, 2004] - P 106-108 -Англ , рус

8 Martynov S I The motion of viscous fluid containing a periodic lattice / Sergey I Martynov, Alexey О Syromyasov // High speed hydrodynamics (HSH-2004) proceedings of the Second international summer scientific school, June 27 - July 3, Cheboksary, Russia - [Чебоксары, 2004] - P 251— 257

9 Сыромясов А О Эффективная вязкость периодической суспензии / А О Сыромясов // Студент и научно-технический прогресс материалы XLIII междупар науч студ коне}) Математика - Новосибирск, 2005 -С 28-29

10. Сыромясов А О Вязкость суспензии с периодической решеткой сфер / А О Сыромясов // Труды Средневолжского математического общества

- Саранск, 2005 - Т 7, N 1 - С 347-351

11 Сыромясов А О Электрогидродинамика структурированной суспензии / А О Сыромясов // Труды Средневолжского математического общества

- Саранск, 2006 - Т 8, N 1 - С 301-306

12. Сыромясов А О Динамика решетки частиц в сдвиговом потоке / А О Сыромясов //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22-28 авг 2006 г) аннотации докл -Н Новгород 2006 - Т 2 - С 164-165

Подписано в печать 01 10 07 Объем 1,0 п л Тираж 100 экз Заказ N° 1740 Типография Издательства Мордовского университета 430000, г Саранск, у л Советская, 24

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПЕРИОДИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТИ.

1.1. Постановка задачи. Течения, сохраняющие периодичность решетки

1.2. Построение пространственно-периодических функций, удовлетворяющих уравнениям Стокса.

1.3. Силы и моменты, действующие на частицу в периодической решетке. Система соотношений, определяющих тензорные коэффициенты.

1.4. Учет группы симметрии периодической структуры частиц и граничных условий.

ГЛАВА 2. ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ

НЕПОДВИЖНУЮ РЕШЕТКУ.

2.1. Граничные условия задачи о фильтрации. Вид решения в окрестности начала координат.

2.2. Построение мультиполей для кубической решетки.

2.3. Фильтрация жидкости через кубическую решетку.

2.4. Построение мультиполей для гексагональной решетки.

2.5. Фильтрация жидкости через гексагональную решетку.

2.6. Нахождение скорости фильтрации и тензора проницаемости.

ГЛАВА 3. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ЧАСТИЦ В

ЛИНЕЙНОМ ПОТОКЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

3.1. Вид возмущения скорости в окрестности начала координат.

3.2. Кубическая решетка сфер в линейном потоке.

3.3. Гексагональная структура в линейном потоке.

3.4. Тензор эффективной вязкости периодической суспензии.

ГЛАВА 4. ИЗМЕНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ В

СДВИГОВОМ ПОТОКЕ.

4.1. Периодическое восстановление решетки в сдвиговом потоке.

4.2. Деформация кубической решетки сфер при заданном тензоре градиентов скоростей.

4.3. Деформация кубической решетки сфер при заданном среднем напряжении.

Актуальность темы исследования. Большинство жидкостей, встречающихся в природе или используемых в промышленности, содержат некоторую долю примесей, т.е. представляют собой дисперсные системы. В зависимости от агрегатного состояния примесей выделяют суспензии (в жидкости взвешены твердые частицы), эмульсии (жидкость содержит капли другой жидкости) и газовые эмульсии (в жидкости взвешены пузырьки газа).

Взаимодействие дисперсных частиц влияет на макроскопические свойства суспензии (такие, как эффективная вязкость) и может качественно изменять профиль скорости. Различают два основных механизма такого взаимодействия. Первый механизм обусловлен силами (электростатическими, силами ван-дер-Ваальса и др.), действующими непосредственно между частицами. Второй механизм связан с тем, что из-за присутствия частиц в жидкости линии тока искривляются, а это, в свою очередь, ведет к изменению положения частиц. Он носит название гидродинамического взаимодействия.

Путем натурных и численных экспериментов обнаружено, что при определенных условиях частицы в суспензии образуют периодические структуры (Ефремов [81], Habdas [24], Krieger [41], Pusey [12,51], Leunissen, Christova, Hynninen, Royall, Campbell, Imhof, Dijkstra, Roij, van Blaaderen [37] и др.). Такие регулярные структуры получили название коллоидных кристаллов; это название отражает как периодичность расположения частиц, так и их размеры (порядка Ю-5 -т- Ю-7 см). Образование периодической структуры может произойти как под влиянием внешних полей, например, в электрореологических жидкостях [14], так и при стабилизации суспензии взаимодействиями двойных электрических слоев частиц [16,35,36,82]. При больших концентрациях взвеси суспензия может находиться в "кристаллическом" состоянии в отсутствие электрических и магнитных полей [33,51]. Существенным фактором, влияющим на процесс кристаллизации суспензии, является гравитация [13,39]. В частности, ряд экспериментов над коллоидными кристаллами был поставлен в космосе с разрешения NASA [13].

Твердые сферы, образующие неподвижную решетку и, возможно, частично перекрывающиеся, служат моделью пористой среды при фильтрации жидкости через нее и при распространении звуковых волн. Такие модели могут быть использованы как в теории фильтрации, так и в сейсмологии [10].

Механические, оптические [60] и акустические свойства коллоидных кристаллов могут сильно отличаться от свойств неструктурированных дисперсных систем. Понимание и адекватное описание гидродинамического взаимодействия частиц в периодических средах необходимо для управления свойствами суспензий и может быть использовано при разработке высокотехнологичных материалов с заранее заданными характеристиками.

В настоящее время исследуется широкий спектр проблем, связанным с поведением периодических суспензий в разных условиях. Изучаются процессы роста кристаллов [39], устойчивость периодических систем по отношению к разного рода возмущениям [15,44], гидродинамические свойства и реология коллоидных кристаллов (серия работ Hofman, Clercx, Schräm [29-32], эксперименты Gondret, Petit [21] и Fagan, Zukoski [18]), распространение волн в таких кристаллах [20]. Из-за малости взвешенных частиц эти дисперсные системы описываются уравнениями гидродинамики при малых числах Рейнольдса.

Начало исследования суспензий было положено в работах Стокса [87] и Эйнштейна [126], в которых были поставлены и решены задачи об обтекании одиночной твердой сферической частицы однородным и линейным потоками. Обобщения этих решений на случай нетвердых и несферических частиц приведены в известных руководствах по гидродинамике, например, [72,122].

Хорошо известным приемом решения уравнений движения жидкости является разложение искомых величин по базисным функциям [80]. Чем сложнее геометрия рассматриваемой системы, тем сложнее построить представление, обладающее достаточной гладкостью и хорошо аппроксимируемое при дискретизации [73]. Классический пример такого разложения - общее решение Ламба в сферических координатах [86].

Учет гидродинамического взаимодействия взвешенных частиц значительно усложняет описание суспензии в силу двух причин. Во-первых, граничные условия теперь необходимо задавать на нескольких поверхностях. Во-вторых, при описании течения вблизи конкретной частицы необходимо учесть искажения, внесенные в поток всеми остальными частицами.

К данному моменту разработано много методов моделирования гидродинамических взаимодействий в суспензиях. Метод отражений, предложенный Смолуховским [122], сложен и может быть применен лишь к описанию некоторых конкретных конфигураций двух или трех частиц. В статьях Batchelor, Green [4-6] разложение общего решения уравнения Стокса по сферическим гармоникам сочеталось со статистическим подходом. Это позволило описать парные взаимодействия частиц и найти макроскопические характеристики разбавленных суспензий. Однако обобщение этого подхода на взаимодействия трех и более частиц проблематично из-за трудностей с построением функций распределения. Статистические методы, рассмотренные Покровским [105], позволяют описывать поведение несферических частиц в различных потоках, но учет гидродинамического взаимодействия по-прежнему представляет большие трудности.

Ячеечные модели (Happel [25,122]) предполагают, что гидродинамическое взаимодействие выделенной частицы со всеми остальными сводится к формированию вокруг частицы ячейки, которой и ограничиваются возмущения потока. Ячейка имеет сферическую форму, что позволяет использовать решение Ламба. Однако размеры ячейки и условия на ее внешней границе определены неоднозначно. Кроме того, при увеличении концентрации или движении частиц должно произойти перекрытие ячеек, что приведет к искажению их формы. Поэтому ячеечные модели являются достаточно грубыми.

В связи с развитием компьютерных технологий большое значение имеет численное моделирование [45,119], позволяющее рассматривать дисперсные системы с большим количеством взвешенных частиц. Широко применяются методы молекулярной динамики, Монте-Карло, диссинативных частиц (см., например, обзор Урьева и Кучина [120]). Метод стоксовой динамики, предложенный Brady, Bossis, Durlofsky [8,17] основан на представлении многочастичных взаимодействий суммой парных и учете результатов теории смазки. Поэтому наиболее точные результаты, полученные этим методом, относятся к разбавленным или сильно концентрированным суспензиям.

В некоторых работах уравнения Стокса переформулируются, и дифференциальные соотношения заменяются интегральными [40,73]. Это позволяет построить гладкое решение уравнений и снизить вычислительные затраты.

Для учета гидродинамического взаимодействия применяются также различные варианты метода точечных (или индуцированных) сил (Mazur, van Saarlos [53], Saffman [54]), в которых частицы заменяются точечными силами, действующими в их центрах. Различия могут заключаться в виде граничных условий и форме представления точечных сил.

Одним из интенсивно развивающихся подходов является метод решеточного уравнения Больцмана, развиваемый в работах Ladd, Verberg [42,43] и Nourgaliev, Dinh, Theofanous, Joseph [46]. В нем предполагается, что жидкость состоит из микрочастиц (их размер превышает размеры молекул, но меньше размеров частиц взвеси), расположенных в узлах некоторой правильной решетки и образующих решеточный газ. Для описания динамики решеточного газа используется кинетическое уравнение Больцмана [69].

Иногда численные методы применяются вместе с известными аналитическими решениями более простых модельных задач. Например, в [10] использование решения Ламба сочетается с методом коллокации.

Специфика течений жидкости с периодической структурой взвеси заключается в том, что начальные положения частиц известны точно, и это избавляет от необходимости отыскивать функцию их распределения. С другой стороны, периодическая конфигурация не позволяет при моделировании ограничиться описанием двухчастичных взаимодействий. Поэтому при рассмотрении периодических дисперсных сред указанные выше методы, как правило, модифицируются. Во многих случаях они используются совместно с Фурье-анализом, более характерным для физики твердого тела (Felderhof [19]); Gray, Bonnecaze [23] используют метод стоксовой динамики, Ladd [42] -метод решеточного уравнения Больцмана.

В статье Hasimoto [26] метод точечных сил был применен для моделирования течения вязкой жидкости через неподвижную кубическую решетку твердых сфер. Фундаментальное периодическое решение уравнений Стокса было построено разложением скорости и давления в ряд Фурье по узлам решетки. Чтобы получить искомое решение, необходимо было подействовать на фундаментальное решение линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами, которые определялись из дополнительных условий. В качестве такого дополнительного условия рассматривалось равенство нулю средней скорости жидкости по поверхности частицы. Этим методом сила, действующая на частицы со стороны жидкости, была найдена с точностью до квадрата объемной концентрации частиц.

Изначально данный метод не учитывал вращение частиц и предназначался лишь для изучения фильтрации жидкости через неподвижную решетку. Однако его многочисленные модификации (Sangani, Mo, Acrivos, Lu [49,55-57], Zuzovsky, Adler, Brenner [3]) позволяют использовать граничные условия в явном виде и с большой точностью моделировать поведение периодической суспензии как в однородном, так и в линейном потоке, причем взвешенные частицы могут быть жидкими или пористыми. Во всех этих работах так или иначе переопределяются дифференциальные операторы, действующие на фундаментальное решение.

Подход Hasimoto служит основой ряда численных методов. Например, Zick, Homsy [61] и Nunan, Keller [50] используют построенное в [26] фундаментальное решение для сведения дифференциальных уравнений гидродинамики к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, которые решаются методом Галеркина.

Результаты [26] в сочетании с решением Озеена являются отправной точкой в исследовании периодических структур, в которых инерционные эффекты малы, но пренебречь ими нельзя (Cheng, Papanicolaou [11]).

Однако эти методы обладают и недостатками. Во-первых, для однородного и линейного потоков предлагаются разные модификации дифференциальных операторов; единого подхода к описанию разных потоков нет. Во-вторых, эти методы можно использовать лишь для описания кубических решеток частиц или квадратных решеток бесконечно длинных цилиндров. Хотя фундаментальное решение записано для произвольной решетки Бравэ, но при построении дифференциальных операторов существенно используется кубическая симметрия. Алгоритм, позволяющий произвести подобные выкладки для периодической решетки произвольной симметрии, не указан.

Существует также синтетический метод, соединяющий Фурье-анализ с представлением решения в виде суммы сферических гармоник и нахождением матриц подвижности (Hofman, Clercx, Schräm [29,30]).

Еще одним возможным подходом к описанию суспензий периодической структуры является получение осредненных уравнений (Бахвалов, Панасен-ко [62]) и вывод из них некоторых вариационных принципов (Бердичевский [63,64]), но таким образом эффективные характеристики суспензии найдены лишь в первом приближении по концентрации взвеси. Ячеечные модели, методы статистической механики и теория осреднения периодических структур сопоставляются и обобщаются в книге Саламатина [108].

Таким образом, не существует единого подхода, описывающего гидродинамические взаимодействия частиц в периодических суспензиях и учитывающего особенности периодической структуры. Кроме того, в ряде случаев (метод стоксовой динамики, метод решеточного уравнения Больцмана) потенциально бесконечная периодическая решетка частиц заменяется структурой больших, но конечных размеров, и вычислительные затраты резко возрастают с ростом числа частиц. Исходя из вышеизложенного актуальной является разработка метода, который бы при небольших вычислительных затратах позволил описать течение вязкой жидкости через бесконечную периодическую структуру частиц и взаимодействие частиц в такой структуре.

В настоящей работе предлагается аналитический метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии бесконечного числа частиц, образующих бесконечную периодическую решетку произвольной симметрии. Метод позволяет в едином ключе рассматривать взаимодействие периодической структуры, образованной частицами, с однородным и линейным потоками вязкой жидкости.

Объектом исследования является вязкая жидкость, содержащая одинаковые твердые сферические частицы. Эти частицы образуют периодическую структуру, простирающуюся бесконечно во всех направлениях. Относительно жидкости и частиц принимаются следующие предположения:

• Размеры частиц велики по сравнению с размерами молекул жидкости. Это позволяет описывать жидкость в рамках механики сплошной среды и считать, что на поверхности частиц выполнено условие прилипания.

• Жидкость несжимаема, ее плотность и вязкость постоянны.

• Размеры частиц достаточно велики, так что их броуновским движением можно пренебречь.

• Число Рейнольдса много меньше единицы. Это позволяет для описания дисперсной системы использовать линейные уравнения Стокса.

• На жидкость и на частицы не действуют внешние по отношению к дисперсной системе силы и моменты. В частности, частицы имеют нейтральную плавучесть. и

Цель и задачи исследования. Цель работы - разработка и реализация на компьютере метода расчета гидродинамического взаимодействия бесконечного числа одинаковых твердых сферических частиц, образующих периодическую структуру, при пренебрежимо малых числах Рейнольдса.

На основе метода Мартынова [95-97], теории пространственно-периодических гармонических функций А.Л. и В.Л. Бердичевских [65-68] и теории нелинейных тензорных функций тензорного аргумента Лохина и Седова [89-91,110] в диссертации разработан аналитический метод и создан программный комплекс для решения задачи о периодической решетке частиц в различных потоках вязкой жидкости. Метод позволяет даже на персональном компьютере с достаточно высокой точностью описывать гидродинамические взаимодействия частиц, расположенных в узлах решетки Бравэ.

В Главе 1 приведена общая постановка задачи о движении жидкости с периодической структурой твердых сферических частиц. Качественное отличие изучаемой проблемы от задачи с конечным числом частиц состоит в отсутствии условий на бесконечности. Показано, что только в линейном потоке свойство периодичности деформирующейся структуры частиц не теряется с течением времени. В разделе 1.2 на основе метода Мартынова [95-97] и А.Л. и В.Л. Бердичевских [65-68] пространственно-периодическое решение уравнений Стокса представлено в виде разложения по функциям специального вида. В это разложение входят тензорные коэффициенты, не зависящие от координат точки наблюдения. Найдено выражение для сил и моментов, действующих на каждую частицу в решетке. Приведен метод, сводящий поставленную краевую задачу к системе линейных уравнений, из которой должны быть определены тензорные коэффициенты. Учет симметрии периодических мультиполей и тензорных коэффициентов и их инвариантности относительно определенных точечных групп позволяет существенно упростить вид решения. В разделе 1.4 указано, относительно каких групп должны быть инвариантны построенные в разделе 1.2 периодические функции и неизвестные тензоры. При анализе использовалась теория нелинейных тензорных функций Лохина и Седова. Построенный в этой главе метод можно применить и для решения других задач, например, для описания периодической суспензии, в которой частицы окружены двойными электрическими слоями [117].

В Главе 2 решена задача о фильтрации жидкости через неподвижную решетку частиц. В разделе 2.1 в общем виде указан вид возмущения скорости вблизи начала координат; для однородного потока возмущение скорости есть четная функция радиус-вектора точки наблюдения. В разделе 2.2 с помощью теории [89-91,110] построены мультиполи, периодические относительно кубической решетки. Эти выражения использованы в разделе 2.3 для решения задачи о фильтрации жидкости через кубическую решетку.

Рассмотрен предельный переход от задачи о фильтрации жидкости через неподвижную решетку к задаче об обтекании одиночной частицы однородным потоком при увеличении расстояния между частицами в решетке. В задаче о фильтрации заранее заданной величиной может быть как скорость однородного потока, так и макроскопический градиент давления. Если известна скорость потока, то предельный переход существует. Если же задан макроскопический градиент давления, то такой переход невозможен, ибо в этом случае при увеличении расстояния между частицами скорость однородного потока стремится к бесконечности.

В разделах 2.4, 2.5 получен вид мультиполей для гексагональной решетки и решена задача о фильтрации вязкой жидкости через такую решетку.

Поскольку рассматриваемые задачи линейны, достаточно исследовать фильтрацию лишь в направлении координатных осей. Если решетка частиц кубическая, то оси координат равноправны, и при фильтрации в направлении любой из них возмущение скорости имеет один и тот же вид (с соответствующим переименованием координат). В случае гексагональной решетки координатные оси неравноправны, и решения задачи при разных направлениях фильтрации различны. Более того, эти решения инвариантны относительно разных точечных групп. В тексте приведены проекции возмущения скорости на плоскости, перпендикулярные направлению фильтрации. На проекциях хорошо прослеживаются поворотные оси и зеркальные плоскости, соответствующие этим точечным группам.

В разделе 2.6 полученные решения использованы для нахождения скорости фильтрации и тензора проницаемости. Для кубических решеток эти величины находились ранее [26,55,56,61]. Результаты, полученные развиваемым в диссертации методом, совпадают с результатами этих работ.

Скорость фильтрации через гексагональную решетку и тензор проницаемости этой конфигурации частиц найдены впервые. Коэффициенты проницаемости вдоль координатных осей зависят от относительного удлинения А шага гексагональной решетки вдоль поворотной оси шестого порядка. При неизменной доле твердого вещества ф в решетке и сохранении поворотной симметрии растяжение вдоль этой оси в А раз сопровождается сжатием в у/А раз вдоль каждого перпендикулярного ей направления. Поэтому площадь сечения ячейки решетки плоскостью, перпендикулярной оси шестого порядка, уменьшается в А раз. Это затрудняет фильтрацию в данном направлении, и соответствующий коэффициент уменьшается. Напротив, сечение ячейки, содержащее ось шестого порядка, увеличивается в \/~А раз, что облегчает фильтрацию в направлении, перпендикулярном поворотной оси. Поэтому коэффициент проницаемости в этом направлении растет с увеличением А.

Глава 3 содержит решение задачи о периодической структуре частиц в линейном потоке вязкой жидкости. К таким течениям относятся сдвиговой поток и поток расширения или сжатия.

В разделе 3.1 указан общий вид возмущения скорости для линейных потоков; теперь это возмущение - нечетная функция радиус-вектора.

В разделе 3.2 мультиполи, построенные в Главе 2, использованы для описания возмущений, вызываемых кубической решеткой в сдвиговом потоке и в потоке расширения. Для этих двух потоков построены картины течения, иллюстрирующие группу симметрии задачи.

Если на частицы в кубической решетке не действуют внешние моменты сил, то угловая скорость частиц равна скорости "твердотельного" вращения жидкости. Это согласуется с выводами Nunan, Keller [50]. Чтобы частицы получили некую относительную угловую скорость, необходимо, чтобы на них действовал внешний момент сил, как это происходит, например, в ферромагнетиках (Жуков [82]). В разделе 3.2 найдена вращательная вязкость суспензии с кубической решеткой сфер. Полученный результат согласуется с [3].

В разделе 3.3 изучается поведение гексагональной решетки в линейных потоках. Хотя возмущения скорости при сдвиге в разных плоскостях имеют одну и ту же группу симметрии, в одном случае частицы в отсутствие внешнего момента вморожены в жидкость, а в другом - имеют ненулевую относительную угловую скорость. Описано также поведение гексагональной решетки частиц в потоке расширения вдоль оси шестого порядка.

В разделе 3.4 полученные решения используются для нахождения эффективной вязкости суспензий с кубической и гексагональной решеткой сфер. В отличие от суспензии случайно распределенных частиц, эффективная вязкость периодической суспензии есть тензор четвертого ранга, связывающий девиаторную часть среднего напряжения и тензор скоростей деформаций. Процедура нахождения среднего напряжения основана на методе Batchelor, Green [4-6]. Эффективная вязкость суспензии с кубической решеткой сфер определяется всего двумя параметрами, вычисленными в большом количестве работ [3,31,32,50,57]. Метод, предлагаемый в диссертации, воспроизводит эти результаты с высокой точностью.

В отличие от упомянутых работ, метод, предлагаемый в диссертации, позволяет найти тензор эффективной вязкости периодической суспензии произвольной структуры. В частности, в суспензии с гексагональной решеткой сфер он определяется тремя параметрами 771, 772 и 773, которые могут быть интерпретированы как коэффициенты вязкости в трех различных потоках:

- при сдвиге в плоскости, перпендикулярной оси шестого порядка,

- при сдвиге в плоскости, содержащей ось шестого порядка,

- в потоке растяжения вдоль этой оси.

Как и коэффициенты проницаемости, они зависят от удлинения А шага решетки. Если А растет, то (при фиксированной концентрации взвеси ф) частицы в плоскости, перпендикулярной оси шестого порядка, сближаются, сопротивление суспензии сдвигу в этой плоскости увеличивается. Поэтому % монотонно возрастает с увеличением А. В потоке растяжения решетка сжимается направлениях, перпендикулярных направлению растяжения. При больших А частицы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шестого порядка, находятся на малом расстоянии друг от друга, что препятствует дальнейшему их сближению. Поэтому щ также есть возрастающая функция А. При малых ф зависимость между щ и А обратная, так как при относительном удлинении решетки в А раз площадь сечения ячейки плоскостью, содержащей поворотную ось, становится в у/А раз больше, а сопротивление сдвигу в этой плоскости уменьшается. При больших ф значительный вклад в возмущение скорости дают частицы, лежащие в разных плоскостях, параллельны поворотной оси. При увеличении А эти плоскости сближаются, что сказывается на увеличении щ.

В линейном потоке взаимное расположение частиц меняется с течением времени, а значит, такие величины, как эффективная вязкость, также изменяются. Чтобы охарактеризовать суспензию, их надо каким-либо образом осреднить по времени. Поэтому в Главе 4 рассмотрена деформация кубической структуры в сдвиговом потоке.

В разделе 4.1 выясняется, в каких случаях исходная конфигурация частиц восстанавливается с течением времени; тогда мгновенные макроскопические характеристики суспензии могут быть осреднены по отрезку времени, необходимому для восстановления решетки. Рассмотрено периодическое и почти периодическое течение суспензии.

Деформация решеток в линейных потоках и осреднение макроскопических величин по времени обсуждались Adler, Zuzovsky, Brenner [1,2]. В настоящей диссертации их результаты уточнены: приведен критерий самосовмещения периодической решетки в потоке простого сдвига. Полученные в разделе 4.1 общие результаты далее применяются к расчету конкретных суспензий с деформирующейся периодической решеткой; в работах [1,2] такие примеры отсутствуют.

В разделе 4.2 описана динамика кубической решетки в случае, когда тензор градиентов скоростей известен заранее и постоянен. Предполагается, что сдвиг производится в одном из трех направлений: вдоль ребра куба, вдоль диагонали одной из граней или вдоль главной диагонали куба. При деформации решетки частицы приобретают отличную от нуля мгновенную угловую скорость в отсутствие внешнего момента. Эта скорость (как и мгновенная сдвиговая вязкость) меняется с течением времени. Среднее значение сдвиговой вязкости зависит от типа исходной решетки и от направления сдвига; по сравнению с мгновенной вязкостью суспензии с недеформированной решеткой оно может как увеличиться, так и уменьшиться. При ф < 0.1 изменение составляет 1-2%. Для рассмотренных начальных конфигураций частиц и направлений сдвига сдвиговая вязкость rfh и относительная угловая скорость частиц и обладают следующим свойством: можно указать такой момент времени t = t*, что rjsh{t — £*) и tü(t — t*) суть четные функции t — t*. Время t отсчитывается от момента, когда частицы образовали кубическую решетку. Это свойство позволяет снизить вычислительные затраты.

В разделе 4.3 исследуется динамика периодической суспензии, в которой поддерживается постоянное среднее напряжение. При этом тензор градиентов скоростей зависит от мгновенной конфигурации частиц: скорость сдвига меняется с течением времени, а на основной сдвиговой поток накладываются расширения/сжатия ячейки решетки вдоль координатных осей. При сдвиге в направлениях, указанных выше, эти движения периодичны. Основным следствием такого "дыхания" решетки является увеличение промежутка времени, необходимого для восстановления исходной конфигурации. Характер изменения сдвиговой вязкости и угловой скорости частиц аналогичен случаю "недышащей" решетки. Влияние периодических расширений/сжатий ячейки на среднее значение сдвиговой вязкости обнаружено не было.

Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в ходе диссертационного исследования.

В Приложении А указаны некоторые свойства специальных функций, использованных для построения общего решения уравнений Стокса.

В Приложении В приведены значения решеточных сумм по кубическим и гексагональным решеткам, а также средние значения мультиполей по ячейкам периодичности решеток.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Разработан новый аналитический метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии бесконечного числа частиц, находящихся в узлах бесконечной периодической решетки. Общее решение уравнений Стокса представлено в виде разложения по мультиполям, периодическим относительно данной решетки и инвариантным относительно ее группы симметрии. Неизвестными в решении являются тензорные коэффициенты разложения, вид которых определяется симметрией решетки частиц и граничных условий, и зависящие от одного скалярного параметра. Метод может быть применен для изучения решеток произвольной симметрии.

• Предложенным методом решены задачи:

- о фильтрации жидкости через кубическую и гексагональную решетку частиц;

- о гидродинамическом взаимодействии частиц в узлах кубической и гексагональной решеток в сдвиговом потоке и потоке расширения;

- о гидродинамическом взаимодействии частиц в узлах кубической решетки, находящихся под действием внешнего момента;

- о деформации кубической решетки сфер в сдвиговом потоке при постоянном градиенте скорости или среднем напряжении.

• На основе полученных решений найдены тензоры проницаемости и эффективной вязкости суспензий с кубической и гексагональной решеткой сфер.

• Получен критерий, позволяющий определить, в каких случаях произвольная периодическая решетка, деформируемая сдвиговым потоком, восстанавливает свой первоначальный вид. Найдена средняя по времени сдвиговая вязкость суспензии с кубической решеткой сфер, форма которой восстанавливается.

• Показано, что при постоянном среднем напряжении в суспензии с кубической решеткой время, необходимое для восстановления первоначальной конфигурации частиц, увеличивается с ростом их концентрации.

• Разработан программный комплекс, включающий:

- программу, генерирующую и решающую системы линейных алгебраических уравнений, к которым сводятся краевые задачи;

- программу, вычисляющую решеточные суммы, что позволяет найти мгновенные характеристики решетки в потоке;

- программу, моделирующую деформацию решетки сфер при сдвиге с заданным градиентом скорости или среднем напряжением.

Достоверность полученных результатов вытекает из того, что они получены из общих уравнений и законов механики жидкости с помощью строгих математических доказательств и выводов. Решения задач, найденные предлагаемым методом, для известных частных случаев совпадают с результатами, полученными другими методами.

Область применения и практическая ценность результатов. Полученные в диссертации результаты позволяют более глубоко понять механизм гидродинамического взаимодействия бесконечного числа частиц и могут быть применены на практике. В частности, предлагаемая модель может быть использована для детального исследования свойств коллоидных кристаллов при производстве различных материалов и покрытий, а также для описания течения жидкости через фильтры.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Разработан и реализован на компьютере метод расчета возмущений, вызванных присутствием в вязкой жидкости бесконечной периодической решетки частиц. Возмущения зависят от группы симметрии решетки и граничных условий.

• Найдены тензоры проницаемости и эффективной вязкости суспензии с гексагональной решеткой сфер.

• Определена средняя сдвиговая вязкость суспензии с деформирующейся кубической решеткой сфер.

• Обнаружено, что при постоянном среднем напряжении решетка в сдвиговом потоке испытывает периодические сжатия/растяжения, а средняя скорость течения снижается при увеличении концентрации взвеси.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационного исследования обсуждались на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (г. Казань, 2003 г.), на конференциях Средневолжского Математического общества (г. Саранск, 2003, 2005, 2006 гг.), конференции "Роль науки и инноваций в развитии хозяйственного комплекса региона" (г. Саранск, 2003 г.), на Международной летней школе по гидродинамике больших скоростей (г. Чебоксары, 2004 г.), на Всероссийском конгрессе по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006 г.) и научном семинаре НИИ математики и механики при Казанском государственном университете (г. Казань, 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, приведенных в списке литературы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем работы составляет 164 листа машинописного текста. Диссертация содержит 32 рисунка, 1 таблицу и список литературы из 126 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены течения вязкой несжимаемой жидкости, содержащей периодическую решетку одинаковых сферических частиц. Число Рейнольдса предполагается пренебрежимо малым. Разработанная модель и ее реализация на компьютере могут использоваться при изучении процессов, происходящих в мелкодисперсных системах (например, коллоидных кристаллах), в которых в результате тех или иных взаимодействий частицы взвеси образуют периодическую структуру. Основные результаты работы таковы:

• На основе мультипольного разложения решения уравнений Стокса и теории нелинейных тензорных функций разработана и программно реализована модель течения жидкости, содержащей периодическую структуру твердых сферических частиц.

• Описано поведение жидкости, содержащей кубическую или гексагональную решетку сфер, в однородном и линейном потоках. С помощью найденных периодических возмущений скорости и давления получены макроскопические характеристики таких суспензий - тензоры проницаемости и эффективной вязкости.

• В частных случаях, когда в жидкости взвешена кубическая решетка сфер, результаты, полученные с помощью предлагаемой модели, хорошо согласуются с результатами, полученными другими методами.

• Описана динамика решетки частиц в сдвиговом потоке. Указаны условия, при которых исходная конфигурация частиц периодически восстанавливается. Для трех типов кубических решеток и трех различных направлений сдвига найдено среднее значение сдвиговой вязкости. Показано, что учет деформации решетки и осреднение по времени приводит к изменению вязкости по сравнению с ее мгновенным значением для исходной кубической структуры.

• Разобраны случаи, когда в суспензии с деформирующейся структурой частиц постоянны градиенты скорости и средние напряжения. Показано, что основное различие между ними заключается в увеличении времени, необходимого для восстановления исходной структуры, в случае с постоянными средними напряжениями.

1. Adler P.M. Spatially periodic suspensions of convex particles in linear shear flows / P.M. Adler, M. Zuzovsky and H. Brenner // International Journal of Multiphase Flow. 1985. - V. 11, N 3. - P. 387-417.

2. Adler P.M. Spatially periodic suspensions of convex particles in linear shear flows / P.M. Adler and H. Brenner // International Journal of Multiphase Flow. 1985. - V. 11, N 3. - P. 361-385.

3. Adler P.M. Spatially periodic suspensions of convex particles in linear shear flows. III. Dilute arrays of spheres suspended in Newtonian fluids / M. Zuzovsky, P.M. Adler and H. Brenner // Physics of Fluids. 1983. -V. 26, N 7. - P. 1714-1723.

4. Batchelor G.K. The stress system in a suspension of force-free particles / G.K. Batchelor // Journal of Fluid Mechanics. 1970. - V. 41, pt. 3. -P. 545-570.

5. Batchelor G.K. The hydrodynamic interaction of two small freely-moving spheres in a linear flow field / G.K. Batchelor, J.T. Green // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 56, pt. 2. - P. 375-400.

6. Batchelor G.K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles to order c2 / G.K. Batchelor, J.T. Green // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 56, pt. 3. - P. 401-427.

7. Booth F. The electroviscous effect for suspensions of solid spherical particles / F. Booth // Proceedings of the Royal Society of London. -1950. -A203. P. 533-551.

8. Brady J.F. Stokesian dynamics / John F. Brady, Georges Bossis // Annual Review of Fluid Mechanics 1988. - V. 20. - P. 111-157.

9. Chang C. Dynamic simulation of bimodal suspensions of hydrodynamically interacting spherical particles / Chingyi Chang, Robert L. Powell // Journal of Fluid Mechanics. 1992. - V. 253. - P. 1-25.

10. Chapman A.M. Oscillatory Stokes flow in periodic porous media / A.M. Chapman and J.J.L. Higdon // Physics of Fluids A. 1992. - V. 4, N 10. - P. 2099-2116.

11. Cheng H. Flow past periodic arrays of spheres at low Reynolds Number / Hongwei Cheng and George Papanicolaou // Journal of Fluid Mechanics. -1997. V. 335. - P. 189-212.

12. Colloidal fluids, crystals and glasses / P.N. Pusey, W. van Megen, S.M. Underwood, P. Bartlett and R.H. Ottewill // Journal of Physics: Condensed Matter. 1990. - N 2. - P. SA373-SA377.

13. Crystallization of hard-sphere colloids in microgravity / Jixiang Zhu, Min Li, R. Rogers, W. Meyer, R.H. Ottewill, STS-73 Space Shuttle Crew, W.B. Russel and P.M. Chaikin // Nature. 1997. - V. 387, N 6636. -P. 883-885.

14. Dassanayake U. Structure of electrorheological fluids / U. Dassanayake, S. Fraden, A. van Blaaderen // Journal of Chemical Physics. 2000. -V. 112, N 8. - P. 3851-3858.

15. Direct observation of stacking disorder in a colloidal crystal / N.A.M. Verhaegh, J.S. van Duijneveldt, A. van Blaaderen, H.N.W. Lekkerkerker // Journal of Chemical Physics. 1995. - V. 102, N 3. - P. 1416-1421.

16. Dobnikar J. Effect of many-body interactions on the solid-liquid phase behavior of charge-stabilized colloidal suspensions / J. Dobnikar, R. Rzehakand H.H. von Grünberg // Europhysics Letters. 2003. - V. 61, N 5. -P. 695-701.

17. Durlofsky L. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting particles / L. Durlofsky, J.F. Brady and G. Bossis // Journal of Fluid Mechanics. 1987. - V. 180. - P. 20-49.

18. Fagan M.E. The rheology of charge stabilized silica suspensions / M.E. Fagan and C.F. Zukoski // Journal of Rheology. 1997. - V. 41, N 2. - P. 373-397.

19. Felderhof B.U. Dynamics of Colloidal Crystals / B.U. Felderhof, R.B. Jones //Zeitscrift für Physik B Condensed Matter. - 1986. - V. 64. -P. 393-400.

20. Friction factors for a lattice of Brownian particles / Alan J. Hurd, Noel A. Clark, Richard C. Mockler and William J. O'Sullivan // Journal of Fluid Mechanics. 1985. - V. 153. - P. 401-416.

21. Gondret P. Viscosity of periodic suspensions / P. Gondret, L. Petit // Physics of Fluids. 1996. - V. 8, N 9. - P. 2284-2290.

22. Graham A.L. On the viscosity of suspensions of solid spheres / Alan L. Graham // Applied Scientific Research. 1981. - V. 37. - P. 275-286.

23. Gray J.J. Rheology and dynamics of sheared arrays of colloidal particles / Jeffrey J. Gray and Roger T. Bonnecaze // Journal of Rheology. 1998. -V. 42, N 5. - P. 1121-1151.

24. Habdas P. Video microscopy of colloidal suspensions and colloidal crystals / Piotr Habdas, Eric R. Weeks // Current Opinion in Colloid and Interface Science. 2002. - N 7. - P. 196-203.

25. Happel J. Viscosity of suspensions of unifrom spheres / John Happel // Journal of Applied Physics. 1957. - V. 28, N 11. - P. 1288-1292.

26. Hasimoto H. On the periodic fundamental solutions of the Stokes equations and their application to viscous flow past a cubic array of spheres / H. Hasimoto // Journal of Fluid Mechanics. -1959. V.5, pt.2. - P.317-328.

27. Hoffman R.L. Discontinuous and Dilatant Viscosity Behavior in Concentrated Suspensions. I. Observation of a Flow Instability / R.L. Hoffman // Transactions of the Society of Rheology. 1972. - V. 16, N 1. - P. 155-173.

28. Hoffman R.L. Discontinuous and Dilatant Viscosity Behavior in Concentrated Suspensions. II. Theory and Experimental Tests / R.L. Hoffman // Journal of Colloid and Interface Science. 1974. - V. 46, N 3. - P. 491-506.

29. Hofman J.M.A. Hydrodynamic interactions in colloidal crystals (I). General theory for simple and compound lattices / J.M.A. Hofman, H.J.H. Clercx, P.P.J.M. Schram // Physica A. 1999. - V. 268. - P. 326-352.

30. Hofman J.M.A. Hydrodynamic interactions in colloidal crystals (II). Application to dense cubic and tetragonal crystals / J.M.A. Hofman, H.J.H. Clercx, P.P.J.M. Schram // Physica A. 1999. - V.268. - P.353-390.

31. Hofman J.M.A. Hydrodynamic properties of dense colloidal crystals: dissertation. / by Johannes Marinus Abraham Hofman. Eindhoven : Technische Universiteit Eindhoven, 1999. - vi, 185 p.

32. Hofman J.M.A. Effective viscosity of dense colloidal crystals / J.M.A. Hofman, H.J.H. Clercx, P.P.J.M. Schram // Physical Review E. -2000. V. 62, N 6. - P. 8212-8233.

33. Hoover W.G. Melting transition and Communal Entropy for hard spheres / William G. Hoover and Francis H. Ree // Journal of Chemical Physics. -1968. V. 49, N 8. - P. 3609-3617.

34. Huang J. Integral representations of harmonic lattice sums / Jingfang Huang // Journal of Mathematical Physics. 1999. - V.40, N 10. - P.5240-5246.

35. Hynninen A.-P. Effect of triplet interactions on the phase diagram of suspensions of charged colloids / Antti-Pekka Hynninen, Marjolein Dijkstra and Rene van Roij // Journal of Physics: Condensed Matter. 2003. -V. 15, N 48. - P. S3549-S3556.

36. Hynninen A.-P. Effect of three-body interactions on the phase behavior of charge-stabilized colloidal suspensions / A.-P. Hynninen, M. Dijkstra and R. van Roij // Physical Review E. 2004. - V. 69. - P. 061407-1-061407-8.

37. Jeffrey D.J. The rheological properties of suspensions of rigid particles / D.J. Jeffrey, A. Acrivos // AlChe Journal. 1976,- V.22, N 3. - P.417-432.

38. Kegel W.K. Crystallization in Glassy Suspensions of Colloidal Hard Spheres / Willem K. Kegel // Langmuir. 2000. - V. 16, N 3. - P. 939-941.

39. Kim S. Towards ab Initio Simulations of Concentrated Suspensions / Sangtae Kim, Yuris 0. Fuentes and Seppo J. Karilla // Journal of Statistical Physics. 1991. - V. 62, N 5/6. - P. 1197-1223.

40. Krieger I.M. Rheology of monodysperse latices / Irvin M. Krieger // Advances in Colloid and Interface. Science. 1972. - V. 3. - P. 111-136.

41. Ladd A.J.C. Numerical Simulations of Particulate Suspensions via a Discretized Boltzmann Equation. Part II. Numerical results / Anthony J.C. Ladd // Journal of Fluid Mechanics. 1994. - V. 271. - P. 311-339.

42. Ladd A.J.C. Lattice-Boltzmann Simulations of Particle-Fluid Suspensions / A.J.C. Ladd and R. Verberg // Journal of Statistical Physics. 2001. -V. 104, N5/6.-P. 1191-1251.

43. Lahiri R. Are Steadily Moving Crystals Unstable? / R. Lahiri, S. Ramaswami // Physical Review Letters.- 1997 V. 79, N 6. - P. 11501153.

44. Langtangen H.P. Numerical methods for incompressible viscous flow / Hans Peter Langtangen, Kent-Andre Masdal, Ragnar Winther // Advances in Water Resources. 2002. - V. 25. - P. 1125-1146.

45. The lattice Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications / R.R. Nourgaliev, T.N. Dinh, T.G. Theofanous, D. Joseph // International Journal of Multiphase Flow. 2003. - V. 29. -P. 117-169.

46. Lin C.-J. Simple shear flow round a rigid sphere: inertial effets and suspension rheology / Chen-Jung Lin, James H. Peery and W.R. Schowalter // Journal of Fluid Mechanics. 1970. - V. 44, pt. 1. -P. 1-17.

47. Meredith R.E. Resistance to Potential Flow through a Cubical array of spheres / Robert E. Meredith, Charles W. Tobias // Journal of Applied Physics. 1960. - V. 31, N 7. - P. 1270-1273.

48. Mo G. A method for computing Stokes flow interactions among spherical objects and its application to suspensions of drops and porous particles / Guobiao Mo and Ashok S. Sangani // Physics of Fluids. 1994. - V. 6, N 5. - P. 1637-1652.

49. Nunan K.C. Effective viscosity of a periodic suspension / Kevin C. Nunan and Joseph B. Keller // Journal of Fluid Mechanics. 1984. - V. 142. -P. 269-287.

50. Pusey P.N. Phase behaviour of concentrated suspensions of nearly hard colloidal spheres / P.N. Pusey and W. van Megen // Nature. 1986. -V. 320. - P. 340-342.

51. Rutgers I. Relative viscosity and concentration / Ir.R. Rutgers // Rheologica Acta. 1962. - V. 2. - P. 305-348.

52. Saarlos W. van. Many-sphere hydrodynamic interactions. II. Mobilities at finite frequences / W. van Saarlos and P. Mazur // Physica. 1983. -V. 120A. - P. 72-102.

53. Saffman P.G. On the Settling Speed of Free and Fixed Suspensions / P.G. Saffman // Studies in Applied Mathematics. 1973. - V. 52, N 2. -P. 115-127.

54. Sangani A.S. Slow flow through a periodic array of spheres / A.S. Sangani and A. Acrivos // International Journal of Multiphase Flow. 1982. - V.8, N 4. - P. 343-360.

55. Sangani A.S. Sedimentation in ordered emulsions of drops at low Reynolds numbers / Ashok S. Sangani // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1987. - V. 38. - P. 542-556.

56. Sangani A.S. Effective viscosity of an ordered suspension of small drops / Ashok S. Sangani, Wenqiang Lu // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1987. - V. 38. - P. 557-572.

57. Tomita M. The structure of Sheared Ordered Latices / M. Tomita and T.G.M. van de Ven // Journal of Colloid and Interface Science. 1984. -V. 99, N 2. - P. 374-386.

58. Watterson I.G. Primary Electroviscous Effect in Suspensions of Charged Spherical Particles / Ian G. Watterson and Lee R. White // Journal of Chemical Society, Faraday Transactions. 2 1981. - V. 77. - P. 1115-1128.

59. Yannopapas V. Theoretical analysis of the photonic band structure of face-centred cubic colloidal crystals / V. Yannopapas, N. Stefanou and A. Modinos // Journal of Physics: Condensed Matter. 1997. - V. 9. -P. 10261-10270.

60. Zick A.A. Stokes flow through periodic array of spheres / A.A. Zick, G.M. Homsy // Journal of Fluid Mechanics. 1982. - V.115. - P.13-26.

61. Бахвалов H.C. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов/ Н.С.Бахвалов, Г.П. Панасенко- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984 352 с.

62. Бердичевский B.JI. Пространственное осреднение периодических структур / В.Л. Бердичевский // Доклады АН СССР. 1975. - Т. 222, N 3. -С. 565-567.

63. Бердичевский В.Л. Об осреднении периодических структур / В.Л. Бердичевский // Прикладная математика и механика. 1977. - Т. 41, вып. 6. - С. 993-1006.

64. Бердичевский А.Л. Обтекание идеальной жидкостью периодической системы тел / А.Л. Бердичевский, В.Л. Бердичевский // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1978. - N 6. - С. 3-18.

65. Бердичевский А.Л. Об эффективной теплопроводности сред с периодически расположенными включениями / А.Л. Бердичевский // Доклады АН СССР. 1979. - Т. 247, N6.-0. 1363-1367.

66. Бердичевский А.Л. Об обтекании вязкой жидкостью периодической решетки сфер / Бердичевский А.Л. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1981. - N 4. - С. 37-44.

67. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В.Л. Бердичевский. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1983. -448 с.

68. Больцман Л. Лекции по теории газов / Л. Больцман ; пер. с нем. под ред. Б.И. Давыдова. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1953. -555 с. - (Классики естествознания).

69. Бор Г. Почти периодические функции / Г. Бор ; пер. с нем. Д.А. Райкова ; под ред. проф. А.И. Плеснера. Изд. 2-е, стер. - М. : Эдиториал УРСС, 2005. - 128 с.

70. Борн М. Динамическая теория кристаллических решеток / Макс Борн и Хуань Кунь ; пер. с англ. В.И. Когана ; под ред. И.М. Лифшица. -М. : Изд-во иностр. лит., 1958. 488 с.

71. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М. : Мир, 1973. - 760 с.

72. Воинов О.В. Общие методы представления решений уравнений Стокса и метод расчета течений вязкой жидкости / О.В. Воинов // Доклады РАН. 2005. - Т. 405, N 5.- 0. 625-629.

73. Голубятников А.Н. Симметрии сплошных сред / А.Н. Голубятников // Успехи механики. 2003. - Т. 2, N 2. - С. 126-183.

74. Двухфазная фильтрация в трансверсально-изотропной пористой среде: эксперимент и теория / М.Н. Дмитриев, Н.М. Дмитриев, В.В. Кадет, М.Н. Кравченко, С.Г. Рассохин // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004. - N 4. - С. 92-97.

75. Дмитриев Н.М. Определяющие уравнения двухфазной фильтрации в анизотропных пористых средах / Н.М. Дмитриев, В.М. Максимов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. - N 2. - С. 87-94.

76. Дмитриев Н.М. Нелинейные законы фильтрации для анизотропных пористых сред / Н.М. Дмитриев, В.М. Максимов // Прикладная математика и механика. 2001. - Т. 65, N 6.- 0. 963-970.

77. Дмитриев М.Н. К представлению функций относительных фазовых проницаемостей для анизотропных пористых сред / М.Н. Дмитриев, Н.М. Дмитриев, В.М. Максимов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. - N 3. - С. 118-125.

78. Дружинин Г.В. Построение базисных функций и их применение к краевым задачам механики сплошной среды /Г.В. Дружинин // Прикладная математика и механика. 2003. - N 6. - С. 35-43.

79. Ефремов И.Ф. Периодические коллоидные структуры / И.Ф. Ефремов. J1. : Химия, 1971. - 192 с.

80. Жуков A.B. Кристаллическая структура и реология высококонцентрированных ферромагнитных суспензий / A.B. Жуков // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2006. - N 5. - С. 122-134.

81. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель ; пер. с 4-го амер. изд. A.A. Гусева и A.B. Пахнева ; под общ. ред. A.A. Гусева. -М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1978. 792 с.

82. Копцик В.А. Шубниковские группы. Справочник по симметрии и физическим свойствам кристаллических структур / В.А. Копцик ; под ред. акад. Н.В. Белова. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1966. - 724 с.

83. Кузнецов Д.С. Специальные функции / Д.С. Кузнецов. Изд. 2-е, пе-рераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1965. - 424 с.

84. Ламб Г. Гидродинамика / Г. Ламб ; пер. с 6-го англ. изд. A.B. Гермо-генова, В.А. Кудрявцева ; под ред. проф. H.A. Слезкина. М. ; Л. : ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1947. - 929 с.

85. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. 3-е изд., перераб. - М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1986. - 736 с.

86. Левитан Б.М. Почти-нериодические функции / Б.М. Левитан. М. : Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1953. - 396 с.

87. Лохин В.В. Система определяющих параметров, характеризующих геометрические свойства анизотропной среды / В.В. Лохин // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 149, N 2.-0. 295-297.

88. Лохин В.В. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов / В.В. Лохин, Л.И. Седов // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27, N 3.-0. 393-417.

89. Лохин В.В. Ковариаптпая форма целого рационального базиса полиномиальных инвариантов симметричного тензора второго ранга /В.В. Лохин // Проблемы современной механики. К юбилею Л.И. Седова / под ред. С.С. Григоряна. М., 1998. - С. 91-99.

90. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике / Г.Я. Любарский. М. : Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1957. - 356 с.

91. Максимов В.М. Методы теории нелинейных тензорных функций в моделях двухфазной фильтрации в анизотропных средах / В.М. Максимов, Н.М. Дмитриев // Проблемы современной механики. К юбилею Л.И. Седова / под ред. С.С. Григоряна. М., 1998. - С. 76-83.

92. Мартынов С.И. Гидрологическое взаимодействие частиц / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. - N 2. -С. 112-119.

93. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в суспензии / С.И. Мартынов. -Казань : Изд-во Казан, матем. о-ва, 1998. 135 с.

94. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. - N 1. - С. 84-91.

95. Мартынов С.И. Течение вязкой жидкости через периодическую решетку сфер / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2002. - N 6. - С. 48-54.

96. Мартынов С.И. Периодическая решетка твердых сфер в линейном потоке вязкой жидкости / С.И. Мартынов, А.О. Сыромясов // Прикладная математика и механика : сб. науч. тр. Ульяновск, 2004. - С. 172-176.

97. Мартынов С.И. Вязкость суспензии с кубической решеткой сфер в сдвиговом потоке / С.И. Мартынов, А.О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. - N 4. - С. 3-14.

98. Мартынов С.И. Симметрия периодической решетки частиц и потока вязкой жидкости в приближении Стокса /С.И. Мартынов, А.О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2007. - N 3. -С. 7-20.

99. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание с помощью тензоров и матриц / Дж. Най ; пер. с англ. A.A. Шувалова. 2-е изд. -М. : Мир, 1967. - 388 с.

100. Покровский В.Н. Статистическая механика разбавленных суспензий / В.Н. Покровский. М. : Наука, 1978. - 136 с.

101. Пухначев В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса / В.В. Пухна-чев // Успехи механики. 2006. - Т. 4, N 1. - С. 6-76.

102. Рейсленд Дж. Физика фононов : пер. с англ. / Дж. Рейсленд ; под ред. проф. Г.С. Жданова. М. : Мир, 1975. - 368 с.

103. Саламатин А.Н. Математические модели дисперсных потоков / А.Н. Саламатин. Казань : Изд-во Казан, ун-та, 1987. - 172 с.

104. Седов JI.H. Механика сплошной среды. В 2 т. Т. 1 / Л.И. Седов. 6-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2004. - 528 с.

105. Седов Л.И. Описание с помощью тензоров точечных групп симметрии / Л.И. Седов, В.В. Лохин // Доклады АН СССР. Т. 149, N 4. - С.796-797.

106. Спенсер Э. Теория инвариантов / Э. Спенсер ; пер. с англ. А.И. Державиной ; под ред. В.В. Лохина. М. : Мир, 1974. - 160 с. - (Библиотека сборника "Механика").

107. Сыромясов А.О. Периодические решения трехмерных уравнений Сток-са / А.О. Сыромясов // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2003. - Т. 5, N 1. - С. 274-279.

108. Сыромясов А.О. Эффективная вязкость периодической суспензии / А.О. Сыромясов // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLIII междунар. науч. студ. конф. Математика. Новосибирск, 2005. - С. 28-29.

109. Сыромясов А.О. Вязкость суспензии с периодической решеткой сфер / А.О. Сыромясов // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2005. - Т. 7, N 1. - С. 347-351.

110. Сыромясов А.О. Электрогидродинамика структурированной суспензии /А.О. Сыромясов // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2006. - Т. 8, N 1. - С. 301-306.

111. Сыромясов А.О. Динамика решетки частиц в сдвиговом потоке / А.О. Сыромясов //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22-28 авг. 2006 г.) : аннотации докл. Н. Новгород, 2006. - Т. 2. - С. 164-165.

112. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2 т. Т. 2. Методы расчета различных течений / К. Флетчер ; пер. с англ. В.Ф. Ка-менецкого ; под ред. Л.И. Турчака. М. : Мир, 1991. - 552 с.

113. Урьев Н.Б. Моделирование динамического состояния дисперсных систем / Н.Б. Урьев, И.В. Кучин // Успехи химии. 2006. - Т. 75, N 1. -С. 36-63.

114. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам / М. Хамермеш ; пер. с англ. Ю.А. Данилова. Изд. 2-е, стер. - М. : УРСС, 2002. - 588 с.

115. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хап-пель, Г. Бреннер. М. : Мир, 1976. - 632 с.

116. Ходаков Г.С. Реология суспензии. Теория фазового течения и ее экспериментальное обоснование / Г.С. Ходаков // Российский химический журнал. 2003. - Т. 47, N 2. - С. 33-44.

117. Холопов Е.В. Проблемы сходимости кулоновских и мультипольных сумм в кристаллах / Е.В. Холопов // Успехи физических наук. 2004. -Т. 147, N 10. - С. 1033-1060.

118. Шубников A.B. Свойства кристаллов как однородной непрерывной среды // Избранные труды по кристаллографии / A.B. Шубников. М., 1975. - С. 263-335.