Тела частных, идеалы и представления квантовых и пуассоновых алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 512.66

ПАНОВ Александр Николаевич

ТЕЛА ЧАСТНЫХ, ИДЕАЛЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ И ПУАССОНОВЫХ АЛГЕБР

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА — 2004

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Самарского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Артамонов доктор физико-математических наук, профессор М. И. Кузнецов доктор физико-математических наук, профессор С. В. Пчелинцев

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение математического инстута им. В. А. Стеклова.

Защита диссертации состоится 12 марта 2004 года в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного Совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899 ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

2004 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Квантовые алгебры возникли в работах по математической физике как деформации алгебры регулярных функций C[G] на группе Ли и ее универсальной обёртывающей а л г е <U(g). С алгебраической точки зрения в результате квантования С-алгебры R :получается С-алгебра Rq, которая является свободным модулем над кольцом многочленов Лорана С[<7,д-1] такая , что исходная алгебра получается из неё редукцией R = Rq mod (9 — 1). Если R является алгеброй Хопфа, то и её квантование R„ естественно также искать в классе алгебр Хопфа. Наиболее известными квантовыми алгебрами являются квантовая универсальная обёртывающая алгебра U„(q) для полупростой алгебры Ли д, её двойственная алгебра CJG], алгебра квантовых матриц, квантовая алгебра Вейля. Число примеров можно расширить, если рассмотреть подалгебры этих алгебр, их многопараметрические версии и квантовые пространства представлений.

Ставится задача описания центра этих алгебр, первичного и примитивного спектра, тела частных. Представляет интерес как явное описание структуры конкретных квантовых алгебр, так и построения общей теории в духе метода орбит.

Квантовые алгебры связаны с пуассоновыми алгебрами. Если исходная алгебра — коммутативная, то её квантование Rq индуцирует пуассонову структуру на R. Если известно описание функций Казимира, классификация симплектических листов для пуассоновой алгебры R, то это облегчает задачу изучения центра, классификации примитивных идеалов .Rr. Теория пуассонового дубля, развитая в работах М.А.Семенова-Тян-Шанского

позволяет дать описание симплектических листов для групповой скобки Пуассона на полупростой группе Ли G и её борелевской подгруппе. Это дало толчок к работам по структуре алгебры CJG] и квантовой универсальной обёртывающей алгебры для максимальной разрешимой подалгебры в д. Задача описания примитивного спектра приводит к рассмотрению специализаций Re = R mod (g — е). Для случая е — не корень из 1 решение этой задачи изложено в книге А.Жозефа. 2 Случаю е — корень из 1 посвящены работы К.Де Кончини, К.Прочези, В.Каца, В.Любашенко, К.Брауна.

Рассмотрение этих примеров позволило выдвинуть ряд гипотез, которые по-видимому справедливы и для других квантовых алгебр. Например,

'М.А.Семёнов-Тян-Шанский, Группы Пуассона-Ли. Квантовый принцип двойственности и скрученный квантовый дубль, ТМФ 93(1992), N2, 302-329.

'A.Joseph, Quantum groups and their primitive ideal 1995

;■ IJaliii, lk'-idelb^rg^prmger-Verlag,

РОС НАЦИОНАЛЬНА'.

БИБЛИОТЕК*

СПетсрб ОЭ №0 '

гипотеза о размерности неприводимых представлений квантовых алгебр в корнях из 1: размерность неприводимого представления Re (е первообразный корень степени I из 1) с центральным характером х делится на (в разрешимом случае равна) ¿â, где d размерность симплектического листа х как точки многообразия центра. Гипотеза предложена в работе 3. Следующая цель — доказать эти гипотезы в максимально общих предположениях на алгебру Rq.. При этом эти предположения должны быть легко проверяемы и должны охватывать основные примеры.

В направлении построения общей теории для разрешимых квантовых алгебр и рассмотрения важных примеров (как алгебра квантовых матриц) в настоящее время ведутся активные исследования, о которых можно судить по обзорной статье К.Гудёрла 4.

Классическими аналогами этой предполагаемой теории является теория универсальных обёртывающих алгебр для разрешимых алгебр Ли, развитая в работах Ж.Диксмье 5, Р.Рентчлера 6 и других. При этом квантовым алгебрам в корнях из 1 соответствуют алгебр Ли над полем положительной характеристики.

Цель работы. Основная цель работы состоит в построении общей теории квантовых разрешимых алгебр, охватывающей вопросы описания тел частных, центра, стратификации первичных идеалов, классификации неприводимых представлений. При этом необходимо, чтобы условия, при которых будут доказаны общие теоремы, были легко проверяемы и охватывали основные примеры (такие как, например, алгебра квантовых матриц, квантовая алгебры Вейля, Î7ç(b) и их подалгебры). В корнях из 1 квантовые алгебры конечны над своим центром. Подалгебра центра является пуассоновой алгеброй и многообразие центра — пуассоновым многообразием. Ставится цель — изучить соответствие между неприводимыми представлениями и симплектическими листами.

К этой задаче примыкают задачи классификации -форм известных квантовых алгебр, описания разрешимых квантовых групп (алгебр Хоп-фа), локальной классификации n-скобок Пуассона и представлений алгебр Ли над полем положительной характеристики.

Научная новизна. Основные результаты работы состоят в следующем.

3C.De Concini, C.Procesi, Quantum Groups, Lecture Notes in Math., 1565(1993), 31-140.

4K.R.Goodearl Prime Spectra of Quantized Coordinate Rings, Lecture Notes in Pure and AppLMath, 210(2000), 205-237

5Ж.Диксмье, Универсальная обертывающая алгебра, Москва, Мир, 1978.

'W.Borho, P.Gabriel, R.Rentschler "Primideale in Einhullenden auflosbarer Lie-Algeren, Lecture Notes in Math., 3&7, Springer, Berlin, 1973.

1) Доказан критерий изоморфизма двух тел скрученных рациональных функций. Это позволяет ввести понятие канонической матрицы для тела скрученных рациональных функций ^ и поставить задачу нахождения этой матрицы и канонических образующих. Доказано, что центр тела ^ порождается мономами.

2) При общих и легко проверяемых предположениях доказана гипотеза о телах частных квантовых разрешимых алгебр. Построен квантовый аналог контрпримера Алефа-Ван дер Берга-Оомса к гипотезе Гельфанда-Кириллова и показана справедливость квантовой гипотезы для этой алгебры.

3) Проведена стратификация спектра первичных идеалов квантовых разрешимых алгебр при общих предположениях. Доказана гипотеза о телах частных для первичных факторов.

4) Для квантовых разрешимых алгебр в корнях из 1 доказана гипотеза о размерности неприводимого представления и гипотеза об алгебраичнос-ти симплектических листов многообразия центра. Доказано,- что колчан алгебры слоя является полным. Доказано, что число неприводимых представлений с данным центральным характером х равно /<г, где й — размерность некоторой торической подалгебры в стабилизаторе

5) Найдена каноническая матрица для тела частных алгебры квантовых п х ^матриц и каноническая система образующих. Дано описание центра тела частных для алгебры квантовых т х п- матриц и для алгебры квантовых треугольных матриц.

6) Дана характеризация Л-форм квантового тора в терминах точных последовательностей. Квантовые ¿-торы малой размерности описаны в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений.

7) Получен критерий того, что расширение Оре алгебры Хопфа является расширением Хопфа-Оре. Дана классификация расширений Хопфа-Оре для групповых колец, ?7(д), Ц,(д) и квантовой группы "ах + £>".

8) Доказана теорема о том, что локально ^скобка Пуассона для п > 3 сводится к якобиану. Получено описание функций Казимира и симплек-тических листов для скобок Склянина.

9) Получена классификация неприводимых представлений алгебры Ли

над полем положительной характеристики. Описание центра приводится в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений. Получена классификация особых точек многообразия центра. Установлено, что неприводимое представление имеет максимальную размерность тогда и только тогда, когда её центральный характер является неособой точкой многообразия центра. Дана классификация неприводимых пред-

ставлений максимальной размерности полупростых алгебр Ли классического типа.

Общая методика работы. Квантовые алгебры, рассмотренные в диссертации, являются нетеровыми кольцами и модулями над алгеброй многочленов Лорана. Исследования, проведённые в диссертации, используют теорию первичных идеалов в нетеровых кольцах. Применяется локализация при изучении спектра первичных идеалов и классификации неприводимых представлений. Основной подход — свести задачу для квантовой алгебры к алгебре скрученных многочленов.

При изучении соответствия между неприводимыми представлениями в корнях из 1 и точками многобразия центра используются свойства скобок Пуассона, симплектических листов и гамильтоновых траекторий. Эти методы также важны при изучении локальной структуры п- скобок Пуассона.

Теория алгебр Хопфа и их действия на кольцах используется при классификаций расширений Хопфа-Оре и изучения квантовых алгебр, допускающих Г/ДвЬ)-действие.

Теоретическая и практическая ценнность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории квантовых алгебр, геометрии скобок Пуассона и их квантования, для классификации неприводимых представлений алгебр Ли над полем положительной характеристики и квантовых групп в корнях из 1.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах в МГУ, механико-математический факультет: научный семинар кафедры алгебры, семинар под рук. проф. А.И.Кострикина и Ю.А.Бахтури-на (неоднократно); в Институте математической физики им. Шрёдингера (Вена, 2000) под рук. П.Михора; на алг. семинаре в Института Макса Планка (Бонн, Германия, 2001) под рук. Ю. И. Манина, Г.Фалтингса и Г.Хардера; в Институте Пуанкаре (Париж, Франция, 2001) под рук. Б. Келлера и Ж. Алефа; на алгебраических семинарах университетов Реймса (Франция, 1978 и 2001) под рук. Ж.Алефа и Виннипега (Канада, 2003) под рук. Н.Гупты.

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях: Международная конференция памяти А.Г.Куроша (Москва 1998); Международный алг.семинар " 70 лет кафедры алгебры МГУ" (Москва 1999); Международная конференция памяти З.И.Боревича(Петербург

2002); Международная алг.конференция (Тула 2003); "Quantum groups and integrable systems"(Прага 2001); "Differential operators and quantum algebras" (Реймс 1998); Международная алгебраическая конференция "Venice 2002" (Венеция 2002); Международной конференции памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989); Международной конференции памяти М.И.Кар-гаполова (Красноярск, 1993); XVII, XVIII, XIX Всесоюзных алгебраических корференциях (Кишинёв 1983, Минск 1985, Львов 1987).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[14], список которых приведен в конце реферата. Из совместной работе [5] в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 251 страницы состоит из 11 глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 104 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе изучаются тела частных алгебр скрученных многочленов. Результаты главы опубликованы в работах |3[, [4]. Пусть С коммутативная нетерова область с 1 и свойством 1 +1 Ч-----Ь 1 Ф 0. Пусть

Q = ((jij)¡!¡=1 матрица с элементами из С, в которой qa = дцдц = 1. Важный частный случай (случай однопараметрического квантования) С — алгебра многочленов Лорана (или её локализация по конечно по-

рождённому множеству знаменателей) и qij = qSi', где ву элементы целочисленной кососимметрической матрицы § = (s¿j)£-=1.

Алгебра .Aq (соотв. Л§) скрученных многочленов порождается над С (соотв. K\q, <7-1]) элементами х\,... , хдг с соотношениями X{Xj = q¿jXjXj. Алгебра скрученных многочленов допускает тело частных . Замечание:, в этой главе и в главе б мы сохраняем обозначения А§ (и í§) для специализаций G К этой алгебры в поле К. Основной теоремой главы является

Теорема 1.2.18. Пусть q общего вида (т.е. q - переменная или q £ К uq не корень из 1). Пусть § (соотв. S') целочисленная ко со симметрическая N х N-Mampuu¡a(coome. N' х N'-матрица). Два ; F§ т<F(piuюморф-ны тогда и только тогда, когда N = N' и существует целочисленная унимодулярнаяН такая, что §' = iPSU. Следствие 1.2.20. Пусть q общего вида.

1) Каждоетело F§ изоморфно одному изтел F¡} для целочисленной мат-

рицы

где d{ G N и d{ делит d{+1. 2) Тело F^ изоморфно Fo тогда и только тогда, когда N = N', т = т! и di = d'lt... ,dm = d'm.

Из теоремы вытекает, что центр тела F§ является чисто трансцендентным расширением основного поля. В общем случае доказано, что центр Fq порождается мономами, содержащимися в центре (Утверждение 6.3.1).

Вторая глава диссертации посвящена телам частных квантовых разрешимых алгебр. Результаты главы опубликованы в работе [8]. Основной теоремой главы является Теорема 2.5.2 о телах частных квантовых разрешимых алгебр.

Мы начнём изложение материала этой главы с формулировки гипотезы Гелъфанда-Кириллова о телах частных универсальной обёртывающей алгебры С/(д). Эта гипотеза утверждает, что тело частных Fract f/(g) для алгебраической алгебры Ли g над полем К (т.е. алгебры Ли алгебраической .ЙТ-группы) изоморфно телу частных алгебры Вейля над чисто трансцендентным расширением исходного поля К 7. Эта гипотеза справедлива для вполне разрешимых алгебр алгебры . Известно, что

гипотеза верна для Fract Î7(g) ® К', где g полупростая алгебра Ли и К' некоторое конечное расширение поля Center(Fract U(g)) 10. Однако в общем случае эта гипотеза неверна Контрпримером является t/(g) дня полупрямой суммы g алгебры Ли sl2 и суммы двух её присоединённых представлений V2 Ф Уг- Мы вернёмся к этому контрпримеру в главе 7.

♦ В §2.1 собраны факты по расширениям Оре колец и локализациям не-торовых колец, которые используются в дальнейшем. В следующем §2.2 даётся определение квантовой разрешимой алгебры и приводится список основных примеров.

Пусть С как в главе 1 и Q = (lij)ij=i матрица с элементами из С, в которой qu = qijQji = 1. Будем говорить, что С-алгебра R является

тИ.М.Гельфанд, А.А.Кириллов, О телах ассоциированных с универсальными обрты-вающими алгебрами Доклады АН СССР, Т.167, 1966, no.l, С.305-307.

•McConnel J. С., representations of solvable Lie algebras and Gelfani-Kirillov conjecture, Proc. London Math.Soc., 1974, V.29. P.453-484

•Gelfand I. M., Kirillov A. A. Sur les corps lies aux algebres enveloppantes des algebres de Lie, Ins.Hautes Etudes Sci.Publ.Math., 1966, V.31, N5

"Гельфанд И. M., Кириллов А. А. Структура тела Ли, связанного с полупростой расщепимой алгеброй Ли, Функц. анализ и его прил., 1969, Т.З, С.7-26.

11 J.Alev, A.Ooms and M.Van der Berg, A class counterexamples to the Gel'fand-Kirillov conjecture, Tcans.Amer.Math.Soc.348(1996),1709

квантовой разрешимой алгеброй над С, если R порождается элементами ®1>®2>---»^-ni^n+l'• • •

так, что мономы

cti,... ,i„€Z+:={z€Z: z > 0} иin+i,... ,tu G Zобразуют свободный С-базис и имеют место следующие соотношения

1) XiXj = qijXjXi для всех l<i<Mnn+l<j<M;

2) для 1 < i < j < п выполнено x&j = qijXjXi + г^, где гц - некоторый элемент подалгебры порождённой Xi+i,... ,х„, x^j,... , xj/.

Напомним, что расширение Ope R = А[х\г, 5], построенное по эндоморфизму т кольца А и г-дифференцированию ¿(т.е. S(ab) = <5(а)Ь + r(a)i(b) для любых а,Ь € А), порождается Лихе соотношениями ха = т(а)х+5(а). Квантовая разрешимая алгебра R допускает цепочку подалгебр

в которой Ri Э Ri+1 есть расширение Ope Д; = г,-, для 1 < t < п

Определение квантовой разрешимой алгебры является довольно общим и охватывает "классические примеры" (алгебры t/(g) для вполне разрешимых алгебр Ли g) и такие "квантовые примеры" как алгебра скрученных многочленов., алгебра квантовых матриц, квантовая алгебра Вейля, алгебры Ua(n) и U0(b) (§2.2). Любопытно, что в число примеров попадает i/ç(sl2) (но не [/(sb)). Алгебра регулярных функций на квантовой группе на квантовой полупростой группе не является разрешимой, но она становится разрешимой после некоторой локализации.

Можно привести примеры, которые не попадают в эти списки, как, например, алгебра порождённая х,у, z над K[q, g-1] с соотношениями ху — ух = 1, xz = qzx и yz — q~lzx.

В §2.3 формулируются условия, позволяющие выделить "квантовые примеры" из остальных. Для любого первичного идеала Е £ Spec(C) обозначим Ie = RE, Re = R/Ie и Ze — центр Re- Будем называть Re специализацией .Д. Рассмотрим подмножество <5 в Spec(C), состоящее из всех первичных идеалов Е G Spec(C) таких, что Re — область и является конечным ^-модулем. Будем говорить, что R чистая С-алгебра, если множество © плотно в Spec(C) в топологии Зарисского (грубо говоря, R — чистая С-алгебра, если R имеет достаточно много хороших специализаций).

Пусть R - нетерова область с 1 и 1 + 1 Ч-----Ь 1 ^ 0. Будем говорить,

что кольцо Д чисто квантовое, если в Ргас1;(Д) не содержит элементов х и у с соотношением ху — ух = 1.

Первое из приведённых выше условий на Д является достаточным для второго: если нетерова область К — чистая С-алгебра и свободный С-модуль, то R чисто квантовое кольцо (Теорема 2.3.4). Заметим, что условие "R — чистая С-алгебраf является легко проверяемым: хорошо известно, что "квантовые алгебры" конечны над своим центром в корнях из 1.

Главная теорема второй главы доказывается в §2.5.

Теорема 2.5.2. Пусть С коммутативная нетерова область со свойством 1 + Ц-----\-1ф0.. ПусМквантовая разрешимаё-алгебра и чисто

квантовое кольцо. Тогда Бгас1(Н) изоморфно Ргас1;(§г(Н)). В частности, тело частных Ргас1(12) изоморфно телу скрученныхрациональных функций

Следствие 2.5.3. Пусть С как в Теореме. Пусть R квантовая разрешимая С-алгебра и чистая С-алгебра. Тогда Бгас1(/2) изоморфно Бгас1(§г(12)). В частности, тело частных Игас^ Н) изоморфно телу скрученныхрацио-нальныхфункций

В §2.6 показывается как Теорема 2.5.2 работает в примерах. Теорема применима ко всем основным примерам квантовых алгебр (§2.2) и их многочисленным подалгебрам. В число примеров попадает и и9(з12). Мы возвращаемся к приложениям Теоремы 2.5.2 в Главе 7, в которой будут построены примеры квантовых разрешимых алгебр, допускающих ^(в^)-действие.

В третьей главе изучаются первичные идеалы в квантовых разрешимых алгебрах. Результаты главы опубликованы в работе [10]. Основная цель этой главы - осуществить стратификацию спектра первичных идеалов квантовых разрешимых алгебр (Теорема 3.3.3).

Пусть С как в Теореме 2.5.2. Стратификация будет проведена при легко проверяемых условиях

Условие Я1. Потребуем, чтобы = для некоторых обратимых элементов 6 С (если 5{ = 0, то положим qi = 1).

Условие (¿2. Через Г обозначается подгруппа, порождённая qij,qi, в группе обратимых элементов кольца Мы требуем, чтобы подгруппа Г была группой без кручения.

Условие ()3. Все автоморфизмы г,, 1 < г < М продолжаются до диагональных автоморфизмов — собственные

векторы для всех г*) с собственными значениями в Г. Обозначим через Н группу диагональных автоморфизмов, порождённую п, г2,... , тм-Условие Q4- R — чистая С-алгебра (§2.3).

Все алгебры из списка основных примеров (§2.2), кроме Uq(s\2), удовлетворяют этим условиям.

Для любого Н-инвариантного первичного идеала Р с РпС = 0 в квантовой разрешимой алгебре R, удовлетворяющей Условиям Q1-Q4, имеет место следующее утверждение о специализациях: 1) существует непустое открытое по Зарисскому множество специализаций Л (здесь мы отождествляем специализацию е с первичным идеалом Е в С) такое, что кольцо Ве полупервично для всех £ £ Л,

2) для любого ненулевого элемента b £ В существует непустое открытое по Зарисскому множество специализаций Л& такое, что Ь регулярный элемент в Ве для любого е € Л.. (Теорема 3.2.9.). Отсюда вытекает, что кольцо В = R/P чисто квантовое. (Теорема 3.2.10). Это позволяет по методу из Главы 2 построить процесс стратификации первичных идеалов.

Теорема 3.3.3. Пусть R квантовая разрешимая алгебра, удовлетворяющая Условиям Q1-Q4- Утверждаетсяследующее. Существует конечный набор М = {Рр} полупервичныхН-инвариантных идеалов, каждый из которых имеет нулевое перечение с С (идеал Р^ назовем стандартным идеалом). Для каждого идеала Pß существует множество знаменателей S„ (назовем его стандартным) в R/Pß) порожденное С-кому тирующими элементам^тп-е. ху = сух, с £ С*), со следующими свойствами:

1) Bp := [R/Pp^S*1 изоморфнофакторколъцукольцаскрученныхмного-членов Лорана,

2)каждыйпервичныйидеал X в R, имеющий нулевое пересечение с С, содержит единственный стандартный идеал Р^ такой, что S^PKX mod

Теорема позволяет свести изучение идеала в

алгебре скрученных многочленов Лорана. Из теоремы вытекает, что для любого первичного идеала ХсХ[\С = 0 тело Fract(.fl/Z) изоморфно телу скрученных рациональных функций. В §3.3 показывается, что метод стратификации первичных идеалов с нулевым пересечением с С (из Теоремы 3.3.3) годится для стратификации почти всех первичных идеалов (Теорема 3.3.9).

В четвёртой главе изучаются идеалы квантовых разрешимых алгебр

в корнях из 1. Результаты главы опубликованы в работе [И]. Пусть К алгебраически закиутое поле нулевой характеристики и q переменная. В этой и следующей главе С — локализация алгебры .К^д-1] по конечно порождённому множеству знаменателей.

Рассматриваются квантовые разрешимые алгебры R над С, удовлетворяющие легко проверяемым условиям 4.3.1-4.3.3. Пусть S= (s{j) — косо-симметрическая целочисленная М х М-матрица. Обозначим gy = qSii и сформируем матрицу Q == (ду). Мы наложим на квантовую разрешимую алгебру R ряд условий, которые являются в некотором смысле специализацией более общих Условий Q1-Q4 из §3.1

Условие 4-3.1. Мы требуем, чтобы R было итеративным g-косым расширением. Это означает, что ¿¿tj = q^Si для д,- = gSi, s; € Z. Условие 4-3.2. Все автоморфизмы ц продолжаются до диагональных автоморфизмов R (т.е. все м о х^ • •-x^x^+l • •-х^ — собственные векторы) с собственными значениями в Г = {qk : п € Обозначим через Н группу диагональных автоморфизмов R, порождённую т\,... . Условие 4-3-3. Пусть К С. К множество всех корней из 1 таких, что е £ Л, если е первообразный корень степени I из 1 и элементы ... ,х1м, взятые по модулю принадлежат центру алгебры Мы требуем, чтобы

Л было бесконечно.

Пусть е первообразный корень степени I из 1, удовлетворяющий Условию 4.3.3. При специализации мы получаем алгебру Re = R mod (g — е), конечную над своим центром Ze. Алгебра.й£ является порядком в конечномерном теле Fract(ii£) над полем Fract(Ze). Порядки, которые получаются из области и свободного :пециализацией по модулю бу-

дем называть квантовыми порядками.

Отличительная особенность квантовых порядков состоит в существовании квантового присоединенного действия (аналога действия группы над полем положительной характеристики), которое определяется следующим образом. Пусть и элемент R такой, что и = и mod (q — e) принадлежит центру Z£ алгебры Re := R mod (g — £). Отображение : для которого

для а = а mod (g — s) £ Rc, назовём квантовым присоединенным действием и. Назовём подпространство инвариантным относительно квантового присоединённого действия (коротко Т> -инвариантным), если оно инвариантно относительно всех и £ R таких, что и = и mod (g — s) £ Zt. Скобка {u,v} = Dj^v) = —P„(u) является скобкой Пуассона на Ze.

Таким образом Zt является пуассоновой алгеброй и многообразие центра М- := Maxspec(.Z£) — пуассоновым многообразием. В случае К = С многообразие М. распадается на симплектические листы. Заметим, что М, вообще говоря, является многообразием с особыми точками.

Ограничение на центр неприводимого представления ж (в нашем случае dim7r < оо) алгебры Re скалярно ж\z, = х • id и определяет характер х (т.е точку многообразия центра М.). Ставится обычная задача для порядков: описать все неприводимые представления алгебры Re, лежащие над данной точкой х многообразия центра. Предполагается, что это можно сделать в геометрических терминах пуассонового многообразия М.

Основной подход — воспользоваться теоремой о стратификации из предыдущей главы для сведения к случаю алгебры скрученных многочленов. На этом пути возникают трудности. Идеал V^ = Vp mod (g — s) может содержать радикал, элементы стандартного множества знаменателей S,^ — S у. mod (g — е) могут стать делителями нуля, и, наконец, существуют первичные идеалы / в Re для которых неверно утверждение 2) Теоремы 3.3.3. Для того, чтобы избежать всё это, вводится понятие точки хорошей редукции стратификации. Доказывается конечность точек плохой редукции (Теорема 4.1.1). Вводится определение допустимого I ( и е) как точки хорошей редукции и, удоветворяющего условиям взаимной простоты с минорами § и si,... ,sn. Следующая цель — провести по методу предыдущей главы стратификацию первичных V-инвариантных идеалов.

Для обоснования,процесса стратификации важную роль играет следующее утверждение, которое дополняет существующую теорию идеалов в расширениях Ope 12. Пусть R нетерова С-алгебра и свободный С-модуль. Пусть Е = г,<5] р а с ш Юре ai яй й= qs$r л я некоторого целого s. Пусть т диагонализируемый автоморфизм с собственными значениями в группе Г = {g* : к 6 Z}.

Теорема 4.2.8.

1)ПустьпЩ)вичный тинвариантный идеал в Е. Тогда идеал J := IÇ\R б R также первичный.

2)Пусть £ первообразныйкореньстепени I из единицы и HOfl(s,i) = 1 для s ф 0. Предположим, чтох1, где х — х mod (g — е), принадлежит центру Et.Пусть I первичный инвариантный относительное и T>£i идеале Ее. Тогдаидеал J = / р)й£ алгебры Rc также первичный.

"Goodearl K.R., Letzter E. S. Prime Ideals in Skew and q-Skew Polynomial Rings, Memoirs Amer.Math.Soc, 1994, V.521.

Осуществление стратификации позволяет доказать, что для допустимого е любой первичный ©-инвариантный идеал I в является вполне первичным (Теорема 4.3.20). Тело частных алгебры Д£// изоморфно телу скрученных рациональных функций. В §4.5 доказывается главная теорема этой главы.

Теорема 4.5.3. Пусть К — С. Как и выше Я квантовая разрешимая алгебра, удовлетворяющая Условиям 4.3.1-4-3.Зие допустимый корень степени I из 1. Мы утверждаем, что:

1)размерностьлюбого неприводимого представления 7Г алгебры Ме равна [\<Итп{: Zs —ь С. центральныйхарактерпредставления 7Г и Пх симплектический лист % в М. — Махзрес2£;

2)любой симплектический лист Ихотхзрытгввсеом замыкании в топологии Зарисского (такиелисты будем называть алгебраическими);

3) если две точки %1 и Хг принадлежат одному симплектическомулисту, тоалгебры Де/тп(х1)Д£ и Ке/т{х2)Яеизоморфны.

4) Пусть 7Г, 7г' два неприводимых представления алгебры Д£ и х>Х? их центральныехарактеры.Если ж и п Т>-эквивалентны(т.е.совпадают максимальные_-инвариантные идеалы в их ядрах), то Xй ^ лежат в общем симплектическом листе.

В пятой главе рассматриваются нормальные квантовые разрешимые алгебры (коротко КрБ-алгебры). Термин "нормальная разрешимая алгебра" заимствован из теории алгебр Ли, в которой порядок в системе положительных корней называется нормальным, если сумма корней содержится между слагаемыми. Результаты главы опубликованы в работе [14]. Глава состоит из параграфов §5.1-5.4.

В предыдущей главе была доказана гипотеза о размерности неприводимого представления и была доказана алгебраичность симплектических листов для достаточно большого I (число хорошей редукции стратификации). Цель этой главы — снять это нежелательное ограничение на I для случая КрБ-алгебры и продвинуться дальше в описании колчана и числа неприводимых представлений над

В §5.1 вводится определение нормальной разрешимой квантовой алгебры или КрБ-алгебры. Пусть § = (яу), = , (2 = (<щ) как выше. Выберем подмножество, назовём его исключительным подмножеством,

Будем называть Я нормальной квантовой разрешимой алгеброй (или NQS-алгеброй) над С, если Я порождается элементами 1,-,1<1<Ми

хТ1) j £ t так, что мономы ■•• с 6 2,; € 4 и ¿у € 1 < .7 < М, ] ф. 6 образуют свободный С-базис, алгебра С содержался в центре Я и

имеют место соотношения

1) = qijXjXi для всех 1 <г < М и^'бб;

2) для 1 <1<з <М

— д^х; + Гу,

где г^- сумма базисных мономов • • • х1-2{ с коэффициентами в С.

Подалгебры Л,-, порождённые С, xj, ] > г и их. обратными элементами для исключительных индексов, образуют цепочку Д = Дх э Д2 Э • • • Э Дм. Каждая подалгебра Щ является расширением Оре Дг+х-КрБ-алгебра допускает другую фильтрацию

Д'х С Д'2 С • * • С Д^ = Д

с подалгеброй Д-, порождённой С, жх,... ,циих обращениями для исключительных индексов. Снова И\ = Ди^;^,^] (соотв. Д^- = Д^х^1,?"/] для исключительного г), где г/ (соотв. ¿¡) автоморфизм (соотв. ^-дифференцирование) алгебры Д;_х.

Мы накладываем на эту алгебру ряд два дополнительных условия. Условие СЫ1. Мы требуем, чтобы Я являлось итеративным д-косым расширением для левой и правой фильтрации. Это означает, что Ti5i = qiSiTi для некоторого д,- = г; £ 2, и = д$т( для некоторого ^ = д3', в; € 2. Мы требуем а; ^ 0 (соотв. ф 0) для в с о т в . ^ ф 0).

Условие СШ. В с «-¿гир^ должаютсядо диагональных автоморфизмов Я и образуют диагональные подгруппы Н и Я'; все и локально ниль-потентны.

Все примеры квантовых разрешимых алгебр из §2.2 (кроме ^(в^)) являются КрБ-алгебрами, удовлетворяющими СШ, С№. Определение допустимого /, принятое в этой главе, отличается от из предыдущей главы в сторону большей конструктивности.

Пусть N такое натуральное число, что = ¿'^(яу) = 0 для лю-

бых г и Назовем натуральное число 1 (соотв. первообразный корень е степени / из 1), допустимым для ЫОЯ-алгебры Я, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1) I взаимно просто со всеми элементарными делителями всех подматриц /х Э 6; 2) / взаимно просто ¡с в,-, в;, 1 < г < М; 3 )1>И.

В следующем §5.2 проводится стратификация первичных идеалов в N(¡>11-алгебрах. Строится конечная система подмножеств знаменателей {5^} в Д. Каждое подмножество Би является подмножеством знаменателей, порождённым системой д-коммутирующих элементов (т.е.ху = дтух для некоторого т € 2). Назовём стандартным подмножеством знаменателей.

Обозначим через Y^ подалгебру, порождённую S^. Алгебра является алгеброй скрученных многочленов Лорана. Алгебра R := RS~X является квантовой разрешимой алгеброй с образующими Xj и S^:

где R{ = Ri+i[xi] fi} <5,].

Назовём подмножество S^ С-допустимым, если идеал алгебры R, порождённый х,-, г £ [1, М] имеет нулевое пересечение с С.

Алгебра Re — ofuac iS1^ := S^ mod (q — e) ожество зна-

менателей в Re Назовём подмножество S^ (е, Х>)-дш густи м ы м, если Т>-инвариантный идеал алгебры Rey порождённый Jp := mod (q — e), собственный.

Теорема 5.2.2. Пусть R — И()5-алгебра, удовлетворяющая условиям СМ и СЖ. Тогда

1) Для любого I £ 8рес(Д), С — 0 существует единственное С-допустимое стандартное подмножество знаменателей такое, что

2ГП= 0 « ^^Г1 э ад1.

2) Пусть £ допустимая для QNS-алгебры специализация С. Для любого первичного Т)-инвариантного идеалаI алгебры Re существует единственное (е,Т))- допустимое стандартное подмножествознаменателей Бц такое, что =0 и /5~* Э

Эта теорема позволяет свести изучение первичного 2>-инвариантного идеала I к идеалу I в алгебре скрученных многочленой Лорана У^.

Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 5.2.3. Пусть R, £ такие, как в Теореме 5.2.2. Любой первичный Т>-инвариантный идеал в Re является вполне первичным.

В §5.3 изучаются неприводимые представления NQS-алгебр в корнях из 1. Следующая теорема отличается от Теоремы 4.5.3 другим (более конструктивным) определением допустимого корня из 1.

Теорема 5.3.2. Пусть К = С и R — Ы^-алгебра.,удовлетворяющая Условиям CN1 и CN2, и е допустимая для NQS-алгебры R специализация для С. Пусть тг неприводимое представление с центральным характером Х- Тогда

1Г ат^тг) = /ИМ"»),

2) симплектический лист Пх алгебраичен (т.е. он открыт в свомзамы-

каким по Зарисскому),

3) алгебры ReiX> и Rt,x" изоморфны для всех xSx" €

Любой конечномерной алгебре А можно поставить в соответствие колчан. Вершины этого колчана - примитивные идемпотенты ei,... ,едт такие, что правые идеалы eiA,...,ejfA представляют различные классы изоморфизма главных неразложимых А-модулей. Две вершины соединены ei,ej ребром (е;,е;), если ejej ф 0, где J радикал А.

Теорема" 5.3.3. Пусть К алгебраически замкнутое поле характеристики нуль. Пусть Rue как в Теореме 5.3.2. Любые две вершины гф j колчана алгебры RCtX соединииы ребрами I(ei,ej) и (т.е. кол-

чан полный). В частности, колчан связный.

В §5.4 доказываются теоремы о числе неприводимых представлений над X• Пусть Su стандартное множество знаменателей и {Qj,... , Sm} множество минимальных первичных идеалов над Обозначим

Для любого ц и любого Q G -Хг,^» рассмотрим подмножество E^g С К, состоящее из элементов £ £ К, анннулируемых QÇ\C. Обозначим

Множества Е„ и Е конечны.

Теорема 5.4.5. Пусть R — NQS-алгебра, удовлетворяющая Условиям CN1, CN2, и е допустимый для NQS-алгебры R корень из 1. Дополнительно предположим, что е ^ Е. Тогда число неприводимых представлений над центральным характером х равно 1г для некоторого натурального t.

Для уточнения геометрического смысла Î, определим стабилизатор х G Ai как точки многообразия центра. Обозначим через G(x) пуассонову пода л г {a G тп(%) : {а,тп(х)} С т(х)} в Ze. Подалге G(x) содержит т(х)2. Конечномерная алгебра Ли в(х) := G(x)/m(x)2 называется стабилизатором х-

Теорема 5.4.7. R, £, t такие, как в Теореме 5.4.5. Для любого центрального характера х стабилизатор д(х) являтся полупрямой суммой

17

g(x) := j +1, где j идеал и t тоническая подалгебра размерности t.

Следующая шестая глава посвящена одному из примеров квантовых разрешимых алгебр — алгебре квантовых матриц. Результаты этой главы были опубликованы в работах автора [3], [4], [5].

Пусть К произвольное поле. Рассмотрим коммутативную алгебру

Образуем две п X n-матрицы: P,<Q> такие, что Pijqij = c?3nÜ~*\ где PijPn = 4ijQji — Ра — Ян = Алгебра М(п) := MptQ<c(n) регулярных функций на квантовых матрицах (или коротко алгебра квантовых матриц) является С-алгеброй и порождается как С-алгебра э л е м е н {aü}"i=1 : соотношениями 13, 14 :

aüüj, - qtsq^ajsüit = (р^1 - qts)aisajt, для г < j, t<s или г > j, t> s; O'ita.js = Pts4ij^ai*ait во всех остальных случаях.

(6.2.2)

Алгебра квантовых т х n-матриц (соотв. квантовых нижнетреугольных матриц) .М(т,п) = MptQtC(m, п) (соотв. В{п) = определяется

как фа ктор-аягебра Мр,о,с(п).

В случае С = K\q,q-i\ алгебра квантовых матриц (будем её обозначать Mq(m,n)) порождается элементами 1 < i,j < п со следующими соотношениями, наложенными на матричные элементы любой 2x2-

подматрицы

f х у\

\и V )

ху — qyx, хи = qux, хи = qux, yv — qvy, уи = иу,

XV

— vx + (q - q l)uy

Алгебра M(n) (соотв. M(m, n), Mg(m, n)) допускают тела частных F(n) (соотв. F(m,n), Fq(m,n)).

В §6.1 даётся полное описание тела частных Mq(n) (случай однопара-метрического квантования). Из Теоремы 2.5.2 известно, что 4acTHbix.F9(n) изоморфно телу скрученных рациональных функций F© для канонической матрицы Р. Наша цель — найти каноническую матрицу D, найти каноническую систему образующих тела Fq(n), дать описание центр^тела Fq(n) и центра Zq алгебры Mq(n).

Квантовым определителем 15 det„

t4 называют элемент, равный сумме "Е.Е. Демидов, Квантовые группы, Москва, Факториал, 1998

"Yu.LManin Quantum groups and non-commutative geometry, Preprint CRM-1561, Montreal, 1988

"B.Parshall,J.-P.Wang, Quantum lineargroups, Memoirs Amer.Math.Soc,439(1991)

в которой суммирование ведётся по всем перестановкам и ЛГ(г*х,... ,гп) — число инверсий в перестановке. Для п = 2 получаем <!е(;? := а<1 — дбс.

Для н а {¿1 < ... < г*} строк и < ... < ¿к} о в будем обозначать через МЦ';"'1* соответствующий жвашшииыш минор. Рассмотрим элементы 21,... ,£„, где

Основной теоремой §6.1 является следующая

Теорема 6.1.9. Для общего д (т.е д - переменная или q £ К и д не корень из 1)

1) тело частных /^(п) алгебры квантовых матриц.Мд(п) изоморфно телу скрученных рациональных функций .Рр,, где

— каноническая п2 х п2 -матрица с т — <1\ = • • • = с?п_х = 1 и

¿п = • • • = ¿я(п-1) = 2/ 2

2) центр Сч тела есть поле ,гп).

В процессе доказательства указывается метод построения системы канонических образующих тела частных. Как следствие получаем доказа-

16

тельство следующего ранее известного утверждения .

Теорема 6.1.12. Для общего q центр 2Ч алгебры квантовых матриц М4(п) порождается д.еЬч и К[д, д-1].

В §6.2 найдена система С-коммутирующих образующих в теле

частных Р(т,п} алгебры М(т,п) = Мр^с(т,п).

Введём обозначение

^ в остальных случаях.

Обозначим через [г] отрезок натурального ряда от 1 до г. Пусть [г]г означает разность [г] — [г — гшп{г,4}]. Заметим, что

"Н.Ю.Решетихин,Л.А.Тахгаджян,Л,Д.Фаддеев,^ваитоваиме групп иалгебрЛи, Алгебра и анализ, 1(1990), N1, С.193-226

Длина отрезка [tjt равна min{i,t} и его правый конец совпадает с г. Обозначим через Y? квантовый минор

и через N(m,n)—подалгебру М(тп, порождённую элементами Теорема 6.2.18.

1) Подалгебра N(m, п) является алгеброй скрученных многочленов. Е образующие удовлетворяют соотношениям:

Y*Y' — rJfY'Y1 где I = [i]<, Т = [t]u J = \j]„S = [s],-.

2) Мультипликативное подмножество &, порожднное является множеством знаменателей в М(т,п) и алгебра М(т,п)&~1 является алгеброй скрученных многочленов Лорана, изоморфной N(rn,n)<3~1/

3) Тела частных М(т,п) и N(rn,n) совпадают:

Fract7V(m, п) = FractM(m, п) = F[m, п).

В следующем параграфе §6.3 даётся описание центра тела частных алгебры М(т, п). Мы начинаем с утверждения о ц е н т рбиф ела частных FQ алгебры скрученных многочленов А{$.

Утверждение 6.3.1.Поле Сц} порождается (как поле) мономами

N '

Ii 6 '

такими, что

q]i ... = 1 для любого 1 < i < N.

Следствие 6.3.2. Пусть q переменная. По ко со симметрической матрице § = (sy)jy=1 с Sij £ С образуем символы qij = qSiK Пусть С = Cfg^1 :

1 ^ *> j ^ и Aq — алгебра скрученных многочленов над С. Предположим, что det(S) Ф 0. Тогда Cq скалярен.

Перейдём теперь к описанию центра тела F(m,n). Рассмотрим систему квантовых миноров {У^} из M(m,n) из предыдущего параграфа. Положим

О^тттяитял/Г*

1) Л* - множество пар (г, t) таких, что t — i = k — т, 0<к<т + п-1;

2) ДО :=П(м)ел^;-

Теорема 6.3.5. Пусть с не корень из 1. Тогда центр тела F(m,n) порождается (как поле) элементами Д"1... A^i+^-Z}, где (aj,... ,o;m+n_i) -

целочисленное решение системы уравнении

т+п—1

П (даг-i.

Следствие 6.3.6. Пусть К = С, д -переменная; = да,>, р^ = , с =

Я1! («ц)3=1» " кососимметрические матрицы над полем С, +

/Зц = — 1)7. Пусть £ такое, что р'(к) = д^^К Тогда центр тела Р(т,п) порождается элементами А*1... А^^, где{а1,... ,ат+„_1)

- целочисленное решение системы уравнений

Следующие утверждения дают ответ на вопрос, когда центр скалярен. Теорема 6.3.10. Пусть выполнены условия Следствия 6.3.6 и НОД(п — 1,ш+1) = 1. Утверждается, что центр F(m,n) скалярен для чисел о;^, Ai» 7 общет. вида.

Следствие 6.3.11. Для четного п центр тела F(n) скалярен для чисел aij> fiijt 1 общего вида.

В заключительном §6.4 рассматривается тело рациональных функций на квантовых треугольных матрицах. Рассмотрим в алгебре Mp,QiC(n) идеал I, натянутый на хц, г < t. Алгеброй регулярных функций на треугольных матрицах назовём факторалгебру В(п) = Mp(Q)C(n)//. Пусть В(п) = FVact(B(n)). Нам понадобятся обозначения из §6.3:

Обозначим, кроме того, угловые квантовые миноры ¿i = У]1,... ,Sn = Сохраним обозначения для образов этих миноров в В(п). Заметим, что 5п совпадает с квантовым определителем.

Теорема 6.4.1. 1) Тело частных В(тг) является телом скрученных рациональных функций с образующими

2) Если с не корень из 1, то центр тела В[п) порождается мономами содержащимися в центре.

3) В случае однопараметрического квантования и общего q центр тела частных В(п)\ является чисто трансцендентным расширением поля К и в качестве образующих можно взять систему элементов

п — 1"

Zo = 5п = detg, zk = Ak5kA~lk5~ik для 1 < k <

В седьмой главе изучаются тела частных алгебр, допускающих действие алгебры Хопфа i/q(sl2(C)). Результаты этой главы опубликованы в работе [7]. Как мы видели в Главе 2, алгебра i74(sl2(C)) является квантовой разрешимой алгеброй. В этой главе мы рассмотрим новые примеры квантовых разрешимых алгебр, рассмотрев квантовые пространства Vi,V2 неприводимых представлений старшего веса 1 и 2, их прямые суммы и скрещенные произведения (smash products). Последний рассмотренный пример, в котором V = Vi ф V2, является квантованием универсальной обёртывающей алгебры U(g), где g полупрямая сумма алгебры Ли SI2 и прямой суммы двух её присоединённых представлений. Алгебра £/(д) является контрпримером к гипотезе Гельфанда-Кириллова. Однако построенная алгебра является разрешимой квантовой алгеброй и её тело частных изоморфно алгебре скрученных рациональных функций. Заметим, что квантовые пространства старшего веса > 3 уже не являются разрешимыми.

Эта глава состоит из одного параграфа. Рассмотрим кольцо

Квантовая универсальная обёртывающая 7iq := i/g(sl2(C)) для алгебры Ли sl2(C) порождается над С элементами E,F,K с соотношениями

Пусть V пространство представления алгебры Ли g = SI2. Пусть А — свободная алгебра, порождённая К над кольцом С. Эта алгебра допускает действие

Алгебру Bq = A/Iq назовём квантованием представления алгебры Ли g = sb в пространстве V, если В := Bq|9=х совпадает с симметрической алгеброй допускает -действие, совпадающее при

действием Н ~ l/(sl2) в В := S^F).

Пусть Vn неприводимое представление sl(2,C) со старшим весом п. Будем квантовать Vn, беря в качестве подпространства Aq, порождающего Iq, "квантовую кососимметрическую часть" в Vqn ® Vqn, где Vqn = V ® С. Алгебры Bq могут быть выписаны в явном виде для п = 1,2. Случай п — 1. Размерность пространства V = Vi равна 2. Базисные элементы v+,v- в Vq порождают Bq., Единственное определяющее соотношение между ними имеет вид: г/+г»_ = qv-v+.

Случай п = 2. Размерность пространства V = V2 равна 3. Расширим в

этом случае кольцо С, допустив локализацию по д + я Ч Базисные элементы в порождают В„ и имеет соотношения

Теорема 7,1.5.Алгебры построенные по неприводимым представлениям веса п = 1 и п = 2, и их алгебры движений М? := В^Н, являются квантовыми разрешимыми алгебрами. Алгебры Вя и Мч - чисто квантовые алгебры (см.Глава 2). Тела частных алгебр Вч и М9 являются телами скрученных рациональных функций (изоморфными телам частных алгебр скрученных многочленов gг(Вч) и дг(Мд), см. Теорема 2.5.2).

Следующая наша цель — предложить квантовый аналог для прямой суммы двухпредставлений V = ф У[. Мы докажем, что построенная алгебра допускает ?/9-действие и для этой алгебры справедлив аналог Теоремы 7.1.5.

Перейдёмпостроениюэтойалгебры В9 для V = VI ф На самом деле будет предложено семейство квантовых алгебр, зависящих от г 6 2.

Элементы и+,«_,г>+,г>_ составляют базис V. Определяющие соотношения между и+,и_ и г>+,г;_ совпадают с соотношениями Случая п = 1. Другие соотношения имеют вид

Теорема 7.1.6. Как и выше Ич := {/^^(С)) и Вч квантованиепро-странтства

1) Идеал /?„ порожденный соотношениями, инвариантнен относительно 'Нч и, как следствие, алгебра ,ВЯ допускает "На -действие.

2) Алгебра Вя и алгебра движений Мя := Б^Т^д, являются квантовыми разрешимыми алгебрами. Алгебры Вя и М? — чисто квантовые алгебры.

Тела частных алгебр Вд и Мя являются телами скрученных рациональных функций (изоморфными телам частных алгебр скрученных многочленов §г(В9) и gr(М9)).

Следующая наша цель — предложить квантовый аналог для прямой суммы двух представлений V = УгфУг (квантование контрпримера к клас-

сической гипотезе Гельфанда-Кириллова). На самом деле будет предложено семейство квантовых алгебр, зависящих от г € 2. Элементы щ,

образуют базис в V. Определяющие соотношения между элементами и совпадают с соотношениями Случая п = 2. Другие соотношения имеют вид

/ »2 \ / Ч~2У2 \

2 I «о I = ЧТ~2 1 I и-2

\v-tj \ д2и-2 /

«о ( «о | = дг~2 ) Щ + ЧГ~ЧЧ2-Ч~2) ( (д + д_1)г»2и_2 |

\ г/_2 ) \ у_2 ) \ q2VъЧ-2 )

( ( «Ч \ ( О

"г! «о I = Чт 2 [ «о I и2 + дг 2 | (я2 -я 2)у2щ

где 71 = (? - д-1) и 72 = (д2 - д"2)(1 - д"2). Теорема 7.1.7. Как и выше := [^(э^С)) и Вч квантование про-странтства V = У2 Ф

1)Идеалпдщ)жденный соотношениями, инвариантнен относительно Ич и, как следствие, алгебра, Вч допускает Ид -действие.

2) Алгебра Вч и алгебра движений Мц := являются квантовыми разрешимыми алгебрами. Алгебры и Мя — чисто квантовые алгебры.

Тела частных алгебр Вд и М9 являются телами скрученных рациональных функций (изоморфными телам частных алгебр скрученных многочленов ёг(Вд) и &(МЯ)).

Тема восьмой главы — квантовые алгебраические торы. Результаты главы опубликованы в [9].

Пусть Ь поле и ф = (ду)у=1 матРиЦа с элементами ду € Ь*, я^я^ = Ян = 1. Алгебра скрученных многочленов Лорана /^[х^1,... , х^1] порождается элементами х^1,... »х;^1 с соотношениями = ду-х^х*. Алгебру скрученных многочленов Лорана часто называют алгеброй регулярных функций на квантовом торе ( или коротко квантовым тором). Диагональный алгебраический тор Д,(£) = Ь* X • • • X Ь* действует автоморфизмами х,-1-4 ¿¡х,- на Ьс}[х±\... , х*1]. Будем называть ¿^[х*1,... , х^1] квантовой формой диагонального тора Оп(Ь) и обозначать Ь(} = £<з[£)п]

Пусть Ь/к расширение Галуа и Талгебраический А;-тор, расщеплённый над L. Изучаются ^-алгебры ^[Г], допускающие действие Т и такие, что

*дСП ®к ь =

Обозначим группа характеров тора опреде-

ленных над алгебраическим замыканием поля к. Группа Г действует на группе Соответствие взаимно однозначно отображает мно-

жество алгебраических торов, расщепимых над Ь на множество конечно-порожденных 2[Г]-модулей , свободных над 2.

Квантовой формой £-тора Т будем называть к-алгебру Ад такую, что

1) Ад>1 = Ад ®кЬ = ,... , X*1],

2) задано отображение к о д е Ш : Ад к[Г\ Ад алгебры Хопфа

на , которое при поднятии совпадает с кодействием диагонального тора /^(х,-) = £,<8>х,-. Алгебру Ад будем также называть квантовым алгебраическим тором.

Группа Т(к) действует автоморфизмами на Ад. Гомоморфизмы и изоморфизмы квантовых к-форм тора Т определяется естетественным образом. Обозначим через С^иап£(Т) категорию квантовых &-форм тора Т, расщепимых над Ь и определенных с точностью до изоморфизма. Через Ех^(М, Ь*) обозначим категорию расширений Г-групп

для которых Ь* содержится в центре Е. Элементы этой категории также определяются с точностью до изоморфизма.

Теорема 8.1.1.Категории (^иап^Т1) и Extf.(M) Ь*) изоморфны.

Центр алгебры &д[Т] является алгеброй регулярных функций к[Тс] на некотором торе Тс (Утв.8.3.1). Если ф состоит из корней из 1, то алгебра

конечна над своим центром и алгебра слоя где

максимальный идеал центра, является конечномерной центральной простой алгеброй (в частности, телом) (Утв 8.4.4).

В случае диагонального тора алгебра — тензорное произведение

циклических алгебр, для произвольного Т — алгебра кт,т совпадает Ьд,,т при расширении поля. Дается описание квантовых торов малой размерности в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений. В ряде случаев показывается, что алгебра является скрещенным произведением (Утв. 8.5.1). В общем случае вопрос о строении ктт остаётся открытым.

В следующей девятой главе рассматриваются расширения Оре алгебр Хопфа. Эта глава базируется на работе [13]. Глава состоит из двух параграфов.

Пусть А и К = А[у\т,8\ алгебры Хопфа над кольцом к. Назовём Я = А[у,т,6\ расширением Хопфа-Оре, если Д(у) = у®Г\+Т2®У для некоторых

т"1,Г2 Е А и А подалгебра Хопфа в Я.

Показывается, что Г\,Г2 групповые элементы в А. Заменяя у на у' = уг^1, получаем Д(у') = у' ® 1 + г ® у*. Предположим в дальнейшем, что у в расширении Хопфа-Оре удовлетворяет

с некоторым групповым элементом г £ А. Следующая теорема является основной теоремой этой главы.

Теорема 9.1.3. Д = А[у,т, 5] расширение Хопфа-Оре тогда и только тогда, когда

1) существует характер х '• А (-4 к такой, что

для всех а£А (то есть Т винтовой автоморфизм А);

2) имеет место соотношение

х(сч)а2 = М(ах)х(а2);

3) т-дифференцирование 8 удовлетворяет

Д5{а) = 5(а1) <8» аг + гоц ® ¿(аг),

В следующем параграфе §9.2 проводится классификация расширений Хопфа-Оре для групповых алгебр, ич(д), квантовой "ах + Ь".

В десятой главе рассматриваются многомерные скобки Пуассона, п-

Скобка Пуассона на V = это п-местное отображение {.,.....} алгебры

А = С°°(У), удовлетворяющее следующим условиям 1-4:

1) свойству линейности по каждому месту;

2) для каждой подстановки сг множества 1,2,... , п и любого набора функций /11,... ,кп 6 А выполняется

где е(а) знак подстановки сг;

3) тождеству Лейбница:

где дрН = {/ь... , /п_ь /г};

4) п-тождеству Якоби:

+{¿1, dph.2,... , h„} + ... + {Лх, h2,... , dFhn}.

Основной пример — якобиан {/х,... , /„} =

Изложенная ниже историческая справка взята из статьи A.M. и М.М. Виноградовых 17.

Первой работой по n-алгебрам Ли была работа В.Н.Филиппова 18. Он ввел n-аналог тождества Якоби и сделал первые шаги в классификации этих алгебр. Пуассоновы n-скобки возникли ранее в 1973 году. И.Намбу 19 предложил обобщение гамильтоновой динамики, заменяя стандартную скобку Пуассона якобианом

Однако И.Намбу и другие в то время не заметили, что якобиан удовлетворяет n-тождеству Якоби. Это было сделано позднее в работе Д.Сахо и М.Валсакумара 20.

Обобщенная теорема Дарбу описывает локальную структуру бинарной скобки Пуассона21. Оказалось, что n-скобки Пуассона чрезвычайно жесткие для п > 2: локально они все являются якобианами для некоторого множества переменнных. Эта теорема была доказана автором в работе [6] и независимо в том же 1996 году Д.Алексеевским, П.Гуха 22 и Г.Мармо, Г.Гиласи, А.Виноградовым 23.

В §10.1 доказывается теорема о локальном строении n-скобки Пуассона (это доказательство также вошло в работу [12]).

Теорема 10.1.13. Пусть meR" ненулевая точка n-скобки Пуассона {.,... ,.} алгебры А = С00^'") для п > 3. Существует локальная система координат у\... ,VN в окрестности точки т., что для любых функций /х,... ,/„ скобка Пуассона {/х,... ,/п} равна 'у"|

I7A.Vinogradov, M.Vinogradov, On multiple generalizations of Lie algebras and Poisson manifolds, Contemp.Math, 219(1998), 273-287

18Филиппов В.Т., "n-алгебры Ли", Сиб.мат.журнал, 24, 1985, стр.126-140

"Naumbu Y.," Generalized Hamiltonian dynamics", Phys.Rev., D7, 1973, P.2405-2412

20Sahoo D., Valsakumar M.C. "Nambu mechanics and its quantization", Phys.Rev., A46, 1992, P.4410-4412.

2IKarasev M.V., Maslov V.P., Nonlinear Poisson brackets. Geometry and quantization., Moscow, Mauka, 1991

22Alexeevskii D., Guha P., "On decomposability of Nambu-Poisson tensor", Acta Mathematica Universitatis Comekiakae, 65,1996, P. 1-9

23Marmo G., Vilasi G., Vinogradov A., " The local structure of n-Poisson and n-Jacobi manifolds", J.Geom.Phys, 25, 1998

Второй параграф главы §10.2 посвящен п-скобкам Склянина:

Доказывается, что п-скобка Склянина является п-скобкой Пуассона тогда и только тогда, когда её структурные константы являются плюккерыми координатами. Далее вводится понятие функции Казимира и проводится класификация симплектических листов для п = 2.

Последняя Глава 11 посвящена изучению неприводимые представления алгебр Ли над полем положительной характеристики. Глава состоит из 3 параграфов §11.1-11.3 и введения §11.0. Во введении §11.0 излагается история вопроса и даны основные определения. В главе изучаются неприводимые представление полупростых алгебр Ли g классического типа над алгебраически замкнутым полем К характеристики нуль. В этой теории под алгебрами классического типа имеют ввиду полупростые алгебры Ли, построенные по диаграммам Дынкина.

Алгебра Ли д допускает р-структуру х Пусть Е/(д) универ-

сальная обёртывающая алгебра к д и Z(g) центр и(д). Элементы вида х = хр — лежат в центре и порождают подалгебру Zo(g) в ^(б)» которую называют р-центром. Алгебра {/(д) конечна над Zo{g). Любое неприводимое ^-представление {/(д) имеет конечную размерность.

Если 7Г неприводимое представление д, то его ограничение на Z(g) ска-лярно (лемма Шура) и определяет р-характер Н : д —» К по формуле

Существует линейная форма Е € д* такая, что Н(£) = Ер(х). В случае, если g допускаетлМ-инвариантную невырожденную симметрическую билинейную форму <•,•>, можно отождествить д и д*. 'Существует х € 0, для которого Н(х) = ^Р(х) =< х>х >р ■ Элементы Е Е. д* их будем также называть характерами неприводимого представления

Основная задача теории представлений р-алгебр Ли — дать описание неприводимых представлений с заданным или, что то

же самое, неприводимых представлений алгебры

- Щк^'

Для последней алгебры будем также использовать обозначения или

ВД)-

Каждое неприводимое представление определяет также центральный характер Нюточку многообразия центра (многообразия Цассенхауза). Вложение определяет морфизм конечного типа алгебраических

многообразий MaxspecZ(g) —> MaxspecZo(g) = Kn, n = dim 9 переводя-

Развитие этой теории представлений полупростых алгебр Ли классического типа над полем положительной характеристики началось с работы А.Н.Рудакова и И.Р.Шафаревича 24, в которой было дано полное описание всех неприводимых представлений алгебры

В главу 11 включены результаты автора, опубликованные в работах [1], [2]. В главе 11 проводится классификация неприводимых представлений алгебры Ли sl(n), изучается структура многообразия центра и соответствие между неособыми точками многобразия центра и неприводимыми представлениями максимальной размерности. Получена классификация неприводимых представлений максимальной размерности любой полупростой алгебры Ли классического типа.

В описании представлений большую роль играют малые модули Верма МХ(А) — факторы модулей Верма М(А) по характеру р-центра. Мы рассматриваем случай и предполагаем, что имеет жорданову нормальную форму х = а + 1/>а£^>1/€ п+ и I/ - сумма некоторых корневых векторов

Утверждение 11.1.1. Всякое неприводимое представление с р-харак-тером х является фактором малого представления Верма Мх[Х). Следующее утверждение не столь очевидно как над полем характеристики нуль. Положительный ответ на вопрос о единственности неприводимого фактора здесь обеспечивается выбором разложения и жордановой формой х. При другом выборе разложения и х ответ на вопрос о единственности будет отрицательный. Это является главным препятствием (пока непреодолимым) на пути развития этой теории для произвольной полупростой алгебры Ли

Утверждение 11.1.5.Представление Мх(А) имеет единственный неприводимый фактор (обозначим тх[Х)).

Следующая теорема даёт классификацию неприводимых представлений алгебры Ли

Теорема 11.1.6. Следующие условия эквивалентны:

1) представлеМх{Х\) .эквивалентно Мх{Аг);

2) представление Aj) эквивалентно тх{Аг);

"Рудаков А. Н., Шафаревич И. Р. Неприводимые представления трехмерной простой алгебры Ли над полем положительной характеристики, Мат. заметки, 1967, Т.2, N5, С.439-454

где t — наименьшая редук-

3) Г а) \1 - А2 е Рр(Д),

\ Ь) Аь А2 сопряжены относительно Wt, тивная подалгебра, содержащая § и х, и — е группа Вейля.

В следующей Теореме 11.1.7 доказывается, что два неприводимых представления тх{\\) и тх{А2) имеют общий центральный характер тогда и только тогда, когда а) А1 — А2 £ Рр(Д) и Ъ) А1, А2 сопряжены относительно Ц^, где 1Я = да.

В §11.2 изучается многообразие центра, его особые точки и соответствие между особыми точками и неприводимые представления максимальной размерности алгебры Ли б1(п). Основной результат этого параграфа сформулирован в следующей теореме.

Теорема 11.2.1. Следующие условия эквивалентны:

1) тх{\) = Мх{А) (другими словами представление Мх(Х) неприводимо);

2) центральный характер -^(А) является неособой точкой многообразия центра;

3) wtА = W*А (где Ж = да).

Следствие 11.2.6. Неприводимое представление алгебры Ли sl(n) имеет максимальную размерность тогда и только тогда, когда ее центральный характер является неособой точкой многообразия центра.

В §11.3 даётся классификация неприводимых представлений максимальной размерности полупростых алгебр Ли. Максимальная размерность неприводимого представления равна

d(fl) := (dimeD(fl))i,

г £>(g) = Fracti/(g), С = CenterD(g) 25. В работе 26 > , что d(g) совпадает с p1/2<limflj где dim П - размерность орбиты общего положения в д*. Для полупростых алгебр классического типа она равна , где фА+ - число положительных корней. Основной результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 113.1.Выберем разложение g = п~©1}фп+ так, чтох = а+1/,

[a, v]=0, a Ei), v £ п+ и д" + П+ параболическая подалгебра д. Утверждается, что

1) Каждое неприводимое представление максимальной размерности изоморфно Мх( А);

"H.Zassenhaus, The representations of Lie algebras in prime characteristic, Proc.Glasgow MA.А.Мильнер,'функц.анализ и его прил., 1980, Т.14, N2, С.67-68

2) Представление Мх(Х) неприводимо тогда и только тогда, когда

для любого ¡3 £ П^, где — объединение систем простых корней тех компонент ¡¡Я, в которых элемент х нерегулярен.

Следствие 11.3.2.Все неприводимые представления с регулярным р-ха-рактером имеют максимальную размерность.

Работы автора по теме диссертации

1. Панов А. Н. Неприводимые преставления алгебры Ли sl(n) над полем положительной характеристики, Мат.Сборник, 1985, N9, стр.21-34.

2. Панов А. Н. Неприводимые представления максимальной размерности полупростых алгебр Ли над полем положителной характеристики, Функц. анализ, 1989, N3, С.80-81.

3. Панов А. Н. О теле рациональных функций на GLq(n,K), Функц.анализ 1994, Т.28, N2, С.75-77.

4. Панов А: Н. Тела скрученных рациональных функций и тело рациональных функций на GLq(п,К), Алгебра и анализ, 1995, Т.7, N1, С.152-167.

5. Мосин В. Г., Панов А. Н. Тела частных и центральные элементы многопараметрических квантований, Мат.сборник 1996, Т. 187, N6, С. 53-72 .

Результаты В. Г. Мосина из этой работы - Теорема 2.13 и Следствия 2.14, 2.15 в диссертацию не включены.

6. Панов А. Н. Многомерные скобки Пуассона, Вестник СамГУ, 1996, N2, С.33-41.

7. Panov A. N. Fields of fractions of some SLq(2)-motion algebras, Czech.J.Physics, 2000, V.50, N11, 1329-1334.

8. Panov A. N. Fields of fractions of Quantum solvable algebras, J.Algebra, 2001, V.236, P.110-121.

9. Панов А. Н. Квантовые алгебраические торы, Мат.Заметки 2001, Т.69, N4, С.591-599.

10. Panov A. N. Stratification of prime spectrum of quantum solvable algebras, Comm.in Algebra, 2001, V.29, N9, 3801-3827.

11. Panov A. N. Quantum solvable algebras. Ideals and representations at roots of 1, Transformation groups, 2002, V.7, N4, 379-402.

i - 3329

12. Panov A. N. n-Poisson and n-Sklyanin brackets, Journal of Math.Sciences, Algebra 17, 2002, V.110, N1, 2322-2329.

13. Панов А. Н. Расширения Ope алгебр Хопфа, Мат. Заметки, 2003, T.74, N3, C.425-434.

14. Панов А. Н. Неприводимые представления разрешимых квантовых алгебр в корнях из 1, Алгебра и анализ, Т. 15, 2003, N4, С.229-259.

Подписано к печати 14 января 2004. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объём 2 п.л. Тираж 100 экз. Заказ /М9 443011, г.Самара, ул. Академика Павлова, 1. Отпечатано УОП СамГУ

Глава О. Общее введение стр.

§0.1. Общая характеристика работы

§0.2 Основное содержание работы

Глава 1. Тела частных алгебр скрученных многочленов

§1.1. Элементарные преобразования целочисленных кососимметрических 20 матриц.

§1.2. Алгебра скрученных многочленов

Глава 2. Тела частных квантовых разрешимых алгебр

§2.1. Расширения Ope и локализация

§2.2. Квантовые разрешимые алгебры

§2.3. Чисто квантовые алгебры

§2.4. Элементы конечного присоединённого действия

§2.5. Тела частных.

§10.1 Основная теорема 201

§10.2 n-Скобки Склянина 212 Глава 11. Неприводимые представления алгебр Ли над полем положительной характеристики

§11.0. Введение 216

§11.1. Неприводимые представления sl(n) 219

§11.2. Неприводимые представления максимальной размерности алгебры Ли 229 бЦп) и особые точки многообразия центра

§11.3. Неприводимые представления максимальной размерности полупростых 239 алгебр Ли

Список литературы 245

Глава 0. Общее введение

1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, Москва, Мир, 1972.

2. Борель А. Линейные алгебраические группы, Москва, Мир, 1972.

3. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы, Москва, Наука, 1966.

4. Вейсфеллер Б. Ю., Кац В. Г. О неприводимых представлениях р-алгебр Лщ Функ.анализ и его прилож., 1976, Т.5, N 2, С.28-36.

5. Воскресенский В. Е. Алгебраические торы, Москва, Наука, 1977.

6. Гельфанд И. М., Кириллов А. А. Тела ассоциированные с обрты-вающими алгебрами Лщ ДАН СССР, 1966, Т. 167, N3, 503-505.

7. Гельфанд И. М., Кириллов К. К. Структура тела Ли, связанного с полупростой расщепимой алгеброй Ли, Функц. анализ и его прил., 1969, Т.З, С.7-26.

8. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии, Том 1, Москва, Мир, 1982.

9. Джекобсон Н. Алгебры Ли, Москва, Мир, 1966

10. Демидов Е. Е. Квантовые группы, Москва, Факториал, 1998.

11. Демидов Е. Е. О некоторых аспектах теории квантовых групп, УМН, 1993, Т.48, N6, С. 39-74.

12. Диксмье.Ж Универсальная обертывающая алгебра, Москва, Мир, 1978.

13. Желобенко Д. П. Представления редуктивных алгебр Ли, Москва, Наука, 1994.

14. Карасёв М. В., Маслов В. П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Москва, Наука, 1991.

15. Кац В. Г. Неприводимые представления алгебр Ли классического типа, УМН, 1972, Т.27, N5, С.237-238

16. Крылюк Я. С. Многообразия Цассенхауза классических полупростых алгебр Ли над полем конечной характеристики, Мат.сборник, 1986, Т.130, С.475-487

17. Курош А. Г. Курс высшей алгебры, Москва, Наука, 1968.

18. Мильнер А. А., Функц.анализ и его прил., 1980, Т.14, N2, С.67-68

19. Мосин В. Г., Панов А. Н. Тела частных и центральные элементы многопараметрических квантований, Мат.сборник 1996, Т.187, N6, С. 53-72 .

20. Одесский А. В., Фейгин Б. Л. Эллиптические алгебры Склянина, Функц.анализ и его прилож., 1989, Т.23, N3, 45-54.

21. Панов А. Н. Неприводимые преставления алгебры Ли вЦп) над полем положительной характеристики, Мат.Сборник, 1985, N9, стр.21-34.

22. Панов А. Н. Неприводимые представления максимальной размерности полупростых алгебр Ли над полем положителной характеристики, Функц. анализ, 1989, N3, С.80-81.

23. Панов А. Н. О теле рациональных функций на СЬд(п,К), Функц.анализ 1994, Т.28, N2, С.75-77.

24. Панов А. Н. Тела скрученных рациональных функций и тело рациональных функций на СЬд(п,К), Алгебра и анализ, 1995, Т.7, N1, С.152-167.

25. Панов А. Н. Многомерные скобки Пуассона, Вестник СамГУ, 1996, N2, С.33-41.

26. Панов А. Н. Квантовые алгебраические торы, Мат.Заметки 2001, Т.69, N4, С.591-599.

27. Панов А. Н. Расширения Оре алгебр Хопфа, Мат.Заметки, 2003, Т.74, N3, С.425-434.

28. Панов А. Н. Неприводимые представления разрешимых квантовых алгебр в корнях из 1, Алгебра и анализ, Т.15, 2003, N4, С.229-259.

29. Пирс Р. Ассоциативные алгебры, Москва, Мир, 1986.

30. Решетихин Н. Ю., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантование групп и алгебр Ли, Алгебра и анализ, 1990, Т.1, N1, 193-226

31. Рудаков А. Н. О представлениях классических полу простых алгебр а поле положительной характеристики, Изв.АН СССР, Сер.мат., 1970, Т.34, N4, 735-743

32. Рудаков А. Н., Шафаревич И. Р. Неприводимые представления трехмерной простой алгебры Ли над полем положительной характеристики, Мат. заметки, 1967, Т.2, N5, С.439-454

33. Семинар по алгебраическим группам, Сборник статей, Москва, Мир, 1973

34. Семёнов-Тян-Шанский М. А. Группы Пуассона-Ли. Квантовый принцип двойственности и скрученный квантовый дубль, ТМФ, 1992, Т.93, N2, 302-329.

35. Склянин Е. К. О некоторых алгебраических структурах, с уравнением Янга-Бакстера, Функц.анализ, 1982, Т.16, N4, С.27-34.

36. Спрингер Т. Теория инвариантов, Москва, Мир, 1981

37. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии, Москва, "Мир" 1970.

38. Филиппов В. Т. п-алгебры Ли, Сиб.мат.журнал, 1985, 24, С. 126140.

39. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия, Москва, Мир, 1981

40. Херстейн И. Некоммутативные кольца, Москва, Мир,1972.

41. Alexeevskii D., Guha P. On decomposability of Nambu-Poisson tensor, Acta Mathematica Universitatis Comekiakae, 1996, 65, P.l-9.

42. Alev J., Dumas F. Corps de Weyl mixtes, Colloquium on Homology and Representation Theory, Bol.Acad.Nac.Cienc(Cordova) 2000, V.65, P.29-43

43. Alev J., Dumas F. Sun le corps des fractions de certaines algebres quantiques, J.Algebra, 1994, V.170, N.l, 229-265.

44. Alev J., Ooms A., Van der Berg M. A class counterexamples to the Gel'fand-Kirillov conjecture, Trans.Amer.Math.Soc., 1996, V.348, 1709-1716

45. Andersen H. H, Jantzen J. C., Soergel W., Representations at a pth root of unity and of semisimple groups in characteristic p, Asterisque, 1994, V.220

46. Beatie M. An isomorphism theorem for Ore extension Hopf algebras, Comm.Algebra, 2000, N2, 569-584.

47. Beatie M., Dascalescu S., Grunenfelder L. Constructing pointed Hopf algebras by Ore extensions J.Algebra, 2000, V.225, 743-770.

48. Brown K. A., Goodearl K. R. Homological aspects of Noetherian PI Hopf algebras and irreducible modules of maximal dimension, J.Algebra, 1997, 240-265.

49. Brown K. A., Gordon I. Poisson orders, symplection reflection algebras and representation theory, preprint math.RT/0201042.

50. Brown K. A., Gordon I. The ramification of the centres: quantised function algebras at roots of unity, math.RT/9912042.

51. Borho W., Gabriel P., Rentschier R. Primideale in Einhüllenden auflösbarer Lie-Algeren, Lecture Notes in Math., 357, Springer, Berlin, 1973.

52. Caldero Ph. On the Gelfand-Kirillov conjecture for quantum algebras, Proc.Am.Math.Soc. 2000, V.128, N4, 943-951.

53. Caldero Ph. On the q-commutations in Uq(n) at roots of one, J.Algebra, V. 210, 1998, 557-576.

54. Cauchon G. Effacement des derivations et spectres primiers des algebras quantiques, J.Algebra, 2003, V.260, N2, 476-518.

55. Cauchon G., Spectre premier de Oq(Mn(k)): Image canonique et separation normale, J.Algebra, 2003, V.260, N2, 519-569.

56. De Concini C., Kac V. G. Representations of quantum groups at roots of 1, Colloque Dixmier 1989, Progress in Math., 1990, V.92, 471-506,

57. De Concini C., Kac V. G., Procesi C. Some quantum analogues of solvable Lie groups, hep-th/9308138.

58. De Concini C., Kac V. G., Procesi C. Quantum coadjoint action, Journal of Amer.Math.Soc., 1992, V. 5, 151-189.

59. De Concini C., Lyubashenko V. Quantum Function Algebra at Roots of 1, Adv.Math., 1994, V. 108, 205-262.

60. De Concini C., Procesi C. Quantum Groups, Lecture Notes in Math., 1993, V.1565, 31-140.

61. De Concini C., Procesi C. Quantum Schubert cells and representations at roots of 1, Algebraic groups and Lie groups(G.I.Lehrer,editor), N9 in Australian Math.Soc.Lecture Series, Cambridge University press, Cambridge,1997.

62. Delvaux L. Pairing and Drinfeld-double of Ore extensions Comm.Algebras, 2001, V.29, N7, P.3167-3177.

63. Friedlander E. M., Parshall B. J. Support varieties for restricted Lie algebras, Invent, math., 1986, V.86, 553-562

64. Friedlander E. M., Parshall B. J. Modular representations of Lie algebras, Amer.J.Math, 1988, 110, 1055-1093

65. Friedlander E. M., Parshall B. J. Deformations of Lie algebra representations, Amer.J.Math., 1990, V.112, 375-395

66. Gelfand I. M., Kirillov A. A. Sur les corps lies aux algebres enveloppantes des algebres de Lie, Ins.Hautes Etudes Sci.Publ.Math., 1966, V.31, N5.

67. Goodearl K. R., Prime Spectra of Quantized Coordinate Rings, Math.QA/9903091, Lecture Notes in Pure and Appl.Math, 2000, T.210, 205-237.

68. Goodearl K. R., Lenagan T. H. Prime ideals invariant under windimg automorphisms in quantum matrices, Int.J.Math., 2002, V.13, N5, 497532.

69. Goodearl K. R., Lenagan T. H. Winding-invariant prime ideals in quantum 3x3 matrices, J.Algebra, 2003, V. 260, 657-687.

70. Goodearl K.R., Letzter E. S. Prime Ideals in Skew and q-Skew Polynomial Rings, Memoirs Amer.Math.Soc., 1994, V.521.

71. Goodearl K.R., Letzter E. S. Prime factor algebras of the coordinate ring of quantum matrices, Proc.Amer.Math.Soc., 1994, V.121, N4, 1017-1025.

72. Humphreys J. E., Modular representations of simple Lie algebras, Bull.Amer.Math.Soc., 35, 1998, N2, 105-122

73. Iorgov N. Z., Klimyk A. U. Representations of the nonstandard-(twisted) deformation U'q(son) for q a root of unity, Czech.J.Prysics, 2000, V.50, N11, 1257-1264.

74. Kac V., Weisfeiler B. Coadjoint action of a semi-simple algebraic group and the center of the enveloping algebra in characteristic p, Indag. Math., 1976, V. 38, 136-151.

75. Jantzen J., Lectures on Quantum Groups, Graduate Studes in Math., 1995, V.6.

76. Jantzen J. Subregular nilpotent representations of sn and son, Math.Proc.Cambridge Philos.Soc, 1999, V.126, 223-257

77. Jantzen J. Subregular nilpotent representations of Lie algebras in prime characteristic, Representation Theory (Elect.journal of AMS), V.3, 1999, 153-222

78. Jantzen J., Representations of Lie algebras in prime characteristic, Univ. of Aakhus, preprint, 1998

79. Joseph J. Sur une Conjecture de Feigin, C.R.Acad.Sci.Paris, 1995, V.320, Serie 1, 1441-1444.

80. Joseph A. Quantum groups and their primitive ideals, Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1995

81. Launois S. Les ideaux premiers invariants de Oi(MmiP(C), preprint 2001.

82. Levendorskii S. Z., Soibelman Y. S. Some applications of quantum Weyl group 1. The multiplicative formula for universal R-matrix for simple Lie algebras, J.Geom.Phys., 1991, V. 7, N4.

83. Lustig G. Quantum groups at roots of 1, Geom.Ded. 1990, V.35, 89114.

84. Manin Yu. I. Quantum groups and non-commutative geometry, Preprint CRM-1561, Montreal, 1988.

85. Marmo G., Vilasi G., Vinogradov A. The local structure of n-Poisson and n-Jacobi manifolds, J.Geom.Phys, 1998, V.25.

86. McConnel J. C., Robson J. C. Noncommutative Noetherian Rings, Wileys-Interscience, New York, 1987.

87. Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings, Reg.Conf.Series in Math, 1993, V.82.

88. Naumbu Y. Generalized Hamiltonian dynamics, Phys.Rev., D7, 1973, P.2405-2412.

89. Nenciu A. Cleft extensions for a class of pointed Hopf algebras constructed by Ore extensions, Comm.Algebra, 2001, V.29, N5, 19591981.

90. Nenciu A. Quasitriangular structures for a class of pointed Hopf algebras constructed by Ore extensions, Comm.Algebra, 2001, V.29, N8, 3419-3432.

91. Panov A. N. Fields of fractions of some SLq(2)-motion algebras, Czech.J.Physics, 2000, V.50, N11, 1329-1334.

92. Panov A. N. Fields of fractions of Quantum solvable algebras, J.Algebra, 2001, V.236, P.110-121.

93. Panov A. N. Stratification of prime spectrum of quantum solvable algebras, Comm.in Algebra, 2001, V.29, N9, 3801-3827.

94. Panov A. N. Quantum solvable algebras. Ideals and representations at roots of 1, Transformation groups, 2002, V.7, N4, 379-402.

95. Panov A. N. n-Poisson and n-Sklyanin brackets, Journal of Math.Sciences, Algebra 17, 2002, V.110, N1, 2322-2329.

96. Parshall B., Wang J.-P. Quantum linear groups, Memoirs Amer.Math.Soc, 1991, V. 439.

97. Polyschuk A. Algebraic geometry of Poisson brackets, Journal of Mathematical Sciences, 1997, V.84, 1413-1444.

98. Premet A., Irreducible representations of Lie algebras of reductive groups and the Kac-Weisfeiler conjecture, Invent, math., 1995, V.121, 79-117.

99. Premet A., Skryabin S., Representations of restricted Lie algebras and families of associative L-algebras, J.reine angew.Math., 1999, V.507, 189-218

100. Sahoo D., Valsakumar M. C. Nambu mechanics and its quantization, Phys.Rev., A46, 1992, P.4410-4412.

101. Vanhaecke P., Integrable Systems in the realm of algebraic geometry, Lecture Notes in Math., V.1638, Springer, 1996.

102. Veldkamp F. D. The center of the enveloping algebra of Liealgebra in characteristic p, Ann. sci. Ecole norm, super., 1972, V.5, N2, 217-240

103. Vinogradov A., Vinogradov M. On multiple generalizations of Lie algebras and Poisson manifolds, Contemp.Math, 1998, V 219, 273-287.

104. Zassenhaus H. The representations of Lie algebras in prime characteristic, Proc.Glasgow Math.Assoc.,1954, V.2, P.l-36