Теорема Э. Бореля и некоторые связанные с ней проблемы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 ОА

1 3 ИЮН 1295

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.9

ТУЗМК Сергей Альфредович

ТЕОРЕМА Э.БОРЕЛЯ И НЕКОТОРЫЕ СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ПРОБЛЕМЫ

01.01.01математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

МИНСК - 1995

Работа выполнена в Белорусском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико- математических наук, профессор Радыно Яков Валентинович.

Официальные оппоненты: доктор физико- математических наук, профессор Забрейко Петр Петрович,

кандидат физико- математических наук, доцент Вувуникян Юрий Мкртычевич.

Оппонирующая организация - Московский энергетический институ

Защита диссертации состоится "27" июня _ 1995 года

в _ часов ' на заседании специализированного Сове!

К 056.03.05 по присуждению ученой степени кандидата наук Белорусском государственном университете ( 220080, г.Минск просп. Ф.Окарины, 4, гл.корпус, аудитория 206 ).

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотек универститета.

Автореферат разослан "_"_мая_ 1995 года.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

П.Н.Князев

- ^ -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В 1895 году Э.Барель1} доказал, что для любой последовательности действительных чисел (а^.1 найдется функция /еС™7в?,), такая что с^ для всех й.

О этих пор теорема . Э.Бореля стала неотъемлемой характеристикой бесконечно дифференцируемых функций на

ппАО I Ь»11 О^ЬИС" 'С™. СГС? Т^ТТ»™™1 ОМГ1ИПТЙ им к нмй 1

математики как Н.М.Зобин, С.Г.Крейн, г. • Нарзскмхан, Б.П.Панеях, Ф.Трев, Л.Хврмандер и др.

Новый всплеск интереса к теореме Э.Бореля был вызван развитием теории новых обобщенных функций. _ Аналоги теоремы Э.Бореля для некоторых пространств таких функций были получены в работах Х.А.Биагиони, Ж-Ф. Коломбо, Нго Фу Тханя, Н.Я.Радано и др.

Представляется актуальным дополнить накопленную информацию рассмотрением аналогов теоремы Э.Бореля для функций, действующих из нормированного пространства в банахово, для функций на действительной оси со значениями в локально выпуклых пространствах, а также продолжить исследование с такой точки зрения пространств новых обобщенных функций.

Настоящая работа посвящена изучению таких аналогов те орет Э.Бореля, а тат™;э тесло связанных с ними других вопросов, каезщихея сюрьективнссти операторов, действующих в пространство П К, где К есть к или с, а I - произвольное

множество индексов.

Цель работы. 15 Получение аналога теоремы Э.Бореля для функций на нормированном пространстве со значениями в банаховом и для функций на действительной оси со значениями в локально выпуклом пространстве,

2) Изучение объективности некоторых операторов,

1)Е.Воге1. Апп. Еоо1е Иогта. Бир., 12(1895).

- г -

действующих в пространство П К, где К есть о? или с, а I ■

произвольное множество индексов.

3) Доказательство аналога теоремы Э.Бореля для одног< класса пространств новых обобщенных функций.

Общий метод исследований. В работе применяется теорж локально выпуклых пространств и теория двойственное^ векторных пространств.

Научная новизна и практическая ценность.

Доказано, что аналог теоремы Э.Бореля для бесконечнс дифференцируемых по Фреше функций на нормированного пространстве X со значениями в банаховом пространстве У всег; справедлив, если X и У - пространства над полем о?, и никогдг не справедлив, если X и Г - пространства над полем с.

Получен критерий сюръективности линейного оператора, действующего из локально выпуклого пространства над полем I (к или с) в пространство П К, где I - произвольное множестве

индексов. На основании . этого критерия доказана полнота некоторых неархимедово нормированных пространств, г также получены новые доказательства классических теорем Э.Бореля и Г.миттаг- Леффлера.

Выделен класс пространств новых обобщенных фукнций,

построенный по схеме А.Б.Антоневича и Я.В.Радыно2), и для этого класса пространств доказан аналог теоремы Э.Бореля.

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при исследованиях операторов в локально выпуклых пространствах, в теории новых обобщенных функций, а также при чтении спецкурсов по теории локально выпуклых пространств на механико- математическом факультете Белгосуниверситета.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры функционального анализа Белгосуниверситет под руководством профессоров А.Б.Антоневича и Я.В.Радыно, на

2)Антонович А.Б., Радыно Я.В. Об общем методе построения алгебр обобщенных функций// ДАН СССР.-1991.-318.-С.267-270.

семинаре з_№ституте"математики"АН""Б8Ляр7си"'1год""ру1соводстзом----------

академика Й.В.Гайвуна, на VI ковферешши математиков Беларуси (Гродно, 1992), на межреспубликанской конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (Минск, 1992), на международной конференции, посвященной памяти академика М.П.Кравчука (Киев- Луцк, 1992), на международной конференции "Ряяличина аспекты miflibetieHimDveMOCTH" (Вашава. 1Э93). на

тгптлТф-патттттггх I ?t^ir4>a?TIOT-it4f (U >П-ПИФМЯ| ' i 'ГУМ [!kl;H|H'(l Vi*t/i I rt ■ иУИ'ГИ

(Гомель, 1994), на международной конференции, посвященной 70-летию белорусского математика Брита Николая Ивановича (Минск, 1994).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, еще 3 работы находятся в печати (Доклада РАН (совместная работа с Я.В.Радано представлена академиком С.М.Нйкольским),

Доклады АН Беларуси (работа представлена академиком

Я.В.ГаЙшунОМ), Lecture Notes in Mathematics).

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 54 страницах машинописного текста и состоит из введения, общей характеристики работы,трех рлзе и списка использованных юточников, включающего 36 наименований.

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Во введений дан краткий обзор работ, относящихся к теме дссертации, изложены ее основные результаты.

В ГЛАВЕ I изучена объективность некоторых операторов, вязанных с теоремой Э.Бореля, и доказана аналогичная теорема ля функций па нормированном пространстве со значениями в анзховом. Рассматриваются также другие обобщения этой зоремы.

Основной результат, полученный в п. 1.1 - критерий орьективности некоторых линейных операторов из совершенно элного пространства в прямое произведение пространств:

Теорема I.I. Пусть Е- совершенно полное пространство с гзисол окрестностей нуля к, F^ - отделшые локально

выпуклые пространства, х*:Е - линейные слабо непрерывна сюръешивные операторы, I - произвольное лнохество индексов, Отображение

Q: Е -> Я Ft : х -

аоръетивно тогда и только тогда, когда выполнены условия : _ m . *

а; Если /г' ePj , я=1 и (х^ (х))=0 для всех хеЕ, я

71 Г»

=0, гг=Т~й;

ъ,) для любого Ueai и любой подпоследовательности (

п

если vnöN X /J «х? Ii ^Fi , n , m em, r * k.p l * k,p l ' p * p

x=m к к

P

R0 : Vft»7!0 VpäN /к' =0.

Важным следствием теоремы 1.1 является случай Р{=й дг всех fei, где Я есть поле R или с, над которь рассматривается пространство Е, - теореиа 1.2.

При этом теорему 1.2 можно интерпретировать как критери разрешимости системы линейных уравнений вида (xl(x)=yit iel где хеЕ, линейные непрерывные функционалы на совершена полном пространстве Е.

Если взять Е = то условие ь) будет выполнятьс автоматически, а условие а) есть обычное требовани невырожденности матрицы оператора Q. Аналогичная ситуаци наблюдается и в случае бесконечного числа экземпляров R.

В п.1.2 исследуется задача Э.Бореля для функций н нормированном пространстве со значениями в банаховом.

Сначала рассматривается пространство E0=C^(B,Y) все непрерывных ограниченных функций на единичном шаре В=(х&Х. ¡х{<1} нормированного пространства X со значениями банаховом пространстве Y. В общем случае й-й производно: функции /еЕ является линейный оператор

V К - fr*

где Е0=>Е=>.. ,?>Ek=>Ek^—- подпространства в Eo=0b(B,Y), ] Pk- некоторые фиксированные банаховы пространства (Р0=У) Пространство n ¿v, назовем пространством бесконечн<

дифференцируемых функций из В в У.

Для этого общего случая при дополнительных естественных ограничениях при помощи теоремы 1 .1 найдены необходимые и достаточные условия сюрьективности оператора

R: - Я Fk : ф - (^(0)}^ .

Пусть \=и- производные по Фреше. Тогда пространства всех й-линейных симметричных отображений Ik в У. Соответствующее пространство Eœ будем обозначать (f(B,Y).

ïeopfaUâ I.-î. "â'CSft г- "Гггшяяимннаи подел с, причел Y- банахово, tí- единичный шр 5 X. ТсгЭа отображение

Д,: íffB.y; - Я 2B(?,Y) : ф - {#$(0)}^

Зс = о

не является сюръективнил.

Теорема 1.5. Пусть К, Y- нормированные пространства над полел к, причел Y- банахово, В- единичный шр в К. Тогда

отображение

R: <f°(B,Y) - II xjt.Y) : ф -

k=o S °

сюръетивно.

В п. 1.3 изучается задача Бореля для произвольных распределений с компактным носителем, возникающая при замене в классической формулировке теоремы Э.Бореля пространства (f(&) на сГ(й) (где Q - область в к*"') и фигурирующих в ней производных в нуле на произвольные распределения с компакшм носителем ?t, i-I.

В п. 1.4 рассматривается задача Бореля для голоморфных функций и ее связь с теоремами Вейерштрасса и Миттаг-Лефлера.

Теоренэ 1.7. Пусть ))', tel, где I - произвольное

.тожество индексов. Отображение

R: х(D) -у/ с : / - (Tt(f)Jte!l

асгръеиттвно тогда и только тогда, когда выполнены условия. :

a) Г{ линейно независимы-,

b) для любого компакта K<=D и любой последовательности (i

п

р

количество ненулевых функционалов S - 2 кпТ* , m ^ >п , р^я,

р n^m п n р

р

таких что найдется С>0, для которого выполняется условие \Sp(f)\s О sup\f(x)\ vf^e(D),

конечно.

Следствие I. Для любой отсрытай области Ifccn, произвольной последовательности точен cl^eD, не илещей внутр D предельных точек, и произвольной последовательности чисе

/е<п, k=T7mn, new, найдется функция feae(D), такая что

fk>(an)= /, к=Т7йп, n^oi. При помощи теоремы 1.2 можно доказать и теорем Миттаг-Лефлера.

Теорема 1.8. Для любой открытой области Д=ск произвольной последовательности точек a.eD, не илещей внутр D предельных точек, и произвольной последовательности функци

с п>,

8^(2)= 2 с_т (2-ап)~ найдется лералорфная б области

1т|=1

функция которая имеет полосы во всех точках ап и только этих точках, причел главная часть / 6 кахдол полюсе а совпадает с .

Пусть М - векторное пространство всех мероморфны функций, не имеющих полюсов вне точек а^, пей, причем порядо этих полюсов в точках ап не превосходит рп. Заметим, чт задание главной части gг¡ функции равносильно задани значений линейных функционалов

б(ат(?(г)(г-ап)Рг>), где п^н,

г>

^"'(Щг))- т-я производная функции П(г) в точке ап.

г»

Поэтому утверждение данной теоремы равносшпь» сюрьективности оператора

М - П П с ; / - {1Г(/)},

ГН^Н ТП — 1

что позволяет применить теорему 1.2.

В ГЛАВЕ 2 теорема Э.Бореля рассматривается с точк зрения продолжимости некоторых линейных операторов.

В п.2.1 получен результат, который в дальнейшем Суде' црименяться при исследовании задачи Э.Бораля для новы:

обобщённый функций". ------------------------- -------------------------------

Теорема 2.1. Пусть Е, F- л.в.п. над полел К Со? или cj, причел Е полно б топологии i с Оазисол окрестностей ¡суля и; х^еЕ', tel- линейно независимые линейные непрерывные функционалы на Е, Ь=Е'~ подпространство, натянутое на вектора х^еЕ', tel, где I - произвольное лножество индексов. Предположил, что выполнена условие :

а.' пере^призю тюдпюоащххнства L о каждыл равностепенно

непрсрив'а ¿; ЛРОУФ'змыы аь Z' t

подпространстве ;

Тогда для любого линейного оператора l:L->P найдется слабо

непрерывный оператор такой что li(x^)=l(x,i)riei.

Теорема 2.1 позволяет ослабить требования теоремы 1.2 и

отказаться от условия совершенной полноты пространства Е,

заменив ее обычной полнотой (теорена 2.2).

Любое векторное пространство Е можно сделать полным

локально выпуклым пространством, наделив его сильнейшей

локально выпуклой топологией, поэтому следующая теорема -

следствие теоремы 2.2.

Теорема 2.3. Пусть Е- веторное пространство над полел

К, где К есть о? или с; х'^Е*, tel- линейные фужционшы на Е,

I - произвольное лножество индексов. Отображение

Q: Е -> П К : х - (х}(х)},Т tel 1

аорьективна тогда и только тогда, когда выполнены условия:

а.) tel линейно не зависшая;

Ъ) если для любой подпоследовательности ( i >-х и для любого

п

х&Е найдутся С(х)>0 и К ей, такие что пр "

Улvpcfî) I s \Х}(Х) ) S G(x), где m >п ,

р

то з m ем, такое что X =0 чпж .

О F г» О

В п.2.2 рассматривается задача о бесконечно дифференцируемых функциях со значениями в полном локально выпуклом пространстве.

Пусть (f°(iKn;FJ~ пространство всех <f°- функций из к" в полное л.в.п. F. Известно, что пространство (f(s?;F) отовдествимо с пополнением тензорного произведения cffvz" )»F.

Если Е- полное ядерное л.в.п., F- произвольное полно! л.в.п., то пространство Е®Р отождествимо с пространства £(Eq,Fq) > поэтому для любого х'еЕ' и z¿E»F определе® значение x'(z)^F.

Теорема 2.4 есть критерий сюрьективности оператора вида Q: EÍF - П F : 2 - {xUz)),T ,

íej 1 tGi

где E,F- полные л.в.п., причем Е- ядерное с базисо! окрестностей нуля и; х'^Е', £«=1- линейные непрерывна функционалы на Е, I - произвольное множество индексов

Пространства С00(к) и se(D)- полные ядерные, поэтому П( теореме 2.4 для пространств G00('Kn;Fi)=C00('Kn;®í' и se(D;F)=3e(D)k справедливы результаты, аналогичные теоремам из §§ 3 - 4.

В п.2.3 решается вопрос о полноте некоторых нормированш пространств, норма которых связана с особым образом заданно] на этом пространстве фильтрацией.

В ГЛАВЕ 3 выделяется класс пространств новы: обобщенных функций и доказывается для него аналог теорем Э.Бореля.

В п.3.1 приводятся типичные выкладки, обычно используем! при решении задачи Э.Бореля для новых обобщенных функций.

В п.3.2 исследуется структура одного класса пространст] новых обобщенных функций.

Пусть А - счетное семейство последовательностей а=(ап) такт, что

a >0 чгыN, vaeá;

г» ' '

V a1,... ,d"eA з aeá ; sup ak < a vn«=¡ы.

i<k<m n

Пусть E - полное локально выпуклое пространство (л.в.п. над полем действительных чисел с семейством непрерывны: полунорм Р; G(X;Y) - векторное пространство всех функций из , в Y; Ф~ некоторое фиксированное множество.

Рассматриваются пространства новых обобщенных функций вида ^(El^^ /tffE)' где

Gu(E)={hsG(<£; П Е) |УфеФ vpe? зasA зс>0 : píh/ф))< Gan vn^m.

r,= I "

N(E)<=GM(E) - векторное подпространство, определяемое условие? на последовательность значений полунорм p(h (<р)}.

Пространство — обобщенных-------чисел, - - соответствующее- ________

пространству новых обобщенных функций s(E), определяется как факторпространство sftR j=Gm ^ , где

GM<,R;=freGf®; П Kj I зае^ 300 ; ¡Г/Ф;|< С on vneö-u,

п=Л 1

В п.3.3 доказывается теорема Вореля для выделенного класса пространств новых обобщенных функций.

ТсСр~"3 2.3. Путь ». е> г.» - ¡шиашммшиС, HüCiiZ

обобщенных функций указанного тяга,

соответствующее пространство обобщенных чисел.

Тогда для любой последовательности обобщенных чисел (сп), n^ai найдется новая обобщенная функция f<sg(E), такая что /™(0}=сп VneäN.

Теорема 3.4. Для любой открытой области произвольной последовательности точек а^Т), не илещей внутри D предельных точек, и проьзволъной последовательности

обобщенных чисел к=1 ,тп, nein, найдется новая

обобщенная функция. f&§(x(~D))t такая что

/к'(а )= Ак, k=T7i , пеш.

Т"> Г) г»

Основные результаты диссертации опубликованы в еледунща

работах:

1. Радыно Н.Я., Тузик O.A. Теорема Вореля для новых обобщенных периодических функций. // Тезисы международной конференции, посвященной памяти академика М.П.Кравчука (22-28

сентября i932 года), Киев- Луцк, 1992.

2. Радыно Я.В., Тузик С.А. Полнота некоторых неархимедово нормированных пространств и теорема Вореля // Тезисы международной конференции, посвященной 25-летию Гомельского университета, Гомель, 1994.

3. Радыно Я.В., Тузик С.А. Теорема Вореля для функций из нормированного пространства в банахово //Доклады Российской АН, 1995. (в печати).

4. Тузик С.А. Об одной задаче Бореля.// ДАН Беларуси, 199; T.3S, N 11-12, С.978-981.

5. Тузик С. А. Задача Бореля в локально выпуклы; пространствах. // Материалы 49-й студенческой научнс конференции БГУ, Минск, 1992.

6. Тузик С.А. Об обобщенной задаче Бореля. / > Материалы конференции творческой молодежи "Актуалыа проблемы информатики: математическое, программное информационное обеспечение", №шск, Изд-во БГУ, 1992. С.21.

7. Тузик С.А. Сходимость некоторых рядов в пространстве распределений с компактным носителем и теорема Бореля. / Материалы V1 конференции математиков Беларуси (2 сентября- 2 октября 1992 года). Часть 2. Гродно, 199Z С.119.

8. Tusilc S.A. On some theorems of E.Borel's type// Abstract of Conference "Different Aspects of Differentiability" Warsaw, 1993.

9. Tuzik S.A. Mew generalised functions and Borel's theorem // Lecture Notes in Mathematios, (в печати).

10. Тузик С.A. О сюрьективности некоторых операторов теореме Бореля.// ДАН Беларуси, 1995 (в печати).

Туз1к С. А. "Тэарэма Еарэля i некаторыя звязаныя з ей раблемы".

РЭЗШЕ

У працы разглядаюцца аналаг! клас!чнзй тэарэми Э.Барэля ;ля функций, дзейн!чаючых з нармаванай прасторы у Оанахаву, ля функций на сапрауднай Boci са значениям! у лакальна

tjziz я Tow««*« /iviH йшш!-^.

багульненых функций, пабудаваншс. на ол.вм* A.b.AH-iuiio^iia 1 .В.Радына. Даслвдавание заеноуваецца на вывучэнн! юр*ектыунасц1 л1нейных аператарау, дзейн1чаючых у лакальна ыпуклых прасторах..

Тузик С. А. "Теорема Бореля и некоторые связанные с ней роблвш".

РЕЗЮМЕ

В работе рассматриваются аналоги классической теоремы .Бореля для функций, действующих из нормированного ространства в банахово, для функций на действительной оси со качениями в локально выпуклых пространствах, а также ля некоторых пространств новых обобщенных функций, остроенных по схеме А.Б.Антоневича и Я.В.Радыно. сследование базируется на изучении сюрьективности линейных ггераторов, дэйствуулцкх в локально выпуклых пространствах.

Tusik S. A. "The Borel's theorem arid some problems ssooiated with it".

SUMMARY

The anal ogues of E. Borel's classic theorem for the unctions on the normed space with values in the Eanach space rid for the real functions, which are valued in the locally onvex spaces, and for some spaces of the new generalized unctione, which are constructed according to A.B,Antcnevich Ya.V.Raclyno scheme, are considered in the thesis. The nvestigation is based on ths study of the surjectivity of tie linear operators in the locally convex spaces.

На правах рукопис:

Тузик Сергей Альфредович

ТЕОРЕМА Э.БОРЕЛЯ И НЕКОТОРЫЕ СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ПРОбЛЕМЫ

Специальность 01.01.01математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Белорусский государственный университет

Подписано в печать I5.05.95jr. Формат 60x84 1/16 Усл. п.л. 0,93, Уч. изд.л, 1,0. Заказ № 200.

Тираж 100 экз. Бесплатно. Отпечатано на ротапринте Брестского политехнического института. 224017. Брест, ул.Московская, 267.