Теоремы о бесконечной дифференцируемости классов решений уравнений в частных производных, допускающих быстрый рост на бесконечности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г»

-I

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РФ

РОССИЙСКИЙ-УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

ТУЯКБАЕВ Мурсалнаби Шайзадаевич

ТЕОРЕМЫ О БЕСКОНЕЧНОЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ

КЛАССОВ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ДОПУСКАЮЩИХ БЫСТРЫЙ РОСТ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

(01.01.02- дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва • 1992

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений н функционального анализа Российского университета дружбы народов .

Научный руководитель -доктор {»изико-ыатематических наук, профессор В.И.Буренков

Официальные ошоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Дубинский,

доктор физико-математических наук, профессор М.Л.Гольдаан.

Ведущая организация - Беларусскнй Государственный университет, г. Минск.

Защита диссертация состоятся "¿^ г.

в 1£ час. 50 шн. на заседании специализированного совета К.053.22.23 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском университете другбы народов по адресу: 117923, Москва, ул. Орджоникидзе, д.З.

С диссертацией южно ознакомиться в научной библиотеке Российского- университета друабы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат

. Ученый секретарь ^

специализированного совета

Щ

ьш

М.В.Драгнев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность хеш. Изучение дифференциальных свойств решений тесно связанное с теорией функциональных пространств, является одним аз важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных.

В ряде работ изучался вопрос об условной гипоэллиптичноста линейных дифференциальных операторов ^Р в весовых пространствах 0 весом р т.е. исследовался вопрос о принадлея-ностл функции Ц , принадлежащей /.р,р вместе о некоторыми _ своми производными, весовому ¿-р,р ~ пространству бесконечно дифференцируемых функции при условна, что £рц, принадлежит такому пространству.

Диссертация посвящена исследованию вопроса об условной гипоэллиптичности в пространствах L р р в не рассматривавшемся ранее случае, когда р - экспоненциальный вес вида

f £ р(х) « exp^foj л) t (i)

где 0 i.m < и , Ej > О , Aj ^ 0 , ] - ...tn .

Цельа иайаж является нахождение условии на оператор с постоянными коэффициентами, при которых он является условно гипоэллаптичеоквм в пространствах /_р р с экспоненциальным весом, на основе изучение теории Lp о ~ мультипликаторов ип-теграла Фурье для таких весов. '

Научная ровизна.

I. Найдены необходимые в достаточные условия на параметры, при которых класс Кввре Of вкладывается в пространство

весовых Lp,p -'мультипликаторов внтеграла Фурье с экспоненциальным весом.

• в 2. Дано описание пространств финитных мультипликаторов

в терминах классов йеврз с точностью до произвольного

£>0 .

3. Доказаны теоремы о сравнении силы дифференциальных операторов в пространствах £-р,р с экспоненциальным весом.

4. Найдены достаточные условия условной гипоэллиптичноста оператора £Р с постоянными коэффициентами в пространствах

с экспоненциальным весом.

?

Методика исследования. В диссертации используется предложенный В.И.Буренковда метод дробного дифференцирования априорных неравенств доказательства регулярности решений дифференциальных уравнений в частных производных, для применения которого в рассматриваемой ситуации необходимы теоремы об Lp;j> -мультипликаторах интеграла Фурье.

Теоретическая и. практическая .ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Её результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также в теории функциональных пространств.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН, на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДЙ, а также на Всесоюзных школах-конференциях по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев -1388, Новгорсд-1989, Ульяновск-1990, Низший Новгород-1991).

• Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях.

Структуры и. объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы,содержашего 87 наименований. Объем диссертаций ИЗ - страниц .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирован« рассматриваемые в диссертации задачи, приведены известные в этой области результаты и дан краткий обзор литературы, указано распределение материала по главам и параграфам и на описательном уровне изложены основные результаты диссертации.

Пусть ÍP - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами порядка I

Ш) - 21i

e¿€X

где JC - конечное множество в пространстве N0 мулыианде-

г

(Х^О^ некоторые комплексные числа не равные нулю.

Пусть .О. = 5Г2 т * К" О^ил^гг, где - открытое

множество в , (прп ш = и. О. - любое открытое множество в

. при иг=0 П = Через - обозначим множество всех параллепипедов вида

С- = Ст х . где 00 < о-к < 6* <- оо ,

К- 1, . . . , а , <Г2т .

Пусть 1 £ р < о<э , а р ~ положительная пзморвмзя функция, завпсяиая только от ос , . . . ^ .ПСИ .

Через будем обозначать пространство тех И,для

которых, для любых фм II ¿р(£) < 00 •

Будем считать, что и. € [Зр0^] ^ любых'

О- с я любых и ->0 ' 00 -

Далее - пространство таких функций И \

что для любого С с (¡¡т

(гГН + ы

■СЯр^) ^

где -,о)} .

Постановка задача: для экспоненциального веса р вида (I) найти условия на дифференциальный оператор ¿Р с постоянными

(задача об условной гипоэллаптячностл в пространстве ).

В гл.1 излагается метод дробного дифференцирования априорных неравепств, разработанный В.И.Буренковш^для доказательства бесконечной дифференцируемоетв реиенвй дифференциальных уравнений в частных производных. В этой главе приводятся достаточные условия условной гзпоэ.ишптачностп оператора £Р в пространствах [_ . с общим весом р в тер?лннах ~

^Буренков В.И. Исследование пространств дифференцируемых функций с нерегулярной областью определения. -М..докт.длсс,, 1982, -312с.

1-1071 • 3

< оо

коэффициентами, при которых из того, что (X £ в <Р(Л. следует, что (1С

мультипликаторов интеграла Фурье. При этом мы следуем схеме рассуждений„ предложенной В.И.&уренковым для невесового случая и развитой М.И.Лднаном^для случая весовых функций

и ^

Через Г ^ ^обозначим преобразование Фурье функции ^ :

если • ч> € ЦК) 1 го для любых >

если у €. .то преобразования Р^ понимается в смысле теории обобщенных функций.

Определение I. I. Пусть р^ о© . р - положительная

измеримая на 1К функция. Говорят, что ул. е

уи. является ¿р;р - мультипликатором интеграла Фурьеесли

ул. с [_ ^(К ) и существует такое > О , что для

тшбых ^сС^(^)

Рассмотрим весовое пространство Никольского-Бесова ^рр^ функции Ц. , для которых

»г

11""" в^сГ'"" к р,й I & •

где » ^

, = { ос « а : ^ в ] И

< 1/

_

'Аднан М.И. Исследование бесконечной диф$>еренцируемости некоторых классов медленно растущих на бесконечности решений уравнений в частных производных. -М..канд.дисс.,1984,-107с.

4

1-1071

Пусть весовая функция р удовлетворяет следующему условию:

р зависит от переменных т.е.

рфО^х^). где . причем функция £ - положительна, непрерывна и так«.!} что для любого ^ ■> о У (2)

5схр би^ < се

Положим для х. е. К"

' 6 (зс) = 5И-Р --

Эта функция р* также .удовлетворяет условию (2) п для неё для некоторых $ >о а сх>0 справедливо неравенство

I * (3)

Отметим, что функция р вида (I), удовлетворяют условию (2) при 0 < £] ^ 1 ¿«пои,..,, и, { если хотя бы одно £5 > 1 , го условие (2) на выполняется).

Вводится обозначение

¡541, «»

- область определения оператора означает, что существует Ц^ € СТО.) такие, что 1Д-

в (Р

-*1Г в (прп этом полагает ^и.= 1Г).

■ Н ^ су—

Определение 1.2. Говорят, что оператор и слабее оператора сР относительно [1_р(р]^С2)(кратко Т~< веля для некоторого ( >0 для лэбыг О- С д любых

и с£3)д5(П)П[/.р1р]п,(0) такпх, что Пр Барри. с Ст,

где С3 не зависит от и.

Определение 1.3. Говорят, что оператор J поглащается

оператором относительно (/-р,р] ( кратко,

.если для .любых л. >0 существует такое число ^ > О , что для любых и, € П

таких,'что Пр^гарри С , . 161

где Сц не зависит от ц, .

В следующих теоремах приводятся достаточные условия на языке - мультипликаторов интеграла Фурье при которых

можно утвервдать, что <3~~<( или {Р относительно

Пологим

I

Теорема 1.3. Пусть 1 <: р § со . С $ И"> ? И , ' р - удовлат воряет условии (2). Пусть далее для некоторого ул. >,0 а некоторой функции е С°°(КП) такой, что Н^О?) -1- ПРИ дос~ та точно больших у а для любого У>-0 (1+ «=

€ выполняется условие

Тогда

г■

Теорема 1.4. Пусть ¿¿ргоо, 0 М « П. . £> - удовлет воряет условию (2), причем для функции р* выполняется неравенство (3) с $ <1 . Пусть далее для некоторого и * 0 выполняется условие

Тогда

Г -< .

Теорема 1.5. Пусть 4. <: р «г ©о , о г>1. ■ р - удовлетворяет условию (2), причем для функции р* неравенство (3) выполняется с 4 < I , п

1) для некоторой функция ^ е С'Л К") такой, что = 1

при достаточно больших у и для любого чЬо (I-«- ^

€ Мрр^да* некоторого выполняется условие

2) для некоторого ул^>о выполняется условие

Тогда, если а е[(Х р_ р] (£2) а а е [3 ^ р] ),

то аср^р]^).

Для применения теорем 1.3 -1.5 необходимо знать условие

принадлежности функции ул. пространству Мрр(^). Этому

вопросу посвящена глава II. Б пой рассматриваются функции р вида

£

где >0 . А^ т6 0 , (В качестве следств-

ия из приводимых Нике результатов вытекают необходимые утверждения для песовш: функций вида (I)).

Нам понадобятся слодувпшо вариант классов йевре. Определение 2.1. Пусть , ...,К), где • Го~

воряг уи. € СТ^(. еела ул. & л существует такое

С5 > 0 , что для любых сс £ !Мо

Определение 2.2. Пусть 1 « р «со . ТС-О^ .. ГД6 ^ > 0 . Будем говорить, что ун. е О , если

¡и. с С "{К*) -и существует такое С ¿>0 , что "для любых

ЙПУ* II Вводится еще следующее обозначение

О

3 ^^{^-^З^р®4)^^^ -

компактен

В лемме 2.10 доказывается, что 3 (Л^"1) -ЗуШ*)

Если V" ^ 1 , то функции из класса 0 у.(1Й.)являются ана-литическиш, поэтому классы ) при состоят

только из одной тождественно равной нулю функции. Если У>1, то классы С! Ш ) - нетривиальны.

Вводится Солее тонкая классификация типа классов Жевре.

Определение 2.3.Говорят, что у\ е СЗувЯ^) ,]>"'( {Цг" УН)Г<г . . , О • ^В] Т] > О , если уч с и сушес-

твует такое > 0 , что для любых ос е Не

- П^ Тьс С?Ь ос'

Определение 2.4. Пусть £ ^ р ^ оо . Будем говорить, что

У*- е ^Г/' если уМ- € и сущес-

твует такое С£> О , что для любых ос е N 0

Отметим, что

В лемме 2.11 приведены пример такой функцииул. С ^(¡О,

что ул. ё 5 (£*) на для каких / < V и при V - Г '

ни для каких Б < &> ук.•• = Р(а*г где £> г ).

Положим

5 ^В^Д 6 - компактен | ^

В лемме 2.12 доказывается, что * )

при 1 « , У^ > о , в>} " 0 , I, п .

Теорема 2.1. Пусть 4 .<; р ^ о© , функция р имеет вид (8}

прячем , А^ ф0 . ] = ••• ■> и. и все А^ имеют

один и тот же знак, ^ >0 , > ] «* 1, .. .

Ог.рС) с МР)Р«Г)

необходимо и достаточно, чтобы

0<Г1<±: ]--!,..., К.

'1

2) Для того, чтобы

необходимо и достаточно, чтобы для любого ^ = ±, , . ила

0< Г1<тг, *,■>.«> «« 0< <(№еГУ£г.

Замечание, Достаточность сформулированного утверздения справедливо в предположениях, что б с £.5^1 . . .,Уи .

Доказательство теоремы 2.1 основывается'на ряда приводимых нвяа лемм.

Лемма 2,13. Пусть $ р оо а для измеримой на функция р существуют такие С^ ,С(0>0 и для любых осе такие ао<>0 , что для любых ос е При 1 £ р

в

а при р = ос

г 5^р|ао<Х0С| € рСх) «СюЗаР^^Х84!

9 е^ у

1-1071 9

О)

(Ю)

причем последовательность чисел Ь^-~ Q^«:! удовлетворяет условию: для любых Ы. € IbC

б' Step < со . (И)

Тогда для любых ул, е С"50 (fR^) и любых S >1

1 ВР|К '

где

у, СО g

с« С(0 Ss .

к«1

Деша 2.14. Для функции р , определяемой равенством (8) для любых At >0 и £j>0 существуют такна С97с)0>0, что неравенстве (9) выполняется для

J J j

при 1 $р<Ов' и .■ '

J i'l -5

при р=оо (л£.е IN0j(nps - О имеется в виду, что

Теорема 2,2, Пусть 1_г? р ^ ос в функция р имеет вид (8), О i , А;** О . i = i , . . -» причем вое

имеют одинаковой знак. Тогда

1) если О < Yj < ~ , то '

З^УЙр^с 3t(Rn) , (15)

1

2) сели , j = , тс

Зх,Б«"'сМр>рГ)сОхЛ«к) . «6)

70

J-I07I

Здесь правые влояеняя в (15)и (16) понимаются следующим образом: о ч

если ул. е М р ), то существует эквивалентная ей функция уХ е -¿¿ДЦ^) ( соответственно у! е ,23 (К*) ).

Достаточные условия принадлежности функции ум, к пространству Мр(р(К")для весовых функции. , имеющих вид (I) формулируются с помощью следуюпшх вариантов классов Жевре.

Определение 2.5. Пусть 1 $ р ^ сс> . БУдам

говорить, что ,ч. € Зу.) , сели существует такоеС1г>0

У / Г ».и-м

что для любых оС - (сС^! , . - o<h) ^

«Г '

В данном случае ^уд. . Я^у*. , М-^-и"1".

я ОС — IX. ... ос у^

Определение 2.6. Пусть 1 г? р е со , ^ =

= гБудем говорить, что ух е З^Г^, волн •

существует такое >0 , что для любых

Если (п-И. , то р - ^ п определение введенных вариантов классов Жевре сводятся к тривиальному:

В теореме 2.1'аналогичной теореме"2.1 доказываются необходимые и достаточные условия, того чтобы М^рЮ

и ) с И При )т> = б теорема 2.1'совпадает

о теоремой 2.1.

В гл. III доказаны теоремы о сравнении силы дифференциальных операторов и теорем о бесконечной дафференцяруемостя решений дифференциальных уравнений.

Теорема 3.1. Пусть 1ёр^оо , О ки < и и функцияр имеет вид и

А] Г, '

где 0<^-г£-1 , о , ..7 и-, причем вое Д^ иыеот

одинаковой Знак. Пусть далее о 1 с1ч > о ) т. > о

* = где 0< Г; * ± . -М^Пу-,4 '

^ — ^

где В3 >0 если V- < ~ и 0 < е) £* , если

V; - 4- и О < г< £ 1.

Пусть кроме того для любых е Я :

« I

для любых оС~ 7 - . б справедливо неравенство Тогда

Теорема 3.2. Пусть 0еУт1<1а и функция р

имеет вид (I). Пусть , 5 > о , 'С-^хэ ,

где

где Е>| > О если ^ <■£: и 0< 6] <(№¡1^) «Сли ^ |г>

Пусть для лк$ых для любых!

справедливо неравенство

\г„ю йю^Шп ^ (20)

где ор-0 для сГр« 1. Для 1<р<оо , р + 2,

да р=1 я р>=оо. •

Тогда

Теорема 3.3, Пусть 1 г? р < оо , 0 г ^ € " и функция р

имеет вид (8) О с £..< ¡-Ми...,"' причем все Д.- имеют

одинаковый знак. Пусть $,-».0 ; О } С,ь>о; >0,

В^>0 . если а 0*< В]<(|А^е)~ч . . если

I" *

, ПРИ Р= • 1 ПРЯ 4-<р<оо . р^Л;

в при а р-оо.

Пусть кроме ТОГО, л,

I) для любых 1 е Ц^1 таких, что

и для лю<5ых оС • • • неравенство

• ^ (22) 2) для любых = + 1 Мв ^

где

Л

\ *— "

<<--(*> г--!*-,,«*) Тогда, «л, и е ^(О) ,

по гемд

I. Бурсихов В.И., ТуякОаев У.ill. О мультипликаторах интеграла Фурье в пространствах р о внизатропньм экспоненциальным весок р // XI7 Всесоюзная школа со теории операторов в функциональных пространствах. Тез. докл. - Новгород, - 1989.

- С.Зб.

'¿. Буренков £.11., Туякбаев И.О. Условия бесконечной дифференцируемо с ти ревени£ уравнений в частных производных, принадлежащих весосим - пространствам// Дзп. a BffflliTfi, ¡1 1933

- В90, -38с. - 7РЕМат.' - Ы.- 1990.

3. Туякбаев М.Ш. Об условно гипоэллиитических операторах в пространствах Lр}р с экспоненциальным весом р // ХХУ1 научная конференции факультета физико-математических и естественных наук 7М- -Тез.докл.-И.: УДИ. - 1990.'.- С.37.

ц. Буренков В.И., Туякбаев м.Ш. Критерии условной гилоэл-липтичносги в пространствах с быстро гбывашцим весом// ХУ Всесоюзная школа по теории операторов в функциоенальннх пространствах. Tea.докл. часть I. - Ульяновск. - 1990. - С.48.

5. Буронков В.Й., Туякбаев М. И. О мультипликаторах интеграла Фурье в весогзх - пространствах с экспоненциальная весом р // Докл. АН ccci>. - 1991, - Т.ЗгО, И, - C.II-I4.