Теоремы продолжения для пространств функций, определяемых локальными приближениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.стр.2

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ . . стр.16

ГЛАВА I. ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛОКАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ.

§ I.I. Основные определения . стр.20

§ 1.2. Описание метода продолжения . стр.

§ 1.3. (к, р) - модуль непрерывности . стр.

§ 1.4. Геометрические свойства множеств с условием

Лихтенштейна . стр.51

§ 1.5. Локально-аппроксимационные свойства функций, заданных на множествах из класса Ач.С .стр.

§ 1.6. Анизотропные аналоги теорем продолжения.стр. 70

ГЛАВА П. ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ЛОКАЛЬНЫМИ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ.

§ 2.1. Пространства Морри и ВМО. стр.84

§ 2.2. Продолжение функций с оценкой убывания модуля непрерывности . . . стр.89

§ 2.3. Пространства Никольского-Бесова . . . стр.100

§ 2.4. Пространства Соболева . . . стр.107

§ 2.5. К - функционалы .стр.113

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ .стр.117

В работе рассматриваются задачи, связанные с продолжением функций многих переменных с сохранением дифференциально-разностных свойств. Вопросы такого характера постоянно возникают как при изучении пространств дифференцируемых функций, заданных в областях достаточно общего вида, так и при описании следов функций из таких пространств на подмножествах JR* • к

Впервые подобный результат для пространства U был в 1934 г. получен в классической работе Х.Уитни [63] . В последовавших за ней работах М.Хестенса, С.М.Никольского, А.Кальдерона, И.Стейна, О.В.Бесова, В.П.Ильина, В.И.Буренко-ва и ряда других авторов этот вопрос изучался для пространств функций обобщенной гладкости, заданных в областях с локаль-но-липшицевой границей, и для их анизотропных аналогов.

В настоящей работе предлагается подход к задаче продолжения, основанный на теории локально-полиномиальной аппроксимации (см. Ю.А.Брудный [12] ). Возникающая при этом ключевая проблема состоит в построении метода продолжения с сохранением локально-аппроксимационных свойств функций. Поскольку в терминах локальной аппроксимации описывается большое количество важных в анализе пространств (ВМО, пространство Морри, \д/р и ßpe в изотропном и анизотропном случае и ряд других (см. Е12Ц )), то решение упомянутой выше проблемы позволяет единым образом получить теоремы продолжения для этих пространств.

Достоинством предлагаемого подхода является также возможность доказательства теорем подобного типа в существенно более широких классах областей и в более широком диапазоне изменения параметров, определяющих пространства (так, теоремы продолжения для пространства В {,© доказаны при О » э це при1^р,04оо , как в предшествующих работах).

Другой важной областью применения предложенного метода продолжения является описание пространств следов на широком классе замкнутых подмножеств [Rn (т.н. регулярных множеств). В случае равномерной метрики метод продолжения может быть развит таким образом, что становится возможным описание пространства следов функций из класса Шгмунда на произвольное компактное подмножество IRa ; см. [42] - [44].

Перейдем к подробному обзору содержания диссертации.

В первой главе доказаны теоремы о продолжении функций с сохранением локально-аппроксимационных свойств. Для их формулировки используем следующие определения и обозначения.

Пусть функция L^(F) ,0<С|г4со , где F некоторое измеримое подмножество JR^" , и set (f) обозначает класс измеримых подмножеств JT .Локальным наилучшим приближением порядка к г— foc см. [12] , с.71) назовем отображение Е.^.'L<^(F) х х SetfF)-* R + * определяемое формулой

Здесь dfc обозначает пространство многочленов IX переменных степени 4 к .

Определим еще нормированное локальное приближение » полагая

ДМ» - .!*•>»

I о , 1А\ = о , где lAl-me.sA

Условимся, что все рассматриваемые в дальнейшем - мерные кубы имеют ребра, параллельные координатным осям. Для заданного куба Q. через ^c(Q) будем обозначать его центр, а через H.(Q) - "радиус", то есть половину длины ребра; запись означает, что = эс ( Q.) и X = . Кроме того, для числа О через ^Q, обозначается куб

Q. , .

Определе ние I (1.1.7)й^ Измеримое множество назовем регулярным, если существуют постоянные ">Х,9>0 такие, что для любого Q,-QWS/t)c "зсб F и *t4\ будет lanpi > е ia\

Числа , G назовем параметрами регулярности и обозначим ^pi и 0 g . Семейство регулярных множеств обозначаем через Если принадлежность ^ к Ь^СР)ясна из контекста, то для куба & вместо и &Г\ И будем писать Е^^СГ) и •

Теорема I (I.2.I). Если F ^ и , то существует оператор продолжения

Т : Ln W L„ UT), лиV т В скобках указан номер соответствующего утверждения в тексте диссертации. Номер Л/. Lj означает утверждение (теорему, определение, предложение и т.д.) j параграфа ь главы А/

Ьг tail еЙНЫЙ при fy У/ 1 , такой, что а), для любого куба QtrGlU^c хе F и "с^^Яр б). если куб Q=Q.(3e,x) таков, что cltS"t X, FH Ц F и Х^ у@ , то

Здесь Q^^ Ку(3 наименьшего объема, содержащий Q и имеющий центр в F ; через t, ^¿^ обозначен радиус Q* .

Постоянные ^ , ^Ч » Jf*. зависят лишь от К , к , (при ), и ВЕ

В случае, если \ £ L^W), где ^ открытое подмножество JRK , для получения теоремы продолжения с сохранением гладкости важно знать, как связаны "внешние" локально-аппроксимационные свойства функции \ , описываемые семейством

Q)£ ^ } и соответствующие "внутренние" свойства, описываемые семейством \ Е.^

CL С } . Как устанавливается ниже, класс множеств, на которых такая связь существует в виде неулучшаемой интегральной оценки, описывает

Определенней (I.4.I). Открытое множество удовлетворяет условию Лихтенштейна, если существуют постоянные - сЦ'Ч) такие, что:

I). для любого куба Q. с центром в "У и выполнено неравенство

В дальнейшем все положительные постоянные, зависящие лишь от несущественных параметров, будем обозначать у , %± , , . и т.д.

Alara (QЛ*(Q)

2). для любых x с Isc-^U S в существует непрерывная кривая Г , соединяющая 9С и ^ и такая, что для любой точки 2 е Г будет

I3C-ZI + c£cs-¿ >±/t mili (I3C-H1,

Здесь и ниже = та"зе |3C¿| , где •

Совокупность всех таких подмножеств R обозначим Ачх . По поводу близкого определения см. работу П.Джонса [ 54] , где имеется ссылка на более раннюю работу Л.Лихтенштейна [ 57] . Отметим также вложения, установленные в диссертации puy ^ Аъс Coa где Con обозначает класс подмножеств IR14 , удовлетворяющих сильному условию конуса (см.определение в [81 , с.117), Теорема 2 (1.5.7). Если \ € Ц^Ч^У) , где и ЗДАъс , то существует такая постоянная что для любого куба GL = Q(ac/0 с эе е У и имеет место неравенство

ЕьС^аЛ^и^ saf>í Z Ek(f;Q,)í'}'4

Здесь ¿^ пробегает укладкиж\ состоящие из кубов, лежащих в С помощью теорем I и 2 далее получена теорема о продол3

Укладкой называется семейство попарно непересекающихся множеств. жении функций с оценкой порядка убывания одной глобальной характеристики, построенной с помощью р -усреднения локальных приближений (т.н. (к,р ) - модуля непрерывности).

Определение 3 (1.3.2; [ 12] , с.79). ( к , \> )-модулем непрерывности называется функция• (JT)*|R (R » определяемая формулой

К>Р 1 * зг Q* где верхняя грань взята по всевозможным укладкам 5Г , состоящим из конгруэнтных кубов Q. , центры которых лежат в F и радиусы t(QK"t

При j>= 00 выражение в правой части (I) заменяется на sup Q) » гДе Q пробегает все кубы с центрами в f и радиусами t(Q)4"t .

Теорема 3 (1.3.3). Если F регулярно то существует оператор продолженияТ: линейный при **** и такой, что здесь и 1 некоторая фиксированная постоянная.

При р= с?<> первое слагаемое справа в (2) заменяется на

-t^ Sup /иЦ. Наконец, если Е ограничено,

-t^ait Ъ Lq-iF) то второе слагаемое справа в (2) можно опустить.

В том случае, если Е € А^с , неравенство (2) можно усилить.

Теорема 4 (I.5.I). Если Аъ с р<г °<> , ^ 00 , то существует линейный оператор продолжения

Т: Ц(КК) такой, что

Ч.Д|-Л)цсг) < А^Г 4¿.«"«Ю (3)

Если "У ограниченная область, то второе слагаемое справа можно опустить.

Замечание I. Пример 1.3.9, в котором указано регулярное множество Е"1 к [0,1] и функция £ ^С!?1) , для которой при любом продолжении неравенство (3) не имеет места, показывает, что результат теоремы 3, вообще говоря неулучшаем.

Изложенные выше результаты получены в параграфах 1-5 главы I. В §1.6 рассмотрены анизотропные аналоги этих утверждений. Для их формулировки зададимся вектором -£= с положительными компонентами и введем на В^11 метрику ^ по формуле г^ i: где т1 ~ ¿1 /(пааое , с = 1,2,.1г .Семейство шаров в этой метрике обозначим ЗС (£) ; каждый такой "шар" представляет собой параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям.

Заменим теперь в определении I семейство кубов на семейство ; полученные таким образом множестве назовем

I -регулярными. Совокупность ^ -регулярных множеств обозначим $£€}({) . Далее, в определении 2 заменим равномерную метрику на метрику $ I и полученный в результате такой замены класс множеств обозначим Ачх(^) . Аналогично изотропному случаю справедливы вложения

ДгесС) 5 Coa (С) где через Сои (Л) обозначен класс множеств, удовлетворяющих сильному условию t -рога (см. определение в [81 , с. ш)

117). Наконец, пространство заменим на пространство многочленов ¿PoL , имеющих степень не выше di по переменной ac¿ , ; здесьd-Coti, -- >oU) вектор с целочисленными неотрицательными компонентами.

Как показано в §1.6, имеют место анизотропные аналоги результатов теорем 1-4, получающиеся из соответствующих утверждений после "анизотропных" замен в формулировках (семейства кубов на ЗИП , равномерной метрики на , класса на и т.д.).

Перейдем к описанию второй главы диссертации, содержание которой составляют приложения изложенных выше результатов.

В §1 главы П получено описание следов функций из пространства ВМО на регулярное множество.

С£)

Определение 4 (2ДД). Пространство ВМО (F) состоит из функций ltcf) , для которых конечна полунорма где ¿fj-j =s —— и Sup взят по всем параллелепипедам П € ЭС (t) » имеющим центр в F .

В случае F= IR^ и ii^cons-i , ¿ = h, (т.е.3{({) совпадает с семейством кубов) приведенное определение дает классическое пространство ВМО, введенное Йоном-Ниренбергом в [513 .

Предложение I (2.1.2). Если и ограничено, то имеет место изоморфизм

ВМ0(О(П =ВМ0(О(Г)|

При этом существует линейный оператор продолженияТ: ВМО (Г)

- ВМ0(О(Г) .

В параграфе 2.2 (т.е. параграфе 2 главы П) получены теоремы о продолжении функций с оценкой порядка убывания модуля непрерывности продолженной функции через соответствующий модуль непрерывности исходной.

Определим, как обычно, к -й модуль непрерывности Функции \ в Ьь('У) I полагая где {эеь-У : [х, с:-у }

Теорема 5 (2.2.3). Если 6 Ачх и , то существует линейный оператор продолжения Т: Ьр('У)-> "^Ь^ВГ) такой, что при О < "Ь ^ "Ь о здесь ^ =р при р<°о и р*=1 при |э= 00 . Если "^У ограниченная область, то второе слагаемое справа отсутствует.

Заметим, что для ограниченной области , удовлетворяющей сильному условию конуса, О.В.Бесовым в [3] при1<р^°° и другим методом Ю.А.Брудным в [15] при р 4 оо доказано более сильное неравенство

Пример 2.2.9 работы показывает, что для более широкого класса Ate подобное неравенство не имеет места.

В §2.3 установлены теоремы о продолжении и теоремы об описании следов функций из пространства Никольского-Бесова. Пусть B^W) , и В&ИЯ ЛХ о<й<«> ,

О^р»®^00 обозначает соответственно изотропное и анизотропное пространства Никольского-Бесова, заданные на открытом множестве "У из ÎR*" (см., например, [351 , с.160).

Теорема б (2.3.2). Если^^Ачс , то существует оператор продолжения ТУЬ^ Вре^®4^ •

При |э> 1 оператор Т линеен.

Аналогичное утверждение установлено и для анизотропного пространства B^qW) в том случае, когда 'У£ Axe) (теорема 2.3.7). Отметим, что ранее эти результаты были известны для изотропного и анизотропного пространств Никольского-Бесова в ситуации °° и множества "У , удовлетворяющего соответственно сильному условию конуса или ^ -рога (см. C8J , с.297; подробный обзор результатов приведен в замечании 2.3.16). Кроме того для односвязной плоской области из класса Axt и пространства утверждение теоремы 6 вытекает из результата работы В.М.Гольдштейна [26] . Таким образом, теорема 6 и теорема 2.3.7 обобщает эти результаты на случай, когда параметры, определяющие пространства, пробегают все допустимые значения и "У принадлежит более широкому классу множеств Axe. ( t)

Следующий результат работы относится к описанию пространства следов функций из Врв на регулярные подмножества • Для формулировки соответствующей теоремы приведем Определение 5 (2.3.10). Пространство А^СП. 0<р »04 00 » 0<Х<к , где Р измеримое подмножество состоит из функций 4 € [-^(Г) , для которых конечна (квази) норма о u

Если 0=°° , то первое слагаемое справа заменяем на а кх

Пространство A^q(F*) является частным случаем аппроксимационно-липшицевых пространств, введенных Ю.А.Брудным в [15] .

Теорема 7 (2.3.12). Если

Fc (R и регулярно, О <Ч< k , O^f) »64 00 » то имеет место изоморфизм

Е,;Ж) =Аре(Г)

При этом в случае р>. 1 существует линейный оператор про-доляения Т: Аре (F) Врв (IR*) •

Ранее результат теоремы 7 при X нецелом и i^fx oo , liQ^oo или оо установлен Ю.А.Брудным в работах [47] и[15] .

Отметим еще, что утверждение, подобное теореме 7, получено также для анизотропного пространства D ^е (теорема 2.3.15).

В §2.4 рассмотрена задача о продолжении функций из пространства Соболева с сохранением класса. Пусть '(¡^('£¿.,•--»0 вектор с натуральными компонентами, (э^00 открыто; через \д/р ) обозначим анизотропное пространство Соболева, состоящее из функций {с Ь^(^)» У которых обобщенные соболевские производные У Ъ^1 4 • ¿ = ±,1,. п) Э 5 лежат в . Нормируем (-У) , полагая фу**,=«к™+ 5

П. ц о

Э з^

Теорема 8 (2.4.2). Если , то при р^оо существует линейный оператор продолжения

Т: \л/р^)-> и^СйГ).

Вопрос о продолжении функций из соболевских пространств с сохранением класса изучался многоми авторами (подробный обзор см. в замечании 2.4.9). Отметим здесь, что для множества , удовлетворяющего сильному условию £ -рога, результат теоремы 8 при 1<р£оо и произвольном {, установлен в работах 0.В.Бесова [5] и В.П.Ильина [31] (см. также [7] ). Случай {1={г=.= ♦ ^ ^ ¡э 4 00 и "У удовлетворяет сильному условию конуса получен в работе В.М.Буренкова [20] ; наконец, для класса множеств, близкого к Сои(£) , результат о продолжении установлен В.И.Буренковьш и Б.Л.Фай-ном в [22] . Так как классА\С(£) существенно шире класса множеств, удовлетворяющих сильному условию ^ -рога,то теорема 8 усиливает теоремы указанных работ.

Замечание 2. Результат теоремы 8 получен независимо и другим методом Б.Л.Файном, работа которого находится в печати (личное сообщение).

В следующем § 2,5 работы изучена взаимосвязь между (к , р ) - модулем непрерывности функции и ее К -Функi ционалом по паре ( й » )•

I/ •

Пусть р^оо , обозначает "однородное" пространство Соболева, определяемое с помощью полунормы ийьы*) = г, II

Ьр(-У) где сумма взята по всем векторам ^ = (^ >--->в/3|г) с натуральными компонентами таким, что X к • Построим К - функционал Питре функции | € по лареХ^НЬИ)»

Предложение 2 (2.5.1). Если ^ ограниченная область то '

КиМ-ДОИ « (4)

Для ограниченных областей, удовлетворяющих сильному условию конуса (такие множества содержатся в А^с ), утверждение предложения 2 можно усилить. Именно, результаты работ Ю.А.Брудного [131 и Х.Йонена и К.Шерера [52] (эта работа выполнена независимо, но несколько позже [131 ) показывают, что в этом случае

Кик;{;Х(Л>*) « ЦД^ (5)

Запись Qfi означает, что для некоторых постоянных

Jfi , Jfi > О будет ^ <g± /уг 4. .

Возникает вопрос: не имеет ли место и для класса Ач,С соотношение (5), а не более слабая эквивалентность (4)? Ответ на этот вопрос отрицательный: пример ограниченной области АчХ и функции Лй. ЬсЛУ) » построенный в 2.2.9, г показывает, что соотношение (5), вообще говоря, не справедливо.

Несколько слов об организации материала диссертации. Она состоит из двух глав. Все утверждения нумеруются, как уже отмечалось, с помощью трех чисел. Так теорема (предложение, определение и т.д.) Л/, есть теорема 3 из параграфа О главы Д/ . В то же время ссылка вида "см. ( а. С )" ( в скобках!) указывает на формулу ( С ) из параграфа <х.Ь . Та же ссылка внутри §а.'Ь выглядит так см. ( О )".

Для удобства доказательства некоторые вспомогательные результаты вынесены в конец диссертации. В начале диссертации приводится список основных обозначений.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в статьях [39] - [45] .

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ю.А.Брудному за постановку задач и постоянную помощь в работе.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

К "К ~ мерное "арифметическое" пространство.

- семейство кубов К , имеющих ребра, параллельные координатным осям.

- куб из Л, , имеющий центр в эс и длину ребра Ц6НТр Куба .

- радиус куба Ы. , т.е. половина длины ребра. |ЭС|= • где Х= ( ' а 0= 0. , где 0 = й(*,х)

- укладка, т.е. семейство попарно непересекающихся множеств.

Я) - С определяется с помощью Й) . ¿/ ^ - пространство многочленов IV переменных степени ^ ; см. 1.1.3. о(, аСи обе о1и , . » х = Х4'. I/. хД , зс=(Ж1,.х,ч

I А! , где ДС (И,г и измеримо - - мерная мера Лег> а I/ бе га множества А . И; АН« = !|1 о(х) А

Ипсм = гпаэе ||(зе)| эсе А k-k^íjMty ~ локальное наилучшее приближение порядка к функции ^ на множестве А ; см. I.I.5. н°РмиР°ванное л°кальное приближение; см. I.I.5.

Ek(i,G), £k<f,Q) , где И 3C(QHF сокращенная запись 'jQflf1)^ и

- семейство регулярных подмножеств [R ; см. I.I.6. O(i) - положительные постоянные, зависящие только от несущественных параметров. С^ 3) - выполнены неравенства fa 4 С/5) 4 • w(f) ~ семейство кубов Уитни для множества JRKt\P ; см. 1.2.4.

А - (l. . . . /JL i ,

Ээс±/ UoeJ '

1К, j ~ семейства кубов первого и второго рода; см. 1.2.9. k ~ (k»f>) ~ М°ДУЛЬ непрерывности функций \ в Lc^(F) ; см. 1.3.2.

А^е - класс множеств, удовлетворяющих условию Лихтенштейна; см. I.4.I.

Соа - открытые подмножества ¡R*' , удовлетворяющие сильному условию конуса; см. 1.4.2.

- семейство кубов Уитни

Wi-У) см. 1.4.5.

Wca-t (*д) - семейство кубов Уитни ; см. 1.4.5.

З'У - граница множества .

С$ъ ( Qа, Q2) ~ цепь кУбов Уитни, соединяющая куб Q* , с кубом 0.г ; см. 1.4.9. ~ анизотропная метрика в ; см. 1.6.1. ЖШ - семейство шаров (параллелепипедов) в метрике .

П(эс,*) - { у* К* : $ ъ) ос(П) - центр параллелепипеда Г1 . ( П) *" радиус параллелепипеда П • уП- п (* , где П= П (*Л) . где ~ пространство многочленов, имеющих степень с по переменной .

М ~ локальное приближение порядка Л функции \ на множестве А ; здесь оС~ (,. ; см. 1.6.5. 1А1 ; А)^ - нормированное локальное приближение порядка Л ; см. 1.6.5.

- класс 1 - регулярных подмножеств ц\ ; см.1.6.У, Ач-е(С) - класс открытых подмножеств О?1'1', удовлетворяющих анизотропному условию Лихтенштейна; см. 1.6.19.

- класс множеств, удовлетворяющих сильному условию ^ I - рога.

ВМО (Р) ~ анизотропный аналог пространства Мона-Ниренберга; см. 2.1.1.

М* (Г)

- анизотропный аналог пространства Морри; см. 2. X. 5.

- к - я разность шага ; здесь непрерывности порядка к функции

4 в ЦС^) ; см. 2.2.1. В^И)- изотропное пространство Никольского-Бесова; см. I 2-ЗЛ* 9 - анизотропное пространство Никольского

Бесова; см. 2.3.6. - анизотропное пространство Соболева; см. 2.4.1.

IV» -- — —о— см. 2.4.4.

К К; {ДО)- К

- функционал Питре пары пространств

1. Бабич В.М. К вопросу о распространении функций. -УМН, 1953, т.8, вып.2, (54), с.Ш-ПЗ.

2. Бесов О.В. О продолжении функций с сохранением свойств интегрального модуля гладкости второго порядка. Мат.сборник, 1962, т.58, с.673-684.

3. Бесов О.В. Продолжение функций за пределы области с сохранением дифференциально-разностных свойств в Ьр . -Мат. сборник, 1965, т. 66, (168), вып.З, с.80-96.

4. Бесов О.В. Продолжение некоторых классов дифференцируемых функций за пределы области. Тр.МИАН СССР, 1965, т.127, с. 35-44.

5. Бесов О.В. Продолжение функций из Ьр и Тр.МИАН СССР, 1967, т.89, с. 5-17.

6. Бесов О.В. К распространению функций за пределы области с сохранением модуля гладкости в Ьр .-В кн.:0{ ГаксС^ОНБ. ВиДа-^е^ , 1969, 61-67.

7. Бесов О.В., Ильин В.П. Естественное расширение класса областей в теоремах вложения. Мат.сборник, 1968, т.75 (117), вып. 4, с. 483-495.

8. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. - 480 с.

9. Брудный Ю.А. Критерии существования производных вМат. сборник, 1967, т.73 (115), N3, вып.З, с.42

10. Брудный Ю.А. Приближение функций ^ переменных квазимногочленами. Изв. АН СССР, сер. матем., 1970, т.34, №3, с.565-584.

11. Брудный Ю.А. Многомерный аналог одной теоремы Уитни, Мат. сборник, 1970, т.82, №2, с. I69-I9I.

12. Брудный Ю.А. Пространства, определяемые с помощью локальных приближений. Тр. ММО, 1971, т.24, с.69-132.

13. Брудный Ю.А. Теорема продолжения для одного семейства функциональных пространств. В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций: У1. Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР. Л., 1976, т.56, с. 170-173.

14. Брудный Ю.А. Об одном неравенстве для функций переменных. В кн.: Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль, 1976, с.14-21.

15. Брудный Ю.А. Исследования по теории локальных приближений. Дис. д-ра физ.-мат. наук. - Ярославль, 1977.295 л.

16. Брудный Ю.А., Ганзбург М.И. Об одной экстремальной задаче для многочленов ГЪ переменных, Изв. АН СССР, сер. матем., 1973, т.37, №2, с.344-355.

17. Брудный Ю.А., Котляр Б.Д. Одна задача комбинаторной геометрии. Сиб. матем.ж., 1970, т.II, №5, C.II9I-II93.

18. Брудный Ю.А., Шалашов В.К. Липшицевы пространства функций. В кн.: Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев, 1973, вып. 1У, с.3-60.

19. Брудный Ю.А., Шварцман П.А. Описание следа функциииз обобщенного пространства Липшица на произвольный компакт.-В кн.: Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль, 1982, с. 16-24.

20. Буренков В.И. Об одном способе продолжения дифференцируемых функций. Тр. МИАН СССР, 1976, т.140, с.27-67.

21. Буренков В.И. О разбиениях единицы. Тр. МИАН СССР, 1979, т.150, с.24-30.

22. Буренков В.И., ФаЙн Б.Л. О продолжении функций из анизотропных пространств с сохранением класса. Тр. МИАН СССР, 1979, т.150, с.52-66.

23. Водопьянов С.К.; Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными.- УМН, 1979, т.34, вып.1, (205), с.17-65.

24. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М., Латфуллин Т.Г. Критерий продолжения функций класса 1-4 из неограниченных плоских областей. Сиб.матем. ж., 1979, т.20, №2,с. 416-419.

25. Гольдштейн В.М. Продолжение функций классов В ре через квазиконформную границу.- В кн.: Теория кубатурных формул и приложение функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск, 1979, с.

26. Гольдштейн В.М. Критерий продолжения функций одного из классов Бесова для плоских областей. ДАН СССР, 1979, т. 247, №1, с.18-21.

27. Гольдштейн В.М. Теоремы вложения, продолжения и емкость. Новосибирск; гос. ун-т, 1982.- 84 с.

28. Дусман М. Дифференцирование интегралов в IR^ M.s Мир, 1978. 200 с.

29. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.- 512с.

30. Дзядык В.К., Шевчук И.А. Продолжение функций, являющихся на произвольном множестве прямой следами функций с заданным вторым модулем непрерыаности. Изв. АН СССР, сер. матем., 1983, т.47, №2, с.248-267.

31. Ильин В.П. Интегральные представления дифференцируемых функций и их применения в вопросах продолжения функций классов \л/р С^) . Сиб. матем. ж., 1967, т.7,с.573-586.

32. Иродова И.П. Многомерная сплайн-аппроксимация в пространствах Ьр ,0<р4 Дис. канд.физ-мат. наук.- Лениград, 1982.- 173 с.

33. Никольский С.М. К вопросу о решении полигармонического уравнения вариационным методом.- ДАН СССР, 1953, т.88, №3, с.409-411.

34. Никольский С.М. Опродолжении функций многих переменных с сохранением дифференциальных свойств. Мат. сборник, 1956, т.40 (82), с.244-268.

35. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 456 с.

36. Солнцев Ю.К. Об оценке смешанной производной вТр. МИАН СССР, 1961, т.64, с. 211-238.

37. Стен И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 342 с.

38. Стороженко Э.А., Освальд П. Теоремы Джексона в пространствах Ьр , 0<|з<1 . -Сиб. матем.ж., 1978, т.9, №4, с.888-901.

39. Шварцман П.А. Теорема продолжения для одного класса пространств, определяемых локальными приближениями.- В кн.: Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль, 1978, №2, с.215-142.

40. Шварцман П.А. Продллжение функций с сохранением порядка убывания (к,р) модуля непрерывности. - В кн.: Исследования по теории функций многих вещественных переменных, Ярославль, 1980, с, 149-160.

41. Шварцман П.А. Теоремы продолжения с сохранением локально-аппроксимационных свойств функций в неизотропном случае. В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. XI. Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР. Л., 1981, т.ИЗ, с.247-252.

42. Шварцман П.А. О следах функций двух переменных, удовлетворяющих условию г&гмунда. В кн.: Исследования по теории функций многих вещественных переменных,Ярославль, 1982, с. 145-168.

43. Шварцман П.А. Локальные приближения функций и теоремы продолжения.- Ярославль, 1983.- 30 с. Рукопись представлена Ярославским ун-том. Деп. в ВИНИТИ 18 апреля 1983,Ш 2025 83 Деп.

44. Шварцман П.А. Липшицевы сечения многозначных отображений и следы функций из класса Зигмунда на произвольном компакте. В кн.: Международная конференция по теории приближения функций. Тезисы докладов. Киев, 1983, с.190.

45. Best-covi-tcfc. A.S. А ymxai. <fcrtm. of ±k сomluy |)4tnecp£e cuacf tzlou-tivt c£¿||eWttctftton of additive lai^ciioít — Ptoc. GmibttcícjL PftLÍoc. Soc .,

46. B'tucíky, Ycu A. Pcecewcct (эсуС^илмсас аф-p4xwfciw.a-ti.0fi , zrnéedclíhCf> tfmoxiM Uhcí Xct-tíoml аррф-^UncutiOn.r~Xsicfc. Motes La Haií. S^cKc^ix , 1976 ? А/ 556 .

47. ZóMxkok A.P Leôescjut sjoaas ofiiciíü <fu,net¿ous orcí ofíst^t-éa-tio^s in.'. Paxí¿a£d¿{f. E^u.cd:LOh,s, PxovccieHet, R.T>, Am**-. M edit. Sot. J969, р.ЗУМ.

48. Е- Ингуш, Voviyixüt kötjD-Ob mitпг*Д.п, $eAaft^iсЛшг. Pu.vi&bzn. r~ J. Be^teiu.McctL. l/оили, , d923 , V.32, ±7S-±?e.

49. Hesters M. R. &oe/teK,$cOh, of -tfix "tctuc^t of

50. P.W. Süttm^iOH. -tluOXAms ВМО.-" indicLKa, UrUv. MatÄ,. v.29, -Д/-1 , ji. И-66.

51. Jora-S P.W. QuaslaoKlo-cmcU mappings ancí ex-bt^douiilCbty of funetíoas ¿ft Soßofev SpaeLC.—TJntv. of CÍlccol^o , 1930 5 p. i-Ц^.

52. JoíxSSOk A . Sha -¿час£. of ifix cíass A^dR^to e£oseci sets aac£ pcCyucrnittis. -Dept. Mtttk.lU¿v of Ümxa , p- Mi

53. JoítssOfc A^VIodlin. H. iczaí potynjowicd af>¡nox¿-vnctUoh, aacl ¿tpseíte-t^ -type eondUloyc o*t срплхсЛ cío&dsc-ts.-Dtpt.Mailt .Un¿v/.ofUmm(Pui?l) > 49S0, A/l, )>.l-<i2.

54. LLC&LK. siech. L. (bina, díi¿rüin.-taXJL ßenua/ikuacj, аьшг AbccdtysCs MaÀk. Z.1919 , v. 30.

55. Mcotckuxoi k . Suic hs JUxiMVls an cUff exinm dvi |ovtctcoKS dt vaxtoiit mKesr- J.rncdk. puwis fct a/j/at., i927,V.6, 33?-^.

56. Me. SitaK* E.j. of Ktncfi ofUovtsr Bull. Amwi. M cut ft. Soe., , v.M, p. 8 3?- fltf.

57. Mo^ti^/ C.B. tfancrftons of several vaxicdksan<£ ccEsoCaie ccn-bLnuL-bifr ~ Dake hiculrk. J.,-iOkO , V.6 , p. iS7-215.

58. Pattc j. Tftoa<^</U ok, Besov Spaceg —Ucturtt A/otes . iuRcf., dl966.62. 3rai-tlt K.T. Uwpaiilies |otpositive cn-tegfcocUf|oxtn-i lai P*oe . /1 mm,.Matt. Soe. , -1961, v. 67, |>. hBS-110.

59. Wkl-thftjy/ H. A^ai^-tie extensions c£c|exin-tic<i{iL ^n-^0^ > clfbfiwcl in. elo$td sths -TxakS- AmJW. Matk. Sod,., ¿93^1, v. 36, (5. €3-39.

60. Wkilnjuj/ H. DL^fixsLK-tLcdbtz, ^LLHXftions, Lvi dostd sfcts — T*taRS . AynXK . Mcctli,. See.,v. 36" , |d. 369-33?.