Теоретико-групповой подход к конформной механике с расширенной суперсимметрией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Половников Кирилл Викторович

ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ ПОДХОД К КОНФОРМНОЙ МЕХАНИКЕ С РАСШИРЕННОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□3487722

Томск - 2009

003487722

Работа выполнена, на кафедре Высшей математики и математической физики Томского политехнического университета

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Томского политехнического университета Галажинский Антон Владимирович

Научный консультант: профессор Ганноверского университета

Лехтенфельд Олаф

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Томского государственного педагогического университета Бухбиндер Иосиф Львович

кандидат физ.-мат. паук, старший научный сотрудник Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН Плетнев Николай Гаврилович

Ведущая организация: Объединенный институт ядерных исследований, Лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова

Защита состоится "24" декабря 2009 г. в 16.30 час. на заседании диссертационного совета Д 212.267.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан "___" ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук профессор

^fa&o ив Иво1ШИ

Актуальность темы

Поиск единой, всеобъемлющей и непротиворечивой теории всех фундаментальных взаимодействий, объединение их на основе единого общего принципа занимает одно из центральных мест в современной теоретической физике. Но-ные возможности на этом пути появились после открытия суперсимметрии. На основе общих соображений было показано, что симметрии специальной теории относительности, формулирующиеся в терминах группы Пуанкаре, естественным образом расширяются до суперсимметрии.

Было установлено, что суперсимметричиые теории поля обладают более мягким ультрафиолетовым поведением. В ряде случаев расходимости от бо-зонных полей в эффективном действии полностью сокращаются с расходящимися вкладами от фермионных полей. Следующим шагом в развитии суперсимметрии стала теория супергравитации.

В настоящее время распространена точка зрения, что суперсимметричные теории являются низкоэнергетическими приближениями более фундаментальной теории - теории суперструн, которая рассматривается как наиболее вероятный кандидат на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий. Современная теория суперструн содержит в себе большинство важнейших фундаментальных принципов и идей квантовой теории поля: квантовую гравитацию, калибровочную инвариантность, многомерность пространства-времени, отсутствие аномалий.

В современной теоретической и математической физике пристальное внимание уделяется исследованию суперсимметричных расширений точно решаемых и интегрируемых систем, имеющих широкое применение, в том числе и в теории суперструн. Наиболее важным примером таких систем являются модели типа Калоджеро. Это обусловлено тем, что данные модели обладают конформной инвариантностью. Интерес к конформно инвариантным теориям обусловлен изучением различных аспектов АДС/КТП дуальности. Кроме того, такие модели имеют отношение к физике черных дыр. В этой связи стоит отметить предположение о том, что поскольку область пространства-

времени вблизи горизонта событий ряда экстремальных черных дыр имеет конформную группу изометрий во(1,2), то изучение конформной механики может дать некоторую информацию о квантовых свойствах черных дыр. В частности, в литературе активно обсуждается гипотеза Гиббонса и Таунсен-да, согласно которой Л/"=4 суперконформное расширение одномерной модели Калоджеро в пределе большого числа частиц может дать микроскопическое описание экстремальной черной дыры Райсснера-Нордстрема вблизи горизонта событий.

Таким образом, построение Л/*=4 суперконформного расширения модели Калоджеро и других одномерных конформных квантово-механических моделей является актуальной задачей, имеющей приложения в различных областях теоретической физики.

Цель работы

Целью работы является разработка систематического метода построения Л/"=4 суперконформных расширений одномерных конформных кваитово-меха-нических систем; их классификация на основе теоретико-группового подхода; исследование геометрической структуры, лежащей в основе ЛГ=4 суперкон-формпой механики общего вида.

Научная новизна

Впервые предложен метод построения ЛГ=4 суперконформных кваптово-мехапических систем, основанный на нелокальной реализации супералгебры а«(1,1|2). Построены новые ЛГ=4 суперконформные модели многих частиц, ассоциированные с корневыми системами простых алгебр Ли. Впервые построено суперконформное расширение трехчастичной модели Калоджеро. Найдены новые решения уравнения Виттена-Дайкграафа-Верлипде-Верлинде. Разработан новый суперполевой подход к построению ЛЛ=4 суперконформных систем многих частиц в одном измерении.

Научная и практическая ценность работы

Результаты диссертации представляют интерес в контексте развития теории интегрируемых систем и суперсимметричной квантовой механики. На примере трехчастичной модели Калоджеро показана эффективность предложенного метода построения М = 4 суперконформных расширений одномерных кваптово-механических систем.

Поскольку с каждой Я = 4 суперконформной системой ассоциировано некоторое решение уравнения Виттена-Дайкграафа-Верлинде-Верлинде, то обнаруживаются геометрическая и алгебраическая структуры, лежащие в основе N = 4 суперконформной механики. Это дает возможность более систематического изучения данных систем, а также предлагает естественный метод построения новых моделей, ассоциированных с системами корневых векторов простых алгебр Ли и их обобщениями.

Следующее важное приложение полученных результатов имеет место в контексте общей теории <1 = 1, Л/* = 4 суперсимметрии. Одномерные супер-мультиплеты достаточно хороню изучены, проведена их полная классификация. Однако не существует универсального метода описания взаимодействия между ними. Одномерные суперкоиформпые системы предлагают новые возможности для изучения общей структуры взаимодействия й = 1, М = 4 суиермультиплетов.

Суперконформные механики можно также рассматривать как одномерные конформные теории ноля. Поэтому результаты данной диссертационной работы актуальны также в контексте изучения АДС/КТП-соответствия. Представляет интерес построение новых одномерных конформных механик и построение дуальных им теорий в двумерном пространстве анти де Ситтера.

Кроме того, следует отметить возможное приложение полученных результатов в физике черных дыр. В частности, ожидается, что ЛГ = 4 суперконформное расширение одномерной модели Калоджеро в пределе большого числа частиц может дать микроскопическое описание экстремальной черной дыры Райсепсра-Нордстрема вблизи горизонта событий.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложен новый метод построения N = 4 суперконформных квантово-механических систем, основанный на нелокальной реализации супералгебры ви(1,1|2).

2. Построен новый класс одномерных М = 4 суиерконформных квантово-механических моделей многих частиц, ассоциированных с корневыми системами простых алгебр Ли.

3. Найден новый класс решений уравнения Виттена-Дайкграафа-Верлинде-Верлинде, ассоциированных с приводимыми системами корневых векторов и включающих радиальные слагаемые.

4. Построено N = 4 суперконформное расширение трехчастичной модели Калоджеро.

5. Построена универсальная суперполевая формулировка для ЛГ=4 суперконформной механики многих частиц в одномерном пространстве.

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

• III Международная конференция студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук", 2006 г., Томск;

• IV Международная конференция студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук", 2007 г., Томск;

• XVIII Международная летняя школа-семинар "Recent problems in Physics'^ 2006 г., Казань;

• XIX Международная летняя школа-ссминар "Recent problems in Physics", 2007 г., Казань;

• VII Международная конференция "Supersymmetries and Quantum Symmetries (SQS'07)", 2007 г., Дубна;

• VIII Международная конференция "Supersymmetries and Quantum Symmetries (SQS'09)", 2009 г., Дубна;

• XVIII Международная конференция "Integrable Systems and Quantum symmetries (ISQS-18)", 2009 г., Прага, Чехия;

а также на научных семинарах кафедры Высшей математики и математической физики Томского политехнического университета, кафедр Теоретический физики и Квантовой теории поля Томского государственного университета.

По теме диссертации опубликовано 5 статей в отечественной и зарубежной печати.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 125 библиографических ссылок. Общий объем диссертации составляет 107 страниц. Работа содержит 2 рисунка и 3 таблицы.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проведен краткий обзор литературы и установлена связь результатов, представленных в диссертации, с результатами, полученными ранее другими авторами. Дано

описание структуры диссертационной работы и сформулированы основные задачи, решаемые в ней.

В первой главе диссертации рассматривается одномерная квантово-механическая система п+1 тождественных частиц, обладающая конформной инвариантностью. Данная система описывается гамильтонианом вида

Н = Но + Ув(х\...,хп+1) = + Ув(х\...,хп+1) , (1)

а также операторами О и К - генераторами дилатацай и конформных бустов, соответственно. Их реализация на фазовом пространстве рассматриваемой системы имеет вид

О = -\(х'р1+р1х1) и К = ^х'х1 . (2)

Здесь / = 1,..., п + 1, гю повторяющимся индескам подразумевается суммирование. Бозонный потенциал ограничен условием конформности

(х'дг + 2) Ув = 0 , (3)

следующим из соотношений конформной алгебры йо(1,2)

[И, Н) = -ШЯ, [Я, К] = 2ШВ, [О, К] = гНК . (4)

Исследуется поведение данных операторов при действии автоморфизма конформной алгебры, имеющего следующий вид

Т - Т = Т , (5)

где

А = аН + -К-2В, В = -аН0 — — К + 2Б , (6)

а а

а параметр а имеет размерность длины. Показывается, что при таком преобразовании конформный гамильтониан переходит в гамильтониан системы свободных частиц, генератор дилатаций не изменяется, а генератор специальных конформных преобразований получает нелокальную добавку, явным

образом зависящую от конформного потенциала исходного гамильтониана Я = Я0,

В (<Г*А(Г*В) = Д (7)

(е*де*А) К V*®) = К + а2е*в Ув

Установлено, что данное преобразование не зависит от параметра а, т. е. производная от оператора е.ъвеМ по переменной с равна нулю.

Показывается, что данное преобразование также применимо к конформной механике общего вида во внешнем гармоническом потенциале. Гамиль-танпан такой системы под действием аналогичного автоморфизма отображается в гамильтониан системы невзаимодействующих осцилляторов.

Таким образом, появляется возможность установить структуру энергетического спектра многочастичной конформной квантовой механики общего вида в гармонической ловушке, который в данном случае совпадает (с точностью до сдвига на постоянную величину) с энергетическим спектром системы невзаимодействующих осцилляторов.

Во второй главе диссертации на основе найденного отображения, развивается метод построения N = 4 сунерконформных расширений одномерных квантовых систем многих частиц. Для этого вводятся операторы ф^ и -ф1а (а = 1,2), описывающие фермионные степени свободы, и конформная алгебра зо(1, 2) расширяется до суперконформной алгебры ви(1,1|2). Из требования замыкания суперконформной алгебры определяется структура гамильтониана N = 4 сунерконформной механики

Я = + £\Уцк\Уик ~ ии[х)(ф№а) + \\Уикь{х)Ш^К0Щ{) ,

(8)

где

\Vijk = , и„ = Э^и. (9)

Для построения А/" = 4 суперконформного расширения конформной механики общего вида необходимо задать два препотенциала: II и К, которые находятся из следующей системы структурных дифференциальных уравнений в

частных производных

(д1дкдрР){д.,д1дрЕ) = {дздкдрРШдьдрР), х'д^Аг = -5,к ,(ю)

д,сьи - {д,д.,дкР) дки = О , х'д,и = -С . (11)

Первое уравнение в (10) нелинейно и является обобщением уравнения Виттена-Дайкграафа-Верлинде-Верлинде, известного из топологической теории поля и теории Зайберга-Виттена. Данное уравнение также лежит в основе математического описания многообразий Фробениуса. Все известные решения данного уравнения строятся на основе корневых систем простых алгебр Ли (или некоторых их обобщений - так называемых У-систем). Таким образом, устанавливается геометрическая структура, лежащая в основе N = 4 суперконформной механики, и ее связь с простыми алгебрами Ли.

В частности, найдены решения структурных уравнений, ассоциированные с двумерными неприводимыми корневыми системами алгебр Ли Аг, В2 и Со.

г=1 1=2 г=3

Рис. 1: Корневые системы алгебр Ли А2, В2 и С?2

Также получен новый однопараметрнческий класс решений уравнения Вит-тена-Дайкграфа-Верлинде-Верлинде вида

р = £ м21п 1<н - Е м21п м >

для систем корневых векторов различной длины Вп, Сп и где Ф+ - набор положительных корней, а параметры Д и /5 имеют вид

Л = + = 1 + {Н-^У , (13)

}з = ¿7 + = + , (14)

ю

н t = — е К. Здесь 1г и № - коксетеровское и дуальное коксеторовское числа, соответственно.

Кроме того, в данной главе строится новый класс решений уравнения Виттена-Дайкграафа-Верлннде-Верлинде, содержащих радиальное слагаемое вида Я21пД2, где Я - радиус-вектор в конфигурационном пространстве системы

^ = М2 1п|а-1| - ±/дД2 1п В2 . (15)

л

Здесь набор векторов {а} образует неприводимую У-систему (т. е. не может быть разложен на взаимно ортогональные подсистемы). Дашюе решение затем обобщается па случай приводимой системы векторов.

Далее находится решение структурных уравнений, определяющих ЛГ=4 еуперконформное расширение трехчастичной модели Калоджеро. Установлено, что соответствующие ирепотенцналы имеют следующий вид

и{х\х2, х3) = ,

Р(х\х2,х3) = -¿(яЧяЧж^Ы^ЧяЧа:3! -

г<]

+ ¿X! (^+х^-2хк)21п \ х'+х^—2хк\ . (16)

■<У

Кроме этого, во второй главе получено общее решение структурных уравнений для произвольной системы трех тождественных частиц.

В третьей главе диссертации развивается суиерполевой подход к построению N — 4 суперконформных расширений одномерных многочастичных систем. Рассматривается суперполевое действие вне массовой оболочки

5 = <И<12в<1г0С(иА) , где А = 1,...,п. (17)

Здесь С(иА) - сунерпотенциал, который является произвольной функцией набора суперполей иА, ограниченных связями

[Оа, ~5п]чА = 0 , В2иА = гтА и ~ТРиА = -1тА . (18)

Налагая условие суперконформной симметрии и требуя, чтобы бозопный кинетический член был плоским, получены следующие дифференциальные уравнения на суперпотенциал

гИСд-С = алиА ,

СавхС?ху(?усв - СлсхС^Сгво = О I (19)

где ал - произвольный набор констант и Сху вуг = Общий метод решения уравнений (19) неизвестен. Однако эта трудность разрешается переходом в инерциальную систему координат путем замены переменных ил = иА(у) с Якобианом

«1 = ЭуГ(у) ■ (20)

Показывается, что в инерциальных координатах из условия суперконформной инвариантности теории и требования, чтобы бозопный кинетический член был плоским, следует интегрируемость обратного Якобиана

§~{Ыу)) = (и~УА = дгюА = ^(у), (21)

а также условие однородности на функции перехода

у{и\=1иА . (22)

Данный факт говорит о том, что существует набор суперполей гиА 'дуальных' к суперполям иА.

Доказывается, что все структурные уравнения, включая уравнение Виттена-Дайкграафа-Верлинде-Верлинде, следуют автоматически из условий (21) и (22). Кроме того, установлено, что суперпотенциал, а также оба препотенциала га-мильтоновой формулировки на массовой оболочке могут быть выражены в терминах функций иА — иА{у) и и>А = и>А(у) следующим образом

в = —иАгиА ,

и = -и>Атл , (23)

где

1цк - ~Щ)к-и = Щ'ик = -Щ-Щк = - . (24)

Приводится общее решение полученных уравнений для двумерных неприводимых систем, что соответствует траисляционио инвариантным трехча-стичным моделям. Для случая трехмерных неприводимых систем (моделей четырех тождественных частиц) находятся частные решения, основанные на корневых системах классических алгебр Ли Дч и В3.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные работы, опубликованные по теме диссертации:

1. Galajinsky A., Lechtenfeld О., Polovnikov К. Calogero models and nonlocal conformai transformations // Phys. Lett. В - 2006. - N 643. - p. 221-227

2. Галажинский А.В., Лехтенфелъд О., Половников К.В. О структуре конформно инвариантных моделей в одномерном пространстве // Известия ТПУ. - 2006. - Т. 309. - N 6. - С. 14-16.

3. Galajinsky A., Lechtenfeld О., Polovnikov К. N=4 superconformai Calogero model // JHEP - 2007. - Vol. 11 - p. 008

4. Galajinsky A., Lechtenfeld O., Polovnikov K. N=4 mechanics, WDVV equations and roots // JHEP - 2009. - Vol. 0903 - p. 113

5. Krivonos S., Lechtenfeld O., Polovnikov K. N=4 superconformai n-partic.le mechanics via superspace // Nucl. Phys. В - 2009. - Vol. 817 - p. 265-283

Подписано к печати 18.11.2009 г. Формат 60x841/16- Печать ризография. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Тайме». Тираж 100 экз. Заказ № 895.

Тираж отпечатан в типографии «Иван Фёдоров»

634009, г. Томск, Октябрьский взвоз, 1 Тел. (382-2)-51-32-95, тел./факс (382-2)-51-24-20 E-mail: mail@if.tomsk.ru

Введение

1 Преобразование подобия в конформной квантовой механике

1 Конформная квантовая механика.

2 Унитарные автоморфизмы конформной алгебры.

3 Конформная механика в гармонической ловушке.

2 .ЛЛ=4 суперконформная механика

1 Отображение tV=4 суперконформной механики в систему свободных частиц.

2 Структурные уравнения

3 Решение структурных уравнений.

4 Л/*=4 суперконформные модели.

4.1 Трехчастичная J\f=4 суперконформная модель Калоджеро

4.2 Решения с U = 0: неприводимые корневые системы.

4.3 Решения с U — 0: приводимые корневые системы.

4.4 Решение с U ф 0: трехчастичные системы с £/ьОт=0.

4.5 Трехчастичные решения с U^om

4.6 Лагранжева формулировка вне массовой оболочки.

3 Суполевая формулировка Af—4 суперконформной механики

1 Л/"=4 механика в суперполях.

2 М=4 суперконформная симметрия.

3 Инерциальные координаты.

4 Примеры точных решений.

4.1 Двумерные неприводимые системы.

4.2 Вложение двумерных неприводимых решений в трехмерное пространство

4.3 Трехмерные неприводимые системы

4.4 Вложение трехмерных неприводимых решений в четырехмерное пространство.

Поиск единой, всеобъемлющей и непротиворечивой теории всех фундаментальных взаимодействий, объединение их на основе единого общего принципа занимает одно из центральных мест в современной теоретической физике. Многочисленные результаты, полученные в физике высоких энергий, свидетельствуют о том, что все известные явления природы обусловены взаимодействием элементарных частиц. Всего известно четыре различных типа таких взаимодействий: электромагнитное, гравитационное, сильное и слабое. Поэтому данные взаимодействия называются фундаментальными. С момента открытия всех четырех фундаментальных взаимодействий физиками было предпринято множество попыток объединить их в рамках одной теории единого фундаментального взаимодействия, которое расщепляется при наблюдаемых нами низких энергиях на четыре известные типа. На этом пути был е* о* достигнут значительный прогресс. Были построены теория электро-слабого взаимодействия, квантовая хромодинамика, а также их обобщения - модели великого объединения [1],[2], в основе которых лежит перенормируемая теория поля [3]-[6].

Однако объединить гравитацию с остальными фундаментальными взаимодействиями на основе аналогичных принципов до сих пор так и не удалось. Это связано с неперенормируемостыо квантовой теории гравитации.

Новые возможности на пути объединения всех фундаментальных взаимодействий появились после открытия суперсимметрии [7]-[9] (см. также монографии [10]-[16]).

На основе общих соображений было показано, что симметрии специальной теории относительности, формулирующиеся в терминах группы Пуанкаре, естественным образом расширяются до суперсимметрии [17]. Это достигается расширением алгебры Ли группы Пуанкаре новыми генераторами - так называемыми суперзарядами (Qai и Qai), подчиняющимися антикоммутационным соотношениям и имеющих ненулевые коммутаторы с генераторами группы Пуанкаре. Здесь i = 1, 2,. ,J\f и а = 1, 2, а = 1,2. Эти генераторы переводят бозонные поля в фермионные и наоборот. Поэтому суперсимметрия представляет собой симметрию, объединяющую бозоны и ферми-оны и, таким образом, может лежать в основе единой теории фундаментальных взаимодействий. В случае М— 1 суперсимметрия называется простой, а при Л/*> 1 - расширенной. Согласно теореме Хаага-Лопутпанского-Сониуса [18], Л/"-расширенная суперсимметрия является единственно возможным обощением группы Пуанкаре, совместным с принципами квантовой теории. Поэтому такая симметрия получила в своем названии приставку "супер". "с

Было установлено, что суперсимметричные теории поля обладают более мягким ультрафиолетовым поведением [19],[20]. В частности, наиболее изученная суперполевая теория - М—4 суперсимметричная теория Янга-Миллса, помимо того, что явля

I ) ' 1, ется максимально суперсимметричной, еще обладает конформной инвариантностью и ультрафиолетово конечна [21]-[23]. Расходимости от бозонных полей в эффективном действии полностью сокращаются с расходящимися вкладами от фермионных полей. Следующим шагом в развитии суперсимметрии стала теория супергравитации, построенная в работах [24],[25] (см. также обзоры [26]-[28]). ,

I I

Для решения задачи реализации алгебры суперсимметрии в виде координатных преобразований Салам и Стретди [29], [30] ввели понятие суперпространства, которое параметризуется, помимо обычных пространственно-временных координат пространства Минковского, дополнительными антикоммутирующими координатами в и в, принадлежащими алгебре Грассмана [10],[12],[13]. Кроме того, было введено понятие суперполя как функции на таком суперпространстве [12], [13], [29], |30], [31]. Такая функция содержит в себе бозонные и фермионные компонентные поля, которые переходят друг в друга при преобразовании суперснмметрии. Таким образом, при помощи суперполя оказывается возможным описать сразу несколько элементарных частиц различных спинов. Существует два эквивалениных способа описания суперсимметричных теорий. Первая из них — компонентная, в терминах достаточно большого количества бозонных и фермионных компонентных полей. В данном случае суперсимметрия реализуется неявным образом и требует, чтобы лагранжиан взаимодействия имел специальную структуру. Вторая возможная формулировка суперсимметричных теорий - суперполевая, на основе одной функции (суперполя), объединяющей в себе все компонентные поля. Данная формулировка существенно i | » ' <

I I упрощает задачу вычислений в квантовых суперсимметричных теориях ввиду ее j р? компактности, поскольку оперирует непосредственно с мультиплетами полей в явно ковариантной форме. Чтобы получить из суперполевой формулировки компонентную, достаточно проинтегрировать суперфункционал действия по антикоммутирующим переменным. Алгебра и анализ с антикоммутирующими переменными подробно

• Прописаны в монографиях [12], [32], [33], [34].

Современные представления о возможных физических проявлениях суперсимметрии во взаимодействии элементарных частиц связаны с проблемой нарушения суперсимметрии [35], [36]. Однако все еще открыт вопрос о перенормировке моделей со спонтанно нарушенной суперсимметрией. Некоторый прогресс в этом направлении был достигнут в работах [37]-[40].

В настоящее время предполагается, что суперсимметричные теории являются низкоэнергетическими приближениями более фундаментальной теории - теории суперструн и М-теории [41]-[46], которая рассматривается как наиболее'вероятный кандидат на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий [41],[47] (см. также обзоры [48]-[53]). Современная теория суперструн содержит в себе большинство важнейших фундаментальных принципов и идей квантовой- теории поля: калибровочную инвариантность, квантовую гравитацию, многомерность пространства-времени, сокращение аномалий. Основное предположение теории суперструн заключается в том, что базовыми составляющими материи, фундаментальными объектами Природы являются не точечные частицы, а протяженные объекты - струны, имеющие размеры порядка длины Планка Ipi ~ 1,6 • Ю-33 см. Элементарные частицы же предствляются как особые вибрации такой струны. Было показано [41], что самосогласованная непротиворечивая теория суперструн (или М-теория) может существовать только в десяти- (или одиннадцати-)мерном пространстве-времени. Тогда естественно ожидать, что суперполевые теории являются некоторыми компактифи-кациями теории суперструп.

В современной теоретической и математической физике пристальное внимание уделяется исследованию суперсимметричных расширений точно решаемых и интегрируемых систем, имеющих широкое применение, в том числе и в теории суперструн. Наиболее важным примером такой системы является модель Калоджеро. Она представляет собой квантово-механическую систему тождественных частиц на вещественной прямой с парным взаимодействием и описывается гамильтонианом

2> ^ ^ + -Е - Ч « г=1 К] К] 4 J'

Первоначально модель была предложена как точно решаемая квантово-механическая задача. В частности, в работах [54], [55], [56] были точно найдены полный энергетический спектр и соответствующие собственные волновые функции (см. также [57]). , , , ^ I . 1 ' " ' 1 ' " , [ | ! -.1 1/ ■ I . , .

6 ^

На классическом уровне модель Калоджеро является интегрируемой системой [58]. Это означает, что существуют координаты типа "действие-угол" 1к{х^р), (рк(х,р) (где к=1.п), определенные глобально на всем фазовом пространстве системы, временная зависимость которых определяется простой системой уравнений

Ik(t) = const, ipk(t) = ip°k + Lukt. (2)

Причем, согласно теореме Лиувиля [59], величины 1к(х,р) функционально независимы и находятся в инволюции г -г Г 9h дЬ дК дЬ ") , , к,1 = 1.п. (з)

Для нахождения явного вида сохраняющихся величин 1к(х,р) используется метод изоспектральной деформации, предложенный Лаксом в работе [60] (см. также [61]). Оказывается, что 1\ - полный импульс системы. /2 - полная энергия, а остальные величины являются полиномами более высокой степени по импульсам, содержащие также двухчастичный потенциал взаимодействия (более подробно см. [58]).

Интегрируемость квантовой модели Калоджеро показана в работе [62], в которой были исследованы спектр задачи, собственные волновые функции, квантовые интегралы движения, а также показана связь рассматриваемой модели с полупростыми алгебрами Ли. В частности, для любой полупростой алгебры Ли существует ассоциированная с ней система типа Калоджеро.

В современной математической физике также хорошо известно множество обобщений модели Калоджеро. Например, можно рассмотреть периодическое обобщение данного потенциала. Для этого необходимо поместить систему в конечную периодическую коробку (с размерами, нормированными на 2-п). Тогда частицы будут взаимодействовать с бесконечным числом своих копий и потенциал двухчастичного взаимодеиствия примет вид оо

V{x) = У 7-— =-^-5- . (4) w (ж + 2тгг)2 (2 sin |)

Системы такого типа были впервые изучены Сазерлендом в работах [63, 64, 65], а в последствии Олыпанецким и Переломовым в работах [58, 62].

Интерес к модели Калоджеро вызван изучением широкого класса--физических задач, в которых рассматриваемый потенциал возникает порой неожиданным образом. Например, задание определенных граничных условий при изучении процессов рассеяния тождественных частиц в одном измерении приводит к необходимости введения в рассмотрение дробной статистики с двухчастичным потенциалом .взаимодействия вида вблизи точки столкновения (см. работу [66]). Значения I — 0 и / = 1 определяют Ферми и Бозе статистики, соответственно. Остальные значения параметра I соответствуют так называемой дробной статистике [67].

При рассмотрении движения электронов в двумерной кристаллической решетке в ах сильном магнитном поле (квантовый эффект Холла [68],[69]) оказывается, что в одномерном представлении волновые функции такой системы могут быть переписаны как однопараметрические деформации основного состояния модели Калоджеро [69], где параметром деформации является значение магнитного поля. Квантовые состояния такой системы с различными геометриями конфигурационного пространства воспроизводят квантовые состояния различных вариаций модели Калоджеро. Взаимосвязь модели Калоджеро с квантовым эффектом Холла детально обсуждалась в работе [70].

Различные вариации модели Калоджеро оказываются также удобными для описания спиновых цепочек [71]. В частности, в работе Полихронакоса [72] была построена интегрирумая модель спиновых цепочек с потенциалом обменного взаимодействия типа Калоджеро, а также найден полный набор инвариантов такой.модели.

Как было впервые отмечено в работе [56], собственные функции и степень вырождения каждого энергетического уровня n-частичной модели Калоджеро (1) полностью идентичны, с точностью до постоянного сдвига, спектру п свободных осцилляторов. Дальнейшие исследования [73, 74] показали, что существует явное, но неунитарное преобразование, связывающее гамильтониан Калоджеро с гамильтонианом системы свободных осцилляторов. Эго делает возможным изучение различных аспектов модели Калоджеро, таких как интегрируемость, построение стационарных состояний, изучение алгебры симметрий, с принципиально новой точки зрения.

Когда же гармонический потенциал "выключен", то есть система описывается гамильтонианом то естественно ожидать, что такая система будет идентична системе невзаимодействующих частиц. На это указывают непрерывный спектр гамильтониана (5) и исследования процессов рассепия в такой системе [66], показавшие, что не только асимптотические импульсы частиц до и после рассеяния, но и параметры рассеяния совпадают с точностью до перестановки частиц. То есть не происходит временнбй задержки частиц в области рассеяния. На квантовом уровне это означает, что асимптотическая волновая функция системы до рассеяния отличается от асимптотической волновой функции после рассеяния только на фазовый множитель, причем сдвиг фазы рассеяния не зависит от импульса (поскольку время задержки есть производная от сдвига фазы по импулсу) [75]. Иными словами рассеяние в системе (5) выглядит также, как и рассеяние в системе п свободных частиц. Унитарное преобразование, переводящее конформный гамильтониан Калоджеро в гамильтониан системы невзаимодействующих частиц, было построено в работе [76]. Однако, авторами не была рассмотрена полная конформная группа симметрий. Заметим также, что преобразовние, постро енное в работе [76], не может быть получено в пределе и —> 0 из преобразования, найденного в работах [73, 74], что указывает на различие приведенных подходов.

В настоящее время пристальное внимание уделяется исследованию конформно инвариантных систем, и в частности модели Калоджеро, описываемой гамильтонианом (5). Это обусловлено изучением различных аспектов AdS/CFT дуальности [78]. Представляет значительный интерес установление взаимосвязи одномерной конформной модели Калоджеро с топологическими теориями поля в двумерном пространстве аити де Ситтера, поскольку содержательные примеры AdS2/С FT\ соответствия практически не известны.

Кроме того, было высказано предположение [83] (см. также [80, 81|), что поскольку геометрия анти де Ситтера описывает область пространства-времени вблизи гори

I I зонта событий ряда экстремальных черных дыр, то изучение конформной механики может дать некоторую информацию о квантовых свойствах черных дыр. В связи с этим отметим гипотезу Гиббонса и Таунсенда [82, 83], согласно которой Af = 4 суперконформное расширение одномерной модели Калоджеро в пределе большого

I 1 • числа частиц может дать микроскопическое описание экстремальной черной дыт frv ры Райсснера-Нордстрема вблизи горизонта событий, что соответствует геометрии пространства-времени AdS2 х S2. Построение N = 4 суперконформного расширения модели Калоджеро и других одномерных конформных квантовых механик представляет собой открытую проблему, которая детально обсуждалась в работах [84]-[91].

В работах [58, 62] была показана интегрируемость классических и квантовых моделей типа Калоджеро. Авторами была установлена связь рассматриваемых моделей с полупростыми алгебрами Ли. В частности, для любой полупростой алгебры

Ли существует ассоциированная с ней система типа Калоджеро. Поэтому естествен О но ожидать, что суперсимметричные расширения интегрируемых многочастичных квантово-механических моделей также будут связаны с алгебрами Ли. Таким образом, появляется возможность построения нового класса интегрируемых суперсимметричных систем. Данная диссертационная работа посвящена разработке систематического метода построения J\f = 4 суперконформных одномерных квантово-механических систем на основе теоретико-группового подхода. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения и Списка литературы.

Заключение

В заключение перечислим основные результаты, полученные в данной диссертационной работе.

1. Предложен новый метод построения N — 4 суперконформных квантово-меха-нических систем, основанный на нелокальной реализации супералгебры sit(l, 1|2).

2. Построен новый класс одномерных N = 4 суперконформных квантово-механи-ческих систем многих частиц. Установлена геометрическая структура, лежащая в основе N = 4 суперконформной механики, и ее связь с простыми алгебрами Ли. Предложен метод классификации суперконформных систем на основе их геометрической и алгебраической структуры.

3. Найден новый класс решений уравнения Виттена-Дайкграафа-Верлинде-Вер-линде, ассоциированных с приводимыми системами корневых векторов и включающих радиальные слагаемые.

4. Построено N = 4 суперконформное расширение трехчастичной модели Калод-жеро. U

5. Построена универсальная суперполевая формулировка для М=4 суперконформной механики многих частиц в одномерном пространстве.

Результаты диссертации опубликованы в работах [121]-[125].

В заключение хочется выразить благодарность моему научному руководителю — доктору физико-математических наук, заведующему Лабораторией математической физики Томского политехнического университета А.В. Галажинскому за руководство работой, многочисленные обсуждения и всестороннюю помощь.

Я также признателен профессору О. Лехтенфельду и профессору С.О. Кривоносу за интересное сотрудничество и стимулирующие обсуждения различных аспектов данной работы. т

1. Окунь А.Б. Физика элементарных частиц. - Москва: Наука, 1984. - 224 с.

2. Клейн Г. Современная физика элементарных частиц. Москва: Мир, 1990. -358 с.

3. Ициксон Н., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. Москва: Мир, 1984. Т. 1, - 448 е., т. 2, - 400 с.

4. Райдер JI. Квантовая теория поля. Москва: Мир, 1987. - 512 с.

5. Коллинз Дж. Перенормировка. Москва: Мир, 1988. - 446 с.

6. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. Москва: РХД, 2001. - 783 с.

7. Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности // Письма в ЖЭТФ 1971. - Т. 13, вып. 8. - с. 452-455

8. Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном фундаментальном взаимодействии нейтрино // Письма в ЖЭТФ 1972. - Т. 16, вып. 11. - с. 621-624

9. Wess J., Zumino В. Supergauge transformations in four dimensions // Nucl. Phys. В 1974. - Vol. 49, N 1. - p. 52-65

10. Весе Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация. Москва: Мир, 1986. - 180 с.

11. Вест В. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. Москва: Мир, 1983. - 328 с.

12. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or a Walk Through Superspace. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1999. - 656 p.чГ

13. Gates S.J., Grisaru M.T., Rocek M., Siegel W. Superspace or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry. Benjamin Cummings, Reading, M. A., 1983. -548 p.

14. Mohapatra R.N. Unification and Supersymmetry. Springer, 1996. - 405 p.

15. Galperin A.S., Ivanov E.A., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace.- Cambridge University Press, 2001. 303 p.

16. Dress M., Godbole R., Roy P. Theory and Phenomenology of Superparticles. -World Scientific, 2004. 555 p.

17. Coleman S., Mandula J. All possible symmetries of the S-matrix // Phys. Rev. D.- 1967. Vol. 59, N 5. - p. 1251-1256-.iv 1 ' j," I' • 1 >■;■", < \ , {• i > \ i

18. Haag R., Lopuszanski J.Т., Sohnius M. All possible generators of supersymmetries of the S-matrix // Nucl. Phys. B. 1975. - Vol. 88, N 2. - p. 257-274

19. Grisaru M.T., Siegel W. Supergravity II. Manifestly covariant rules and higher order finiteness // Nucl. Phys. B. 1982. - Vol. 201, N 2. - p. 293-314

20. Howe P.S., Stelle K.S., West P.S. A class of finite four-dimensional supersymmetric field theories // Phys. Lett. B. 1983. - Vol. 144, N 1. - p. 55-58

21. Brink L., Lindgren O., Nilsson B. The ultraviolet finiteness of the N = A Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1983. - Vol. 123, N 4. - p. 323-328

22. Mandelstam S. Light-cone superspace and ultraviolet finiteness of the N — 4 Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1983. - Vol. 213, N 1. - p. 149-168

23. Sohnius M., West P. Conformal invariance in N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory 11 Phys. Lett. B. 1981. - Vol. 100, N 2. - p. 245-256

24. Freedman D.Z., Nieuwenhuizen P. van, Ferrara S. Progress towards the theory of supergravity // Phys. Rev. D. Vol. 13, N 3. - p. 3214-3218

25. Deser S., Zumino B. Consistent supergravity // Phys. Lett. B. 1976. - Vol. 62, N 3. - p. 335-337

26. Nieuwenhuizen P. van. Supergravity // Phys. Rep. B. 1981. - Vol. 68, N 4. -p. 189-398 ! * ' ' " 1 '

27. Геометрические идеи физики: Сб. статей / Под редакцией Ю.И. Маиина -Москва: Мир, 1983. 240 с.

28. Введение в супергравитацию: Сб. статей / Под редакцией С. Феррары, Дж. Тэйлора. Москва: Мир, 1985. - 304 с.

29. Salam A., Strathdee J. Supergauge transformations // Nucl. Phys. B. 1974. -Vol. 76, N 2. - p. 477-482

30. Salam A., Strathdee J. Supersymmetry and superfields // Fortshr. Phys. B. -1978. Vol. 26, N 3. - p. 057-124i i

31. Fayet P., Ferrara S. Supersymmetry // Phys. Rev. 1977. - 1977. - Vol. 32, N 5. - p. 249-334

32. Witt B. de. Supermanifolds. Cambridge University Press, 1984. 407 p.

33. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутируюгцими переменными. Москва: МГУ, 1989. 208 с.

34. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. Москва: Наука, 1986. 318 с.

35. Mohapatra R.N. Unification and supersymmetry. Springer Verlag, 1986. - 405 p.

36. Martin S.P. A supersymmetry primer. Preprint: hep-th/9709356 101 p.

37. Kazakov D.I., Kalmykov M.Yu., Kondrashuk I.N., Gladyshev A.V. Softly broken finite supersymmetric grand unified theory // Nucl. Phys. B. 1996. - Vol. 471, N 3. - p. 389-408

38. Andreev L.V., Kazakov D.I., Kondrashuk I.N. Renormalization of softly broken SUSY gauge theories // Nucl. Phys. B. 1998. - Vol. 510, N 2, 3. - p. 289-312

39. Kazakov D.I. Finite N — 1 SUSY gauge theories // Phys. Lett. B. 1998. -Vol. 421, N 2. - p. 211-216

40. Kazakov D.I. Exploring softly broken SUSY theories via Grassmania Taylor expansion // Phys. Lett. B. 1999. - Vol. 149, N 2. - p. 201-206

41. Грин M., Шварц Дж., Виттен E. Теория суперструн (в двух томах). Москва: Мир, 1990. Т. 1, - 518 е.; - Т. 2 - 656 с.

42. Бринк Л., Энно М. Принципы теории суперструн. Москва: Мир, 1991. 296 с.

43. Каку М. Введение в теорию суперструн. Москва: Мир, 1999?- 624 с.w

44. Polchinski J. String Theory. Cambridge University Press, 1998. Vol. 1, - 402 p.;- Vol. 2, 531 p.

45. Johnson C.V. D-branes. Cambridge University Press, 2003. 548 p.- 4

46. Zwiebach B. A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 2004.- 558 p.

47. Kaku M. Introduction to supersprings. Springer Verlag, 1990. - 568 p.

48. Bilal A. M(atrix) theory: a pedagogical introduction. Preprint:-hep-th/9710136 -31 p.

49. Polchinski J. TASI lectures on D-branes. Preprint: hep-th/9611050 63 p.

50. Kiritsis K. Introduction to superstring theory. Preprint: hep-th/9709062 245 p.

51. Taylor W. Lectures on D-branes, gauge theories and M(atrices). Preprint: hep-th/9801182 74 p.

52. Giveon A., Kutasov D. Brane dynamics and gauge theory. Preprint: hep-th/9802067 286 p.

53. Petersen J.L. Introduction to the Maldacena conjecture on AdS/CFT. Preprint: hep-th/9902131 69 p.

54. Calogero F. Solution of three-body problem in one dimension / / J. Math. Phys.№1969. № 10. - p. 2191-2196

55. Calogero F. Ground state of a one-dimensional N-body system //J. Math. Phys.- 1969. № 10. - p. 2197-2200

56. Calogero F. Solution of the one-dimensional N-body problems with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials //J. Math. Phys. 1971. - № 12. -p. 419-436

57. Brink L., Hansson Т.Н., Vassiliev M. Explicit solution to the'N-body Calogero problem // Phys. Lett. В 1992. - № 286. - p. 109.

58. Olshanetsky M., Perelomov A. Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras // Phys. Rept. 1981. - № 71. - p. 313-400

59. Арнольд В. И. Математические методы классической механики Москва: Наука, 1974.

60. Lax P. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure Appl. Math. 1968. - № 21. - p. 467-490

61. Moser J. Three integrable Hamiltonian systems connnected with isospectral deformations // Adv. Math. 1975. - № 16. - p. 197-220

62. Olshanetsky M., Perelomov A. Quantum integrable systems related to Lie algebras // Phys. Rept. 1983. - № 94. - p. 313-404

63. Sutherland B. Quantum Many Body Problem In One-Dimension // J. Math. Phys. 1971. - № 12. - p. 251-256

64. Sutherland B. Exact results for a quantum many body -problem in one-dimension // Phys. Rev. A 1971. - № 4. - p. 2019-2021

65. Sutherland B. Exact results for a quantum many body problem in one-dimension 2 // Phys. Rev. A 1972. - № 5. - p. 1372-1376

66. Polychronakos A. Non-Relativistic Bosonization and Fractional Statistics // Nucl. Phys. В 1989. - № 324. - p. 597

67. Polychronakos A. Generalized statistics in one dimension. Preprint: hep-th/9902157.

68. Laughlin R.B. Anomalous quantum Hall effect: An incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations // Phys. Rev. Lett. 1983. - № 50. - p. 13951398

69. Azuma H., Iso S. Explicit relation of quantum hall effect and Calogero-Sutherland model // Phys. Lett. B. 1994. - Vol. 331. - p. 107

70. Cappelli A., Trugenberger C.A., Zemba G. Classification of quantum Hall universality classes by W(l+infiinty) symmetry // Phys. Rev. Lett. 1994. -№ 72. - p. 1902-1905

71. Frahm H. Spectrum of a spin chain with inverse square exchange //J. Phys. A -1993. № 26. - p. L473-L4791. J > \ I' I I <' ! I < л

72. Polychronakos A. Exchange operator formalism for integrable systems of particles // Phys. Rev. Lett. 1992. - № 69. - p. 703-705

73. Gurappa N., Panigrahi P.K. Equivalence of the Calogero-Surtherland model to free harmonic oscilators // Phys. Rev. В 1999. - № 59. - p. R2490-R2493

74. Gurappa N., Khare A., Panigrahi P.K. Connection between Calogero-Marchioro-Wolfes type few-body models and free oscillators // Phys. Lett. A 1998. -№ 224. - p. 467

75. Polychronakos A.P. Physics and mathematics of Caloggro particles //-t

76. J. Phys. A. 2006. - № 39. - p. 12793-12846

77. Brzezinski Т., Gonera С., Mailanka P. On the equivalence of the rational Calogero-Moser system to free particles // Phys. Lett. A 1999. - № 254. -p. 185

78. Freedman D., Mede P. An exactly solvable N-particle system in'supersymmetric quantum mechanics // Nucl. Phys. В 1990. - № 344. - p. 317-343

79. Aharony 0., Gubser S.S., Maldacena J.M., OOguri H., Oz Y. Large-N field theories, string theory and gravity // Phys. Rept. 2000. - № 323. - p. 183386

80. Bellucci S., Galajinsky A., Ivanov E., Krivonos S. AdS2/CFTi, canonical transformations and superconformal mechanics // Phys. Lett. В 2003. -Vol. 555 - p.99

81. Mohaupt T. Black holes in supergravity and string theory // Class. Quant. Grav. -2000. № 17. - p. 3429-3482

82. Cacciatori S., Klemm D., Zanon D. W^ algebras, conformal mechanics and black holes // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17 - p. 1731 ^

83. Gibbons G.W., Townsend P.K. Black holes and Calogero models // Phys. Lett. В 1999. - № 454. - p. 187-192

84. Claus P., Derix M., Kallosh R., Kumar J., Townsend P.K., Proeyen A. Van. Black holes and superconformal mechanics // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81 - p. 4553

85. Wyllard N. (Super)conformal many-body quantum mechanics with extended supersymmetry //J. Math. Phys. 2000. - № 41. - p. 2826-2838

86. Bellucci S., Galajinsky A., Krivonos S. New many-body superconformal models as reductions of simple composite systems // Phys. Rev. D 2003. - № 68. -p. 064010

87. Galajinsky A. Remarks on N = 4 superconformal extension,'of the Calogero model // Mod. Phys. Lett. A 2003. - № 18. - p. 1493-1498

88. Bellucci S., Galajinsky A., Latini E. New insight into the Witten-Dijkgraff-Verlinde-Verlnde equation // Phys. Rev. D 2005. - № 71. - p. 044023

89. Azcarraga J.A. de, Izquierdo J.M., Perez Bueno J.C., Townsend P.K. Superconformal mechanics and nonlinear realizations // Phys. Rev. D 1999.- Vol. 59 p.084015

90. Papadopoulos G. Conformal and superconformal mechanics // Class. Quant. Grav. 2000. - Vol. 17 - p.3715

91. Ivanov E., Krivonos S., Lechtenfeld O. New variant of TV = 4 superconformal mechanics // JHEP. 2003. - Vol. 0303 - p. 014г-»

92. Anabalon A., Gomis J., Kamimura K., Zanelli J. N = 4 superconformal mechanics as a non-linear realization // JHEP. 2006. - Vol. 0610 - p.068

93. Witten E. On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity // Nucl. Phys. В 1990. - № 340. - p. 281-332 '" \ '

94. Dijkgraaf R., Verlinde H.L., Verlinde E.P. Topological strings in d < 1 // Nucl. Phys. В 1991. - № 352. - p. 59-86

95. Witten E. Topological Quantum Field Theory // Commun. Math. Phys. 1988.- Vol. 117-Р.353 '4

96. Marshakov A. Seiberg-Witten theory and integrable systems. Singapore: World Scientific, 1999. - 253 p.

97. Gorsky A., Mironov A. Integrable many-body systems and gauge theories // Preprint: hep-th/0011197 134 p.

98. Itoyama H., Morozov A. The Dijkgraaf-Vafa prepotential in the context of general Seiberg-Witten theory // Nucl. Phys. В 2003. - Vol. 657 - p. 53-78.

99. Feigin M.V., Veselov A.P. Coxeter discriminants and logarithmic Frobenius structures // Advances in Math. 2007. - Vol. 212 - № 1 - p. 143-162.

100. Martini R., Gragert P.K.H. Solutions of WDVV equations in Seiberg-Witten theory from root systems // J. Nonlin. Math. Phys. 1999. - Vol. 6 - p. 1

101. Veselov A.P. Deformations of the root systems and new solutions to generalised WDVV equations // Phys. Lett. A 1999. - Vol. 261 - p. 297

102. Veselov A.P. On geometry of a special class of solutions to generalised WDVV equations // Preprint: hep-th/0105020 11 p. ' ' ' 1

103. Ivanov E.A., Krivonos S.O., Leviant V.M. Geometric superfield approach to superconformal mechanics //J. Phys. A 1989. - № 22. - p. 4201

104. Alfaro V. De., Fubini S., Furlan G. Conformal invariance in quantum mechanics // Nuovo Cimento A 1974. - № 34. - p. 569 ui

105. Ghosh P.K. Super-Calogero model with OSp(2|2) supersymmetry: Is theconstruction unique? // Nucl. Phys. В 2004. - Vol. 681. - p. 359-373i

106. Dubrovin B. Integrable systems in topological field theory // Nucl. Phys. В -1992. Vol. 379. - p. 627-689

107. Marshakov A., Mironov A., Morozov A. WDVV-like equations in N = 2 SUSY Yang-Mills theory // Phys. Lett. В 1996. - Vol. 389 - p. 43

108. Chalykh O.A., Veselov A.P. Locus configurations and V-systems // Phys. Lett. A- 2001. Vol. 285 - p. 339 .

109. Feigin M., Veselov A.P. On the geometry of V-systems // Preprint: math-ph/0710.5729vl 18 p.

110. Freedman D., Mende P. An exactly solvable n particle systems in supersymmetric quantum mechanics // Nucl. Phys. В 1990. - Vol. 344 - p.317

111. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Pergamon Press, 1964. Т. 2

112. Ivanov Е., Krivonos S., Leviant V. Geometric Superfield Approach To1" v i 11 ' i .

113. Superconformal Mechanics //J. Phys. A. 1989. - Vol. A22 - p. 4201

114. Ivanov E., Krivonos S., Lechtenfeld O. N = 4, d — 1 supermultiplets from nonlinear realizations of D(2,l;a) // Class. Quantum Grav. 2004. - Vol. 21- p. 1031-1050

115. Delduc F., Ivanov E. Gauging N=4 supersymmetric mechanics II: (1,4,3) models from the (4,4,0) ones // Nucl. Phys. В 2007. - Vol. 770 - p. 179-205

116. Ivanov E., Lechtenfeld O. N=4 Supersymmetric Mechanics in Harmonic Superspace // JHEP 2003. - Vol. 0803 - p. 073

117. Bellucci S., Krivonos S. Supersymmetric Mechanics in Superspace // Lect. Notes in Phys. 2006. - Vol. 698 - p. 49-96

118. Donets E.E., Pashnev A., Juan Rosales J., Tsulaia'M.M. Supersymmetric Multidimensional Quantum Mechanics, Partial SUSY ^ Breaking and

119. Superconformal Quantum Mechanics // Phys. Rev. D 2000. - Vol. 61 -p. 043512

120. Frappat L., Sorba P., Sciarrino A. Dictionary on Lie superalgebras. Preprint: hep-th/9607161

121. Proeyen A. Van. Tools for supersyinmetry. Preprint: hep-th/9910030

122. Bellucci S., Krivonos S., Sutulin A. N=4 supersymmetric 3-particles Calogero model // Nucl. Phys. В 2008. -Vol. 805 - p. 24-39

123. Fedoruk S., Ivanov E., Lechtenfeld O. Supersymmetric Calogero models by gauging // Phys. Rev. D 2009. - Vol. 79 - p. 105015

124. Galajinsky A., Lechtenfeld O., Polovnikov K. Calogero models and nonlocal conformal transformations // Phys. Lett. В 2006. - № 643. ^ p. 221-227

125. Галажинский А.В., Лехтенфельд О., Половников К.В. О структуре конформно инвариантных моделей в одномерном пространстве // Известия ТПУ. -2006. Т. 309. - № 6. - С. 14-16. ' J 1 1 '

126. Galajinsky A., Lechtenfeld О., Polovnikov К. N=4 supeiconformal Calogero model // JHEP 2007. - Vol. 11 - p. 008

127. Galajinsky A., Lechtenfeld O., Polovnikov K. N=4 mechanics, WDVV equations and roots // JHEP 2009. - Vol. 0903 - p. 113 ^

128. Krivonos S., Lechtenfeld O., Polovnikov K. N=4 superconformal n-particle mechanics via superspace // Nucl. Phys. В 2009. - Vol. 817 - p. 265-283V