Теории бесконечномерных линейных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКйГЕМИН НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ .ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИК!

Ня правт рукописи ТОЛСТЫХ Владимир А^шхандрович ТЕОРИИ ВЕСКОНЕЧКО!/£РНЬГХ ЛИШЖЫХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, злгеяра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ дгссэртацки на соискание ученой степени кандидате физико-математических наук

Екатеринбург - 1992

Работа вьачолнель на кафедре алгебры и геоиетрии Кемеровского го су,пдр ст ье нна г о университета.

Научный руководитель: кандидат 'физико-математических наук, доцент ШЕГРОДЕК О.В.

Официальные оппоненты: доктор физикс-математических наук, доцент ВАШ1ИН Ю.М. кандидат физико-математических наук, доцэкт РЕННИЦКИЙ В.Б.

Ведущая организация: Омокий государственный университет.

Защита состоится " С, " (ИиГ1932 года с (С •• часоЕ на заседании специализированного совета К 002.07,02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620063, Екатеринбург, ул. С.Кэгалевской, 16.

С диссертацией мочно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " ^ " 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета,

доктор физ.-мат.наук А.С.Кондратьеь

; • V ' з

Теория моделей, возкикшрч в работах К.Гедзля, а.И.Мдльцэб!

*"А. Тарского особэкно бурно развивалась в последние тта дао. .'илетия. Одной кз типичных задач теории моделей является задача классификация структур внутри некоторого класса по отношению элементарней эгавалвнтности (классификация элемоктнрьых типов). Решая такую задачу для класса конечномерных лиаейшх групп над полями, а.и.Мальцен в работе Е41 доказал следующую теорему: если и Кг - поля характеристики нуль, ль и пг ~ натуральные числа, превосх_дшдие 2, H SL, PSI, Gl, POL, то групы Н(п1,К1) н Н{пг,Кгl элемонтгрно эквивалентны тогда и только тогда, когда а » п? к !(1 = Я2„ Используя теорему Кейслера-Шалаха об ультрьпреияводениях, а та.сже гзорему об изоморфизмах х "я конечномерных линейных групп (51, нежно обобщить теорему А.И.Мальцева на произвольныз поля [7].

Зачастую задача классификации элементарных типе"" требует в-хода за преде ы логики ¡1эрвсго порядка. Нз атом пути О.Шэлзх С16, 17] дал окончательное решение проблем; классификации элементарных типов длг класса групп перестановок над бесконечными множества'« (эта задача рассматривается также в работах С23, СЗ], Ell), [13]).

С задачей ялр^сифгаацгш элементарных типов тесчо связана задача оценки логической силы албментарных теорий структур, лежащих внутри некоторого класса. Располагая "хорошей" оценкой, можно судить о „ ложности кзу^амого классь и отвечать на естественные вопросы (разрешимость,*стабильность и т.д.). О эти/, позшг î С.Шелах рассматривал класс полугрупп ьндсморфизмов свободных, алгебр С183, М. Рубин и С.Шелах изучали класс груга автоморфизмов булевых алгебр EIS), М.Ыг.гидор, Д*. Розенгаль,

М.рубин, Г.Сраур в работе 1990 года [12] предприняли изучениг лотаческой силу элементарных теорий некоторых решеток и т.д.

В работа 1Э85 года £9] С. Шел ах и Дж. Болдвин предложил! классификацию счетных элементарных теорий по сложности, основанную» грубо говоря» на том, насколько богатый "фрагмент теории множеств" (С.Шелах) можно интерпретировать в исследуемой теории. В этой работе была также намечена обширная программа дальнейших иссл-дований и сформулирован ряд проблем.

В 1988 ; оду на Дарэмской конференции "Теория моделей и группа" У.Фельгнер прс.ложсл проблему классвдшкацаи элементарных типов бесконечномерных классических груш над полями 18, проблема 103. Цельв' диссертации является решение этой проблбмы для груш типов ГЬ, РГ1, И и РСЬ над произвольными телами.

Основные результаты диссертации являются новыми. Работа нос-/- теоретический характер. Результаты и метода диссертации могут найти применение в теории моделей и теории классических груш.

Результаты работы докладывались на семинаре кафедры алгебра и геометрии в Кчмеров^ком государственном университете, на советско-французском коллоквиуме по теории моделей (Караганда, '.990), на Десятой Всесоюзной конференции по математической лог .же 'Алма-Ата, 1990), на семинаре "Алгебраические системы" в Уральском у: тверситете, на мездународной конференции "Алгебр? и логика" (Барнаул, 1991), на логическом семинаре университета Хельсинки (Финляндия), на семинаре "Полные теории" в Новосибирском университете» на семинаре кафедры алгебры в Омском государственном университете.

ОсноЕные результаты опубликованы и работах Ц9], С2П], [2:] . [2?1, 123].

Диссертация изложена на 112 страницах и состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 30 наименований.

Приступим к изложению основных результатов диссертации.

В главе 0 даны необходимые определения и приведены формулировки известных утвержденийс особенно часто используемых в диссертации.

Всюду ниже .арез У обозначается левое бесконечномерное векторное пространство над телом Д. Через обозначается

множество всех подпространстЕ 7.

В ГЛ81) 1 доказывается, что в груше 10ЦУ) интерпретируется решетка р подпространств векторного пространства 7. При этом применяются методы развитые К. Риккартсм, а. Дьедонна, Р„ Бэром и другими авторами для решения задачи определения изоморфизмов классических групп. В основе э тс методов (их шогда нззывавт классическими; лежат двойства множества инволюций исследуемой группы.

3 §5 1,2 решается проблема инчолюций первого рода для группы ЮЦ7). Доказывается,, что множество инволюций первого рода О-спрадялимо (теорема 1.2.5). Проблема янволиций первого роде для бэснонэчномэшых проективных руля над терзай была предложена К,Риккартом в (14). В зтой работе К.йпжйрт отмечал» ~то ?ео|/тико-групговая хврактеризация нинолвдий перзогс рода позволила сн ^писать изоморфизмы бесконечномерных проективных групп.

Параграфы 3,4 главы i посвящены интерпретации в груть FGHV) двусортной структура ?S'(V)=< P3L(V}„P4(У);°,3,ас*>, где Р*(У) - множьство всех элементов P(Vj, отличных от {О) и V, » - композиция» ccí - действие PGL(V) нэ P*(V), а В -трехместное отношение "лежать мевду" на элементах Р*(V) (теорема 1.3.1). В § 3 разбирается случай chctr D «2, а в И •• случай сЛаг s »2.

Существе'. • * в § 5 является

ПРЕДЛОЖЕНА 1. б»Зо Отпашете Патент на P*(V) является опреОелилыл (ейшооара^о) отнотениеа сящтуры P$'(V)*

Из предложения 1.5.3 легко следует, что. з группе НЗЬ(У) интерпретируется решетка Р (теорема 1.5.1).

Заметим» что в своей книге [11 Р.Бэр описывает метод восстановления структур« <?((?) ;В> в группе GL0П. где If -произвольное векторное пространство над ¿телом хэрактеристтш Анализ его доказательства с позиций математической лопат показквввт, что P(t?) восстанавливается в Gb(ff) средствами монадической логики второго порядка. Поскольку группа- PGL(7) очевидным образом интерпретируется в группе GUY), теорема 1.5.1 существенно усиливает результат Р.Бэра.

В главе 2 доказывается, что Tti{P) может быть синтаксически интерпретирована в элементарной' теории группы вида if (У), где 4 и « Г1>, РГ1, GL, PGL. Э'.; легко вытекает из следующей теоремы.

ТЕОРЕШ 3.1. i. Равномерно па dim V и D

ТП(ГЦУ)) > ТН(,РГЦ7)) > ThiPGUV)) > Th[GL(V)). (знак > указывает на синтаксическую интерпретируемость). Доказательству теоремы 2.1.1 посвящены 1-3 главы 2. В б 3 устанавливается, кроме того, что ТМ,РГЦ7)) > ТЩГЦ7)) (это

следует из тэоремы 2.3.2). Гаккм образом, "логическая сила ю падгэт при перехода к проективному образу".

В 5 4 изучаются, подгруппы группы Gl(7), порожденные трансвекциями. Пусть W - это произвольное векторное пространство над телом и 2(!7) - подгруппа группы GL(SV), порожденная всеми трансвекциями прострснства ff НО]. Пусть 2 -некоторый базис W. Через &j(FT) обозначается подгруппа группы Я((Г), каждый элемент которой перемещает нетривиально только конечное число элементов базлсв 2 1103 (в конечномерном случае, как известно, ; = jSj((f)).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. 4.1=

(а) Ej(V) < Е{Тц

(ö) %(») = Eor 2(30 ~ tewopboe пространство naß

mO тело.» Ii размерности й3.

Выше отмечалось, что теоретико-групповая характеризеция толюцкй первого рода позволяет описывать изоморфизмы проективных групп. В S.5 результаты 5§ 1,2 главы 1, а та;икэ другие рзультаи1 из .лаз 1, 2 применяются для того, чтобы лать описание (классическими катодами) изоморфизмов бесконечномерных проективных групп типов PTL, К?Е. Это предста: мет некоторый интерес, поскольку' тгакоа описание получе.ю 0. О'Мирой в рвботе С6] методом, отличным от классического.

Глава 3 посвящена изучению логической силы теорий, ассоциированных с бесконечномерными векторнчми пространствами.

Обозначим через С кольцо егцоморйиэмсв векторного пространства У. Пусть ае - d'.a V. Структура <«e,D> - это двусортная структура, даршй сорт которой - ышеоство ж без каких-либо отношений, а второй - тело Э со стандартными

отношениями. Пусть Я - это, двусортная структура» первый сор-которой формирует абелева группа „ в второй - тело д, и

определено еще действие С па 7. Рассптрим теории 1Ъ(ф,Епс1) к 371(5а05иЬ)о т.е. теории структуры О в логиках с кванторами по ендоморЛязман и подпространствам V соответственно. Логики (?.), Ноп(\), где л - некоторый кардаквл» - это логики! доцускаюцие квантификации соответственно по произвольным отношениям ¡'.даости <Х и по подано»зствам универсума кодаости <Х.

ТЕОРШ 3.3.4. СлвОущие теории попарно' сикшксиче^ки биттерпретируела (раЗнолврно по к и 23): ГЛ(Р), 171 (£), 37цВ(У>), ЗТии.БиЬЬ :т(»,Еш1), ЗП(Ф1М07Кае+)), ТП(Ф,12(а:+)), 271«ае,Д>,11г(ае+))> а?е Я * С1, РМ, Егй,

Пзрвый вариант жрет 3.3.4 - доказательство того, что теории №(£)» 2ПСЖП)» 1?Ц<ж,2>/.(Ц )) Сшитерпрвтируемы в случаа, если основное тело является п^лом, - был получен диссертантом. Позднее, в совместной роботе [221 диссертант и О.й.Б&лэградек, сохраняя условие коммутативности С, .доказали ояинтбрпретлрувмость всех перечисленных в теореме 3.3.4 -теорий, зе исключением теорий №((?!(?)) и №(РЙ<У)). Вместе с результатами дассэртзнта это давало доказательство тесрнмы 3.3.4 лгл полей. Как в первоначальных доказательствах диссертанта, гак : в доказательствах в 122], существенно использовалась коммутативно ть. В настоящей работе это ограничение снимается: теорема 3.3.4 доказывается для произвольных тел.

Оценке логической сила теории . , получающаяся из таоремя 3.3.4, значительно пэрекрывзет следувдий результат иг совместной работа Ы.Ыагадора, Да.Розэнталя, Ы.Русина и Г.Сраура

(12, теорема 1.71: если й - поло и эе* = п(п(й1т У, |й|3, то в ТК(Р) синтаксически кнтерпрятируется 17га (эе") „

Логическая сила теорий ТП(ГЦ\Г)) и ТЩРГЦУ)) описывается теоремой 3.3.б: обе эти теории синтаксически биинтврпреткруамы с теорией структуры <зе,0> в логике К(аг^), которая отличается от логики !Ц <х+) только дополнитьльной возмокностью квантифакации по автоморфизмам тела О.

Яри ж > [Л! имеем, очевидно, равенстзо теорий Т11{<,я,П> и Тп(<.я,и> ,1ц,?, где 1Ц - полная логака

второго порядка. Отсюда легко следует, что элементарные теории групп Г1(У) и РГ1(У) синтйксичзски бдантерпретируемы с кавдой аз теория из списка теоремы 3.3.4. В частности, все теории а списке Г?1(Г1(7)), ШРШ?)), 171 (С1(Г)). ТЫКНУ)) попарно синтаксически биинтерпротируемы.,

Из теорем 3.314 и 3.3.5 слэдуот, что всо элэмьнтсркка теории, указанные в этих теоремах, неразрешимы и нестабильна (следстзиа 3.3.7). •

Параграф 3 гл. 3 завершает теорома 3.3.8, давдая критерий элементарной эквивалентности для ■эсконечномарпкх групп типов Г£, РГ7-, 07„ РИ. Пусть и - бесконечномерные векторные,

пространства над телами и За соответственно. Зсли я « - йЬ.РОЪ, то критерием элементарной эквивалентности групп в(У1) и й(У2) по теореме 3.3.4 является ^впадение теорий 2,(ее1,0,) = = 171«^,О^Л-Лае*)) и ТО^.й,)«: глКа^.Г^.Щгф). ,

Если Я = Г£, РГ£, то, по теореме З.Э.5, ЯО^) а ИОд) если и только если т«зе1,1)1>= 1Л«г^,2)г>.2(а^)). Ясно тагага, что условие ) = ) дает критерий

глбментарной эквивалентности решеток подпространств ) а

Р(\'2), полугрупп эндоморфизмов ВиЗ(\г1) и Епй(\г) и их проективных образов, а такка элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов £(У)'и €(Уг).

Обозначим через Т*(эе,Ш теорию 2П«х,1» ,£(х+)).. В условиях Г(ае1,0,> =» к Т*(а^.О^ = Г* ^.й,) в

значительной степени элиминирована "алгебра", которая заменена "теоризй множеств". Это обстоятельство делает указанные условия достаточно эффективными (см. ниже), и, таким образом, теорема 3.3.8 обеспечивает удовлетворительное решение проблемы У.Фельгнера для линейных групп.

т $ 4 приводятся примеры того, как проверяются условия Г(ае,,^1) = Г(ав2,В2) и Г*(ж. ) = Г*(аег,02). Ясно, например, что условие Г(эе1.£>1) = Г(аса,С2) влечет условия ж. н^ аг2 и

1У1(01,Ц(аг^)) = 1?1(0г,12(хр). Обратное неверно. Далее, если выбрать в качестве любое пло, описываемое с точностью до изоморфизма одним предложением в логике-второгр порядка, то получим, что при хг > условие = Г(зг2,0й) равносильно тому,

что ае^ )1>г |. ае1 «2 и ё Х>2. В квчэстве тел £>1 указанного

вида могут фигурировать поля О,К и С, счетные алгебраически замкнутые попя, конечные поля. Приводятся и другие примеры.

Кроме того, в { 4 проводится дополнительное исследование логической силы теорий вида ТЩГДЛ) (или, что то же самое, логической сшш теорий вида 2?1«гв,0>,£(-?*)). О привлечением результатов из работы (121 доказывается следующий факт: если 9 -алгебраически замкнуто поле, имеющее бесконечную степень трансцендентности над своим простым подоолем, то в ТЬ{ГЦУ)) синтаксически интерпретируется !7ц,(0) (предложение 3.4.3). Полезной иллюстрацией результатов $ 4 слукит

и

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4.5.

(О) G¿(K0,R) s GL{x,D) «—» GI(«0,(R) 3= GLiX.D) «—♦ э>. = »0 tt Л = IR;

(б) GI(»0,C) = GL(x,D) тогЗз и г.олыю тогОа, когба х =■■ «0 ц D - несчетное алгебраически залкнутое поле харгиоперисгши нуль;

(в) ГЬ(«0,С) = ГШ,0) «-» Г£(Н0,С) £ ч ае - »Q u DSC;

Ш видим, таким образом, что условие T(¿ex,D,J х T(x.¿,Da), необходимое и достаточное для элементарной эквивалености групп GUxl,D1) и GL{£¿,Ds), не является достаточным для элементарной эквивалентности групп Г1(зе1 ,д1) и Г1(эег,03).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Олегу Вильгельювичу Бэлеградвку за постоянное Енимакие к работе и стимулирующие обсуадения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бар Р. Линвйнья алгебр и проективная геометрия: Пер. о англ. -М.: Иностр. "Лит., 19Е5. - 399 с.

2. Важегаш n.M. Об элементарных теориях симметрических групп и полугрухш //Изв. вузов. - 1974. - К°1. - С. 16-20.

3. Важешш elm., Расин В. а б элементарной различаемости симметрических групп //XI Всесоюзк. алгебр, коллоквиум, Кишинев, 1971 г.: Резюме сообщ. и докл. - Кишинев, 1971.

4. Мальцев А.И. 00 элементарных свойствах литейных груш //з сб. Некоторые пробл. мат. и мех.. - Яовосиб! рек, СО АН СССР. -1961. - С. 110-132.

5. О'Мира а Лекции о линейных группах //В кн. Автоморфизмы

классических групп. Пер. с фр. и англ. ~ М.: Мир, 1Э76. - 0. 67-167,

6. о'Мира 0. ООщая теория изоморфизмов Л1швйних групп //В кн. Изоморфизмы классических групп над целостными кольцами. Пер. с англ. - М.: Мир, 1Э80. - С. 58-117.

7. Ремесленников &Н., Роианъков В. А. Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории груш // Итоги наука и техники ВИНИТИ. Сер. Алгебре. Топол. Геометрия. - М., 1S83, т. ?.1

- 0. 3-79.

8. Problem notebook In Mortal Theory and Сгоирз /IKS Durham Symposium, 16-28 July 1988.

J. Baldwin J., She 1 ah S. Second-order quantifiers arid the complexity of theories // Notre Daire J. Formal Logic. - 1085.

- V. 26. N*3. - P. 229-302.

10. Hahn A., 0*Heara 0. The classical groups and K-theory. -Berlin etc.: Springer, 198i.

11. McKenzie R. On elementary types oi symmetric groups //Alg. Univ. - 1971. - V.I. - № 1. - P. 13-20.

12. Nagldor K., Cosental J., Rubin И., Srour G. Some highly vmdecldatole lattices //Ann. oi Pure and Appl. Logic. - 1990.

- v„ 46. - i. - ?. 41-63.

13 » Pinus A. Elementary definability of symmetric groups //Alg.- Univ. - 1973. - V. 3. - H°1. - P. 59-66.

14. Rickart C. Isomorphisms ot lnTlnltc-alrsenalonal analogues of thri classical groups //Buii. Amer. Math. Soc. -1Э51. -V.57.

- P.435-448.

16. Rubin H.„ Shelah S. C:i the elementary equivalence oi antomorpiilsm groups oi boolean algebras, domnarrl

Skolem-Lowenhelm theorems and compactness of related quantifiers //J. of Symb. Logic. -1980. - N"2. - P. 263-283.

16. Shelah S. First-order theory of permutation groups //Israel. J. Math. - 1973. № 14. - P. 149-162.

17. Snelah S. Errata to: flrat-order theory of permutation groups //1згае1 J. of Math. - 1973. - № 15. - P. 437-441.

18. Shelah S. Interpreting set theory In the cndoKorphlsrp semi-group of a free algebra or in a category //Ann. Sci. de l'Univ. de Glermomt. - 1976. - N"13. - P. 1-29.

Работы автора no ieue диссертации

19. Белеградек 0. Е., Толстых а А. Логическая сила некоторых теорий, ассоциированных с бесконечномерным векторным пространством //Вторые матем. чтения памят»; М.Я.Суслина, Саратов, сэнт. 1991 г.: Тез. докл. - Саратов, 1991. - С. 25

20. Толстых R А. О некоторых интерпретациях в общей линейной группе //В сб.. Труды советско-французского коллоквиума по теории моделей. - Караганда, 1990. - С. 202-214.

21. Толстых. В. А. Интерпретация проективного пространства в

о'

общей линейной группа //10-я Всесоюз. коаф. по мат. логике. Алма-Ата, нояб. 1990 г.: Тез. докп. - Алма-Ата, 1990. - С. 161.

22. Belegradek 0., Tolstykh V. The logical complexity Of theories associated with an inflnl з-dimensional vector space // Proc. of the Ninth Easter conf. on model theory, бозеп, Apr. 1-6, 1991. - Berlin, 1991. - P. 12-34.

23. Tolstykh V. On elementary types of general linear groups // Советско-французский коллоквиум по тоории моделей, Караграцца, июль 1990 г.: Тез. докл. - Караганда, 1990. - С. 48-4У.

Kejut 2. Ь. Зо-ка3 Z37-, hr?t/pocK> /00