Теория дифракции рентгеновских лучей в твердотельных сверхрешетках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ШЗУВД>МЗЕЕНЬ& ШВЕРСИГЕТ Ш.И.3.ЛОМОНОСОВА 0П5ИЧЕСК1й ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

/

Прудников Илья Рудольфович

УЖ -539.2:548.73

ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГШОВСШ'К ЛУЧЕ!! В ' ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ СВЕРШШЕЕКАХ

Специальность - 01.04.07 Физика твердого тела

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1392

Работа Бкполкенг на кафедре физики твердого тела физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник А.В.Колпаков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Г.Ф.Кузнецов

доктор физико-математических наук в.Н.Чуховский

Ведущая организация: Институт проблем технологии микро- ■ электроники и особочистых материалов РАН, п.Черноголовка

Защита состоится "43 " 'НО&ОРуХ, 1992 г. в*/5" час*, на заседании Специализированного Совета й I {К 053.05.19) Отделения физики твердого тела физического факультета НУ по адресу: 119839, 1Ш, Москва, Ленинские Горы, ШУ. Физический факультет,* аудитория

Н7ФА.

. . С диссертацией козно ознакомиться в библиотеке физического факультета: - 1£ГУ

Автореферат разослан

ОЪСТСЬЬрЭЛ 992 года.

Ученый секретарь Специализированного Совета-Я I ОФТТ (К 053.05.19) Ш им. М.В.Ломоносова доктор физико-ыатематичееких наук

РС'Сс^Гк:.!"*.-*

I. Общая характеристика работы

Актуальность работы

Твердотельные сверхреыеткп (СР) из полупроводниковых материалов представляет собой искусственно выращенные кристаллы с одномерной периодической модуляцией параметра решетки и (или) электронной плотности вдоль выделенного 'направления. СР обладают рядом неординарных электрических, оптических и других физических свойств, благодаря которым С? используются при создании приборов и устройств микро- и оптоэлектроники. В последние годы интенсивно развивается перспективные технологии изготовления СР.

Развитие теории рентгеновской дифракции '(РД) в твердотельных С? представляет интерес, во-первых, с точки зрения фундаментальных исследований. К ялы можно отнести изучение особенностей структуры дифракционных полей внутри СР. Так, например; при теоретическом исследовании этой проблемы А.В.Колпаков и Ю.П.Хапачев (1973 г.) получили условие резонансного преобразования волновых полей з СР. Позднее И.Р.Энтик провел обширный цикл экспериментальных к теоретических исследований резонансного рассеяния рентгеновских лучей на ультразвуковых СР в схеме Лауэ и обнаружил ряд интересных эффектов. Эти работы положили начало новому направлению - рентгеновской акусгоолтяке.

Развитие теории РД в СР представляет большой интерес также с точки зрения прикладных исследований. Вследствие ванности СР для современной микро- и опгоэлекгроники возникает необходимость развития бесконтактных неразрушапцкх методов контроля и исследования их строения. Поскольку универсальным методом, удовлетворявшим поставленным требованиям, является двукрисгальная рентгеновская дифрактометрия, то возникает проблема разработки алгоритмов решения обратных задач" вычислительной диагностики строения СР по данным РД. В свою очередь строгая постановка и решение обратных задач требуют детального изучения прямых модельных-задач РД в СР.

Исследование прямых модельных задач РД в кристалле с периодическим одномерным полем искажений имеет большое значение также для развития рентгеновской модуляционной акустооптики.

Аналитического решения наиболее обшей динамической дифракционной задачи, которое позволило бы детально проанализировать структуру дифракционных полей внутри СР, изучить физику динами-

1 (?тг',г< >'

- I -

веского взаимодействия рентгеновских лучей со СР к исследовать зависимость угловой структуры коэффициента отражения от пгрзмет-рсз с вида модулирующей функции СР до настоящего Ереыени получено не было.

Цель работы

Настояная работа посвящена развитию"обшей"теории динамической РД б твердотельных СР. При этоы подробно исследована как наиболее ваЕная в практическом отношении схема дифракции по Брэггу. Цель настоящей работы заключалась в следующей:

а) в получении аналитического реиения задачи динамической РД в СР;

б) в теоретическом изучения фундаментальных особенностей структуры дифракционных полей в СР и физики динамического взаимодействия рентгеновских лучей со СР;

в) в аналитической исследовании зависимости угловой структуры коэффициента отражения СР от вида и параметров модулирующей функции;

г) в развитии математических методов решения систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, которые описывают РД в СР.

Научная новизна

В настоящей диссертации развита последовательная теория динамической РД в СР. Впервые получены прямые аналитические как приближенные, так и точные решения проблемы динамической РД по Брэггу в идеальной одномерной СР~с модуляцией параметра решетки и (шш) электронной плотности периодической функции общего типа. На основе этих решений проведен детальный анализ структуры' волновых полей в СР.

•Впервые получены аналитические внраненвя, описывающие угловую зависимость интенсивности отраженного от СР излучения. При этом указанные выражения охватывают весь угловой интервал дифракционного спектра. На основе этих выражений проведено детальное исследование зависимости углового положения, угловой ширины и амплитуды 'дифракционного пика (сателлита) произвольного порядка от вида и параметров фурье-сг.ектра модулирующей функции. Получены аналитические шракения для указанных характеристик сател-

литов.

Впервые подробно исследовано влияние фотоэлектрического поглощения на динамическую дифракции рентгеновских лучей по Брэггу в CP и проанализирована угловая зависимость коэффициентов поглощения дифракционных полей в СР.

Практическая ценность работы

Полученные результаты являются фундаментом для реализации обратных задач вычислительной диагностики строения CP и имеют важное практическое значение. На основе-полученных результатов возможно также развитие рентгеновской модуляционной акустоопти-ки в схеме Брэгга.

Апробация •

Результаты, изложенные в диссертации докладывались на Всесоюзном научном семинаре "Математическое моделирование и приложение явлений дифракции". Москва I99Q г.

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 4-х работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, двух приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет {SHстраниц, включая // рисунков и список литературы из 78 наименований.

2. Содержание работы

Во введении дано понятие сверхрешеточных структур, отражена актуальность настоящей работы, сформулирована ее цель и кратко изложено содержание диссертации. " . -

В первой главе содержится обзор работ, посвященных теоретическим и экспериментальным исследованиям РД в CP, анализируется современное состояние РД в CP, подробно изложена структура настоящей диссертации.

Обзор литературы состоит из двух частей. Первая часть осве-

!деет работы, б которых изучается кинематическая РД в СР. При изучении указанной проблемы в этих работах использовался метод дискретного суммирования рассеянных каждым атомным периодом волн. Обсуждается проблема выбора типа модулирующей функции, которая задает периодическое изменение параметра решетки и (или) электронной плотности кристалла в одном из направлений. Анализируются результаты теоретических-исследований кинематической РД в" случаях различных моделей модуляции: гармонической (синусоидальной), двухфононной, треугольной, прямоугольной, трапециевидной'И других моделей. На основе этого анализа сделан вывод, что детальное изучение структуры СР требует развития наиболее общей динамической теории РД. '

Во второй части обзора обсуждаются методы и результаты исследований динамической РД в СР. Для современной микроэлектроники основной практический интерес представляет решение задачи динамической РД на СР в схеме Брэгга, поскольку эта схема используется в двукрисгальных спектрометрах при исследовании строения СР. С .другой стороны, анализ содержащихся в литературе результа-' тов показывает, что проблема динамической РД по Брэггу в СР представляет значительные математические трудности. Используемые в ряде работ приближенные методы решения этой проблемы даже в наиболее простом случае гармонической модели модуляции приводят к аналитическим выражениям для дифракционных полей внутри СР настолько сложного вида, что их анализ оказывается практически невозможным. Это заставляет думать, что необходимы поиски новых подходов." ■

Во второй главе развит новый подход к решению задачи двух-волновой динамической РД в СР. В рамках этого подхода введены в рассмотрение поля ^ ,-кавдое из которых является комбинацией волн, принадлежащих одному центру распространения или А^. соответственно (рис.1). Амплитуды этих полей' Ф^^(Е) названы нами собственными решениями уравнений Такаги. С математической

точки зрения функции ясностью определяют амплитуда

получены уравнения,

дифракционных полей . В дкесертации

которым удовлетворяют функции случае одномерно искакек-

V»

ного кристалла с вариацией мекплоскостного расстояния и (или) электронной плотности вдоль оси % , направленной перпендкку-

Рис.1. Сечение дисперсионной поверхности в плоскости

рассеяния при симметричной дифракции по Брэггу на -

идеальном кристалле: п 1.0 - точки Лауэ и Лоренца,

соответственно; Б?> - входная поверхность кристалла;

\П - единичный зекгор внутренней нормали к входной

поверхности.кристалла; еС л Ь - ветви дисперсионной

г«) г£Ц ^ повеохносги; 1\о а л. и » - волновые вектооы волн

в кристалле, которые относятся к центрам распространения

А,| и А 2 » соответственно.

лярно его входной поверхности. Так, например, при условии вариации межплоскостного расстояния эти уравнения имеют вед

где Д. - толщина первичной экстинкции неискаженного кристалла", - вектор дифракции; - функция смещения рассеивающих

атомов в СР от их положений в идеальном коисталле; 7 — — ~ нормированная на ширину области

полного отражения угловая отстройка от неисправленного на преломление угла Брэгга , где (^У- О'-О'ъ - угловая отстройка, -фурье-компоненты

поляризуемости идеального кристалла, Р - поляризационный множитель; 0 - направляющие косинусы волнобых векторов падающей (О ) и отраженной (^) волн.

В диссертации проанализировано физическое содержание уравнений (I) и показано, что эти уравнения описывают внутризонное рассеяние полей в схеме Брэгга. Уравнения для собственных решений использовались нам при аналитическом исследовании динамической РД по Брэггу в СР. • ■• _ В случае периодической.модуляции периода решетки (

где X - период СР) решения уравнений (I) можно

найти лишь при помощи приближенных методов. В качестве таких методов в диссертации применялись теория возмущений и метод медленно меняющихся амплитуд. Нами получены выражения для амплитуд дифракционных полей в СР и интенсивности отраженного от СР излучения в первом порядке теории возмущений, а такке выражения для волновых векторов полей в СР во Етором порядке теории возмущений. Анализ этих выражений-показывает, что в случае достаточно толстой (динамической) СР полученные методом теории возмущений поправки к

амплитудам и волновым векторам полей эффективно возрастают в окрестностях углов, определяющих положения дифракционных максимумов (сателлитов). Это означает, что в угловых областях, отвечающих сателлитам, происходит резонансная перестройка волнового поля в кристалле. С математической точки зрения это означает, что в окрестностях углов, отвечающих сателлитам, теория возмущения неприменима. Таким образом, полученные на основе теории возмущений формулы справедливы только в угловых областях, отвечающих межса-теллитному фону.

В угловых областях, отвечающих сателлитам, решение уравнений '(I) проводилось при помощи метода медленно меняющихся амплитуд. При этом рассматривалась модель кристалла с периодической

модуляцией параметра решетки кг) (легированная СР) по закону -^(зБ')— %а (4.+"<8 Г^с)4) , где - параметр решетки идеального кристалла, £ - амплитуда кодуляции параметра решетки,

= р(52: + Т") - периодическая функция модуляции. Показано,

что кетод медленно меняющихся амплитуд справедлив при услозии достаточной малости амплитуды модулирующей функции 8 • Исследованы модели гармонической модуляции и периодической модуляции общего типа _р(3:)= 2 ^» где К^^дуТ - волновой вектор СР, ~ амплитуда По,-ой

фурье-гзрмонини модулирующей функции. Для указанных случаев получены аналитические выражения для дифракционных полей З)0'^^ . Анализ этих Быраяений приводит к следующим результатам: при динамическом рассеянии на СР в окрестностях углов, определяющих положения сателлитов, образуются угловые запрещенные зоны (зоны непропускания), аналогичные'обяасти полного отражения идеального кристалла. В пределах, этих зон каздая из амплитуд Л)0'^^ является экспоненциально изменяющейся с координатой функцией. Возникновение запрещенных зон обусловлено взаимным интерференционным гашением дифракционных полей при рассеянии на СР. Угловое

положение запрещенной зоны с номером На, (сателлита 1тъ-го порядка определяется отстройкой •

Л{Г_ т^Ж Л / т УЪ _

Л ТБ^^Д1 ЧГЛМ 1 гЫЫ1Г0 ?

где Я - длина волны падающего на кристалл излучения,/71= + 1, + 2.....Угловая ширина !ТЪ -ой зоны:

КгК 'Г1'

где Ю- - .вектор единичной нормали к входной поверхности £ = 0 ,

■ - угловая ширина области полного отражения идеального кристалла. Толщина первичной экстинкции дифракционного шля в це-

вдат.-=а „» Л^ л/(||аI е ■

В диссертации также установлено, что в случае гармонической модели модуляции Л^Л'8 "Т1/1 и 8^'£, ^ . Таким

образом, характеристики сателлитов существенно зависят от конкретного вида (фурье-спектра) модулирувдвй функции СР. Ширина запрещенной зоны с номером Уп. (толщина первичной экстинкции Л^,) убывает (возрастает) с ростом модуля зоны \УУЬ\ . Из полученных результатов следует, что сателлиты, которые характеризуются достаточно большой величиной Л^ (Л^"^ £ , где толщина

СР) являются кинематическими, то есть описываются в рамках кинематической теории. В случае легированной СР выполняются следующие

равенства: а Л(м<= А• в СИДУ последнего

равенства сателлиты с номерами Гги и— Ьъ имеют одинаковые амп-

литуды. - ' . '

В диссертации проведен подробный анализ полученных выражений для характеристик сателлитов и показано.их отличие от формул кинематической теории.

На основе метода медленно пенящихся амплитуд в диссертации' получено выражение для интенсивности отраженного от СР излучения, которое в наиболее простом случае прозрачного кристалла имеет вид

Й. 1 1

-171/

1П1

(2)

где -Р - толщина СР; = \ (I нормированная

I п - '

>г

(] пи ^ т ги Пы

на полуширину ^'ьОуп запрещенной зоны с номером Ьъ угловая

<1

отстройка от угла , определяющего положение ГП,-го сател-

и \Ч/п .ц >Я

лига; ^ = /^гпГ^В^ ' ЕСЛИ сателлиты хорояо

сззоешет, то ^^ = - Из (2) еле,дует, что амплитуда Юг-го " ' СЫ. <Гг»ъ

сателлита описывается формулой

-1 т.

р л Т

Откуда при "и «С'С/^ получаем результат кинематической теории, при имеет место полное отражение (по энергии) падающе-

го на СР излучения. В диссертации проведено подробное исследование выражения (2). -

На основе метода медленно меняющихся амплитуд в настоящей работе также получены аналитические выражения для амплитуд дифракционных полей и интенсивности отраженного излучения в случае

кристалла с одновременной модуляцией периода решетки и

о±Р,

электронной плотности /С (композиционная СР) по закону

, где о - амплитуда модуля-

ции электронной плотноегл. Показано, что при условии композиционной езерхрезегки положения запрещенных зон (сателлитов) не изменяются по сравнению со случаем легированной СР (£ £ 0, 8=0), однако появляется асимметрия характеристик запрещенных зон: запрещенные зоны с номерами Ьъ и — Ьъ имеют разные угловые ширины

и характеризуются разными значениями толщины первичной экстинк-ции. В силу последнего, амплитуда сателлитов с номерами \ГЬ и—Иг. также различны.

' В"диссертации рассмотрена задача РД на полубесконечной СР. Установлено, что для полубесконечной СР при неучете фотоэлектрического поглошения в угловых областях, отвечающих запрещенным зонам, всегда имеет место полное отражение падандей на кристалл энергии. ....

■ • В третьей главе изложены результаты решения проблемы РД в ■ СР, проведенного с использованием рекуррентных соотношений-ново-; го типа. Общее решение задачи динамической РД в СР на основе рекуррентных соотношений было получено А.В.Колпаковыы и Ю.Н.Беляевым (1883 г.) и имеет вид

_ашЛычч_?

г

гДе - коэффициент отражения СР, содержащей N одинаковых

сдоев (периодов) толщиной Т , - комплексный коэффициент

отражения (пропускания) одного периода СР, Ъ (Ъ) - комплексный коэффициент отражения (пропускания) одного периода при рассеянии от его обратной стороны с вектором В диссертации на основе уравнений Гакаги проведено вычисление коэффициентов .

.для различных моделей СР, а также обсуждена проблема Еыбора адекватной формы уравнений Такаги, которая необходима для правильного учета фаз волн, рассеянных на каадом периоде

Исследование общего решения (3) проводилось в три этапа: в рамках кинематики, пслудкнамики и последовательной динамической теории. На первом этапе показано как модифицируются формулы (3) в кинематическом приближении теории дифракции. Получено аналитическое выражение для коэффициента отражения кинематического кристалла с модуляцией параметра решетки периодической функцией общего типа и проанализирована его структура. Найдены выражения, описывающие угловые положения и ширины сателлитов, которые согласуются с известными результатами кинематической теории дифракции на модулированных структурах.

На основе рекуррентных формул (3) получено редение задачи

динамической ?Д на СР с периодом Т'С'СА. (полудинамическое

приближение). Б указанном случае рассеяние на каждом периоде СР рассматривалось в кинематическом приближении, а рассеяние во Есем объеме кристалла рассматривалось как динамическое.-При этом не накладывалось никаких ограничений на значение амплитуды модулирующей функция СР. Показано, что при условии Т^ССД. положения сателлитоз (запрещенных зон) описываются формулами кинематической теории дифракции. Получены аналитические выражения для угловой акрида запрещенной зоны произвольного порядка Ууъ и толщины первичной экстинкции, отвечающей Гкъ-ой зоне. Показана-взаимосвязь между результатами, полученными в главе 2 на основе метода медленно меняющихся амплитуд и результатами, полученными на основе рекуррентных соотношений.

В рамках полудинамического приближения выведено аналитическое выражение для интенсивности отраженного от СР излучения, которое в случае, например, легированной СР имеет вид

т.

- толщина первичной экстинкции, отвечающая

сателлиту с номером Ьъ , Л^Л ;

где = Т

фурье-гзрмоники периодической функции ВХ^^Ь^ЬЬ). явный вид параметра зависит от типа модулирующей функции СР.

Например, в случае гармонической СР "Ч^пгГ ^пг •>

где З^С^- функция Бесселя первого рода порядка 'ГУЪ. Структура выражения (4) аналогична структуре выражения (2), полученного в главе 2 методом медленно меняющихся амплитуд.

Наконец, на основе рекуррентных формул получено точное аналитическое решение задачи РД на кристалле с прямоугольной модуляцией периода реиетки. При этом не накладывалось никаких ограничений на величину периода СР и амплитуду модулирующей функции, а также полагалось, что рассеяние на кахдом периоде СР и во всем объеме кристалла является динамическим. Несмотря на то.., что указанная модель СР является иделизированной, анализ этого реие-ния позволил сделать ряд общих выводов о положения запрещенных зон и структуре полей внутри СР.

Глава 4 посвякена изучению влияния фотоэлектрического поглощения на динамическую РД по Брэггу в СР. При анализе этой проблемы использовались полученные в главах 2,3 аналитические выражения для дифракционных полей. Б настоящей главе получены выражения для коэффициентов поглощения дифракционных полей в СР я исследована -их структура. Показано, что внутри запрещенной зоны с номером Их , при не слишком большой величине толщины пергичной экстинкции А^

» где б^^&Ц^ - коэффициент-фотоэлектрического поглощения идеального динамического кристалла, отнесенный к нормали Уь и взятый при угловой отстройке Д^гп, , которая

определяет положение Юъ-го сателлите) и не слизком близко от границ зоны поглощение определяется, в основном, интерференционными эффектами-и списывается действительной частью параметра Д.пг (рис.2). Вне запрещенной,зоны по мере удаления от ее гра-

дийоакциошшх полей в СР от величины ¡-Г _

<5rn.fl

при симметричном отражении, где ^^п 1 ~ де1^ст" вйтельяая часть нормированной на полуширину Ьх-ой запрещенной зоны угловой отстройки

ниц, коэффициент поглощения по абсолютной величине асимптотически приближается к величине . Особенностью углоэой зависимости коэффициента поглощения в СР является то, что он достигает минимума вблизи границы каждой запрещенной зоны. Шнямальное значение коэффициента поглощения меньше величины при соответствующем значении угловой отстройки, что приводит к появлению угловых областей аномального пропускания полей в СР. В диссертации дано объяснение существованию угловых областей аномального пропускания на основе анализа пространственной интерференционной структуры волнового поля в СР, а также исследована зависимость минимального значения коэффициента поглощения СР от амплитуды

модулирующей функции, номера зоны по. и отношения Т/К.еЛ .

В Приложении I г.рг: помощи уравнений Такагп получено общее аналитическое решение проблемы кинематической РД е композицпок-кой СР.

В Приложении 2 развита матричная теория перехода к собственным решениям уравнений Тгкгги.

3. Основные результата и выводы

В настоящей диссертации получены следующие результаты: - I.' Развит новый подход к решению проблемы динамической РД в СР, заключающийся в переходе к представлению собственных решений уравнений Такаги. Показано, что этот подход является физически адекватным структуре рассматриваемой'задачи. Развита матричная теория представления собственных решений.

2. На основе указанного подхода развиты приближенные метода решения прямой модельной "задачи динамической" РД по Брэггу в кристалле с модуляцией периода решетки и (или) электронной плотности периодической"функции общего типа с применением теории возмущений и метода медленно меняющихся амплитуд. Впервые получено аналитическое решение проблемы динамической РД по Брэггу в СР и на его основе изучена физика динамического взаимодействия рентгеновских лучей'со СР, а также проведен детальный анализ структуры дифракционных полей в СР. Показано, что главной особенностью структуры дифракционных полей б СР является наличие запрещенных зон (зон непропускания).

3. Впервые получены аналитические выражения, описывающие угловую зависимость отраженного от СР излучения и исследована их структура. При этом указанные выражения охватывают весь угловой интервал дифракционного спектра.

4. Впервые проведено детальное исследование зависимости углового положения, угловой ширины и амплитуды дифракционного пика (сателлита) произвольного порядка от вида и параметров фурье-спектра модулирующей функции. Получены аналитические выражения для указанных характеристик-сателлитов и показано, что эти выра-

жения существенно отличается от формул кинематического приближения теории дифракци;:.

5. Впервые проанализировано точное решение задаче динамической БД по Брэггу в СР, полученное на основе рекуррентных соотнесений нового типа. Выведены-аналитические выражения для интенсивности отраженного от СР излучения и проанализирована их структура. Показана взаимосвязь- мезду результатами, полученными на основе рекуррентных соотношений и метода медленно меняющихся амплитуд.

6. Впервые исследована угловая зависимость коэффициентов фотоэлектрического поглощения дифракционных полей в СР. Показано, что указанные коэффициенты имеют минимум вблизи граница каждой запрещенной зоны; Установлено, что это обстоятельство приводит

к возникновению-угловых областей аномального пропускания полей з СР и дано объяснение указанному явлении. -.

Из приведенных вшпе результатов следуют вывода:

1. Подход с использованием собственных решений уравнений Такаги является физически адекватным проблеме динамической РД по Брэггу в СР и позволяет далеко продвинуться в описании как отражательных свойств С?, гак и структуры палей в них.

2. Главной особенностью структуры полей в СР является наличие запрещенных зон (зон непропускания), возникновение которых обусловлено взаимным интерференционным гашением полей при рассеянии на СР.

3. Полученные на основе аппарата рекуррентных-соотношений нового типа замкнутые выражения для комплексного коэффициента -отражения и комплексного коэффициента пропускания СР поддаются анализу как при рассмотрении различных приближений, так и при рассмотрении моделей, допускавших точное решение.

4. Результаты, полученные на основе рекуррентных соотношений нового типа-и при помощи приближенного метода медленно ыекяшихся амплитуд совпадают в рамках приближений, сделанных при их выводе.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

I. Колпаков A.B., Прудников И.Р.- Теория динамической дифракции рентгеновских лучей в твердотельных сверхрешетках // Математическое моделирование и приложение явлений дифракции: Тез.

' дохл.Bcecoss.KEj™. семинара. - M. : Пзд-во ГЛПГ, I99D. - С.74.

2. Kcugskob Л.2., йрудшзкс» II.Р. Теория дпнзквческой дсйракцив рекггеновокгх лучеП в ?ре?дс?ельн2Х с.-ерхрепетках. Прг"::н:г. !.;.: ;.ПГ, - 40 с.

3. Колпаков A.B., ПрудкпксЕ II.?. Теория динамической дкфракшк рентгеновских лучей в твердотельных сверхрешетках // Деп. в ВИНИТИ, ü 40S8-BS0. Деп. Ы., 1920. - 64 с.

4. Колпаков A.B., ПрудникоЕ П.Р. Теория дифракции рентгеновских лучей е твердотельных сверхрешетках // Бестн.Моск.ук-та. Сер.З. Физика. Астрономия. - Ï2SI. Т.32, И 4. - С.3-22.