Теория движения во внешних полях крупных аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ,:М£>СК(|ВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

■Л Ч г'"' Г "7

па правах рукописи

ХАСАНОВ АНИС САЛЯХОВИЧ

УДК 533.72

ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ КРУПНЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ С ПЕРЕМЕННОЙ ВНУТРЕННЕЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ

Специальность 01.04.14 - Теплофизика и молекулярная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1996

Работавьдюлнена на кафедре теоретической физики Московского Педагогического Университета

Научный руководитель:

Заслуженный деятель науки Российской Федерации, академик Международной Академии Наук Высшей Школы, доктор физико-математических наук, профессор Яламов Ю.И.

Официальные оппоненты:

академик АПСН, доктор физико-математических наук, профессор Дадиваяян А.К.

кандидат физико-математических наук Чапланова Й.Н.

Ведущая организация : Московская Академия Тонкой Химической Технологии им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится 28 февраля 1997 г. на заседании диссертационного совета Д 113.11.07 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Московском Педагогическом Университете но адресу : 107005, Москва, ул. Радио, 10" а". / /$~1 ОО С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Педагогического Университета.

Автореферат разослан " Й..» 1997г.

я

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Д.Л.Богданов

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Теория движения аэрозольных частиц в неоднородных газах представляет, как известно, большой научный интерес, а следствия из нее могут иметь широкие практические применения. В настоящее время определились три основные направления в рамках отмеченных теорий: термофорез, диффузиофорез, фотофорез. Эти направления достаточно глубоко и всесторонне исследовались в теоретических работах ряда отечественных и зарубежных ученых. Достаточно отметить работы ДерягшаБ.В., ВрокаДж., Яламова Ю.И. и представителей школы Яламова Ю.И.: Гайдукова М.Н., Щукина Е.Р., Юшканова A.A. и др.

В работах Яламова Ю.И. с сотрудниками было показано, что огромное влияние на скорость движения аэрозольных частил в поле градиента температуры ив поле электромагнитного излучения оказывает структура частиц. В более ранних работах по отношению к данной были рассмотрены двухслойные сферические частицы и было показано большое влияние ядра частицы на скорость ее движения, особенно если теплопроводность ядра существенно отличается от теплопроводности внешней оболочки. Однако, в реальных условиях трудно найти границу между ядром и оболочкой, а теплопроводность частиц может меняться непрерывно вдоль радиуса последней от центра к поверхности. Такой практически важный случай нигде ранее теоретически не исследовался. Поэтому, говоря об актуальности темы, достаточно сказать, что до настоящей работы оставался открытым вопрос о более строгом учете влияния переменной вдоль радиуса частицы теплопроводности на скорость ее движения в теории термофореза и фотофореза.

Цель работы.

Основной целью диссертационной работы является математи-

ческое обоснование и построение теории термофореза и фотофоре-за круянш твердых сферических аэрозольных частиц с переменной вдоль радиуса последних теплопроводностью. Под крупной обычно понимают аэрозольную частицу, радиус которой значительно больше средней длины свободного пробега молекул газовой среды.

Научная новизна.

Как у же отмечалось выше, в более ранних работах по отношению к данной была рассмотрена модель двухслойной аэрозольной частицы со скачком теплопроводности на границе ядра. В данной работе впервые строится теория обтекания неизотермическим газом неоднородной аэрозольной частицы с переменной вдоль ее радиуса теплопроводностью, выводятся выражения для силы, действующей на такую частицу, и, как следствие, формула для скорости частицы как в теории термофореза, так и в теории фотофореза. Далее, на основе полученных аналитических результатов делаются численные оценки влияния переменной вдоль радиуса частицы теплопроводности на ее скорость путем сравнения скоростей , вычисленных без учета и с учетом переменной внутренней теплопроводности.

Практическая ценность.

Полученные в диссертации формулы для скоростей термофореза и фотофореза крупной твердой сферической аэрозольной частицы с переменной внутренней теплопроводностью справедливы при любой физически разумной зависимости значения коэффициента теплопроводности в любой точке аэрозольной частицы от расстояния от этой точки до центра частицы. Поэтому эти формулы имеют кроме большого научного значения и практическую ценность, так как позволяют оценить влияние переменной теплопроводности на скорость частицы в очень широком классе практически важных случаев и провести соответствующую корректировку результатов, полученных на основе других моделей.

Защищаемые положения.

1. Обобщение метода Осеена на неизотермический случай для решения гидродинамической части задач о движении аэрозольных частиц во внешних полях с учетом инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики.

2.Теория движения крупной твердой сферической неоднородной по теплопроводности аэрозольной частицы в поле постоянного на большом удалении от частицы градиента температуры с учетом инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики и скачка температуры в слое Кнудсена.

3.Теория движения крупной твердой сферической неоднородной по теплопроводности аэрозольной частицы в однородном поле оптического излучения с учетом инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики и скачка температуры в слое Кнудсена.

4. Модельные задачи и соответствующие этим моделям формулы для учета влияния переменной внутренней теплопроводности на скорость движения частицы во внешних полях.

Апробация.

Материалы диссертации были доложены на семинарах кафедры теоретической физики Московского Педагогического Университета (МПУ), проводимых под руководством профессора Ю.И.Яламова, на ежегодных научных конференциях преподавателей МПУ в 19951996 годах, на Международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, июль 1996 г.), на Международном Аэрозольном Симпозиуме 1АБ-3 (Москва, декабрь 1996 г.).

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трехглав, анализа полученных результатов, основных выводов и списка литературы. Общий объем диссертации - 148 страниц машинописного текста. Список

литературы содержит 230 наименований.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дается общая характеристика работы. Основная часть диссертации, состоящая из трех глав, посвящена изучению движения во внешних по лях крупной твердой сферической аэрозольной частицы, взвешенной в неоднородном по температуре однохом-понентном газе. Так как частица крупная, то число Кнудсена А/а, где А - длина свободного пробега газовых молекул, а - радиус частицы, является величиной малой (по системе классификации частиц в теории аэродисперсных систем). Кроме того, в случае рассматриваемых нами движений число Рейнолвдса [/а/и, где ¡7 - скорость обтекающего частицу потока газа на большом удалении от частицы, а V - коэффициент кинематической вязкости газовой среды, является величиной малой (число Рейнольдса мы будем обозначать через

Щ.

Во всех трех главах рассмотрение движения начинается в системе координат, начало которой совпадает с центром тяжести газовой среды. Поверхность частицы неоднородно нагревается, и газ начинает скользить вдоль поверхности в направлении возрастания температуры, вызывал появление (термофоретической или фотофоре-тической) силы, действующей на частицу. Но на частицу действует и сила вязкого сопротивления среды. Когда суммарная сила, действующая на частицу, равна нулю, частица начинает двигаться равномерно и прямолинейно с нешторой скоростью. Далее переходим в систему координат, начало которой совпадает с центром частицы. Положительное направление оси Ох выбирается в соответствии с внешним полем. Под внешним полем мы имеем в виду поле постоянного на большом удалении от частицы градиента температуры (УТе)^ (термофоретический случай) или однородное поле оптического излучения интенсивностью I (фотофоретический случай). В термофоретическом случае положительное направление оси Ох выбирается параллельно вектору (УГЕ)ТС, а в фотофоретичес-

ком случае - параллельно вектору I. Переходя к сферическим координатам г, в, </>, угол в мы будем отсчитывать от положительного направления оси Ох. В системе координат Охуг частота неподвижна, а газ обтекает частицу. Ясно, что скорость газа на бесконечности Ьгг равна величине скорости частицы (в системе координат, связанной с центром тяжести газовой среды), взятой с обратным знаком, т.е. скорость частицы равна —Иг. Рассматривая стационарное движение газа относительно частицы, мы приходим к следующим уравнениям и граничным условиям:

(у,у)т7 = -~Ур+1/ЛТЛ (1)

йЬУ = 0, (2)

у Л = и, V; I =о, у Л =о, р\ = Рвоа, гз)

15--► СЮ ' "[г-»«) 7 СО ' 1 Г—* ОО х-си. 1 ч ,

я, дтл

(4)

где V - скорость потока. т/г и Ге -плотность, давление, вязкость и температура газа соответственно. Те0 - значение температуры Тв при г = 0, - коэффициент теплового скольжения. Всюду в дальнейшем нижний индекс г при какой-то неременной означает, что эта переменная является характеристикой частицы, а нижний индекс е или отсутствие индекса означает, что соответствующая переменная является характеристикой газовой среды. Так как внешшхе поля являются осесимметрическими относительно оси Ож, то все переменные величины являются функциями только т и в, а У,„ =0. Величины V и /?, а следовательно и г?, мы будем считать постоянными.

В Главе I рассматривается термофорез крупной твердой сферической однородной по теплопроводности аэрозольной частицы с учетом инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики и скачка

температуры в слое Кнудсена. К гидродинамической части этой задачи (1)-(4) добавим и тепловую часть:

А Те = О,

А2- = О,

дП

1 дг

(Те

= Кг.

т

дг дТе

Ст А

дг

(Ге -Ге0 - ¡(УТ^гок в)

= О,

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

где Т{ - температура внутри частицы, Н{ и не - коэффициенты теплопроводности газа и частицы соответственно, Ст - коэффициент скачка температуры. Величины Г; и Тс являются функциями г и в. Будем считать, что функция Т{ является ограниченной, а сходимость к нулю в условии (9) является равномерной по 9.

Так как решение этой задачи является фундаментом для последующих обобщений, то уделяется внимание вопросам математического обоснования решения этой задачи. Для тепловой части задачи сначала доказывается теорема единственности и существования решения, а затем приводится само решение. Так как при решении гидродинамической части задач будет применяться как обобщение метода Стокса на неизотермический случай, так и обобщение метода Осеена, в главе I приведены последовательно оба метода.

Интегрирование уравнений гидродинамики в точном виде удается редко. Это приводит к приближенным методам. Если в уравнении (1) отбросить все инерционные члены и рассмотреть уравнение

Ур = г) АУ

(10)

вместе с уравнением (2) и условиями (3)-(4), то получим обобщение метода Стокса на неизотермический случай. При малых числах Рейнольдса такой подход применим, но решение Стокса пригодно только в той области, в которой величина Ur(v достаточно мала, т.е. вблизи частили. В противном случае из уравнения Навье-Стокса (1) отбрасываются члены, которые на достаточно больших расстояниях от поверхности частицы становятся сколь угодно большими по сравнению с остальными членами. При решении задачи об обтекании кругового цилиндра плоским потоком вязкой жидкости подход Стокса приводит к парадоксу. Поэтому в гидродинамической части задачи применяется обобщение метода Осеена на неизотермический случай, т.е. уравнение Навье-Стокса (1) заменяется на приближенное уравнение:

dV 1

U-- = —Vp+i/AF, (И)

ах р

в котором оставлены важнейшие из инерционных членов и решение которого является хорошим приближением как прималых, так ипри больших расстояниях от частицы.

После нахождения VT, Vo, р находятся составляющие тензора напряжений ргг затем величина силы, действующей на частицу, по формуле:

F =( jj(prг cos 9- рг9 $тв) dS)i, s

где 5 - поверхность частицы. Из выражения для силы F получаем

—*

ее термофоретическую составляющую Ft и силу вязкого сопротивления Fv:

„ А

n2 He+HiCT- / 3 Л Ft = -ЫаКгп-Ь--т-^гу 1 + -Re (VT.)^

= + | Де^ Г. (13)

—*

Из (12) и (13) следует, что и , и содержат один и тот же множитель 1 + 3/8Яе. Поэтому, скорость частицы нечувствительна к учету инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики в рамках подхода Осеена. Из условия Р = 0 получаем формулу для скорости термофореэа:

2[к. + х1Ст-) = ---7-(14)

В Главе II решается задача о термофорезе крупной твердой сферической неоднородной по теплопроводности аэрозольной частицы с учетом инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики и скачка температуры в слое Кнудсена. Гидродинамическая часть этой задачи и метод ее решения не отличается от гидродинамической части (1)- (4) задачи о движении однородной по теплопроводности аэрозольной частицы и метода ее решения. Что касается тепловой части (5)-(9), то в случае неоднородной по теплопроводности частицы уравнение (б) заменим на следующее уравнение:

(йи(я,-У2;)=0, (15)

где XI, вообще говоря, является функцией г, в, </>. С одной стороны, упрощая математическую сторону дела, а с другой, оставляя объектом исследования большинство природных аэрозольных частиц и частиц, полученных искусственным путем, оставим только зависимость от г, т.е. будем считать, что

- И -

В общем случае мы не связываем себя с какой-либо фиксированной зависимостью коэффициента теплопроводности от координаты г. Сделаем только несколько предположений, носящих общий характер. Под^(г) мы будем иметь в виду положительную функцию, заданную на некотором промежутке [0, &), содержащем отрезок [0, а]. Функцию Н{ (г) будем считать представимой в виде ряда:

оо

= (17)

¿=0

где г € [0,6), а - коэффициенты разложения. Также будем предполагать, что продолжение и* функции я ¡{г) на комплексную плоскость С

оэ 4=0

где í 6 С и (¿1 < Ь, не имеет нулей внутри круга ¡¿| < Ь. Тогда уравнение (15) можно представить в виде:

•к' г¥Г■

д (м)

Решение тепловой части этой задачи находится на основании решения задачи (5)-(9), путем его обобщенна на случай неоднородной частицы. Используя формулы, полученные при решении гидродинамической задачи главы I, получаем:

„2 яе 4- п/ъ(а)Ст-= ~12паКтзг 1е-------------а--

1 „ т

еО

uT = -к.

T Si

xt + 7x¡(a)Cr ■

fieJt

ей

2не + 7 к, (а) I 1 -f 2C'T

O^L.

где Xj(a) - значение коэффициента теплопроводности на поверхности частицы, а 7 - некий коэффициент, характеризующий переменную внутреннюю теплопроводность частицы. Для 7 приведена формула и дал ее анализ.

Пусть а = /? = CyA/a. Тогда скорость термофореза

Ut ) вычисленная с учетом переменной внутренней теплопроводности, можно следующим образом выразить через скорость термофореза Що, вычисленную без учета переменной внутренней теплопроводности (т.е. по формуле (14)):

UT = Uto \ 1 +

a(l - 7)

(a+ 0)[2a +(1 + 20)7]

(22)

В качестве модельной задачи рассмотрена частица с сильно выраженной неоднородностью, т.е. такая частица, теплопроводность которой в центре существенно отличается от теплопроводности на границе. Для этой цели выбрана экспоненциальная зависимость :

x,(r) = xi(0)exp(kr),

(23)

a

где к - произвольная постоянная. В модельном случае для всех величин, характеризующих влияние неоднородности, получены аналитические выражения. Подробный анализ формулы (22) дается в общем анализе результатов, полученных в диссертации.

В Главе III решается задача о фотофорезе крупной твердой сферической неоднородной до теплопроводности аэрозольной частицы с

учетом инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики и скачка температуры в слое Кнудсена. В этой задаче частица одновременно находится в однородном поле оптического излучения с интенсивностью П и в поле температуры с постоянным значением температуры вдали от частицы. Поглощение света частицей приводит к возникновению источников тепловой энергии с плотностью Так как плотность источников тепла имеет вид ¿ги(—щ УТ,), то на основании вышесказанного, в тепловой части (5)-(9) уравнение (6) следует заменить на уравнение

+ 0, (24)

а условие в бесконечности (9) на условие

Г,

= Теоо, (25)

г-> оо

где сходимость к Геоо является равномерной по в.

Гидродинамическая часть (1)-(4) остается без изменений. Тепловая часть этой задачи решается последовательно. Сначала для однородной частицы доказывается теорема единственности и существования решения, а затем приводится само решение и, как следствие, формулы:

Ртк = -4тг аКты--^-р-х

х С1+1^) / ^^^ (2б)

V

2

УрЬ. = 31

dV l (27)

где и ирь. - фотофоретическая сила и скорость соответственно. Затем это решение обобщается для неоднородной частицы. Гидродинамическая часть (1)-(4) тоже решается последовательно. Сначала для ее решения применяется обобщение метода Стокса на неизотермический случай, а затем это решение обобщается уже путем применения метода Осеена. В результате по формулам главы I получаем:

Ррк = -4тг аКТ51-

Те0 [ 2хе + 7>r,(a)(l + 2СТ

т"т 2 ТУ

=-TKtsi—?-ргх

Те0 \ 2хе -f 7x,-(a)(l + 2СТ -)\

x(^j(rn(r)qir,i)dVy, (29)

где m(r) - некоторая весовая функция, характеризующая влияние переменной внутренней теплопроводности на величину дипольно-го момента плотности тепловых источников qt. Приводится формула для функции mir). Скорость фотофореза Uvh, вычисленную с учетом переменной внутренней теплопроводности, можно следующим образом выразить через скорость фотофореза Uph0-, вычисленную по формуле (27) при н,: = (а):

UPh — Uphо x

(r - \) (1 + 2ß + 2a) + (1 - T)(l + 2ß),

x J 1 J- Л_^_l

1 ' 2a + (1 + 2% /' (3Q)

где

д = /(m(r) qt f,i)dV11(g,f, i) dF. (31)

V V

Если аэрозольная частица поглощает электромагнитное излучение как черное тело, то поглощение происходит в очень тонком слое толщиной 6} где S <Ca, прилегающем к освещенной части поверхности частипы (тг/2 ^ в ^ тг). В этом случае можно показать, что

Qi(r,e) ~-~cos/?, где a-S^r^a. (32)

о

Тогда для черного тела формулы (28) - (29) упрощаются: Fvk=2iraKTsl^---Г(1 +he)ll (33)

2еС 2*e+7*,-(a)(l + 2CT-) *

а

TL, ----г-11 (34)

С" п 1 Э 1 rp \ ' \ J

6 2хе + 7л-, (а)(1 + 2Ст -)

&

(3б)

Подробный анализ формул (33) - (35) дается в общем анализе результатов диссертации.

В заключение рассматривается задача о фотофорезе аэрозольной частицы с сильно выраженной неоднородностью. В этом случае получены аналитические выражения для всех величин, характеризующих влияние переменной внутренней теплопроводности.

Анализ полученных результатов

Основным результатом главы I является построенная в ней теоретическая база для последующих обобщений в главах II и III. В частности, учет инерционных эффектов в уравнениях Навье-Стокса (в рамках подхода Осеена) приводит к появлению дополнительного (по сравнению с обобщением метода Стокса на неизотермический случай) множителя 1 -f- ЗДе/8 в выражениях для термофоретичес-кой силы и силы вязкого сопротивления. Следовательно, скорость частицы нечувствительна к учету инерционных эффектов в рамках подхода Осеена.

Анализ результатов главы II начнем с анализа коэффициента 7, характеризующего влияние переменной внутренней теплопроводности. Рассмотрим 3 случая.

Случай 1. Общий случаи, т.е. щ = щ{г),

В этом случае

ОО / оо

7-£(S + l)«x/X>sa*, (36)

s—0 ' з=0

где а0 = 1, а коэффициент as при любом s ^ 1 определяется по формуле:

= -——р---, (37)

s(s + 3) 4 ;

где, в свою очередь, Ь0 — 2, Ьг = /х,-)0, а коэффициенты Ьй при любых s ^ 2 определяются по офрмуле:

8 и»Ху i

h =-—-. (38)

о

Оба ряда в формуле (Зб)являются сходящимися. Сравнивая формулы (14) и (21) легко установить, что в общем случае аэрозольную частицу с переменной внутренней теплопроводностью я,- — х, (г) (в рамках развитой нами в случае термофореза теории) можно рассматривать как однородную по теплопроводности аэрозольную частицу с коэффициентом теплопроводности -уя,- (а).

При проведении всего анализа мы будем считать, что изменение Xi(r) подчинено следующему (физически разумному) условию:

0.1 < ^ < 10. (39)

Случаи 2. Однородная по теплопроводности аэрозольная-частица, т.е. x¡ = Xi (а). В этом случае из формулы (36) следует, что

7 = 1. (40)

Подставляя в формулу (21) 7 = 1, получаем формулу (14).

Случаи 3. Модель частицы с сильно выраженной неоднородностью по теплопроводности,т.е. щ{т) = я,(0)ехр(кг). В этом случае из формулы (36) следует, что

/ ехр(х) -1-х \ ■ . .

7" V ехр(х)~ 1-х-х>/2Г'=-ь- 1 j

Формулы (40) и (41) могут быть получены и путем непосредственного решения дифференциального уравнения (19).

В случае частицы с сильно выраженной неоднородностью по теплопроводности условие (39) равносильно условию —2.3 ^ ак ^ 2.3, которое, в свою очередь, равносильно условию

0.586 ^ 7 < 1.800. (42)

Условие (42) обобпшм: при проведении всего анализа мы будем считать, что величина 7 меняется в пределах, указанных в условии (42).

Переходим к анализу формулы (22), показывающей влияние переменной внутренней теплопроводности на скорость термофоре-за. В формуле (22) фигурируют величины а и /?: а — хе/х1{а.). ¡3 = Ст\/а. При проведении всего анализа будем считать, что выполнены следующие условия:

0.001 ^ а < 1, 0 < 0 ^ 0.3. (43)

Условие на а охватывает достаточно широкий спектр сочетаний среда - частица. Выбор границ изменения величины ¡3 продиктован тем фактом, что мы рассматриваем крупные аэрозольные частицы.

Из формулы (22) следует, что вклад переменной внутренней теплопроводности в скорость термофореза определяется функцией

1 1 1-7

7) = 1 + Р/а 1 + 2/? 7 + 2а/(1 + 2/?)' (44)

При определении /(а, /?,7) существенным может оказаться отношение величин ¡3 и а:

^ = (45)

а не а

а не сами величины а и/9, которые, как правило, являются величинами малыми (см. условия (43)). Теоретически ¡3 ¡а может принимать любые положительные значения. Рассмотрим три случая.

Случаи 1. Зона средних значений (¡¡ос.

1 ^ - ^ 10. (46)

а

Для проведения анализа с опорой на экспериментальные значения выбран эксперимент, в котором выполнены условия (43) и (46). Изучая функцию (44) при условиях (43) и (46) показано, что учет переменной внутренней теплопроводности в условиях эксперимента может привести как к уменьшению скорости термофореза на 9.1%, так и к увеличению ее на 11.5%. Для сравнения отметим, что для объяснения расхождения между результатом этого эксперимента и теоретическим значением скорости термофореза через эффект переменной внутренней теплопроводности необходимо, чтобы относительный перепад переменного коэффициента теплопроводности на расстоянии в один радиус частицы составлял 63%. Если же опенку функции (44) провести при условиях (42), (43) и (46) безотносительно эксперимента, то получим, что учет переменной внутренней теплопроводности может привести как к уменьшению скорости термофореза на 22.2%, так и к увеличению ее на 35.3%.

Случаи 2. Зона больших значении /9/а.

£ > 10. (47)

а

Как ив случае 1, сначала рассматривается эксперимент, в котором выполнены условия (43) и (47), а затем функция (44) оценивается безотносительно эксперимента. В этом случае учет- переменной внутренней теплопроводности может привести как к уменьшению скорости термофореза на 4%, так и к увеличению ее на 6.4% и, имеющее место расхождение между теоретическим и экспериментальным значениями скорости термофореза нельзя объяснить через эффект переменной внутренней теплопроводности из-за слабого вклада этого эффекта (в условиях выбранного эксперимента расхождение между экспериментальным и теоретическим значениями скорости термофореза составляет 24%.)

Случай 3. Зона малых значений ßfa.

а

Так как обычно в экспериментах величина я; (а)/не не является малой, то этот случай может иметь место только для сверхкрупных частиц. В этом случае показано, что учет переменной внутренней теплопроводности может привестикок к уменьшению скорости тер-мофореза на 44.4%, так и к увеличению ее на 70.6%.

Объединяя теперь все три случая, заключаем, что в развитой нами теории учет переменной внутренней теплопроводности может из-мененить скорость термофореза существенно: уменьшить ее на 44.4 % и увеличить на 70.6%.

Анализ результатов главы III начнем с анализа весовой функции m(r) в формулах (28) - (31). Рассмотрим 4 случая.

Случаи 1. Общий случай, т.е. щ — х;(г). В этом случае формула для вычисления весовой функции т(г) имеет вид:

где ряд в числителе сходится при 0 С г < а . Сравнивая формулы (27) и (29) легко установить, что аэрозольную частицу с переменной внутренней теплопроводностью я{ — щ (г) и плотностью тепловых источников д1 (в рамках развитой нами в случае фотофореза теории) можно рассматривать как однородную по теплопроводности аэрозольную частицу с коэффициентом теплопроводности 7щ (а) и плотностью тепловых источников т(г)д,-.

Случай 2. Однородная по теплопроводности аэрозольная частица, т.е. х, = ^¿(а). В этом случае из формулы (49) следует, что

Так как у = 1, то в этом случае формулы (27) и (29) совпадают.

(49)

т(г) = 1.

Случаи 3. Модель частицы с сильно выраженной неоднородностью по теплопроводности, т.е. щ(г) = )ехр(кг). В этом случае из формулы (49) следует, что:

Формулы (50) и (51) могут быть выведены и путем непосредственного интегрирования дифференциального уравнения (24).

Случай 4. Частица с поверхностным поглощением энергии. В этом случае <^(г, в) = 0 при г 6 [0,а — <Л, где 5 является величиной малой. Поэтому, можно считать, что

Но из формулы (49) следует, что т(а) = 1, следовательно,

и формулы (28) - (30) переходят в формулы (33) - (35) соответственно.

Объектом для дальнейшего анализа берутся формулы (33) - (35). Остановимся сначала на предварительном анализе формулы (33) с опорой на экспериментальную работу, в которой по определенной методике измеряется величина фотофоретической силы, действующей на частицу. В эксперименте показано, что величина фотофоретической силы убывает с ростом давления и возрастает (прямо пропорционально) с ростом интенсивности внешнего оптического излучения. Легко показать на основе формул молекулярной физики, что формула (33) содержит эти закономерности. Переходим к анализу, связанному с переменной теплопроводностью. Объектом анализа возьмем формулу (35), т.к. она содержит функцию:

ш(г) =

ехр(-кг) - 1 + кг - Р г2/2 ехр(—ка) — 1 + ка ~ к2 а2/2

т(г) = т(а).

т(г) = 1,

(52)

1 1-7

1 + 2/3 7 + 2а/(1 + 20)'

описывающую влияние переменной внутренней теплопроводности на скорость фотофореза. Т.к. формула (53) не содержит отношение /?/а, то чисто условную разбивку на случаи проведем по значению о;.

Случаи 1. Высокая относительная проводимость частицы, т.е.

10"3 ^ а ^ 10~2.

В этом случае учет переменной внутренней теплопроводности может привести как к уменьшению скорости частицы на 44%, так и к увеличению ее на 67%.

Случай 2. Средняя относительная проводимость частицы, т.е.

10~2 ^ КГ1.

В этом случае учет переменной внутренней теплопроводности может привести к уменьшению Ур/, на 43% и увеличению ее на 64%.

Случаи 3. Малая относительная проводимость частицы, т.е.

Ю-1 ^ а ^ 1.

В этом случае учет переменнойвнутренней теплопроводности может привести к уменьшению на 40% и увеличению ее на 50 %.

Объединяя все три случая мы видим, что переменная внутренняя теплопроводность может существенно влиять на скорость фотофореза: уменьшить ее на 44% и увеличить на 67%. Поэтому, как в экспериментах по фотофорезу, так и в экспериментах по термофорезу необходимо использовать однородные аэрозольные частицы или аэрозольные частицы, полученные искусственным путем.

Основные результаты и выводы.

1. Обобщены формулы для термофоретической и фотофоретичес-кой сил с учетом инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики и скачка температуры в слое Кнудсена.

2. На основании обобщенных формул для сил доказано, что скорость частицы остается нечувствительной к учету инерционного члена в уравнениях гидродинамики (в рамках метода Осеена) в теориях термофореза и фотофореза.

3. Впервые предложена модель неоднородной аэрозольной частицы, теплопроводность которой может непрерывно меняться вдоль радиуса последней от центра к поверхности. Сформулированы условия самого общего характера, которым должна удовлетворять указанная модель.

4. Для указанной неоднородной по теплопроводности аэрозольной частицы впервые решена задача о термофорезе в поле постоянного на большом удалении от частицы градиента температуры с учетом инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики и скачка температуры в слое Кнудсена. Найдены поля температур внутри и вне частицы, ее скорость термофореза и величина термофоретической силы. Выведена формула для сравнения скоростей термофореза, полученных с учетом и без учета переменной внутренней теплопроводности.

5. Впервые рассмотрена модель неоднородной по теплопроводности частицы с сильно выраженной неоднородностью. В отличии от общего случая, в котором решение получено с помощью рекуррентных формул, в этом частном случае получены аналитические представления всех величин, характеризующих влияние неоднородности по теплопроводности на поля температур внутри и вне частицы, на термофоретическую силу и скорость термофореза.

6. Впервые решена задача о фотофорезе неоднородной по теплопроводности частицы в поле однородного оптического излучения с учетом инерционных эффектов в уравнениях гидродинамики и скач-

ка температуры в слое Кнудсена. Найдены ноля температур внутри и вне частицы, ее скорость фотофореза и величина фотофоретичес-кой силы. Выведена формула для сравнения скоростей фотофореза, полученных с учетом и без учета переменной внутренней теплопроводности.

7. Изучена модель неоднородной по теплопроводности аэрозольной частицы с поверхностным поглощением энергии внешнего оптического излучения (черное тело). Получены формулы для фотофоре-тической силы и скорости. Выведена формула для сравнения скоростей фотофореза, полученных с учетом и без учета внутренней теплопроводности.

8. Путем прямого интегрирования дифференциального уравнения решена задача о фотофорезе аэрозольной частицы с сильно выраженной неоднородностью по теплопроводности. Найдены аналитические представления для всех величин, характеризующих влияние переменной внутренней теплопроводности на поля температур внутри и вне частицы, на фотофоретическую силу и скорость.

9.В развитой в диссертации теории движения во внешних полях аэрозольная частица с переменной внутренней теплопроводностью может рассматриваться как однородная по теплопроводности частица с коэффициентом теплопроводности, равным значению коэффициента теплопроводности на поверхности частицы, умноженному на некоторый коэффициент, X ар актер иву ющкй переменную внутреннюю теплопроводность, а в фотофоретическом случае вместо дипольного момента тепловых источников нужно использовать дипольный момент с поправочной весовой функцией.

10. На основании формул для сравнения скоростей, полученных с учетом и без учета переменной внутренней теплопроводности, доказано, что переменная внутренняя теплопроводность может оказывать существенное влияние на скорость частицы как в теории тер-мофореза, так и в теории фотофореза. Поэтому в экспериментах необходимо использовать однородные аэрозольные частицы или аэро-

зольные частицы, полученные искусственным путем.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Яламов Ю.И.,Хасанов A.C. ПарадоксСтокса.. -М.: МПУ, 1991.25 с.

2. Яламов Ю.И., Хасанов A.C. Применение метода Осеена в задаче о термофорезе твердой сферической крупной аэрозольной частицы. - М.: МПУ, 1994.-57 с.

3. Яламов Ю.Й., Хасанов A.C. Термофорез твердой сферической крупной аэрозольной частицы с переменной теплопроводностью. // М.: МПУ, 1995,- 23 е.- Деп. в ВИНИТИ N 3197-В95

4. Яламов Ю.И., Хасанов A.C. Термофорез твердой сферической крупной аэрозольной частицы с переменной теплопроводностью с учетом скачка температуры на поверхности. //М.: МПУ, 1995.23 е.- Деп. в ВИНИТИ N 3194-В95

5. Яламов Ю.И., Хасанов A.C. Термофорез твердой сферической крупной аэрозольной частицы с учетом инерционнных эффектов в уравнениях гидродинамики. ,//М.: МПУ, 1995.- 33 е.- Деп. в ВИНИТИ N3196-B95

6. Яламов Ю.И., Хасанов A.C. Математическое обоснование теории фотофореза аэрозольных частиц с переменной теплопроводностью. //М.: МПУ, 1996.- 24 с,- Деп. в ВИНИТИ N 2280-В96

7. Яламов Ю.И., Хасанов A.C. Теория термофореза неоднородных аэрозольных частиц //ТВТ.- 1996.- Т.34.- N 6.- с. 929 - 935

8. Яламов Ю.И., Хасанов A.C. Математическое обоснование теории термофореза аэрозольных частиц с переменной теплопроводностью. /Тез. докл. Международной научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах",- Тверь, 1996.- с.166

9. Яламов Ю.И., Хасанов A.C. Математическое обоснование теории фотофореза аэрозольных частиц с переменной теплопровод-

ностью. /Тез. докл. Международной научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах".- Тверь, 1996.- с.115 10. Яламов Ю.И., Хасанов A.C. Теория движения во внешних полях аэрозольных частиц с переменной внутренней теплопроводностью. /Тез. докл. Международного аэрозольного симпозиума

IAS-3".- М., 1996.- с.12