Теория и методы анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексно-сопряженными показателями

Арбузов, Андрей Александрович

Теория и методы анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексно-сопряженными показателями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Арбузов, Андрей Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Теория и методы анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексно-сопряженными показателями»

Автореферат диссертации на тему "Теория и методы анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексно-сопряженными показателями"

На правах рукописи

АРБУЗОВ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Теория и методы анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексно-сопряженными показателями

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ии^4 УБ44Э

Казань - 2009

003476449

Работа выполнена на кафедре теоретической физики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Нигматуллин Равиль Рашидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Новиков Геннадий Фёдорович

Защита состоится 22 октября 2009 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.15 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, д. 18

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор Овчинников Игорь Васильевич

Ведущая организация: Физический факультет Московского

государственного университета им. М.В.Ломоносова

Автореферат разослан

Учёный секретарь

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Работа посвящена обобщению фрактальной теории диэлектрической релаксации (основанной на усреднении многочисленных самоподобных движений отдельных диполей и носителей заряда к нескольким коллективным (групповым) процессам [1]) и разработке новых методов анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплекспо-сопряжёнными показателями. Приведены аналитические расчёты, модельные исследования (компьютерная симуляция эксперимента), а также обработка реальных данных, подтверждающая полученные теоретические результаты.

Актуальность темы

Современная диэлектрическая спектроскопия анализирует поведение комплексной диэлектрической проницаемости г(со,7) изучаемого материала в широком частотном (су= КГ1 ... 1012 Гп) и температурном (Г= -170 °С ... + 300°С) интервале. Такое широкое температурно-частотное окно способствует получению уникальной информации по релаксационной динамике исследуемого образца. Основная цель диэлектрической спектроскопии (как метода анализа электрически-активного вещества) заключается в том, чтобы связать структурные и динамические параметры анализируемого материала с параметрами правильно подобранной аппроксимирующей функции на промежуточном (мезоскоптеском) уровне пространственных и временных масштабов. Эта проблема имеет фундаментальный интерес, так как зачастую мы понимаем физику, контролирующую поведение отдельных атомов и молекул («микроскопику») и «макрофизику», объясняющую поведение больших макроскопических частей вещества. Но в большинстве случаев мы мало знаем о сложном поведении молекул внутри кластеров (объединений молекул, диполей), а эти знания могут быть положены в основу понимания сильнокоррелированных коллективных движений молекул в области лгезомасштабов, включащих в себя диапазон размеров Ю'МО"6 м.

Главной проблемой диэлектрической спектроскопии является отсутствие единой непротиворечивой теории диэлектрических спектров. В настоящее время (как и ранее) для описания широкополосных диэлектрических данных большого класса исследуемых материалов зачастую используется набор эмпирических формул или их линейных комбинаций. Очевидно, что при таком описании желаемая связь подгоночных параметров со структурой материала и протекающими релаксационными процессами не может быть установлена.

Отметим, что в последние десятилетия резко возрос интерес к изучению самоподобных структур (фракталов) [2] и дробного исчисления [3], [4] (области математики, изучающей уравнения, содержащие дробные производные и интегралы). Однако работ, в которых этот непростой математический аппарат применяется для изучения реальных процессов диэлектрической релаксации в различных сложных системах, очень немного. Зачастую исследователи, работающие в области диэлектрической спектроскопии, плохо знакомы с дробным исчислением и не могут его уверенно применить для анализа спектров. А специалисты по дробному исчислению не стремятся глубоко проникнуть в суть

явления диэлектрической релаксации и попытаться извлечь качественно новую информацию из обработки и анализа реальных данных.

В последних работах проф. P.P. Нигматуллина и его коллег были реализованы первые этапы построения фрактальной теории диэлектрической релаксации, основанной на предположении о самоподобии исследуемой среды. Было показано, что «универсальное» дробно-степенное поведение проницаемости следует из усреднения (редуцирования) многочисленных микродвижений, которые сводятся к небольшому числу коллективных (групповых) движений частиц (далее именуемых процессами) на промежуточном масштабе частот (далее мезо/наномасштаб). Данный эффект аналитически доказан для слабо- [I] и сильнокоррелирующих [5] фрактальных структур, обладающих сферической симметрией.

Однако на настоящий момент фрактальная теория диэлектрической релаксации находится на стадии проверки, и некоторые проблемы остаются по-прежнему не решенными. Во-первых, данная теория разработана для сферически-

симметпичныу ГМГТРМ Я ттяпри-п up пгр ст1''т.щi г л^ттаттатт i^f'w.ni м тт-

4 . ...----, ------------------------ » •.f.f'.»

Во-вторых, были получены приближённые решения функциональных уравнений для функции памяти рассматриваемой среды, содержащие лишь релаксационные члены, что не позволяло описывать диэлектрическую проницаемость материалов на высоких (терагерцовых) частотах.

Не разработан также надежный инструментарий (набор методов анализа диэлектрических спектров), позволяющий с большой долей достоверности распознавать, обосновывать выбор аппроксимирующей функции (т.е. позволяющий найти наиболее подходящую модель для описания данного спектра и, соответственно, вещества) и интерпретировать диэлектрические спектры, описываемые дробно-степенными частотными выражениями с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями степени.

Несомненно, что обобщение и развитие фрактальной теории диэлектрической релаксации и современных методов анализа диэлектрических спектров, а также проверка полученных результатов на реальных данных представляет собой актуальную задачу.

Цель работы

Целями данной работы являлись обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации [1] (предполагающей сферическую симметрию дипольных кластеров среды) на случай кластеров цилиндрической симметрии и разработка новых методов анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями. Попутно с решением главной задачи необходимо было выяснить возможности применения полученных результатов к сходным проблемам в других областях, например, в электрохимии.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработанное обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации на случай дииольных кластеров осевой симметрии содержит выражение для комплексной проницаемости, состоящее из релаксационных и резонансных слагаемых, и справедливое, таким образом, на высоких (терагерцовых) частотах.

2. Анализ диэлекгрических спектров винилпирролидона, акриламидных гидрогелей, сельскохозяйственных растений, а также специально-сконструированных модельных данных подтверждает основные положения полученного обобщения.

3. Новые методы анализа диэлектрических спектров существенно улучшают процедуру распознавания наиболее приемлемой гипотезы и последующую аппроксимацию диэлектрических данных.

4. Найденные функциональные уравнения позволяют анализировать различные самоподобные электрические цепи, представляющие интерес для электрохимии, причём импеданс данных цепей обладает дробно-степенной частотной зависимостью с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями.

Научная новизна результатов заключается в следующем:

- впервые получено выражение для комплексной диэлектрической проницаемости, содержащее релаксационные и резонансные слагаемые, которое позволяет анализировать системы в широком диапазоне частот, включая переходную релаксационно-резонансную терагерцовую область;

- разработаны новые методы анализа диэлектрических спектров, позволяющие отличать друг от друга различные подгоночные функции, в том числе содержащие дробно-степенные слагаемые с комплексно-сопряжёнными показателями степени;

- впервые показано, что диэлектрические спектры, полученные в ходе реакции полимеризации винилпирролидона и набухания акриламидных гидрогелей, описываются дробно-степенными выражениями с комплексно-сопряжёнными показателями;

- удалось впервые рассмотреть самоподобные электрические цепи трёхмерной структуры, моделирующие двойной электрический слой и самоподобный электролит, и показать, что импеданс таких цепей обладает дробно-степенной частотной зависимостью с комплексно-сопряжёнными показателями.

Научно-практическая значимость результатов диссертации

Научно-практическая значимость работы заключается в том, что было разработано обобщение фрактальной теории диэлектрических спектров, позволяющее анализировать системы с осевой симметрией, например, тонкие плёнки, а также ансамбли макромолекул, не обладающих сферической симметрией. Более того, найденное выражение для комплексной проницаемости содержит и релаксационные, и резонансные слагаемые, что позволяет анализировать диэлектрические спектры исследуемых материалов на высоких (терагерцовых) частотах.

Также были созданы новые методы представления диэлектрических данных, позволяющие более точно и доказательно интерпретировать диэлектрические

спектры, описываемые дробно-степенными частотными выражениями с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями. Показано, что на основе диэлектрических спектров можно делать вывод о структуре кинетических уравнений в дробных производных, описывающих поведение макроскопической поляризации в некоторой гетерогенной среде, что, в свою очередь, способствует более детальному пониманию структуры вещества.

Найденные функциональные уравнения позволяют анализировать различные самоподобные электрические цепи, представляющие интерес для электрохимии.

Результаты данной работы также могут помочь в развитии новых технологий неразрушающего контроля качества продуктов, основанных на изучении взаимосвязи между параметрами, характеризующими качество продукции и подгоночными параметрами, описывающими диэлектрическую проницаемость исследуемых материалов.

Мы надеемся, что данная работа окажется полезной и для специалистов по диэлектрической спектроскопии (как одна из немногих работ, в которой выводится универсальная дробно-степенная зависимость спеют»™ из общих принципов), а также для исследователей, активно ищущих новых и убедительных применений математического аппарата дробного исчисления для решения реальных задач, встречающихся в природе.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены на международных конференциях по диэлектрической спектроскопии: 4th Conference International Dielectric Society and 9th International Conference Dielectric and Related Phenomena (r. Познань, Польша, 2006 г.) и 5-th International Conference on Broadband Dielectric Spectroscopy and Its Applications (г. Лион, Франция, 2008 г.); шестой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (г. Санкт-Петербург, 2008г.); пятом международном междисциплинарном симпозиуме «Фракталы и прикладная синергетика в нанотехнологиях»; девятой международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» (г. Казань, 2009г.); Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (г. Уфа, 2008 г.); VII и VIII научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета «Материалы и технологии XXI века» (г. Казань, 2007 и 2008 гг.); итоговой научно-образовательной конференции студентов Казанского государственного университета (г. Казань, 2007 г.); научно-практической конференции студентов и аспирантов «Наука и инновации в решении актуальных проблем города» (г. Казань, 2008 г.).

Публикации. Основное содержание работы отражено в 19 научных публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объём работы - 139 страниц печатного текста, включая 51 рисунок, 4 таблицы и библиографию из ПО наименований.

Основное содержанке работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формируются цели и задачи диссертации, даётся общая характеристика работы и сс составных частей, а также приводится список основных публикаций и тезисов по работам конференций.

В первой обзорной главе даны основные понятия, формулы и выражения, используемые в диссертации, а также рассмотрены проблемы интерпретации диэлектрических спектров, которые часто возникают при их обработке и анализе (наиболее существенными' являются отсутствие единой теории и надёжных методов обработки диэлектрических спектров).

Во второй главе изложено обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации. В первой части главы применяется метод Мори-Цванцига [6], и записывается цепочка уравнений для полной поляризации P(t):

d-m,-)kl{t-u)P{u), mjHt_u)kx{ul

'о 'о

где - эт0 функции памяти соответствующих порядков. Первое

уравнение интегрируется и, после осуществления преобразования Лапласа, представляется в следующем виде (5 - параметр преобразования Лапласа):

Р(*) + М{з)Р(*) = ^. (2)

Далее, для расцепления бесконечной цепочки уравнений (1), рассматривается процесс диэлектрической релаксации в гетерогенном материале, имеющем самоподобную структуру и обладающем цилиндрической симметрией. Этот процесс создан совокупностью электрически активных кластеров (каждый кластер состоит из группы сильно коррелирующих диполей), существующих в данном материале. Предполагается, что элементарный акт релаксационного процесса с термостатом, связанный с объемом К„, описывается микроскопической функцией /(лт^г,,, Здесь

гЛ|, т„2 - это характерные масштабные (релаксационные) времена, описывающее

процесс релаксации с термостатом для группы сильно коррелированных диполей, находящихся в кластере объема V,,, вдоль продольной оси и вдоль радиуса цилиндра, соответственно. Если и-ый кластер содержит диполей, то процесс релаксации

для совокупности слабо коррелированных кластеров описывается функцией памяти:

Функция релаксации рассмотрена в общем виде (г = £г0, где г»=10"15с -характерное время поворота диполя):

/{х) = {а0+а^ + - + акгк)1(ь0+Ь^ + - + ЬР2Р),Р>К. (4)

Предполагается, что распределения значений Ы„ и набора времен релаксации ГЛ| • г^ удовлетворяют следующим граничным условиям:

N„¡n2 Vr,¡2=r0^ (^. + 1<«(<Л',-1; 6„£>0;/ = 1,2), (5)

где b¡ и С, - это геометрические и динамические параметры самоподобной структуры, соответственно. Удаётся показать, что функция памяти M{z) в этом случае удовлетворяет точному функциональному уравнению:

bfo-Mte&hbiMizft + bM^-MW + Fiz);

После разложения ./(z) в ряд Лорана, а возникающих периодических функций в ряд Фурье, решение уравнения (6) представляется в следующем виде:

2 ¡X) со

Z ^exp^-^ i y QjlnzJ + X^-^"1, (7)

/=1 п, =-со rt=0

где К, = 1п6, /1п<5;, Q„ = 2л"/7: / (~1п(с, V lnfí-, VI- Г/ - ПЯПЯметтл, втниь-яилщме при

' •/ l_ \ " 1 / V--/J- И * 1 > 'Г

разложении/(z) в ряд Лорана (имеют сложный вид и здесь не приводятся). Расчёты показывают, что бесконечный ряд Фурье в (7) часто может быть приближенно заменен тремя членами. Подставляя полученное выражение для функции памяти M(z) в (2) и переходя во временную область, получаем следующее уравнение:

ИО-Р(О)),

ХГсде+фо^-

J=1

где выражение

л=0

,-п-1

го

—^(х-УГ/Ш

(9)

определяет оператор дробного дифференцирования (д >0) и интегрирования (д < 0) Римана-Лиувилля [4]. Таким образом, для самоподобных систем с функцией памяти (3) удаётся записать кинетические уравнения для полной поляризации (8), содержащие дробные производные/интегралы, в виде специфических триад. Каждая триада содержит линейную комбинацию дробных операторов: один с действительным показателем и пару с комплексно-сопряженными показателями. Эти уравнения применимы к описанию явления релаксации/переноса в гетерогенном материале, имеющем, специфическую функцию памяти. Специфика связана со счетным набором размеров, генерируемых фрактальной структурой, которая, в свою очередь, диктуется соответствующим релаксационным процессом. Для случая <Д > ф 0, логопериодические члены сохраняются. Они хранят память о корреляции самоподобных временных интервалов на различных масштабах. Комплексно-сопряженные показатели исчезают (<Ц > = 0), если соответствующая среда становится абсолютно случайной; тогда фрактальная структура становится близкой к непрерывной. Для такого случая, набор самоподобных временных интервалов становится некоррелированным.

Из уравнения (9) можно легко найти стационарное решение в присутствии переменного электрического поля и получить искомое выражение для комплексной диэлектрической проницаемости:

2 « (10) 1=1 -1 ПИ)

Данное решение содержит релаксационные (дробно-степенные) и резонансные (содержащие частоту в целой степени) члены, которые доминируют на разных частотах: релаксационные члены проявляют себя на низких частотах, а резонансные на высоких. Предполагается, что для многих веществ вклады сравнимы в переходной терагерцовой области. Таким образом, полученное решение справедливо и на высоких частотах.

Можно показать, что в частном случае выражение (10) переходит в формулу Дебая. Для этого, во-первых, необходимо предположить, что Ь1 = Ь2 и (т.е.

рассмотреть случай кластеров сферической симметрии). Во-вторых, сузить исследуемую область частот и предположить, что N¡»1, чтобы пренебречь резонансными слагаемыми. В-третьих, рассмотреть абсолютно случайную фрактальную среду, что приведёт к случаю <£2 > = 0. И, наконец, в-четвертых, положить Ь = с, чтобы v= I. Таким образом, формула Дебая в общем случае соответствует сферически-симметричной абсолютно случайной фрактальной среде, у которой геометрический (Ъ) и динамический (С) параметры равны друг другу. Если теперь дополнительно предположить, что Ь = £ = 1 и Ы0 = 1 (т.е. все кластеры равны друг другу и содержат один диполь), а также предположить, что установление равновесия происходит по экспоненциальному закону, и все диполи имеют одинаковое время релаксации т, то в этом (частном) случае мы получаем теорию Дебая.

Во второй части данной главы выводится зависимость степенных показателей ц от характерных времен релаксации г,. Показано, что известная ранее формула Рябова-Фельдмана-Пузенко сохраняет свой вид, но характерные параметры претерпевают изменения.

В третьей части главы анализируется взаимосвязь между зависящим от времени среднеквадратичным смещением носителей заряда <гЩ> и функцией проводимости Ы]а>). Проведённые исследования дают новую возможность для классификации различных типов коллективных движений, вовлеченных в процесс релаксации/переноса. Результаты приведены в таблице.

Значение показателя степени в 11е(а(й>)| Показатели степени в Тип движения Границы применимости

4 = - з Равноускоренное движение <эг»1 0<<<кг

-з<4<-1 {г2(1))~г\ п = 2<П<4 Равноускоренное движение с ловушками сот» 1 0</«г

> II Баллистическое движение <УГ»1 0 </«г

-1<\<0 0 < Ук < 2 Баллистическое движение с ловушками (супердиффузия) й)г»1 0</ <кг

4=0 Диффузионное движение й)т»1 0</«г

0<^<1 (г2(г))~/\ 0 < Уу < 1 Диффузионное движение с ловушками (субдиффузия) ¿аг» 1 0</<кг

1<4<2 (г2 (/))-/". п = -1 < V,, < 0 Очень медленное и сильнокоррелированное движение вблизи положения равновесия 0г<к1 т<К<я

Видно, что низкочастотная часть проводимости (когда -3 < Як < 0) преимущественно связана с динамикой легких носителей. Для положительного интервала значений показателей степени (0 < 4 < 2), отражающего поведение проводимости в высокочастотной области, можно получить информацию о сильно коррелированном движении тяжелых носителей/диполей, расположенных близко друг к другу в пространстве.

В четвёртой части главы полученные ранее аналитические результаты подтверждаются (см. рис. 1 и 2) в ходе модельных экспериментов (компьютерная симуляция).

Рисунок 1. Зависимости реальных и мнимых частей модельной функции памяти ЛГ.-1 Л'Н

М(]со)= N0 £ X! -—-р. с параметрами Ь, =1.2, £,=1.29, г0 = 10^с

¿2 = 1.22, = 1-26, N„ = 1, //,=200, N2=200, обозначены кружкаш. Сплошные линии представляют собой соответствующие действительную и мнимую части аппроксимирующего выражения МЛе<,г{](о) = {]ат^ +(у®г2)"!, с параметрами = -0.87, г, =2.42-10"4 с,

^=-0.716, г2=1.67-1(Г8с. Частота /меняется в диапазоне f = 0.01...3-106Гц, циклическая частота си = 2тф Столь качественная аппроксимация говорит о том, что функция памяти (3) действительно представляет собой сумму дробно-степенных выражений.

Рисунок 2. Зависимости реальных и мнимых частей модельной функции tp(ja>) = R(jw)/(ja>)'', Параметр v = -0,82 найден методом наименьших квадратов при аппроксимации данных. Сплошные линии представляют собой аппроксимирующие выражения вида у(а>) - Со + \C\cos(Qln(cu)-i//), с параметрами |С| = 4,42-10'7, Со = О, Q = 4,05, у — 1,7 для мнимой части и |С| = 4,42-Ю'7, Со ~ 4,39, Q = 4,05, у/ - 2,9 для реальной части. Подобные осцилляции говорят о том, что функция релаксации содержит пару степенных слагаемых с комплексно-сопряжёнными показателями степени.

В главе 3 разработаны современные методы анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями, позволяющие осуществить качественную обработку данных и распознать истинную аппроксимирующую функцию. Среди предложенных методов хочется отметить обобщенный обратный формат, позволяющий с большой точностью найти важные граничные параметры с(0) и с(оо), а также осуществлять контролируемый сдвиг спектра в область высоких либо низких частот.

В главе 4 приводится обработка диэлектрических спектров, полученных из различных лабораторий, с использованием разработанных методов и процедур. Поясняются детали эксперимента, необходимые для понимания особенностей явления диэлектрической релаксации в исследуемых веществах (поливинилпирролидоне, заряженных и нейтральных акриламидных гидрогелях, медоносных дынях). Также описан модельный эксперимент, необходимый для выявления дробно-степенных слагаемых с комплексно-сопряжёнными показателями.

В ходе компьютерной симуляции реакции полимеризации винилпирролидона обнаружено, что мнимая часть комплексной проницаемости демонстрирует набор пиков, причём с увеличением времени реакции, высота пиков уменьшается, а положение максимума смещается в область более низких частот, что обнаружено и в эксперименте (рис. 3). Такое поведение указывает на увеличение размеров стекловидных образований и уменьшение числа подвижных дипольных объединений с увеличением времени реакции. Показано, что отношение Re(ft) / Im(K) содержит логопериодические осцилляции, которые говорят о наличии комплексно-сопряжённых показателей, что также получило подтверждение в ходе анализа реальных данных (рис. 4).

Рисунок 3. Результаты аппроксимации действительной и мнимой частей функции релаксации R(ja)). Реальные данные отмечены крестиками. Данные поверхности соответствует процессу стеклования поливинилпирролидона при 90°С. 15 замеров (sweep) с 15 минутным интервалом между замерами обозначены как nsweeD. Для представления всех данных на одном графике была произведена нормировка на значение ReR(a>) соответствующее 1Гц. Можно заметить широкий максимум, соответствующий равномерному распределению мономеров. Он исчезает к середине реакции, когда образуется резиноподобный кластер (протокпастер) -большое образование, включающее в себя практически все мономеры ВП, а также различные по величине стекловидные области.

Рисунок 4. Функция релаксации поливинилпирролидона, представленная в формате отношения. Видны логопериодические осцилляции, что говорит о наличии пары дробно-степенных слагаемых с комплексно-сопряжёнными показателями. Неидеальное нахождение граничных параметров е, и привело к искажению осцилляции.

Анализ спектров полиакриламидных гидрогелей (рис. 5) позволил обнаружить четыре различных пика поглощения, каждый из которых соответствует различным этапам процесса набухания гидрогелей. Эти пики связаны с распределением плотных полимерных областей различных размеров (часто называемых «каплями»), появляющихся в микроструктуре полиакриламидных гидрогелей. Показано также, что проводимость заряженных гелей уменьшается с увеличением частоты, так как на высоких частотах внешнего поля основной вклад дают системы узких каналов, которые не развиты у заряженного геля из-за кулоновского отталкивания.

Рисунок 5. Частотные зависимости проводимости нейтрального акриламидного гидрогеля, представленной точками (для экономии места аналогичные графики заряженного геля не приводятся) и аппроксимирующей функции, обозначенной сплошной линией. Обработка спектров осуществлена посредством метода собственных координат. Мы разделили данные на две части, соответствующие диапазона» относительных масс (I < т/то <3.5) и (3.5 < т/т0 < 12), чтобы особенности данной функции были хорошо видны. Столь качественная аппроксимация говорит о правильно подобранных подгоночных выражениях, содержащих комплексно-сопряженные показатели степени.

Заключение содержит основные результаты проделанной работы.

Основные результаты диссертационной работы следующие:

1. Разработано обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации на случай дипольных кластеров осевой симметрии. Показано, что функция памяти (и, соответственно, функция релаксации) данной структуры представляет собой сумму дробно-степенных частотных выражений с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями. Главной особенностью такой функции релаксации является возникновение логопериодических осцилляций.

2. Основные положения теории подтверждены в ходе модельных экспериментов, а также на реальных данных (диэлектрических спектрах винилпирролидона, акригламидных гидрогелей, сельскохозяйственных растений).

3. Разработаны новые методы анализа диэлектрических спектров, позволяющие отличать друг от друга различные подгоночные функции, в том числе содержащие комплексно-сопряжённые показатели степени. Данные методы позволили существенно улучшить процедуру распознавания наиболее приемлемой гипотезы и последующую аппроксимацию диэлектрических данных.

4. Было получено более точное решение функционального уравнения для функции памяти, что позволило найти связь «микроскопики» (детализированное описание взаимодействий) и «мезоскопики» (усредненные на кластерной структуре микроскопические процессы): оказывается, что каждая область информативна в своём частотном диапазоне. «Микроскопику» можно наблюдать на высоких частотах, в резонансных ИК-спектрах. «Мезоскопика» проявляет себя в области более низких частот, в классических релаксационных диэлектрических

спектрах. Полученное выражение для комплексной проницаемости содержит релаксационные и резонансные слагаемые и справедливо, таким образом, на высоких частотах.

5. Проанализированы самоподобные электрические цепи, представляющие интерес для электрохимии. Показано, что импеданс данных цепей обладает дробно-степенной частотной зависимостью с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1)Nigmatullin, R.R. Dielectric relaxation in complex systems: honeydew melons from 10 MHz to 1.8 GHz. / R.R. Nigmatullin, A.A. Arbuzov and S. E. Nelson // Journal of Instrumentation. - 2006. - Vol. 1. - P. 10002.

2)Yilmaz, Y. Dielectric study of neutral and charged hydrogels during the swelling process / Y. Yilmaz, A. Gelir, F. Salehli, R.R. Nigmatullin and A.A. Arbuzov // J. Chem. Phys. - 2006. - Vol. 125. - P. 234705.

3) Арбузов, А.А. Обобщённый обратный формат и его применение к обработке диэлектрических спектров / А.А. Арбузов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2007. - №4. - С. 112-121.

4) Nigmatullin, R.R. Experimental confirmation of oscillating properties of the complex conductivity: Dielectric study of polymerization/vitrification reaction / R.R. Nigmatullin, A.A. Arbuzov, F.Salehli, A.Giz, H.Catalgil-Giz // Journal of non-crystalline solids. - 2007. - Vol.353. - P.4143-4156.

5) Nigmatullin, R.R. The first experimental confirmation of the fractional kinetics containing the complex power-law exponent: dielectric measurements of polymerization reactions / R.R. Nigmatullin, A.A. Arbuzov, F.Salehli, A.Giz, I.Bayrak, H.Catalgil-Giz // Physica B. - 2007. - Vol.388. - P.418^34.

6) Арбузов, A.A. Проводимость последовательного и параллельного соединений самоподобных электрических цепей / А.А. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Нелинейный мир. - 2008. - №8. - Т.6. - С.34-41.

7) Nigmatullin, R. R. Real time dielectric monitoring of glass transition in n-vinyl pyrrolidone polymerization / R.R. Nigmatullin, A.A. Arbuzov, F. Salehli and I. Bayrak // Journal of Non-Crystalline Solids. - 2007. - Vol.353. - P. 4366-4370.

8) Арбузов, A.A. Влияние осевой симметрии дипольных кластеров на диэлектрическую релаксацию / А.А. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Физ. Химия и Мезоскопия. - 2009. - Т. 11.-№1.-С. 46-61. .

9) Арбузов, А. А. Трёхмерные фрактальные модели электрохимических процессов / А.А. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Электрохимия. - 2009. - Т. 45, №11. -С. 1-12.

10) Arbuzov, А.А. Dielectric relaxation in complex systems: honeydew melons from 10 MHz to 1.8 GHz. / A.A. Arbuzov, R.R. Nigmatullin, and S. E. Nelson // 4th Conference International Dielectric Society and 9th International Conference Dielectric and Related Phenomena: Abstracts. - 3-7 September 2006. - Poznan, Poland. - P. 139140.

11) Нигматуллин, P.P. Новые методы распознавания дробной кинетики. Диэлектрические спектры винилпирролидона / P.P. Нигматуллин, А.А. Арбузов, Ф.

Салехли, И. Байрак, А. Гиз, Г. Каталгил-Гиз // VII Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета «Материалы и технологии XXI века»: Тез. докл. -26-27 апреля 2007. - г. Казань. - С. 17.

12) Арбузов, A.A. Новые методы распознавания дробной кинетики. Диэлектрические спектры винилпирролидона / A.A. Арбузов // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета: сборник тезисов. - 2007. - г. Казань. - С. 40.

13) Арбузов, A.A. Обобщённый обратный формат и его применение к обработке диэлектрических спектров / A.A. Арбузов // Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных ВНКСФ-14: материалы конференции.- 2008.г. Уфа,- С. 177.

14) Arbuzov, A.A. Generalization of the Ryabov-Feldman formula: the case of cylindrical symmetry / A.A. Arbuzov, R.R. Nigmatullin // 5th International Conference on Broadband Dielectric Spectroscopy and Its Applications: Abstracts. - 25-29 August 2008. -Lyon, France. - P.202.

15) Арбузов, A.A. Фрактальные модели электрохимических процессов / A.A. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Шестая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности»: сборник трудов. - 16-17 Октября 2008г. - г. Санкт-Петербург. -С 114-115.

16) Арбузов, A.A. Фрактальные модели электрохимических процессов / A.A. Арбузов, Р.Р. Нигматуллин // VIII Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета «Материалы и технологии XXI века»: Тез. докл. -28-29 октября 2008. - г. Казань. - С. 12.

17) Арбузов, A.A. Проводимость последовательного и параллельного соединений самоподобных электрических цепей / A.A. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Пятый международный междисциплинарный симпозиум ФиПС «Фракталы и прикладная синергетика в нанотехнологиях»: сборник трудов. - 17-20 Ноября 2008г. - г. Москва. - С 315-319.

18) Арбузов, A.A. Фрактальные модели электрохимических процессов / A.A. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Девятая международная научно-техническая конференция «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций»: Тез. докл. -25-27 ноября 2008. - г. Казань. - С. 379-381.

19) Арбузов, A.A. Обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации / A.A. Арбузов // Научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Наука и инновации в решении актуальных проблем города»: материалы конференции. -11-12 декабря 2008. - г. Казань. - С. 34-35.

Цитированная литература

[1]. NigmatuIIin, R.R. Theory of dielectric relaxation in non-crystalline solids: from a set of micromotions to the averaged collective motion in the mesoscale region / R.R.Nigmatullin // Physica B: Physics of Condensed Matter. - 2005. - Vol. 358. -P.201-215.

[2]. Mandelbrot, B.B. The fractal geometry of Nature / B.B. Mandelbrot. -W.H. Freeman & Co : New York, 1977. - 456 p.

[3]. Oldham K.B. The Fractional Calculus / K.B. Oldham and J. Spanier. - NY and London : Academic Press, 1974. - 542 p.

[4]. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск : Наука и техника, 1987.-485 с.

[5]. NigmatuIIin, R.R. "Fractional" kinetic equations and "universal" decoupling of a memory function in mesoscale region / R.R. NigmatuIIin // Physica A. - 2006. - Vol. 363.-P. 282-298.

г ¿л л^лм xj д confin,,od Representation of the T

H. Mori // Progr. Theor. Phys. - 1963. - Vol.30. - P.578-592.

Подписано в печать 19.08.2009. Форм. 60 х 84 1/16. Гарнитура «Тайме». Печать ризографическая. Печ.л. 1. Тираж 100. Заказ 287.

Лаборатория оперативной полиграфии Издательства КГУ 420045, Казань, Кр.Позиция, 2а Тел. 231-52-12

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Арбузов, Андрей Александрович

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность работы.

Цель работы.

Научная новизна результатов заключается в следующем:.

Научно-практическая значимость результатов диссертации.

Апробация работы.

Основные публикации автора по теме диссертации.

Структура и объем диссертации.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ.

1.1 Основные понятия.

1.1.1 Электрические характеристики диэлектриков.

1.1.2 Поляризация газов.

1.1.3 Механизмы поляризагщи.

1.1.4 Поляризация конденсированных сред.

1.1.5 Диэлектрики в переменном поле.

1.1.6 Дисперсия диэлектрической проницаемости.

1.1.7 Релаксация макроскопической поляризации.

1.2 Проблемы интерпретации диэлектрических спектров.

1.2.1 Отсутствие единой теории диэлектрической релаксации.

1.2.2 Ограниченное частотное окно.

1.2.3 Распознавание истинной аппроксгшируюгцей функции. Недостатки стандартных способов представления диэлектрических данных.

1.3 Новая кинетика в диэлектрической релаксации.

1.4 Примеры применения метода диэлектрической спектроскопии к исследованиям различных гетерогенных систем.

1.5 Дробно-степенные частотные зависимости в других областях науки.

1.6 Постановка задачи.

ГЛАВА 2. ОБОБЩЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ.

2.1 Основные теоретические положения.

2.2 Зависимость степенных показателей от характерных времён релаксации.

2.3 Взаимосвязь между зависящим от времени среднеквадратичным смещением <r2(т)> и функцией релаксации ^(jq).

2.4 Проверка полученных результатов на модельном эксперименте.

ГЛАВА 3. НОВЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ

3.1 Формат отношения.

3.1.1 Фунщия низкочастотной дисперсии в формате отношения.

3.1.2 Функция Коула-Коула в формате отношения.

3.1.2 Основные особенности формата отношения. Достоинства.

3.1.3 Основные особенности формата отношения. Недостатки.

3.2 Обратный формат.

3.2.1 Основные особенности обратного формата. Достоинства.

3.2.2 Основные особенности обратного формата. Недостатки.

3.3 Обобщенный обратный формат.

3.3.1 Основные особенности ООФ. Инвариантность.

3.3.2. Контролируемое смещение в область ВЧили НЧ.

3.3.3. Отличие спектров сходных функций.

3.3.4. Нахождение граничных параметров ss и «Искусственный резонанс».

3.4 Метод собственных координат (МСК).

3.5 Процедура взвешивания.

3.6 Детектирование комплексно-сопряженных показателей.

ГЛАВА 4. ОБРАБОТКА РЕАЛЬНЫХ ДАННЫХ.

4.1 Реакция полимеризации винилпирролидона.

4.1.1 Описание эксперимента.

4.1.2 Модельный эксперимент.

4.1.3 Стеклование винилпирролидона и интерпретация подгоночных параметров.

4.2 Процесс набухания нейтральных и заряженных гидрогелей.

4.2.1 Описание эксперимента.

4.2.2 Результаты анализа полученных данных и их обсуждение.

4.3 Анализ качества медоносных дынь.

4.3.1 Описание эксперимента.

4.3.2 Описание диэлектрических данных.

4.3.3 Нахождение корреляций между параметрами подгонки и макропараметрами качества.

Введение диссертация по физике, на тему "Теория и методы анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексно-сопряженными показателями"

Работа посвящена обобщению теории диэлектрической релаксации (основанной на усреднении многочисленных самоподобных движений отдельных диполей и носителей заряда к нескольким коллективным (групповым) процессам [1]) и разработке новых методов анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексными показателями. Приведены аналитические расчёты, модельные исследования (компьютерная симуляция эксперимента), а также обработка реальных данных, подтверждающая полученные теоретические результаты.

Актуальность работы

Современная диэлектрическая спектроскопия анализирует поведение комплексной диэлектрической проницаемости е(ю,7) изучаемого материала в широком частотном (су = 10"4 . 1012Гц) и температурном (Г =-196 °С . + 300°С) интервале. Такое широкое температурно-частотное окно способствует получению уникальной информации по релаксационной динамике исследуемого образца. Основная цель диэлектрической спектроскопии (как метода анализа электрически-активного вещества) заключается в том, чтобы связать структурные и динамические параметры анализируемого материала с параметрами правильно подобранной аппроксимирующей функции на промежуточном (.мезоскопическом) уровне пространственных и временных масштабов. Эта проблема имеет фундаментальный интерес, так как зачастую мы понимаем физику, контролирующую поведение отдельных атомов и молекул {«микроскопику») и «макрофизику», объясняющую поведение больших макроскопических частей вещества. Но в большинстве случаев мы мало знаем о сложном поведении молекул внутри кластеров (объединений молекул, диполей), а эти знания могут быть положены в основу понимания сильно-коррелированных коллективных движений молекул в области лгезомасштабов, включащих в себя диапазон размеров м.

Хочется также отметить, что в последние десятилетия резко возрос интерес к изучению самоподобных структур (фракталов) [2] и дробного исчисления [3], [4] (области математики, изучающей уравнения, содержащие дробные производные и интегралы). Однако работ, в которых этот непростой математический аппарат применяется для изучения реальных процессов диэлектрической релаксации в различных сложных системах, очень немного. Зачастую исследователи, работающие в области диэлектрической спектроскопии, плохо знакомы с дробным исчислением и не могут его уверенно применить для анализа спектров. А специалисты по дробному исчислению не стремятся глубоко проникнуть в суть явления диэлектрической релаксации и попытаться извлечь качественно новую информацию из обработки и анализа реальных данных.

В последних работах проф. P.P. Нигматуллина и его коллег были реализованы первые этапы построения «фрактальной» теории диэлектрической релаксации (ФТДР), основанной на дробной кинетике. Было показано, что «универсальное» дробно-степенное поведение (j'cot)v следует из усреднения многочисленных микродвижений, которые сводятся к небольшому числу коллективных (групповых) движений частиц (далее именуемых процессами) на промежуточном масштабе частот (далее мезо/наномасштаб). Данный эффект аналитически доказан для слабо [1] и сильно [5], [6] коррелирующих фрактальных структур, обладающих сферической симметрией.

Однако на настоящий момент эта теория диэлектрической релаксации находится на стадии проверки, и некоторые проблемы остаются по-прежнему не решенными. Во-первых, данная теория разработана для сферически-симметричных систем, а далеко не все системы обладают сферической симметрией. Во-вторых, были получены приближённые решения функциональных уравнений для функции памяти рассматриваемой среды, содержащие лишь релаксационные члены, что не позволяло описывать диэлектрическую проницаемость материалов на высоких (терагерцовых) частотах.

Несомненно, что обобщение и развитие данной теории диэлектрической релаксации и современных методов анализа диэлектрических спектров, а также проверка полученных результатов на реальных данных представляет собой актуальную задачу.

Цель работы

Целями данной работы являлись обобщение теории диэлектрической релаксации [1] (предполагающей сферическую симметрию дипольных кластеров среды) на случай кластеров цилиндрической симметрии и разработка новых методов анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексными показателями. Попутно с решением главной задачи необходимо было выяснить возможности применения полученных результатов к сходным проблемам в других областях, например, в электрохимии.

Научная новизна результатов заключается в следующем:

- впервые для самоподобных диэлектриков получено выражение для комплексной диэлектрической проницаемости, содержащее релаксационные и резонансные слагаемые, которое позволяет анализировать системы в широком диапазоне частот, включая переходную релаксационно-резонансную терагерцовую область; разработаны новые методы анализа диэлектрических спектров, позволяющие отличать друг от друга различные подгоночные функции, в том числе содержащие дробно-степенные слагаемые с комплексными показателями степени;

- впервые показано, что диэлектрические спектры, полученные в ходе реакции полимеризации винилпирролидона и набухания полиакриламидных гидрогелей, описываются дробно-степенными выражениями с комплексными показателями;

- удалось рассмотреть самоподобные электрические цепи трёхмерной структуры, моделирующие двойной электрический слой и самоподобный электролит, и показать, что импеданс таких цепей обладает дробно-степенной частотной зависимостью с комплексными показателями.

Научно-практическая значимость результатов диссертации

Научно-практическая значимость работы заключается в том, что было разработано обобщение теории диэлектрических спектров [1], позволяющее анализировать системы с осевой симметрией, например, тонкие плёнки, а также ансамбли соответсвующих макромолекул. Более того, найденное выражение для комплексной проницаемости содержит и релаксационные, и резонансные слагаемые, что позволяет анализировать диэлектрические спектры исследуемых материалов на высоких (терагерцовых) частотах.

Также были созданы новые методы представления диэлектрических данных, позволяющие более точно и доказательно интерпретировать диэлектрические спектры, описываемые дробно-степенными частотными выражениями с действительными и комплексными показателями. Показано, что на основе диэлектрических спектров можно делать вывод о структуре кинетических уравнений в дробных производных, описывающих поведение макроскопической поляризации в некоторой гетерогенной среде, что, в свою очередь, способствует более детальному пониманию структуры вещества.

Найденные функциональные уравнения позволяют анализировать различные самоподобные электрические цепи, представляющие интерес для электрохимии [7].

Мы надеемся, что данная работа окажется полезной и для специалистов по диэлектрической спектроскопии (как одна из немногих работ, в которой выводится универсальная дробно-степенная зависимость спектров из общих принципов), а также для исследователей, активно ищущих новых и убедительных применений математического аппарата дробного исчисления для решения реальных задач, встречающихся в природе.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены на научных конгрессах, симпозиумах, конференциях и опубликованы в соответствующих тезисах:

1) Arbuzov, A.A. Dielectric relaxation in complex systems: honeydew melons from 10 MHz to 1.8 GHz. / A.A. Arbuzov, R.R. Nigmatullin, and S. E. Nelson // 4th Conference International Dielectric Society and 9th International Conference Dielectric and Related Phenomena: Abstracts. - 3-7 September 2006. - Poznan, Poland.-P. 139-140.

2) Нигматуллин, P.P. Новые методы распознавания дробной кинетики. Диэлектрические спектры винилпирролидона / P.P. Нигматуллин, A.A. Арбузов, Ф. Салехли, И. Байрак, А. Гиз, Г. Каталгил-Гиз // VII Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета

Материалы и технологии XXI века": Тез. докл. - 26-27 апреля 2007. - г. Казань. - С. 17.

3) Арбузов, A.A. Новые методы распознавания дробной кинетики. Диэлектрические спектры винилпирролидона / A.A. Арбузов // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета: сборник тезисов. - 2007. - г. Казань. — С. 40.

4) Арбузов, A.A. Обобщённый обратный формат и его применение к обработке диэлектрических спектров / A.A. Арбузов // Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных ВНКСФ-14: материалы конференции,- 2008.-г. Уфа.- С. 177.

5) Arbuzov, A.A. Generalization of the Ryabov-Feldman formula: the case of cylindrical symmetry / A.A. Arbuzov, R.R. Nigmatullin // 5th International Conference on Broadband Dielectric Spectroscopy and Its Applications: Abstracts. -25-29 August 2008. - Lyon, France. - P.202.

6) Арбузов, A.A. Фрактальные модели электрохимических процессов / A.A. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Шестая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности»: сборник трудов. - 16-17 Октября 2008г. - г. Санкт-Петербург. - С 114-115.

7) Арбузов, A.A. Фрактальные модели электрохимических процессов / A.A. Арбузов, P.P. Нигматуллин // VIII Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета "Материалы и технологии XXI века": Тез. докл. - 28-29 октября 2008. - г. Казань. - С. 12.

8) Арбузов, A.A. Проводимость последовательного и параллельного соединений самоподобных электрических цепей / A.A. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Пятый международный междисциплинарный симпозиум ФиПС «Фракталы и прикладная синергетика в нанотехнологиях»: сборник трудов. - 17-20 Ноября 2008г. - г. Москва. - С 315-319.

9) Арбузов, A.A. Фрактальные модели электрохимических процессов / A.A. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Девятая международная научно-техническая конференция "Проблемы техники и технологий телекоммуникаций": Тез. докл. - 25-27 ноября 2008. - г. Казань. - С. 379-381.

10) Арбузов, A.A. Обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации / A.A. Арбузов // Научно-практическая конференция студентов и аспирантов "Наука и инновации в решении актуальных проблем города": материалы конференции. - 11-12 декабря 2008. - г. Казань. - С. 34-35.

Основные публикации автора по теме диссертации

Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях:

1) Nigmatullin, R.R. Dielectric relaxation in complex systems: honey dew melons from 10 MHz to 1.8 GHz. / R.R. Nigmatullin, A.A. Arbuzov and S. E. Nelson // Journal of Instrumentation. - 2006. - Vol. 1. - P. 10002.

2) Yilmaz, Y. Dielectric study of neutral and charged hydrogels during the swelling process / Y. Yilmaz, A. Gelir, F. Salehli, R.R. Nigmatullin and A.A. Arbuzov // J. Chem. Phys. - 2006. - Vol. 125. - P. 234705.

3) Арбузов, A.A. Обобщённый обратный формат и его применение к обработке диэлектрических спектров / А.А. Арбузов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2007. — №4. - С. 112-121.

8) Арбузов, A.A. Влияние осевой симметрии дипольных кластеров на диэлектрическую релаксацию / А.А. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Хим. Физика и Мезоскопия. - 2009. - Т. 11. - №1. - С. 59-74.

9) Арбузов, А.А. Трёхмерные фрактальные модели электрохимических процессов / А.А. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Электрохимия. - 2009. - Т. 45, № 11.-С. 1377-1387.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объём работы - 139 страниц печатного текста, включая 52 рисунка, 4 таблицы и библиографию из 110 наименований.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современная диэлектрическая спектроскопия - это мощный метод исследования релаксационных процессов. Главными её проблемами являются отсутствие единой теории диэлектрических спектров и методов их анализа. Нами разрабатывается фрактальная теория диэлектрической релаксации, ключевым моментом которой является процедура редуцирования (усреднения) большого числа различных микродвижений к нескольким коллективным движениям на промежуточном масштабе размеров/времён (мезомасштабе).

В рамках данной работы было получено обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации на случай дипольных кластеров осевой симметрии. Показано, что функция памяти (и, соответственно, функция релаксации) данной структуры представляет собой сумму дробно-степенных выражений с действительными и комплексными показателями (2.46). Главной её особенностью являются логопериодические осцилляции, возникающие за счёт наличия этих комплексных слагаемых.

Возникновение логопериодических функций в решении функциональных уравнений тесно связано с сохраняющейся даже при больших N » 1 дискретного структурой среды (2.11) и её фрактальностью, имеющей место на счетном множестве масштабов. Очевидно, что для среды, представляющей собор набор случайных фракталов, логопериодические функции усредняются (замена суммы на интеграл приводит к усреднению функций по периоду), и их влияние на структуру среды становится несущественным. Универсальность функциональных уравнений позволила применить их для анализа самоподобных электрических цепей, представляющих интерес для электрохимии.

Основные положения теории подтверждены в ходе модельных экспериментов, а также на реальных данных (диэлектрических спектрах винилпирролидона, акриламидных гелей, сельскохозяйственных растений).

Это работа должна убедить потенциальных читателей и специалистов, работающих в области диэлектрической спектроскопии в том, что используемые большинством исследователей методы анализа диэлектрических спектров безнадёжно устарели. С их помощью нельзя найти истинную функцию диэлектрической релаксации и описать данные во всем доступном диапазоне частот. Поэтому, нами были также разработаны новые методы анализа диэлектрических спектров, позволяющие отличать друг от друга различные подгоночные функции, в том числе содержащие комплексно-сопряжённые показатели степени. Данные методы позволили существенно улучшить аппроксимацию данных и описать их релаксационными функциями, следующими из теории релаксации, основанной на дробной кинетике.

Разработанная теория и методы анализа помогают понять некоторые скрытые особенности процесса диэлектрической релаксации для широкого класса гетерогенных веществ [8], [42] — [44]. Удалось также найти непротиворечивую связь «микроскопики» (детализированное описание взаимодействий между отдельными молекулами и их небольшими группами) и «мезоскопики» (усредненные микроскопические процессы по группам молекул, собранных в самоподобные кластерные структуры): оказывается, что каждая область информативна в своём частотном диапазоне. «Микроскопику» можно наблюдать на высоких частотах в резонансных ИК-спектрах. «Мезоскопика» проявляет себя в области более низких частот в классических релаксационных диэлектрических спектрах. Предполагается, что вклады обоих слагаемых сравнимы в плохо исследованной на настоящее время терагерцовой области, где наблюдаются переходные, релаксационно-резонансные спектры. Найденное выражение для комплексной проницаемости, таким образом, применимо и на высоких частотах.

Итак, положения, выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:

1. Разработанное обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации для дипольных кластеров осевой симметрии содержит выражение для комплексной проницаемости, состоящее из релаксационных и резонансных слагаемых, и справедливое, таким образом, на высоких (терагерцовых) частотах.

2. Анализ диэлектрических спектров винилпирролидона, акриламидных гидрогелей, сельскохозяйственных растений, а также специально-сконструированных модельных данных подтверждает основные положения полученного обобщения.

БЛАГОДАРНОСТЬ.

Хочется выразить глубокую благодарность проф. Нигматуллину P.P. за ценные замечания и ответы на многочисленные вопросы. Частично данная работа была выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы 2009-2010 гг." по теме "Неинвазивные методы обработки спектров, сигналов и шумов сложных гетерогенных систем, включая микро/наносистемы" (код проекта 2474), и я хочу выразить свою признательность министерству образования и науки РФ за финансовую поддержку.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Арбузов, Андрей Александрович, Казань

1. Nigmatullin, R.R. Theory of dielectric relaxation in non-crystalline solids: from a set of micromotions to the averaged collective motion in the mesoscale region / R.R.Nigmatullin // Physica B: Physics of Condensed Matter. 2005. -Vol. 358. - P.201-215.

2. Mandelbrot, B.B. The fractal geometry of Nature / B.B. Mandelbrot. -W.H. Freeman & Co : New York, 1977. 456 p.

3. Oldham, K.B. The Fractional Calculus / K.B. Oldham and J. Spanier. NY and London : Academic Press, 1974. - 542 p.

4. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск : Наука и техника, 1987.-485 с.

5. Nigmatullin, R.R. "Fractional" kinetic equations and "universal" decoupling of a memory function in mesoscale region / R.R. Nigmatullin // Physica A. 2006. -Vol. 363.-P. 282-298.

6. Nigmatullin, R.R. Is there a geometrical/physical meaning of the fractional integral with complex exponent? / R.R. Nigmatullin and A. Le. Mehaute // J. Non-Crystalline Solids. 2005. - Vol.351. - P.2888-2899.

7. Арбузов, А.А. Трёхмерные фрактальные модели электрохимических процессов / А.А. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Электрохимия. 2009. - Т. 45, № 11.-С. 1377-1387.

8. Nigmatullin, R.R. Dielectric relaxation in complex systems: honeydew melons from 10 MHz to 1.8 GHz. / R.R. Nigmatullin, A.A. Arbuzov and S. E. Nelson // Journal of Instrumentation. 2006. - Vol. 1. - P. 10002.

9. Dull, G.G. Consumer panel acceptance of honeydew melons of varing stages of maturity / G.G. Dull, A.V.A. Ressureccion and A. Smittle // 87th Annual Meeting of Food Sciences and Nutrition Section: Abstracts. 1990. - Little Rock, Arkansas.-P. 156-165.

10. Nigmatullin, R.R. Recognition of the 'fractional' kinetics in complex systems: dielectric properties of fresh fruits and vegetables from 0.01 to 1.8 GHz / R.R. Nigmatullin, S. Nelson // J. Signal Proces. 2006. - Vol. 86. - P. 2744-2762.

11. Nigmatullin, R.R. New Quantitative "Reading" of Dielectric Spectra of Complex Biological Systems / R.R. Nigmatullin, S. Nelson // IEEE Trans. 2006. -Vol. 13.-P. 1325-1343.

12. Mori, H. A continued-Fraction Representation of the Time Correlation Function / H. Mori // Progr. Theor. Phys. 1963. - Vol.30. - P.578-592.

13. Леванюк, П.А. Диэлектрики / П.А. Леванюк // Физический энциклопедический словарь; гл. ред. A.M. Прохоров. — Репринт, изд. 1983 г. -М. : Большая российская энцикл., 1995. С. 176-178.

14. Блейкмор, Дж. Диэлектрические и магнитные свойства твёрдых тел / Дж. Блейкмор // Физика твёрдого состояния. — М., 1972. Гл. 5. - С. 436-446.

15. Фрёлих, Г. Теория диэлектриков / Г. Фрёлих; пер. с англ. Г.И. Сканави. М. : изд-во иностранной литературы, 1960. - 252 с.

16. Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. -Ульяновск : Артишок, 2008. — 512 с.

17. Debye, P. Polar Molecules / P. Debay. New York : Dover, 1929. - 425 p.

18. Jonscher A.K. Dielectric Relaxation in Solids / A.K. Jonscher. London : Chelsea Dielectric Press, 1983. - 475p.

19. Jonscher, A.K. Un iversal Relaxation Law/ A.K. Jonscher. -London : Chelsea Dielectric Press, 1996. 352p.

20. Williams, G. Non-symmetrical dielectric relaxation behavior arising from a simple empirical decay function / G. Williams, D.C. Watts // Trans. Faradey Soc. -1970.-Vol. 66, № l.-P. 80-85.

21. Shlesinger, M.F. Williams-Watts dielectric relaxation: a fractal time stochastic process / M.F. Shlesinger // J. Stat. Phys. 1984. - Vol. 36. - P. 639-648.

22. Chen, H. Relaxation in condensed matter: a fractal time model / H. Chen, X. Wu and J. Fang // J. Phys. C: Solid State Phys. 1986. - Vol. 19. - P. 499-503.

23. Hilfer, Ed.R. Analytical representations for relaxation functions of glasses / Ed.R. Hilfer // Journal of non-crystalline solids. 2002. - Vol. 305. - P. 122-126.

24. Magin, R.L. Fractional calculus in bioengineering / R.L. Magin. — Redding : Begell House Publisher, 2006. 684 p.

25. Cole, K.S. Dispersion and Absorption in Dielectrics I. Alternating Current Characteristics / K.S. Cole, R.H. Cole // J. Chem. Phys. 1941. - Vol. 9. - P.341-351.

26. Fuoss, R.M. Electrical properties of solids / R.M. Fuoss, J.G. Kirkwood // J. Amer. Chem. Soc. 1941. - Vol. 63, № 6. - P. 385-394.

27. Нигматуллин, P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация / Р.Р. Нигматуллин // ТМФ. 1992. - Т.90, №3. - С.354-368.

28. Nigmatullin, R.R. Dielectric relaxation of Cole-Cole type and self-similar process of relaxation / R.R. Nigmatullin, Ya.A. Ryabov // Physics. 1997. - №4. -P.6-11.

29. Davidson, D.W. Dielectric Relaxation in Glycerol, Propylene Glycerol, and n-Propanol / D.W. Davidson, R.H. Cole // J. Chem. Phys. 1951. - Vol.19. -P. 1484-1490.

30. Havriliak, S. A Complex Plane Analysis of a-Dispersions in Some Polymer Systems / S. Havriliak, S. Negami // J. Polymer Science. 1966. - Vol.14. -P.99-117.

31. Nigmatullin, R.R. Cole-Davidson dielectric relaxation as a self-similar relaxation process / R.R. Nigmatullin and Ya.E. Ryabov // Phys. Solid. State. -1997.-Vol.39,-P.87-90.

32. Nigmatullin, R.R. Recognition of a new permittivity function for glycerol by the use of the eigen coordinates method / R.R. Nigmatullin, M.M. Abdul-Gader Jafar, N. Shinyashiki, S. Sudo, S. Yagihara // J. Non Cr. Sol. 2002. - Vol.305. -P.96-111.

33. Gotze, W. Relaxation processes in supercooled liquids / W. Gotze, L. Sjogren // Rep. Progr. Phys. 1992. - Vol. 55. - P. 241-253.

34. Katana, G. Influence of Concentration Fluctuations on the dielectric arelaxation in homogeneous Polymer Mixtures / G. Katana, E.W. Fischer, V. Abetz, F. Kremer, Th. Hack // Macromolecules . 1995. - Vol. 28. - P. 2714-2722.

35. Арбузов, А.А. Обобщённый обратный формат и его применение к обработке диэлектрических спектров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2007. - №4. - С. 112-121.

36. Рутман, P.C. К статье P. P. Нигматуллина "Дробный интеграл и его физическая интерпретация"/ Р.С. Рутман // ТМФ. 1994. - Т.100, № 3. -С.476-479.

37. Fu-Yao Ren Kantor sets and their generalizations / Fu-Yao Ren, Zu-Guo Yu, Feng Su. // Physics Letters A . 1996. - Vol. 219. - P.59-65.

38. Mehaute, A. Fleches du Temps et Geometrie Fractale / A. Mehaute, R.R. Nigmatullin. Paris : Hermez, 1998. - 423 p.

39. Hilfer, Ed.R. Applications of Fractional Calculus in Physics / Ed.R. Hilfer. Singapore : World Scientific Publ. House, 2000. - 54lp.

40. Yilmaz, Y. Dielectric study of neutral and charged hydrogels during the swelling process / Y. Yilmaz, A. Gelir, F. Salehli, R.R. Nigmatullin and A.A. Arbuzov // J. Chem. Phys. 2006. - Vol.125. - P. 234705.

41. Nigmatullin, R. R. Real time dielectric monitoring of glass transition in n-vinyl pyrrolidone polymerization / R.R. Nigmatullin, A.A. Arbuzov, F. Salehli and I. Bayrak // Journal of Non-Crystalline Solids. 2007. - Vol.353. - P. 4366-4370.

42. Roling, B. Ion transport in glass: Influence of glassy structure on spatial extent of nonrandom ion hopping / B. Roling, C. Martiny, S. Brukner // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 63. - P. 214203-1-9.

43. Dyre, J.C. Universality of ac conduction in disordered solids / J.C. Dyre, T. Shroder // Rev. Mod. Phys. 2000. - Vol. 72. - P. 873-892.

44. Roling, В. Ionic Conduction in Glass: New Information on the Interrelation between the "Jonsher Behavior" and the "Nearly Constant-Loss Behavior" from Broadband Conductivity Spectra / B. Roling // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. -P. 085901.

45. Roling, B. Hopping dynamics of ions and polarons in disordered materials: On the potential of nonlinear conductivity spectroscopy / B. Roling // J. Chem Phys. 2002. - Vol. 117. - P. 1320-1345.

46. Murugavel, S. AC Conductivity Spectra of Alkali Tellurite Glasses: Composition-Dependent Deviations from the Summerfield Scaling / S. Murugavel,

47. B. Rolling // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89. - P. 195902.

48. Ryabov, Ya. E. Features of supercooled glycerol dynamics / Ya. E. Ryabov, Y. Hayashi, A. Gutina and Y. Feldman // Phys. Rev. B. 2003. - Vol. 67. - P. 132202.

49. Puzenko, A. Relaxation Dynamics in Glycerol-Water Mixtures: Glycerol-Rich Mixtures / A. Puzenko, Yo. Hayashi, Ya. E. Ryabov, I. Balin, Yu. Feldman, U. Kaatze and R. Behrends // J. Chem. Phys. 2005. - Vol. 109. - P. 6031-6035.

50. Войлов, Д.Н. Диэлектрический отклик наночастиц ZnS в нанокомпозите цеолит-полупроводник Hbeta-ZnS / Д.Н. Войлов, Г.Ф. Новиков, Ю.В. Метелева // Конд. среды и межфаз. гран. 2008. - Т. 10. - С. 65-73.

51. Новиков, Г.Ф. Импеданс растворов мицелл АОТ/вода в гексане / Г. Ф. Новиков, Д. Н. Войлов, М. А. Осипова, И. А. Чернов // Физ. Хим. -2007. -Т. 81, № 12.-С. 2252-2257.

52. Kremer, F. Broadband dielectric spectroscopy / F. Kremer, A. Schonhals. -Berlin : Springer, 2003. 729 p.

53. Nelson, S. O. Microwave dielectric properties of fresh fruits and vegetables / S. O. Nelson//Transactions of the ASAE. 1980. - Vol. 23, № 5. - P. 1314-1317.

54. Nelson, S. O. Measuring RF and microwave permittivities of adult rice weevils / S. O. Nelson, P. G. Bartley, Jr. and К. C. Lawrence // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. 1997. - Vol. 46, № 4. - P. 941-946.

55. Nelson, S. O. Frequency- and temperature-dependent permittivities of fresh fruits and vegetables from 0.01 to 1.8 GHz / S.O. Nelson // Transactions of the ASAE. 2003. - Vol. 46, № 2. - P. 567-574.

56. Fricke, H. The electric capacity of suspensions with special reference to blood / H. Fricke // J. Gen. Physiol. 1925. - Vol. 9. - P.137-152.

57. Schwan, H. P. Dielectric Properties of the Membrane of Lysed Erythrocytes / P.H. Schwan, E.L. Carstensen // Science. 1957. - Vol. 125. - P. 985-986.

58. Schwan, H. P. Electrical properties of tissue and cell suspensions / P.H. Schwan // Advances in Biological and Medical Physics; ed. by J.H. Lawrence and

59. C.A. Tobias. New York : Academic Press, 1957. - P. 147-163.

60. Fricke, H. A dielectric study of the low-conductance surface membrane in E. coll / H. Fricke, H.P. Schwan, K. Li, V. Bryson // Nature. 1956. - Vol. 177. -P.134-141.

61. Asami, K. Dielectric Properties of Yeast Cells / K. Asami, T. Hanai and N. Koizumi // J. Membrane Biol. 1976. - Vol. 28. - P. 169-178.

62. Hope, A. B. The electric properties of plant cell membranes. I. The electric capacitance of suspensions of mitochondria, chloroplasts, and chlorella sp. Aust. / A.B. Hope // J. Biol. Sci. 1956. - Vol. 19. - P.53-62.

63. Takashima, S. Passive electrical properties and voltage dependent membrane capacitance of single skeletal muscle fibers / S. Takashima // Pflugers Arch. Ges. Physiol. Menschen Tiere. 1985. - Vol. 403. - P. 197-202.

64. Asami, K. Dielectric spectroscopy of plant protoplasts / K. Asami and T. Yamaguchi //Biophys. J. 1992. - Vol. 63. - P. 1493-1499.

65. Asami, K. Electrical and Morphological Changes of Human Erythrocytes under High Hydrostatic Pressure Followed by Dielectric Spectroscopy / K. Asami and T. Yamaguchi // Annals of Biomedical Engin. -1999. Vol. 27. - P. 427-434.

66. Asami, K. Dielectric dispersion of erythrocyte ghosts / K. Asami // Phys. Rev. E. 2006. - Vol. 73. - P. 052903.

67. Omori, S. Dielectric dispersion for short double-strand DNA / S. Omori, Y. Katsumoto, A. Yasuda // Phys. Rev.E. 2006. - Vol. 73, Is. 5. - P. 050901050955.

68. Katsumoto, Y. Dielectric dispersion of short single-stranded DNA in aqueous solutions with and without added salt / Y. Katsumoto // Phys. Rev.E. -2007.-Vol. 75.-P. 011911.

69. Kegler, K. Forces of Interaction between DNA-Grafted Colloids: An Optical Tweezer Measurement / K. Kegler, M. Salomo and F. Kremer // Phys. Rev. Lett. -2007. Vol. 98. - P. 058304.

70. Hayashi, Y. Dielectric spectroscopy study of specific glucose influence on human erythrocyte membranes / Y. Hayashi, L. Livshits, A. Caduff, Yu. Feldman // J. Phys. D. 2003. - Vol. 36. - P. 369.

71. Caduff, A. First human experiments with a novel non-invasive, non-optical continuous glucose monitoring system / A. Caduff, E. Hirt, Yu. Feldman, Z. Ali and L. Heinemann // Biosens Bioelectron. 2003. - Vol. 19. - P. 209-217.

72. Caduff, A. Non-invasive glucose monitoring in patients with diabetes: A novel system based on impedance spectroscopy / A. Caduff, F. Dewarrat, M. Talary, G. Stalder, L. Heinemann and Yu. Feldman // Biosens. Bioelectron. -2006. Vol. 22. - P. 598-604.

73. Sadik, O.A. Differential Impedance Spectroscopy for Monitoring Protein Immobilization and Antibody-Antigen Reactions / O. A. Sadik, H. Xu, E. Gheorghiu, D. Andreescu, C. Balut, M. Gheorghiu and D. Bratu // Anal. Chem. -2002. —Vol. 74.-P. 3142-3150.

74. Balut, C.M. On the errors in determining cell properties from impedance data: theoretical and experimental aspects / C. Balut, E. Gheorghiu // Med. Biol. Eng. Comput. 1999. - Vol. 37. -P. 166-173.

75. Gheorghiu, E. Dielectric behavior of Gap Junction Connected cells: a Microscopic Approach / E. Gheorghiu, C. Balut, M. Gheorghiu // Phys. Med. and Biol.-2002.-Vol. 47.-P. 341-350.

76. Gheorghiu, M. Quantitative analysis of impedance spectra of organs during ischemia / M. Gheorghiu, E. Gersing, E. Gheorghiu // Annals of NY Ac. Sci. — 1999.-Vol. 873.-P. 65-73.

77. Holmes, D. On-chip high-speed sorting of micron-sized particles for high-throughput analysis / D. Holmes, M.E. Sandison, N.G. Green, H. Morgan // IEE Proc. Nanobiotech. 2005. - Vol. 152. - P. 129-13 5.

78. Galitonov, G. High capacity tagging using nanostructured diffraction barcodes / G. Galitonov, S. Birtwell, N. Zheludev and H. Morgan // Opt. Express. 2006. - Vol. 14, Is. 4. - P.1382-1387.

79. Sun, T. Analytical electric field and sensitivity analysis for two micro-fluidic impedance cytometer designs / T. Sun, N.G. Green, S. Gawad, H. Morgan // IET Nanobiotechnol. 2007. - Vol. 1, Is. 5. - P. 69-79.

80. Goncharov, V.A. Treatment of time-domain spectroscopy data in the lumped-capacitance method. Further considerations / V.A. Goncharov, Yu.D. Feldman // Chem. Phys. Let. 1980.-Vol. 71, № 3.-P. 513-518.

81. Goncharov, V.A. On the study of the dynamical behavior of dielectrics by thermal-noise correlation analysis / V.A. Goncharov, I.V. Ovchinnikov // Chem. Phys. Let. 1984.-Vol. Ill, №6.-P. 521-525.

82. Нигматуллин, Р.Ш. Теория электрохимического диода / Р.Ш. Нигматуллин // Докл. АН СССР, 1963, т. 150, №3, С. 600-606.

83. Лиу, С. Отклик шероховатых поверхностей на переменном токе / С. Лиу, Т. Каплан, П. Грей // Фракталы в физике: пер. с англ; под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. Труды IV Международного симпозиума по фракталам в физике. М.: Мир, 1988. - С. 268-279.

84. Nikos, L. Fractal dimension and fractional power frequency-dependent impedance of blocking electrodes / L. Nikos, T. Pajkossy // Electrochimica Acta. -1985.-Vol. 30.-P. 1533-1540.

85. Карамов, Ф.А. Геометрические модели электродов для объяснения дробно-степенной зависимости импеданса / Ф.А. Карамов, С.В. Шепелев, И.А. Горбунов // Нелинейный мир. 2008. - №3, Т.6. - С. 221 - 226.

86. Потапов, А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. / А.А. Потапов. Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Университетская книга, 2005. 635 с.

87. Гильмутдинов, А.Х. Резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами: анализ, синтез и применение / А.Х. Гильмутдинов. Казань : Изд. КГТУ, 2005. - 285 с.

88. Vasin, M.G. General approach to the description of the glass transition in terms of critical dynamics / M.G. Vasin // Phys. Rev. B. 2006. -Vol.74. - P. 214116-1-5.

89. Арбузов, A.A. Влияние осевой симметрии дипольных кластеров на диэлектрическую релаксацию / А.А. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Хим. Физика и Мезоскопия. 2009. - Т. 11, №1. - С. 59-74.

90. Montroll, E.W. / E.W. Montroll and M.F.Shlesinger, in Lebowitz J. and Montroll E. (Eds) // Studies in Statistical Mechanics. 1984. - Vol.11. - P. 1-3.

91. Scher, H. Time-scale invariance in transport and relaxation / H. Scher, M. F. Shlesinger and J. T. Bendler // Physics Today. 1991. - Vol.44. - P. 26-29.

92. Arkhipov, V.I. Orientation relaxation of a water molecule / V.I. Arkhipov and Zavidonov A.Yu. // J. Molec. Liquids. 2003. - V.106, № 2. - P. 155-165.

93. Арбузов, A.A. Проводимость последовательного и параллельного соединений самоподобных электрических цепей / А.А. Арбузов, P.P. Нигматуллин // Нелинейный мир. 2008. - №8, Т.6. — С.34-41.

94. Баренблатт, Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика / Г.И. Баренблатт. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1982. - 423 с.

95. Shlesinger, M.F. Complex fractal dimension of the bronchial tree / M.F. Shlesinger and B. West // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol.67. - P.2106-2108.

96. Sornette, D. Discrete scale invariance and complex dimensions / D. Sornette // Phys. Rep. 1998. - Vol. 297. - P. 239-270.

97. Donati, C. Stringlike Cooperative Motion in a Supercooled Liquid / C. Donati, J. F. Douglas, W. Kob, S. J. Plimpton, P.H. Poole and S.C. Glotzer // Phys. Rev. Let. 1998. - Vol. 80. - P. 2338-2341.

98. Ю2.Осокин, С.И. Распознавание и анализ фрактальных моделей в диэлектрической релаксации: дис.канд. ф-м наук: 01.04.07 : защищена 05.11.2003 : утв. 04.05.2004 / Осокин Сергей Игоревич. Казань, 2003. - 139 с.

99. Macedo, Р.В. The modulus format and its application in dielectric spectroscopy / P.B. Macedo, C.T. Moynihan, and R. Bose // Physics of Chemical Glasses. 1972.-Vol. 13.-P.171-183.

100. Nigmatullin, R.R. Eigen-Coordinates: New Method of Analytical Functions Identification in Experimental Measurements / R.R. Nigmatullin // Appl. Magnet. Resonance. 1998. - Vol.14. -P.601-633.

101. Nigmatullin, R.R. Recognition of nonextensive statistical distributions by the eigencoordinates method / R.R. Nigmatullin // Physica A. 2000. - Vol.285. -P.547-565.

102. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. М : Наука. - 1974. - 832 с.

103. Peppas, N. A. Hydrogels in Medicine and Pharmacy / A.N. Peppas. New York: Wiley, 1987.-435p.

104. Yilmaz, Y. Synthesis of the neutral and charged gels / Y. Yilmaz, N. Uysal, D. Kaya, O. Guney, A. Gelir, S. Gogebakan and A. Oner // Macromol. Chem. Phys.-2006.-Vol. 10.-P. 58-71.

105. Nigmatullin, R.R. Application of the Generalized Mean Value Function to the Statistical Detection of Water in Decane by Near-Infrared Spectroscopy / R.R. Nigmatullin, A. Moroz and G. Smith // Physica A. 2005. - Vol. 352. - P. 379-396.

106. Nigmatullin, R.R. Statistics of the fractional moments: is there any chance to read 'quantitatively' any randomness? / R.R. Nigmatullin // Journal of Signal Processing. 2006. - Vol. - 86, № Ю. - P. 2529-2547.