Теория и методы решения сингулярных интегральных уравнений линейной упругости (спектральный подход) тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ •

М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На права- рукописи

КУТРУНОВ Владимир Николревич

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ

(спектральный подход)

01.02.0-» - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1992

Работа RiinoAii'JHK. в Институте механики многофазных систем Jn'iMpcKoro отделения Российской Академии наук.

Офици/г-пььыа оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор АЛ'. Ефимов . доктор физико-математических наук, профессор A.C. Кравчук доктор физико-математических наук, профессор Ю.И. Соловьев

Ведущая организация - Московский физико-техничоский индгитуг

Защита состоится "¿лЖУ/ '_[992 года в 16 часов

на заседании специализированного Совета Д 0133.05,03 в МГУ им. Ы.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, .Ленинские горы, МГУ, механико-мыематический^факультет, ауд. Тб-ТО.

..С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 'у/у /' * "__1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д 053.05.03 в МГУ кандидат физико - математических наук

доцент В.А. Мольков

-г-

Актуальность теш. Потребности строит&глства зданий и со-.оружшлй, необходимость проектирования легких и вместе . те.л •прочных уилст машин и мэханиамоз, жьланиэ исследовать рлияниэ различных выработок в горных порогах приводят к необходимости решения задач механики деформируемг-ч) твердого тэла. Расширяется крут проблем, р рамках которых задачи механики деформируемого ■"вердого теле оказнвззтся лишь час-ыо.

В этой связи представляется актуальным дальнейшее развитие метода интегралы!»« урачнений в теории упругости. Причина не только о гои, что размерность решаемой задачи снижается на единицу и уменьшается объем.перерабатываемой информации. Пересмотр отдельных основ теории, разработка новых, существенно специализированных численных методов приводит к эффективному ее применению в рамках более сложной проблемы. При бретаетсг ьобый взгляд на вещи, что в свою очередь, -позволяет дальше развивать теорию, численные к-егоды и их практическое приложение. Этим обеспечивается прогресс в развитии, который не мояет быт^ заморожен на каком-то фиксированном этапе.

Цель рабой . - Построение специализированной теории регуляризации сингулярных интегральных уравнений линейной упругости (СИУ ТУ), единэЧ для плоских и гространетвенных задач.

- Летальное теоретическое исследование спектра сингулярных интегральных операторов теории упругости (СИО ГУ) и новое доказательство некоторых теорем Фпедгольма,

- Разработка специализированного итерационного алгоритма решения СИУ '¡'У, существенно использующего спектралоные свойства ин'эгральных операюров теории упругости.

- Числепное ..сследование влияния на спектр, сльдователь. о и на сходимость ите^цуонных процессов, гладкости поверхности, разброса характерна -размеров упругою те..а, 1 оэ^фштюнта Пуассон".

Научная новизна. - Развйт специализированный к сингулярным интегральным уравнениям теории упругости метод регуляризации, основанный на применении кватернионных функций и обладаиций слйдукхцчки с£)йстваш:

Метод идентичен для плоских и пространственных задач и достаточно 'прост.

Регуляризаторы и регулггризованные уравнения отроятся явно и имеют как практический, так и теоретический интерес.

- Разработан единый подход к теоретическому исследованию а.зктра СИО плоских и пространственных задач теории ¿пру.остг, иляюяийся следствием кватернионного способа регуляризации.

- Из интегральных операторов плоских и пространственных задач тзорил, упругости выделены 'характеристические операторы. Установлено, что в пло ком случае их спектр дискретен и содержит две точки 1есконечной кратности, а в пространственном две точки бесконечной кратности и одну точку сгущенил. 8 последнем случае

' зпкктр выделенного оператора (за исключением точек, бесконечной кратности) тождественно совпадает со сп ктром оператора пртен-ци1-1а двойного слоя.

- Для СИУ ТУ доказана тегрема, заменягчая четвертую теорему Фредгольма. Отличие СИУ ТУ ог уравнений с вполне негторывньши операторами в наличии не одной, (нуля), а большего числа точек непрерывного спектра (двух в плоском и трех в пространственном случае). По-новому доказана вторая теорема Фрепгольма.

- Предложен второй, основишый на свойствах споктр'а, способ регуляризации СИУ ТУ.

-Разработан и проверен на тестовых задачах слециализированный итерационный метод решения интегральных уравнений теории упругости. líeтод учитывает существенную особенность спектра интегральных операторов: - его расположение на действительной

-о-

сси.

Уэтод операторного полинома наилучшего приближения ¡матод ПИП) относится к классу'чебызевских методой и отличается от нлх лучизЯ сходимостью и тем, что является сташонарным.

-Получены оценки погресности ьгатода и они не улучшаем, если использовали точные границы спектра.

- Да;и модификации метода. Наиболее важная иь них - адал-< т.-. зний ваий ант метода ПИП, автоматически настраивающийся на граница спектра.

- На примерах куба, стержня, пластины, шара, параллелепипеда со срезанными гранями численно исследовано влияние гладкости поверхности, разброса характерных размеров, а также коэффициента Пуассона на спектр. Чистенно подтверждена гипотеза о том, что "худшэние гладкости, увеличение разброса а характерных размерах ведет к такому изненевт спектра, что сводимость методов ухудшится. '

Обоснованность и достоверность полученных теоретических результатов определяется тем, что онл получены 'строгими к тгеиа-

I •

тическнми м. -годами. Численные расчеты сопоставлены с извесг: ими точит.«! решениями.

Практическая ценность. Методически новыЯ подход к регуляризации интегральных уравнений теорки упругост- дагт дополнительное углубленное понимание структуры интегральных операторов теории упругости. В особенности это касается их спектральных

"ЕОПСТЕ.

- Яш э построенные рзгуляризгторы и регуляризованные ураь-неьия кроме теоретического значение могут бькь исиольг.оганы для счета.

- Норыл итерационна метод в силу смей специализации к уоавнзниям теории упругости значительно более яффекчивен по ггра-

чнению с применяемыми методами, а по сложност-1 программирования ькшшалентен им. Это расширяет .:лассы решоемых задач.

- Итерационный метод ПН11 может быть применен к решению широкого i тсса задач механики и математики, i которых дело сводится к решению ли» зйных операторных урагчений, спектр операторов которых действителен.

- Исследования по влиянию гладкости поверхности, разброса характерных размеров упругих тел на спектр, позволяю"1 прогнозировать те или иные трудности численного решения.

Работа над диссертацией проводилась в соответствии с плалс»* научно-исследовате..ьских работ Института механики многофазные систем СО РАН, номер гос. регистрации 01.84.0051336, шифр программы I.10.t.17. v

' ■ Алробяция работы. Основные результаты диссертации докладывались Hi п0№*зр нциях, симпозиумах, научных семинарах, рабочих совещаниях.

- У Всесоюзная конференция по статике и динамике пространственных конструкций (Киев, КИСИ, П.Х. х985).

I, ¡1, Ш рабочие совещания "Метод граничных интегральных уравнений. Задачи, аторитмы, численная реализация" (г. Пущино--на Оке, 1984, 1985, 1986 гг,л

- Ш, 1У, У Всесоюзные симпозиумы "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики (г. -Харьког, г. Одесса, 1967, 1989, 199I г.).

-Семинар кафедры теории упругости Новосибирского государственного университета г;од рукогодством проф. Аннина Б.Д. (1989г.).

-Межфакультетский научно-технический семинар по прочности и надежности Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта под руководством проф. Ахмедзянова М.Х. (г. Новосибирск, 1289 г.).

-5- Научный семинар кафедры пластичности ¡Московского ггзу-дарственного ун-верситета под руководством проф. Юпашник^ва В.Д. (г. Москва, МГУ, 1987 г;).

-Научный семинар под руководством академика PAh Нигмату-лина Р.И. (Тюмень, ГГУ, 1999, 1992 г.г.).

-Научный семинар под руководством гроф. Мальцэва J1.E. (Тюмень, ТюгЧСИ, 199I г.),

- Научный семинар кафедры теории угругости МГУ под руководством член.-корр. АН ЗССР Ильюшина A.A. (Москва, МГУ, 1991 :.)

- Научный семинар кафедры механики композитов МГУ под руководством проф. Ппбедр'и Б.Е. (Москва, МГУ, 1991 г.)

Публикацич. Основные результаты диссертации опубликованы в Ю работах, список кс:орых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести гнав, заключения, списка литературы.' СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ.

В предисловии.приводится обзор работ, обоснование актуа'Ъ-

ности темы дис зертации, "содержание по главам и-основные г.олу-* .

ценные ре-ультаты.

Глава Т.. Сингулярные интегральные уравнения теории упруго^т: (СИУ ТУ) для тал, ограниченных кус»: шо-ляпуновскими повер'/.лостями.

Сиь.улярнью интегпальныо уравнения первой и в^ороЧ осговных задс-ч теории упругости на основе обобщенных потенциалов (нопря • мая фор'^у/п-ро^ча) и уравьзния на основа формулы Бетти (прямая юстановка) записаны в форме, отличной, от стандартной _ оСдем случае эть уравнения, чаьример,' д..я первой внешней I" и внутренней 1+ задач теории упругости имеют вид

•Jvf+ ф^^Цу

где <р - некоторый сингу;.лрнъ:Я интегральи/Я оперятор теории j.ip^rocrn (СО ТУ), - искомая плотность пот^нциялп, -

-б- ■

вектор перемещения точек поверхности упр/гого тела, мат^.ща, зависящая от гладкости этой поверхности.

Б работе выведено представление этой матрицы в особых множествах границы через криволинейные интегралы, откуда удалось получить ряд ее явных выражений (для многогранного угла,- ребра, • конической точки,'вершины полуконуса).

Другие формы записи, использованные в этой главе, названы нераскрытыми формами. Они также верны для кусочно-ляэтуновских поверхностей и более предпочтительны в вычислениях, так как не требуют знания матрицы \] .

В главе I коротко изложен ряд известных результатов: теория символа Ыихлина С.Г.-и ее лрименение к регуляризации сингулярных уравнений, а так: е теория син.улярной резольвенты В.Д. Купр&дзе и ¿е применение к доказательству основных теорем Фредгольма.

Привр^ены интегральные уравнения плоских задач теории упругости.

Глава 2. Развитие аналога теории потенциала в поле кватернионов и его причожекие к теории :, пругс-ти.

Кзатернионазии называются числа вида Р=Р1Р^б^ где - действительные числа, ^ ¡_ - мнимые единицы, между

когорыми установлены операциг умножения по специальному правилу. Если ♦ то Р ~ кватернионнаА функция.

Будем называ.ь эту функцию кватернионной аналитической (Ь-ана-литической) функцией в области, ограниченной жЮверхностьи $ если она удовлетворяет условию УР - О . Здесь 17='^¿"^^с кватернионный дифференциальный оператор Гамильтона. Указанное условие является с^оощением на пространственны?, случай условий Коши-Риыана.

В главе 2 д*я кватеркиенных функций последовательно реализуется хорошо известная схема теории потенциала и теории анали-

тических функций. 3 частности, появляются аналоги интегралов ти-пи Коши (аналоги потенциала двойного слоя) и интегралов Коиги. •Ксчечнял цель - получение интегральных тождеств, с помощью которых детально исследуется спектр интегральных операторов теории .упругости и выполняется регуляризация соответствующих сингулярных интегральных уравнений.-

Для реализации этой цели сначала доказывается теорема, • являющаяся аналогом теореш Остро градского:

¿У^ V ХЮбУ^ (I)'

где V - 'конечный объем, ограниченный поверхностью о > /ъСЗ-) - мнимый кватернион, компонентами которого являются направляющие косинусы внешней нормали в точке X £ О I черта обозначает операцию сопряжения для кватернионов. Используя (I), можно получить интегральное представление произвольной киатерчионной функции, зоданной в области V ^ или У , В частности, если кватернион

задан ч области V ,

то

' { ^ а«^ -

где 1 ~ мнимый кватернион,

гольчюз значение имеет интеграл, сходный по смыслу с интегралом Гаусса:

'о , з ¿V

I

V Т^П-ССБ = (3)

11|

5 , з £ V +

здесь СО . - внутренний телесный угол в точке у. поверхности 5 , под знаком интеграла записано произведена.> кватернионов V ~ и П. •

Интсгрол Гаусса (3) позволяет распространить интегральное представление (2) и на точки поверхности j £ 5 . £ частности, о;?ли К-гшалитлческая функция в области V ^ , то из (2) и (3) следует:

(о 3 уеГ

= ^ЭД) > (4)

Если 5 - ляпуновская поверхность, то СО =

Аналогом интеграла типа Коши называется интеграл

где - прсиа.водькчй кватернион, заданный на 5

Очевидно, что V О , ,о есть функция Q(y) К-ачалитична как в области V , так и в области V

Если - граничное значение К-аналитической функ-

ции, то интеграл (5) могло назвать аналогом интеграла Коом. Из (4) следует, что выполняется основное свойство интеграла Коси: с помощью этого интегралл К-аналитическал функция восстанавливается по своему граничному значению.

Введем сингулярный интегральный оператор А п.о правилу

Ас1 г (6)

и обозначим предельшю значения кватерниона ¡Э ( ^ ) из областей V ~ соответственно 0~ . Доказываются продольные теоремы:

и раг-гнссгм:

М -- я? а ; ао. = (е)

Из (7) и (8) для любого С^ получается гож.дес гпо

о) .

(9)

Отсюда для ляпуновской поверхности 5 «.здузт кватернионное интегральное тождество:

% (10) Если нз пользоваться техникой кватерниснных функций, а ввести четырехмерные вектора и четырехмерные матрицы, то оператор А совпадает с оператором Бицадзе (термин Гегелиа Т.Г.). Вообще, формулы 2-Ю .получены'перефразировкой результатов Бицадзе А.-В. в ксатернионнуи форму, что привело к большей наглядности и сходству с теорией аналитических функций и теорией потенциала. Тождество (10 )5 Являясь верным для произвольного кватернн-

_ г ■

■ она , в частности, верно, если ^ действительная

функция или мнимый кватернион. Обозначим через <Уо действительную функцию, а за мнимым кватернионом сохраним обозначение С^ Кроме того, далее функцию будем интерпретировать кяк вектор Я £? + £? О, . Введем операторы:

И * (13)

-7.0-

Знаки ( * ), ( X ) соответствуют скалярному и векторному произведениям. Из операторов (II) - (14) хорошо изучен оператор В - потенциал двойного слоя. Этот интегральный оператор не сингулярен. Операторы С , F ,_£) сингулярны.

С учетом (II) - (14) из (10) к.ожно получить следующие тождества:

[^cB^-DCq^O

J Ъ F q + FJ^ = O

1 _ 2 <I6) L- ZFq - XTq

Фундаментальная, роль тождеств (15) (16) состоит в том, что сопряжначые сингулярны"' интегральные операторы теории упругости Ф и Ф "" могут быть представлены через опер-тор

где л). - коэффициент Пуассоно, , - интегральные

операторы со слаОой особенностью. Разбиение (17) отличится от принятого в теории упругости разбиения интегральных операторов на сингулярную и регулярную части. Сингулярное уравнени-: с оператором можно назвать по аналогии с одномерны)! случаям,

(например, Мусхелишвили Н.Я.) характеристической частью интегральных уравнений теории упругости. Характеристическое уравнение имеет вид

Р+ Ос-J) р = j- (18)

где р - искомый веьтор, СЬ - число, - заданный

вектор. Для его регуляризации используется слрдст.чие точгесгв

■ ~~ СВР (19)

Так как оператор потенциала двойного слоя 6 вполне непрерывен, тс композиция Св/-" такте вполне непрерывна. На этом основании легко записать явно р^гуляризатор К н регуляри-зованное уравнение (18):

-^•Р- оХвРр^ (21)

Регуляризация оказывается эквивалентной благодаря спектральным свойствам оператора

Представляет интерес еще один способ регуляризации уравнения (18), допускаемый тождествами (15)^(16). Не нарушая общности решение уравнения можно свести к решению регулярного интегрального уравнения теории потенциала с неизвестной скалярной (а не векторной) функцией

^ :

■•у- =

где й - оператор потенциала двойного слоя, Р - оператор, заданный формулой (13), Ч7 - искомая скалярная функция. Решение имеет вид:

Р= ¿Г^Ь-Ы^-Жсчв (22)

Этот и другие факты создают предпосылку к эффективному использованию в расчетах регуляризованных уравнений теории упругости.

После регуляризации характеристического уравнения (18) регуляризация сингулярных интегральных уравнений теории упругости сказываемся элементарной.

Например, интегральные урявн-гнмн ¡ч-ррий ннглу.нно:! задаче

мокно ьеписять в виде

V + - ад^хи,

Эквивалентным регулярная гором я то го урт пне ни я бу;ит р^гуляризэ-точ (20), Е'котором надо положить

Используя тождество (19) легко записать явнс регуляриз^ванно^ уравнение. Нллиуи'- связи (17)' позволяет выразись оператор 3) через

У)

или <Р* , заменить его в регуляризаторе К , а затем отбросить вголне негрерывные слагаете. Полупится равноправные регуляризаторы, явтяющиэся полмномеми второй с.те;.зни от операторов сЬ или Ф * . Некоторые та таких регулгриза-торов построены Ыазьай З.Г. л Счпоянлковой 5.Д. на ос;1ове теории симв.-ла, а уакже Кууэуновым В.Н, и Мальцевым .'1.Е. Эти авторы также опирались на ¿'еорию символа.

Кватернишный годхлД позволил регуляризопать интегральные ур^вненит теория упругости бел использования теории символа. Вследствие изменения спектральных свойств регуляризованны^ уравнений и уменьшения числа арифметических сперацйй (лл&г~даря -замене (19)) появляются перспективы прямого и пользования та их уравнений в расчетах.

Да: решения плоских задач теории унругс<-ти рассматрич?,ктся интегральные уравнения, построенные, как и в пространственном случае, на основе обобщенных потенци'лов или с помощью тождества Соми/итны.

Теория регуляризации таких ургчнений гттг.уощьв кватернионных сункций друх переменных:

3 частности, вектор перемещения рассматривается ? виде 1'1Лмого кватерниона и С*-)^^ ~ ^^^ Т*^г/

Подход приводит к устранении различия в теории сингулярных уравнения плоских и пространственных задач линейной упругости, отмечаемого многими авторами: конечные результаты во многом сходны, а кет-оды исследования (теория символа в пространственном случае и теория аналитических функций в плоском случае) рязлич-ны.

Представление вектор? перемещения через три мнимых единицы в пространственном случае и две в плоском случа"'более последовательно и приводит к идентичной теории плоских и пространст- . венных задач.

Для кватернионных функций двух переменны* легко получить результаты, аналогичные случаю трех изупрений, включая тождества типа (15), (16). Эти тождества упрощаются, если рассма ри-вать кватернионные функции с двумя мнимыми единицами б^ , С^,

то есть положить С? ['X, (случай является естественным

"А " '

для плоских задач теории упругости). 3 частности, для оператора 2) вместо тождества (19) получится

J)гq- % (21)

Эквивалентным рзгуляризатором и одновременно обратным оператором для характеристического уравнения (18) будет оператор ^гР-оД) . Регуляризованное уравнение (одновременно решение) имеет вид

(25)

Следовательно, характеристическое уравнение," как и я случае интегральных уравнений плоских задач теории упругости при использовании теории функций комплексного переменного, решается точно. Тождество (24), как и в пространственном случае, позволяет р«-гуляри: звать сингулярные интегральные уравнения плоских задач теории упругости и использован, их £. расчетах.

Г'ласа 3. Теоретическое исследование спектра сингулярных операторов (СИО) теории упругости. В ¡этой главе сначала исследуется спектр оператора Л) для пространственного случая. Этот оператор является характеристической частью с: нгулкрннх операторов теории упругости и содержит нем их сингулярность.

С помощью тождеств (15) (16) установлены следующие факты:

1. Спектр оператора 3 дискретен.

2. Спектр содержит три точки непрерывного спектра: 0, ±1. Нуль-точка сгущения спектра, точки ± I являются точками бесконечной кратности.

3. За исключением точек +1 спектр оператора 1Р тождественно совпадает со спектром вполне непрерывного оператора В потенциала двойного шоя, включая совпадение кратности собственных чисел.

4. Собственник функции операторов Д) и £> взаимно-однозначно прэобрс зуются с пемощыо квадратур.

В плоском случае интегрирование в операторе Х> ссущест-вляется по кривой, ограничивающей плоскую область. Если рас-сматрийать действие оператора на произвольные вектора из пространства трех измерений, то для него имеют место все факты, установленные вьгае.

Представляет интерес рассмотрзть действие оператора 3) на I)вектора из плоскости интегрирования и да 2) вектора, перпендикулярные этой плоскости. Оказалось, что оператор Д) сохраняет эти пространства векторов, а доказанные выше свойства делятся по принципу дополнения.

В первом случае, имеющем отношение к теории упругости, спектр оператора состоит всего из двух точек ¿1, явля-

ющихся точками бесконочной кратности.

Зо втором случае спектр оператора 3> тождественно сов-

падчет со спектром оператора пошипи» га диодного слоя, и ус!внв-елиочотся любопытный фл".т с:ч ?лг-трии этого спектр;! (исключ^ни*? -- течки +1).

Дчя исследования -пекгра сингулярных интегральных операторов теории упругости следует ;с!е;сть, что они являются линеиными . кок'^'.'.нациякн оператора 3) и ¡в "огорит оператор-.в и Тэ (формулы (17)), котерда мо«но рассматривать как вполне непрерывные возмущения сингулярного оператора J)

В соответствии c. обобщениям теоремы Войля вполне непрерывнее возмущения не могут изменить непрерывного спзктра исходного оператора, поэтому легм установить точки непрерывного спзктра. интегральных операторов теории упругости Ч> и С£> :

где - коэффициент Пуассона.

Аналогичным образом устанавливается, что для инюграпьныу операторов плоской задачи теории упругости таких то"ек непрерывного спектра две (исключается точка А-О ). Пробке то^ки спектра СИО ТУ дискретны и имеют конечную кратность (иначе они были бы точками непрерывного спектра).

Наличие не о,иной, а трех в пространственном и двух в плоском случае тоиек непрерывного спектра у интегральных операторов теории упругости является их отличительной особенностью от вполне непрерывных операторов, единственной точкой непрерывного спектра которых может быть лишь А -О • Этот результат является теоремой, которая заменяет четвертую теорему Фредгольма для интегральных уравнений теории упругости и этот те результат подсказывает еяе один способ регуляризации. Прием состоит в таком преобразовании исходного уравнения, при котором три (две) точки непрерывного спектра ¿помечаются з одну точку. Регуляри-затором оказывается операторный полином второй (первой) ere-

пени от интегрального опэраторп, ¿ходящего в уравнение.

Таи как дискретность и конечная кратность точек спектра интегральных операторов теории упругости сЬ и уже доказана, то для полуиония нового доказательства второй теоремы (редгольма достаточно доказать совпадение спектров сопряженных операторов (включил равенство кратностей). Такое доказательство выполнено с использованием нескольких следствий из тождеств Со-милианы, принадлежащих Натрошвили ДЛ', Попутно получены квадратурные формулы взаимного пересчета собственных функций сопряженных интегральных операторов теории упругости.

Глава ■!. Применение информации о спектре к конструированию аффективных итерационных алгоритмов решения интегральных уравнений теории упругости. В этой главе разработан итерационный алгоритм репния СНУ, учитывающий специфическую особенность спектра интегральных операторов теории упругости: его расположение на'известном куске действительной оси. Алгоритм возник как развитие метода операторных полиномов почти наил* шего приближения, предложенного Мальцевым Л.Е. Первоначально метод сводился к построению операторного полинома Р^ф^ , адпрок'и-м..рующего обратный оператор ^ и строился к" аналогии

с аппроксимацией функцией действительного переменного

на отрезке N Д .

Метод получил свою завершенность, когда удалось получить яэную запись полинома Я^С-^О являющегося наилучшим равномерным приближением функции на отрезке О^р И 3 , Для ре-

шения уравнения (Х-Ф)*? - приближенно находится обратный о ;ератор (Г-ФУ ^(.""О «'где Рц - указанный полином. Приближенное решение имеет вид Ч'н,— ^(Ф)• Доказано, что( если спектр оператора <р расположен на отрезке^Ьч ^ М2 • то метод сходится быстрее, чем другие методы, имеющие лолиномиадь-

нув структуру (например, метод простой итерации

у ,,, можно записать в виде Ц^-^сЬ 1 ^ Ю )

Операторный полином

явно зависит от чисел , М и скорог^ть сходичости определяется точностью иг задания. К н?.~ достаткгм метода можно с нести следушее:

1. Необходимость белее точноГи зняния границ

Гп , М

спектра оператора ф

2. Необходимоегь построения операторного полинона Эта операция может наклплив.чть погрешности округл ния.

Для устранения второго недостатка был построен итерационный аналог метода операторного полинома наилучшего приближения (метод ¡МП.

Пусть Си - известное число, - интегральный опе-

ратор теории упругости, - искомый вектор на. поверхности

5 упругого тела, Ц/ - заданный вектор на той же поверхности. Тогда для решения интегрального уравнения (а. Цу метод ПН11 имеет вид: ,

•V УСг ¿Х-^ЯА-. (26)

ф - ^п 2

' ■* м-гом и-т

Лторписнный 1,ро1рсс (25) сходится как геомегричсс.>ая прогрести;? со вкачена-. :г~м -Рь . Погрешность определяется формулой

'с? / Я/'/,'М (27)

it в рамках указанной постыюзки эта оценка но улучшаема.

Отметим, что начальные приближении , Ч'^ в .этом

погоде но произвольны, 1л. , М точ;ыз границы спектра оператора С"|> на дзЧсгег.тольной оси. В этих условиях метод lililí работает в оптимальном режиме. Вместе с том, вти жестко фиксируемые параметры не обременительны.

Метод сходится и для произвольных начальных приближений ^о i ^ ± и некотором произволе в заборе чисел /П , .

Условном сходимости является попадание спектра интегрального оператора с£> в эллипс,'проходящий через точку CL> и имеющий своими фокусами числа hx. , М (иллипс сходимости). Легко, реализуется возможность учета какого-лиСо хорошо угаданного начального приближения, или учета не только границ спектра, но и ряда крайних собственных чисел (если таковые известны). Идея учета дополнительной информации о спектре проиллюстрирована на примере первой внутренней задачи теории упругости. Вместе с тем, избыточная информация о спектре - редкая ситуация. Естественным является недостаток такой информации: границы Fft , N известны приближенно. В работе дано развитие метода на этот случай (адаптивный метод ПНШ. Доказывается, что в первую очередь целесообразно уточнять границу, ближайшую к числу Л»

В процессе итераций проверяется условие, при выполнении которого необходимо уточнить эту границу. Указано алгебраическое уравк&ние, корнем которого будет новая граница. Дан интервал, на котором этот корень является единственным, Таким образом, адаптивный вариант метода 1ТНГ1 - это метод ПНП с грубо заданными границами спектра |Tl , М , автоматически уточняющий эти границы. 3 работе приведено сравнение метода ПИП с рядом других-итерационных методов. В частности, выполнено сравн-ние с мето-

дом простой итерации.и об - процессами (методы минимальной оаибки, минимальной нег-яэки и надскорейиого спуска). Во рсох этих методах итерации сходятся как геометрические прогрессии с различными знаменателями. Показано, что знаменатель метода ili'ii всегда меньше знсменатзлеП рассмотренных методов, чем и определяется его значительнее преимущество.

Представляет интерес сравнение метода ПШ с численными методами, нспользуюцими идеи "ебнтаееского ускорения..Они активно разрабатывались з работах советских и зарубежных ученых (Г'а~ вурин В.К., Лебедев В.И., Кузнецов В. A., Yon.Cj WcL^hiq^ L ,) Характерной является следующая постановка:

Построить итерационный метод решения алгебраической системы уравнений оптимальным образом уменьшающий первоначальную оиибку <F0 г Ч'-' . Если спектр матрицы алгебраической системы действителен и известны его границы ha , М , то ото задача оказывается разрешимой. Удается разработать процесс с неулучшаемой в-ремках данной постановки оценкой погрешности.

Из сопоставления итерационных процессов следует, что оба метода сходятся как геометрические прогрессии с одинаковым знаменателем. Этот знаменатель окяоычазтея наименьшим среди знаменателей других итерационных процессов полиномиальной структуры. Сравниваемые методы одинаково эффективны для пнамзнателей, близких к нули. Для знаменателей геометрических прогрессий, близких к единице, болео эффективным оказывается метод ПНП. Последний слуиай реализуется для плохо обусловленных систем уравнений, к которым сводятся, в частности., интегральные уравкгшия теории . упругости, если коэффициент Пуассона ^ близок :t 0.5 или упругез тело имеет сложную гесметряиескую форму (глэры 5, fi).

Другая отличительная особенность метода ГШ П1члючг.г'тсл

и ого стационарности. Не требуемся вычисления каких-либо параметров, зависящих oi номера итерации.

L£iillû 5. Численное исследование спектра интегральных операторов теории упругости. Так как год явно зависит от границ спектра, то представляет интерес исследовать влияния на спектр различных факторов геометрического и физического свойства.

Сначала исследуется влияние коэффициента Пуассона на спектр интегральных операторов теории упругости. Эти исследования выполнены в совместных работах тюменской группы.Куриленко Е.Ю., Кутрунопа В.Н., Мальцева Л.Е., Ромашине й Г.Ф., Филисюка Б.Г. Собственные числа вычислялись на DDL! для упругих тел >- шара, куба, параллелепипеда. Во всех случаях была показана тенденция спектра к "расползанию" на фиксированном отрезке. Спектр начинает занимать все более иирокий интервал, если ^ —0.5. .

. • Этот процесс приводит к увеличению зпг.менателей геометрических прогрессий и к ухудшению сходимости итерационных методов (в row! числе и метода ПНП), что видно из соответствующих оценок.

' Б главе приводятся таблицы нескольких крайних собственных чисел при различных значениях коэффициента Пуассона и для

различных упругих юл, а граничные значения щ , M п.зависимости от ^ представлены на графиках.

На примере упругого параллелепипеда исследуется влияние характерных размеров тела на спектр.

В частности, разброс в характерных размерах тола организуется путем вырождения куба в пластину и стержень. Установлено, что при увеличении разброса в -характерных размерах спектр "расползается" по фиксированному отрезку. Границы спектра изменяются таким ojpasovi, чгс знаменатель геометрической прогрессии растет и сходимость итерационных процессов ухудшается.

Приводятся тпблицн собстг1С'!'гпг< -исол для ц/>рэ.чпс:1!!;пмп';г,ог> о размерами ребер и д;тя различных коэффициент* ¡ly-

ассона.

ДЛЯ ИССЛеДОЕйНИЯ влияния ггсидасоти ГОП^РКНООТИ ''Ируг'Л'О

теля на спектральные характеристики интегральных операторов рассматривается изменение спектра при трансфгрмации упругого * xyrta ч пар. Трансформация осгчоствляится путем ".резания робзр л углов куба.

Как оказалЬсь, при таноП трансформации границы '."чекгрч. М. , М изменяются так, что ияимемьший рнаткатоль геометрической прогрессии оказывается у ппра, а наибольший у куба. Тчким об:-ррдзом, следует'ожидать худшую сходимость при решении зпдач дня упругих тел с "менее гладкой поверхностью". В идейном плене эти исследования сходны с работой Машуковч В.И., Осинова В.Д., где изучается влияние на спектр пояячения острого угла или вырождения овальной упругой области п пителеобразнуг* область (плоская задала теории упругости).

В цитируемой глав? приведены таблиц).! собственных- чи':м для ылра, куба, куба со срезанными углами и ребрами. Í1 '.слздогхию такта злияниэ на спектр размеров срозяемнх участков.

Глава 6. Решение заду; гегрии упругости метода;,-и ПНИ. В этой главе метод 1IH1 применен ¡г речению некоторых задач теории упругости, сформулированных я виде сингулярных- ингзгральных уравнений или интегральных уравнений первого рода. В ка'.'есгне упругих объектов рассматривались шар под действием гидростатической. нагрузки пли постоянши радиальным сисщекизм и пар« ллс-л"пипед, лагру^енн'лй t:o двуу противоположным грзлям. Fon«? сложные краевые условия кснпр-ар-.-аались с т-мощью г>'%»го рс-аячия в «fopwe Папкови'-а-Ней';'р;:. Г-чзниз ?-vV'i': ¡yin vnp-гих »ел е тук::! ::i тверхре. гзми прз не в--", о н-екг.-к ico

1. Тестирования. Если будет иметь место удовлетворительное совпадение известного заранее точного и приближенного решений, то моя ко угперудичь, что сингулярные интегральные операторы рц-мсляютея г. удовлетворительной точностью.

Я. Досуоперкость результчтов по нее ледосаннй спектра. Удовлетворительное вычисление сингулярных интегралов, а -также совпадение с точными значениями отдельны« известных собственных чисел служит гарантией достоверности резул-^татов ПJ исследованиям слоктра, выполненным в предыдущих гл 1вах.

3. Сопоставление численных методов по скорости сходимости, наглядная иллюстрация преимуществ метода. 111111. Иллюстрация разных модификаций метода Щ1П. ' '

Одно из сопоставлений по скорости сходимости метода простой итерации и метода 1Ж1 выполнялось на примере упругого шара. Ко-•ффициент Пуассона выбирался близким к

Так как точное решение (гидростатическое ежчтие) известно, то по заданной точности можно вычислить теоретически необходимое число итераций для кагкдого метода. Точность н / ^ . удовлет-поряла условию //«С-Ч'р,!( 4 , где ^ . ^гь -точное

и приближенное значение вектора потенциала. Для метода простой итерации теоретически требуется итерации, а для

9 307 итераций.

Фактически потребовалось для 17 итераций, а для

~ 0; Ч 9 точность и при 19 итерациях не была догтигнута. 1гся метод простой итерации расходится.

Сопоставляешй метод ПНИ применялся в двух вариантах: первый вариант - точные границы спектра не известны и задаются так, чтобы обеспечить сходимость. Зо втором случю даются точные границы спектра. Оказалось, что сходимость мет.-да 1;НЛ

практически но зависит от ..озффициента Пуассона. О$ число итераций в первом случае равнялось 31, во втором

- 8. То есть преимущество метода ПНЛ очевидно.

Было рассмотрено применение метода ПНП к задаче об упругом заре, решение которой р1зис"ива.юсь в пи до потенциала простого • слоя. Го,-.ход приводит к граничному интегральному уравнению первого рода, которое является некорректным. Доказывается, что интегральный оператор имеет действительный спектр, расположенный на положительной полуоси.

Для метода ГШ нес 5ходимо зна ,ь границы спектр' ,

Число М находилось с ломощьг оценки. Оно устойчиво по отно-иения к рэчбиени» поверхности. Увеличение числа треу!ольников на 30,? приводит: к изменению чис..а М на 5%. Число М.

урарнение регуляризовалось по Лаврентьеву. Граничные условия задавались с поус«ью известного репения Папковыа-Кейбера, что позволяло сравнивать точное и приближенное решение. Метод ПНЛ оказался эффективным и в этом случае.

Прсдад'/ща: задача решалась также с помощью адаптивного варианта метода ПНП." Максимальное значение границы спектра М находилось с п;мсщью сценки. Мегътая граница )А. ¿адавалась наудачу и ^ т.

, что обеспечиваго сходимость метода ПНП в н^оптимальном .режиме!. Затем метод ПНП автоматичести ; гоч-1 тл границу ПО- . Ок-иэалосъ, что алгоритм быстро выходит на оптимальный режим. Число итераций ада.,тивногч варианта по сравнен: ю с к^адаптивным вариантом метода ПНП незначительно возрастет. "" ' .

СраЕнечкэ методов ПНП и простой итерации выполнялось и на решении второй внутре.мей задачи об упругом параллелепипеде.

выбиралось наудачу из ин-ерлала

Некорректное

Нагрузки на поверхности параллелепипеда задавались с помощью решения Папковича-Нейбсра, а в простейшем случае рассматривалась задача о равномерном сжатии параллелепипеда по двум граням.

Так как эта задача имеет неединственное решение, то к ней применялись различные приемы обеспечения единственности. Она рассматривалась как некорректная, рогуляризовалась по Лавронть-зву и изучалось влияние параметра регуляризации на сходимость метода ЛИЛ и на точность решения. Рас матривался и подход с систематическим уничтожением вектора жесткого смещещия. Уравнение решалось и без принятия каких-либо мер, описанных выше.

В последнем случае итерационный процесс оказывается полусходящимся. Начиная с некоторого номера обнаруживается расходимость (к этому-приводит накопление погрешности в виде ьектора жесткого смещенит). Однако из-за быстрой сходимость метода ПНП это. эффект не успел сказаться. Все особенности итерационного ■ ме.ода ПНП, с-язанш з с неединственностью решения прослеживаются и для. метода простой итерации. К ним добавляется еще медленная сходимость. •

Сравнивались по скорости сходимости решения об упруго!., шаре и кубе. Предполагалось, что куб - грубое приближение к шару. Получен ожидаемый результат, факти'"5о/(ая сходимость метода ПНП для куба хуже, чем для шара. Этот результат предсказан до решения задач по изменению спектра.

Приведено решение задачи об упругом параллелепипеде размеры которого варьировались. Рассмотрена з.чдача М.М. $илоненко-Бородича. Дан параллелепипед с квадратом в основании со стороной, равно.I единице. Высота бралась 2 и 4. Осевая нагрузка задавалась с помощью косинусов-биномов М.М. Филоненко- Бородича. Строилась эпюра .юрмальногс напряжения в среднем сечении парал-

л(-лепипеда

Как и ожидалось, п ситуации более близкой к стержню, метод ПИП сходится хуке, чем а ситуации более близкой к кубу. Б первом случае понадобилось 59 итераций, а по втором 21.

По метояу простой итерации в первом случае По удалось добиться удовлетвооительной "очности и во втором случае потребовалось 64 итерации.

Пример может послужить нестрогим подтверждением тезиса о том, что разброс характерных размеров упругого тела должен приводить к трудностям в -чете.

Таким образом, в главе б на простых примерах подтверждена связь: механические хррактеристики, форма тела, сг.вк.р, сходимость итерацисгчых процессов. Продемонстрировано преимущество метода ПНП, метода, учитывающего особенности спектра интегральных уравнений теории упругости.

¿ЫРОДН.

I. Развит кватернионкый метод исследовани.: сингулярных интегральных уравнений теории упругости, который приври к следующим нозым рег ультатам:

а) из сингулярных интегральных уравнений плоских и пространственных орда' теории .упругости вьделен новый характеристический сингулярный оператор и для него доказаны фундаментальные интегральные тождества, позволяющие придя..нуться в вопросах исс ■вдевания спектра и теории Г'ГУлярляации тля СИУ ТУ,

б) разработан иоеый вариант теории регуляризации, единый для инт ;гргиг них урапнений плг "■кит и пространственных з?цач линейной теории ;тюугости. Рогуляризйторы и регуля^чзованные уравнения раписыв'.кггея явно. 3 основе теории лежат упомянутые выще интегральные тождества;

в) впервиа дан^ полное описание спектра выделенного характеристического сингулярного оператора и установлено, что его спектр тождественно совпадает со спектром вполне непрерывного оператора потенциала двойного слоя за исключением '¿очек +1, которое кьлялтея точками бесконечной кратности;

г) на основе информации о сгектре предложен еще один вариант регуляризации сингулярных уравнений плоских и пространстве» них задач теории упругости и докгзана теорема, заменяющая для СИУ ТУ четвертую теорему Фредгольма.

По-новому (с учетом точек непрерывного спектра) доказана . вторая теорема Фредгольма.

2. Получены сингулярные инеегралькые уравнения для. упругих тел, ограниченных.к}гочно-ляпуновеккми поверхностями. Урагнения записана в нераскрытой и раскрытой форме. В последнем случае дач коне руктивный способ вычисления матрицы при внеинтегрельчеы члене. Часть результатов совпала с известными, а часть является новой.

3. Предлржен новый, существенно специализированный к теории упругости :.герационный метод решения интегральных уравнений (метод операторного полинома наилучшего приближения) и получены априорные неулучааеные оценка погрешности приближенного решения,

-основанные на свойствах спектра СИУ ТУ. Итерационный мзтод применим не только к СИУ ТУ, но и к линейным операторным уравнениям, спектр операторов которых действителен. Метод относится к клсссу оптимальных итерационных процессов чебышевсюго типа и отличается от них лучшей сходимостью и .'ем, что является стационарным.

4. Численно исследован спектр сингулярных интегральных операторов для шара, куба, куба со срезанными .ранями, пле.ст?н-ки, сзржня при различных коэффициентах Пуассона. Установлено, чте увеличение разброса в характерных размерах и большой дя-

плазон кривизну поверхности упругого тела приводят к \аком,у изменении г спектре, при котором сходимость всех итерационных . методов .ухудшается, алгебраические системы оказываются плохо обусловленными. Тйкое же влияние на спектр оказывает приближенно коэффициента Гуг.ссойа к лисл-., 0,0. На основе исследования спек- ' тра прэслкяизировачо преимущество метода ПНП по сравнению с рядом известных методов. Результаты '-сследования подтверждены численно решениями задач по методу ПНЛ и простых итераций.) Основнс> содержание диссертации изложено в работах:

1. Кутрунов В.Н., Мальцоа Л.Е. Приближенное решение <. лераторных уравнений с помощью полиномов нвклучячго приближения //Проблемы прикладной механики и строительных конструкций /кажвуо. сб. тр.' -Тюмень: Тюменсл.;й университет, 1^78,- Вып. I. - С. 147-159.

2. Кутрунов В.Н. Обобщенк тй интеграл Гаусса в интегральных урав! зниях теории упругости //.Исследования пс механике строительных конструкций и материалов / Мсжвуз. тема*», сб. тр. -- Л.: ЛИСИ, 1982.- С. ?3-26.

3. Кутрунов В.Н. Интегральные уравнения теории упругости для тел, ограниченных кусочно-ляпуноескими поверхностями // Сообщения АН Груз. ССР."- 1983.- IÜ9, 3. - С. .489-492.

4. Кутруноз D.H., Шарыпова Г.'S. Решение интегральных уравнений теории упругости для тел с кусочно-ляпуновскими поверхностями итерационным методом // Тез. докл. Всесоюг. конф. по статик.

и динамике пространственных конструкцкЛ. - Киев: ГЛСИ, 1965.

5. Кутрунов В.Н. Итерационный процесс решения сингулярных интегральных уравнений теории упругости // Метод дискретных особенностей в задачах математ. физики ч его роль в развитии численного псперимента на ЭВМ: тез. докл. Ш Всесоюз. счмпоз. Харьков 1987.- Харьков, 1967. -С. 107-109.

С. Кутрунов З.Н., ¿¡'ч„сюи: В.Г. Применение нввого итерационного

-2Я-

мвтода решения интегральных уравнений теории упругости к расчету "одыипников качения // Напряжения ч деформаций в келозно-дорожных конструкциях ' Ыекв.уз, сб. науч. тр. - Новосибирск: иШЕяТ, 1988.--с. 18-23.

7. Кутрупов В.Н., Куриленко Е.В. Влияние коэффициента Пуассона на сходимость итерс.дионных процессов решения сингулярных интегральны- уравнений теории упругости // Исследования по механика строительных конструкций и материалов / Ыежвуз. сб. тр. - Л.: ЛЛСИ, 1988.- С, 78-83.

8. Кугру..ов Б.Н. Применение спектра сингулярных интегральных . операторов теории упругости в i герационных процесса^ / Тюменский инж.-строит, ин-т.-Тюмень, 1988.- 52 с. Дек..в ВИНИТИ . 25.11.88, W 8348-L 88.

9. Кутрунов В.Н., Медведев A.M. Решение интегралън:гх уравнений теории упругости итерационным методом ШП / Тюменский инж.-строит. ин-т..- Тюмень, т969.-13 с. Дел. в ВИНИТИ 26.07.89,

* 5040- В89. •

10. Кутрунов В.Н., Медведев A.M. Репение интецельных уравнений теории упругости в некорректной постановке итерационным ме одом полинома наилучшего приближения // Метод дискретных особенностей в задачах математической физики: Тез. доки 17 Всесоюз. симисз Харьков 1989,- Харьков, 1989.- ч. I - С. M5-I47.

11. Кутрунов Б.Н., Ромгшасинп Г.Ф. Влияние сглаживания поверхности на спектральные свойства сингулярного оператора теории упругости // Моделирование в механчке,- Новосибирск, I98C.- Т. 3(20), V. Ь. - С, 96-103,

[2. Кутрунов В Л!,, М/аьцев Л.Е., Ромишкина Г,Ф, Усиление сходимости приближенного решения интеграпььых уряьнсний теории , упр;, .'ость за счзф применения информации о границах спектра //

Проблаки прочности,- Киев, 1989.- !? 4.- С. 53-57. 13. Куг*>унов. В.Н., Ромашкина Г'.Ф. Устранение вектора «есткого смещения в интегральих уравнениях второй задачи теории упруго-с.л / Тюменский инж.-строит, ин-т,- Тюмень, 1990.- 9с. Дзп. в ВИНИТИ 17.05.90, 'Д 2703 - В 90.

Т4. Кугрунов В.Н. Регуляризация сингулярных интегральных уравнений плоской задачи теории упругости на основе спектра // Исследования по мех;нике строительных конструкций и материалов / Межвуз. темат. сб. тр. -Л.: ЛИСИ, 1990.- С. 9-14

15. Кутрунов В.Н. Применение полинома ..аилучшего приближения в итерационных методах решения систем линейны: алгебраических уравнений // Итоги исследований ТОМЬС. Институт теплофизики СО АН СССР. - Тюмень, 1990.- « I.- С. 68.

16. Кутрунов В.Н. Непрерывный спектр интегральных операторов теории упругости и метод регуляризации инеегральнах уравнений // Итоги исследований ИММС. Институт механики многофазных систем СО АН СССР.- Тюмень.- 1990.- * ?,.- С. 105-107.

17. Кутрунов В.Н. О регуляризации инеегральных уравнений плоских и пространственных задач теории упругости // Кетод дискретных особенностей в задачах математиче :кой физики: Тез. докл. у всесоюзного симпоз. 15-19 сентября ^991 г. - Одесса, 1991. Ч.I.

-С. 75-76.

18. Кутрунов В.Н., Мальцев Л.Е. Сп^ктральнет регуляризация интегральных уравнс ли Г. теории упруости // Прикладная мат ;матика и механика,- 1991.- Т.2.- С. 3-18-350.

19. Кутрунов В.Н. Полиной наилучшего равномерног. приближения в итерационном методе решения сстем линейных алгебраических урагнений // Сибирский матем. журн. -1992, Т. 33, .V I,-

С. 21-г°9.

3«1. 73. тир. 10^. подл. 1ПЛИ-02 г ото. ООП Облгт.т г. Тюкет,