Теория интеграла многозначных комплексных функций абстрактного множества и ее некоторые приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

1 5 IIО.І '993 . -

: : ' ■ Академия Наув І^уаев .

ТЬалаоошііІ иатвиатвчеохші каотгтуу ш. А.іі.Разцадва .

На правах рукоїшся

. ГОГУАДЗЕ Дшгарій Фыимоновяч , ■

ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА МНОГОЗНАЧНЫХ „КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЯ ‘ АБСТРАКТНОГО МНОЖЕСТВА И ЕВ НЕКОТОРЫЕ ПРШЮЖЕЯШ

(01.01.01 - МатошшпвокаЯ азалия)

.. . А з г о р о ф в р а т . , • \ .

' дзссвртацил на оойоканиэ ученой;отопени доктора ^азико-иатвкатэтоохих кау*

ТОилкси - 1993 г.

laössa ssnbsxssa s Едстсгум jaraassroassS uísgkiteíe su. U.^essxzs3'xss. .-. ' y- . ; ' ' - .’. ." ’ -.■

• • ogsœx&ezs tnrssems . • ■ ' •’.. ■ ' •• ■

' X.i.r«fis*4r3sc33Bîà - дзкг'ер £ггг2г • в*ашісїс' lays . ¡'

.. ' ■ npijecospj ■' ■■ • . ■■•/; ■ ' ■ "" л:

: ■' '2,ß.C.RtassRC9 - âîsîsjî íscess - ■іфіеаяіяз.озхх EBja,B?»ösaüi ; ; З.С.Б. Tecyj22 “ -S0Sí$p'$28ї» - іоіеїггнтаеадгку8,п?54асс;і

- „ - А л ' 14

Бдаза дїзооргсісг осггестгл * * ' ' .• ISSÆr. І /

sa -Цоедаетв. кау*жв’«- estsoï&nssîrasrs -сзЕета ; Жбі.СІ.Сі* 1-2

Ыагештхчаожеге ssMEsyra ¿I.■ ¿.PasKSK, ". ; .

»320093,-Töassjs, J£. fjxnznaß І, ,т.. Sfî-S3-77> ■,’

С дзссвртащз? vzzsi ¿шіміЕГзег s tayraell dœânmie. ; ;

.Изствгутв. . '.Л::. / " ‘‘ і ;; ■ ' .

’ ' Л; ‘VL j г- ■ ■ .

AsTiijsicjar yassasas " K .. * ■ I9S3r. •

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Акттальнооть тени. Ваетооть изучения йногояначнах комплексных функций абстрактного іяогоотва по оущзотву была отмечена Лебегом. В сасзіі їладгзнптої! монографии - "Интегрирование а ошо~ каш:з прииитиэнах ©¡шсиі* - аа отракяцз 239 Лебег лизат:

"Нао на долено удавлять, что^ушщаи облаотя появляютоя в Блэйка а саглядлт дйеэ болез вэпосррдотевшшиа к ауядаы фіатш, кзх фуккщіл точзк. Точка,оагь дхзь предельная концепция воэ бо-г.го я болээ уігзньЕйЕщогоог тгла, фуихщя точка цозет аоата з {азяяу яа» т продел фукашга ?вха, фунвдди облготн. йола воэ го тло госорят об этзх йунгциях* то только потому, что їлатека-тдхл еще на создала алгебру з малага (д’іікщн области. іїалротаз, ИИ9ЯТ0Я чрезвычайно удобныэ обозначения для фуняцяіі точек, поэтому разллчннаіі асяусотпенкшз ярввиаиа, - все ота приена по оу~ сзотву сводятся а раооуадвшикі над облаотяка настолько оаециаль-нта, что они зависят лшь от конечного числа пзрэквнних, ~ пользование функциям облаотя врзгда зсдоняэг подьвое&дкзіі Фушщия-кз точки".

Дальнейшее развитие цатеиатаха показало достоверность зтях слов Лебега, <&унхция инояеотса агр&от оуцастввнную роль з оозро-иэшюа матоаатнхо, напркгэр, з тзоркя кары в интеграла, з тэо-рня потенциала, з теории вороятиоотел, з ф/акцаойалькои анализе, в зргодичеохо>і теораз а т.д.

Цель работы. Целью настоящей работа ядляетоя кавнно изучение общи нногозначэных комплексных фушш абстрактного імог.з-ства, заданных на общих клаосах я на конечних и бесконечных ’ произведениях классов и сиаанвых о киля вопросов математического анализа,

Об'.№я методика иоследовчдгщ. В ревом ярадлояаки два ковах

- : " -4 -. ■. - ■■

■ ■ ■ 11' ' - - .

нэтода. Сгруктурно-гбоштрический «згод,- который основывается на структурно-гвогэТрдтосхш свойствах декартовых произведений пространств и мэтод "дішда сетчатых" продолжений Первый ис-. пользуется, в случав бесконечных произведениа измэрыизх пространств для построений счэтно^шдатйвных: функций ішонества на кольца*, порозденных цшшщрілеоїшіш пряыоуголышкаги, а второл, в случае конечных произведений измеримых пространств, для построений счетно-адцнтивных функцій 'множа ства на кольцах, •пороэдзв-ных измеримыми прямоугольниками,. ' ; . ;

■ Кроне того в работе используются обддее кот-ода теории иногда ств (как общей теории множеств, так и вполне упорядоченных ¿комств), теории мэра к интеграла Колмогорова,', общей топологии и линеДного к нелинейного анализа. .

Основные результаты исследований, характеризующие научную новизну диссертации. , . . .

. I. Развита общая теория интеграла многозначных комплексных функций абстрактного иночества, как от конечного так и от1 бесконечного (счетного и несчетного) числа аргуиентов с установлением своего рода аналогов теорем Фубини в Фубини-Иессена о о вяз и между кратными и повторньыи интегралами. . . ;

V. 2. Развита .общая теория интегрирования многозначных комплексных функций абстрактного множества,, гавдсядшс от параметра и доказаны теоремы о перестановко порядка интегрирования.

. ' 3. Показано, что сановные теоремы теории конечно и беско-

нечнократных абстрактных интегралов Леббга-Стилыьесса являатск частными случаями соответствующих теорем развитой в диссертации общей теории интеграла. . ;; •. ■ . ■ • '. ' • '

•'.•л ’ Д. Даны приложения полученных результатов к некоторым воп-

росам линейного и,нелинейного функционального анализа. : ■

5. Установлены несс'ло;даао и достаточные условия-существо-.

вания и равенства десшшх и повториш пределов' обобщенных ’ . двойных’ последовательностей в равноцэркнх пространствах л так-ко необходимый я доотаточиыз у с донга существования и равенства повторных пределов, независимо от сущастеованля двогшого предэла.

5. Развита обцал теорій представления аонвчио-адативянх я. очетпо-аддитивнах ф/дЕцй прямоугольника ва конечных а. бесконечных произведениях измерила пространств. '

7. Развита обидя теэргя про:а ведения пространств о пролз-.?одишш кэраиа на база вввдбнгсл в диссертации поаятак С^,е) а

-интегралов. ' :

8. Решен ода вопрос твэрдз »:эрц. • - .

9. В наиболее общих предположениях распространены ухо глао-

езчеоакэ результаты Радона-Гилтора-Дуброэокого, хаоавдяхея линейных интегральных уравнанш о ядраіа, гагиоящад от точки я ешогиства, сперва на ‘аддитизнно фуикндн абстрактного иногаства, а затеи а на нэадднтнпкно'функции аботрактвого. ккозаства при по-моща формула перестанови зорядга интогрзрозгнея, полученной з диссертация. ■ •

Тооротяческяя знач^моот^. Кногиэ сцэцкфзчоокиа задачи математического анализа а в частности бесконвчног/эрного анализа аогио исследовать я реіиять методами,- развитию! в диссертации.

Дпообанэд зяботч. Результаты дкооертацаи до$ладыаалаоь па иеядународном сиипозиуив по коханшео сплскной среда п родствзн-нка проблем« анализа (Тбилиси, 1371)і ка оешыарах в Тбилисском катеаатичоскоч института кы.А.М.Раз.чздзе; на кафедре теории функций и функционального анализа Тбилисского гооударственвдго университета; ка семинаре проф. Г.Арешкика в Ленинградском педагогическом института ім.А.Гарцана; на XI кон^зрэнцм иатеїлаїй-ков внезих учебных заведений Грузинской СС? (Кутакса,1Э86);' на семинаре акад.АН Украины А.Скорохода в Институте катеадтакг АН .

Украины.

П-Ублякашга. По тосэ дкосэртацш автором опубликовала £Э работ, в, той числа одна монография. 1

Сто'п<пга и-_o3bs?J_заботы. Диссертация соотоет пэ ббэдония, предварительных сведений ц одиннадцати глав, разделанных на 24 параграфов. Объоа работа 295 с., список литература содзркит 74 названий. .

СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении даются обоснования акутвльнооти тема исследования, новизна полученных результатов и историчоокио спразкя. Кратко оавсаваегся содержание основных раздалов работа.

. Предварительна сведения содержат обозначения, термина и некоторые понятия, которые попользуются в диссертация. Крокэ того они содержат новое понятна нормального класса, играющего существенную роль в изучении взашхаотношешм между кнтегралами Колмогорова. Там же выявляются интересные связи ьгажду кольцом, полукольцом и нормальным классом.

В главе I излагается теория интегралов Колмогорова от многозначных комплексных функции абстрактного множества.

Пусть 01 произвольный класс множеств и є с- <л. • Счетный класс попарно непересекающшсся множеств {е.)1п1>- }, принадлежащих сп, и объединения которых равно є , называется счетным разбиением множества £ я обозначается через ée. . Множества 6к (к-п.г,.^называются, при »том, компонентами разбиения 5Ье .

Если раабиение éü содержит только конечное число компонентов, то оно называется конечным и обозначается через 2>'е .

Класо всех компонентов всевозможных счетных (конечных) разбиений множества в.с от. обозначается через ог& (осе*) .

Разбиение ¿,е. называется продолжением разбиения ¿6 , если каждый компонент разбиения является подмножеством некоторо-

го компонента разбееюш 4>в .

Вэзьиом произвольное разбиение Фь (ï*e) , Обозначь через Сгйь ( ст. е) класс всех кокпонэнтов всех счэ?ных (конечных) продолжен»! разбиения йе ( З'к) .

Через Pis)Ci (jP(z)cC) обозначается стохеотво воевозможцнх счетных (конечных) разбаенкД множества е. . '

Пусть сп. произвольный класо иноадотв. Будем говорить, что ка классе et задана кояочязя чо»шекскгя нногозяачная функция »тожества jt , если катсдсму тоззетву s е et. соотнесено однозначно определенное глнохес’ГРо нб;) коночных ксчбдокоеых чисел, -ретем £о) . . -

Конплексиая многозначная функция шшестаа р- , задавал на класса й6,е или ft sis , называется ди^ренсмльчо спрэ;:1?--лепной на класса От* ила Оса' соотпотстпгнко.

(¡гр) (Sü) = Е ílC-e;' >

где jtC«0 (¿si,г,-.,) оголяется одним из значат:;! ка тогютзъ е; ;:онэчаой комплексной юхогозяачяоА фгнкдаз ¡х. , називается p:wa~ noBci oyi'-’.cÀ .{ущщвя р относительно разбкеяяя 'í>2-{е,,а1). ■. При этой предполагается абсолютная оходкность ряда

В г*с*0-• ii

Класс шга.тазтв, содеравди* вместо о лсбыма дву!/,я своййя ккогветвачи я лх кэрзоечеаве, называется нульглплпкагкак;;:.! и обозначается через ín- .

Пусть 'т мультпаликатившп класс, С £ trt .;i р коночная

»

комплексная многозначная функция ‘гнолпутва, диЭДвренвдальао определения.* на «лассо Тк ь . Тогда суцзстяулт тпуоа очитков разорение , что [с является конечной кочдгекско.! иногааиачнод ¡¡уикщш, ладанкой на классе • Возьмем произвольное счзт-

коз раабиэиае <£>г*{*„*&-■■} . явдяи;эвся продовхэниэм разбие-

ния á.n . Соотазза рзхоиову сукау фгшсдан {*• отиооагелано разбгзцая ¿а

(i^Xüe) = 2И (р«£!гСе*}1 к*1,г, - )■

. ' *»1 .

Е/доа говорить, что фунацзя j«. интвграруеиа г сиаолз Кол

иогорСЕД нг ьзаееотва е. огнооитольао класса т. в смасгэ

отагных разбяаддй. ик щишздлзяит классу Lu>-;£!;'m3 . всдл су-¡ззотвувг такое кошивксаое число I , что дал всякого чгалг е»о

Н^ЛдбГСЛ TüKC-i СЧЭТНОЗ p¿.3ÓZ3:LZü ¿ *1 , -J Г О ДЛЛ ЛХ'ОСГО ОЧЗП-;ОГ

зродолхзкля «а разби^шл ¿ е , прл всяком выборе зкачо;::^ в^нхцаа jt. , sjsmt юсто кэраввясгго |(лрНйв?-1/-€ •

£ такси сдучаа часдо I яагыгаотсл актэгралсм Колмогорова $ункцш5 р ка мнакэотвв е относгтельно класса .“Ж. a c¡í:c

лэ счатньа разйдайг^ обозначается чэрез

(тл) JfíCd s) .

.4

Аналогично определяется шггегрзд Коллогорсва фуккогл р-на множества е относительно класса Тм- б сиыслэ конечазх рас Сяешы е обозначается чороз ■

(W) Г fi{d£) tk

Ь Параграфе 3 ГЛ£1БУ л ЕЗвДЭЩ* ПОлЛТйй b:lpAiíiIX Я ШСХНгХХ í’.i-тограпов КолАгогорова.

Пусть "rtt л!ультнг:у»;ка’гиэ:-ш4 класс,efт я ¡t - кокэчкгд действительная мкох’озк--: ’ызд фнксгя кножвегэа, дифференциально оерэделешел наТке . Тэгда существует такое счетное разбяекяг $VS. , чго к ккляето.ч кокзчас^ действительной иногозкячкои £ункцлов, заданной нг классе ткзЬ.е . Еозьмак произвольное счетное разйноние 3>е. = ¿ E,,ei( • •} . являащееся продслюшаем

разбивная i.e • Сомчим сукиу Ркиана функции р.- • откосите*:

¿:э pas'-.гзнгп

CRp)(se)= Г1?“ (ï>«titC=^ » -V'1»--J

КЧЧ

и ойогка’пз! через S(t*i »аэгеогво воэг oyisi (fcrifrSaJ , сэот-

взтетзте^;:2 всевозкэгны:! выбора« внпте;:::Я i’~e- *Сск) ■) ■

Введеа обогкачэшга ■

T(r ; ¿¡2.} - U iî(p;à,sj: is. < é,e. ; o,& c- гЧа>г*) •

Га'.- i,6. 4 iiiB влаадх î(t!; ¿,c) » 7(К4»г) , то

iwTÎp;"-!^ (са&$(я)Ъ<.) авлг.ь^-л зог.ги?аога«зЛ обойм-заноз«. госходоЕагв.-п,ноотья дэаогЕ!::-.-ч;:селг а{^® (if-f

азтйг^асхвл обоЗцшшзл псоЛ'1:-.-..г ,^ьа;сгьп дг'.'от: ;;гглы:их ч::г*и;. Поэтому оукэотгупт конечное аы З&окгзвчнао зредзли

*-“Т Т(У>~=) , Т(и;йг.',.

г, г- ’ in 1 • ‘

Зг” предела ха?В2аэтгя соэггоготпЕ:::’: р:р';::.а: г. ¡л-

гегрол:::.';! Кп.-.м-гvpoja .¡71;::^;:: к с-стг.э л rïiioci-ra.'ib:::;

т>1 iMjs’e o4oi;:ïz ^osîhskîv. гозтлзтсг-

î:-.o "f.pîn

C~vl; j F(iE) f ■

*ка"эг::чно опглд^.:*югся г^рж.:*: >• :;х:::ло жгвгр-иы ¿iv-.-'oro-ро:л îjhsokk р на сиоадстз^ n. о':.¡'слтолькс: .клаз^ч 'г- н конечных раз5агн;ы, которца с5ознйча:тсл созтгчтетьснчэ ч>;р;~ 4

(7Г-) Г г?О®) , (Тк) (

-» ' -Е

2'j.m: ^ ¿г£отв;;тгды:ая 'д.»сгоз»!йч:-ил ?уню!я к:;; т;а?г<а мр^делз:::!^ ¡л>.: , то осо:'::.:т.;"х p-itj:ju? ^(..j ; £(.*;* ¿-»г :;i*) t î.-ti-h.

~.1j. .'■'■:•■:• :■/■.! о г г ;;:"?г!о,л;н:п

Г7(‘*г) - (Л*)| f»Ue) , InOj ¿С^)- '.'-Jj /;V;CJ ■

J J a -r.

c. c.

В главе П игучаются вэазаоотноиания иевду интегралами Ксл-когорова в смысла коночных и счатнах разбиений. Эта два понятия, вообще говоря, не перекрывают друг друга. Икоотся функция,. которое ЕЕ'хегрдруека в «золе конечных разбивай, ко ка интегрзруб-ш в скии,;,: очаткых разблэшй д наоборот. Болзе того, существует зрикар (Тукт-щы, для которой оба интеграла существуя?, ко имеют

рсЮ<ДД*ИШ 0 3 НЗЛ 3 НЯЯ * . .

В параграфе 7 глаза П устанавливается, что даш «эдуля £уня-пда верхний кнтеграл в стала счетных разбиения кэньсэ вла равен верхнему интегралу в с,числе конечных разбивай. Па база этого соохноЕаная доказывается, что для неотрицательных §уккиай, а таккэ к для широкого класса кояалексшх фушсдаа сопятав интеграла в шыслз счэтаых разбяеигЗ икре, чза понятие интеграла в смысле конечных разбввшй. .

В параграфе 8 этой га главы указаны кобыз необходимые к -достаточные условен для существования к равенства атхх интегралов для комплексных ^нстй, определенных ка новых, более о&цзх массах, а именно - на нулвтипянкагигкых с сериальных классах. Причем эте условия непосредственно осязана- с процессом яятагрл-рованкя и структурой интегрируемых фикцай и вкратаютоя, в конечном счэте, понятием сильной интегрируемости, введенным нами.

В глава Ш исследуются обобщенные последовательности кзаа-рнмзх ®7НК!9Е:. .

Будеа говорить, что пространство о карой (*,$, р) --обладаз; свойством (в) , если, каковы бы ки были измеримое множество с. конечной, полояительной моры и обобщенная последовательность измеримых подмножеств множества е. , такая, что |^Е-0 ^ & для

любого <* , где - некоторое положительное число, то

■ оС

9.9. Для того, чтобы вдда обобщшшая поолодоттольицсти

МЧОЧМСТГ.О Е к ТОЛ ¡¡СО ^НКЦЗИ ¿6») 1 нэобходп.ю 11 достаточно, чтооч пространство с 1,-аро-! ('*'} Ь обладало свойство:? (в) .

Доказательство этоЛ тоорчг.и содержит ноааэ дохаза ("Зльсто теорома .'¡чбега для обиччмх последовательностей.

Указ«вг»/тся гакжэ важыз "лассч проогранотв о мэргл, я которых из имеют места тоорм: 1 Гккса в ¿’ворона длд ободдочшлс послодов.'1Тзльяосте*4 измэр.гчч: \j\mviA.

Приведены поимерч, но.. ^чвщдле, что лрчдольнчк переход под знаком абстрактного ингнгр.чяа .’М'гга-Отя.яг.тьесоп отиооитол' -но (!боо:??чя!пс яозлодоряголшлстой измеряя;* ({у¡¡кд.:'л ыч'Стч пч яаттся с'ц*яводлггеим. Ччкп’.г-ц, с чочощдп уадзпач (ч) , и 1;кг-м мается тпоряма о пр.'?!--' нсч "лроходо под ппаго'л чоочл'кгноло

ллч ЛеСлга-Л д; '. . < ■ юсиге.ц-но 'погцп-мччд. ;|.и;!!—".■ 'Ч'>-

. ■■ чниотчи аягмрпшх '(удкдеЛ.

Хоро.ао азвесгяо кделч рашои чич 4->н:т ич^*<*г ллл %гл чеолэго анализа отарэо о пиростпнопко ном е/с г лглдлл-лчлч; п ч...>-ХОДЛ, УарДИ П трЯЛО'ЙГ'НЯИ. 1:1 - "ЗЧ'Л’ЧПНИЯ о эр.пчпх . ;• Г: , V;. - ■ >; <

лио'.но.! и}'.‘д^льниа пор?ход" - спи-п’о "Курса чцо'т)д ■•чг'нччмкл" относи Г ОГОР гРЛр.К: К ’Г/И'.лу НЧИЛОЛКЧ (Л:^‘<ЛХ. П !4ЧТ<т> П'К'Ч • до счм нор .4с очло оОлич. Ч'орлм, кмсч-'дичс.'

Г'О'-’ЧЧ’.’Ч 1 т1'?;-!;'.Ч'Ч !.чо ;лч'( :< ч'лпчч ччх ирод; лог, Л тн:<у<- луд л:'; ■

У'ог;■ т;'Л ■!.)’> "Орнчх ¡'ро,::;1 :'0)1, нлпч'Л'л;!:’'' ч су лло"’н->~

"чч'.ч: '1'.’.ч-ч".' ч; п.-ч-лч. "ул нлщ.л<ч: .-ч:■ <:с■.|;-чч -;; ■ и Л(М\"Ч',~

гол ллл и . ’

Г!.Л, ..,"Л ■' ' ' V Ч'Л'\'Ч1 ■ ‘ Л Л Дг;..;1.*: (! 1 Ч’; л;1 <р,^

[ * ' р Ь 1 ^ Р) £ Р, V и.) [У] ,■ -.1 чу' ’1"'Л!Л ЛЧГЛ^'Л; ЧЧ1'.' 1-' * (;'Г > ■

измеримых функций С ¡м Сх>] , сходпэдглоя почти возД'З на киотостгз х«) к илчаркмоЛ йгккции- ¿6*9. сход»лась по мери на

■е^

( *, о) с- ?, - г,

&-*п. Х»П *• &-Л-Л. Iе*п í £м*. *<(1 4 -&л*. *<(, .

¿^ге, Р'0тг:-.Е1

На базе этих соотношении устанавливаются необходимые и достаточные .условия для того, чтобы из существования деоЛного предала обобщенной двойной последовательности комплексных чисел следовало бы существование обоих повторных пределов и равенство этих трах пределов к, обратно, чтобы аз существования одного из повторных пределов следовало бы существование двойного и другого повторного пределов и равенство этих грех пределов.

В пг1рагра([о 12 изучаются обобщенные двойные последовательности в равномерных пространствах.

Пусть (х.,,(>•,((«,|0се,>*>) - обобщенная дво.шая последовательность в равномерном проотранство (У:1Хх') .

Будем говорить, что продел

рье,.

суаествует почти равномерно относительно <и&е1 , если для есяко-

■ го и-еТА наЛдутся такие ^6^, к р ~ « е ц , что для любых ¿■¡¿и.

И (11 >■! Ри имеем

( *<|(»< , ■&**. *•», I1) е и- ■

' р*-е1

13.7. Пусть (эс*гА) - полное отделимое равномерное пространство й предела

-е^х-р -1 ^ *'Р

А6в|

сучеотвуот почти для всех рее-1, и ¿ев, соответственно. Д.1Я того, чтобц существовал* предел!

-^-*-4«. I х* л >

*С1=, лс1г*. *6*1

и они равнялись между собой необходимо и достаточно, 'чтобы один из простых пределов суаест.вовал почт« равномерно.

Будем говорить, что предел

« я !

А«««.

существует обобщенно почти равномерно относительно -¡ие, , если

для всякого и «11 найдется такой рч*в,_, что любому |*Лі р* соответствует такой «<«р,*е, , что, когда «*>*имеем

(*«ірі > **іР) 6 ■

' 1 в*»»

Рассмотрим двойную последовательность

Г (м,П *!,*,.•.> .

с М.«*». ■* ' '

Легко проверить, что простые предела этой дьоіной последоиатель-

ности не существуют почти равномерно, но существуют обобшэнно

почти равномерно.

12.II. Пусть (*»’и) - полное отделимое рааномарюэ проохран-■

ство и пределы .

-к. р И

¿(К,

существу-і г .г-нги для всех рее«. и '•‘«в» .соотпетстьзяно. Для того, чтобы существовали повторные пределы

V- Я и Зс-А

»«и-**. *"*» <“•*■ .

И они равнялись мечду собой, необходимо И достаточно, чтобы один из простых пределов существовал обобщенно почти равномерно.

3 пят о Л главе впервые излагается общая теорій п_>строшшл счетно-аддитивных функцн.і множества на кольцах, порэадедных цилиндрическими прямоугольниками, име&цая решающее я качение для развития тазраа мерч и интеграла п пролзо-эденлях коночного и бесконечного числа пространств с произвольными мерная и ремизя некоторых специфических задач матвчагячвского пнядиза.

При ЭТОМ, следует ОГМЭГЙТЬ, 1Г0 ирйМНДвГСЯ СОИйріІНЛгі') ловил метод, В корне ОШИіШЩіШСН ОТ ДО О ИХ пор Пргігі-Чі<ШаИ.ТЗ;1 V'*-

годов в теории меры при исследовании схожих вопросов. метод, который момет бить назван структурно-геометрическим, поскольку он основывается ка структурно-геометрических свойствах декартовых произвэденал пространств.

Пусть г.аздому <и I , где X - произвольное непустое тот-сгво иадьксов, некоторым способом соответствует определенное множество У* . Под двкартоввм произведением кнохеств ,

в обозначении X(.*61)^1 , понимается совокупность всевозможных

■¿/ницяЛ х , областью определения которых является множество 1 а *4.бХ* (вместо %<.*) шшгся ) для юадого **¿1 . Мно.«-

ство А*Х(***х) А* , где А*с х»| д.1я каждого <*«1 , называется

прямоугольнике«, а множества А*С+ег) - сгорокеми этого прямоугольника.

Пусть СИл О1« Т-) - произвольнее клаось- шштквегв соответственно Г.ШОЖОСТВ Сы61) . Множество всох прямоугольник■№

ХС»с'1)лч (л»е(я* шзаьчогся произведенной кюссое СтД»*-!) а обозначается через .

Пусть на проазвздоаия С-- гч(*е1) япдйка де,.сгн.!гель-

нал г}уякцкн прямоугольника р- , ¡¡рин.ьла^нал кошчнив или б.-!с-;;оич шые значения.

Г-удам говорить, что фушиия [»- счегно-вдлятиика (кэлучч-)-•дддлпшаа) по полному А* (»с-х) на прсизредошш от* , о ел

она счегяо-адкйтквна <кода !цо-а,-днг,:Е;т) по кат.сому а* о<г-х) на классе о\а для любых .»яксироБаничх Арс-схц (р» .

Пусть А&ог (а* х(”« !) ал) . В ледок обозначен*«» С* а =

Ап от. ^ = А оп (*«!)«« (А»па<) • Пряюугэ.г-л-ик 5са

называется шмтиомернда; ьк-итдрлчаекми ползряно;гольникоп прямоугольника А , если ■

^ Как обычно а п с* г £ап й ах Ь •

Ь ^ *• • • X )СЛ« |ч Є І-{у,,. • .

Аналогично определяется счегномерныЖ цилиндрачеокии подпрямоу-гольник

с;Ц,сч»... *л*|*с I- (#„^1,. } прямоугольника А . -

Обозначим через Р(а,&1л) ■ Р’(А>соответственно класс всех конечномерных а клаоо воех конечномерных и очетномерных цилиндрических подпрямоугольнкков прямоугольника А .

Будем говорить, что функция р- счетно-аддитивна по каждому счетному набору (*„■■■ )с I на классе Р“(л,лд) , если

каков бы ни был счетный цабор (•/, она счетно-аддитивна по каждому на классе - А*; 0£К*; .для

любых фиксированных 04иб0с-и*л-ип сг*н (мы,*,...,!!*;,) и фиксированных Л„С*б1-.

Пуоть теперь - измеримые пространства. Обозначим через '*п. произведение .

13.9. Пуоть (*<,*«) (*сї) - измеримые пространства. Убы-

вающая последовательность непустых прямоугольников из 'Ж.

[л'і *{,*(*« ім1^

сходится к пуотому множеству тогда и только тогда, когда для каждого леї (АІ) является убывающей последовательностью непустых множеств и по кралнеі мере одна из них оходитоя к пуотому множеотву.

13.10. Пусть С*ь У - измеримые, проотранотва и р=- -

конечная неотрицательная функция, счетно-аддитивная по каждому счетному набору V I на 1*’(л/*а) . Коли убываю-

щая последовательность прямоугольников из р(л;о*л)

(л»У-

сходится к пустому множеству, то

-Еіч. р (Л*) .

Ь ао ' ■ • ■ '

ІЗ ЛІ. Пусть(х*,5.і}(*#і] - камерами« проогранотва и р. -неотрицательная функция, заданная в& чн . Для каждого /»«тн. расширение функции |с о полукольца р(*,о*«) на алгебру к 04*/**.«)) является очвгка-аадягжвнни тогда к только тогда, когда функцея р. очетяо-аддагквяа по каждому счетному набору } с I

ка РЧ*,?««) . ' ; ■ .

Затек »теореми ІЗ.II получаются некоторые важные следствия: сущеотвованяе мере в произведениях конечного я бескояеч-кого числа простраяств о произвольными иараик; необходимые я достаточные условия очеткой аддитивности цияшдричеокнх мер; необходимые я достаточные условия повторной ингегряруекосгн произврльннг (неизмерямах) функций как в произведениях конечного числа пространств о -конечиши карами, так я в произведениях бесконечного чкода пространств с вероятностными парами.

В шестой главе вводятся понятия двойнях я повторяй янтег-ралов Колмогорова в изучаются связи между ними о общей точкя вреняя интегрирования многозначных гсамзксннх функций аботракт-ного множества. Цряпомощи метода 'дважды сеткагкх" продолжений доказывается следующая фундаментальная теорема:

14.9. Пуоть И, I ^ -кольца я на полукольце р, іг.тіц. вадана произвольная функция р. . ДДя любого #«а»іі ер имввт место неравенства _

С«*}]/ і («.)] (<«го)

І Ы} К‘,А>Ап^)* иЦК*'5) .

V ■.■••А . . ъ . ^ • . ... .. >• ; ■. •

(р)||рО6) *(.*41| (<:*,)]>*.<**))<

14.10. Пуоть Е«л»в (л*в.,в**»|р»*,•*,.) . Еолн существует ДВОЙНОЙ штві^ал "7”''

Ц/ г<^*), •

то оуцеотвувт ободщвЕяиэ повторюю витрали

Oijj ((«óJjUM»))' / l*jj(L»oJ \

я вмивт квото равенства і. '

Cp) jj * wj (C»t)J r*U». <*•»)) S (tR>)J К**»*-»)) .

Ш Л “® ■ ' ■■ ' ' ' ■■

Здесь ■ ■ ... • , ; / ■■ ■■■•-. ■- ■. - ■

c^)f(<At)J pw* >*"))=(*.)/ (їло/К"^) *wJCl*,)/K<í',í‘t»í).

■*. -В *Л ~ІІ А в

■ л ■ • ■ . . . • • '

В параграфа 15 глави 71 аз ятях теорем получаются разднч-шіообобщения в новое докавательотво теореиы вубкни.

15.2. Пусть а - пространства o є -ко-

нечним парами,^!»,[«) - шс произведена» в на взадриыои прямоугольнике е*л,о задана произвольная (кзиеряиая влн нет) комплексная функция S- . Еслн существует двойной интеграл

• ' ' ' 1 . . А. \ ■ ' ' ' • ,•

то оу явствуют повторные интеграла ’

í ([ , J(¡ л-»,**') а г*) *>

■ А О ■ о А ;............. ■ . ■ • V V

н имеют иеото равенства V •

С^5<'*,*:'))||ят)ї) ftU&) * J ( jK^,4)¿fí)<ífi=-.,

. ■ . ■ (b ■ ■ .■ ■ •. ■ A в . * ■ "

" ■ ■ ■ . n Л ■ "

Нус» (>ч 5, г) - цроотранотво о проязвольной юрой, где 5— г- кольцо, порожденное кольцом к. ж на множеотве е«л задана неотрицательная функция і ,

Будем говорить, что фувккия 4- наследственно интегрируема,

еоли

^ *1 р = (**■)[ И») <1ц .

■ ■ л » ■

15.6. Пусть - пространство о «--конечной мерой,

где 5 —»'-кольцо, порожденное кольцом К. . Заданная на множестве ее и. неотрицательная измеримая функция интегрируема в смыолэ Лебега тогда и только тогда, когда она квивалентна некоторой наследственно интегрируемой функций 9 к .

Яр.« Г з(-л) <1р. * с*оГ**Г--

& е я

С ПОМОЩЬЮ ЭТОЙ теоремы легко усмотреть, ЧТО теорема І7ЙЯН*

является частным случаем теорема 15.2.

15.7. Пусть (*«,*,і|ч) и (*<,*<, Г«.) - пространства о в--ко-

нечными мерами,(*А г>) - их произведение и на измеримом прямоугольнике е»а»о задана неотрицательная измеримая функция * . Равенства .

ш[ (с>і)[Цсіл,4.п)ігжі<ш))і'<(!*л) = | | «*,чЗ<*г*)<*Г'г

л П А°

= Дгл,ав) г^ІГ'О'М >

* п ’ ■

см{ (/#0',-»)а-Г'Ї^Гі =

и А ■ 15 Л ■

. = (**)[ (

имеют нвото тогда в только тогда, когда функция f наследственно интегрируема.

Пусть (*„*|, Г1') * (ЭСЧ5,<Г1) - пространства о произвольными мерами к на измеримом прямоугольнике А.»в» задана произвольная функція і . Если для любого измеримого прямоугольника а»оьА.»гз„ имеет место равенство

1 (1 К*.ї)<1г>-)‘ІГ' ( І

л С> , О А

то функцию і навивают повторно интегрируемой на А.*д0 .

15.10. Пусть (эгц*1)|'|) и (^г^чГг.) - пространства с <г-ко-

. • нехншм мерами,р) - их произведение к на измеримом прямоугольнике А.хгЗо задана произвольная неотрицательная функция і . Для того, чтобы функция іг была бы повторно интегрируемой на

а.»в о > необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая ь -измеримая функция Ч , чтобы для любого измеримого прямоугольника

л»в с А.уРо било

// ЦМ р * J (Г к »>*)■* Г1) ^Г‘ 1 } ([ ^ гі-

А О о Л

15.11. Пусть (*,) и - пространства с конечны-

ми мерами,С*ї5-)Г‘) - их произведение и на измеримом прямоугольнике а »»о« задана произвольная ограниченная Функция і . Для того, чтобы функция і была бы повторно интегрируемой на л.'В» необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая і -измеримая функция Ч , чтобы для любого измеримого прямоугольника л.в с л».п„ было

II Ч<*Г ' [ ({ **'■>)<* = Г ([

А 'о П А ’

Будем говорить, что функция , заданная на измеримом прямоуго.ньнике , удовлетворяет условию (Ас) » бСЛИ

существует повгорннл интеграл .

[ (И/ ‘‘г»)

. л, •>. ■ ! о. А* .. , .....

и дм воякого числа 1>° найдется тахоэ число ¿*° , что для 4 всякой последовательности {Ац*ь*.)(*г1,г,.. ) попарно непврвоекахн щихсш прямоугольников, такой, что '

22} р<1"А,0 Г*^8“) ■* ^ > имеет место неравенство

1 (I Кж'*)<*гО‘1Г'|-< Е > ( 11 (

Ац . Ом А)«.

15.12. Пуоть (*•>*•) Г*) и (Х1)У>^1) - пространства о конечными мерами Х*!*» г) - их произведение и на измеримом прямоуголм*-ке Л.» о. задана функция Ь , удовлетворяющая условию или

(ас1) . Для того, чтобы функция / была бы повторно интегрируемой на а.»а« , необходимо и достаточно, чтобы наелась такая 5 -измеримая функция Ч , чтобы для любого измеримого прямоугольника Л«п с Л» «Я* было

=|( ^ г [ ( [ Н*Л) ¿Г'НГЬ •

Л*1» Л в О А

В параграфе 16 вводятся понятия сетчатых двойных кнтегра-лов Колмогорова. Определяется дифференциально равномерная ин-~ тегрируемооть простых интегралов Колмогорова, являющаяся связи-ваюцим мостом между двойными и повторными интегралами. С помощью этих понятий получаются различные обобщения теоремы Фубини для функций множества. Введено также понятие обобщенного дифференциально равномерного существования простых интегралов Колмогорова, представляющим собо£. необходимое и достаточное условие существования и равенства повторных интегралов Колмогорова. ■

: . Затем определяется равномерная интегрируемость по Колмого-

рову относительно параметра в доказываются творены о перестаяов-вэ порядка интегрирования для функций элемента в множества, о помощью которых в девятой главе находится общий вид некоторого сопряженного оператора.

Целью седьмой главы являвтоя развитие общей теория произведения пространств о произвольными кораля. Для этого решающими оказались понятия (К,о) а (({,5) -интегралов, введенных в параграфе 15, посредством которых представляются внутренние и внешне меры произвольных подмножеств произведения пространств.

17.1.2, Пусть (*ц*чТ'1) и (*!,*»» I1*} - пространства о произвольными мэрами их произведение. Для любого ес*

ваеет иэсто равенство

Пусть (*■>*»» - пространство с произвольной мерой. Множество в.*! называется бесконечным атомом мэры (ь , если [•<")*«• и каково бы ни было рсе(Рб$) , то или рср)«.© или

Мера I* называется локально конечной, если для любого ес-5 |«{е)= ^ : «сб, еб5, рГО* ->} .

Пусть Г')и - пространства о произвольными

мерами и (х,*»«) - их произведение. Бесконечный атом ес-л мэры ц назовем массивным, если он ц-почти содержит некоторый измеримый прямоугольник бесконечной меры.

1?. 1.6. Пусть и - пространства с про из-

вольными мерами а (*,5, Р-) - их произведение. Для любого цех , за исключением немаосивных бесконечных атомов меры ц. , имеет место равенство -■

Пусть Р») и С’ЧЛ») р>-) - пространства с произвольными

мерами и - их произведение. Будем говорить, что (*,». |»)

обладает свойством (*) , если для вонкого е«5 и измеримого прямоугольника «с* 11Л»о имеют место равенотва

№

«• В.

Будем говорить, что р) обладает свойством (в> , если для всякого «« S и измеримого прямоугольника «св*Л*0 имеют место равенства

.fffc.u,i)i-p)ir.-

«. A в в л

Будем говорить, что в (зг1*,р) справедлива обобщенная теорема фубини, если для любой неотрицательной 5 -измеримой функ -

ции i I аадяннои на измеримом прямоугольнике А>а,

\\ -j f /ap<)

л,о Л e » *

несмотря на конечность или бесконечность двойного интеграла.

17.2.3. Пусть (5ri|Si,t*i) и (Эг«is»>r^ — пространства с произвольными, но или одновременно »ождественко равными нулю или одновременно отличными от тождественно равной нулю.мерами a('r>5/|t) -иг произведение. Тогда следующие предложения эквивалентны:

1. Мера (t. локально конечна.

2. Меры fi и pt локально конечны и для любого fti

• • ' "* . ' '' • ' ■

’ • ' * • .

3. Меры fi и Yi. локально конечны h(*,s, р) обладает овой-. ством (А) .

4. Меры и pi локально конечны и (тс, 5У обладает свой-

С7В0М ( Ь) .

5. Мери я ¡ч. локально кснэчны и для любс,1 неотраца-тольпой а?мериі*оЛ функции } , з-здалноА на измеримом прямоугольнике а<о справедливы равонегза

6. Мера і», і; р» локально ко начни и для лвбой неотрицательной кяияргмой $уяа$п і , заданно і яа измерю«« пртаоугольйяко а <г> справедлива таорека Тонэлля.

7. ?<вра )♦) я рі логлльнс. конвчзн з для яобог нготрица-тольной ¡T'.w3p;ojo,l їунгодяя í , зэдчияол на кз'даримом прямэуголь-ка?э д»о , сиряведлпга обобщенная «sopw'i '¿убяни.

З ларчгр'і’Ів IV.З давтея ньі?коді'чта і доотагочккэ уол-)вкя одлнотрснносги прі>«’задз:іия і'пр и иэкрримзегн «люгзогв в произведениях пространств о произвольная* uepava, юаргшжныо г> тэриа-пах (**,?) л(н,г) -интегралов.

В параграф. 18 режадгоя од км нопрос т-зорил мари. А.Чухвряжз поставил сладгязди вопрос: води (*<,$<, !"■) и [хг ,5ijFi) - прострад-ства с полкдаа. неатомиюсквки, локально к.г-иачныул юрзмд а

- их произеедпни-э, то из лохатьшм jcou04iwciw :/зрч к следует л;; f -кснвчк.ісїь мер г, 'і *>. ? л шхчязал нив, что отрог до.1;ко;і ечть пол^ягталыт.

Б это:* ачр«гра^ч, олін зяс/. р-.'г; льт; : ■ :,>*•«£} зих пзраг-pojoB, ^9ча'«нь0-'ГЗл, что ¡- г-буач тгь*;- ¡із"'і”Хс;і oj мі;ін-

ГеЛЬНЧУ.

8 восьмой глдьа есодится пзняг.м ргсконйчзокр-п-його каг^г»

рада Колмогорова.

Пуоть Г. - произвольное вполне упорядоченное множество и іг» его порядковый тип. Декартовым произведением множеств

назовем множество воех трансфшштных последовательностей (х.-) С****-»» «'•‘і-) типа и обозначим через

X *-•

«-•і- . ■

Пусть теперь С**! 5*, для каждого «ч,|. является пространством с вероятностной мерой я Х* = Ос . Обозначим через

Г алгебру, порожденную полукольцом Р всевозможных подмножеств

Е„*Е,х--*ЄЛ*Хзс«І*-А,<-‘Л« с * Хы ; и = о, в)

множеотва X и через 5 с -алгебру, порожденную алгеброй У . Существует мера на б’ -алгебре 5 , которую обозначим через V , Пространство с мерой назовем произведением пространств

о мерами (-"і*) и обозначим через

Для любого о*через (ї*,З."*,Г) обозначим произведение а через (х", і", Vі) - произведение

X С •

Обозначим через \ и Г4 алгебры в ж11 и ї* соответственно, аналогичные алгебре ? в X . Алгебра У* совпадает с «• -алгеброй 5* .

19.5. Пусть р. многозначная действительная функция множества, дифференциально определенная на классе їх . Для любого имеют место неравенства (Г)||х«Х) і ( ( Р). ^1.,...,^,. .)) £

—. о-).

»С* у . . .

■/■ -У-)£

и»Г(-чм£(с^]Гр^........................

• м^-шй[ г^..: ,л*„..у..),

X* *, ч« • • •

' ¿ы]((п/-••]••■ го**.........-^.- )) *сг)Гги*) .

* ° . X I к X £*• • ■ X

19.11. Пусть ^■*1 £*, М) (■'‘^9 - пространства с вероятностными мерами я - их произведение. Если неотрицательная из-

меримая функция } интегрируй!,(а на шюжестве х , то для любого порялкозого числа -¿-М.» существует интеграл

| (" "/ (]"••• ----^ <»|Ч •■

* 9 ** *>♦! *' ■ •

и имеет место равенство

| ^(») А ? -

К.

г| ^ | Ц- Ц* <*г - ' \) ‘{Г°-

*•» »• ■

13.12. Лусть !(**г) - пространства с вероятностными

мерами и (■> Л, и) - ах ироизачлекие. .!лл лх5ол неотрицательной измеримо.! ^унюаа ¡г , за^анно^. на ^ , имеет иеого равенство

[ к.,*, »-г '

X

В дзвятоіі глшзз изучаются лкнейныа функцзоналы, ¿иышЛниэ оператора, вполне непрерывные опорагсрц и л;аіа£шіе уравнения в пространства [ліі.; е/'КІ.

. Пусть "Пі мультипликативный клаао и.ег'Ж . Будем говорить, что коыплаксшш функция і принадлежи классу £*«£;£;7П} , еслг

для всякого числа і>© найдется такой разбіївниз ^Ьг^с,»"’,е“^ шожстиа Е , что каковы бы ни были хі^іі'еєс (с*і,...,*-) ишої место неравенство

І ІСО- Н^)\, і •

Б множестве £.ц^;е; *п] введем норму II ЛІ ^ І К*?! :>-ое) .

Легко проверить, что |\и£; е ; 7«.] аьляотея банахово*; алгеброй над полым комплексных, чисел. ■

ОиОЗЯЧЧИЫ чцрез Сло" ; Ё, "»п} ИІ'ОдіиС ГІІО воох конечно - ад-дагивішх ¿УИК.ІКЙ с ограничена«« варігаціш на класса 7ме“ .

20.7. 0.і,дк.і вид лйяз.шого ¿угікдионада % в ироотраиогве Слі«;і?;тп) ДЙ8ІСЯ і£ормуло,і

'-ІС :«) = С'Т«)] К’ОрОеЬ .

Н

где м е'Лп-З. ¡іра этом

IIIII = \!'( іче;тк)

Далие показан.', что эго ар*-дзтагл»нив оодарпит в себе, цап частім.! случгі.:, ва*.- до ''¡'у. пор известии« представления лиао-.Ынх ¿¡улкч'Л-.л;:-в р-і= ллчї чх пространствах ограниченных функс.я.і.

20.С. сил ллЧг-.,аого оператора К(.і) , отобрала» дего

[аі,: ,е г’[ н .І, і1 , Ч к) , дч^тзл >;ор:.уло..

А( }) - (ом)j *(■,) кО,^,) і

гдз а) для любого фзкспрованного «ее. принадлежи? клас-

су СА1|^а',р-;гч] , <3) к-С’?!«.) для либо го фиксированного »б"»хе.*

принядлзхит классу [ах^Б.'ТпЗ л

(|АЦ= 5~? -{_\/*(и; а; *;!*): ■

Пусть ¿унадни кСт1«) определена на декартовом проазвадэнни Е-*7Мй\

Будем говорить, что функция удовлетворязт условкь

(в), веля для всякого числа £»в найдется гадов разбаеаггэ ¿¿а-•* г«$ »«нояаства & , что, пехот бы на бала *4.»Г««;

, имеет цэсто нерароиетзо

Стл) ||1<Ы>«> -»<.С**,йе)( а Е .

20.11. Общ;::! вид вполне непргршшегэ линейного оператора * и)

ГДО фЯКЦЕЯ *•{.•*,«) , креме условий теоремц 20.8, удовлетворяю? еще условия (с). • .

В параграфа 21 глази IX н-гйдан обида вид некоторого линейного функцаекала а оператора в прострачствэ САг;«»*;в; ж} • Будем говорить, что обобщенная последовательноехь (^<еСА;^в*;5,-тк] дл.ч любогож ) слабо сходятся к

•*ущцщн ]* е Сл,';ъо" ь; 7*-") , ведя для любой функции

С^; с.' 'гл'3 имеет место равенство

Еудзм говорить, что линэйяыл £ункдионал г‘ . заданный ка

Кр0СТра1ГСТЕ9 Сл1; «в",е;ТП-7 , (б).непрэрнзел, ЙСЛИ

отобрагатеэго С-4*«.;Е; т*) 3 дается <}ор!1улоа

?“(>*) * 5'О)

а

ton» оЗобвэввая вэследогагелъноегь {і**} слабо сгодктся к £ункде Jt -

Ooo6U£.4JUJ черєг í(*,«) £уиэдшй, гадакнув ca £»'>-£" , ратную csEHüií-, ьслй xtc и-рашув Еудз, воле *tt> . 0ч&-ыдао, ¿'(у,*; црохдиггт laaooj (A«; ve'; fe.-'j.;] дда хь-озго £а-

СЬфОЕЬіШОГО Jíi.t . .

Будви гомрать, что ламигзвЕ йтнецколгл í* , íezwaU кг. пространство £aú'.'“'s’., удоі.детьорясг услсыщ (-sj.) , є:лі £ушо&л точки ЧС*) в ї*(^(*і«р пргаедя«^! классу С—í.;f-, 'r,,.l .

21.2. Oasocj г*д липецкого , (-) - напроригаогс» г oto^sas^ro свойства: (ІС) ^¡идокагс î* е грострайо^&о Сл»; ve', e'.Tr.; даотсл {opivV.D¿

Ї ‘С г-} * C^'-'i j ? (*■) Г‘

'* iL

гдj h L~i¿ ; ь; 7к} . Upa. атои

¡i £*íí - **т 11 K«-)| ; ~te3 ■

Буди;.. r:j;;or:.:L, чю сгшратор Л" ( r-¡ , о?оорг«и»*Ел

[¿к Л'ї', Е . "¡Xj h LAC. .vrr.c; îrtl , l'c-J - ;.с:При':і;;іЛ1, ùC-ji ¿..’ІЛ hSAiC- '

ГО сс^ї." ... iy-dlUilOtiijJl tc) -hôly.op^^iiU.

Будьи rcüjp^Tb, что Juuío.ui¿¿ оператор' a*(¡¡) , oïûOpauji-

щцд Las.,««>',• e ; -гл) ь Сл;;«ії';сІ'їпЗ , оодадаит сьомі яса і-к) . есл* ддй кекихс «s.Tr«fe* л-ак^ш^ щ-'іікциойь.', /•’(;)(.*) oCoíi-

дает 0В0<15ГВ01! .

21.3. jcü: ьщ; лшісіїногс, (&} - і:елрі:р:л.ного к осл'2^^ч.:“Г-

c¡jo.iuTüv¡< (.-і ^t^aíopa А’(Г-) , оіаїрьаш^г*.'» C-*¿.'Vü';t,''fn3

Ь U-.i.kft', ■ уэрцул^..

Л'( ч) Г Csrjj ^ Í ’ ■ É/ Г> Cd ií) , где: a) !•-;>< s) :U:jor;) ^'.¡'CKpL'iiC'i.-iOi'O <;*•>.£»■ г.’р'^ад.ь-

ККГ KJKlCCJ I íjlí ,Г, 'm.) , С ) i£iíTCrp<i4

в

2рзкад.та=ят классу 0С|\лу;к;7пЗ з

/І А-11 і ^ {у*(*;8; *;Тл) • *6^ ■

З параграфа 22 гсслодугтся летвЛзаэ урамоялл л сросгранс?-

г-э

22.1. Опэрагор А’(р) . сопрянешшЗ оператору .а;» ,

ирэдстаэлявтся форггулоі

Л’(і») - =) ро*-*),

)3_

гдз !<.(*•,«■) для лейого фсссароЕззного *.ь7к її.» пргнадлазят їласс? £аії; ».'Ъф а длч лвбого ^ксарогаиного принадлв-

ХІГ алассу £ А і.; V у; Е •,'ТЛІ з і«-> {у Ч**і»і Т«)* * 4. , В силу яз-ІЗСГіОІ таорє?-'*? '

¡і А’І/ =імі) І і; -ж) : *-ізї, .

гассмзтркі теперь неоднородна^ инигральшга урагаэнгя

^(а) а 3 Сук)! кС*,ій,) ♦ , (22.1)

. ' 'Ь ■

ЬЧ*} = > к(.•»,«) ^(¿і=3) * §(«) ,

■«*

Г29 і - произвольной-¡£яхгирсЕ«иое -ссьзлзкснса члелз, функция

#• .тргладизи;? ялдссу £і»;,и;7п}, а £укк:иія 3 гтргяадяажг?

классу Сл5.;\»У;®,'п'ї и ядро к(-*,г) удозлэтссрявг с-гудухким усло-

гала: І) дяя жЗогз £лксировааного. « с тк /«* принадлежит классу

¿\и,:,г;Тн}, 2) для л*>зога фнкгировздясго *-се принадлежит

классу к ^“~р {у 4«, р , т , т>.)\ * <*» , 3) ддя всякого

^ *■<*!% * .

числа иаедегся такое разбиений **= = ^е,,в«Л . что,

каково Оы ая баи х.'.х" (:^і>...,») , 'имеет место неравенство

нзкзвестиая фушсцдя У отцсщие-гхся б классе , а

неизвестная фушшдл Т - в классе Сай;^о’; е;Тл] ,

Доказыьавтся, что в эти условиях для уравнений (22.1) и

Откатим, что прннадмгащив б этом направлении результаты Радону, Гюнтеру в Дубровскому квляются аеоыш частннии случала

Затем эти результаты распространяются на неаддативаке ядра, а именно на ядра , которые явллагся кктегрирусииьга б

смысле Колмогорова равномерно относительно *е£ .

В глава X вводятся келииелнне интегральны« оператора

где ингегралы псщиешися с саазл* Код.огороьа. Наследуемся ОЕОЛсгса указанных операторов в срозгрпнстЕЭ С-^1 ;р;Г:г] , на

базе которых доказывается те орет сущеотговиш» и едаястаеш-юс-та решения интегральных уршмыш* .

Приведенные здесь достаточные условия волной непрерывности нелинейного операторе.

являются нт'Оолоа общьши. Обдность этих условна заключается в гом, что ь случае.- дине.шэст оператора они явллхяся и не обходными .

В главе XI, иаск ;лько нам известно, впервые исследуется елинейиыо интегральные операторы, определенные в пространствах

(22.2) справедлива альтернатива федголька.

установленных с етол главе результатов.

Йгняцзй «сшзеогва

А*{г)з(чх^к С«,’»,Г^ЛИ>3 , А(.!0 3 ,

Л. ' £1 .

где интеграла понукаются в сшюле Колмогорова. При достаточно обзщх остеотвошшх уолоЕ2кх гзучавтся овоЗстга ■ указанных одораторов, па осноеэ которых доказывается тзорзиы сущэотвованяя я одияотвояноотз ресзнвя лнтегрзльнах уравнений

■ в ■ ■ а. .

в соответствующих пространствах функций кногаотва.

Тахяи сбразои в диссертации развита теория ентограса «аю-гозиачных когшлексных йункцяй абстрактного кнозэства, являвшаяся воска удобнаа рабочей ивотрукзнтол при решения ваяшх кате-гатячаскгх задач. В частости, она о болыпзм успехом дает нужные результаты я тогда, когда отказывает олухгать интеграл Лебега.

Разумеется, что изученные нами задача но исчерпывают все возможные приложения развитой в диссертации теории интеграла. Предложенный накя подход интегрирования многозначных функций абстрактного множества от нескольких (конечных я бесконечных) аргументов предоставят возможность решения икотах интересных задач. .

Развитая в настоящей работе теория интеграла многозначных когшлексных функций абстрактного множества является плодотворный разделом современной математики. При этом в диссертации в этом направлении получены порвостопешша. результаты и репяш некоторые достаточно сложные задачи анализа, стоящие перед иа-текатикой. . .

Основные результаты диссертация опубликованы в следующих работах! . . .

1. Прсіцвнко Д.Й. :2орцулы .п'арвс'тановки'.для .повторних; вытвгргцов ..

: ’ •: Стильтье.ооа-кашогорова//Труда'бьгшзд.центра

: : : . ¿H гсср.. .IS65.. т.ліз. с.69-84. . . ;7

2. Проденко Д.Ф. Обобщзнныэ шгтагральййэ уравнения Радоиа-Гш-

; ' . ' ї.ера-Ду.броБокого .'//Труди ш’еюл.цштра'АН ГССР. :

. : ISG5. Т.У1:3. C.85-S2. : ' ; . ' ' V

3. Процэнко Д.О. К взЕяиоотиошащаз iioEíj двуіія типсж ¡інтеграла .

Колмогорова //Сообц.АН ГССЇ1. IS65. Т.40. & 2.

. С.271-278. ' ., ; " ; . : ". V

4. Црофнко Д.Ф..К взымоотновешав казду двумя тяпала кптеграла

. Колмогорова//їШІ. 1965. T.20,. вид.5. ,0.237-242.

5. Гог^адзе Д. fl. Ойобдашшз катвгр'адьіко .уразшшя Радоца-Гслте-

. ра-Ду0роЕоісого//Сообщоішя'All ГССР. 1969. Т.53, .

• '& I. С.21-24. '

6. Гогуадэе Д.Ф. Интегрированна'фнадис елеаеша.Е 'ькоаостеа //

. Сообщай.АН ГССР. І97І. Т.63, Й I. С.21-24.

7. Гогуадгз Д. С. Ліінєіікїіз a нодсшоЛные Ентэградышо уравнении о

адраип, эазхсячша от влакзата. a шогаогва -aöoi-; poKTaöro пространства// Сші.по 'кех.сплоа. среди

; и родотав.пробд.анализа. Тбшшои, І97І. Аннот.

. докл. С.9-Ю. . ' .

8. Гогуадзе Д.Ф, Роианио обобценных илтеградьшд, уравнений Радо, ■ * ■ на-Гюнтера-Дубровского кэтодоа последовательных •

' ■ приближанпй //Соо&д.АН ГССР. І97І. Т.64, I. 2.

' ; С .281-284. ' .

9. Гогуадэо Д. Í-. Некоторые недшеАшв операторы и иелжпэАшэ '

■ ' уравнения.//Сообщения АН ГССР.1972. T.S5, Jé I.

' С. 17-20. ■ - - . • .

ГО.Гогуадзе Д.Ф. Некоторые Нелинейные операторы к 'нелинейные урав-~ ' ненгл//Сообщания АН ГССР. 1972. T.G5. J» 2. С.І-4.

II. Гогуадзе Д.Ф. О некоторых новых нэлннейных операторах и нелн-; нейпых уравне'нши//Сооб!цвн.АН ГССР.1972. Т.68.

. : ' й 2. С.281-284. ' ■ .

. 12'. Г0І7ВД39 Д.Ф. Об обойденных'интегральных' уравнениях Радона. Ггатвра-Дубровского//Сообіцеішя АН ГССР.1973.

• ■ Т.71, И 2. С.273-276. . :

. , 13. Гогуадзэ Д.Ф. Об '.условиях'' 'компакгности в- одном; новом- ®гнк-.

: - ' . ЦЇОНаїЬІЮ'і ПрОСТранОТЕО Я Некоторых Н9.’1ЕН9ЙШ1Х

: '■... операторах я нелшеіЬшх. ураЕНвЕиях//,3^удц Вы' .... . : . числатальяого центра АН ГССР.1975. Т.Х17:2.

" ; ' - ;' с.15-27. ■ /' ; ..:-Л■■■ ’ ■ ■

14. Гогуадзэ Д.Ф. О теоремах Лебега, Рксса я Егорова для обоб-

. ■ . цзшшх позгодоютодьноотеіі//Сообщзн.АН ГССР,

■ 1976. Т.81, 8 3. С.551-563.

15. ГогуадЕэ Д.Ф. О двойных я повторных еттзграяах Колмогорова//

. . . Сооб!Д9Н..АІІ ГССР.І976. Т.83, й 2. С.277-280., '

16. Гогуадве Д.Ф. Прадставгинке некоторых линейных функционалов

'.: и операторов интегралом Колмогорова//Сообщен.

.. : АН ГССР.1976. Т.3-1, А 2. С.305-308. , ,

17. Гогуадзо Д. 5. О двойных н повторных интегралах Колмогорова

- : и обобщено терреш ^бини//Сообщен.АН.ГССР.

. . -1977. Т.86, & З;- С.553-556. : . ' :

18. Гогуадзэ Д.Ф. О двойных и повторных пределах//С<зобіЦ9Н.АН .

' ; ГССР. 1977. Т.87, Я І. С.4І-І4. '. .

. 19. Гогуадзе Д.Ф. О тёореиах Лебега, . Рисса п Егорова для обоб-

. . щенкых поол0ДОЕателькосгеЛ//'<!ат.зшіогіи!. 1978. ■

.; ' : т.24(3). с.331-33«. : ■ /' -. : .

20. Гогуадзе Д.Ф. Об интегралах Колмогорова и их некоторых при.'. ; ■ ' . " ложениях.Тйилиси:?і!ецнивреба.І979, . . _. •

21. Гогуадзе Д.Ф. О двойных и повторит внтвгралях Колмогорова

; в обобцэшш теоремы фубинл //Сообщэн.АН ГССР.

1961. Т.101, » I. С.25-28.

22. Гогуадго Д.в. Об штегралах ^шгциа. шожеотва от бвскоиач-

: вого ч^ола аргументов //Труда Бач.цэнтра ш.

; ■ Н.И.Нуохвлгавкла. 1982. 1’.ЛЛ:1. C.I6-34.

23. Гогуадзэ Д.®. О простых а дво1нах ыиеградах Сукедди isose-

' стЕа оо значеишаа в гоподогичэохдх полугруп-

. : Ш2.1 //Труда Вач.центра ы.Н.И.ЦусхэлвлЕИлд.

1983. Т.ХШ:1. С.9-20.

24. Гогуадве Д.6. О цростых к двойных шгагра^лх ф/икщЫ ииояа-

-. стга оо вначенияыи ь топологических полугруп-

пах П //Труды irlii с т. е ич. füT £ л. ш.Н.И.Муохвйш-

/ : вшш.1984. Т.ШУ:1. C.I4-32.

25. Гогуадзе Д.Ф. О двойных н поаюрцых прадедах oÔoC^aiœitx

: дэолша ЕосдодоБа?едк1оата1 в рщщо*:зр$шх

, . пространствах //Труд^ ТГ/. 1934. Т.252. C.S5-

. 115.

26. Гогушиз Д.0. О беоконечюадатнои интеграле 4ушсци4 шозест-

... ва и обобщайся reopeva ¿у 0 mu;~ Ко с с е ;;a//ïpy да

Инст.вач.иат. ка.Н.Л.^схелигвщи. 1985. .

Т.Ш:1. С.23-30.

27. Гогуадзэ Д.Ф..Зараадаэ Р.Г. О бесконечном произведения про-

изволыщх мар// Труда Инсг.выч.маг.ш.Н.И.Муо-' хелдшвили. 1986. Т,Ш1:1, С.42-49.

28. Гогуадзэ Д.Ф. О повторных интегралах //Труды Инот.выч.1!ат.

км.Н.И.Мусхелашвилй. 1Э87. Т.ХХУП;!. С.28—13.

29..Гогуадзэ I.S.'O пролэээдвния кспачного чзгоїа произвела ‘ • ннх «зр// Труда йіот.Еет.ка'г. еі.II.И.

• . ' ' ?,Ї7СІ0ЛШ!!ЕПЛИ.І988.- Т.ХХУІІЇгІ. С.45-46.. •

ЗО. Гогуадзе Д.і. О бзсконэчныг производеягят мер// Груды '■ ' $їзо*.вач.і»атом.!їіі.Н.И.!.!усх0лгазяла. 1990

. T.XXIX:І.С.05-100.

*j*4()9ooU einçnUn, 380060

atat)tî*o',ü