Теория нелинейных возмущений в метрических моделях гравитации и ее приложения в космологии и астрофизике тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П.К.ШТЕРНБЕРГА

ПЕТРОВ Александр Николаевич

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ГРАВИТАЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В КОСМОЛОГИИ И АСТРОФИЗИКЕ

Специальности: 01.03.02 — Астрофизика и Радиоастрономия 01.04.02 — Теоретическая Физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК 524.8; 530.12

Москва — 2006

Работа выполнена в отделе релятивистской астрофизики Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук Алексеев Георгий Андреевич (Математический институт имени Стеклова РАН) Доктор физико-математических наук Лукаш Владимир Николаевич (Астрокосмический центр ФИАН)

Доктор физико-математических наук Чернин Артур Давидович (Государственный астрономический институт имени П.К.Штернберга МГУ имени М.В.Ломоносова) Ведущая организация:

Всероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы Защита состоится 5 октября 2006 г. В 14 часов на заседании диссертационного совета при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова, шифр Д 501.001.86.

Адрес: 119992, Москва, Университетский проспект, 13, ГАИШ МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государставенного

астрономического института им. П.К.Штернберга МГУ (Москва,

Университетский проспект, 13, ГАИШ МГУ).

Автореферат разослан 30 августа 2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук ¿Л^ё/ .. АЛЕКСЕЕВ С.О.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Во многих задачах современных космологии и релятивистской асторо-физики исследуются возмущения в фоновом пространстве-времени. В качестве гравитационной теории главным образом используется общая теория относительности (ОТО), а в последнее время все чаще и другие метрические теории гравитации как в 4-мерии, так и в других измерениях. Обычно фоновое пространство-время представляет собой какое-либо известное решение гравитационной теории, чаще космологическое или решение для черных дыр. Рассматриваются как материальные, так и метрические возмущения, в том числе и гравитационные волны. Само исследование состоит в изучении эволюции возмущений: их генерации, распространения, устойчивости, взаимодействия.

Отдавая должное результатам этих исследований, которые невозможно переоценить, необходимо отметить следующее.

• Часто рассматривается лишь линейное приближение, без учета обратного действия возмущений, в то время как точность современных наблюдений в космосе требует более детальных рассчетов.

• Часто используется лишь плоский фон или фон с очень ограничивающими симметриями, либо фоновое пространство-время вводится лишь в окрестности замкнутой поверхности для определения квазилокальной величины, либо вводится лишь фоновое пространство, но не пространство-время, и т.д. .

• Часто используются дополнительные предположения, и поэтому не ясно какие из результатов имеют общую значимость, а какие могут измениться при изменении предположений. Например, может ли

подход использованный для одного фона использоваться для другого, можно ли использовать различные системы координат, и т.д.

• Используются различные отображения возмущенного пространтст-ва-времени на фоновое, то есть различные фиксации калибровочных свобод для возмущений. Не всегда ясно, когда различный выбор может повлиять на результаты, а когда нет, как различные калибровки связаны между собой.

Существенную роль в исследованиях играют такие характеристики возмущенной системы как энергия, импульс, угловой момент, их плотности, законы сохранения для них. Однако существует объективная трудность в определении этих величин. Хорошо известно, что в ОТО, и метрических теориях вообще, определение плотности энергии и других сохраняющихся величии не является однозначным, в отличие от аналогичных определений в „обычных" полевых теориях (таких, например, как электродинамика) в пространстве Минковского. С геометрической точки зрения причина проблемы состоит в двойственной роли пространства-времени, которое, с одной стороны, — арена для физических взаимодействий, на которой обычно и определяются сохраняющиеся величины, с другой стороны, само является динамическим объектом и участвует во взаимодействиях. С точки зрейия основания гравитационной теории, проблема рассматривается как связанная с принципом эквивалентности.

Начиная с работ Эйнштейна эта ситуация интерпретируется как нело-кализуемость энергии и других сохраняющихся величин в метрических теориях гравитации и считается особым свойством теории. Оно проявляется в том, что гравитационное взаимодействие, а следовательно и гравитационное поле, дает вклад в энергетические характеристики гравити-рующей системы, но этот вклад определяется лишь нелокально. Таких образом, теоретические исследования в основном велись и ведутся по изучению интегралов движения (глобальных сохраняющихся величин),

например, таких как энергия. Интегрирование производится в ограниченной конечной области пространства или во всем пространстве, скажем, для островных систем. Большое внимание уделяется квазилокальным характеристикам, которые рассчитываются для конечного объема и полностью определяются условиями на его границе. С другой стороны, для исследования возмущений в космологии и астрофизике, наоборот, остаются важными локальные характеристики.

После создания ОТО предложено множество определений сохраняющихся величин. Были выработаны несколько теоретических тестов, ограничивающих неопределенность в этих определениях. Так, рассчеты должны давать стандартную массу для черных дыр, правильное значение углового момента в решении Керра, стандартные потоки для энергии и импульса в решении Бонди, положительную плотность энергии для слабых гравитационных волн на плоском фоне.

• Однако часто трудно найти связь между различными определениями, иногда они противоречат друг другу, часто они не связаны с описанием возмущений, и, как правило, невозможно понять как проявляет себя нелокализуемость, более часто определяются только нелокальные величины.

Поэтому, представляется важным определить сохраняющиеся величины в рамках единого подхода с описанием возмущений. Поскольку нельзя объективно избежать проблемы нелокализуемости, необходимо дать конструктивный математический аппарат для ее рассчетов. Также важно дать связь локальных величин с глобальными и квазилокальными.

Цель работы.

Исходя из актуальности изложенных выше проблем в исследованиях возмущений на заданном фоне очевидна необходимость единого описания, в рамках которого одновременно требуются:

(а) ковариантность;

(б) возможность использовать произвольно искривленное фоновое пространство-время;

(в) самосогласованные правила

— для построения возмущенных уравнений,

— для построения сохраняющихся величин и законов сохранения для них; при этом необходимо дать конструктивный математический аппарат для рассчета нелокализуемости, и дать связь локальных величин с глобальными или квазилокальными.

(г) определение калибровочных преобразований для возмущений и их действия на возмущенные уравнения и сохраняющиеся величины;

(д) точная (нелинейная) формулировка возмущенных уравнений, сохраняющихся величин (и законов сохранения для них), калибровочных преобразований; это дает возможность получить и использовать любой порядок при разложениях;

(е) простые рекомендации для приложений.

Чтобы удовлетворить требованиям (а) — (е) необходимо разработать комплексный и обобщенный подход, использование которого приводит к представлению метрических гравитационных теорий в виде точной теории возмущений в произвольно искривленном фоновом пространстве-времени. Такая переформулировка гравитационной теории должна обладать всеми свойствами и атрибутами „обычных" полевых теорий на фиксированнном фоне, описание которых основанно на принципе наименьшего действия. Роль динамического поля должна играть совокупность всех возмущений — полевая конфигурация. Такая теория, будучи лишь переформулировкой, должна быть эквивалентна исходной метрической теории и мы будем называть ее теоретико-полевой (или просто

полевой) формулировкой гравитационной теории, в отличие от исходной метрической (или геометрической) формулировки.

Таким образом, цель исследования настоящей диссертации состоит в разработке нового направления в физике гравитационного поля, развитие которого приводит к построению теоретико-полевых формулировок метрических теорий гравитации. Существенно большее внимание будет уделяться ОТО, поскольку она остается самой востребованной теорией гравитации. Целью является также использование возможностей развитого метода для решения некоторых важных задач космологии и астрофизики, и теоретических проблем гравитационной физики.

Направление и обоснование исследований, постановка задач.

Для достижения поставленных выше целей ставятся конкретные задачи, сформулированные ниже. Изучение возмущеиий в ОТО и других гравитационных теориях началось с работ Эйнштейна и имеет длительную историю. Представлены многочисленные и разнообразные подходы, поэтому, естественно, наше исследование является продолжением работ предшественников. Из них в большей мере соответвуют требованиям (а) — (е) два следующих подхода.

Первый из них существенно использует каноническую процедуру Нё-тер, поэтому часто называется каноническим. В рамках ОТО он развит на ироизвлольно искривленных фонах и в точной форме Кацем, Бичаком и Линден-Бсллом, 1997 год. Их законы сохранения д^Р = О представлены дифференциально сохраняющимися токами, векторными плотностями, J|л. Они в свою очередь выражаются через дивергенции от суперпотенциалов, антисимметричных тензорных плотностей,

= д^". (1)

Эта форма как раз дает связь между локальными величинами, поскольку токи существенным образом выражаются через тензор энергии-

импульса, и нелокальными величинами, поскольку интегрирование правой части (1) ведет к поверхностным интегралам. В качестве векторов смещений могут использоваться произвольные векторы, а не только фоновые векторы Киллинга. При всех достоинствах канонического подхода Каца, Бичака и Линден-Белла 1) не исследованы калибровочные свойства возмущенных систем; 2) поскольку изначально используется бимет-рическая форма, то есть возмущения не вводятся явно, то разложения нужно делать независимо от самого построения; 3) как в любом каноническом подходе, сохраняющиеся величины существенно зависят от дивергенций в лагранжиане, а значит от граничных условий при варьировании действия. Существуют задачи, где такое определение необходимо и естественно. Однако важно иметь более универсальные величины, которые не зависит от граничных условий.

Второй подход основан на построении законов сохранения для симметричного (метрического) тензора энергии-импульса всех возмущений, включая метрические, определение которого не зависит от граничных условий. Мы называем этот подход симметричным, в его развитии ключевую роль сыграла работа Дезера 1970 года. Он представил воз-мущеные уравнения Эйнштейна в формализме 1-го порядка на плоском фоне в точном (без приближений) и замкнутом (без итераций) виде:

- С - . (2)

где слева линейное по метрическим возмущениям выражение. Позднее нами на основании этих результатов симметричный подход был развит для произвольно искривленных фонов, в его рамках детально исследованы калибровочные свойства, а уравнения выведены сразу в возмущенной форме. В этом заключаются одни из основных результатов автора, представленных в его кандидатской диссертации „Лагранжево и гамиль-тоново описание релятивистского гравитационного поля" и защищенных в 1988 году. Однако, 1) законы сохранения были построены лишь для

ограниченного класса искривленных фонов, не включающего важные космологические решения, 2) не были построены законы сохранения с использованием суперпотенциалов.

Оба подхода — это различные методы в рамках одной и той же теории, в данном случае ОТО, каждый из них дополняет другой и между ними должна существовать связь. Поэтому, чтобы представить ОТО в законченой теоретико-полевой формулировке ставится общая задача

• объединить канонический и симметричный методы.

Эта задача включает в себя более конкретные задачи, кроме того, каждый подход имеет собственные перспективы.

Сначала обсудим задачи в развитии симметричного подхода в ОТО самого по себе. Начиная с работы Дезера 1970 года в основном используется определение метрических возмущений (динамического поля) в виде возмущения контравариантной метрической плотности

= ^/—дд^ — \/—дд'ш- Именно с использованием этого определения проведены большинство исследований в настоящей диссертации. Одной из главных ставится задача

• в терминах возмущений построить сохраняющиеся токи выраженные через дивергенции от суперпотснциалов на произвольно искривленных фонах и для произвольных векторов смещений.

Также симметричный подход может быть развит в терминах возмущений других (кроме лУ—дд'*") метрических переменных, таких как д,ш, > (—9)9М" и Т-Д- • Боульвар и Дезер в 1975 году отметили, что из-за этой разницы в определении возмущений возникает неопределенность в определении симметричного тензора энергии-импульса гравитационного поля. До сих пор эта проблема не была решена. В связи с этим ставится задача

• для различных определений метрических возмущений: 1) выписать возмущенные уравнений Эйнштейна, 2) построить сохраняющиеся токи и суперпотенциалы, 3) исследовать соотношения между различными вариантами, и 4) в конечном итоге разрешить неопределенность Боульвара-Дезера.

Далее, поскольку существует необходимость исследовать не только линейные, но квадратичные и следующие порядки по возмущениям, мы ставим задачу

• представить конструктивный алгоритм в каждом порядке 1) для построения возмущенных уравнений и 2) для действия калибровочных преобразований.

В силу того, что полевая формулировка ОТО обладает свойствами обычных калибровочной теорий, должна существовать возможность

• построить полевую формулировку ОТО с помощью методов стандартных калибровочных теорий, то есть как результат локализации каких-либо параметров.

Мы рассматриваем и эту задачу. Это важно как теоретическое исследование возможностей метода, а также для сравнения ОТО с калибровочными теориями типа Янга-Миллса.

Обращаясь к каноническому подходу, отмечаем, что для построения углового момента кроме тензора энергии-импульса, как правило, необходимо участие спинового члена. Но для определения всех сохраняющихся величин часто более предпочтительно использовать единый объект — симметричный тензор энергии-импульса. В обычных „полевых" теориях в пространстве Минковского для симметризации используют классический метод Белиифаите. Он же определяет связь симметричного и ка-ноническского подходов. Поэтому мы поставили следующие задачи:

• Обобщить процедуру Белиифанте для использования в полевой формулировке ОТО на произвольно искривленном фоне. Затем применить ее для „симметризации" известных канонических законов сохранения в ОТО. Как ожидается, симметризованные суперпотенциалы и сохраняющиеся токи не должны зависеть от введения каких-либо дивергенций в лагранжиан системы, а также от явного использования спинового члена.

• Исследовать связь симметризованных методом Белинфанте величин с новыми токами и суперпотенциалами полученными в рамках симметричного подхода в ОТО.

Учитывая огромный современный интерес к многомерным теориям гравитации, к космологическим сценариям в моделях с бранами, к сопутствующим эффектам и проблемам, мы ставим задачу

• разработать теоретико-полевой подход для описания произвольной метрической теории гравитации (ей может быть, например, как 4-мерная, так и .О-мерная теория Эйнштейна, многомерная модель Эйнштейна-Гаусса-Боне, какая-либо скалярно-тепзорная теория, и т.д.): 1) представить обобщенные возмущенные уравнения, 2) построить симметричные (метрические), канонические, и Белинфанте симметризованные сохраняющиеся величины и законы сохранения для них, 3) исследовать связь различных определений.

При построении токов и суперпотенциалов в ОТО, как и другой конкретной теории, всегда встает вопрос о единственности этих построений. Поэтому мы ставим задачу

• использовать обобщенные результаты предыдущего пункта для исследования проблемы единственности построенных нами сохраняющихся величин в ОТО.

Для полученных теоретических результатов важно найти конкретные приложения, к обсуждению которых мы переходим. Широко известно, что модель асимптотически плоского пространства-времени в ОТО играла и играет важную роль в гравитационнной физике. Она также во многих случаях представляет островную систему в астрофизике. Для приложений теоретико-полевых методов эта модель интересна, поскольку 1) асимптотически она естественно рассматривается в виде полевой конфигурации на фоне плоского пространства-времени, которое определяется самой моделью; 2) само плоское пространство-время, в свою очередь, обладает 10-ти параметрической группой движений, что важно для определения глобально сохраняющихся величин. Таким образом, для асимптотически плоского пространства-времени, имея в виду определения сохраняющихся величин и технику калибровочных преобразований в полевой формулировке ОТО, ставятся задачи:

• Как в лагранжевом, так и в гамильтоновом описании построить все 10 глобально сохраняющихся величин на пространственной бесконечности, исследовать их инвариантность относительно калибровочных преобразований, и на основании этого получить наислабейшие, гарантирующие инваринтность глобальных величин, условия падения для гравитационных потенциалов.

• Определить связь между квазилокальными определениями энергии и интеграла центра масс Брауна-Йорка и соответствующими стандартными каноническими определениями, основанными на результатах Арновитта-Дезера- М изнера.

• Используя новые законы сохранения полученные нашим методом определить энергию, импульс и их потоки на изотропной бесконечности для решения Бонди, и сравнить со стандартными.

Интегральные связи в ОТО — это соотношения, где итегралы по огра-

ниченному объему от некоторых величин, построенных только из материальных возмущений, определяются поверхностными интегралами по границам этого же объема, где задаются лишь гравитационные возмущения, и основную роль в них играют интегральные связевые векторы. Трашен в 1985 году в рамках фридмановских моделей построила 4 новых таких вектора (в добавок к уже известным 6-ти) и соответствующие им связи. Наши новые законы сохранения имеют форму (1) и их интегрирование как раз приводит к соотношениям связывающим объемные интегралы с поверхностными. Поэтому ставится задача с их помощью

• построить интегральные связи для космологических возмущений на фридмановском фоне с каждым из знаков кривизны, сравнить их с известными и выявить новые связи с новыми векторами.

Для развития нового метода в теории и для развития самой теории важно его использовать в приложении к известным решениям. В ОТО такими решениями являются, в частности, решения для черных дыр, без которых невозможно представить развитие современной астрофизики. Однако, существуют важные методологические и интерпретационные проблемы, связанные с ними. Таковыми в ОТО являются описание точечной массы и интерпретация дефекта масс. Наш подход позволяет исследовать эти проблемы, поэтому мы ставим задачу

• построить полевую конфигурацию в плоском фоновом пространстве-времени, представляющую произвольное статическое сферически симметричное решение ОТО, а в частности, решения Шварц-шильда и Рейснера-Нордстрёма. Исследовать для нее распределение энергии, с использованием свойств которого решить описанные выше методологические проблемы.

Учитывая интерес к многомерным моделям и используя новые формулы мы ставим задачу

• в рамках £>-мерной модели Эйнштейна-Гаусса-Боие построить полевую конфигурацию для черной дыры Шварцшильда-анти-де Ситте-ра на фоне решения анти-де Ситтера и рассчитать ее массу.

Известно, что в теоретико-полевом описании, калибровочные преобразования изменяют траектории частиц на фоне. В линейном приближении этот эффект был отмечен Машхуном и Грищуком в 1980 году. В связи с необходимостью в астрофизике изучать движение частиц в окрестности релятивистских объектов важно исследовать этот эффект точно. Поэтому ставится задача

• описать калибровочные преобразования траекторий в общих терминах, затем показать как под действием калибровочных преобразований изменяются траектории пробных частиц в окрестности горизонта шварцшильдовой черной дыры, представленной полевой конфигурацией на плоском фоне.

Если в действие ОТО специальным способом ввести фоновую метрику до варьирования, то сама теория изменяется по существу. Одной из таких модификаций ОТО является унимодулярная теория гравитации, где, в отличие от обычной ОТО, космологическая постоянная возникает как константа интегрирования уравнений. Квантовые варианты космологических моделей на основе унимодулярной теории могут оказаться полезными для описания недавно открытого ускоренного расширения Вселенной и связанных с ним теоретических проблем. Исходя из этого в терминах метода фонового пространства-времени в общем, но не в рамках возмущенной формулировки ОТО, ставится задача

• исследовать новые возможности построения унимодулярной теории гравитации.

Результаты, выносимые на защиту.

Все поставленные выше задачи успешно разрешены. В результате впервые в мире в исследованиях по гравитационной физике (включая ОТО) в максимально полной форме разработан единый и самосогласованный подход в исследовании возмущений. Он основан на совокупности теоретических положений, при использовании которых метрическая теория гравитации без изменения физического содержания представляется в виде точной теории возмущений в заданном произвольно искривленном фоновом пространстве-времени. Совокупность возмущений играет роль динамической полевой конфигурации. Эта формулировка, опираясь на принцип наименьшего действия, обладает всеми атрибутами полевой теории на фиксированном фоне: лагранжианом и действием, полевыми уравнениями, калибровочными свободами, сохраняющимися величинами и законами сохранения для них. Во многом исследование было вызвано необходимостью комплексного и полного метода для изучения возмущений в космологии и астрофизике. Как мы показали, его результаты, действительно, являются очень важным и полезным в таких приложениях. Ниже мы перечисляем важные и оригинальные результаты, полученные в рамках развитого подхода, и которые выносятся на защиту.

\

1. ОТО представлена в теоретико-полевой форме, то есть в виде точной теории полей возмущений на фоне произвольно искривленного пространства-времени. Построены новые сохраняющиеся величины: токи и суперпотенциалы, которые а) удовлетворяют существующим тестам; дают б) конструктивное описание нслокализуемости, в) связь локальных и глобальных характекристик, и г) включают произвольные векторы смещений.

2. Разработан оригинальный метод локализации векторов Киллинга фона, аналогичный локализации параметров какой-либо группы при

построении стандартных калибровочных теорий. В результате его применения ОТО построена, как теория типа Янга-Мидлса.

3. Процедура симметризации Белинфанте обобщена как для произвольных фонов, так и для произвольной метрической теории. Ее применение завершило построение теории возмущений в ОТО.

4. (¡) Разработан теоретико-полевой подход для произвольной метрической теории. Построены метрические, канонические и Белинфанте преобразованные токи и суперпотенциалы. Как приложения а) доказано, что новые сохраняющиеся величины в ОТО однозначно определены выбором лагранжиана; б) в /5-мерной модели Эйнштей-на-Гаусса-Боне рассчитана масса для решения Шварцшильда-анти-де Ситтера. (И) Найдены расширенные возможности в построении унимодулярной теории гравитации, одного из претендентов на объяснение ускоренного расширения Вселенной. Это очень важно в свете современных космологических наблюдательных данных.

5. Для островной модели в ОТО (одной из самых важных, поскольку она представляет гравитационное поле многих астрофизических объектов) исследована полевая конфигурация: (1) на пространственной бесконечности а) найдена максимально слабая асимптотика, б) доказана эквивалентность определения центра масс в каноническом и квазилокальном подходах; (И) иа изотропной бесконечности рассчитаны полные энергия, импульс и их потоки.

6. На космологических фонах Фридмана при к — 0, ±1 и с использованием конформных векторов Киллинга найдены и проанализированы новые интегральные связи для материальных и метрических возмущений.

7. Описание астрофизических объектов, таких как черные дыры, полу-

чено с помощью полевых конфигураций в пространстве Минковско-го. Представлены: а) распределение энергии, где б) истиная сингулярность трактуется как точечная частица; в) калибровочная зависимость траекторий пробных частиц, не исключая окрестности горизонта событий; г) непротиворечивая трактовка дефекта масс. Некоторые из этих результатов могут быть использованы для изучения генерации гравитационных волн черными дырами.

Научная новизна

Содержание настоящей диссертации представляет собой законченный этап исследований и выражает новое научное направление. Впервые как ОТО, так и произвольная £)-мерная метрическая теория гравитации представлены в виде полной самосогласованной и замкнутой теоретико-полевой форме в заданном произвольно искривленном фоновом пространстве-времени. В рамках разработанного подхода построены новые точные законы сохранения для возмущений на произвольно искривленных фонах с участием новых сохраняющихся токов и соответствующих новых суперпотенциалов. Новые законы сохранения исследованы теоретически, использованы в космологических приложениях, для изучения свойств решений важных в астрофизике. Все результаты, которые конкретно изложены в 7-и пунктах результатов вынесенных на защиту, являются оригинальными и впервые опубликованны в работах автора. Подчеркнем новизну как некоторых результатов, так и методов.

• Впервые калибровочные преобразования на произвольно искривленных фонах в рамках единого описания представлены точно в нашей работе [1], а алгоритм использования легко представляется в разложениях и распространяется на 2-й и следующие порядки, что существенно облегчает соответствующие вычисления.

Впервые в качестве „параметров" для локализации используются векторы Киллинга.

Впервые при исследовании асимптотики гравитационных потенциалов для асимптотически плоского пространства времени на пространственной бесконечности используются калибровочные преобразования с включением второго порядка по возмущениям.

Впервые показано, что в рамках полевой формулировки ОТО даже разрыв траектории пробной частицы в фоновом пространстве-времени может оказаться результатом „плохой" фиксации калибровочных свобод.

Впервые показано, что возмущения могут быть описаны не только в присутствии физически „разумных" фонов, но, казалось бы, и в неподходящих ситуциях, таких как использование пространства Минковского в окрестности горизонтов черных дыр, и даже при описания истиных сингулярностей черных дыр.

До наших исследований не было обобщений процедуры симметризации Белинфанте в ОТО для произвольно искривленных фонов и не были известны следующие результаты такой симметризации. Оказалось, что в общем случае: 1) „Симметризованый" тензор энергии-импульса не будет симметричным, 2) кроме того, ковариантная дивергенция от него не равна нулю на полевых уравнениях. 3) Но при построении тока оба „дефекта" компенсируются и ток оказывается сохраняющимся. 4) Форма сохраняющихся величин не зависит от граничных условий при варьировании действия.

Впервые в рамках возмущенной произвольной £)-мерной метрической теории гравитации построены а) преобразованные обобщенным методом Белинфанте суисрпотенциалы, б) линейные по возмущени-

ям суперпотенциалы в рамках симметричного подхода. Оба класса суперпотенциалов не зависят от граничных условий. Это важно в связи современным большим интересом к космологическим сценариям в моделях с бранами.

Научная и практическая значимость, перспективы исследований.

На настоящий момент нет ни теоретических ни экспериментальных данных, заставляющих сомневаться в правильности ОТО как классической теории. Она служит одним из главных инструментов для изучения проблем современной астрофизики, космологии и теоретической физики. Как следствие становится необходимым и развитие самой ОТО. Именно этому посвящена бблыиая часть диссертации, а определенным вкладом в развитие ОТО являются предложенные результаты. Большая часть результатов получена для произвольной 1)-мерной метрической модели гравитации, что очень важно в связи с актуальностью и перспективностью решения сопутствующих проблем.

Симметричный и канонический подходы являются самыми популярными для исследования возмущений в ОТО, а также являются самыми известными и имеют самую длительную историю в постороении законов сохраненя в ОТО. Канонический подход был использован Эйнштейном с самого создания ОТО. Однако лишь в 1997 году законы сохранения для произвольных фонов и произвольных векторов смещений в рамках канонического подхода были представлены Кацем, Бичаком и Линден-Беллом. Симметричный подход получил развитие с конца 40-х годов прошлого века. В результате нашего исследования на основании симметричного подхода, начатого нами в кандидатской диссертации и оконченого в настоящей работе, программу построения полевой формулировки ОТО следует считать завершенной. Построены законы сохранения для самых

общих ситуаций, разрешены неопределенности.

Изначально канонический и симметричный подходы имеют вполне различные обоснования. Наши результаты показывают, что метод Бе-линфанте в ОТО является „мостом" между этими двумя исторически различными подходами для самых общих фонов и векторов смещений и буквально превращает законы сохранения канонического подхода в законы сохранения симметричного подхода, т.е., мы связали оба подхода в единый.

Таким образом, ОТО предсталена в новой точной, и теперь завершенной теоретико-полевой форме со всеми важными для полевой теориии атрибутами описанными выше. Та же самая программа была представлена для произвольной метрической теории в различных измерениях.

Новые научно-теоретические результаты уже были использованы в качестве следующих приложений:

• для исследования конкретных моделей, таких как решения для черных дыр, замкнутый мир Фридмана, решение Швацшильда-анти-де Ситтера в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Боне;

• для исследования асимптотически плоского пространства-времени, представляющего островные системы как на пространственной, так и на изотропной бесконечности;

• для исследования возмущений на фоне решения Фридмана с различными знаками кривизны;

• в построении квантовой механики с неклассическим гравитационным самодействием, в рамках которой проанализированы некоторые модели инфляции.

Это позволяет сделать вывод о больших возможностях развитого нами метода в последующих приложениях.

Выражение токов через дивергенции от суперпотенциалов дает связь между описанием локальных возмущений и построением глобальных и квазилокальных сохраняющихся величин для них, выраженных через поверхностные интегралы. Именно это дало возможность построить интегральные связи на фридмановском фоне для космологических возмущений. Универсальность новых законов сохранения открывает перспективу подобных исследований с другими фонами, такими как (анти-)де ситтеровский, с другими векторами смещений.

В связи с недавним открытием ускоренного расширений Вселенной большую популярность в космологии приобретают исследования с теориями гравитации отличными от ОТО. В частности, это разнообразные метрические теории, многомерные теории. Наши законы сохранения построенные для произвольной полевой теории с успехом могут быть использованы в описании возмущений во многих из них.

Полученные нами глобальные и квазилокальные сохраняющиеся величины, выраженные через поверхностные интегралы, имеют прямую связь с результатами многих современных теоретических методов. Предполагается исследовать ее, в результате чего ожидается взаимное развитие каждого из подходов.

Детально разработанная техника калибровочных преобразований ока-

\

залась очень продуктивной. Результаты, полученные в для асимптотически плоского пространства-времени на пространственной бесконечности в значительной степени получены благодаря ее использованию до второго порядка по возмущениям включительно. Предполагаются аналогичные исследования на изоторопной бесконечности, где будет исследован вопрос о наислабейших условиях падения для гравитационных потенциалов, а также ожидается получить полезные результаты, связанные с проблемой супертрансляционной неопредленности.

Представляется полезным развивать в космологии стройную систему

исследования калибровочных свобод не только в линейном, но и следующих порядках по возмущениям. Недавно для возмущений на фридманов-ском фоне в линейном приближении без разложения на гармоники и без стандартного разложения на пространственно-скалярные, _-векторные и -тензорные части была найдена калибровка, в которой система сцепленных уравнений разделяется на отдельные уравнения для каждой из компонент. Наш подход описывает эти результаты существенно проще и яснее, чем в оригинальном изложении. Более того, ожидается, что с использованием техники наших калибровочных преобразований такое разделение будет получено в квадратичном и следующих порядках.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах 1) ГА-ИШ МГУ; 2) ИЯИ РАН; 3) ВНИИМС; 4) Меж-университетского центра по астрономии и астрофизике, Пуна, Индия; 5) Национального университета в Чунли, Тайвань; 6) Университета Миссури-Колумбии, штат Миссури, США; а также на Российских и Международных конференциях:

1. „8-я Российская гравитационная конференция" (Пущино, 1993);

2. „Международная конференция по гравитации и космологии - 95 (ICGC95)" (Пуна, Индия, 1995);

3. „Международная конференция по общей теории относительности памяти Марселя Гроссмана - 8 (MG8)" (Иерусалим, Израиль, 1997);

4. „Международная конференция по общей теории относительности и гравитации - 15 (GR15)" (Пуна, Индия, 1997);

\

5. „Международная конференция по физической интерпретации релятивистской теории - VI (PIRT-VI)" (Лондон, Англия, 1998);

6. „10-я Российская гравитационная конференция" (Владимир, 1999);

7. „Ломоносовкие чтения" (Москва, ГАИШ МГУ, 1999);

8. „Международный семинар по гравитации и космологии в честь проф. Дж. Каца" (Иерусалим, Израиль, 1999);

9. „Международный семинар по геометрической физике" (Чинчжу, Тайвань, 2000).

10. „Международная конференция по общей теории относительности и гравитации - 16 (GR16)" (Дурбан, Южная Африка, 2001).

11. „Международная конференция по гравитации и астрофизике - 2001 (ICGA-2001)" (Москва, РУДН, 2001).

12. „Международная конференция по общей теории относительности и гравитации - 17 (GR17)" (Дублин, Ирландия, 2004).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 26 работ, приведенных в конце автореферата, 22 из них — в ведущих отечественных и зарубежных рецензируемых журналах, 4 — это [17, 18, 23, 24] — в рецензирумых сборниках. Из 26-ти работ 13 выполенено без соавторов. Слелано более десяти научных докладов на Российских и-Между народных конференциях, большинство из которых отражено в тезисах этих конференций. *

Вклад автора в проведенное исслледование.

Все объявленные 7 пунктов результатов получены непосредственно автором диссертации, благодаря его идеям и с помощью рассчетов, проведенных непосредственно им. Если они относятся к совместным работам, то получены с его доминирующим участием. Таким образом, результаты некоторых совместных работ не полностью вошли в диссертацию. Теперь, более конкретно, отметим участие автора диссертации в

совместных работах. Первая работа [1] выполнялась под руководством Л. П. Грищука, и, соответственно, идея и контроль за направлением исследования принадлежат ему. Автору диссертации принадлежат фактически все рассчеты, и несколько небольших идей. Идея работы [2] принадлежит совместно Л. П. Грищуку и автору, рассчеты в основном сделаны автором. Идея работы [3] и рассчеты в основном принадлежат сискателю. Результаты относящиеся к работам [4, 5] получены совместно с А.Д.Поповой в равной мере. Мы включаем работы [9, 10, 12, 13] в список работ автора диссертации, поскольку в-них автор принимал активное участие, используются методы разработанные в диссертации, чем были продемонстрированы их большие возможности. Однако, идеи и результаты этих 4-х статей принадлежат в большей части А. Д. Поповой, поэтому они не включены в результаты вынесенные на защиту в настоящей диссертации. В работе [15] как ее идея, так и ее исполнение в основном принадлежат соискателю. В совместных работах [17, 19], идея построить новый суперпотенциал и непосредственно его открытие принадлежат соискателю. Построение новых интегральных связей относится к работе [19] и выполнено в равной мере совместно с Дж. Кацем. Исследование на изоторопной бесконечности также относится к работе [19] и выполнено только соискателем. Из совместной работы [20] использована лишь та часть, идея которой и ее выполнение принадлежат соискателю, за исключением решения проблемы вложенния, которая была решена совместно с Д. Баскараном.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из 8 Глав, из которых 6 — основные, а первая и последняя — это Введение и Заключение, соответственно. Главы делятся на Разделы, а Разделы на Пункты. Также диссертация содержит Оглавление и Список литературы, включающий 473 наименования. Содержание

диссертации изложено на 375 страницах, включая 8 рисунков на 8-ми страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Изложение диссертации построено в соответствии с логикой вычислений, со связью предшествующих результатов с оригинальными, полученными соискателем. Поэтому последовательность получения результатов в диссертации не всегда совпадает с последовательностью результатов вынесенных на защиту.

В Главе 1, Введении, излагается мотивация исследования, которая во многом основывается на том, что в релятивистской астрофизике и космологии один из основных методов — это изучение возмущений на фоне известных классических решений ОТО. Дается общий обзор работ, начиная с работ Эйнштейна, по законам сохранения для возмущений в ОТО. При этом каждая Глава, а также некоторые из Разделов имеют свои собственные конкретные обзоры. Во второй части дается постановка задач, результаты вынесенные на защиту и их краткое обсуждение. Также приведены основные обозначения, которые используются в диссертации.

В Главе 2 представлен симметричный подход для построения точной теории возмущений в произвольно искривленном фоновом пространстве-времени в приложении как к ОТО, так и к произвольной .О-мерной метрической теории. В Разделе 2.1 дается подробный обзор развития симметричной возмущенной формулировки ОТО. В Пунктах 1 и ¡1 — обзор ранних работ, в Пункте 111 особое внимание уделяется результатам Дезера 1970 года. В Пунктах IV и V кратко представлены основные выводы наших работ, которые обобщают результаты Дезера на произвольно искривленное фоновое пространство-время, и которые изложены в нашей кандидатской диссертации и защищены в 1988 году. В Пунктах К'

и V также обсуждаются различные принципы построения симметричной полевой формулировки ОТО. В Разделе 2.2 дается построение возмущенной формулировки ОТО с помощью разбиения метрических плотностей \/—дд1П/ и материальных полей в обычной геометрической формулировке ОТО на заданные (фоновые) и динамические (возмущепнные) части. В Пункте 1 сформулирован принцип построения динамического (для возмущений) лагранжиана, в Пункте получены уравнения Эйнштейна в обобщенной полевой формулировке. В Пункте рассмотрены дифференциальные законы сохранения для различных вариантов фонового пространства-времени, а в Пункте ¡V проанализированы свойства калибровочных преобразований, которые даны как в полном (точном) виде, так и в линейном и квадратичном порядках по возмущениям. В Пункте V исследована возможность построения различных вариантов полевых теорий для разбиения различных метрических переменных, таких как д Я1*" 1 у/~9ЯЦ1/ и Т-Д- • В Разделе 2.3 построение ОТО в теоретико-полевой форме осуществляется с позиций калибровочного подхода, аналогичного подходу в калибровочных теориях типа Янга-Миллса. В Пункте I даются краткие обзор калибровочных теорий гравитации вообще и обсуждение калибровочного подхода к ОТО, а также постановка задач Раздела. В Пункте и разработан метод локализации векторов Киллинга фонового пространства-времени, аналогичный локализации обычных параметров какой-либо калибровочной группы, и в Пункте 515 с его помощью построена полевая формулировка ОТО, как калибровочная теория. Обсуждение результатов этого построения дается в Пункте гу. В Разделе 2.4 с помощью введения метрики фонового пространства-времени, мы находим новые возможности (и осуществляем их) для построения ковариантной модифицированной теории гравитации Эйнштейна, где космологическая постоянная возникает как константа интегрирования.

В Главе 3 исследуется асимптотически плоское пространство-врем я

на пространственной бесконечности, соответствующее островной системе. В Пункте 1 Раздела 3.1 дается краткий обзор работ по исследованию этой модели. В Пункте ¡1 дается мотивация эффективного использования в этих исследованиях методов полевого подхода в ОТО, и в Пункте 111 — описание проблем в определении интеграла центра масс в различных подходах. В Разделе 3.2 рассматривается островная система в рамках лагранжева подхода. В Пункте 1 даются наипростейшие определения в рамках полевого подхода, исследуется требование инвариантности относительно преобразований Пуанкаре. В Пункте п в фоновом пространстве Минковского даются стандартные определения интегралов движения, построенных с использованием дифференциально сохраняющихся токов. В Пункте ш анализируются простейшие условия падения потенциалов с точки зрения сходимости интегралов движения, затем эти условия уточняются. В Пункте ¡V найдена максимально слабая асимптотика для калибровочных преобразований (и, как следствие, для возмущений), при которой интегралы движения остаются калибровочно инвариантными. Для исследования углового момента и момента Лоренца необходимо было использовать второй порядок калибровочных пребразований. Также найдена наислабейшая асимптотика для потенциалов, сохраняющая значение интеграла действия и ее связь с той, которая следует из анализа интегралов движения. В последнем Пункте V этого Раздела наш

метод исследования и полученные результаты сравниваются с метода-

\

ми и результатами предшественников. В Разделе 3.3 островные системы изучены с помощью гамильтонова подхода. В Пункте 1 на основе теоремы Нётер представлена связь между каноническими сохраняющимися величинами (которые прямо связаны с гамильтоновыми) и симметричными сохраняющимися величинами (которые здесь относятся к лагран-жеву подходу) в произвольной полевой теории. В Пункте п анализируется поведение на бесконечности материальных переменных. В Пункте

111 представлена наислабейшая асимптотика для фазовых переменных, конструируются гамильтоновы интегралы движения, показывается, что они для этой асимптотики сходятся и их значения совпадают с соответствующими интегралами движения в лагранжевом описании. В Пункте ¡V обсуждается требование инвариантности относительно преобразований Пуанкаре в различных определениях асимптотического поведения потенциалов островной системы. Наконец, в Пункте V конструируются калибровочные преобразования для фазовых переменных, демонстрируется инвариантность интегралов движения относительно этих преобразований и обсуждается проблема так называемой супертрансляциошюй инвариантности на пространственной бесконечности. В Разделе 3.4 сравниваются определения квазилокальной энергии и интеграла центра масс для островной системы в определениях Брауна-Йорка соответственно с энергией Арновитта-Дезера-Мизнера и интегралом центра масс Бига-О'Мёрхайи. Все эти подходы основаны на классической гамильтоновой (канонической) ОТО. Но так или иначе в них используется плоское фоновое 3-пространство или плоская фоновая 3-метрика. Это дало нам возможность использовать технику калибровочных преобразований полевого подхода, хотя здесь — трехмерных. В Пункте 1 обсуждаются причины, по которым в исследованиях асимптотически плоского пространства-времени на пространственной бесконечности отдается предпочтение интегралу центра масс в структуре момента Лоренца. Определяется и обсуждается поверхностный интеграл энергетического сектора в подходе Брауна-ЙЬрка, где особое внимание уделяется их определению фонового пространства с помощью изометрических вложений в него замкнутых 2-поверхностей. В следующем Пункте 11 приводится асимптотическое поведение метрики, данное Бигом и О'Мёрхайей, которое затем доопределяется, что необходимо для решения проблемы изометрического вложения с достаточной точностью. Далее, в Пункте ш, приведенывыражения

для интегралов энергии и центра масс, данные Бигом и О'Мёрхайей, и делается их сравнение с выражениями Арновитта-Дезера-Мизнера и Редже-Тейтельбойма. В Пункте ¡V выведены необходимые тождественные преобразования для подинтегральных выражений квазилокальных интегралов Брауна-Йорка, на основе которых, собственно, получены результаты Раздела 3.4. В Пункте V обсуждаются различный типы возмущений метрики, определенные по отношению к различного типа фоновым 3-пространствам. В Пункте VI решается задача изометрического вложения „слегка" (что соответствует использованию малого параметра) деформированной 2-сферы в плоское 3-пространство. Это позволяет найти связь между асимптотически декартовыми координатами в стан-дарных определениях асимптотически плоского пространства-времени и декартовыми координатами плоского пространства, определенного изометрическим вложением в него 2-сферы. В Пункте ун устанавливается связь между различными типами возмущений метрики в виде калибровочных преобразований. Затем устанавливается эквивалентность между интегралом энергии Арновитта-Дезера-Мизнера, интергалом центра

\

масс Бига-О'Мёрхайи, с одной стороны, и соответствующими квазнло-кальными величинами Брауна-Йорка, с другой.

В Главе 4 мы используем результаты Главы 2 для исследования решений Фридмана, Шварцшильда и Рейснера-Нордстрёма. Короткий Раздел 4.1 является иллюстративным, его результаты не входят в список вынесенных на защиту, поскольку они уже были защищены как результаты кандидатской диссертации автора. Но мы их приводим для целостности изложения этой Главы, и демонстрируем, что пространство Минковско-го, на фоне которого рассматривается полевая конфигурация соответствующая замкнутой модели Фридмана, — ненаблюдаемо. Но, па примере даже этой экзотической конфигурации отмечаем, что полевые методы оказываются полезными в определении энергии и других сохраняю-

щихся величин. В полевой формулировке нельзя придавать абсолютного значения фоновым характеристикам, точно также как в геометрической — выбору координат. В Разделе 4.2 мы иллюстрируем это на примере решения Шварцшильда, где не нарушая гармонических условий (гармоническую калибровку) улучшаем ее фиксацию. В Пункте 1 дается краткий анноне о применении гармонических координат в ОТО. В Пункте п, с требованием стационарности искомой метрики построены * новые гармонические координаты для решения Шварцшильда и показано, что в терминах координатного времени новой гармонической системы пробная частица беспрепятственно проникает под горизонт событий. В Пункте п переход от фоковских координат к нашим, а также переход между формулами для описания траекторий, интерпретируется в терминах калибровочных преобразований полевой формулировки ОТО. В Разделе 4.3 с использованием техники полевого подхода исследованы сохраняющиеся величины и распределения их плотностей (более подробно для энергии) в статических сферически симметричных решениях, соответствующих островным системам. В Пункте следуя Нарликару, описаны

некоторые методологические проблемы ОТО, имеющие место в рамках

\

обычной геометрической формулировки. В Пункте даются общие выражения для распределения энергии статической сферически симметричной конфгурации в полевой формулировке. Затем на основе общих формул в Пункте ш обсуждается распределение энергии для обычного тела с регулярным уравнением состояния и индуцированным этим телом гравитационным полем. В Пунктах ¡V и V построено распределение плотности энергии для полевых конфигураций представляющих черную дыру Шварцшильда в различных калибровках; в Пункте VI — для черной дыры Рейснера-Нордстрёма в стандартной калибровке. В Пункте ун наши результаты сравниваются с известными; найдено, что они качественно соответствуют друг другу.

Глава 5 представляет основные теоретические результаты соискателя в построении законов сохранения для возмущений в рамках ОТО, фигурирующих в них токов и суперпотенциалов. Мы завершаем многие ранние исследования в том смысле, что достигнуты максимальные обобщения и разрешены неопределенности. Сначала мы даем обширный обзорный материал, который разбиваем на три Раздела. В Разделе 5.1 представлены и описаны свойства наиболее известных псевдотензоров и суперпотенциалов в ОТО. Особое внимание уделяется величинам, соответствующим канонической процедуре Нётер: псевдотензору Эйнштейна (Пункт ¡), суперпотенциалам Толмена, Фрейда и Мёллера (Пункты 11, ¡Я и у). Обсуждаются проблема единственности в построении супсрпотен-циалов (Пункт IV); построение с помощью псевдотензоров и суперпотенциалов глобальных величин (интегралов движения) - Пункт у1; проблемы, возникающие из-за нековариантности псевдотензоров и некоторое способы их решения (Пункты уп и уш). В Пункте уШ также подробно рассматриваются суперпотенциалы Кбмара и Абботта-Дезера, которые прямо связаны с нашим собственным новым супсрпотенциалом, получеи-ным далее в Разделе 5.4. В Разделе 5.2 отдельно и подробно описываются законы сохранения (Пункт 1), суперпотенциал (Пункт и) и ток (Пункт ш), полученные Кацем, Бичаком и Линден-Беллом (КБЛ) в ОТО на произвольно искривленном фоне. С одной стропы, их работа важна для нас, поскольку фактически завершает построение законов сохранения с использованием канонического метода, начатое Эйнштейном и Фрейдом, максимально обобщая этот метод в ОТО. С другой стороны, наши собственные исследования в Разделе 5.4 используют как основу результаты КБЛ и развивают их. В Разделе 5.3 описан классический метод Белинфанте в произвольной полевой теории в пространстве Мипковско-го, который был предложен для симметризации канонического тензора эиергии-импулъса. Первоначально он был разработан, чтобы решить

проблему построения сохраняющегося тензора углового момента (Пункт

1). Мы даем также связь метода Белинфанте и метода Нётер в Пункте

11. В Разделе 5.4 процедура Белинфанте обобщается и используется для

„симметризации" тензора энергии-импульса в модели КБЛ. В Пункте I

дается обоснование использования метода Белинфанте и его обобщение.

В Пункте И с его использованием в модели КБЛ получены новые зако-

\

ны сохранения для „симметризованных" тока и суперпотенциала, свойства которых подробно описаны в Пункте ш. В Разделе 5.5 построены законы сохранения в рамках симметричной формулировки ОТО с метрическими возмущениями определенными как возмущения метрической плотности \J-gg11"- В Пункте 1 подробно сформулированы ранее не решенные проблемы симметричной возмущенной формулировки ОТО. В Пункте п с использованием техники КБЛ построено основное тождество (сильный закон сохранения) симметричного подхода. В Пункте ш, с использованием полевых уравнений, построены физически осмысленные слабые законы сохранения с соответсвующими сохраняющимися токами и суперпотенциалами. Это построение решает проблемы описанные в Пункте I. Результаты этих построений сравниваются с результатами применения процедуры Белинфанте к канонической модели КБЛ. Найдено, что соответствующие сохраняющиеся величины совпадают, если учесть полевые уравнения. В Разделе 5.6 решается проблема неопределенности симметричного подхода в зависимости от выбора метрических возмущений. В Пункте 1 построено семейство суперпотенциалов и законы сохранения соответствующие им на произвольно искривленном фоне для каждого из возможных определений возмущений метрических переменных. В Пункте п предложен критерий, в соответствии с которым из семейства построенных в Пункте 1 суперпотенциалов выбран единственный. Он оказался нашим новым суперпотенциалом, полученным в Разделах 5.4 и 5.5.

В Главе 6 мы используем в приложениях законы сохранения с новым суперпотенциалом и новым тензором энергии-импульса, построенными нами в Главе 5. В Разделе 6.1 новые дифференциальные законы сохранения используются для изучения линейных возмущений на фоне фридмановской геометрии с произвольным знаком кривизны. В подходе, развитом нами в Разделах 5.4 и 5.5 можно использовать произвольные векторы смещений. Здесь в качестве таковых используются конформные векторы Киллинга, более точно — их линейные комбинации. В обзорном Пункте 1 дается краткое описание конформных симметрий в геометрии Фридмана. В Пункте 11, с использованием новых законов сохранения, построены интегральные соотношения, то есть объемные интегралы от возмущений выраженные через поверхностные интегралы. Бблыная часть из этих соотношений, 14 из 15-ти, в калибровке „однородного хабблов-ского расширения" становится интегральными связями, где объемные интегралы только от материальных возмущений выражаются через поверхностные интегралы только от метрических возмущений. Линейные комбинации конформных векторов Киллинга играют роль связевых векторов; 6 из них — это обычные векторы Киллинга, для которых давно известно, что они могут играть роль связевых векторов; 4 комбинации оказываются векторами Трашен; а оставшиеся 4 комбинации оказываются новыми связевыми векторами с соответствующими новыми интегральными связями. В Пункте ш обсуждаются и интерпретируются результаты Пункта п. В Разделе 6.2 мы используем новые законы сохранения для исследования изолированных систем на изоторопной бесконечности. В Пункте 1 кратко описывается формализм, в рамках которого производятся рассчеты. Конкретные результаты, которые заключаются в построении энергии, импульса, углового и лоренцева моментов, и их потоков на нулевой бесконечности получены в Пункте п. Как оказалось, энергия, импульс и их потоки совпадают со стандартными, что является

важной проверкой наших результатов. (Что касается углового и лорен-цева моментов, то до сих пор нет результатов, которые можно было бы назвать стандартными.) В Пункте 111 рассчитываются полная энергия и ее поток на нулевой бесконечности с использованием известного суперпотенциала Абботта-Дезера, который отличается от нашего нового суперпотенциала начиная со второго порядка по возмущениям. Оказалось, что эти величины, посчитанные по формулам Абботта-Дезера не совпадают со стандартными. Утверждая, что суперпотенциал Абботта-Дезера не удовлетворяет одному из необходимых тестов, мы показываем явно, что для вычислений на нулевой бесконечности становится существенной разница во втором порядке по возмущениям.

В Главе 7 законы сохранения для возмущений в произвольно искривленном фоновом пространстве-времени с соответствующими токами и суперпотенциалами построены в произвольной D-мepнoй метрической теории гравитации. В Разделе 7.1 строятся канонические и Беликфанте сим-метризованые величины. В Пункте I определяется включение вспомогательной фоновой метрики. В Пункте ток и суперпотенциал построены с помощью процедуры Нётер. В Пункте ¿11 исследована проблема единственности этих обобщенных величин, на основании чего сделан вывод, что результаты КБЛ однозначно определены выбором лагранжиана и

N

процедурой Нётер. В Пункте ¡V к обобщенным каноническим величинам применена обобщенная процедура Белинфанте и получены соответствующие преобразованные законы сохранения, а также сделан вывод, что наши результаты Раздела 5.4 однозначно определены лагранжианом и объединенной процедурой Нётер-Велинфанте. В Разделе 7.2 построены суперпотенциалы и сохраняющиеся токи в рамках возмущенного симметричного подхода развитого в Пункте у! Раздела 2.2. В Разделе 7.3 полученные результаты используются в приложении к £>-мерной модели Эйнштейна-Гаусса-Боне. В Пункте 1 представлен Белинфанте симмет-

ризованый суперпотенциал. В Пункте рассчитана масса черной дыры Шварцшильда-анти-де Ситтера.

В Главе 8, Заключении, подводятся итоги, определяется научная и практическая ценность полученных результатов, обсуждается возможность их развития, и даются рекомендации для дальнейшего использования.

Список основных публикаций автора по теме диссертации

[1] L. P. Grishchuk, А. N. Petrov and A. D. Popova, "Exact theory of the (Einstein) gravitational field in an arbitrary background spacetime'"// Commun. Math. Phys., 94, 379 - 396 (1984).

[2] Л. П. Грищук, A. H. Петров, „Замкнутый мир и гравитационное поле"// Письма в АЖ, 12, 429 - 434 (1986).

[3] Л. П. Грищук, А. Н. Петров, „Гамильтоново описание гравитационного поля и калибровочные симметрии"// ЖЭТФ, 92, 9 - 18 (1987).

[4] А.Н.Петров, А.Д.Попова, „О точных динамических теориях действующих на заданном фоне"// Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 28, No. 6, 13 - 18 (1987).

\

[5] A. D. Popova and А. N. Petrov, "The dynamic theories Non a fixed background in gravitation"// Int. J. Mod. Phys. A, 3, 2651 - 2676 (1988).

[6] A. H. Петров, „Новые гармонические координаты для геометрии Шварцшильда"// Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 31, No. 5, 88 - 90 (1990).

[7] А. N. Petrov, "On the cosmological constant as a constant of integration"// Mod. Phys. Lett. A, 6, 2107 - 2111 (1991).

[8] A. N. Petrov, "New harmonic coordinates for the Schwarzschild geometry and the field approach"// Astronom. Astrophys. Trans., 1, 195 - 205 (1992).

[9] A.D.Popova and A.N.Petrov, "Nonlinear quantum mechanics with nonclassical gravitational self-interaction. II. Nonstationary situation"// Intern. J. Mod. Phys. A, 8, 2683 - 2707 (1993).

[10] A. D. Popova and A. N. Petrov, "Nonlinear quantum mechanics with nonclassical gravitational self-interaction. III. Related topics"// Intern. J. Mod. Phys. A, 8, 2709 - 2734 (1993).

[11] A.N.Petrov, "General relativity from 'localization' of Killing vector fields"// Class. Quantum Grav., 10, 2663 - 2673 (1993).

[12] A. N. Petrov and A. D. Popova, "Associated length and inflation in quantum mechanics with gravitational self-interaction"// Intern. J. Mod. Phys. D, 3, 461 - 483 (1994).

[13] A.N.Petrov and A.D.Popova, "The associated length and inflation in quantum mechanics with gravitational coupling"// Gen. Relat. Grav., 26, 1153- 1164 (1994).

[14] A. N. Petrov, "Asymptotically flat spacetimes at spatial infinity: The field approach and the Lagrangian description"// Int. J. Mod. Phys. D, 4, 451

- 476 (1995).

[15] A. N. Petrov and J. V. Narlikar, "The energy distribution for a spherically symmetric isolated system in general relativity"// Found. Phys, 26, 1201

- 1229 (1996); Erratum, Found. Phys, 28, 1023 - 1024 (1998).

[16] A. N. Petrov, "Asymptotically flat spacetimcs at spatial infinity: II. Gauge invariance of the integrals of motion in the field approach"// Int. J. Mod. Phys. D, 6, 239 - 261 (1997).

[17] А. N. Petrov and J. Katz, "Conservation laws for large perturbations on curved backgrounds"// Fundamental Interactions: From Symmetries to Black Holes, Eds.: J. M. Ftere, M. Henneaux, A. Sevrin and Ph. Spindel, (Universite de Bruxelles, Belgium 1999), p.p. 147 - 157.

[18] A. N. Petrov, "The Field Formulation of General Relativity"// Proceedings of "Physical Interpretations of Relativity Theory" {London: 11 - 14 September, 1998) volume - Late Papers, Ed.: M. C. Duffy (University of Sunderland, UK 2000), p.p. 187 - 200.

[19] A. N. Petrov and J. Katz, "Conserved currents, superpotentials and cosmological perturbations"// Proc. R. Soc. London A, 458, 319 - 337 (2002).

[20] D. Baskaran, S. R. Lau, and A. N. Petrov, "Center of mass integral in canonical general relativity"// Ann. Phys., 307, 90 - 131 (2003).

[21] A. H. Петров, „Возмущения в эйнштейновской теории гравитации: Сохраняющиеся токи"// Вестник Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия, No. 1, 18 - 22 (2004).

[22] А. Н. Петров, „Сохраняющиеся токи в D-мерной гравитации и космология с бранами"// Вестник Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия, No. 2, 10 - 12 (2004).

N

[23] A.N.Petrov, "General Relativity as a Field Theory on a Fixed Background and Massive Gravity"// in: Proceedings of Conference PIRT-IX, Volume 2 (London: 3 - 6 September, 2004), Ed. M. C. Duffy, PD Publications, Liverpool, 2005, p.p. 433 - 446.

[24] A. H. Петров, „Теоретико-полевая формулировка ОТО и гравитация при ненулевой массе гравитонов"// в сборнике Поиски механизма гравитации под редакцией М. А. Иванова и Л. А. Саврова, (Нижн. Новгород, 2004), стр. 230 - 252.

[25j A. N. Petrov, "The Schwarzschild black hole as a point particle"// Found. Phys. Lett. 18, 477 - 489 (2005).

[26] A. N. Petrov, "A note on the Deser-Tekin charges"// Class. Quantum Grav., 22, L83 - L90 (2005).

Типография ордена "Знак Почета" издательства МГУ 119992, Москва, Ленинские горы Заказ № 360 Тираж 100 экз.

1 Введение

1.1 Возмущения в гравитационных теориях, космологических и астрофизических исследованиях

1 2 Законы сохранения в ОТО и других метрических теориях.

Обзор

1 Проблема энергии в работах Эйнштейна . . 14 и Два направления в построении законов сохранения в ОТО. in Многообразие подходов

1.3 Мотивация и результаты исследования.

и Постановка задач и структура изложения . 31 iii Результаты, вынесенные на защиту .40 iv Обозначения .42

2 Теоретико-полевой подход в гравитации 45

2 1 Развитие полевой формулировки ОТО . . . 48

1 Геометрические и полевые теории.48 и Ранние возмущенные формулировки ОТО.48 in Формулировка Дезера.51 iv Обобщение модели Дезера .52 v Принципы построения.53

2 2 Точная теоретико-полевая формулировка ОТО и других метрических теорий гравитации .57

1 Динамический лагранжиан в ОТО . . 57 и Возмущенные уравнения Эйнштейна . . 61 ш Симметричный тензор энергии-импульса для возмущений в ОТО на различных фонах.63 iv Калибровочные преобразования и их свойства . 65 v Различные определения метрических возмущений в ОТО.75 vi Возмущенная формулировка произвольной метрической теории.78

2 3 Полевая формулировка ОТО из „локализации" фоновых векторов Киллинга.82

1 Теория гравитации как калибровочная теория . 82 и „Локализация" векторов Киллинга .84 ш Полное действие.90 iv Обсуждение . .91

2 4 Космологическая постоянная как константа интегрирования 94

3 Асимптотически плоское пространство-время в ОТО 101

3 1 Краткий обзор и обоснование для исследования . .101

1 Актуальность модели.101 и Полевой подход в исследованиях изолированных оитем . . .103 in Интеграл центра масс в различных определениях 106

3 2 Лагранжево описание в терминах полевой формулировки 109 1 Определение асимптотически плоского пространствавремени .109 и Глобальные сохраняющиеся величины.114 in Условия четности.119 iv Калибровочная инвариантность интегралов движения .121 v Обсуждение результатов . . . 127

3 3 Гамильтопово описание в терминах полевой формулировки 135

1 Канонические и симметричные токи и соответсвующие интегралы.136 п Асимптотика материальных переменных .138 in Глобальные сохраняющиеся величины.141 iv Пуанкаре-инвариантность и выбор асимптотического поведения.146 v Калибровочная инвариантность интегралов движения .149

3.4 Интеграл центра масс в канонической ОТО . . . 155 i Момент Лоренца в полевых теориях в пространстве Минковского и в гравитации .155 ii Асимптотическое поведение метрики.158 in Интеграл Бига-О'Мерхайи и асимптотические сценарии . .159 iv Основные тождества.161 v Построение hy и различные координаты.166 vi Изометрическое вложение в плоское пространство „слегка" деформированной 2-сферы . .168 vii Калибровочные преобразования и эквивалентность интегралов энергетического сектора гамильтониана 174

Точные сферически симметричные решения в ОТО. Проблемы интерпретации 179

4 1 Ненаблюдаемость фона в полевой формулировке . . . 183

4 2 Решение Шварцшильда в гармонических координатах и полевой подход . . .188 i О гармонических координагах в ОТО . . . 188 и Новые гармонические координаты для решения Шварцшильда . . . 189 in Траектории частиц и калибровочные преобразования^ 4.3 Распределение энергии в изолированных системах . . . 196 1 Проблемы интерпретации шварцшильдова решения 196 и Плотность энергии для статического сферически симметричного решения Общие выражения . . . 202 in Обычное изолированное тело . . 203 iv Решение Шварцшильда . .206 v Черная дыра Шварцшильда как точечная частица 210 vi Решение Рейснера-Нордстрёма. 217 vii Обсуждение . . . . 223

Суперпотенциалы в ОТО 229

5 1 Классические псевдотензоры и суперпотепциалъг обзор, свойства, проблемы . .233

1 Псевдотензор Эйнштейна .233 и Суперпотенциал Толмена.234 ill Суперпотенциал Фрейда . . . 235 iv Вопрос единственности и процедура Нетер . . . 236 v Супернотенциал Мёллера.237 vi Роль суперпотенциалов в построении глобальных величин . . . . . 239 vii Проблемы псевдотензоров и возможный способ решения . . .240 viii Другие суперпотенциалы .242

5 2 Обобщенный суперпотенциал Фрейда.250

1 Законы сохранения Каца-Бичака-Линден-Белла . 251 и Суперпотенциал Каца-Крушциела. . . . . 252 ill Сохраняющийся ток КБЛ.253

5 3 Классический метод Белинфантс. 255

I Угловой момент в полевой теории и процедура Белипфаите . . 255 и Теорема Нетер и метод Белинфанте . . 256 5 4 Процедура Белинфанте в ОТО на произвольно искривленном фоне .260

1 Обоснование использования метода Белицфанте в модели КБЛ.260 и Приложение метода Белинфанте к модели КБЛ . 262 ш Свойства новых законов сохранения.263

5.5 Обобщенные законы сохранения с симметричным тензором энергии-импульса .266

I Проблемы симметричной возмущенной формулировки ОТО .266

II Метод Нетер и суперпотенциалы в симметричном подходе. .268 in Слабые законы сохранения, сравнение с результатами метода Белинфанте. . . 272 5 6 Неопределенность Боульвара-Дезера в определении суперпотенциалов и ее разрешение. 276

1 Семей( тво сунернотенциалов в симметричном подходе276 и Критерий для выбора суперпотенциала . . . 279 б Некоторые применения новых законов сохранения 282

6.1 Линейные возмущения в космологических моделях Фридмана . .286

1 Конформные векторы Киллинга для решения Фридмана . . .286 и Интегральные соотношения для возмущений . . . 290 ill Использование и интерпретация новых интегральных соотношений . . .293

6 2 Изолированные системы на изотропной бесконечности 296

1 А( имптотическая метрика Ньюмена-Упти . 296 и Интегралы движения на нулевой бесконечности . 299 ш Суперпотенциал Абботта-Дезера на нулевой бесконечности .302

7 Законы сохранения в произвольной D-мерной метрической теории гравитации 305

7 1 Канонические и Белинфанте симметризованные сохраняющиеся величины. Проблема единственности.306

1 Включение вспомогательной метрики .306 и Обобщенные канонические ток и суиерпотенциал 308 ill Проблема единственности в определении канонических токов и суперпотенциалов . . . . 310 iv Обобщенная процедура Белинфанте.313

7 2 Сохраняющиеся величины в симметричной формулировке возмущенной теории .316

7 3 Приложения в D-мерной модели Эйнштейна-Гаусса-Боне 319 1 Белинфанте симметризованный суперпотенциал 319 п Масса черной дыры Шварцшильда-анти-де Ситтера 321

8 Заключение 324

Эти выводы справедливы и для определения суперпотенциала (7 1.14). В принципе, без изменения тока г" к суперпотенциалу в (7.1.13) может быть добавлена произвольная величина ДФаг(£), лишь бы дивергенция от нее тождественно обращалась в нуль: дт = 0. Однако, эта добавка никак не связана с лагранжианом и процедурой Нётер Как ее добавили, точно также легко уничтожить С другой стороны, в определении (71 14) все члены определены лагранжианом и описанной процедурой — их невозможно откинуть Поэтому мы делаем утверждение Суперпотенциал Фпг(£) в (7.1.14) в смысле процедуры Нетер определяется единственнным образом лагранжианом теории.

Наконец, очевидно, что утверждения о единственности тока (7 1.9) и суперпотенциала (7 1.14) легко рапростраияются на сохраняющиеся величины для возмущений в выражениях (7.1.17) - (7 1.19) основанных на лагранжиане (71 16):

• Ток и суперпотенциал в (7.1.19) в смысле процедуры Нетер определяются единственнным образом лагранжианом теории.

Но даже если двусмысленность в суперпотенциале используется, то она не опасна для построения глобальных сохраняющихся величин Так, тождество дТ ^ДФаг(£) j = 0 в свою очередь говорит о том, что добавка должна быть выражена как ДФа/?(£) = 57jm/?7(£), где <9/?7jq^7(£) = 0. Сочетание требования ковариантности и необходимости использовать частные производные для построения законов сохранения и глобальных величип приводит к тому, что величина антисимметрична по всем индексам j"'?7(£) = Теперь перепишем закон сохранения (7 1 19) в измененном виде j^dpljtfiO + d^it) .

Это дает возможность построить сохраняющиеся величины аналогично (5.2 4). т=k 4&(е)Л=i [ jf"(€)+eu е^й)) dsn.

В силу теремы Стокса последний член не дает вклада в интеграл и, таким образом, не изменяет величину V(£)

Единственность токов и супер потенциалов в определении КБЛ: Вернемся к вопросу Ь) в конце Раздела 5.2 о единственности величин в определении КБЛ, основанных на их лагранжиане (5.2.1) Сначала мы пере

А А писываем ла1ранжиан Гильберта £н = -1/2/сЛ, который входит как часть в (5 2 1) в явно „ковариантизованном" виде tH = t ~ + ~ + ^^ ' (7Л"20) то есть в виде (71 2) Для него вычисляем все коэффициенты (7.1 4) - (7 1 6, а затем ток (7 19) и суперпотенциал (7.1 9) Для вычисления вклада от djkv используем общие формулы (7 1 15) Затем с использованием фоновой редукции окончательно приходим к формуле типа (7.1 19). В результате оказывается, что все величины в этой формуле являются соответствующими величинами в формуле КБЛ (5.2 3) Из сказанного остается сделать вывод

• Токи и суперпотенциалы КБЛ определены однозначно в смысле процедуры Нетер лагранжианом модели (5 2.1).

В силу замечания на стр 309 о независимости результатов построения обобщенного тока (7 1.9) и суперпотенциала (7 1.14) от выбора переменных Qb утверждаем, что

• Результаты КБЛ не зависят от выбора динамических переменных в ОТО, таких как gg, др1/, и т д.

Этот вывод уже использовался в Разделе 5 6, чтобы разрешить неопределенность в выборе метрических возмущений.

В заключение сделаем замечание. Суперпотенциал (7.1.14), соответву-ющий лагранжиану (7.1 20) преобразуется к форме без фоновой метрики собственно, как и сам лагранжиан (7.1.20)], и оказывается в явном виде супериотенциалом Комара (5.1.48) как это и должно быть. Тогда очевиден вывод

• Суперпотенциал Комара (5 1 48) определен однозначно в смысле процедуры Н(тер лагранжианом Гильберта iv Обобщенная процедура Белинфанте

Симметризованные" ток и суперпотенциал: Представим ток (7.1.9) в видег" = — и«а + пГРя\0П) ? + m?Dr? + Zfo] . (7 1 21)

Как прежде Z-член, обращающается на фоновых векторах Киллинга в нуль, и здесь имеет вид- ^ = <g°»zTp + пахтР (2D{fzxT) - DazflTgXa) . (7.1.22)

Определим поправку Белинфанте по стандартным правилам (5 3 16)'

S^P = -m^g^ - mt~gv]X + mfg^ (7 1 23) и добавим к обеим частям равенства (7 1 13) величину DT (saTp^. В результате получим обобщенный закон сохранения, соответствующий комбинации процедур Нётер и Белинфанте1

7.124)

313

Преобразованный ток приобретает вид

1nb = где Z-член й* + - DVSZ) f + Щ)] , (7 1 25) (mTfgaX ~ дХтпРх ~ тГ/А) %

7.126) а преобразованный суперпотенциал: 2 \dv (inH" + п^9т]Х9Ра)\ С ~ ltT]XDxHa • (7 1.27)

Как и должно быть в силу определения процедуры Белинфанте, ток (7 1 25) не содержит явно спинового члена Законы сохранения теперь определяются единым обобщенным „симметризованным" тензором энергии-импульса 4

Ц*В)0 = -(<£ + пТ^ф - ДЛ) • (7 1 28)

Как и прежде, Z-член (7 1 26) обращается в нуль на киллинговых векторах фона.

Вклад от дивергенций в Лагранжиане. Напомним, что вклады в ток и суперпотенциал [полученные методом Нетер] от дивергенции в лагранжиане Д(,iiv)L — dvPv соответствуют формулам (7.1 15) Поправка Белинфанте (7 1 23) для добавки Д^^т"7 имеет также простую форму

Применим метод Белинфанте к

1в + Д(Ав)?в = - (й« + A{dlv)u°

- (та/ + A[dlv)m«T) Drf - Щ

7.1 29) DT[

Ф- + Д(<МФ

О]

7 1.30)

В силу определения процедуры исчезнет спиновый член А в силу значений (7.1 15) и (7 1 29) исчезнут и совместные поправки.

A{dlv)K-DT(A{dlv)SaT%a) = О, 0. (7.131)

• Таким образом, комбинированная процедура Нетер и Белинфанте приводят к дивегентно независимым величинам в законах сохранения Иначе, форма сохраняющихся тока и суперпотенциала не зависят от граничных условий при варьировании лагранжиана.

Этот результат обосновывает утверждение (ix) в Разделе 5 4В работе [469] уже было отмечено, что метод Белинфанте, примененный как к усеченному лагранжиану Эйнштейна, так и к ковариантному лагранжиану Гильберта, коюрые различаются па дивергенцию, дает один и тот же результат. Фактически мы обобщаем этот результат на произвольные теории ( произвольно ш кривленными фонами

Зависимость от коэффициентов "п"-типа- Заметим, что суперпотепциал (7.1.27) зависит только от коэффициентов типа"п", определенных в (7 1.6) Это хорошо соотносится с известными фактами Например, более простая теория с лагранжианом (5 3.9) не содержит "^'-коэффициентов — результат такой, что после приложения метода Белинфанте скоррети-ровапный суперпотенциал в (5 3 17) обращается в нуль В более сложной модели Меллера [431], где ОТО представлена с помощью тетрад, но без вторых производных в ковариантном лагранжиане, также отсутствуют "п"-коэффициенты Результат тот же. Белинфанте поправка дает нулевой (уперпотеициал В этом смысле модель с КБJI более предпочтительна Лагранжиан Lq в (5 2 1) содержит вторые производные от фоновой метрики, в результате "^'-коэффициенты не равны нулю, и КБЛ приходят к супериотеициалу типа (7 1.27), который приводит к законам сохранения удовлетворяющим всем естественным тестам.

Законы сохранения для возмущений на фиксированном фоне Фоновая редукция тождества (7.1.24), вычитание редуцированного тождества из (7 1 24) и использование динамических и фоновых уравнений (2 2 71) и (2 2.73) приводит все вместе к слабому закону сохранения для возмущений

25«) = ОД5Г«) = DT - , (7.1 32) который обобщает (5 4.3) в ОТО Свойства представленные выше основанные на формулах (7 1 21) - (7.1 27) без труда переносятся на окончательный слабый закон сохранения для возмущений (7 1 32) и величины в нем

Проблема единственности Примем в рассчет утверждения, сделанные относительно обобщенных токов и суперпотенциалов Jq и Jqt в Пункте in этого Раздела Также учтем, что поправка Белинфанте (7 1.23) и ее фоновая редукция тоже определены однозначно лагранжианом (7.1 2) Тогда очевидно, что

• в смысле процедуры Нетер-Белинфанте ток и суперпотенциал в (7.1 32) определяются единственно лагранжианом модели.

Этот вывод важен по следующей причине Подстановка в формулы (7 1.23) - (7 1 27) конкретного лагранжиана КБЛ \Lq в (5.2.1)] дает точно наши результаты предложенные в Разделе 5.4 А это означает, что результаты Раздела 5 4 однозначны в смысле процедуры Нетер-Белинфанте.

7.2 Сохраняющиеся величины в симметричной формулировке возмущенной теории

В этом коротком Разделе мы развиваем результаты Пункта vi Раздела 2.2, чтобы построить токи и суперпотенциалы для произвольной теории в рамках симметричного подхода, обобщая результаты Дезера-Текина

289] - [291]. Здесь, так же как во второй части Пункта vi Раздела 2 2 и в работах [289] - [291], мы ограничиваем себя вакуумным фоном. При этом мы активно используем анализ вспомогательного лагранжиана Д в (2 2 80). Кроме того, чтобы было удобно сравнивать результаты с работами [289] - [291] мы используем определение метрических возмущений в виде ha = h^ = gpv - д^.

Сначала в лагранжиане С\ полагаем д v —> gfll/. Затем делаем преобразование типа (7 12) t\ —* £ic(Qb; DaQB; DpDaQB), где Qb = {hpvi v } и строим соответствующие коеффициенты (71 5) и (7.1 б). Затем, возвращаясь к фоновой метрике gpv —> др1Л получаем простые выражения тГ = 2Бд [ ^, пйг = -2^-v • (7 2-1)

Подставляя их в выражение (7.1.14) получаем суперпотенциал• (f< + ? + leDXrtT]X - btT]XDxe. (7 2 2)

В силу наших пос троений этот суперпотенциал является источноком для

А Л А тока (2 2 83) —./"(£) = [минус возникаеи в силу того, что Jf в (2 2 83) соответствует —ia в (719), а знак суперпотенциала соответствует знаку в (7 1 14)] Использование фоновых уравнений (2 2.73) и полевых уравнений (2 2 81) преобразует ток (2 2 83)' — Jf и приводит (2 2 82) к слабому закону сохранения1 i'm = К'оф - (Av) + £С9рЛ^±- ■ (7.2 4)

Таким образом, действительно, в рамках симметричного подхода мы получили ток обусловленный симметричным тензором энергии-импульса Как и должно быть в вакууме, на киллинговых векторах фона tj^Aj,) = 0, что следует из (7 2.3) и (7.2 4). И, конечно, закон сохранения (7 2 3) представляется с помощью суперпотенциала: im = d^r (7 2 5)

Этот закон сохранения обобщает соответствующий закон (5.5 25) в ОТО Если ограничиться моделями гравитационных теорий, которые рассматривают Дезер и Текин [289] - [291], то величины в законе сохранения (7 2 5) точно переходят во все их соответствующие выражения

Формулы этого Раздела без труда могут быть переписаны и для произвольных ha из набора типа (2.2 66) для различного выбора метрических перемпных (2 2 63) Но тогда также, как и в ОТО [Пункт v Раздела 2 2], возникнет неопределенность Боульвара-Дезера при определении полного симметричного тензора энергии-импульса и суперпотенциала Если в ОТО мы смогли разрешить ее сравнивая симметричный и Белинфанте симметризованный суперпотепциалы (Раздел 5 6] В общем случае этот критерий не будет работать Действительно, суперпотенциал симметричного подхода типа (7 2 2) всегда линеен по метрическим возмущениям. В то же время Белинфанте симметризованный супериотенциач (7.1.32) в общем случае не будет линейным для возмущений в модели Эйнштейна-Гауи а-Боне, см ниже (7 3 5) в Пункте i Раздела 7 3

Наконец, все законы сохранения (7.1.19), (7 1 32) и (7.2 5), для величин в которых вводим обобщающие символы /11 = {jg, 2q, I^q*)} и = {JqU, Zq, позволяют построить глобальные сохраняющиеся величины

V(0 = jT dP-Wit) = 4 dStP® . (7 2.6)

Здесь E — пространственная (D — 1)-гипсрповерхпость я0 = const и дТ, — ее замкнутая (D - 2)-мерЕ1ая граница N

Заключение

На настоящий момент нет ни теоретических ни экспериментальных данных, заставляющих сомневаться в правильности ОТО как классической теории Она служит одним из главных инструментов для изучения проблем астрофизики, космологии и теоретической физики. Как следствие становится необходимым и развитие самой ОТО Именно этому посвящена большая часть диссертации, а определенным вкладом в развитие

ОТО являются предложенные результаты Большая часть результатов получена для произвольной £)-мерной метрической модели гравитации, что очень важно в связи с актуальностью и перспективностью решения сопутствующих проблем.

Симметричный и канонический подходы являются самыми популярными для исследования возмущений в ОТО, а также являются самыми известными и имеют самую длительную историю в постороении законов сохраненя в ОТО Канонический подход был использован Эйнштейном с самою создания ОТО. Однако законы сохранения для произвольных фонов и произвольных векторов смещений [не только векторов Киллинга фона] в рамках канонического подхода были представлены Кацем, Бичаком и Линден-Беллом лишь в 1997 году Симметричный подход получил развитие с конца 40-х годов прошлого века Наше исследование симметричного подхода, опираясь на результаты предшественников, начато в кандидатской диссертации „Лаграпжево и гамильтоново описание релятивистского гравитационного поля" защищенной в мае 1988 года В настоящей дис сертации npoi рамму построения симметричной возмущенной формулировки ОТО следует считать также завершенной Изначально оба подхода имеют вполне различные обоснования. Наши результаты показывают, что метод Белинфанте является „мостом" между этими двумя подходами для самых общих фонов и векторов смещений Он буквально превращает законы канонического подхода в законы сохранения симметричного подхода, и, тем самым, связывает оба подхода в единый В результате ОТО предсталена в новой точной, и теперь завершенной, форме теории полей [возмущений] в произвольно искривленном фоновом пространстве-времени По существу [по своим предсказательным способностям] новая формулировка полностью эквивалентной ОТО в обычном представлении Новая формулировка обладает всеми важными для полевой теории атрибутами, действием, уравнениями движения, тензором энергии-импульса, внешними и внутренними симметриями. Определена связь между калибровочными преобразованиями полевого подхода и координатными — геометрического, а также между калибровочными преобразованиями и выбором фона, что очень важно для использования в конкретных приложениях Построены новые ковариантные законы сохранения, участниками которых являются дифференциально сохраняющиеся токи выраженные через суперпотснциалы Это дает связь между описанием локальных возмущений и построением глобальных сохраняющихся величин для них, выраженных через поверхностные интегралы. Последние, в свою очередь, фактически являются квазилокальными величинами и дают возможность найти связь наших результатов и результатами многих современных теоретических подходов

Большинство из результатов полученных в рамках ОТО обобщены для произвольных D-мерных метрических теорий гравитации. Построена основанная на лагранжевом принципе действия точная теоретико-полевая формулировка возмущенных моделей. Для возмущений построены (охраняющиеся токи и соответствующие суперпотенциалы, исследованы их свойс тва

Научная и практическая ,значимость Новые теоретические результаты уже были использованы в качестве следующих приложений.

• для ис следования конкретных моделей, таких как решения для черных дыр, замкнутый мир Фридмана, решение Швацшильда-анти-де Ситтера в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Боие,

• для исследования асимптотически плоского пространства-времени, представляющего островные системы как на пространственной, так и на изотропной бесконечности;

• для исследования возмущений на фоне решения Фридмана с различными знаками кривизны;

• в построении квантовой механики с пеклассическим гравитационным самодействием, в рамках которой проанализированы некоторые модели инфляции.

Это позволяет сделать вывод о больших возможностях развитого нами метода в последующих приложениях

Перспективы исследования' Выражение токов через дивергенции от суперпотенциалов дает связь между описанием локальных возмущений и построением глобальных сохраняющихся величин для них, выраженных через поверхностные интегралы Именно это дало возможность построить интегральные связи на фридмановском фоне для космологических возмущений Универсальность новых законов сохранения открывает перспективу подобных исследований с другими фонами, такими как де сит-теровский, с другими векторами смещений.

В связи с недавним открытием ускоренного расширения Вселенной, а также с весьма интенсивным построением и изучением моделей с бра-нами становятся совершенно необходимыми как в космологии, так и в теоретической фишке исследования в рамках теорий гравитации отличных от ОТО В частности, это разнообразные многомерные метрические теории Наши законы сохранения построенные для произвольной полевой теории с успехом могут быть использованы в описании возмущений во многих из них, и мы планируем эти исследования.

Глобальные сохраняющиеся величины, выраженные через поверхностные интегралы, фактически являются квазилокальными величинами и дают возможность находить связь наших результатов с ^результатами многих современных теоретических подходов Такие исследования предполагаются, в результате чего ожидается взаимное развитие каждого из подходов

Детально разработанная техника калибровочных преобразований оказалась очень продуктивной Результаты, полученные в для асимптотически плоского пространства-времени на пространственной бесконечности в значительной степени получены благодаря ее использованию до второго порядка по возмущениям включительно Предполагаются аналогичные исследования на изоторопной бесконечности, где будет исследован вопрос о наислабейших условиях падения для гравитационных потенциалов, а также ожидается получить полезные результаты, связанные с проблемой супер трансляционной неопредленности

Представляется полезным развивать в космологии стройную систему исследования калибровочных свобод не только в линейном, но и следующих порядках по возмущениям. Недавно [286, 287] для возмущений на фридмаиовском фоне в линейном приближении без разложения на гармоники и без стандартного разложения на пространственно-скалярные, -векторные и -тензорные части была найдена калибровка, в которой система сцепленных уравнений для возмущений разделяется па отдельные уравнения для каждой из компонент. Наш подход описывает эти результаты существенно проще и яснее, чем в оригинальном изложении Более того, ожидается, что с использованием техники наших калибровочных преобразований такое разделение будет получено в квадратичном и следующих порядках. Такие исследования уже ведутся

Вклад автора в проведенное исслледование Все объявленные 7 пунктов результатов получены непосредственно автором диссертации, благодаря его идеям и с помощью рассчетов, проведенных непосредственно им Если они относятся к совместным работам [а их 13 из 26-ти включенных в Автореферат диссертации], то нолучены с его доминирующим участием Таким образом, результаты некоторых совместных работ не полностью вошли в диссертацию Теперь, более конкретно, отметим участие автора диссертации в совместных работах Первая работа [195] выполнялась под руководством J1 П.Грищука, и, соответственно, идея и контроль за направлением исследования принадлежат ему Автору диссертации принадлежат фактически все рассчеты, и несколько небольших идей Идея работы [201] принадлежит совместно Л "П. Грищуку и автору, и рассчеты в основном сделаны автором Идея работы [202] и рассчеты в основном принадлежат автору. Результаты относящиеся к работам [203, 204] получены совместно с А Д. Поповой в равной мере. Мы включаем работы [208, 209, 211, 212] в список работ автора диссертации, поскольку в них автор принимал активное участие, используются методы разработанные в диссертации, чем были продемонстрированы их большие возможности. Однако, идеи и результаты этих 4-х статей принадлежат в большей части А Д Поповой, поэтому они не включены в результаты вынесенные на защиту в настоящей диссертации В работе [214] как ее идея, так и ее исполнение в основном принадлежат соискателю В совместных работах [216, 218], идея построить новый суиерпотенциал и непосредственно его открытие принадлежат соискателю Построение новых интегральных связей относится к работе [218] и выполнено в равной мере совместно с Дж Кацем Исследование на изоторопной бесконечности также относится к работе [218] и выполнено только соискателем Из совместной работы [219] использована лишь та часть, идея которой и ее выполнение принадлежат соискателю, за исключением решения проблемы вложенния, которая была решена совместно с Д Баскараном

В заключение автор диссертации выражает благодарность сотрудникам отдела релятивичстской астрофизики ГАИШ МГУ, организаторам и участникам семинара памяти A J1 Зельманова в ГАИШ, а также организаторам и участникам других семинаров, где были доложены результаты диссертации, за обсуждение и критические замечания Автор выражает особую благодарность Профессору, Зав. отделом релятивичстской астрофизики ГАИШ МГУ, Николаю Ивановичу Шакуре за инициирование в написании этой работы, а также Марии Семеновне Григорян за существенную техническую помощь

1. в. А Фок, Теория пространства, времепии и тяготения, (Москва*Гостехиздат, 1961).

2. Л Д Ландау и Е М Лифшиц, Теория поля, (Москва: Наука, 1988)

3. Ч Мизнер, К Торн, и Дж Уилер, Гравитация, (Москва Мир, 1977)

4. К Уилл, Теория и эксперимент в гравитационной физике (Москва* Эпсргоатомиздат, 1985).

5. Н Биррелл и П Девис, Квантованные поля в искривленном про- странстве-времени, (Москва- Мир, 1984).

6. Б. С Дсвитт, Динамическая терия групп и полей, (Москва, Наука, 1987)

7. Е Лифшиц, „О гравитационной устойчивости рас1ниряю1цсгося ми- ра"// ЖЭТФ, 16, 587 (1946)

8. Л П. Грищук, „Усиление гравитационных воли в изотронном ми- ро'7/ ЖЭТФ, 67, 825 (1974)

9. J М Bardeen, "Gauge-invariant cobmological perturbationb"// Phys Rev D, 22, 1882 (1980)

10. G F R Ellib к M.Bruni, "Covananl and gauge-invariant approach to cobmological density fluctuations"// Phys Rev. D, 40, 1804 (1989)330

11. L. P Grishchuk, "Density perturbations of quantum-mekhanical origin and amsotropy of the microwave background"// Phys. Rev D, 50, 7154(1994)

12. L. R. W Abramo, R H. Branderberger & V. F. Mukhanov, "Energy- momentum tensor for cosmological perturbations"// Phys Rev D, 56,1804 (1997)

13. V. F Mukhanov, H A. Feldman & R. H Branderberger, "Theory of cosmological perturbations"// Phys. Rep, 215, 203 (1992)

14. В H Лукаш, „Рождение звуковых воли в изотропной Вселенной"// ЖЭТФ, 79, 1601 (1980).

15. I. М Khalatmkov, А Yu Kamenshchik к А. А. Starobinsky, "Comment about quasi-isotropic solution of Einstein equations near cosmologicalsingularity"// Class. Quant. Grav, 19, 3845 (2002).

16. I M Khalatmkov, A Yu. Kamenshchik, M Martellini & A. A. Staro- binsky, "Quasi-isotropic solution of the Emstein equations near acosmological singularity for a two-fluid cosmological model"// JCAP,0303, 001 (2003).

17. A D. Chcrnin, "Physical vacuum and cosmic coincidence problem"// , 7, 113(2002)

18. R Gambini к Л. Pullin, "The large cosmological constant approximation to classical and quantum gravity model examples"//Class Quant. Crav., 17, 4515 (2000).

19. W M Jin, "Quantization of Dirac fields in static spacetimes"// Class Quant Grav, 17,2949(2000).331

20. P М Alsing, J Evans & К К. Nandi, "The phase of a quantum mechanical particle m curved bpacetimc"// Gen. Rel. Grav, 33, 1459(2001) ^

21. S.Hollandb, "Noether Chargeob for Self-mteractmg Quantum Field Theories in Curved Spacetimes with a Killing-vector"// Annalen Phys.,10, 859 (2001)

22. N G Phillips & В L. Hu, "Noise Kernel in Stochastic Gravity and Stress Energy Bi-Tensor of Quantum Fields in Curved Spacetimes"// Phys.Rev D, 63, 104001 (2001)

23. V Cardoso к J. P S. Lemos, "Quasi-Normal Modes of Schwarzschild Anti-De Sitter Black Holes Electromagnetic and GravitationalPerturbations"// Phys. Rev D, 64, 084017 (2001)

24. S Bose & L P Grishchuk "On the observational determination of squeezing in relic giavitational waves and primordial densityperturbations"// Phys. Rev D, 66, 043529 (2002).

25. S Hollands к W Ruan, "The State Space of Perturbative Quantum Field Theory in Curved Spacetimes"// Annales Henri Poincare, 3, 635(2002)

26. A 0 Barvinsky, A Yu Kameshchik к I P Karmazin, "One loop quantum cosmology. Zeta function technique for the Hartle-Hawkingwave function of the universe"// Ann. Phys., 219, 231 (1992)332

27. A О Barvinsky, A Yu Kamebhrhik к I. V. Mishakov, "Quantum origin of the early inflation univerbe"// Nucl Phys. B, 491, 387 (1997)

28. R. Maiikin, T Laas & R Tammelo, "A new approaeh to electromagnetic wave tailb on a curved bpacetime"// Phys. Rev D, 63, 063003 (2001)31[ H Nikolic, "A general-c'ovariant concept of particles in curvedbackground"// Phys. Lett B, 527, 119 (2002)

29. V N Lukash, E V. Mikheeva, "Lambda-mflation and CMB anibotropy"// hit J. Mod. Phys A, 15, 3783 (2000)

30. J Lebgourgues, D.Polarski, A A Starobinsky, "On the Pha^se-Space Volume of Primordial Cobmological Perturbations"// Class. QuantumGrav, 14, 881 (1997)

31. J Lebgourgues, D Polarbki, A A. Starobinsky, "GDM models with a BSI stephke primordial spectrum and a cobinological conbtant"// Mon NotRoy. Astron Soc, 297, 769 (1998).333

32. C.Kicfcr, D Polarski, A. A Starobinsky, "Quantum-to-clasbical tran- bition for fluctuationb in the early Uiiiverfec"// Int J. Mod. Phys. D, 7,455 (1998).

33. N.Baitolo, E Komatsu, S. Matarrebe and A Riotto, "Non-Gausbianity from Inflation Theory and Obbervation"// Phys Rep , 402 103 (2004)

34. V A Rubakov & M.E Shaposhnikov, "Do we hve inbide a domain iv"// Phys Lett. B, 125, 136 (1983)

35. M Vib&ei, "An exotic (1аьь of Kalu7a-Klein models"// Phys Lett. B, 159, 22 (1985)

36. L Randall k, R Sundrum, "An Alternative to Compactification"'/ Phys. Rev Lett, 83, 4690 (1999)

37. H. A Chambhn & H S. Reall, "Dynamic Dilatonic Domain Walls"// Nud. Phys. B, 562, 133 (1999).

38. P. Kraus, "Dynamics of Anti-de Sitter Domain Walls"// JHEP, 9912 (1999) Oil.

39. S C. Devis, "Generahsed Israel Junction Conditions foi a Gauss-Bonnet Brane World"// Phys. Rev Д 67, 024030 (2003).

40. В A Рубаков, „Вольише и бесконечные дополнительные измере- ния"// УФН 171, 913 (2001).334

41. К А Bronnikov, М. А Grebenmk, V D Ivabhchuk & V N. Melnikov, "Integrable Multidirnenbional Cobmology for Intersecting р-Вгапеь"//Grav Cosmol ,3, 105 (1997)

42. M A Grebeniuk, V. D Ivashchuk & V. N Melnikov, "Multidimenbional Cosmology for Intersecting p-Branes with Static Internal Spaces"//Grav Cosmol, 4, 145 (1998)

43. V. D Ivashchiik & V N Melnikov, "Billiard Representation for Multidimensional Cosmology with Intersecting p-branes near theSingularity"// J. Math Phys , 41, 6341 (2000).

44. К A Bronnikov, H Dehnen & V N. Melnikov, "On a general class of brane-world black holes"// Phys Rev. Д 68, 024025 (2003).

45. S.Nojiri, S D Odmtsov к S Ogushi, "Friedmann-Robertson-Walker brane cosmological equations from the five-dimensional bulk (A)dSblack hole"// Int J. Mod Phys A17 4809 (2002).

46. N. Deruelle к J Madorc, "On the quasi-lmearity of the Emstein 'Gauss- Bonnet' gravity field equations"// {Prepimt gr-qc/0305004).

47. N Deruelle, T Dolezel к J Katz, "Perturbations of brane worlds"// Phys. Rev. D, 63, 083513 (2001).

48. S.Mukohyama, "Integro-differential equation forx brane-world cosmological perturbations"// Phys. Rev D, 64, 064006 (2001).

49. К Koyama к J. Soda, "Bulk Gravitational Field and Cosmological Perturbations on the Brane"// Phys. Rev. D, 65, 023514 (2002).

50. D. Langlois, L Sorbo к M. Rodriguez-Martmez, "Cosmology of a brane radiating gravitons into the extra dimension"// Phys Rev. Lett., 89,171301 (2002)

51. E Kritis, G.Koifans, N.Tctradis, T N.Tomaras к V Zarikas, "Cosmological evolution with brane-bulk energy exchange"// JHEP,0302, 035 (2003)

52. P.Binetruy, M.Buchcr к Carvalho, "Models for the Brane- Bulk Interaction- Towards Understanding Braneworld CosmologicalPerturbations"// Phys. Rev. D, 70, 043509 (2004).

53. G.Koifans, G Panotopoulos & T N Tomaras, "Brane-bulk energy exchange a model with the present universe as a global attractor"//JHEP, 0601, 107 (2006).

54. A. A. Starobmsky, S Tsujikawa к J Yokoyama, "Cosmological pertur- bations from multi-field inflation in generalized Einstein theories"//Nud Phys. B, 610, 383 (2001).

55. С Cartier, J С Hwang к E J Copeland, "Evolution of cosmological perturbations in non-singular string cosnologies"// Phys Rev. D, 64,103504 (2001)

56. А.Д Чернин, „Космический вакуум"// УФЯ171, 1153 (2001).

57. S Kopeikin к I Vlasov, "Parametrized Post-Newtonian Theory of Reference Fiames, Multipolar Expansions and Equations of Motion inthe N-body Problem "// Phys. Rep. 400, 209 (2004).

58. H R Beyer, "On the stability of the Kerr metric"// Commun. Math. Phys, 221, 659 (2001).

59. M Campanelh, G.Khanna, P Laguna, J.Pullin к M P.Ryan, "Perturbations of the Kerr spacetime in horizon penetratingcoordinates"// Class. Quant. Grav, 18, 1543 (2001)

60. M Karlovini, "Axial perturbations of general spherically symmetric spacetimes"// Class. Quant Crav, 19, 2125 (2002)72[ К Glampedakis к N. Andersson, "Scattering of scalar waves by rotatingblack holes"// Class. Quant. Grav., 18, 1939 (2001)

61. К Roszkowski, "Diffusion of the scalar field energy due to the backscattenng off Schwarzschild geometry"// Class. Quant Crav., 18,2305 (2001)

62. H Koyama к A Tomimatsu, "Asymptotic tails of massive scalar fields in Schwarzschild background"// Phys. Rev. D, 64, 044014 (2001).

63. S. Hod, "Wave Propagation in Nontnvial Backgrounds"// Class Quant Grav, 18, 1311 (2001).

64. E. Malec к G Schaefer, "Can Schwaizbchildean gravitational fields bupprcbb gravitational waves?"// Phys Rev. D, 64, 044012 (2001)

65. J Karkowbki, E. Malec & Z. Swierczyn&ki, "Backbcattering of electromagnetic and gravitational waves off S( hwarzbchildgeometry?"// Class Quant Grav, 19, 953 (2002)

66. J Birak, "Black Holes under External Influence"// Pramana, 55, 481 (2000).

67. J Bicak & T Ledvinka, "Electromagnetic fields around black holes and Meissner efi^ ect"// Nuovo Cim B, 115, 739 (2000).

68. С Kiefer, "Hawking radiation from decoherence"// Class Quant. Grav., 18, L151 (2001).

69. S Q Wu к X. Cai, "Asymmetry of Hawking Radiation of Dirac Particles in a Charged Vaidya - de Sitter Black Hole"// Int J TheorPhys., 40, 1349 (2001).

70. S Q Wu & X Cai, "Hawking Radiation of Dirac Particles in a Vanable- таьь Kerr Space-time"// Gen. Rel. Grav., 33, 1181 (2001)

71. E Sorkin к T Piraii, "Formation and Evaporation of Charged Black Holes"// Phys Rev D, 63, 124024 (2001).\S6. R Schutzhold, "On the Hawking effect"// Phys Rev. D, 64, 024029(2001)

72. J Matyjasek, "Vacuum polarization of massive scalar fields in the spacetime of the electrically charged nonlinear black hole"// Phys. Rev.D, 63, 084004 (2001)

73. V B. Bezerra, R. M T. Filho, G. Grebot к М Е Х . Guimaraeb, "Vacuum Polarization m the Spacetime of a Scalar-Tensor CosmicString"// Mod Phys. Lett Л, 16, 1565 (2001)

74. E Sorkm к T Piran, "Effects of Pair Creation s on Charged Gravitational Collapse"// Phys Rev D, 63, 084006 (2001)

75. W. M Jm, "Scattering of massive Dirac fields on the Schwarzschild black hole spacetime"// Class. Quant Grav , 15, 3163 (1998).

76. Л П Грип1ук, В М Липунов, К А Прохоров, М.Е Прохоров, В Сатипракат, „Гравитационно-волновая астрономия, в ожида-нии источников, которые будут детектироваться первыми"// УФН,171, 3 (2001).

77. В S. Sathyaprakash, "The gravitational wave symphony of the Universe"// Pramana, 56, 457 (2001)

78. V B.Ignatiev, A.G.Kuranov, K.A Postnov к М.Е.Prokhorov, "Gravitational wave background from coalescing compact stars ineccentric orbits"// Mon Not. Roy. Astron Soc, 327, 531 (2001).

79. К Alvi, "Energy and angular momentum flow into a black hole m a binary"// Phys. Rev. D, 64, 104020 (2001)

80. L Blanchet, G Faye, В R Iyer к В. .loguet, "Gravitational-Wave Inspiral of Compact Binary Systems to 7/2 Post-Newtonian Order"//Phys Rev Д 65, 061501 (2002)339

81. L Bldiichet, В R Iyer & B.Joguet, "Gravitational waves from lnbpiralling compact binaricb. Energy flux to third pobt-NewtoriianOlder"// Phyb Rev. D, 65, 064005 (2002)

82. L. Gualtieri, E.Berti, Л.А.Ропь, G.Mmmtti к V Fcrfan, "Gravita- tional bignalb emitted by a point таьь orbiting a neutron star' aperturbative approach"// Phys Rev. Д 64, 104007 (2001)

83. S A Hughes, "Evolution of circular, non-equatorial orbits of Kerr black holes due to gravitational-wave emission. II. Inspiral trajectories andgravitational waveforms"// Phys. Rev D, 64, 064004 (2001)

84. C. Caprini к R Durrer, "Gravitational wave production* A strong constraint on primordial magnetic fields"// Phys Rev. D, 65, 023617(2002)

85. R Maartens, С Tsagas к Ungarelli, "Magnetized gravitational waves"// Phys Rev D, 63, 123507 (2001).

86. S A. Kayward, "Gravitational-wave dynamics and black-hole dynamics second quasi-spherical approximation"// Class Quant. Grav , 18, 5561(2001)

87. E В Segalis к A On, "Emi&sion of gravitational radiation from ultra- relativistic sources"// Phys. Rev D, 64, 064018 (2001)

88. N. Aiidersson к KD. Kokkotas, "The r-mode instability in rotating neutron stars"// Int. J. Mod Phys. D, 10, 381 (2001).

89. H.-A Shinkai к S A. Hayward, "Quasi-spherical approximation for rotating black holes"// Phys Rev D, 64, 044002 (2001).

90. D I. Jones, "Gravitational waves from rotating neutron stars"// Class. Quant. Grav, 19, 1255 (2002).340

91. Т. Damour к А. Vilenkin "Gravitational wave bursts from cusps and kinks on cosmic strings"// Phys Rev D, 64, 064008 (2001)

92. Г. A Алексеев, „Точные pemeFiHH в Общей теории относительно- сти"// Труды Матем Инст им В А Стеклова (МИЛН), 176, е4,211 (1987)

93. ГА.Алексеев, „Новая форма интегральных уравнений для ин- тегрируемых редукций уравнений Эйнштейна"// ТМФ, 129, 184(2001)

94. G А Alekseev & J В Griffiths, "Infinite hierarchies of exact solutions of the Einstein and Einstem-Maxwell equations for interacting wavesand inhomogeneous cosmologies"// Phys. Rev. Lett., 84, 5247 (2000).

95. G A Alekseev & J В Griffiths, "Solving the characteristic initial value problem for colliding plane gravitational and electromagnetic waves"//Phyb Rev Lett, 87, 221101 (2001)

96. J Garecki, "Do gravitational waves carry energy-momentum and angular momentum?"// Anmlcn Phys , 11, 442 (2002).

97. M Sharif, "Momentum Imparted by Gravitational Waves with Spherical Wavefronts"// Nuovo Cim. B, 116, 1311 (2001).

98. M. Sharif, "Energy and Momentum of a Class of Rotating Gravitational Waves"// Int J. Mod Phys A, 17, 1175 (2002).

99. A Эйнштейн. „К общей теории относительности"// Собрание на- учных трудов т. I, (Москва* Наука, 1965) 425 Sitzungsber. preuss.Akad. Wiss , 44, 2, 778 (1915)

100. A. Эйнн1тейн, „К общей теории относительности (Донолнение)"// Собрание научных трудов т. I, (Москва* Наука, 1965) 435.Sitzungsber. preubs Akad Wiss , 46, 2, 799 (1915).341

101. A Эйнш1ер1н. „Уравнения гравитационного поля"// Собрание на- учных трудов т I, (Москва- Наука, 1965) 448 Sitzungsber. premsAkad Жг55,48, 2, 844(1915)

102. А Эйнштейн, „Принцин Гамильтона и общая теория относитель- ности"// Собрание научных трудов т. I, стр. 524 (Москва, Паука1965) Sitzunqsher. preuss Akad. Wiss., 2, 1111 (1916)

103. A Эйнштейн, „Приближенное интегрирование уравнений гравита- ционного ноля"// Собрание научных трудов т. I,(Москва, Наука1965) 514. Sitzunqsber preuss Akad. Wiss., 1, 688 (1916)

104. A Эйнштейн, „О гравитационных волнах"// Собрание научных трудов т I, (Москва Наука, 1965) 631. Sitzungsber preuss Acad.Wiss., 1, 154 (1918)

105. A. Эйнштейн, „Закон сохранения энергии в общей теории относи- тельности"// Собрание научных трудов т. I, (Москва, Наука* 1965)

106. Sitzungsber. preuss Akad Wiss, 1, 448 (1918)

107. A. Эйнштейн, „Замечания к работе Э. Шредингера 'Компоненты энергии гравитационного поля' "// Собрание научных трудов т. I,(Москва, Паука- 1965) 626 Phys. Z, 19, 115 (1918)

108. Р Толмен, Относительность, термодинамика и космология (Москва, Наука. 11974).

109. Von Ph Freud, "Uber die ausdrucke der gesamtenergie und des gebamtimpul&eb enib materiellen sybtems ш der allgememenrelativitatbtheorie"// Ann of Math., 40, 417 (1939).

110. A Л.Зельманов, ,Дронометрические инварианты и сонутствую- щие координаты в общей теории относительности"// Доклады АНСССР, 107, 815 (1956)М'1

111. A Л Зельманов, В. Г. Агаков, Элементы общей теории относи- тельности (Москва. Наука, 1989)

112. R Arnowitt, S. Deser к W. Misner, "Coordinate lnvariance and energy exprebbions in general realativity"// Phys. Rev., 122,997 (1961).

113. P. Арновитт, С Дезер, К. В. Мизнер, „Динамика общей терии от- носительное ти"// Эйнштейновский сб'ориик (Мое ква* Наука, 1967)233

114. Т Regge к С Teitelboim, "Role of surface integrals in the Hamiltonian formulation"// Ann Phys , 88, 286 (1974)

115. R.Penrose, "Quasi-local mass and angular momentum in general relativity"// Proc R. Soc Л, 381, 53 (1982)

116. К P Tod, "Penrose's quasi-local mass and the lsoperimetric inequality for static black holes"// Class. Quantum Grav, 2, L65 (1985)

117. О М Moreschi, "Supercentre of mass system at future null mfinity"// Class Quantum Grav, 5, 423 (1988).

118. J N Goldberg, "Conberved quantities at spatial infinity. The Репгоье potential"// Phys. Rev. Д 41, 410 (1990).

119. J.D Brown к J.W.York, "Quasilocal energy and conserved chargeb derived from the gravitational action"// Phys. Rev. D, 47, 1407 (1993)

120. S R Lau, "Canonical variables and quabilocal energy in general relativity"// Class Quantum Crav, 10, 2397 (1993).

121. T Shiromizu к M Sugai, "Local energy conditions and asymptotic conditions"// Class Quantum Grav, 11, L103 (1994).

122. E A Martine/, "Quabilocal energy for a Kerr blac к hole"// Phys Rev D, 50, 4920 (1994)

123. S R Lau, "Spinors and reference point of quabilocal energy"// Class Quantum Crav, 12, 1063 (1995)

124. W Kummer к P Widerin, "Conserved quasilocal quantities and covariant theories in two dimensions"// Phys Rev. D, 52, 2064 (1995)

125. S R Lau, "New variables, the gravittaional action and boosted quasilocal stress-energy-momentum"// Class. Quantum Crav , 13,1509(1996)

126. S W Hawking к С J. Hunter, "The gravitational Hamiltonian in the presence of non-orthogonal boundaries"// Class. Quantum Crav, 13,2735 (1996)

127. V. Frolov kE A. Martinez, "Action and Hamiltonian for eternal black holes"// Class. Quantum Crav, 13, 481 (1996)344

128. D E Creighton & R B. Mann, "Quabilocal formalism for dilaton gravity with Yang-Mills fields"// Field Institute Communications, 15, 205(1997)

129. W Kummcr & S R Lau, "Boundary conditions and quasilocal energy in the canonual formulation of all 1 + 1 models in gravity"// AnnPhy,, 258, 37 (1997).

130. J D Brown, S R Lau & J W.York, "Energy of isolated systemsat retarded times ль the null limit of quasiloeal energy"// Phys Rev. D,55, 1977 (1997)

131. I S Booth к R В Mann, "Moving Observes, Non-orthogonal boundaries, and quasilocal energy"// Phys. Rev D, 59, 064021(1999)

132. J D Brown, S R Lau & J.W York, "Canonical quasilocal energy and small spheres"// Phy, Rev. D, 59, 064028 (1999).

133. S. R Lau, "Lightcone reference for total gravitational energy"// Phys Rev Д 60, 104034 (1999).

134. R..]. Epp, "Angular momentum and invariant quasilocal energy m general relativity"// Phys Rev D, 62, 124018 (2000)

135. LS Booth, 'Metric-based Hamiltomans, null boundaries, and isolated horizons"// Clabs Quantum Grav., 18, 4239 (2001)

136. W М Tulczyiew, "Geometric foundations of Lagrangian mechanics"// Proceedings of the IUTAM-ISIMM, Simposmm on "ModernDevelopments m Analytical Mechanics" eds S Benenti,M Francaviglia, Л Lichnerowicz (Tecnoprmt, Bolonga, 1983) 419

137. J Kijowbki &; W M. Tiilczyiew, A simplectic framework for field theories, Lecture Notes in Phys., v 107 (Springer, Berlin, 1979)

138. J Kijowbki, "A&ymptotic degrees of freedom and gravitational energy"// Proceedings of Joumees Relativistes (Torinto, 1983), eds •S Benenti, M Ferraris, M. Francaviglia (Pitagora Editrice, Bolonga,1983) 205.

139. J Jezierski к J Kijowski, "The localization of energy m gauge field theories and in linear gravitation"// Gen. Relat. Giav, 22,1283 (1990).

140. J. Kijowski, "A simple derivation of Canonical structure and quasi-local Hamiltonian in general relativity"// Gen Relat. Grav., 29, 307 (1997)

141. J Jezierski, "Energy and angular momentum of the weak gravitational waves on the Schwarzschild background — quasilocal gauge-invariantformulation"// Gen. Relat. Grav., 31, 1855 (1999).

142. Л M Nebter, "'Covariant Hamiltonian for gravity theories"//Morf Phys 1.ett. A, 6, 2655 (1991).

143. C.-M Chen, J. M.Nester &: R-S Tung, "Quisilocal energy-momentum for geometric gravity theories"// Phys. Lett. A, 203, 5 (1995).

144. C.-xM. Chen and Л M Nester, "Quisilocal quantities for GR and other gravity theories"// Class Quantum Grav., 16, 1279 (1999).

145. C.-C Chang, Л.М. Nester к C.-M Chen, "Pseudotensors and quasilocal energy-momentum"// Phys Rev Lett, 83, 1897 (1999).346

146. С-M.Chen and J. М Nester, "A symplectic Hamiltonian derivation of quihilocal eneigy-momentuni for GR"// gr-qc/0001088 (2000).

147. J. M Xester, "1ь there really a problem with the teleparallel theory"^"// Quantum Grav, 5, 1003 (1988)171j W.-H. Cheng, D -Ch Chern к Л. М. Nester, "Canonical analysis of one-parameter teleparallel theory"// Phys Rev. D, 38, 2658 (1988)

148. J M Nester, "Positive energy via the teleparallel Hamiltonian"// Int J. Mod Phys A, 4, 1755 (1989).

149. J M Nester, "A gauge condition for orthonormal three-frames"// J. Math Phys , 30, 624 (1989)

150. J M Nester, "Special orthonormal frames"// J. Math Phys., 33, 624 (1992)

151. J M Nester & H -J Yo, "Symmetric teleparallel general relativity"// gr-qc/9809049

152. R. S Tung к J M. Nester, "The quadratic spinor Lagrangian is equivalent to the teleparallel theory"// Phys Rev D, 60, 021501 (1999)

153. J.W Maluf, 'Hamiltonian formulation of the teleparallel description of geneial relativity"// J. Math Phys, 35, 335 (1994)

154. J W Maluf, "Localization of energy in general relativity"// J Math Phys , 30, 4242 (1995)

155. J.W Maluf, "The Hamiltonian constraint in the teleparallel equivalent of general relativity"// Gen Relat Grav, 28, 1361 (1996).

156. J W. Maluf к J. F. da Rocha-Neto, "General relativity on a null surface. Hamiltonian formulation in teleparallel geometry"Gen Relat Grav , 31, 173 (1999)347

157. J W Maluf к .1 F. da Rocha-Neto, "Boiidi energy in the teleparallel equivalent of general relativity"// J Math Phys., 40, 1490 (1999).

158. R A Asaaeson, "Gravitation radiation in the limit of high frequency. I The linear approximation and geometrical optics , II Non-linear termsand the effective strebs tenbor"// Phys. Rev, 166, 1263, 1271 (1968).

159. В Julia & S Silva, "On first order formulation of supergravities"// Preprint: JHEP 0001 (2000) 026, hep-th/9911035.

160. M. Henneaux, B. Julia к S. Silva, "Noether superpotentials m supergiavitieh"// Nucl Phys B, 563, 448 (1999).348

161. S Silvd, Black hole entropy and thermodynamics from symmetries"// Class Quantum Grav., 19, 3947 (2002).

162. В Julia к S Silva, "Currents and siiperpotentials in classical invariant theories I. Local results with applications to perfect fluids and generalrelativity"// Class Quantum Grav, 15, 2173 (1998)

163. J Katz, Л Bioak к D Lynden-Bell, "Relativistic conservation laws and integral constraints in cosmology"// Phys Rev. D, 55, 5759 (1997).194] S Desei, "Self-interaction and gauge lnvariance"// Gen Relat Grav.,1, 9 (1970)

164. L P Gnshchuk, A N Petrov, A D Popova, "Exact theory of the (Ein- steiii) gravitational field in an arbitrary background\ space-time"//Commun Math. Phyb., 94, 379 (1984).

165. D C. Boulware & S Deser, "Classical general relativity derived from quantum gravity"// Ann. Phys , 89, 193 (1975)

166. F. .1. Belinfante, "On the spin angular momentum and mesons"// Physica, 6, 887 (1939)

167. J.Trafechen, "Constraints on stress-energy perturbations in general relativity"// Phys. Rev Д 31, 283 (1985).

168. В Mashhoon к L. P. Gnshchuk, "On the detection of a stochastic background of gravitational radiation by the Doppler tracking ofspacesraft"// Astrophys J., 236, 990 (1980).

169. Y J Ng &; H van Dam, "A small but nonzero cosmological constant"// Int J Mod Phys D, 10, 49 (2001).

170. Л. П Грищук, A H. Петров, „Замкнутый мир и гравитационное по- ле"// Пггама в АЖ, 12, 429 (1986).349

171. Л П Григцук, А Н. Петров, „Гамильтоново описание гравитацион- ного ноля и калибровочные симметрии", ЖЭТФ, 92, 9 (1987).

172. А Н Петров, А Д Понова, „О точных динамических теориях дей- ствующих на заданном фоне"// Вестник Московского университе-та Серия S. Физика Астрономия, 28, No б, 13 (1987).

173. А D Popova & А N Petrov, "The dynamic theories on a fixed background in gravitation"// Int J. Mod. Phys A, 3, 2651 (1988)

174. A H Петров, „Повые гармонические координаты для геометрии Шва.)ЦН1ильда"// Вестник Московского университета Серия 3.Физика Астрономия, 31, No 5, 88 (1990)

175. А N Petrov, "On the cosmological constant as a conbtant of integration"// Mod. Phys Lett. A, 6, 2107 (1991).

176. A N Petrov, "New harmonic coordinates for the Schwarzschild geometry and the field approach"// AstroHom Astrophys. Trans, 1,195 (1992).

177. A D Popova к A N Petrov, "Nonhnear quantum mechanics with nonclassical gravitational self-interaction П Non&tationary situation",Inte77i J. Mod Phys. Л, 8, 2683 (1993).

178. A. D. Popova & A. N. Petrov, "Nonlinear quantum mechanics with nonclassical gravitational self-interaction. П1. Related topics". InternJ. Mod Phys A, 8, 2709 (1993).

179. A. N Petrov, "General relativity from 'localization' of Killing vector fields"// Class Quantum Gmv., 10, 2663 (1993)

180. A N Petrov & A. D. Popova, "Associated length and inflation in quantum mechanics with gravitational self-interaction". Intern J. ModPhys D, 3, 461 (1994).350

181. A. N. Petrov and A. D. Popova, "The absociated length and lnfiation in quantum mechanics with gravitational coupling", Gen. Relat Grav,26, 1153 (1994)

182. A. N. Petrov, "Asymptotically fiat spacetimes at spatial infinity. The field approach and the Lagrangian debcription"// hit J. Mod PhysD, 4, 451 (1995)

183. A N Petrov & J V Narlikar, "The energy distribution for a spherically symmetric l&olated system m general relativity"// Found Phys, 26,1201 (1996), Erratum, Found. Phys, 28, 1023 (1998).

184. A N Petrov, "Asymptotically fiat spacetimes at spatial infinity II. Gauge lnvariance of the integrals of motion in the field approach"//Int. J Mod Phijs. D, 6, 239 (1997).

185. A. N Petrov, "The Field Formulation of General Relativity"// Proceedings of "Physical Interpretations of Relativity Theory" (London.11 - 14 September, 1998) volume - Late Papers, Ed.: M C.Dufi'y(University of Sunderland, UK 2000), p.p 187 - 200

186. A N Petrov and J Katz, "Conserved currents, superpotentials and cosmological perturbations"// Proc R Soc London A, 458, 319 - 337(2002)

187. D Baskaran, S R Lau, and A N Petrov, "Center of mass mtegral in canonical general relativity"// Ann Phys, 307, 90 - 131 (2003).351

188. A Н Петров, „Возмущения в эйнштейновской теории гравитации Сохраняющиеся токи"// Вестник Моек Ун-та Сер 3 Физика.Астрономия, No. 1, 18 (2004)

189. А Н Петров, „Сохраняющиеся токи в £)-мерной гра1^итации и кос- мология с бранами'7/ Вестник Моек Ун-та Сер 3 Физика Аст-рономия, No. 2, 10 (2004)

191. A П Петров, „Теоретико-нолевая формулировка ОТО и гравитация при ненулевой массе гравитонов", в сборнике Поиски механизмагравитации иод редакцией М. А. Иванова и Л А Саврова, (Пижн.Новгород, 2004), стр. 230 - 252.

192. А. N Petrov, "The Schwarzschild black hole as a point particle". Found. Phys Lett, 18, 477 - 489 (2005)

193. A N Petrov, "A note on the Deser-Tekin charges". Class Quantum Crav , 22, L83 (2005).

194. A N Petrov & A D Popova, "Dynamic theories on a fixed background m general relativity"// Abstracts of CRll, v. II, 460 (Stockholm, July6-12, 1986)

195. A П.Петров и A Д Попова, „Динамические теории на задан- ной 1еомет1)ии в теории Эйнштейна"// Депа^тровано ВИНИТИ,29.09 1986 е 6861-В86, 2 -29 (1986).352

196. A. П Петров, „Повые гармоничемкие координаты для шварцшиль- донойгсоистрш^^// Депонировано ВИНИТИ, 04.04.1990No. 1851-В90, 1 - 23 (1990).

197. А Н Петров, "О гравитации с космологической постоянной"// Де- понировано ВИНИТИ, 26 09 1990 No. 51571-В90, 1 - 9 (1990)

198. А N.Petrov, "Gravitation from 'localization' of Killing vector fields"// Abstracts of CrRlS, 205 (Cordoba, Argentina, June 28 - July 4, 1992)

199. A II Петров, „0 законах (охранения в асимитотически плоских ми- рах"// Тезисы 8-й Российской конференции (Россия, Пущино, 25 -28 мая 1993 Iода), 66 '

200. А N. Petrov, "Asymptotically flat spacetimes and the field approach to general relativity"// GR-Ц Absracts of contributed Papers (Florence,Italia, August 2 - August 9 (1995) p p A.129 - A 130

201. A N Petrov, "On the weakest fall-off conditions in the metric for an isolated system"// preprint IUCAA - 32/95, 1 - 15 (1995).

202. A. N. Petrov, "On superpotentials in general relativity"// Proceedings of 8-th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, Jerusalem,22 - 27, June 1997, Eds T Piran and R Ruffini (Warld Scientific 1999),p p 291 - 293

203. A N Petrov к J.V. Narhkar, "On the energy distribution in general relativity"// Abstracts of Plenary Lectures and contributed Papers ofGR-15, (December 16 - 21, 1997, IUCAA, Pune, India), p. 58.

204. A. N Petrov, "Belinfante's 'symmetrization' on curved backgrounds"// Тезисы докладов 10-й Российской гравитационной конференции,Владимир, 20 - 27 июня 1999 г, Москва 1999, стр 53353

205. A. N Petrov, "Generalized Belmfante's correction"// Abstracts GR16 (Durban, South Africa- 15 - 21 July, 2001), Section A 3, p. 87.

206. A. N Petrov, "A Development of Belmfante's method"// Abstracts of the Conference ICGA-5, (Mobcow, Rub&ia. 1-7 October, 2001), p. 15.N

207. S M Kopeikin к A. N. Petrov, "A decoupled sybtem of equations for quadratic co&mological perturbations on FRW background"// in:Abstract Book of the Conference "GR17" (Dublin, Ireland: 19 - 24 July,2004), Section B(II), p. 165.

208. N Rosen, "General relativity and flat space"// Phys Rev , 57, 147, 150 (1940)

209. S. N Gupta, "Gravitation and electromagnetism"// Phys. Rev. 96,1683 (1954)

210. R. H Kraichnan, "Special relativistic derivation of generally covariant gravitation theory"// Phys. Rev, 98, 1118 (1955).

211. S N Gupta, "Einstein's and other theories of gravitation"// Rev Mod Phyb, 29, 334 (1957)

212. W. Thirring, "Lorentz-invariante gravitationstheorein"// Fortsch der Phys , 7, 79 (1959)245[ P Joidaii, "Zum gegenwartigen stand der diraeschen kosmologischenhypthesen"// Z Phisik, 157, 112 (1959).

213. И.И.Гутман, „Общековариантпый метод последовательных при- ближений в общей теории относительности"// ЖЭТФ, 37, 1639(1959)247[ Я И Пугачев, „Иснользование плоского пространства в теории гра-витационного поля"// Известия ВУЗов, No. 6, 152 (1959)354

214. W Thirrmg, "An alternative approach to the theory of gravitation"// Ann Phys , 16, 96 (1961). 152 (1959)

215. Ю.А Рылов, „Об относительной локализации гравитационного но- ля"// Вестник Моск. Ун-та Сер. 3. Физика Астрономия, е5, 70(1962)

216. К). А Рылов, „Об относительной энергии статического центрально симметричного гравитационного ноля"// Вестник Моек Ун-та.Сер. 3. Физика Астрономия, е6, 45 (1962).

217. Д Е Бурланков, "Конариантные мконы сохранения в общей теории относительности"// ЖЭТФ, 44, 1641 (1963).

218. S.Wemberg, Phys. Rev В, "Photons and gravitons in perturbation theory Derivation of Maxwell's and Einsten's equations"// 138, 988(1965).

219. V I Ogievetbkii k. I. V. Polubarinov, "Interacting field of spin 2 and the Emstein equations"// Ann. Phys , 35, 167 (1965)

220. И И Гутман, „Об инвариантной форме закона сохранения"// ЖЭТФ, 53, 565 (1967)

221. R. и Sexl, "Theories of gravitation"// Fortsch. der Phys , 15, 269 (1967)256[ S. Deser & B. E Laurent, "Gravitation without self-interaction"// AnnP/i?/s,50, 76 (1968).

222. N. Rosen, "Theory of gravitation"// Phys Rev D, 3, 2317 (1971)

223. W.-T. Ni, ''Theoretical frameworks for testing relativistic gravity IV A compendium of metric theories of gravity and their post-Newtonianhmitb"// Ap ,/., 176, 769 (1972).355

224. W-T Ni, "A new theory of gravity"// Phys Rev D, 7, 2880 (1973).

225. К S Thorne, D L Lee & A P. Lightman, "Foundation for a theory of gravitation theories"// Phys. Rev D, 7, 3563 (1973)

226. N Rosen, "A theory of gravitation"// Ann Phys., 84, 455 (1974).

227. T A Barnebey, "Gravitational waves the nonhnearized theory"// Phys Rev D, 10, 1741 (1974).

228. D G.BouIware, S Deser & J H Kay, "Supergravity from self- lntcraction"// Pbjsica A, 96, 141 (1979)

229. N. Roben, "General relativity with a background metric"// Found. Phys , 10, 673 (1980)

230. N Robcn, "Localization of gravitational energy"// Found Phys, 15, 997 (1985)

231. S Desei, "Gravity from self-mteraction in a curved background"// Class Quantum Grav, 4, 99 (1987)

232. M Боулер, Теория относительности, (Москва* Мир, 1979)

233. L Р Gnshchuk, "Gravity-wave astronomy Some mathematics aspects"// Current topics m astrofundamental physics (WorldScientific, 1992), 435

234. Я Б Зельдович и Л. П Грищук, „Гравитация, общая терия относи- тельности и альтернативные теории"// УФН, 149, 695 (1986)

235. Я Б Зельдович и И Д Новиков, Теория тяготения и эволюция звезд, (Москва Наука, 1971)

236. Brans & R Н Dicke, "Mach's principle and relativistic theory of gravitation"// Phys. Rev, 124, 925 (1961)356|272. P.D Scharre, к CM.Will, " Testing Scalar-Ten&or Gravity UsingSpace Gravitdtional-Wave"// Phys.Rev Д 65, 042002 (2002).

237. С A. Clarkson, A. A Coley, & E S. D. O'Neill, "Cosmic Microwave Background and Scalar-Tensor Theories of Gravity"// Phys Rev. D,64, 063510 (2001)

238. A A Sen к S.Sen, "Cosmology m scalar tensor theory and asymptotically de-Sitter Universe"// Mod. Phys. Lett A, 16, 1303(2001)

239. N Banerjee к D Pavon, "A Quintessence Scalar Field in Brans-Duke Theory"// Class Quantum Grav, 18, 593 (2001)

240. A В Batista, J C. Fabris, S V В Goncalves к J Tossa, "Qualitative analysis of a scalar-tensor theory with exponential potential"// Int. JMod Phys A, 16, 4527 (2001)

241. S Sen к A A. Sen, "Late time acceleration m Brans Dicke Cosmology"// Phys.Rev. D, 63, 124006 (2001)

242. L E Mendes к A Mazumdar, "Brans-Dicke brane cosmology"// Phys 1.ett. B, 501, 249 (2001).

243. G. Esposito-Farese к D. Polarski, "Scalar-tensor gravity in an accelerating universe"// Phys. Rev Д 63, 163504 (2001).

244. N.Sakai к J.D. Barrow, "Cosmological Evolution of Black Holes m Brans-Dicke Gravity"// Class Quant. Grav, 18, 4717 (2001).

245. A Arazi к С Simeone, " Wiggly Strings in Linearized Brans-Dicke Gravity"// Mod. Phys Lett. A , 15, 1369 (2000)

246. A. 3 Петров, Прострапства Эйнштейна, (Москва ФМ, 1961)

247. Л П Эйзенхарг, Непрерывные группы преобразований (Москва ИЛ, 1947).

248. Я. А Схоутрн, Тензорный анализ для физиков (Москва Наука, 1965)

249. Н. В Мицкевич, Физические поля в общей теории относительно- сти, (Москва Наука, 1969).

250. S Kopeikin, J Ramirez, В Mashhoon к M.Sazhin, "Cosmological perturbations* a new gauge-invariant approach"// Phys Lett. Л 292,173 (2001)

251. J Ramirez к S Kopeikin, "Decoupled system of hyperbolic equations for linearized cosmological perturbations"// Phys Lett. B, 532, 1(2002)

252. M. Bruni, S Matarrese, S Silva к S. Sonego, "Perturbations of spacetime gauge transformationb and gauge lnvariance at second orderand beyond"// Class. Quantum Grav, 14, 2585 (1997).

253. S.Deser к В Tekin, "Gravitational energy in quadratic curvature gravities"// Phys. Rev Lett, 89, 101101 (2002)

254. S.Deser к В.Tekin, "Energy in generic highei curvature gravity theories"// Phyb. Rev, D67, 084009 (2003).

255. S. Deser к В Tekm, "Energy in topologically massive gravity"// Class Quantum Grav., 20, L259 (2003)

256. L F Abbott к S Deser, "Stability of gravity with a cosmological constant"// Nucl. Phys. B, 195, 76 (1982).

257. R Utiyama, Phys. Rev., "Invariant theoretical interpretation of the interaction"// 101, 1597 (1956).358

258. Т W Kibble, "Lorentz lnvariaiice and gravitational field"// J. Math Phys., 2, 212 (1961)

259. F W Hehl, P. von dor Heyde к J.M Nester, "General relativity with spin and torbion: Foundations and probpects"// Rev. Mod Phys., 48,393 (1976)

260. A lYautman, "Fiber bundles, gauge fields, and gravitation"// General Relativity and Gravitation, vol 1, ed A Held, (New York: Plenum,1980), 287.

261. D Ivanenko &: G. Sardanashvili, "The gauge theory of gravity"// Phys. Rep., 94, (1983)

262. В H Пономарев, A 0 Барвинский и Ю. Н Обухов, Реометро- динамические методы и калибровочный подход к теории грави-тационных взаимодействий, (Москва' Энергоатомиздат, 1985)

263. Л F.Pommaret, "Gauge theory and general relativity"// Rep Math. Phys, 27, 313 (1989)

264. R D Hecht & J M Nester, "A new evolution of PGT mass and spin"// Phys Lett. A, 180, 324 (1993).

265. R. D Hecht & J. M. Nester, "An evolution of the mass and spin at null infinity for the PRT and GR gravity theories"// Phys. Lett A, 217, 81(1996)

266. R D Hecht, J M Nester & V V Zhitnkov, "Some Foincare gauge theory Lagrangians with well-posed initial values problems"// Phys.1.ett A, 222, 37 (1996).

267. H -J. Yo к J. M. Nestei, "Hamiltonian analysis of Poincae gauge theory: higher spin modes"// J Mod Phys. D, 11, 747 (2002).359

268. С М Will, "Was Einstein Right? Testing Relativity at the Centenary"// Annalen Phys, 15, 19 (2005)

269. Wei-T Ni, "Empirical Foundations of Relativistic Gravity"// Int. J Mod Phys. D, 14, 901 (2005)

270. H. П. KoHoiiJioBa и В H Попов, Калибровочные поля, (Москва- Атомиздат, 1980)

271. Y М Cho, "Einstein Lagrangian as the translational Yang-MilLs 1.agrangian"// Phys Rev Д 14, 2521 (1976).

272. A Эйпштейп, „Играют ли гравитационные поля существенную роль в построении элементарных частиц?"// Собрание научных трудовт I, Москва. Наука, 1965, 664 // Acad Wiss , 1, 349 (1919)

273. А. Н Guth, "Inflationary universe. А роьыЫе solution to the horizon and flatness problems"// Phtp Rev D, 23, 347 (1981).

274. A Д Долгов, Я Б Зельдович и М В Сажин, Космология ранней Вселенной (Москва Из-во МГУ, 1988).

275. А Д Линде, Физика элементарных частиц и инфляционная кос- мология (Москва Наука, 1987).

276. S. Weinberg, "The cosmological constant problem"// Rev. Mod Phys., 61, 1 (1989)

277. W G Unruh, "A unmiodular theory of canonical quantum gravity"// Phys Rev D, 40, 1048 (1989)

278. W G Unruh & R M. Wald, "Time and the interpretation of canonical quantum gravity"// Phys. Rev. D, 40, 2598 (1989)

279. K.V Kuchaf, "Does an unspccifled cosmological constant solve the problem of time in quantum gravity*^"// Phys Rev. D, 43, 3332 (1991)

280. W BuchmuUer к N Dragon, "Gauge fixing and the cosmological conbtant"// Phys Lett. B, 223, 313 (1989).

281. Y. Л Ng & E M van Dam, "РоьыЫе solution to the cosmological- conbtant problem"// Phys. Rev. Lett, 65, 1972 (1990).

282. Y. J.Ng к E M. van Dam, "Unimodular theory of gravity and the (osmological (onstant"// J Math Phys , 32, 1337 (1991)

283. Y J Ng, "Cobmological constant problem"// hit J Mod Phys D, 1, 145 (1992)

284. W Buchrnuller к N Dragon, "Ein&tein gravity from rcblruted coordinate lnvanance"// Phys Lett. B, 207, 292 (1988).

285. F.Wil(7ek, ''Foundation and working pictures in •* murophybKal cosmology"// Phys Rep., 104, 143 (1984).

286. M Henneaux & С Teitelboini, "The co&mological constant and general covariance"// Phys Lett B, 143, 415 (1984)

287. D P. Datta, "On the cosmological constant problem"// Int. J. Mod Phys. D, 5, 386 (1996)

288. D R Finkelbtein, A. A Gahautdinov к Л. E Baugh, "Unimodular relativity and cosmological constant"// J. Math Phys, 42, 340 (2001)

289. E Alvarez, "Can one tell Einstein's unimodular theory from Einstein's general relativity?"// JHEP, 0503, 002 (2005).

290. В И Смирнов, Курс высшей математпики Том III -Яастъ первая (Москва- Наука, 1974).

291. S.W Hawking к G F.R. Ellis, The large scale structure of spacetime (Cambridge- CUP, 1973)361

292. P Sommers, "The geometry of the gravitational field at spatial infinity"// .7 Math Phys , 19, 542 (1978)

293. A A&htekar, "Asymptotic structure of the gravitational field at spatial infinity"// General relativity and gravitation, v 2, Ed A Held (NewYork Plenum, 1980), 87.

294. S Persides, "Structure of the gravitational field at spatial infinity. I Asymptotically Euclidean spaces"// J. Math Phys., 21, 135 (1980)

295. S Persides, "Structure of the gravitational field at spatial infinity II Asymptotically Mirikow&kian ьрасе-times"// .7. Math. Phys, 21, 142(1980).

296. R Beig k. В Schmidt, "Einstein's equations near spatial infinity"// Commun Math Phys, 87, 65 (1982).

297. B.Schmidt, ''On the uniquiness of boundaries at infinity of asymptotically fiat spacetimes"// Class Quantum Grav, 8, 1491(1991).

298. A.Ashtekar к J.D.Romano, "Spatial infinity as a boundary of spacetime"// Class Quantum Crav., 9, 1069 (1992) '

299. A И Нестеров, ,Дсимптотические симметрии и законы сохране- ния"// Итоги науки и техники Сер • Класагческая полевая терияи теория гравитации (Москва ВИНИТИ, 1992), том 4, 136

300. Н Friedruh, "Gravittaional fields near space-like and null infinity"// J. Geom Phys , 24, 83 (1998).

301. R Schoen & S -T Yau, "On the proof of the positive mass conjecture in general relativity"// Commun Math Phys., 65, 45 (1979)

302. R.Sdioen к S-T.Yau, "Proof of the positive mass theorem 1Г'// Commun. Math Phys , 79, 231 (1981).

303. E. Witten, "A new proof of the positive eiiergy theorem"// Commun. Math Phys , 80, 381 (1981)

304. J M Xefeter, "A new gravitational energy expression with a simple positive proof"// Phys. Lett Л, 83, 241 (1981).

305. Л.Д Фаддеев, „Проблема энергии в теории тяготения Эйнштей- на"// Успехи физ наук, 136, 433 (1982)

306. О Reula, "Exibtence theorem for solutions of Witten's equation and non-negativity of total mass"// J Math Phys , 23, 810 (1982)

308. P Bizon, "On the total momentum for asymptotically^flat spacetime with nonvanishing matter sources at spatial infinity"// Class QuantumGrav. 2, L125 (1985)

309. В 0. Соловьев, ,Длгебра генераторов асимптотической группы Пу- анкаре в общей теории относительности"// ТМФ, 65, 400 (1985).

310. Р. Bizon к Е Malec, "On Witten's positive-energy proof for weakly asymptotically flat spacetimes"// Class Quantum Crav, 3, LI23(1986)

311. R Bartnic, "The mass of an asymptotically flat manifold"// Commun. Pure Appl Math , 39, 661 (1986).

312. W. T Shaw, "Total angular momentum for asymptotically fiat spacetimes with non-vamshing stress tensor"// Class Quantum Crav.3, L77 (1986)

313. N. OMurchadha, "Total energy-momentum in general realtivity"// J. Math. Phys, 27, 2111 (1986).

314. P Т. Chrusciel, "A remark on the positive-energy theorem"// Class. Quantum Grav, 3, L115 (1986)

315. P T Chrusciel, "On angular momentum at spatial infinity"// Class. Quantum Crav, 4, L205 (1987)

316. R Nahmad-Achar & B.Schutz, "Conserved quantities from pseudotensors and extremum theorems for angular ^momentum"//Class Quantum Crav., 4, 929 (1987)

317. R Beig &• N OMun hadha, "The Poinoare group аь the symmetry group of canonical general relativity"// Ann. Phys , 174, 463 (1987)354[ P. T Chrusciel, "On lnvariance mass (onjecture in general realtivity"//Commun. Math Phys, 120, 233 (1988).

318. R Geroch & S -M Perng, "Total mass-momentum of arbitrary lnitial- data sets in general relativity"// J. Math. Phys., 35, 4157 (1994).

319. R Beig&N OMurchadha. "Trapped burfacebin vacuum spacetimes"// Class Quantum Ciav, 11, 419 (1994)

320. D. Kennefick к N OMurchadha, "Weakly decaying asymptotically flat static and stationary solutions to the Emstein equations"// ClassQuantum Crav., 12, 149 (1995)

321. R Beig & N OMurchadha, "The momentum constraint m general relativity and spatial conformal lsometries"// Commun. Math Phys ,176, 723 (1996)

322. R M Wald к A Zoupas, "A general definition of 'conserved quantities' in general relativity and other theories of gravity"// Phys Rev. D, 61,084027 (2000)364

323. L. в Szabadob, "On ceitain quasi-loral spin-angular momentum exprcbbions for large ьрЬегеь near the null mfinity"// Class QuantumGrav, 18, 5487 (2001).

324. R Geroch, "Structure of the gravitational field of spatial infinity"// J. Math. Phys, 13,956(1972).

325. A Abhtekar ^ R 0. Hansen, "A unified treatment of null and spatial infinity in general relativity I Universal structure of asymptoticsymmetries and coserved quantities at spatial infinity"// J. Math.Phys, 19, 1542 (1978)

326. H. Bondi, "Gravitational waves in general relativity"// Nature, 186, 535 (1960)

327. H Bondi, A W К Metzner & M.J С van der Berg, "Gravitational waves in general relativity. VII. Waves from axi-symmetrical isolatedsystems"// Proc R Soc Л, 269, 21 (1962)

328. R К Sachs, "Gravitational waves. VIII Waves in abymptotically flat space-time"// Proc. R Soc A, 270, 103 (1962)

329. R Peniose, Stnutme of spacetime, eds . G M DeWitt & J A Wheeler (N.Y, Amsterdam, 1968).

330. P T Ghrusciel, M A. H. MacGallum к D.B Singleton, "Gravitational waves in general relativity XIV. Bondi expansions and the'polyhomogenety' of J"// Phil. Trans. R Soc. bond A, 350,113 (1995).

331. J Jeziorski, "Bondi mass m classical field theory"// Acta -Phys. Polonica Д 29, 667 (1998)

332. P. T. Ghrusciel, J Jezierski к M. A. H. MacGallum, "Uniqueness of the Trautman-Bondi mass"// Phys Rev D, 58, 084001 (1998)365

333. J Н Yoon, "Quasi-local conservation equaioris in general relativity"// Phys Lett. A, 292, ICG (2001)

334. P. T Chruscicl, J Jczicrski к J Kijowski, Hamiltoman field theory in the radiating regime, Springer Lecture Notcb in Phybicb, vol m70(Berlin, Heidelberg, New York- Springer, 2001)

335. J W. York, "Energy and momentum of the gravitational field"// Essays in General Relativity, ed F J Tipler (N.Y : Academic, 1980), 39.

336. A Abhtekar, "On the Hamiltoman of general relativity"// Physica A, 124, 51 (1984)

337. L В Szabados, "On the roots of the Poincare structure of asymptotically flat spacetimes"// Class Quantum Grav., 20, 2627(2003).

338. S A Hayward, "Quasilocal gravitational energy"// Phys Rev D, 49, 831 (1994)

339. S.W Hawking & G T Horowitz, "The gravitational Hamiltoman, action, entropy and surface terms"// Glass. Quantum Grav, 13, 1487(1996).

340. Дж Хартль, К. Торн, P. Прайс, „Гравитационное взаимодействие черной дыры ( удаленными телами"// Черные дыры Мембранныйподход Москва Мир, 1988), 186378[ Д М Гитман, И В Тютин, Каноническое квантование полей сосвязями (Москва. Наука, 1986)

341. J. Isenberg к J Nester, "Canonical gravity"// General Relativity and Gravitation, ed. A. Held (N.Y Plenum Press, 1980), v 1, 23.

342. J В Pitts к W C.Schiev, "Null cones in Lorentz-covariant General Relativity"// gr-qc/01111004.366

343. J W York, .Ir, "Kinematics and dynamics of general relativity"// Sources of Gravitational Radiation, ed L Smarr (London and NewYork CUP, 1979) 83

344. J. Schwinger, Particles, sources, and fields, v 1 (Addison-Wesley, Reading, 1970)

345. S Weinberg, The quantum theory of fields, v 1 (Cambridge CUP, 1995).

346. E Heiriz, "On Weyl's Embedding Problem"// J Math Meek , 11, 421 (1962)

347. M Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, vol. 5 (Publish or Peri&h, Inc., Berkeley 1979).

348. I Radinschi, "The energy of a dyonic dilaton black hole"// .• Acta Phys Slov., 49, 789 (1999)

349. I. Radinschi, "The energy of distribution in a static spherically bymmetric noiibingular black hole space-time"// Mod. Phys. Lett A,15, 803 (2000).

350. S S Xulu, " M0ller energy of the Kerr-Newman metric"// Mod. Phys 1.ett A, 15, 1511 (2000)

351. I. Raduibchi, "Energy of a confoimal scalar dyon black hole"// Mod. Phys. Lett. A, 15, 2171 (2000)

352. I Raduibchi, "The energy distribution of the Bianchi type I universe"// .• Acta Phys Slov., 50, 609 (2000).391] S S Xulu, " M0ller energy of the nonstatic spherically symmetricmetrub"// Abtwphys. Space Sci., 283, 23 (2003).367

353. J. Jezierski, "Conformal Yano-Killing tensors in asymptotic CYK tenbors for the Schwazbchild metric"// Clabs Quantum Grav, 14, 1679(1997)

354. J V. Narlikar, "Spectral shifts m general relativity"// Am J. Phys., 62, 903 (1994)К К Nandi diid A Islam, "On the optical-mechanical analogy ingeneral relativity"// Am. J. Phys , 63, 251 (1995) ^

355. Дж Сипг, Общая тщтя относительности (Москва ИЛ, 1963).

356. J V \ailikar, "Some conceptual problems in general relativity and cosmology"// A Random Walk m Relativity and Cosmology, edsN. Dddhich, J Krishna Rao, Л V. Narlikar and С V Vishevara (NewDelhi- Viley Eastern Limited, 1985) p.p 171 - 183.

357. Л П Гритук и Я.Б.Зельдович, „Полные космологические тео- рии"// в кн Я Б Зельдович, Избранные труды, II, (1985) 179.

358. F. Л. Belmfante, "The De Donder condition and the Poicare group in quantized general relativity"// J. Math. Phys., 26, 2836 (1985).

359. H Nakanishi, "De Donder condition and the gravitg^tiorial energy- momentum pseudotensor in general relativity"// Progr. Theor Phys.,75, 1351 (1986)

360. E. Ruiz, "Harmonic coordinates for Kerr's metric"// Gen. Relat. Grav., 18 805 (1986)

361. Y Duan, S. Zhang &: L Лlang, "A new coordinate condition in general relativity"// Gen Relat. Grav, 24 805 (1992).

362. И. Бичак, Б. Н Руденко, Рравитационные волны в ОТО и проблема их обнаруэ1ссния (Москва Из-во МГУ, 1987).368

363. С М. Копейкип, „О методе решения внешней и внутренней -задач в нроблеме движения тел в ОТО"// Tpijdu ГАИШ, 59; 53 (1987).

364. V А Brumberg, "Contemporary problems of relativistic celestial mechanics and dbtrometry"// Plenary review papers at the 10-thEuropian regional astronomy meeting of the IAU (Prague, 19 August,1987), p p 83 - 96.

365. И.Д Новиков, В П Фролов, Физика черных дыр (Москва Наука, 1986)

366. А А Власов, „Об ошибочности ранних представлений о коллапсе в РТГ"// Ядерная физика, 51, 1822 (1990).

367. F J Belinfante&J Garrison, "On the uniqueness of Fock's harmonic coordinate systems in the presence of static spherically symmetricsources"// Phys Rev., 125, 1124 (1962)

368. D Finkelstein, "Pabt-future asymmetry of the gravitational field of a point particle"// Phys Rev, 110, 965 (1958).

369. H.Bdlabin к Н. Nachbagauer, "The energy momentum ten&or of black holes, or what curves the Schwdrzschild geometry"^"// Cla<,s. QuantumGrav , 10, 2271 (1993)

370. P Fiziev, "The gravitational field of ma.ssive non-chdrged point source in general relativity"// arXiv. gr-qc/0412131.

371. С 0. Lousto, "A fourth order convergent numerical algorithm to integrate nonrotatmg binary black hole pierturbations in the extrememass ratio limit"// C/ass Quantum Grav., 22, S543 (2005)

372. M Cadom к S Mignemi, "Two-dimensional description of D- dimensional static black holes with point like sources"// Mod Phys1.ett Л, 20, 2919 (2005).

373. M. B. Golubev & S R Kelner, "Point charge self-energy in the general relativity"// Int. J. Mod. Phys A, 20, 2288 (2005)

374. T Damour, P Jaranowski к G. Schafer, "Dimensional regularization of the gravitational interaction of point masses"// Phys Lett. B, 513, 147(2001)

375. И M Гельфанд, Г E. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск 1 (Москва- ФИЗМАТГИЗ, 1958)

376. J В Pitts & W С Schieve, "Null Cones and Einstein's Equations in Minkowski Spdcetime"// Found Phys, 34, 211 (2004)

377. A. J.S.Hamilton and J .P Lisle, "The river model of black holes"// arXiv. gr-qc/0411060370

378. P S Florides, "The equivalence of the Tolman and the M0ller mass energy formulae m general relativity"// Gen Relat Grav., 26, 1145(1994).

379. N Pinto-Neto & R R Silva, "Generah7ed field theoretical approach to general relativity and conserved quantities in anti-de Setterspacetimes"// Phys Rev D, 61, 104002 (2000)

380. J. B. Pittb & W С Schieve, "Slightly bimetric gravitation"// Gen Relat Grav, 33, 1319 (2001)

381. P. G. Bergnunn, "Non-linear field theories"// Phys Rev., 75, 680 (1949)

382. J.N.Goldberg, "Conservation laws in general relativity','// Phys. Rev., I l l , 315 (1958).

383. С M0llei, "On the localization of the energy of a physical system in the general theory of relativity"// Ann. Phys., 4, 347 (1958)

384. A Trautman, "Conservation laws in general relativity"// Gravitation: an Introduction to Gurrent Research, Ed. L. Witten (Wiley, New York,1962)

385. P.G. Bergmann к R Tomson, "Spin and angular momentum in general relativity"// Phys Rev., 89, 400 (1953)

386. P G Bergmann, „Conbervation laws in general relativity as the generators of coordinate traiibformations"// Phys Rev., 112, 287(1958). X

387. С M0ller, "Futher remarks on the localization of the energy in general relativity"// Ann Phys , 12, 118 (1961)

388. A Komar, "Covariant conservation laws in general relativity"// Phys. Rev., 113, 934 (1959)371

389. J. Katz, "A note on Komar's anomalous factor"// Class Quantum Grav, 2, 423 (1985)

390. С Вейнберг, Гравитация и космология Принципы и приломсения общей терии относительности (Москва, Мир: 1975).

391. Y. Choquet-Bruhat, "Pobitive-energy theorem"// Relativity, Groups and Topology II, Eds В S DeWitt and S Stora (Elsevicr SciencePublishers В V , 1984) 740

392. E N Glass, "Taub numbers at future null infinity"// Phys Rev. D, 47, 474 (1993)

393. E.N Glass к M G.Naber, "Taub numbers extended to Einstein- Maxwell space-time"// J Math. Phys, 35, 1834 (1994).

394. E N Glass & M G.Naber, "Gravitation mass anomaly"// J Math Phys , 35, 4178 (1994).

395. M. G Naber & E N Glass, "Taub numbers at future null infinity. II "// J Math Phys , 35, 5969 (1994).

396. E N Glass, "Angular momentum and Killing vectors"//J Math Phys., 37 421 (1996)

397. E N Glass <k M G. Naber, "Taub numbers at future null infinity. III. The Bondi mass"// Preprint of Phys Dep. of Michigan Univ.- March30, 1997

398. S.V Babak к L. P. Grishchuk, "The energy-momentum tensoi for gravitational field"// Phys. Rev Д 61, 24038 (2000)

399. M Favata, "Energy Localization Invariance of Tidal Work in General Relativity"// Phys. Rev D, 63, 064013 (2001).372

400. S. Veeraraghavan & A. Stebbin, "Causal compensated perturbations in cosmology"// Ap. J., 365, 37 (1990)445[ J P. Uzan, N Deruelle к N Turok, "Conservation laws and cobmologicalperturbations in curved universeb"// Phys Rev D, 57, 7192 (1998)

401. P T Chrubciel, "On the relation between the Einstein and the Komar expressions for the energy of the gravitational field"// Ann. Inst. HenriPomcare 42, 267 {198b)

402. M Ferraris к M. Francaviglia, "Covariant first-order Lagrangians, energy-density and superpotentials in general relativity"// Gen Relat.Grav., 22, 965 (1990).

403. L. Fatibene, M Ferraris, M. Francaviglia к M Raiteri, "Remarks on conserved quantities and entropy of BTZ black hole solutions PartI the general setting"// Phys. Rev. D, 60, 124012 (1999).

404. L. Fatibene, M Ferraris, M. Francaviglia к M. Raiteri, "The entropy of Taub-Bolt solution"// Ann. Phys., 284, 197 (2000).

405. L Fatibene, M. Ferraris, M. Francaviglia к M. Raiteri, "Nother charges. Brown-York quasilocal energy and related topics"// J Math. Phys.,42, 1173 (2001).

406. A Papapetrou, "Einstein's theory of gravitation and flat space"// Proc. R. Irish Ac. 52, 11 (1948)

407. L В Szabados, "Canonical pseudotensor Sparling's form and Noether currents"// Preprint- KFKI-1991-29/B.

408. B. T Березин, "Феноменологические основы теории гравитации"// ТМФ, 93, 154 (1992).

409. V. Borokhov, "Belinfante tensors induced by matter-gravity couplings"// Phys Rev D, 65, 125022 (2002)373

410. L B.Szabadob, Class Quantum Grav., "On canonical pseudotensor Sparlmg'b foim and Noethor currentb"// 9, 2521 (1992).

411. J. Bicdk, "Selected topics in the problem of energy and radiation"// Relativity and Gravitation, eds . С G. Kuper & A. Peres ( New YorkGordon and Breach, 1971), 47.

412. J Traschen к D.M Eardley, "Large-scale anisotropy of the cosmic background radiation in Friedmann universes"// Phys Rev D, 34,1665(1986).

413. R К Sachs & A M Wolfe, "Perturbations of a cosmological model and angular variations of the microwave background"// Ap J., 147, 73(1967)

414. J Katz & D Lerer, "On global conservation laws at null infinity"// Quantum Grav., 14, 2297 (1997)

415. T Fulton, F Rohrhch & L Witten, "Conformal lnvariance in physics"// Rev Mod. Phys. 34, 442 (1976)

416. P Пенроуз и В. Риндлер, Спиноры и пространство-время' GnuHop- ные и твисторные методы в геометрии пространства-времени(Москва- Мир, 1988)

417. А. Л Кеапе к R K.Bairett, "The conformal group 50(4,2) and Robertbon-Walker spacetirnes"// Glass. Quantum Grav, 17, 201(2000)

418. E Bertschinger, "Cosmological dynamics"// Cosmology and large scale structures, Eds R Schaefer, J. Silk, M Spiro and J. Zin-Justm,(Amsterdam North Holland, 1996), 273

419. E T Newman &T.W J.Unti, "Behaviour of asymptotically flat empty spaces"// .7 Math Phys., 3, 891 (1962)374

420. Е. Т. Newman к R. Penrose, "An approach to gravitational radiation by a method of spin coefficients"// J Math Phys., 3, 566 (1962)

421. E T. Newman к R. Penrose, "Note on the Bondi-Metzner-Sachs group"// J. Math. Phys., 7, 863 (1966).

422. Г A AjieKceeB, B. Хлебников, „Применение формализма Ньюмена- Пенроуза в общей теории относительности"// Препринт ИПН^(1977)

423. R Penrose, "Conformal trearment of infinity"// Relativity, Croups and Topology, eds. C.DeWitt and B.DeWitt (New York Gordon andBreach, 1964) 563

424. D. Bak, D. Cangemi к R .Jackiw, "Energy-momentum conservation in gravity theories"// Phys. Rev D, 49, 5173 (1994).

425. D С Boulware к S. Deser, "Strmg-generated gravity models"// Phys Rev Lett, 55, 2656 (1985).

426. A Paddila, "Surface terms and Gauss-Bonnet Hamiltonian"// Class Quantum Crav, 20, 3129 (2003)

427. N Deruelle, J Katz к S Ogushi, "Conserved charges m Emstein Gauss- Bonnet theory"// C/as5 Quantum Crav, 21, 2521 (2004)

428. S Deser, I. Kanik к В Tekin, "Conserved charges of higher D Kerr-AdS spacetimes"// Class Quantum Crav., 22, 3383 (2005).375