Теория пластического деформирования структурно неоднородных композитных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГб мУс

ТОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ I С, НПО ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

ИСУПОВ Леонид Петрович

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

01. 02. 04 - механина деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наун

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре теории пластичности моханико-натеиатичясного факультета Московского государственного универ-

донтор физико-математических наук Горбачев В. И.

Ведущая организация - Институт Машиноведения РАН.

в 16 час. на заседании диссертационного Совета Д. 053. 05. 03 при МГУ ии. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, Главное здание, механико-математический фанудьтет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " " Л/*- _ 1996 г.

Ученый секпетяпь иоо. иэ. и^ при т и

профессор Быков Д.

доктор технических наук,

Защита состоится

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тени. Разработка новых композитных материалов и широное внедрение их в наиболее высокотехнологичных отраслях промышленности потребовали глубокого изучения механических характеристик таких материалов с целью их прогнозирования.

Важную научную проблему представляет определение эффективных (или осредненных) характеристик упругости, пластичности и прочности композита по известным свойствам компонентов. Математически задача состоит в переходе на основе тех или иных методов осреднения от неоднородной среды с определяющими уравнениями, зависящими от координат, к не зависящим от координат определяющим соотношениям однородной анизотропной среды, которая обладает теми же механическими макро- (или эффективными) характеристиками, что и исходный композит. Решение этой задачи принципиально важно, так как оно позволяет:

- предсказывать деформационные характеристики композита в зависимости от его структуры и объемного содержания компонентов;

- выявлять качественные особенности механического поведения материала;

- существенно сократить количество необходимых для обоснования модели экспериментальных исследований;

- решать задачи оптимального проектирования материала применительно к конструкции.

Методы построения эффективных определяющих уравнений достаточно широко исследовались и подробно разработаны для материалов с упругими и вязко-упругими компонентами. В то же время материалы с пластическими свойствами исследованы далеко не

столь полно. Ото связано с дополнительными трудностями, вызванными нелинейностью законов пластического деформирования на мин-

- построение в рамках теории течения эффективных определя-

- разработка и исследование на их основе конкретных моделей пластических композитных материалов с различной микроструктурой.

Научная новизна работы определяется следующими основными результатами:

Проведен систематический анализ основных закономерностей перехода от локальных определяющих уравнений к соотношениям на макроуровне для неоднородных упруго-пластических сред в рамках теории течения. Получена общая формула осреднения неупругих деформаций. Доказано, что при осреднении сохраняются локальный принцип максимума диссипации и принцип градиентальности.

В рамках гипотезы кусочно однородных полей решена задача

ЛГ> НЯ ГПТТ Э " о г-..-. .............- - - --

- . и гипродеформации.

ранстве макронапряжений. Установлено, что композит с идеально пластическими компонентами обладает ограниченным деформационным упрочнением: в пространстве макронапряжений существует предельная поверхность, которая определяет переход к идеально пластическому деформированию, но не является поверхностью нагружения.

Предложены два возможных подхода к построению определяющих уравнений многофазной среды. Метод прямого вычисления эффективного тензора касательных модулей требует численного решения линейной тензорной системы уравнений на каждом шаге нагружения. Многоуровневая цепная модель позволяет получить приближенные аналитические выражения на основе последовательного попарного объединения фаз.

На основе полученных определяющих уравнений построены модели реальных композитных материалов с армирующими включениями различной формы. Теоретически выявленные свойства пластической анизотропии и особенности пластического деформирования волокнистых композитов подтверждены сравнением с широким спектром экспериментальных данных.

Разработана жестко-пластическая модель волокнистого композита. Получен в общем виде критерий пластичности трансверсально изотропной нерастяжимой вдоль оси изотропии среды. Исследованы уравнения плоской деформации. Сформулированы соответствующие краевые задачи, приведены примеры решений.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается использованием строгих математических методов исследования, соответствием теоретических результатов имеющимся экспериментальным данным, совпадением полученных следствий для конкретных моделей с результатами других авторов.

Практическая ценность. Получонниа в работе результаты позволяют предсказывать пластические характеристики иетаплокомпо-

ЖННШ1 И струнтуры асмиропаний И МПГ^Г Гшт!. мгттгил^оочи

решении задач оптимизации. Разработанные модели волокнистых композитов с металлической патрицей экспериментально обоснопапи

рукцип.

Представленные в работе исследования проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ механико-математического факультета МГУ, номер гос. регистрации 0186. 0128404, шифр программы 1. 10. 2. 3.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- VI Всесоюзная конференция по механике полимерных и композитных материалов (Рига, 1986);

- Всесоюзная конференция "Современные проблемы физики и ее приложений" (Москва, 1987);

- II и III Всесоюзные конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1987, 1991 );

пи^усмиго твердого тела (Новосибирск. 1988):

Всесоюзный симпозиум по прочности и пластичности (Тага-

МП V

нент, 1991 );

- III симпозиум "Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела" (Тверь, 1992);

- VIII и IX Международные конференции по механике композитных материалов (Рига, 1993, 1995);

- III Международный конгресс по индустриальной и прикладной математике (Гамбург-Германия, 1995);

- Международный симпозиум "Минромеханина, пластичность и поврежденность многофазных материалов" (Севр-Франция, 1995);

- Ломоносовские чтения МГУ (1988, 1990, 1991);

- Научный семинар кафедры механики композитов МГУ под руководством профессора Б. Е. Победри (1995);

- Научный семинар кафедры теории пластичности МГУ под руководством профессора R Д. Клюшникова (1987 - 1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работа. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Работа включает 226 страниц машинописного текста, 47 рисунков, список литературы - 258 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Fio Ufíf^ñ^UÍIH пКлрклгл.п .------ ------

,____ _______ ^^д» uwnuDntiiA ^.ииркменмых направлений

п теории пластичности анизотропных и композитных материалов,

ОбОСНОПЛМ Rblfínn nono« iя пю*-... ---------------

тичности анизотропных сред. В качестве основных направлений здесь можно выделить теории с квадратичной поверхностью нагру-женил и различными законами упрочнения, использование обобщенных критериев Треска с кусочно линейными условиями пластичности, обобщение гипотез деформационной теории пластичности на анизотропные среды, применение теории тензорных функций и инвариантов для построения поверхности нагружения сред с различными свойствами симметрии пластических свойств- Наиболее логически завершенной и перспективной представляется идея записи определяющих уравнений в инвариантных ортогональных подпространствах напряжений и деформаций, которые определяются группой симметрии среды. Теория пластичности анизотропных сред развивалась в работах Г. И. Быковцева, В. О. Геогджаева, И. И. Гольденблата, Д. Д. Ив-

„. пс.ртщсва, о. е.. нооедри, А. И. Чанышева. а такжр nflnvRowuwv

ни разделить на несколько основных направлений по их целям и

методам. Среди них можно выделить работы с использованием численных методов исследования локальных полей напряжений и деформаций в среде регулярного строения. В ранних работах для построения эффективных определяющих уравнений принимались простейшие гипотезы о взаимодействии компонентов: постоянство отдельных компонент напряжения и деформаций в характеристическом объеме в зависимости от структуры материала. Предлагаются различные формы обобщения разработанных для упругих композитов методов самосогласования и методов теории случайных функций на нелинейное деформирование. В рамках деформационной теории пластичности успешно применяются методы осреднения уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. В этой области нужно отметить работы И. К. Архипова, В. В. Дудукаленко, А. Ф. Крегерса, Б. П. Маслова, С. И. Мешкова, С. Т. Милейко, Ю. В. Немировского, Б. Е. Победри, Ю. Н. Работнова, Л. А. Сараева, А. А. Ташкинова, Г. А. Те-терса, Л. П. Хорошуна, М. Э. Эглит. За рубежом теория упруго-пластических композитных сред развивалась в работах Д. Адамса, Г. Венга, М. Вагровской, Г. Дворака, А. Заоуи, В. Кафки, П. МакЛафли-на, В. Прагера, А. Савицкого, П. Сукуета, Дж. Тарна, Р. Хилла и др.

Дан обзор основных экспериментальных работ в области пластического деформирования волокнистых композитов. Отмечены выявленные в экспериментах особенности их пластических свойств.

На основе проведенного анализа сформулированы цели и задачи настоящего исследования.

Вторая глава посвящена анализу общих закономерностей осреднения определяющих соотношений упруго-пластических композитных сред и решению задачи локализации - установлению связи между напряжениями и деформациями в компонентах и макропеременными

б рамках гипотезы кусочно однородных поле И.

Даны определенна основных понятий: характеристического

деформации, эффективных оппепелнтти-* «папиоичп п™.™ .-,„..,. ~~

Использование свойств операции осреднения по характеристическому объему с однородными граничными условиями позволяет по-

нородных сред.

Показано, что тензор пластических макродеформаций ^ может быть получен осреднением линейно преобразованного тензора пластических микродеформаций е£(х):

ср=<В*(х):с>(х)>; с* (х)-А^ ( х) (х) ; ср=е-А:а. (2.1)

Здесь <...> - операция осреднения по характеристическому объему; звездочкой помечены поля локальных переменных внутри характеристического объема; А=<А^(х):В^(х)> - тензор эффективных упругих податливостей; <г=<в (х)>, с=<с^(х)> - тензоры макронапряжений и макродеформаций. Оператор линейного преобразования В^х) в (2.1 ) - тензор концентрации упругих напряжений в характеристическом объеме - должен быть определен из решения линейно

упсугой папячи и топ^от. г> ------------------

-.....

11; J 1кл и:uiпччиi:-1:1''. *< <нощ >< ч Í; '.'мл"1. лл

¿opnyjid осреднения ('г. 1 ) является точным прзупктятлм пли

:,'!' но л I,.".;) !'■ но\ iu>vr->l> ;!■'■! "рчп ц ;•> р ><p>tp, и■ р.■; ■ к Л: : г

ределенной аддитивным разложением.

В случае существования поверхности нагружения при осреднении сохраняется локальный принцип максимума диссипации

где - произвольное допустимое напряженное состояние.

Следствием принципа максимума диссипации является градиенталь-ность вектора скорости пластической деформации к гладкой поверхности нагружения или его расположение внутри конуса нормалей в сингулярной точке. Таким образом, ассоциированный закон пластичности на микроуровне приводит к эффективным определяющим уравнениям того же типа.

Получено, что композит с идеально пластическими компонентами обладает на макроуровне деформационным упрочнением, что связано с неоднородностью пластических деформаций и "раэнона-правленностью" скорости пластических деформаций компонентов.

Сформулирована гипотеза нусочно однородных полей:

=о =<а.(х)> , е«,(х)=е =<е„.(х)> - напряжения и деформа-(П * (О * (1) * (>)

ции в пределах каждой фазы считаются постоянными, совпадающими с их средними фазовыми значениями. Впоследствии определяющие уравнения для компонентов записываются именно для фазовых средних.

В рамках этой гипотезы решена задача локализации - получены уравнения связи средних фазовых напряжений и деформаций с макронапряжениями и макродеформациями:

(<г-а'):^Р = <(в#(х)-в;(х)):с;(*)> г О,

(2.3)

п

В = (1-В ):(А -<Ш а> (!)

(б..1-«.Вт. ) :А

з (л)

и>

(2.5)

XI — - П <" „ \ .

' _ _ _____ ^ и I , |и

иие в (2.4), (2.5) тензоры концентрации напряжений И > тензоры влияния В____ и эффективных уппуги* лпгтлоиит » -

Соотношения (2. 4) являются точными для двухфазной среды. Для многофазного композита при их выводе использован метод самосогласования для определения остаточных напряжений в компонентах после упругой разгрузки.

Решение задачи локализации позволяет перейти от определяющих уравнений для компонентов к эффективным соотношениям на макроуровне.

В третьей главе получены и исследованы в рамках теории течения эффективные определяющие уравнения для двухфазной и многофазной сред с идеально пластическими и упрочняющимися компонентами.

Особенности пластического поведения композита, связанные со структурной неоднородностью, наиболее ярко пооянляютоя ппя

гимтаои^п "' '. '*1" ~ '— — - -< П

Г' . - . ---------- . > 1 о ; (

чл< | и -)д|кя •) коиезн«» 1 а I I ! > и \ир\тог->

состояния второго в результате осреднения на макроуровне полу-

чин ассоциированный закон пластичности для упрочняющегося тела с гладкой поверхностью нагружения:

ер=Х —; Г(ог,ср)=0 — :а > О, (3.2)

до Эа

где уравнение поверхности нагружения следует из второго равенства (3. 1):

Па,с0) = /(1)(В т-.а + С^е") = 0. (3.3)

Тензор С® (А-А )"': (В* -В* ) определяет анизотропию

(1) 2 (2) (1) (2)

упрочнения на макроуровне. Критерий активного нагружения (ЭТ/Эа)'.а>0 является следствием условия Х^^О. Композит ведет себя как упруго-пластическое тело с анизотропным трансляционным упрочнением. Начальная поверхность нагружения переносится в пространстве напряжений на вектор С^:£р без изменения формы и размеров.

Пластическое состояние обоих компонентов соответствует кусочно гладкой поверхности нагружения и закону пластичности в сингулярной точке, который может быть записан в виде

1 Д Э/4 Э/, ¿р=))«й— — -.'о-, / (<г,ер ер ) = / (а )= 0; (3.4)

и ^ ч да Эа 1 <!> ч> <*> <*>

К= < А,2,-А(1,Г': (\-А): (А(а,-А<.) )_1/4,Л; А.я«.А(1,+вЛа, •

Критерий полного активного нагружения определяется условием

2 а/.

X, . V И. — :С > 0, (1 = 1,2); (3.6)

<») Ь и да

3 = 1

</, ! = Г' » И^/1. - - -

Неравенства (3. 6) определяют е пространстве напряжений область, не совпадающую в общем случае с конусом касательных к гладким

/иричнение композита с идеально пластическими компонентами оказывается ограниченным. В пространстве макронапряжений существует предельная поверхность, которая может быть построена как огибающая семейства поверхностей

где о(1) и с рассматриваются как параметры.

Анализ показал, что эта предельная поверхность определяет переход к идеально пластическому деформированию, но не является поверхностью нагружения, ассоциированной с законом пластичности. В предельном состоянии деформирование происходит таким образом, что сингулярная точка поверхности нагружения движется по предельной поверхности.

Длп двухфазной среды с упрочняющимися компонентами получе-

КОМПОГШТ пКпопс

ш поадрличного критерия пластичности комппнрн-

Исследовано влияние начальных самоуравновешенных фазовых напряжений на пластические характеристики композита. Получено, что начальные микронапряжения приводят к смещению начальной поверхности нагружения и могут существенно влиять на предел упругости и его анизотропию. В то же время они мало влияют на характер деформационного упрочнения композита.

Для я-фазной среды эффективные определяющие соотношения могут быть представлены в виде тензорно линейной связи приращений напряжений и деформаций:

с!с=А°: ба-,

1=1

А" • П

(3.8)

где А - тензор мгновенных касательных податливостей, а тензор В° задает связь приращений фазовых и макро- напряжений:

(3.9)

и определяется из решения системы уравнений

с/а +)В :С :АР : ёо =В : йа, (1 = 1,2,.. . , л) (О Ц <Л Ш Ш и>

где

ёс =А° : ба ; с/ер = (А° -А ): Лг =АР :с!а . (I) и) <»)' и) 4 и) О)' (О и) и)

(3.10)

Решение системы тензорных уравнений (3.10) высокого порядна требует применения численных методов.

Для получения определяющих уравнений многофазной среды в аналитическом виде может быть использована многоуровневая цепная модель. В ее основе лежит последовательное попарное объединение компонентов с использованием результатов для двухфазной

средн. Б работе ишшсаны псе соответствующие соотношения для трехфазной и четырехфазной ср^д.

^..чси и упругими армирующими включениями различной формы. Для определения эффективных упругих постоянных, тензоров концентра-

Армиропанний шаровыми частицами композит с пластической матрицей онаэывается макроизотропным. В случае квадратичной поверхности нагружения и пластической несжимаемости матрицы поверхность нагружения композита имеет вид

1 / 2 (т- ее"): (х- сср) = к2; к2 +х) ; (4.1)

Л=а(|(т-еер):Лр; со+са))АУ Vе»/«!5

со=соЧ''»а'А<1,'А<а>)-

Здесь а(1)> с(1) ~ константы материала матрицы; и с^ зависят от упругих постоянных компонентов и их объемного содержания и определяют предел упругости композита и коэффициент упрочнения. Иеслелпряия папит»»»"»!- О-..,. .................

.....----------^ (.рсни и упругой матрицей и плас-

кными.

графиков.

Для композита, армированного короткими волокнами основное внимание уделено исследованию влияния длины волокон на анизотропию пластических характеристик и характерный вид диаграмм деформирования.

Пластические свойства волокнистого композита изучены наиболее подробно. В случае квадратичной поверхности нагружения матрицы закон пластичности для композита имеет вид

А?=ОЖ :(о-х); 1/2(с-х):Н:(в-х) = ^1)+х; (¡1-х) :Н: Лт>0; (4.2)

(о-Х):Н:Й1 аХ= -;

(о-х) :Н:Оо:Н: (в~х)+2а( Аг^+х)

Н^11:Р:В(11; <А-А(а) Г»: (В^-В^) .

Здесь тензор четвертого ранга Р - проектор пространства симметричных тензоров второго ранга на подпространство девиаторов. Остальные параметры были определены ранее. Композит является начально трансверсально изотропным и не является пластичесни несжимаемым.

Получены следующие основные особенности пластического деформирования волокнистого композита:

- сильная анизотропия начального предела пластичности, которая превосходит степень анизотропии упругих модулей;

- композиты даже с идеально пластической матрицей обладают деформационным упрочнением;

- диаграммы деформирования обладают линейным упрочнением

аа исключенном переходного участка вблизи предела пластичности; - упрочнение является анизотропным и зависит от напраоле-

- начальная повепхногть нягпишошю о -----------

- пластические характеристики кардинально зависят от объемного содержания армирующих включений и структуры материала.

и осооенности пластического деформирования волокнистых композитов подтверждены сравнением с широким спектром экспериментальных данных, включая эволюцию поверхности нагружения для нелучевых траекторий двухосного нагружения с разгрузкой, а также с результатами численных решений для периодических структур.

В результате проведенных исследований показано, что начальные температурные микронапряжения могут существенно влиять на характер ппастической анизотропии волокнистого композита.

С целью оценки погрешности гипотезы кусочно однородных полей в переходной части диаграммы деформирования была рассмотрена модель волокнистого композита в виде составного кругового цилиндра. Для такого составного цилиндра получено точное решение упруго-пластической задачи при осевом нагружении, что позволило ПОПТППМТК пиогпачич ---- -----

,и'тап диаграмма также выходит на учас-

нистого композита.

В качестве модели волокнистого композита рассмотрено трансверсально изотропное жестко-пластичесное тело с дополнительными кинематическими гипотезами: нерастяжимость вдоль оси изотропии, пластическая несжимаемость. Функция текучести в этом случае включает пять независимых инвариантов тензора напряжений относительно группы вращений вокруг оси изотропии. Специальный выбор этих инвариантов с использованием ассоциированного закона пластичности позволяет удовлетворить указанным кинематическим условиям.

Исследованы соотношения плоской деформации в главных плоскостях анизотропии среды для квадратичной функции текучести. Для силовых граничных условий записаны разрешающие системы уравнений статически определимой задачи в напряжениях, исследован их тип. Поставлены соответствующие краевые задачи. Для параболической системы уравнений найдено общее решение, включающее две произвольные функции, которые должны быть определены из граничных условий. В области гиперболичности получены уравнения характеристик и выполненные вдоль них соотношения между неизвестными функциями. Приведены простые примеры решения задач, в том числе с изменением типа системы уравнений в области решения.

В приложениях lull изложены основные идеи метода эффективного поля для упругих композитных сред, предложена новая тензорная форма представления основных результатов. Рассмотрены частные формы включений: шаровое, вытянутый сфероид, бесконечный цилиндр. Представлен вывод основных формул для тензоров влияния двухфазной и многофазной сред на основе метода самосогласования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Основные результаты работы заключаются в следуюкем:

ро по ре мен пых к макппхяпяитопм^тмгт»»« г» ^лг-ч.™ —----------- --

- тензор неупругих макродеформаций может быть получен осреднением линейно преобразованного тензора нсупругих микроде-

решением упругой задачи;

- ассоциированный закон течения для компонентов приводит к эффективным определяющим соотношениям аналогичного типа (сохранение принципа градиентальности );

- композитная среда из идеально пластических компонентов может обладать ограниченным деформационным упрочнением.

2. В рамках гипотезы кусочно однородных полей решена задача локализации - получена связь напряжений и деформаций в компонентах с макронапряжениями и макродеформациями, что позволяет перейти от определяющих уравнений для компонентов к эффективным соотношениям на макроуровне.

3. Для двухфазной композитной среды получены уравнения кусочно гладкой поверхности нагружения и ассоциированный закон

. н,«см>|П пвиивтин гладкой, материал ведет себя как чптгп-

ной догрузки не совпадает с конусом касательных к гладким участкам;

- упрочнение композита с идеально пластическими составляющими является ограниченным: в пространстве напряжений существует предельная поверхность, определяющая переход к идеально пластическому деформированию, но не являющаяся поверхностью на-гружения, ассоциированной с законом пластичности.

4. Предложены два возможных подхода к построению определяющих уравнений многофазной среды: прямое вычисление тензоров касательных модулей или податливостей и многоуровневая цепная модель на основе попарного объединения фаз.

5. На основе полученных для двухфазной среды определяющих уравнений построены модели композитных материалов, армированных включениями различной формы: частицами, короткими волокнами, непрерывными волокнами. Исследована анизотропия пластических характеристик волокнистого композита, эволюция поверхности на-гружения при двухосном нагружении, влияние начальных микронапряжений.

6. Разработана жестко-пластическая модель волокнистого номпоаита как трансверсально изотропной среды с дополнительной кинематической гипотезой о нерастяжимости вдоль оси. Получены и исследованы уравнения плоской деформации в главных плоскостях анизотропии. Поставлены соответствующие краевые задачи. Приведены примеры решения.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Исупов Л.П. Некоторые свойства определяющих уравнений для упругопластического композита // МКМ. 1984. N 6.

С. 997-1003.

2. Исупов Л .11., Работюв 10.11. О законе пластичности для

КОНППЯЯТИПЙ ОГ.ОПЧ // ли п "т-т . • - • - --- ---

пиммииитноп среды // ИКМ. 1985. Л' 4. Г ei4-fiiQ

-----------// исыпип гшинииски!^ ун-та. матем., механ.

1985. JV 6. С. 62-66.

5. Псу по d Л .¡1. 0 законе пластичности для композитной среды

6. Юсупов Л.Л. Анализ процесса пластического деформирования двухкомпонентного композита // Механика неоднородных структур. Тезисы докладов II Всесоюэн. конф. Львов, 1987. Т. 2. С. 304-305.

7. Исупов Л.П. Особенности пластичности композитных сред // Современные проблемы физики и ее приложений. Часть 2. М. , 1987. С. 95.

8. Исупов Л.П. Ограниченное упрочнение и предельное состояние пластической композитной среды // Вестник Московского ун-та. Матем. , механ. 1988. N 2. С. 22-26.

9. Исупов Л.П. Условия активного нагружения и разгрузки для пластической композитной среды // Вестник Московского ун-та. Матем. , механ. 1988. N 5. С. 36-40.

10. Исупов Л.П. Влияние начальных микронапряжений на пластичность композитной среды // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. N 3. С. 95-100.

11. Исупов Л.П. Упругопластическое деформирование составного цилиндра // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. N6. С. 96-101.

12. Hrvnnn П П Hi"4"»- ------------ -----

yupyiисти. 1езисы докл. Сыктывкар. 1989. С 14П-141

---- u...iuuikuíiiiuí, ниричых и трещиноватых сред // VII

неоднородных структур. Тезисы докл. III Всесоюэн. конф. Львов,

19Э1. С. 135.

15. ¡/¡супов Л. П. Вариант определяющих уравнений электропластичности с учетом анизотропии It Изв. АН СССР. МТТ. 1991. JV 6. С. 76-81

16. Исупов Л. П. Определяющие уравнения для пластической среды с тензорным параметром упрочнения // Устойчивость и пластичность в механ. деформ. тв. тела. III Симпозиум. Тезисы докл. Тверь, 1Э92. С. 22.

17. Исупов Л.П. Метод эффективного поля для упруго-пластического композита // Механика и технология композитов. Севастополь, 1992. С. 44-48.

18. Исупов Л.П. Определяющие уравнения пластического деформирования двухфазной композитной среды // МКМ. 1993. N 3. С. 296-301.

19. Исупов Л.П. Определяющие уравнения пластичности двухфазной упрочняющейся среды // МКМ. 1994. N2. С. 209-214.

20. Исупов Л.П., Хлебалина Е.А. Жестко-пластическая модель волоннистого композита // МКМ. 1994. N 6. С. 730-736.

21. Исупов Л.П. Уравнения плоской деформации пластической трансверсально-изотропной среды // Изв. РАН. МТТ. 1995. N 5. С. 102-108.

22. Isupov L.P. Constitutive equations of plastic anisotropic composite medium // IUTAM Symposium on "Micromechanics of Plasticity and Damage of Multiphase Materials". Sevres-France, 29 Aug.-01 Sept. 1995. Abstracts. P.19.

23. Isupov L.P. Mathematical modeling of plastic behavior of composite materials // The third International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Hamburg-Germany, 3-7 July, 1995. Book of Abstracts. P.310.

Часть работы выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 94-01-00180.