Термодинамика спиновых сеток изингового типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ФІЗИКИ КОНДЕНСОВАНИХ СИСТЕМ

^ На правах рукопису

ЯНІШЕВСЬКИИ Василь Степанович

УДК 538.1,538.22, 548:537.621, 548:537.611

ТЕРМОДИНАМІКА СПІНОВИХ СІТОК ІЗИНГОВОГО ТИПУ

01.04.02 - теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЛЬВІВ-2000

такие ж как и в рамках простой модели Изннга. Существенные изменения имеют место в случае, когда величины бак противоположного знака к ферромагнитному обменному взаимодействию. Аналитические и числовые результаты исследования эффективных взаимодействий в низкотемпературном пределе изображены в плоскости параметров к!с и 51 s. В плане сравнения с известными результатами для решетки в приближении среднего поля показано, что: фазовый переход ферромагнетик-парамагнетик в спиновой сетке при отрицательной анизотропии (о < 0) всегда П-рода (в случае решетки - он может быть также I-рода); в случае спиновой сетки отсутствует фазовый переход в антиквадрупольную фазу, который имеет место для решетки в соогветствующей области параметров к/с, 8!s. Резюмируя укажем, что кооперативные свойства спиновой сетки для многопараметрических гамильтонианов (в частности, изинговых спина S > 1), могут существенно отличатся от аналогических свойств для решеток.

Ключевые слова, модель Изинга, спиновая сетка, гауссово приближение, метод фунщьонапьного интегрирования

Yanishevsky V.S. Thermodynamics of spin nets of the Ising’s type - Manuscript

Thesis on search of the scientific degree of candidate of physics and mathematics sciences, specialty 01.04.02 - theoretical physics, Institute for Condensed Matter Physics of the Ukrainian National Academy of Sciences, Lviv, 2000.

The thermodynamic properties of spin nets in the Ising model with spin S > 1 are investigated. In general the effective Hamiltonian of a nodal subsystem of the spin net is determined; it has a structure of the generalized Ising model for given spin magnitude. The thermodynamic properties of regular spin nets in Ising’s models with spin S -1 are studied. The expressions for effective interactions in a nodal subsystem with application of a transfer - matrix method for one-dimensional spin chains depending on quantity of spins in a link and parameters of a Hamiltonian are obtained. Within the framework of a usual Ising model the phase transition with application of the mean field approach and modified Gaussian approach for a nodal subsystem of a net is examined. The analytical and numerical calculations for effective interactions for a generalized Ising model with spin S -1 are carried out. In the mean field approach the ground state of a spin net and character of phase transition in a system is explored. The comparative analysis with results of king's models for a lattice is performed.

Key words: Ising model, spin net, Gaussian approximation, Junctional integration method

спонтанного момента) и магнитной восприимчивости, имеет место конечный разрыв теплоемкости в критической точке. Изучены зависимости основных критических амплитуд термодинамических: функций от количества спинов в звене спиновой сетки. С увеличением длины спиновых звеньев указанные зависимости выходят на насыщение, что связано с анизотропными свойствами эффективного гамильтониана. Показано также, что в отличие от спонтанного момента составляющие термодинамических функций (магнитной восприимчивости, теплоемкости и энтропии), которые связаны с возникновением порядка в системе пропорциональны лишь числу узловых спинов.

С целью выхода за рамки приближения среднего поля предложен модифицированный метод гауссовых флуктуаций параметра порядка, который не содержит известных недостатков приближенных методов хаотических фаз и гауссово го приближения (приближение двухвосток) как неправильное описание рода фазового перехода и соответственно разрыв температурной зависимости спонтанного момента. Предложенный метод базируется на методе функционального интегрирования с применением вариационного метода В методе функционального интегрирования определен гамильтониан (функционал) с помощью которого получаются известные результаты приближения двухвосток полученные диаграммным методом. Дополнительное использование вариационной процедуры позволило получить правильное описание рода фазового перехода, что демонстрируют числовые расчеты в модели Изинга для двух- и трехмерных решеток. С помощью предложенного метода исследован фазовый переход в рамках модели Изинга на спиновой сетке двух и трех измерений. Числовым способом показано, что предложенное приближение дает правильное описание рода фазового перехода. Об этом свидетельствуют непрерывная зависимость параметра порядку р и положение максимума дисперсии Бг. Указано также, что достаточно хорошие результаты для спиновой сетки, в частности двух измерений, обусловлены преобладающим вкладом анизотропии О в эффективном гамильтониане сетки, что благоприятствует ферромагнитному упорядочению и соответственно стабилизирует флуктуации параметра порядка. Отмечается также, что предложенное приближение не вносит качественных изменений по сравнению с приближением среднего поля. Указанный вывод согласуется с данными литературных источников, что при наличии существенной величины анизотропии приближение среднего поля дает качественно хорошие результаты.

Определены общие черты поведения обобщенной модели Изинга на структуре спиновой сетки. Основное внимание уделено изучению влияния одно-ионной анизотропии (£) и биквадратного взаимодействия (к) в исходном гамильтониане на характер фазовых переходов и ферромагнитные свойства сетки. На основе анализа эффективных взаимодействий узловой подсистемы спиновой сетки показано, что для положительных 8 и к ферромагнитные свойства спиновой сетки качественно

передмові до розділу вказано на особливості, що виникають при дослідженні спінових сіток в рамках моделі Ізннга з величиною спіну Б>1. Наводиться постановка задачі і сформульовано підхід для її розв'язку.

В загальному випадку розглядається спінова сітка, що складається з N вузлів, які з'єднані між собою одновимірними спіновими ланками. Довжина ланки (кількість спінів в ланці), що з'єднує вузли і та ) складає Ну. Залежність кількості спінів ні; від номерів вузлів дозволяє також враховувати спінові сітки із структурним безладом. Опис ведеться в рамкач гамільтоніану Ізинга з обмінною взаємодією між найближчими сусідами. Застосування гамільтоніанів ізингового типу дозволяє уникнути некомутативішх величин, а за наявності взаємодії лише між найближчими сусідами статистичну суму сітки можна факторизувати за ланками сітки

спінового ланцюжка з «у + 2 спінами, де крайні спіни <т,,с7 можуть перебувати в довільних фіксованих станах, а операція Бр відноситься до спінів ланок (л;.):

Н {сг^сг - гамільтоніан ланки, що з'єднує вузли і та <т(1 <т. - вузлові спінові оператори; /?- обернена температура в енергетичних одиницях (/} “1!кТ, к-постійна Больцмана, Т - температура); операція Бр в (1) відноситься до вузлових

Вільна енергія /(о;.,сх ) є функція діагональних спінових матриць і може бугп представлена многочленом степені 2 в за степенями матриць а1, а,

Як видно, навіть в рамках звичайної моделі Ізинга спіну S>1 (Н, -

містить ліпне обмінну взаємодію) ефективний гамільтоніан вузлової підсистеми матиме мультипольну структуру.

Дія регулярних (періодичних) спінових сіток, що є предметом РОЗГЛЯД}’, для ізингових моделей спіну S -1 статистична сума визначається виразом

0)

де

- мас зміст вільної енергії

СПІНІВ.

Вирази для ефективних взаємодій у вузловій підсистемі і І$т наведені в роботі.

./(0.0)І5рехр(-Д^),

J 1*1

(3)

ь

де

я«г=:£(гЛ_/і)<т<+ЛгІ)<°і +Е*«іЧ*+Е/'<Г.<7/^4)

З І -^_/> <у> <:?>

г- кількість найближчих сусідів у вузловій "гратці", <г- набувають значень (-1,0,1). /,(0,0) = -—1п(2,(0,0)), В = --— її/!,

1 р 1 2у? \ г*(о,о) /

я=і-Іп('Шїї\ ,._Л-1пГВДМііИ!

2/? \ 2, (1,0) ; 4/? ( 2, (-1,1)

Л- ^ - го-14-^ , -Ці (5)

— ш —=------- , -ь = -^-0 + —щ — -------

р и.(о.о>і 2Р ч ЗД1)

де в (5) позначено статистичну суму спінового ланцюжка в якому крайні спіни перебувають в станах « і і': /(і,л’) = —-1п(2(.?,і')). Зауважимо, ідо параметри

Р

ефективного гамільгоніану (5) мають розмірність енергії і наведене представлення є більш зручним порівняно із введенням ефективної температури системи чи використанням безрозмірних величин в ефективному гамільтоніані, що наглядно демонструє далі розгляд їх асимптотичних значень в певних областях параметрів. Оскільки, вузлова підсистема має вимірність більше двох, то для її дослідження використовуються наближені методи розрахунку (як відомо, для спіну 5 = 1 відсутні точні розв’язки навіть у випадку нульового зовнішнього поля), а для визначення ефективних взаємодій застосовується метод трансфер-матриці (інакше матриці переходу), що задає точний розв'язок одновимірної задачі.

Для звичайної моделі Ізинга із феромагнітною взаємодією (є>0) гамільтоніан спінового ланцюжка в зовнішньому полі із виділеними вузловими спінами має вигляд

я—1 к

Я, = -с2>//+1 -е^сг, -агяст, -ХЧ ■ (6)

1=1 :=і

Статсума спінового ланцюжка в методі трансфер-матриці визначається матричним елементом

5') = ехр(-«*(£ + .$•')/2)- (7)

де Р= ехр(^,*2 + а/2-(«1 +х,))- трансфер-матриця третього порядку, у = рс, а- ріі.

Використовуючи власне представлення матриці Р для матричного елемента в

(7) одержимо

м

де Я,, |Л,) - відповідно власні значення і власні функції трансфер-матриці, які

можна виразити через розв'язки кубічного рівняння, Ь=е~а!г.

Чисисюйаналіз величин(5)внульавсмуиолі(5, Ь = 0)гаведений иарис.1,2,3.

Рис.1. Залежність ефективної міжвузлової обмінної взаємодії І Для різної кількості спінів в ланці (1- и = 1, 2- п =10,3-й = 100) від температури {а- ехр(-/?с)).

Рис.2. Залежність ефективної вузлової анізотропії £> для різної кількості спінів в ланці (1-«=1, 2- я =10,3- п =100) від температури (а-екр(-уЙє)).

Рис.З. Залежність ефективної біквадратної взаємодії К для різної кількості епіків в ланці (1- п=1, 2- и = 10, 3- п =100) від температури (а = ехр(-/&)).

Як видно, ефективна міжвузлова обмінна взаємодія має феромагнітний характер, біквадратна - протилежного знаку, знак анізотропії співпадає з обмінного взаємодією і слабо залежить від довжини спінового ланцюжка. Залежність від п можна більш детально простежити вивчаючи низькотемпературні зсишшушкз

1,й,К, які мають вигляд

І = ~є+кТ/2-Іп(2п + 1),0=-£+кТ-1п2, К =є-кТ/2Ла{4{2п+\)]. (9)

Тобто, як і у випадку спіну 8 = 1/2 (див. цитовану роботу Косевича А.М., Шкловського) має місце слабка залежність надобмінних взаємодій від кількості спінів в ланці п (логарифмічна залежність).

Досліджена вільна енергія вузлової підсистеми в наближенні середнього поля, що задається виразом (віднесеш до кількості вузлових спінів ІУ)

0(Р -/д = ~{рг -12)+~(г,2-д2) - І1п(2сЬ(/ (р + +1) _

-^1а(2сЬ(/(/7-/)) .*-*<«-*>-/« +1), (Ю)

де =—^-1112,(0,0), І = рг\і\, К = (кК, параметри р, І, q, т) задовольняють

Р \

умову екстремуму вільної енергії і визначаються з системи рівнянь 8Р/8(р, 1, q, т]) = 0. Параметри р, І- визначають суму і різницю спінових моментів підґраток, а Ц,Ц- відповідно суму і різницю квадратів спінових моментів. Проведені дослідження як іяляхом розкладу Ландау, так і числовим способом виявили відсутність фазового переходу в антиквадрупольну фазу {ц^О ). Має місце фазовий перехід П-роду із феромагнітної фази (/>5*0) в парамагнітну фазу (р = 0), параметр середнього поля д відмінний від нуля у всьому температурному інтервалі (рис.4,5). Визначений спонтанний момент спінової сітки т віднесений до кількості спінів в сітці N(1 + 7/112). Показано, що т<р, тобто крива т розміщена під кривою р (рис. 4) і обидві зливаються при Г—>0 і в околі критичної точки. Наведена фазова діаграма для спінових сіток з різною довжиною ланок в площині параметрів (п , д ).

Досліджені основні термодинамічні функції, магнітна сприйнятливість, теплоємність і ентропія спінової сітки. Показано, що в низькотемпературній області переважний внесок в магнітну сприйнятливість і теплоємність вносять спіни ланок (кількість спінів в ланках сітки Лгги/2). Внесок пов'язаний із флуктуаціями параметрів середнього поля пропорційний лише до кількості вузлових спінів N і швидше прямує до нуля для Г -> 0 із-за наявності параметра г в показнику експоненти ехр(-гг/кТ). Дослідженням критичної області встановлено, що критичні індекси типові для середнього поля: параметр порядку р ~| г|ш; сприйнятливість розбігається г_1, теплоємність містить скінчений розрив, де т = (Т-Тс)ІТс,Тс-

критична температура. Для критичнігх амплітуд згаданих термодинамічних функцій отримано вирази, що складним чином залежать від п. В граничному випадку відсутності ланок (випадок п = 0) отримуються відомі результати для гратки. Із зростанням п критичні амплітуди виходять на певне насичення (п » 20). Така поведінка пов'язана зі переважаючим впливом анізотропії £> порівняно з обмінними взаємодіями І, К у вузловій підсистемі сітки (рис. 1-3). Із збільшенням п роль анізотропії зростає, котра також практично для п >10 не змінюється.

Рис.4. Температурні залежності параметра феромагнітного порядку р для різної кількості спінів в ланці (1- п = 1, 2- л =10, 3- п =100),

Рис.5. Температурні залежності параметра ц для різної кількості спінів в ланці (1я = 1, 2- п =10,3- и = 100).

Третій розділ називається "Гаусове наближення для моделі спінової сітки". В цьому розділі наведені результати дослідження фазових переходів в спіновій сітці з використанням модифікованого гаусового наближення для флуктуацій параметра порядку. В першій частині розділу на прикладі звичайної моделі Ізинга ілюструється суть запропонованого методу. При цьому використовується підхід функціонального інтегрування в поєднанні із варіаційним принципом для вільної енергії. Статистична сума із виділенням середнього поля представляється функціональним інтегралом

/ -Црір

г = г0\{аруе-™/[, (її)

де 2а = е ; р(рц) = ~~І<} А? -ь Л7^(/гЛ,)- вільна енергія середнього поля моделі

Ізинга; /£■’.,(/») = -ІпБрє''*^- енергія спіну в зовнішньому полі; Им-И + 1ар0-середнє поле; р0- параметр порядку; в (13) позначено багатократний інтеграл

|(<//>)'(...) =П \йр{ \dpli...); ру = >РІ. - функціональна змінна, що описує

к.*0 -<о -оо

І^(ЛМ +Л,') - +2ї

просторові флуктуації параметра порядку. Флуктуаційна складова гамільтоніану системи є функціоналом змінних /\ (к ^ 0) і визначається виразом

Л'(р)~ +Щ-РМ), (12)

2р к-'О і

має зміст флуктуаційного поля, що діє на виділений спін;

•у N и.-ч

/к = г!ук: =І2е“; вектор б- охоплює найближчих сусідів в гратці;/- обмінна

2 8

взаємодія.

Нами було знайдений наближений гамільтоніан, що приводить до гаусового наближення в функціональному методі. Він отримується, якщо в (14) здійснити перехід

Г г „ ЧІ'2 >

(13)

V ' J

Застосування варіаційного принципу, де в якості нульового наближення застосовувався гамільтоніан (12, 13), а ак (7к —>ак) - служили в ролі варіаційних параметрів, дозволило отримати замкнену самоузгоджену систему рівнянь для параметра порядку і дисперсії гаусового розподілу, що узагальнюють відоме гаусове наближення . Проведені числові розрахунки показали, що запропоноване наближення не містить недоліків, про які йшла мова в розділі 1.

В другій частині розділу запропонований метод поширено на випадок гамільтоніану спінової сітки (ф.(5)), що розглядався в наближенні середнього поля в розділі 2. Отримано вираз для вільної енергії вузлової підсистеми сітки і самоузгоджена система рівнянь для параметра порядку р і параметра ц

(/,ш + 2^Л_м),ч =4= + ЩІІ2£ *ш). (14)

л/я’ -« Vл- і, х '

де ^(х,у) = -д" /ас"РР,АХ,У), Ь2(х, у) = -д!дуфР^х, у),

РРАХ,У) =-Іп8рехр(хсг + уа2), Ьш = р:Ір , + /ЗО.

Функція Л’-,- визначає дисперсію гаусового розподілу параметра порядку р і самоузгодженим чином визначається із системи рівнянь

де Ш = -еЧРіЬш + А, А;„), Д = ^ /Л2, ©ак = -А0)4 - ^(,)а(0),

Ь<»=еЧ?фш +ьлм), Ь<" = еЧ\'\}\м + ЙД*)-

Складова сск, що не містить залежності від хвильового вектора визначається

співвідношення

~ ~ *? -Л(1) /Ьт - V

[Я>іта(0) = Ь^---і ^ -А, (16)

1-54 -V

Рівняння (14) в сукупності з (15,16) описують фазовий перехід в спіновій сітці в запропонованому наближенні. До наближення двохвосток формально можна перейти поклавши ак —> /ь, 5, =5, і = 0. Результати числового розв'язку

для дво- і тривимірних спінових сіток наведені на (рис. 6, 7).

Рис.6. Температурні залежності параметра порядку р, параметра д і дисперсії (криві 1, 2, 3) для квадратної спінової сітки (довжина ланки п = 10) в гаусовому наближенні; середнє поле - криві 1 2’.

Рис.7. Температурні залежності параметра порядку р, параметра q і дисперсії

5, (криві 1, 2, 3) для кубічної спінової сітки (довжина ланки я = 10) в гаусовому наближенні; середнє поле- криві Г, 2\

Відзначимо, що запропоноване наближення дає добре узгоджені результати, про що свідчить неперервний хід параметра порядку р і положення максимуму дисперсії В той час, як в наближенні двохвосток розв’язки для параметра порядку взагалі відсутні, запропоноване наближення якісно описує і двовимірну систему. Як вже вказувалось, це зумовлено домінуючою роллю анізотропії О в ефективному гамільтоніані сітки, що сприяє феромагнітному впорядкуванню і відповідно стабілізує флуктуації параметра порядку. Про це свідчить також температурна залежність параметра і] (практично <7=1), що визначається в основному ефективною анізотропією £>. З цієї причини модифіковане гаусове наближення не вносить якісних змін порівняно із наближенням середнього поля, що узгоджується також з даними літературних джерел, що для значної анізотропії наближення

середнього поля дає якісно добрі результати.

Четвертий розділ носить назву " Узагальнена модель Ізинга для спінової сітки". На основі розвинутого підходу в розділі 2 досліджуються переходи в спіновій сітці в рамках узагальненої моделі Ізинга (УМІ) спіну Л' = 1. Гамільтоніан спінового ланцюжка в зовнішньому полі має вигляд

ні = -£,ї>лті-*5лЧ:и ~

1=1 »=1 1=1

ф^+5погг)-ф;<7{ + *їсгІ). (17)

Зміст позначень такий ж як і в (6). Розглядаються феромагнітні властивості системи (є> 0), а біквадратна взаємодія к і анізотропія З можуть набувати різних знаків. Структура загальних співвідношень (3-5) залишаються без змін, лише в (4) слід покласти :І) —> :І) - 5. В статсумі спінового ланцюжка (7) додатково виділиться множник ехр(-/Л(ї“ + я'‘)/2) (тут позначено А —ЗІ є). Подальша схема розрахунків полягала у виявленні впливу параметрів А, А1 (Лі = к!є) на характер фазових переходів і феромагнітні властивості спінової сітки. Зокрема, знайдені низькотемпературні асимптотики ефективних взаємодій (/? =0) для Д 4 >0 мають вигляд

/*-£■+-кТ/2- іп(и +1),О * -є(1 + Аі) + кГ-\п2,К*£-кТ/2■ 1п4(л + 1). (18)

Співставленая з (9) дозволяє зробити висновок, ідо феромагнітні властивості будуть аналогічні, як і рамках звичайної моделі Ізинга і відповідно можна перенести всі результати отримані в розділах 2, 3. Суттєво якісні зміни відбуваються, якщо 8, к набуватимуть протилежних значень до обмінної взаємодії є. У випадку (4=0) детально проаналізовано вплив анізотропії (Л < 0) на формування міжвузлових ефективних взаємодій для довільних п. Критичним є значення параметра А = -1. Для А < -1 міжвузлові ефективні взаємодії зникають. Зауважимо також, що для великих п згадана зміна від |Л[ відбувається досить різко (в області шириною = 1/и ). Досліджено фазовий перехід в спіновій сітці в наближенні середнього поля для вузлової підсистеми (функціонал вільної енергії (11)). Показано, що фазовий перехід феромагнетик - парамагнетик є завжди переходом П- роду, на відміну від гратки, де ях відомо, за певних значень А < 0 він стає І-роду. Відсутність фазового переходу І-роду і випадку сітки зумовлене тим, що сумарне поле анізотропії (із врахуванням внеску від середнього поля q\ що діє на вузловий спін є завжди додатне. Фазова діаграма для сіток з різними и за наявності анізотропії А< 0, Д = 0 в (17) наведена на (рис. 8).

Рис. 8. Фазова діаграма в площині параметрів а,\А\ для спінових сіток з різними п.

У випадку довільного значення Д досліджено основний стан спінової сітки і характер фазових переходів і проведено порівняльний аналіз із результатами для гратки в наближенні середнього поля. Показано, що області феромагнітного основного стану в площині параметрів (А, Аі), дія А >0 спінової сітки і гратки співпадають. Для А<0 феромагнітна область спінової сітки дещо звужується із зростанням п, що викликане руйнуванням обмінної міжвузлової взаємодії. В області феромагнітного стану відбувається фазовий перехід феромагнетик - парамагнетик, який е завжди переходом П-роду, про що частково вже згадувалось вище. Показано, що в області відсутності феромагнітного стану відсутній перехід в антиквадруполь-ну фазу, що має місце у випадку гратсси у відповідній області параметрів {А, Д). Відсутність згаданого переходу зумовлена структурою ефективного гамільтоніану вузлової підсистеми, в результаті його параметри не належать області, де відбувається цей фазовий перехід. В роботі наведені числові розрахунки температурних і польових залежностей намагніченості і квадрупольного моменту спінової сіт'ки для характерних областей в площині (А, Д). В феромагнітній області крива намагнічування має типовий для феромапіетика вигляд. Для інших областей спостерігається немонотонний хід намагніченості, що зумовлений залежністю ефективних взаємодій від зовнішнього поля.

Висновки

В даній дисертації розглянуто один із аспектів теорії спінових сіток -врахування високоспінових станів 5>1 в ізингових моделях. В загальному випадку розглянута статистична сума спінової сітки для гамільтоніанів типу Ізинга з довільною величиною спіну. Показано, що ефективний гамільтоніан вузлової підсистеми має структуру узагальненої моделі Ізинга для даної величини спіну і знайдені зручні співвідношення для визначення його параметрів.

Досліджено фазовий перехід в спіновій сітці в рамках звичайної моделі Ізинга

спіну 5=1. Для спінових сіток з різною довжиною спінових ланок (л) показано, що ефективні взаємодії досить слабо залежать від кількості спінів в ланці і із зростанням п роль одновузлової ефективної анізотропії зростає, тобто вузлова підсистема описується ефективним гамільгоніаном із значною одноіошою анізотропією. В наближенні середнього поля для вузлової підсистеми розраховані основні термодинамічні функції системи: намагніченість, магнітна сприйнятливість, теплоємність і ентропія. Визначені основні параметри фазового переходу феромагнетик - парамагнегик в критичній точці, що в граничному випадку гратки співпадають з відомими результатами, а для спінових сіток, з достатньо великими л виходять на певне насичення, зумовлене домінуванням анізотропії. ■

Розвинуто метод шусових флуктуацій для параметра порядку в ізиштших моделях фазових переходів, що дає правильний опис роду фазового переходу. Застосування запропонованого методу до опису фазового переходу в спіновій сітці поряд з уточненням наближення середнього поля продемонструвало, що отримуються задовільні результати для сіток двох і трьох вимірів. Відсутність якісних змін в картині фазових переходів узгоджується також з відомим твердженням, що за наявності значної анізотропії наближення середнього поля дає якісно добрі результати.

Досліджено фазові переходи в спіновій сітці в рамках узагальненої моделі Ізинга спіну 5 =1. Знайдені параметри ефективного гамільтоініану вузлової підсистеми спінової сітки в залежності від мікроскопічних параметрів (анізотропії і біквадратної взаємодії) вихідного гамільтоніану. Отримані результати використані для вивчення вузлової підсистеми в наближенні середнього поля. Визначено область феромагнітного основного стану спінової сітки в площині (анізотропії і біквадратної взаємодії), встановлено деякі особливості фазових переходів порівняно із граткою. Так, фазовий перехід феромагнетик - парамагнетик для спінової сітки є завжди ІІ-роду, на відміну від гратки, де він може бути також І-роду. Встановлена відсутність фазового переходу в ангиквадрупольну фазу для спінової сітки.

Підсумовуючи, відзначимо, що відомі ізингові моделі спілу 5 >І та структурах спінових сіток можуть виявляти певні особливості відмінні від храток. Тому їх дослідження, на нашу думку, становить певний теоретичний інтерес. В той же час, результати досліджень дисертації можуть бути використані для вивчення експериментальних даних з дислокаційного феромагнетизму чи застосовані в теорії декорованих граток. Розвинутий в дисертації метод гаусових флуктуацій параметра порядку може бути узагальнений і на випадок інших моделей фазових переходів. Основні результати дисертації опубліковані в таких роботах:

1. В.М.Цмоць, В.С .Янішевський, Я.Л.Заяць. Намагніченість спінової сітки в моделі Ізинга. //УФЖ.-1996.-41, №7-8,-С.727-736.

2. В.С-Янішевський. Узагальнена модель Ізинга 8=1 на спіновій сітці. //УФЖ.-1997.

- 42, №5,c. 595-602.

3. В.С.Яніиевськнй. Термодинаміка моделі Ізинга S=T на спіновій сітці. ,/УФЖ.-1999, т. 44, JVe4c.521-528.

4. B.C. Янішевський, В.М. Цмоць. Намагнеченість спінової сітки в моделі Ізинга. Гаусове н аб ли жеи ня./УЖурн. фіз. досл. - 2000. - т. 4, № 1. - с. 1-7.

5. V.S.Yanishevsky. Gaussian approximation for Ising mode!. Variational Approach. //Cond. Matt. Phys. - 2000. - V. 3, No. 1(21). - P. 201-212.

6. B.C.-Янішевський. Термодинаміка моделі Ізинга S=1 на спіновій сітці. Препринт ICMP-97-05U, Львів, 1997, 16 с.

7. В.С.Янішевський. Феромагнітні властивості спінової сітки для узагальненої моделі Ізинта S=l. Препринт ICMP-2000- 05U, Львів, 2000.

8. V.S.Yanishevsky, Ya.L.Zayats. Magnetic Properties of the Spin Nets in Ising Model. //International Workshop on Statistical Physics and Condensed Matter Theory. September 11-14, 1995, Lviv, Ukraine. Programme and Abstracts P.96.

9. I.V.Stasyuk, V.M.Tsmots, V.S.Yanishevsky, Ya.L.Zayats. Magnetic Properties of the Spin Nets in Ising Model, international Schooi-Conference on Physical Problems in Material Science of Semiconductors. 1 lth-16th of September, 1995, Chemivtsi, Ukraine. Abstract Booklet P.201.

10.B.C.Янішевський. Намагніченість спінової сітки для узагальненої моделі Ізинга S=l. Тези доповідей наукового семінару з статистичної теорії конденсованих систем, м. Львів. 14-15 березня 1997 р. Програма і тези доповідей, с.143.

11.V.S.Yanishevsky. Gaussian approximatioa for Ising model. Variational approach. In-tas-Ukraine Workshop on Condensed Matter Physics. (Lviv, May 21-24, 1998). Programme and Abstracts P. 142.

12.В.Стаскж, В.М.Цмоць, B.C. Янішевський. Намагніченість спінової сітки в моделі Ізинга Гаусове наближення.//Тези доповідей міжнародної школи-кояференції з актуальних питань фізики напівпровідників. 23-30 червня 1999 року Дрогобич, Україна 128 с.

13.V.S.Yanishevsky, V.M.Tsmots. Magnetization of a spin network in an Ising's model. Gaussian approximation. Third International Schooi-Conference on Physical Problems in Material Science of Semiconductors. Chemivtsi, Ukraine, 7a-lllh of September, 1999, Abstract Booklet. P. 123.

Янішевський B.C. Термодинаміка спінових сіток ізингового типу. - Рукопис Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математачяих наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика, Інститут фізики конденсованих систем Національної академії наук України, Львів, 2000.

Досліджуються термодинамічні властивості спінових сіток в моделях Ізинга спіну S > 1. В загальному вигляді визначений ефективний гамільтоніан вузлової підсистеми спінової сітки, який має структуру узагальненої моделі Ізинга для даної

величини спіну. Досліджені термодинамічні властивості регулярних спінових сіток в ізингових моделях спіну S = 1. Отримані і проаналізовані вирази для ефективних взаємодій у вузловій підсистемі з використанням методу трансфер -матриці для спінових одаовиміряих ланцюжків в залежності від кількості спінів в ланці і параметрів гамільтоніану. В рамках звичайної моделі Ізинга досліджено фазовий перехід з використанням наближення середнього поля і модифікованого варіанту гаусового наближення для вузлової підсистеми сітки. Проведені аналітичні і числові розрахунки для ефективних взаємодій для узагальненої моделі Ізинга спіну S - і. В наближенні середнього поля досліджено основний стан спінової сітки і характер фазових переходів в системі. Проведено порівняльний аналіз із результатами ізингових моделей для гратки.

Ключові слова: модель Ізинга, спіиоєа сітка, гаусове наближення, метод функціонального інтегрування

Ямишевский B.C. Термодинамика спиновых сеток таингового типа. - Рукопись Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика, Институт физики конденсированных систем Национальной академии наук Украины, Львов, 2000.

Исследуются термодинамические свойства спиновых сеток в моделях Изинга спина S > 1. Получено представление статистической суммы спиновой сетки, которое в явном виде содержит суммирование по спиновым состояниям лишь узловых переменных. При этом определен общем виде эффективный гамильтониан узловой подсистемы спиновой сетки, который имеет структуру обобщенной модели Изинга для данной величины спина. Определены явные выражения для параметров (эффективных взаимодействий) эффективного гамильтониана произвольной величины спина через решения одномерной задачи для конечной спиновой цепочки с фиксированными крайними спиновыми состояниями. Детально исследованы термодинамические свойства спиновой сеткн в рамках модели Изинга спина S=1. Расчет эффективных взаимодействий в узловой подсистеме спиновой сетки осуществляется с помощью метода трансфер-матрицы для одномерной спиновой цепочки. Изучены эффективные взаимодействия гамильтониана узловой подсистемы в зависимости от количества спинов в звене сетки и температуры. На их основе проанализированы свойства эффективного гамильтониана в приближении среднего поля. Похазано, что в системе происходит переход в ферромагнитную фазу, так же как и в случае спина S=l/2. Устаноалено также, что наличие биквадратного взаимодействия в эффективном гамильтониане не приводит к антиквадрупсльному упорядочению из-за преобладающего влияния одноузловой анизотропии противоположного знака. Изучено критическое поведение термодинамических функций спиновой сетки, которое в основном имеет характер типичный для приближения среднего поля. В частности, получены известные критические индексы для параметра порядку (соответственно

використаних джерел та двох додатків. Окремо до кожного розділу також наводяться висновки. Робота викладена на 157 сторінках включно із додатками і списком літератури, що містить 153 найменувань.

Основний зміст роботи

Вступ. Обгрунтована актуальність проблем розглянутих у дисертації, подано зв'язок з науковими темами, у роботі яких брав участь дисертант, визначена мета роботи, відображена новизна одержаних результатів.

Перший розділ "Огляд літератури" складається з двох підрозділів. Назва першого становить: "Модель спінової сітки і декоровані гратки", а другого-

"Гаусове наближення в моделі Ізинга".

В першому підрозділі наводяться теоретичні і експериментальні роботи, що зумовили розвиток моделі спінової сітки. В результаті досліджень пластично деформованих ковалентних кристалів (Б і і Се) з'ясувалось, що при пластичній деформації з'являється велика кількість атомів з обірваними валентними зв'язками, що володіють в нейтральному стані спіном 1/2. Дослідження електронно -парамагнітного резонансу вказували також на наявність обмінної взаємодії між спінами на дислокаційних обірваних зв'язках. В результаті склалась модель дислокації як лінійного ланцюжка обміннозв'язаних спінів. Дослідження намагніченості в пластично деформованих напівпровідниках виявили також макроскопічну феромагнітну складову намагніченості зразка, що пов'язувалась із магнітним впорядкуванням на дислокаційних структурах (оскільки недеформовані зразки являються діамагнітними).

Наводяться основні результати моделі дислокаційного феромагнетизму запропонованої в роботі (Косевич А.М., Шкловский В.А Дислокационная модель ферромагнетизма в немагнитных кристаллах. II ЖЭТФ.-1968.-55, в.3(9).- с. 1131— 1141.). Вказується на тісний зв'язок моделі спінової сітки із теоріями декорованих ґраток. Відзначається, що як модель дислокаційної спінової сітки так і наведені моделі декорованих граток обмежувались в кінцевому підсумку використанням розв'язку Онсагера. Обгрунтовано необхідність розвитку моделі спінової сітки на випадок величини спіну 5 > 1, що зумовлено як безпосереднім відношенням моделі до опису дислокаційних спінових структур із значенням спіну 5 й 1, так і можливим застосуванням до моделей фазових переходів типу декорованих граток.

В другому підрозділі вказано на вибір наближених методів досліджень, що використовуються в дисертації. Наведена схема наближення середнього поля для ізингових моделей і отримання наближення двохвосток (гаусове наближення) в рамках діаграмної техніки для спінових операторів. Вказані основні недоліки гаусового наближення і на простий спосіб покращення гаусового наближення, що пропонується в дисертації, детальний виклад якого здійснено в третьому розділі.

Другий розділ носить назву "Спінова сітка в моделі Ізинга". У короткій

з

дисертації теоретичні дослідження феромагнітних властивостей спінових сіток в рамках моделі Ізинга спіну Б-1 сприяють глибшому розумінню статистичних і термодинамічних властивостей даних структур. Отримані результати можна використати для інтерпретації певних результатів дослідження феромагнітних властивостей дислокаційних структур в пластично-деформоваяих ковалентних напівпровідниках.

Запропонована схема розрахунку і отримані результати можуть бути використані також в теорії спінових чи псевдоспіновнх систем для декорованих ґраток.

Отриманий в дисертації самоузгоджекий опис флуктуацій параметра порядку в ізингових моделях може бути поширений також на випадок інших моделей фазових переходів.

Особистий внесок здобувача. У роботах виконаних зі співавторами, здобувану належить:

- вибір схеми і методів розрахунку статистичних властивостей спінової сітки; ідея розгляд низькотемпературних асимптотик ефективних взаємодій і аналіз на їх основі вузлової підсистеми спінової сітки; проведення числових розрахунків;

- поширення методу гаусового наближення для флуктуацій параметра порядку на випадок спінової сітки; проведення числових розрахунків.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались і обговорювались на таких конференціях:

- Міжнародна робоча нарада "Статистична фізика та теорія конденсованого стану" (Львів, 1995);

- Міжнародна школа-конференція з фізичних проблем напівпровідникових матеріалів. (Чернівці, 1995);

- Науковий семінар з статистичної теорії конденсованих систем (Львів, 1997);

- Міжнародна робоча нарада "Фізика конденсованого стану" (Львів, СМТАЗ-У країна, 1998);

- Міжнародна пжояа-конференція з актуальних питань фізики напівпровідників. (Дрогобич, 1999);

- Третя міжнародна школа-конференція з фізичних проблем напівпровідникових матеріалів. (Чернівці, 1999),

а також на семінарах відділу квантової статистики Інституту фізики конденсованих систем Національної академії наук України та семінарах фізико-математачного факультету Дрогобицького державного педагогічного університету. Публікації. Матеріали дисертації опубліковані в п'яти журнальних статтях, двох препринтах і шести тезах конференцій.

Структура і об'єм дисертації.

Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, слясву

задачі для спінового ланцюжка.

Досліджено фазовий перехід на регулярній спіновій сітці в рамках звичайної моделі Ізинга спіну 5=1 із феромагнітною обмінною взаємодією. В результаті точного розв'язку одновимірної задачі для спінового ланцюжка знайдені аналітичні вирази для ефективних взаємодій у вузловій підсистемі спінової сітки. Показано аналітично, на прикладі низькотемпературної області, що має місце слабка (логарифмічна) залежність ефективних взаємодій від кількості спінів в ланці спінової сітки. Звідси випливає, що, як і у випадку спіну 8=1/2, має сенс задача про фазовий перехід феромагнетик - парамагнетик для спінових сіток із значною кількістю спінів в ланці, оскільки температура фазового переходу є досить значною. В рамках наближення середнього поля для вузлової підсистеми вивчена критична поведінка основних термодинамічних функцій’, намагніченості, магнітної сприйнятливості, теплоємності і ентропії. Показано, що критичні індекси мають типові для середнього поля значення, однак відповідні критичні амплітуди залежать від кількості спінів в ланці сітки. Вивченням термодинамічної границі показано, що на відміну від намагніченості, яка пропорційна кількості всіх спінів в сітці, складові інших розглядуваних функцій, що виявляють критичну поведінку, пропорційні лише вузловим спінам.

Запропоновано модифікований метод гаусового наближення флуктуацій параметра порядку, що не містить відомих недоліків (неправильний опис роду фазового переходу, стрибок намагніченості) наближень хаотичних фаз, гаусового наближення (інакше наближення двохвосток). В запропонованому варіанті гаусового наближення досліджено фазовий перехід на спіновій сітці. Числовим способом показано, що запропоноване наближення дає правильний опис роду фазового переходу і уточнює результати середнього поля для спінової сітки.

Досліджено фазові переходи на спіновій сітці в рамках узагальненої моделі Ізинга 8=1 (додатково до феромагнітної обмінної взаємодії враховані анізотропія і біквадратна взаємодія). Знайдені параметри ефективного гамільтоніану вузлової підсистеми як функції параметрів (температури, кількості спінів в ланці, величини анізотропії і біквадратної взаємодії). На їх основі в наближенні середнього поля для вузлової підсистеми визначена область (в площині параметрів анізотропії і біквадратної взаємодії), де спінова сітка володіє феромагнітними властивостями. Співставленням із відповідним результатами для ґратки показано, що фазовий перехід феромагнетик - парамагнетик для спінової сітки за наявності анізотропії є фазовим переходом лише П-го роду, в той час як для гратки він може бути 1-го роду. Показано також, що для спінової сітки відсутній фазовий перехід у антиквадрупольну фазу, що є характерним для даної моделі Ізинга на гратці дія певних значень анізотропії і біквадратної взаємодії.

Практичне і наукове значення одержаних результатів. Проведені в

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення термодинамічних властивостей об'єктів типу спінових сіток було зумовлене експериментальними дослідженнями дефектної структури напівпровідникових матеріалів. Зокрема, інтенсивні дослідження лінійних дефектів - дислокацій в ковалентних напівпровідниках (Бі, Ое), що є основою сучасного приладобудування показали, що вони суттєво можуть впливати на структурні, електрофізичні та магнітні властивості напівпровідникового матеріалу і визначати їх. Хоча дислокація - лінійний дефект, однак в результаті переплетіння вони утворюють в кристалі певну дислокаційну сітку, що веде таким чином до зростання вимірності дефекту. Експериментальні дослідження свідчать, що в системі електронних дислокаційних спінів відбуваються явища кооперативного характеру, пов’язані із магнітннм впорядкуванням. Для опису структур такого типу власне і використовується модель спінової сітки. Термодинамічні властивості спінових сіток навіть в рамках простих моделей вивчені на сьогодні не достатньо.

В даній роботі розвивається статистичний підхід до опису спінових сіток в рамках ізинговнх моделей довільної величини спіну. Детально досліджується модель спінової сітки для величини спіну рівній одиниці. Звертається увага на зв'язок вихідної моделі з моделями типу декорованих граток, що використовуються в різноманітних розділах статистичної фізики.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в Дрогобицькому' педагогічному університеті імені Івана Франка, де основні результати отримані при виконанні НДР за держбюджетною темою "Комплексне дослідження домішково - дефектних станів у ковалентних напівпровідниках" (ДР № 019611010321 за 1996/98 рр., ДР № 010011000178 за 1999/2001 рр.).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи було формулювання послідовної статистично - термодинамічного теорії спінових сіток для довільної величини спіну, дослідження фазових переходів в системі, вивчення основних термодинамічних функцій. Для її реалізації ставились завдання: оптимального вибору модельного гамільтоніану системи, що дозволяє сформулювати задачу в замкнутому вигляді; розробити схему її розв'язання; здійснити вибір оптимальних методів дослідження; провести порівняльний аналіз результатів для спінової сітки із відомими результатами для гратки.

Наукова новизна одержаних результатів. Отримано зручне для подальших досліджень представлення статистичної суми, що містить лише вузлові змінні спінової сітки, для гамільтоніанів ізингового типу з довільною величиною спіну. Показано, що ефективний гамільтоніан має мультипольну структуру, і знайдено явні вирази для параметрів ефективного гамільтоніану через розв'язки одновимірної