Точечные процессы и выходы за уровень реализаций гауссовских процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

0.1 Основные обозначения.

0.2 Введение

1 Интенсивности особых точек огибающей гауссовского процесса

1.1 Элементы общей теории точечных процессов.

1.2 Локальные максимумы огибающей гауссовского процесса

1.2.1 Определение огибающей и интегральные представления интенсивностей ее локальных максимумов

1.2.2 Вспомогательные результаты.

1.2.3 Асимптотический анализ интегралов, определяющих интенсивности маркированных точечных процессов.

1.2.4 Формулы интенсивностей локальных максимумов огибающей

1.3 Изолинии равной интенсивности выходов двумерного гауссовского процесса.

2 Асимптотический анализ вероятностных характеристик выходов случайных процессов

2.1 Исходные понятия.

2.2 Пуассоновость выходов за высокий уровень огибающей гауссовского стационарного случайного процесса.

2.2.1 Свойства компонент огибающей

2.2.2 Асимптотика квантования точечного процесса выходов. "

2.2.3 Предельная пуассоновость квантованного точечного процесса выходов огибающей.

2.3 О слабой сходимости непрерывных функционалов от случайных процессов с непрерывно дифференцируемыми траекториями.

2.4 Непрерывные функционалы на слабо сходящейся последовательности оо)-значных случайных процессов

2.5 Примеры непрерывных функционалов на слабо сходящейся последовательности гладких случайных полей

0.1 Основные обозначения

С; Съ Сг,. - константы; т - знак транспонирования; х = хт)т - вектор столбец;

Ах В - декартово произведение множеств; Е - математическое ожидание; & - случайный процесс;

- векторный случайный процесс; rijit) - взаимные корреляционные функции, 7(г) = г) + rj^C?"); ||£|| - детерминант ковариационной матрицы Е; F(-) - спектральная функция; Afe = XkF(d\) - /г-й спектральный момент; Р(-),Рп(-) - вероятностные меры; Р(-) х Р(-) - прямое произведение вероятностных мер; р(0 j Рл(*)> (*) - плотности распределений вероятностей; ns(x) - вектор нормали к поверхности S в точке х; dS$(x.) - дифференциал площади поверхности в точке х £ 5$; TV(-) - точечный процесс;

ОД-) - точечный процесс выходов за круг радиуса щ fj>,fj>u ~ интенсивности точечного процесса N, N*] J(2) (■) - второй факториальный момент; wx(-) - модуль непрерывности функции ж(-);

С* [0,1], 0,оо) - пространство к-раз непрерывно дифференцируемых 11т-значных векторных функций на [0,1], и на [0,оо) соответственно; -JLe"® /2 - плотность распределения стандартной гауссовской случайной величины;

Ф(у) = f cp(t)dt - ее функция распределения;

Во многих областях естествознания и техники возникают постановки сложных математических задач, связанных с расчетом вероятностных характеристик случайных точечных процессов, порождаемых реализациями случайных процессов или полей. Начальные постановки такого рода задач и первые результаты, связанные с пересечениями уровня реализациями случайных процессов, были получены при решении задач статистической радиотехники о передаче сигналов в условиях присутствия шумов, см. Райе (1945,1958), Райе, Биир (1966). Более полно это направление представлено в книге Тихонов (1970). В задачах расчета характеристик надежности технических систем типичными являются задачи оценки вероятностей выхода параметров, характеризующих пригодность использования систем, за границы допустимых областей. В расчетах прочности конструкций, подвергающихся воздействию случайно меняющихся нагрузок, важно уметь рассчитывать вероятность превышения ими критического уровня в течение заданного времени эксплуатации этих конструкций. Здесь мы встречаем задачи расчета максимума случайного процесса, описывающего изменение - нагрузок. Близкие задачи связаны с задачами накопления усталости материалов при случайном циклическом изменении нагрузок. Такого рода задачи рассматриваются в монографии Лидбеттер, Ротсен и Линдгрен (1989). Естественно, что эти практически важные задачи привлекли внимание математиков, специалистов в области случайных процессов и математической статистики. Так задача выхода случайного процесса за уровень для частных типов случайных процессов рассматривалась в работе Кац и Слепян (1960). В начале 60-х годов были получены интересные результаты о числе пересечений уровня, см. Ито (1964), Крамер (1966). Здесь наиболее продуктивными оказалось использование (и развитие теории) соответствующих точечных процессов. Один из первых результатов общего значения содержала работа Булинской Е. В., (Булинская (1961)), в которой получены общие условия для ограниченности среднего числа пересечений уровня реализаций случайного процесса, а также условия отсутствия касаний уровня. Полученные в это время результаты, связанные с задачами ти*па пересечений уровня случайными процессами, составили содержание второй части монографии Крамер и Лидбеттер (1969). Русский перевод этой книги с дополнением Беляева Ю. К., содержащим новые результаты, полученные в том числе в МГУ, был опубликован в 1969, см. Беляев (1969). Задачи о пересечениях уровня случайными процессами, получают разнообразные обобщения. В статье Беляев (1968) приведена формула для среднего числа выходов векторного случайного процесса из области с гладкой границей. Это обобщение на векторные процессы выявило новые подходы к решению ряда известных ранее задач. Так задача о пересечении уровня огибающей случайного процесса была сформулирована как задача о выходах за границу круга двумерным процессом, в котором компонентами являются исходный стационарный процесс и его преобразование Гильберта. Заметим, что эти компоненты являются взаимно зависимыми случайными процессами. В серии статей, посвященных выходам двумерного гауссовского процесса за границу круга (радиуса и), предполагалось, что его компоненты взаимно независимые гауссовские процессы, Линдгрен (1980а, 19806, 1984). В такой постановке задача эквивалентна изучению выходов Х2-процесса + £ft за уровень и2. Поскольку огибающая случайного процесса является естественной математической моделью амплитудно-моделированных сигналов и не входит в класс х2-процессов, то ее исследование продолжалось. В статьях Адлер (1978), Дитлевсен, Линдгрен (1988), Линдгрен (1989), Хасофер (1974), Хасофер, Петоч (1979) были решены отдельные частные задачи, связанные с огибающей: найдены интенсивность выходов за уровень и приближения для вероятностей длительных выбросов.

Поведение реализаций стационарных гауссовских процессов и полей в окрестности точек пересечений высокого уровня или высоких локальных максимумов было исследовано в работах Кац, Слепян (1960), Беляев, Носко (1969), Носко (1969а, 19696, 1986). Поскольку пересечения локальных максимумов происходят при случайных значениях временного параметра, то здесь естественными являются так называемые эргодические распределения. В теории точечных процессов, см. Кениг, Шмидт (1992), Керстан, Маттес, Мекке (1982), эти распределения называют распределениями Пальма. Эргодические распределения имеют естественное статистическое понимание.

Задачи о выходах реализаций гауссовских процессов и полей за уровень тесно связаны с задачами нахождения распределений максимума случайных процессов и полей. Здесь существенные результаты были получены Питербаргом В. И. Эти результаты включены в его монографию, Питербарг (1996).

Числа выходов за уровень, как и числа локальных максимумов реализации на определенном отрезке времени (множестве значений временного параметра), естественно понимать как значение соответствующего функционала, заданного на каждой реализации. Задачи о нахождении распределений таких функционалов могут быть решены только для весьма узкого класса гауссовских случайных процессов. Однако, можно получить асимптотически точные распределения чисел выходов за растущий уровень, или выходов векторного процесса за границу расширяющейся области в асимптотической постановке задачи. Здесь базовым является понятие слабой сходимости распределений вероятностных мер в полных сепарабельных метрических пространствах. Работы Прохорова Ю. В., см. Прохоров (1953, 1956), открыли новые подходы к решению многих задач теории случайных процессов, в том числе задач, связанных с пересечениями растущего уровня.

Понятие слабой сходимости подробно описано в ряде монографий, см., например, Биллингсли (1977), Ван дер Ваарт и Веллнер (1996). Хорошо известны условия слабой сходимости для пространства непрерывных функций на отрезке и пространства Скорохода. Условия слабой сходимости получены для специальных классов случайных процессов, таких как точечные случайные процессы и скачкообразные процессы, см., например, Калленберг (1975), Гут и Йансон (1999). Слабая сходимость к пуассоновскому точечному процессу числа пересечений растущего уровня стационарным гауссовским процессом при соответствующем выборе масштаба времени была получена Крамером и Лидбеттером (1969) и одновременно при более слабых ограничениях на корреляционную функцию гауссовского процесса Беляевым (19676). Обзор более поздних результатов дан в книге Питербарга (1996). Заметим, что результаты о непрерывности целочисленных функционалов типа пересечений уровня, полученные в работе Русаков, Селезнев (1987), нашли применение в задачах, связанных с использованием интенсивных компьютерных методов в статистике случайных процессов (Беляев, Селезнев (2000), Селезнев, Беляев (2000)).

Диссертация состоит из двух глав. Список литературы содержит 62 источника.

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов. Здесь получены формулы, определяющие интенсивности случайных точечных процессов, связанных с реализациями вещественных или векторно-значных стационарных гауссовских процессов В §1.1 приводятся основные необходимые понятия общей теории точечных процессов. Простой случайный точечный процесс определяется случайной последовательностью моментов наступления некоторых событий, например, моментами выхода за уровень (из заданной области) реализации случайного процесса, или последовательностью локальных максимумов случайного процесса. Одной из основных характеристик случайного точечного процесса является его интенсивность, которая совпадает с параметром, определяемым формулой (1.1). Во многих задачах естественно характеризовать наступающие события, дополняя их величинами (метками) связанными с поведением реализации в моменты наступления событий. Так момент наступления локального максимума можно дополнить его высотой - значением реализации в момент наступления этого локального максимума. Здесь полезным оказывается понятие простого маркированного точечного процесса с множеством Жк меток в RA Такой процесс 4?sM для любого ограниченного борелевского множества Л в [О, Т] х Жк задается соотношением где Sm - случайное множество, определяющее этот точечный процесс. Распределение меток в случайные моменты 5м естественным образом определяется с использованием интенсивностей этого маркированного процесса по формуле (1.3). Полученное распределение называется эргодическим, или распределением Пальма. Эти распределения имеют естественную статистическую интерпретацию для эргодических случайных процессов. Ряд интересных задач связан с изучением свойств огибающей вещественного стационарного гауссовского процесса. Огибающая определяется в §1.2. Здесь по формуле (1.7) находится преобразование Гильберта стационарного гауссовского процесса (1-4), для которого огибающая задается соотношением (1.8). Рассмотрение двумерного процесса, компонентами которого являются стационарный гауссовский процесс и его преобразование Гильберта, существенным образом облегчает сложную задачу вычисления интенсивности fj,+ локальных максимумов огибающей. Формально задается формулой (1.10) являющейся шестимерным интегралом. Моменты локальных максимумов можно отождествить с входами под нулевой уровень производной огибающей или с пересечениями поверхности этим двумерным случайным гауссовским процессом. Это существенно упрощает последующие рассчеты. Здесь используется асимптотика вероятности наступления локального максимума на малом интервале времени, задаваемая формулой из теоремы 1. Основными утверждениями в этом параграфе являются теоремы 1 и 2, в которых даны явные выражения интенсивностей маркированных точечных процессов локальных максимумов Х2, Ёь #2) и n+(xi,x2), когда метками являются значения процесса х\ и его преобразования Гильберта х2, и также йх вторых производных х\ и х% Значения жь £1, определяют высоту и кривизну, соответствующую локальному максимуму. Формула (1.58) задает интенсивность маркированного точечного процесса с фиксированными высотами локальных максимумов огибающей. Эта формула совместно с окончательной формулой (1.59) для интенсивности всех локальных максимумов определяют эргодическое распределение Пальма высоты локального максимума: \

P+ir) =-

В исследованиях асимптотических свойств точечных процессов типа выходов из области представляет интерес получение изолинии (изопо-верхности), интенсивность пересечений которой векторным случайным процессом постоянна. В §1.3 выписано дифференциальное уравнение

1.62) в частных производных, каждое решение которого у = Г(х) определяет в Шк изоповерхность (при к = 2 изолинию) уравнением Г(х) = 0, т.е. поверхность в точках которой интенсивность точечного процесса выходов векторного гауссовского процесса Ъ% имеет постоянное значение. При к = 2 дифференциальное уравнение (1.62) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое в полярной системе координат преобразуется к дифференциальному уравнению

1.63) первого порядка неразрешенному относительно производной. Указана область существования действительных решений уравнения (1.63), проведено качественное исследование поведения решений этого уравнения, получена картина качественного поведения решений, см. рисунок в §1.3. Доказано, что для огибающей гауссовского стационарного процесса каждому значению интенсивности соответствует только одна изолиния-окружность с центром в начале координат.

Глава 2 посвящена асимптотическим свойствам некоторых классов функционалов, связанных с векторными гауссовскими случайными процессами и порожденными ими случайными точечными процессами.

В §2.1 приведены постановки решенных в последующих параграфах задач. Даны основные понятия, используемые далее в диссертации.

В следующем §2.2 основным объектом исследования является точечный процесс моментов выходов векторного гауссовского процесса — за окружность большого радиуса и.

Рассматривается случай, в котором - гауссовский стационарный случайный процесс с корреляционной функцией гц(^), a ~ его преобразование Гильберта. Заметим, что г 12(f) - совместная корреляционная функция и £21- Основным результатом §2.2 является теорема 5, в которой предполагается выполнение условий: гцМ-ги(0) |<|1п|<||(1+с), 6>0,

Hm Int^Jr^t) + r\2(t) = 0, и наличие в спектральной функции F(А) ненулевой абсолютно непрерывной составляющей. Доказано, что при этих предположениях пересечения уровня огибающей гауссовского стационарного процесса в масштабе времени с единицей Т = /2образуют точечные процессы сходящиеся по распределению при и —> оо к пуассоновскому точечному процессу имеющему единичную интенсивность. Здесь k = f™\kdF(\).

При доказательстве используется переход к дискретному времени. Требуемая асимптотика шага квантования получена в лемме 2. В доказательстве теоремы 5 используется асимптотика второго факториального момента для числа выходов огибающей из круга радиуса и на интервале длины T/s(u), s(u)Ju —у оо, In s(u) = о(и2), и —у оо. Далее доказательство основано на обобщении метода Бермана, с помощью которого обосновывается независимость выходов на последовательности интервалов времени конечной длины в масштабе с единицей времени Т.

В §2.3 исследуется слабая сходимость последовательности вероятностных мер и случайных элементов в пространстве векторных непрерывно дифференцируемых функций на отрезке. Теорема 7 дает критерий плотности последовательности мер в пространстве 0,1]. В теореме 8 доказаны достаточные условия сходимости последовательности случайных элементов в пространстве 0,1]. Эти условия выполнены для узкополосного случайного процесса (см. пример 1) и для последовательности стационарных случайных процессов с урезанным спектром частот (см. пример 2). Сужение исходного класса непрерывных функций (до класса k-раз непрерывно дифференцируемых функций) позволяет исследовать сходимость по распределению более широкого класса функционалов, определенных на пространствах 0,1] и уже непрерывных в топологии этих пространств. В лемме 5 доказана непрерывность целочисленного функционала, равного числу точек пересечений множества гладкой поверхности функцией из пространства

С* [0,1].

В §2.4 исследуется слабая сходимость последовательности вероятностных мер и случайных элементов в пространстве векторных непрерывно дифференцируемых функций на не компактном множестве [0, оо). Теорема 10 - критерий слабой сходимости случайных элементов в пространстве С^[0, оо). В предложении 2 доказана непрерывность целочисленных функционалов Ti(x) (г-й момент пересечения нулевого уровня функцией х) и Nj(x) (число пересечений нулевого уровня на отрезке [0,j] функцией х) на пространстве С^О,оо). В предложении 4 доказана слабая сходимость масштабированного модельного процесса Слепяна.

В §2.5 исследуется слабая сходимость последовательности вероятностных мер и случайных элементов в пространстве векторных непрерывно дифференцируемых функций определенных на m-мерном кубе [0,1]т. Предложение 7 дает критерий плотности последовательности вероятностных мер в пространстве С*[0,1]т. В примере 5 доказана слабая сходимость гауссовских однородных случайных полей с урезанным спектром частот в пространстве Ск[0,1]т. В примере 6 доказывается слабая сходимость J-образной последовательности гауссовских однородных случайных полей. Сужение класса непрерывных функций С[0,1}т до класса к раз непрерывно дифференцируемых функций Ск[0,1}т дает возможность исследовать слабую сходимость более широкого класса функционалов, определенных на Ск[0,1]т. Так в предложении 7 доказана непрерывность целочисленного функционала N, равного числу стационарных точек функции ж(-) € Ск[0,1]т, к > 2. В теореме 12 сформулированы достаточные условия слабой сходимости непрерывного функционала N на последовательности Ск[0,1]т~значных случайных элементов.

Основные результаты работы:

1. Получены формулы интенсивности точечного процесса локальных максимумов огибающей стационарного гауссовского случайного процесса. Найдено распределение Пальма высот локальных максимумов.

2. Исследованы семейства изолиний имеющих постоянную интенсивность выходов реализаций двумерного случайного стационарного гауссовского процесса с зависимыми компонентами. Как следствие доказано, что для огибающей гауссовского стационарного процесса каждому значению интенсивности соответствует только одна изолиния-окружность с центром в начале координат.

3. Доказана предельная теорема об асимптотической пуассоно-вости точечного процесса выходов за окружность большого радиуса двумерного процесса, компонентами которого являются стационарный гауссовский процесс и его преобразование Гильберта.

4. Исследована слабая сходимость последовательности функционалов типа числа пересечений границы гладкой области на пространствах &-раз непрерывно дифференцируемых т-мерных функций 0,1] - на отрезке, оо) - на полупрямой и Ск[0,1]п - на п-мерном кубе.

5. Даны доказательства условий слабой сходимости вероятностных распределений в пространствах С* [0,1], С£[0, оо) и Cfc[0,1]п. Доказано, что эти условия выполнены для узкополосного случайного процесса, для случайных процессов и полей с урезанным спектром частот, и также для модельного процесса Слепяна.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Ю. К. Беляеву за поставленные задачи, внимательное руководство, многочисленные советы и многолетнее сотрудничество.

Автор также выражает благодарность О. В. Селезневу за полезное обсуждение и внимание к научной работе. Автор выражает глубокую благодарность

В. А. Красавкиной за поддержку и помощь в оформлении диссертации.

1. Appl. РгоЪаЪ., 15, 3, p.502-513.

2. Андерсон Т. У. (1963) Введение в многомерный статистическийанализ. Физматгиз, Москва.

3. Арнольд В. И. (1978) Дополнительные главы теории обыкновенныхдифференциальных уравнений. Москва.

4. Беляев Ю. К. (1967а) О всплесках и бликах случайных полей. ДАН1. СССР, 176.

5. Беляев Ю. К. (19676) Предельная теорема для числа пересеченийвысокого уровня гауссовским процессом. ДАН СССР, 173, 4, с.739740.

6. Беляев Ю. К. (1968) О числе выходов пересечений границы векторногопроцесса. Теория вероятностей и ее применения, 13, с.320-324.

7. Беляев Ю. К. (1969) Новые результаты и обобщения задач типапересечений. Дополнение к книге Крамер Г., Лидбеттер М. (1969), с.341-378.

8. Беляев Ю. К., Носко В. П. (1969) Характеристики выбросов за высокийуровень гауссовского процесса и его огибающей. Теория вероятностей и ее применения, 1969, 14, No 2, с.302-314.

9. Беляев Ю. К., Русаков А. А. (1989) О среднем числе локальныхмаксимумов огибающей стационарного гауссовского процесса. Тезисы пятой международной Вильнюсской конференции по вероятности и математической статистике. Вильнюс, 1989, 3, с. 10-61.

10. Беляев Ю. К., Русаков А. А. (1990) О среднем числе локальныхмаксимумов и минимумов огибающей стационарного гауссовского процесса. В сб. "Вероятностные задачи дискретной математики",

11. Моск. Институт Електронного Машиностроения, Москва, с.114-118.

12. Беляев, Русаков (Belyaev Yu . К., Rusakov А. А.) (1991) Intensity of local maxima of stationary Gaussian process. Department of Mathematical

13. Statistics, Lund Institute of Technology, 1991:6, Lund. Sweden.

14. Беляев, Селезнев (Belyaev, Y u . K. , Seleznjev 0. V.) (2000) Approachingin Distribution with appHcations to Resamphng of Stochastic Processes.

16. Берман (Herman S. M.) (1964) Limit theorems for the maximum term instationary sequences. Ann. Math. Statistics, 35, 2, p.502-516.

17. Биллингсли П. (1977) Сходимость вероятностных мер. Мир, Москва,1977. Пер. с англ. Bilhngsley, Р. (1968). Convergence of Probability Measures. Wiley, New York.

18. Булдыгин В. В. (1980) Сходимость случайных элементов втопологических пространствах. Наукова Думка, Киев.

19. Булинская Е.В. (1961) On the mean number of crossings of a level by astationary Gaussian process. Theory Prob. Appl, 6, p.435-438.

20. Ван дер Ваарт, Веллнер (van der Vaart A . W., Wellner J. A.) (1996)

21. Weak Convergence and Empirical Processes with Application to Statistics. Springer Series in Statistics, New York.

22. Витт (Witt W.) (1970). Weak convergence of probability measures on thefunction space C0, oo). Ann. Math. Stat. 41, p.939-944.

23. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. (1965) Математическиеметоды в теории надежности. Наука, Москва.

24. Гут, Йансон (Gut А., Janson S.) (1999) Tightness and weak convergence forjump processes. U.U.D.M., Department of Mathematics, Uppsala University, 1999:9, Uppsala, Sweden.

25. Дитлевсен, Линдгрен (Ditlevsen 0. and Lindgren G.) (1988) Empty envelope excursions in stationary Gaussian processes. J. Sound and Vibration, 122, 3, p.571-587.

26. Иллсли (Illsley R.) (1998) The moments of the number of exists from asimply connected region. Adv. Appl. Prob., 30, p. 167-180.

27. Ито (Ito K.) (1964) The expected number of zeros of continuous stationary

28. Gaussian processes. J. Math. Kyoto Univ. 3, 2, p.207-216.

29. Калленберг (Kallenberg 0.) (1975) Random measures. Akad. Verl, Berlin,1975, 256p.

30. Канторович Л. В., Акилов Г. П. (1984) Функциональный анализ. Наука,1. Москва, 1984, 752с.

31. Кац, Слепян (Кас М., Slepian D.) (1960) Large excursions of Gaussian processes. Ann. of Math. Statistics, 30, p.1215-1228.

32. Кениг, Шмидт (König D., Schmidt V.) (1992) Zufällige Punktprozesse. В.1. G. Teubner, Stuttgart.

33. Керстан Й., Маттес К., Мекке Й. (1982) Безгранично делимые точечныепроцессы. Наука, Москва, 1982, 391с.

34. Коваленко И. Н., Кузнецов Н. Ю., Шуренков В. М. (1983) Случайныепроцессы. Наукова думка, Киев, 1983, 366с.

35. Крамер (Cramer И.) (1966) On the intersections between the trajectoriesof a normal stationary stochastic process and a high level. Arkiv Mat., 6, p.337-349.

36. Крамер Г., Лидбеттер M . (1969) Стационарные случайные процессы.

37. Мир, Москва. Пер. с англ. Cramer П., Leadbetter M . R. (1967) Stationaryand Related Stochastic Processes. John Wiley, New York.

38. Кроудер и др. (Crowder M . J., Kimber A. C , Smith R. L. , Sweeting T. L.)(1991) Statistical Analysis of Reliability Data. Chapman and Hall, London.

39. Кюфнер, Джон и Фучик (Kufner А., John О., Fucik S.) (1977) Function

40. Spaces. Noordhoff Intern. Publ. Leyden.

41. Линдгрен (Lindgren G.) (1980a) Point Processes of Exits by Bivariate Gaussian Processes and Extremal Theory for the x^-Process and its Concomitants. / . of Multivariate Analysis, 10, p.181-206.

42. Линдгрен (Lindgren G.) (19806) Extreme Values and Crossings for the

43. Process and Other Functions of Multidimensional Gaussian Processes, with

44. Rehabillty Apphcatlons. Adv. Appl. Prob., 12, p.746-774.

45. Линдгрен (Lindgren G.) (1984) Extremal Ranks and Transformation of

46. Variables for Extremes of Functions of Multivariate Gaussian Processes.

47. Stochastic Processes and their Applications., 17, p.285-312.

48. Линдгрен (Lindgren G.) (1989) Slepian models for ^^-processes with independent components with apphcation to envelope upcrossings. J. Appl. 1. Probab., 26, p.36-49.

49. Люстерник, Соболев (Lusternlk. L. A . and Sobolev V . J.) (1961) Elementsof Functional Analysis. F. Ungar Publ. Co, New York. (1961)

50. Носко (1969a) The characteristics of excursions of Gaussian homogeneousrandom fields above a high level. Proc. USSR - Japan Symp. on Prob. (Harborovsk, 1969), Novosibirsk, p.216-222.

51. Носко (19696) Local structure of Gaussian random fields in the vicinity ofhigh-level light sources. Soviet Math. Dokl, 10, p.1481-1484.

52. Носко (1986) The local structure of a homogeneous Gaussian random fieldin a neighborhood of high level points. Theory Prob. Appl, 30, p.767-782.

53. Питербарг (Piterbarg V.) (1996) Asymptotic Methods in the Theory of

54. Gaussian Processes and Fields. AMS, Rhode Island.

55. Прохоров (1953) Распределение вероятностей в функциональныхпространствах, Успехи математ. наук, 8, с. 165-167.

56. Прохоров (1956) Сходимость случайных процессов и предельныетеоремы теории вероятностей. Теория вероятностей и ее применения, 1, с.177-238.

57. Райе (Rice S. О.) (1944),(1945) Mathematical analysis of random noise. Bell

58. Syst. Techn. J., 1944, 23, p282-332, 1945, 24, p.46-156.

59. Райе (Rice S. 0.) (1958) Distribution of the duration of fades in radio transmission. Bell System Tech. J., 37, p.581-635.

60. Райе, Биир (Rice S. 0., Beer F. P.) (1966) First-accurence time of high-levelcrossings in a continuous random process, J. Acoust. Soc. America, 39, 2, p.323-335.

61. Русаков A . A . (1980) 0 кривых, имеющих равную интенсивностьвыходов двумерного гауссовского процесса. Вестник Московского университета. Сер.1. Математика. Механика. 1985, No 1, с.89-92'.

62. Русаков А. А. (2001) Пуассоновость распределения числа выходов завысокий уровень огибающей гауссовского стационарного случайного процесса. МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2001, с. Деп. в ВИНИТИ

63. Русаков А. А., Селезнев О. В. (1987) О слабой сходимостифункционалов от случайных процессов с непрерывно дифференцируемыми траекториями. Теория случайных процессов, 15, Наукова думка, Киев, 1987, с.85-90.

64. Русаков и Селезнев (Rusakov А. А., Seleznjev О. V.) (2001). On weakconvergence of functionals on smooth random functions. (B печати)

65. Русаков A . A . и Селезнев О.В. (2001) Непрерывные функции и слабаясходимость последовательности непрерывно дифференцируемых случайных функций. Труды конференции

66. Рыхлик (Rychhk I.) (1987) Regression approximations of wavelength andamplitude distributions. Adv. App. Prob., 19, p.396-430.

67. Рыхлик (Rychlik I.) (1990) New bounds for the first passage, wave-lengthand amplitude densities. Stock. Proc. AppL, 34, p.313-339.

68. Селезнев, Беляев (Seleznjev 0., Belyaev Yu.) (2000) Applying resamplingto random processes problems in Proceedings in Computational Statistics. 14th Symposium, Utrecht, Editors W. Jensen and J. G. Bethlehem, Statistics Netherlands, p.255-256.

69. Тихонов В. И. (1970) Выбросы случайных процессов. Наука, Москва.

70. Уилсон (Wilson R.) (1986) Weak convergence of probabihty measures inspaces of smooth functions. Stock. Proc. Appl. 23, p.333-337.

71. Уилсон (Wilson R.) (1988) Model fields in crossing theory. Adv. Appl. Prob.20, p.756-774.

72. Хартман Ф. (1970) Обыкновенные дифференциальные уравнения.1. Москва, 1970.

73. Хасофер (Hasofer А. М.) (1974) The joint distribution of the envelope of a

74. Gaussian process and its derivative. Austral. J. Statist., 15, p.215-216.

75. Хасофер, Петоч (Hasofer A . M . , Petocz P.) (1979) Transient upcrossings'ofthe hnear osciUator and its envelope. Applications of statistics and probability in soil and structural engineering (Proc. Third Internat. Conf. Sydney), 1. Vol. p.110-115.

76. Хинчин A. Я. (1963) Работы no математической теории массовогообслуживания. Государственное издательство физико-математической литературы, Москва.