Точечные вихревые структуры на концентрических окружностях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

1 АП?

* ^ - J

На правах рукописи

Бояринцева Татьяна Евгеньевна

ТОЧЕЧНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ НА КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ ОКРУЖНОСТЯХ

(Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1998

Работа выполнена в Московской академии приборостроения и информатики

Научный руководитель

к.ф-м н доц. Савин А.С.

Официальные оппоненты А.Т.,

д.ф-м н проф. Онуфриев

д.ф-м н проф. Уварова Л.А.

Ведущая организация

Институт проблем механики

РАН

Защита диссертации состоится 21 мая в_ч _мин

на заседании диссертационного совета К003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу 125047, Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Автореферат разос: лан 2 апреля 1998г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Похилко В.!

Ьсгуальность темы.

Задача описания и расчета вихревых движений имеет целый яд промышленных и экологических приложений. Однако [епосредственное решение этой задачи, как правило, весьма сложно, "реди способов ее решения распространенным является переход к ассмотрению дискретно-вихревых моделей, которые позволяют

юлучить, по крайней мере, качественные сведения о характере вижения среды.

Одним из недостаточно изученных вихревых объектов вляется полый вихрь, представляющий из себя тонкий ;илиндрический вихревой слой. Объекты такого рода возникают при трыве вихревой пелены от острых кромок в результате ее альнейшего сворачивания, после чего они довольно сложным бразом эволюционируют. Исследовать непосредственно такую труктуру весьма сложно.

Первый этап математического моделирования этого объекта остоит в рассмотрении двумерного случая, то есть представление олого вихря замкнутой вихревой линией.

Вторым этапом является переход к рассмотрению дискретно-ихревой модели.

В настоящей работе предлагается точечно-вихревая модель раницы полого вихря в двумерном случае и изучаются ее имметричные возмущения с разложением системы на два слоя, на три поя, на к слоев.

Полученные ансамбли точечных вихрей интересны для

изучения и сами по себе, без связи с полым вихрем, поскольку такие структуры могут возникать и при моделировании друтих вихревых объектов, например, атмосферных циклонов. Цель работы.

Исследование точечных вихревых структур на двух концентрических окружностях и их применимость в качестве моделей полого вихря и смерча, а так же исследование стационарных точечно-вихревых структур на трех и более концентрических окружностях. Научная новизна.

1. Предложена точечно-вихревая модель границы полого вихря.

2. Решена задача движения симметрично возмущенной модели с разложением вихревой системы на два слоя. В частности.

а) Получено аналитическое решение, включающее интегралы движения данной вихревой системы.

б) Получена полная картина траекторий вихрей, составляющих модель. Найдены сепаратрисы, разделяющие области попадания начальных возмущений, соответствующие различны типам дальнейшего поведения системы.

в) Выявлена зависимость траекторных портретов от числа точечных вихрей, составляющих модель.

г) Найдены константы типа кармановской для стационарных состояний.

д) Определены границы возможности моделирования пологе вихря и смерча указанным способом.

3. Получен неизвестный ранее интеграл движения задачи формирования и дальнейшего поведения вихря Хевлока.

4. Исследована симметрично возмущенная модель границы полого вихря с разложением на три слоя.

В частности:

а) Получен интеграл энергии и интеграл импульса для данной вихревой системы, а также формула определения скорости ращения для стационарного состояния.

б) Определены стационарные состояния для случая, когда сумма квадратов двух меньших радиусов меньше квадрата наибольшего из трех радиусов, то есть определены углы между направлениями на вихри разных окружностей и соотношения радиусов этих окружностей.

в) Доказано отсутствие стационарных состояний для трех слоев в противном случае.

5. Получены формулы угловой скорости вращения стационарной вихревой системы на к концентрических окружностях

а) при конечном числе вихрей на каждой из них,

б) при их числе стремящемся к бесконечности, но при конечной суммарной завихренности.

Практическая ценность.

Полученные в данной работе результаты могут быть использованы в Институте океанологии РАН, Институте проблем механики РАН, ЦНИИ "Комета", Российском Государственном гидрометеорологическом университете, МФТИ, МГУ, МГТУ им.

Баумана, МГАПИ, МГТУ "Станкин", в Российском государственном гидрометеорологическом университете. Апробация работы.

Содержание отдельных разделов диссертации и основные результаты, полученные в ней, были представлены и обсуждены

на Межвузовской научно-технической конференции "Фундаментальные основы создания наукоемких и высокотехнологичных приборов" 20-22 мая 1997г. г. Москва - г. Сергиев Посад.

- на научных семинарах кафедры математического моделирования МГАПИ.

- на научном семинаре кафедр математики и прикладной математики Московского Государственного Технологического Университета "Станкин".

- на научном семинаре в Институте Проблем Механики РАН.

- на пятой международной конференции "Математика, компьютер, образование" 26-31 января 1998 года, г. Дубна.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 5 статей, и 2 раза публиковались тезисы докладов на конференциях. Место выполнения работы.

Работа выполнена в Московской Государственной Академии Приборостроения и Информатики (МГАПИ) за период с 1991 по 1997 годы.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и ;писка литературы; содержит 89 страниц, из них 58 - текст, 12 -питература, 18 - рисунки, 1- оглавление). Список литературы содержит 100 наименований. Содержание работы.

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации и кратко излагаются основные направления и результаты работы.

В ГЛАВЕ 1 сделан обзор литературы по следующим темам: дискретно-вихревые структуры, вихревые структуры с симметрией и точечные вихревые структуры.

В ГЛАВЕ 2 предлагается к рассмотрению точечно вихревая модель полого вихря.

Полый вихрь предлагается моделировать системой из п точечных вихрей, которые расположены на окружности радиуса г и являются вершинами правильного п-угольника. Интенсивность всех вихрей одинакова и равна Г.

Пусть вихри находятся в точках

2^= ге'!Ф+2г.(к-1)/п!__ге ¡(ф-2п/п)С|(ф-2пк/п) ^ ^

где ф - угол между полярной осью и направлением на некоторый фиксированный вихрь (к=1). Рисунок 1.

Самоиндуцированное движение рассматриваемой системы п вихрей есть вращение по окружности радиуса г с постоянной угловой скоростью

(п-1)Г

Q =--(2)

4лг2

Отметим, что самоиддуцированная скорость вращения системы вихрей тем больше, чем меньше радиус окружности, на которой они расположены.

В ГЛАВЕ 3 рассматривается возмущенная модель с разложением вихревой системы на два слоя.

В параграфе 3.1 дается вывод основных соотношений модели из 2п точечных вихрей для определения траекторий.

Допустим, что возникает следующее возмущение: каждый четный вихрь смещается на величину (5г,9). Тогда п вихрей будут расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, остальные п вихрей - в вершинах другого правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса г и повернутого относительно первого n-угольника на угол 9. Окружности концентрические, и R>r. Пусть интенсивность всех вихрей одинакова и равна Г. Рисунок 2.

Движение такой возмущенной структуры будет определяться характером взаимодействия двух систем точечных вихрей, расположенных на разных окружностях.

Из известных общих интегралов движения для систем точечных вихрей в идеальной жидкости [1]

Z Г; Zj Zj = COnSt

-71

Н =--ZTiTjln IZrZjl = const

2^

получены интегралы движения данной вихревой системы Г R2+r2 = const

< (3)

I (rR)n"l(r2n+R2n-r n Rn cos(n9)=const

Эта система позволяет построить траекторный портрет. Вместе с ачальными возмущениями она определяет характер движения ихревой системы.

В параграфе 3.2 аналитически исследуются вихревые траектории ля двуслойной модели. Вид вихревых траекторий определяется ястемой полученных в параграфе 3.1 интегралов движения и ачальным возмущением системы. Найдены сепаратрисы, азделяющие области с различными типами движения. В пункте .2.1 выявлены существенные различия траекторных портретов при азличных значениях п (число вихрей на каждой из окружностей). В ункте 3.2.2 рассматриваются случаи п=2, п=3 и п=4. В пункте 3.2.3 ассматриваются случаи п=5 и более. На рисунках 3,4, и 5 даны раекторные портреты при п=3,4 и 6 соответственно. Анализ раекторных портретов при различных значениях п позволяет сделать ывод о существовании констант типа константы Кармана, дающих для аждого значения п отношение радиусов окружностей, на которых асположены вихри, при стационарном состоянии системы. Стационарным считается такое состояние, при котором вся вихревая истема вращается как единое целое.

Эти константы для некоторых значений п приведены в таблице 1.

Таблица 1.

И 5 6 7 8 9 /О 12

0.5932 0.5705 0.5625 0.5562 0.559/ 0.5593 0.56/5

И /5 20 2 5 30 35 40 45

сот^ 0.5645 0.5674 0.5695 0.5709 0.57-73 0.5724 0.573о

п 50 55 во 65 70 75 80

соил{ 0.5735 0.5736 0.574/ 05742 0.5 75 О 0.5750 0.575О

ГЛАВА 4. Посвящена исследованию симметрично возмущенной модели с разложением вихревой системы на три и более слоев. Известно, что общий случай расположения точечных вихрей одинаковой интенсивности на трех концентрических окружностях в углах трех соответствующих правильных п-угольников является неинтегрируемым. Однако можно найти среди указанных случаев такие, что вся вихревая система будет вращаться как единое целое. Такие случаи назовем стационарными.

В параграфе 4.1 описано взаимное расположение вихрей при стационарном вращении.

Стационарные положения системы могут быть типа "седло" и типа "центр". Через седловую точку проходит более одной линии С^согЫ, а через точку типа "центр" не проходит ни одна такая линия, в этом случае Н [1]

1 3n

H =--Г Ti Tj In I Zi-Zjl = const

2n

принимает значение локального экстремума. Нас будут интересовать -олъко точки типа "центр", поскольку они, в отличие от точек типа 'седло", устойчивы к симметричным возмущениям. После преобразований для данной системы получаем

I, R2 R3 (Ri+R2-2RiR2cos(nG12)) (R2+R3-2R2R3cos(n923))*

*(R,+R3-2R,R3cos(n913))=C=const (4)

Дз строения системы очевидно, что 0|3={2тс/п}-912-923. Из интеграла

движения [1] ZHZi Z;=const и условия задачи - все Г; равны Г, следует /

Ri2+R22+R32=const (5)

Практический интерес представляет качественная картина ззаимного расположения вихрей в системе, то есть отношения эадиусов окружностей Rj, R2, R3 и величины углов 9и, 923 и 0i3. Положим радиус внешней окружности равным единице R3=l. Тогда получим

R,2+R22+l=A=const R2=VA-1-R,2

Отметим, что R3^A<3R3, то есть 1<А<3

При каждом фиксированном А выражение (4) имеет три независимые переменные Rb 9i2 и 923. Здесь R] есть радиус

фиксированном угле 9]2 угол 923 меняется от -я/п до тг/п. При этом каждый раз ищем значение константы С в выражении (5).

Экстремумы С находятся из анализа полученных результатов.

Результаты вычислений показали, что при фиксированных радиусах максимальное значение С достигается при 912=я/(2п) и 023=0 при любом значении параметра А. При значениях параметра А принадлежащих полуинтервалу [1,2) удается найти максимальные значения С, при которых вихри расположены именно на трех различных концентрических окружностях, и таким образом найти трехслойные стационарные состояния.

При значениях параметра А больших 2, величина С достигает своего максимального значения при 112=1, то есть при этих значениях параметра А минимальное значение энергии соответствует расположению вихрей не на трех, а только на двух концентрических окружностях.

В параграфе 4.2. находится скорость стационарного вращения. Пусть общее количество вихрей в системе равно К, количество концентрических окружностей, на которых они расположены равно к и на каждой окружности имеется п вихрей.

Ы = кп

Тогда путем некоторых преобразований известного интеграла движения [1]

(IX; аУ; 1

I Г; У; ---X; — =--£ 2 '

<к А 45Г ' ^

элучается формула для угловой скорости

к(кп-1) Г

П =--(6)

4т:ХЯ12 1

>ормула (2) является частным случаем формулы (6) для к=1.

Из формулы (6) следует, что О линейно растет с ростом числа ихрей на каждой окружности. Однако, если принять, что Г=Г*/п, что ;тественно при моделировании непрерывной вихревой линии, то ри п—>оо получается к2 Г*

Я =--(7)

4я1

[итература

) Седов Л.И. "Механика сплошной среды". Москва, Наука, 1984.

) Aref Hasan "Point vortex motions with a center of symmetry" "Phys.Fluids" vol.25, N12, 1982, p.2183-2187.

) Бояринцева T.E, Савин A.C. "Двуслойное возмущение полого вихря". Межвузовская науч.-техн. конф. "Фундамент. основы создания наукоемких и высокотехнол. приборов", 20-22 мая 1997, Москва-Сергиев Посад.

-124) Бояринцева Т.Е. "Стационарные точечные вихревые структуры на концентрических окружностях", Тезисы 5-ой Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", Дубна, 2630 января, 1998.

5) Бояринцев В.И, Бояринцева Т.Е, Коротаев Д.Г, Савин A.C. "Движение кольцевого вихря с потерей примеси". Препринт ИПМ РАН N575, Москва, 1996, с.25.

6) Бояринцев В.И, Бояринцева Т.Е, Коротаев Д.Г, Леднев А.К, Руденко А.О, Савин A.C. "Движение кольцевых вихрей в однородных и стратифицированных средах" Сб. "Численные методы в задачах тепло- и массообмена" М., ИПМ РАН, 1997, с. 359-376.

7) Бояринцев В.И, Бояринцева Т.Е, Коротаев Д.Г, Леднев А.К., Савин A.C. "Движение кольцевых вихрей в однородных по плотности средах по нормали к свободной поверхности". Известия РАН, серия МЖГ, 1997, N3, с. 125-129.

8) Boyarintsev V.I, Boyarintseva Т.Е, Korotaev D.G,.G, Lednev A.K, Savin A.S. "Motion of vortex rings in mediadia with homogeneousdensity along the normal to the freeree surface.' Fluid Dynamics, vol. 32, No.3, 1997, p.420-423.

Рисунок 4.