Точные решения дифференциальных уравнений равновесной кварк-глюонной плазмы в приближении абелевой доминантности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ри од

1 в ям ® -

российская академия наук

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Иркутский вычислительный центр

На правах рукописи МАРКОВА Маргарита Апатольгпна

УДК 517.958

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ' РАВНОВЕСНОЙ КВАРК-ГЛЮОННОЙ ПЛАЗМЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ АБЕЛЕВОЙ ДОМИНАНТНОСТИ

01.01.02 - дифференциальные ураппепиг

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск -

Работа выполнена'в Иркутском вычислительном центре СО РАН Научный руководитель: академик Б.М.Матросов. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор О.В.Кагшов; доктор физико-математических наук И.А.Тайманов.

Ведущая организация: Иркутский государственный ушшерсптет.

Защита состоится " " 1595 г в часов

на заседании Специализированного совета К.003.64.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Иркутском вычислительном центре СО РАН по адресу: 651033, г. Иркутск, 33, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского вычислительного центра СО РАН.

Автореферат разослан " -У 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета,

.к.ф.-м.н. Ж-3,____А.В.Сшшцын

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время, в связи с экспериментами по попеку кварк-глюонной плазмы (КГ.П) в ион-ионных соударениях, ведутся интенсивные теоретические исследования по изучению различных свойств этого нового фундаментального состояния матерпп.

Вследствие этого актуальным является вопрос о теоретическом описании и математическом моделировании фундаментальных свойств плазмы с иеабелевым взаимодействием. В качестве одного пз подходов теоретического описания КГП наиболее шщюко используется кинетический подход (классотескт"! п квантовый), основанный па системе уравнений Власова-Янга-Мпллса. Несмотря па достаточно большое количество статей, выполненных. в основном, физиками-теоретиками, математические работы в этой области практически отсутствуют, за исключением нескольких работ по проблеме локального и глобального существования решений задачи Кошп для классической модели КГП. Не исследованы проблемы, изучающие влпяппе ограннчсниостп фазового пространства на поведение плазмы, пли другими словами, краевые п начально-краевые задачи; вопросы устойчивости равновесных состояний КГП, построение явных решений и т. д..

Актуальной задачей в этом направлении является построите точных двумерных решений стационарной системы Власова-Яяга-Мпляса, опа-сывагощпх возможные простраястсгнно-неоднородпые равновесные со-сто-шпз, к которым КГП может перейти вследствие различного рода неустончивостсй. Инструментом решения этой задачи служат методы современной нелинейной математической физики: метод Хнроты, конеп-нозонная теория, различного рода подстановки и т.д..

Получение точных решений даже для классических пеабедевых уравнений представляет собой очень сложную задачу. Поэтому в диссертационной работе ограничимся наиболее простым приближением хварх-глюонной кинетической теорпн - приближением абелевой доминантности.

Целью работы является построение специального класса точных решений системы уравнений КГП.

Методы ис следования. Используется общая теорий обыкновенных дпф-

ференииальных уравнений, дифференциальных уравнений ь частных производных, методы современной математической фпзпкп.

Научная новизна. В работе определен специальный класс функций распределений, обобщающий известное релятивистское распределение Юттнера-Синга; построены точные решения равновесия двухпотоковой кварк-глюонной плазмы в приближении абелевой доминантности; найдены первые интегралы одной нелинейной эллиптической системы, длг которой в двумерном случае на основании метода Хпроты указан алгоритм построения более сложных решений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа представляет интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений п математического моделирования процессов d плазме. .Результаты fliiccej> тацпп могут быть использованы в численных расчетах по диагностике кварк-глюонной плазмы.

Аппробацпя работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах Красноярского ВЦ (д.ф.-м.н. Капиов О.В.), ИГУ (д.ф.-м.н. Сидоров H.A.): Международной школе по алгебре и анализу (Иркутск 1994), а также на семинарах п конференциях ИрВЦ СО-РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введений, трех глав, заключения и списка литературы из 60 наименований. Работа изложена на 93 страница?: машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении ирозгден обзор по теме диссертации и кратко изложено содержание работы.

В первой главе исследуется релятивистская система уравнений двухпотоковой КГП в приближении абелевой доминантности. Рассматриваются модели кварховой, кварк-антикварковой п глюонной плазмы, описывающие равновесий исходной КГП.

В n.i глава I изучаются уравнения кварковой плазмы. Компоненты

усредненной по ансамблю функции Вигнера (1Г(.г,^)) подчинают-са следующей системе с самосогласованным полем = (Г,'"', Р?")

Срд* - д^р'д^Ых,!,) = уд^^Ыг,?)], ¡,] = 175. (1)

= -а Е /¿РБрЬ'/Д-^))= ОХ (2)

где /) = (.-о, р) - кварковыа 4-импульс; г — (./'о, х) - пространственно-временное положение; д - некоторая постоянна» взаимодействия; (!Р — 1/(2п)А2в(р0)6(р2 - ш'-У/'; а''" = [У'о"), - матрицы Дирака; -элементарные весовые векторы группы 5Т'(3). Стационарные решения системы (1), (2) будем отыскивать в виде

= + (3)

где функции ' . 0

= (/ + «рЬЧ^/ -

являются функциям» распределения в каждом ш встречных потоков. А" = (Л*, ЛЦ) есть 4-векторный потенциал.

Система (1), (2) с учетом (3) редуцирована к нелинейным эллиптическим уравнениям типа Ла-перноднческон цепочки Тода

(1)

-,г>>

= (п + Ь){2ехрФ) - охр- ехр(—Ф| - Ф2)}

= (« + 6){2о.ЧрФ2 - ехрФ| - ехр(-Ф| ~ Ф..)} * - -

и Булло-Додда

ЛФ(.г, у) = (« + Ь){ехрФ - е,хр( -2Ф)}, как частного случая (4) при Ф| = Ф2 = Ф. Здесь

а = \ ^ВДт), Ь = о((«.°)Ч (н3)2); а. 6 > 0, „ Ь.

- модифицированная фунышя Б«селя. Связь Ф, (| = 1,2) о исходными потенциалами А'' дается соотношениями

л? - - - +' = л>=•(6)

Исходя аз уравнения (5), строятся некоторые точные решения исходной системы (1), (2), имеющие периодическую структуру

Л°2 = М 1а(1 - С2/Г2), ЛЧ = А\ — Л1 = О,

/ГН-г.я) = Л±]{*,р) = (/+^У) ех^-^У )(1 -'/^(АР) = (/+ ^ОечК-^УИ! - ВДГ2.

Здесь

=6Л_1 ехр(-рг)со5(ч,г) + уЧ) + бЛ1ехр{рг)<о«(я,г), /Га = Л_2 ехр(—2рг) + 2Л_1ехр{-рг)со.<,(ч,г) + 2см соа(2(ч, г))Ч-

-Н''о + 2АХ ехр(рг) сов(ч, г) -I- М ехр(2рг),*

где г = у/2(й Ь)(х, у); р и q - постоянные двумерные векторы, связанные соотношениями

(р,Ч) = 0 , р2 - ц2 — § ; = |, Л-1 = щ ;' Фо = £»- 1 «I = .

Л2 = , Л-э = . й» = • • Ды = ЗЛ±,.

4 4

Л п У-6 , рУ

4р»-сГ 4п2 + <Г 8р2ч2 + 27"

Наряд}- с выппсаппымп, строятся пространственно-периодические равновесия (5), выраженные через эллиптическую фупкгот Вейерттрас-са.

В п.2 рассматривается случай глюонлой плазмы, которая в приближе-ЕПЯ абелезой дохшнплтностп оппсываетса системой уравнений

^"{•О = -д Е щ [р"/,7(х,р) ¿Р, (7)

¡.7=1 1

здесь = «■{ - ^ - корневые векторы 5Г(3) грушш. «Рупкцгт распределений для (7) выбираем в виде

где

= «рК^У - дщк»)}. Тогда (7) приводится к уравнению яЛ-Гораопа

ЛФ(*.|/) = 6(я + Ь)»Л(ЗФ),

используя решения которого, выписывается мпогопараметрпчоское семейство точных решений, описывающее наиболее простые возможные равновесия глюпщюй плазмы

А\ = 1х1(Су/П-). Л? = = .4* = О,

где

2=0,1 ¿=1 1<>'<л <=1

(1=0,1 1-1 1=1 N = 1,2,3.....

Здесь сумма по ¡1 пробегает но всем наборам /г,-;— к, =

(£",•«, к1г) - произвольный вектор, нормированный условная ^к? = 2, Гц -постоянный вектор; ехр Ду = 6,у н- (Ь,- - ку)2/{к; 4- Ьу)2.

< В п.З рассматриваете! модель кварк-антикварковой плазмы. К кинетическому уравнении яла кварков (1) добавляется уравнение для функций распределений антякваркоа /Д-г,;»)- которое получает« гп (1) заменой дпа—дп /¡(х,р) на Кроме того, в правой часта (2) добавляется цветной ток антпкваркоз

•то « -</|: ^ / ¿Р5р(77,•(.>•./>».

Лля лвухпотокоЕой подели стационарные функции распределения ая-тнкзаркоз имеют вид, аналогичный (3) с заменой у па ~д.

Прозоднтея редукция исходной системы к уравнению двойного вН-Гордона

у) = 2 (« + (>){зЛФ + аЛ(2Ф)}. (8}

Точные решения (8) строятся с помощью метола Хироты з пнде

(9)

где Г в О - некоторые искомые функшш переменных х и у. Подставляя (9) в (8), получаем систему уравнений на Г п б

В1ГоС = цГС, и

£>\Г о Г + £ о С = (/, - Ца + ¿))(Г2 + С2) -2(а+ Ь)(Г7 - С*), (10)

где - билинейный оператор Хироты, действующий следующим образом

- некоторый произвольный параметр.' Разрешал (10), получаем простейшее точное решение (8)

ф( - (1 -И/12 • Л{ехр(2Ь(г - г»)) 4- Л|схр(Ь(г.- г0)),

Ч + 1/12 • Л| *хр{2Ь(г - Го)) - Л, схр(Ь(г - г0))''

Характеристики кварк-аитикваркозой плазмы тогда приитишт тщ

О 2<Д Г + в^ ,и _ ,3 _ ,з _ п

/г> = /Г» =

где '

Г = ^ехр(2к(г - г0)), С = Л, ехр(к(г - г„)), Ь2 = 2,

Л1 - произвол!.пае постомшая.

В заключение главы I отмечается, что наиболее сложные уравнения, описывающие равновесна КГП, получаются при одновременном учете вкладов кварков, антпкваркоз п глюонов. В этом случае при редукции имеем уравнение тройного в/1-Гордона

ДФ(х, у) = 2(а + ¿){«/)Ф + «Л(2Ф) -ЬЗ«Л(ЗФ)},

для которого пока не найдено нп одного нетривиального решений.

Глава II посвящала рассмотрению одномерного случая Лг - пернодиче- • сеой цепочки Тода (4) с эллиптическим оператором, которая для удобства переписана здесь в виде

«"(*) = ехр(2и - с) - ехр(-и - с) = А

и"(.г) =ехр(2г - и) - ехр(-и - г) 2 В, (11)

где и а и определяются ш соотношений Ф| ~ 2« — с, Ф2 = 2(; - а.

Для системы (11) найдены два первых интеграла, с помощью которых строятся точные решения (11) и восстанавливаются характеристики кварковой плазмы (1), (2) по формулам (3), (0).

В п.1 доказывается

Яелшо I. Система (11) имеет два первых интеграла вида

V'1 - 7><2+ О2 - V = ЗС\ , - + <>Л = Съ

где V = м'(х), >2 = г/(г); V = Р(к, с) = ехр(2и - и) + ехр(-!С- и) + ехр(2и — н); С\,Сз - произвольные постоянные.

Отмечается также, что первый пз интегралов можно рассматривать как энергию для (11). Подчеркивается тот факт, что система (11) является гамилътоновой с гамильтонианом

1

Н = д0>1 +РЧ>1 +¡>1) ~ Ы>

где (/',-, ?;) - обобщенные ш.ш)'льгы п координаты: р1 = 2Р - , рз ~ 2й-Т>'^\~ и, 92 = V.

В и.2 на основании пыщепрпведенной Леммы 1 доказывается

Теорема 1. Система (11) имеет точные решения вида

Ь " = 111(1" /,ехре + (г + М + 1/-ихр(Ч))' " <

111(1-^ехр^^^^)'' (12>

Зг

(и)

где £ £ </3(х ~ , к ^ г2 - г -1- 1, г ~ (С - \)[С\ С - произвольна;! постоянна;;.'

Соответствующие характеристики кваркозгоп плазмы ( например, дяе (12) ) имеют вил

(О 3 ,Г-3. 0 \/3 ,(Г-Зг)* ,з «з п

л> = ^)' я 1,1{Т(Г^З)}= о.

гд€

Г = Л ехр(^3(а + Ь){х ~ а-и)) + (>Ч 1) + - е>ф(-- Гц))-

В главе III рассматривается задача построения точьыя решений дву-ерыой Лг - периодической цепочки Тода

Аи{х,и) - ехр(2н - г) - ехр(-ы -х>) . 12

Дг(х.у) = ехр(2г —•«) - ехр(-и - г). (14)

Решения системы (11) строятся методом ХиротыТ» сЛедугслпем виде

» = 1и(1 - <7/Г), п=!п(1-(?/Р). (15)

О

гяе.Р, С?, Р ат! С} - некоторые искомые фуикопп аеремсппих г я у. Пол-стаз лая (15) з (И),получаем два билинейных уравнения, :;отсрые "расщепляем" следующим образом

(Р - <?)(Р - С?/2)£?дГо Г = (Г - С?){ЗРР6' - Р£2 - (2(? - 6)Р2} ХР - о С? ~ о С} = (Г - £?){ЗРС - (2<? - С)С}

(р - сир - я!2)в\р о р = (р - д){зр@р - гд- - (2С - <2)Р7} (Р - С){1>1Ро(? - о 0 = (р - <?){ЗРО - (20 - д)д}. (16)

3 п.1 решения (16) ищем в виде разложения ко полог^зтедыилм п отрицательным степеней некоторого эффективного параметра е, который после выполнения зсех процедур полагаем равным единице

в ~ вх - Ь. г = р! = */_1 Ч- а +

. дзд|=с.р = ?1 = |м + <1 + £й, • (17)

где о,а,с а Л - некоторые постоянные; !±\.р±\ - яскомые функции г а у. Если теперь положить /±1 = А-не.\-р(:Ь;/) , р±1 = С±1 ехр(±?/), здесь Д±1,С±1 - постоянные. 1; г к г = к^х+кцу, то получим решение системы (14)

" = !Ц(1 ~ АЛ,(Ьг - ЗаЬ+Зл*)«ф(Ч - ц^Т-'г а +- ^ехрНг7^))^

V lß{1 |Л,<62 - 3a& + 3a2)exjs(i; - .;») + b - 2a + j^expRv - 'Л}*'

и

где щ - постоянная, к5 = 3.

В П.2 строится более сложное решение (14)

1 11

G ~Gi- -3-1 + 6+ tax, f s F2 = -/_2 + -/_i + о + efi + г1 h.

£ S* f

Q s Q3 = + с + , P = Pi = 4/>_г + ~/>-i+rf + sjj£ + (Î8)

S . £ S

где Ь n с - некоторые постоянные. Искомые функции выбираются в виде /±1 = Лы(охp(±4i) + oxp(i'?2)). /±г - Л±2(ехр(±(>?1 + Ы)К

<7ii - ö± 1 (ехр(±7/1 ) + ехр(±))2)), о = п0 expiai — ехр(— »ïi)>

Pii = C±i(exp(±7i) + exp(±»fe)). p±i = C±5 exp{±(»?i + %)).

<?±i = 5,ii(exp(i//i) + exp(±r/2)), â - d0 + t/j exp(r/i - ift) + t/-i exp(»/2 - ?/i),.

где ijj = h(-r, i ~ 1,2; недзиестпхлепостоянные Л±|, Д±2. C±i > S±i. «о, г?з,я±1 и определяются формулами

1 "> 1 2 1 Со а -(26 - с) - jjy-ii'3 , dD - -(2с - b) - , «± 1 = = — у>ч.

M

В±1 = 2Д±1 + С±\ =

г + Ь- $

. — + Ац ^ с _ 2Ь + 2я^±и {19)

где Лц находится пз соотношения Л1Л-1 = 1/36 <рф(с - 26 -+- 2»)в. Здесь

Р = ((к, + к,)а - 3)/(Ь, - к2)2, V з ((к, - к2)2 - 3)/(к, + к2)2,

Л*-Ьс+с*, к? = к|=3. .

Другое вещественное решение можно получить пз (18), (19) если взять комплексные векторы Ь> = р + »4 = к2 с условием р2 — ч2 = 3, (р, <|) = 0. Тогда с

Ч> = -(1рг - 3)/4Ч2, </' = -(4Ч2 + 3)/4р2, (20)

а функции (18) имеют вид.

- 2В-1 соэ^.г) ехр(-рг) + Ь + 2В| мЦч.г)ехр(рг), Г2 = Л_2ехр(-2рг) + 2Л_1 соз(ч,г)ехр(-рг) + по + 2а|Соз2(ч,г)-{-+2Л| соь(ч,г)ехр(рг) + Л2ехр(2рг), £?2 = 25_1 соб(ц,г) ехр(-рг) + с + 2й) сов(ч, г) ехр(рг), Р3 - С_2 ехр{-2рг) + 2С_1 со5(я,г) ехр(-рг) + </0 + 2<к гоб2(ч, г)+

+ 2С1"соа(я, г) ехр(рг) + С2 ехр(2рг),

(21)

В конце параграфа формулар}ется

Теорема 2. Система (14)г с учетом (15), имеет точные решения вида (17),(18) и (21), где коэффициенты двух последних решений определяются формулами (19), (20), соответственно.

В п.З отмечается, что анализ вышеприведенных решений позволяет существенно упростить билинейную систему (16), что дает возможность построить и другие, более сложные решения (14). Так, получено следующее решение в цепочке разложения по параметру с

11 г

в = Сз = -гд-г + -<м + Ь + гд\ +• £92, £ £

<3 = = Ч- * 4- С + + £2«2. Г ~ Гз = !/_, + + -/_, + о + с/| + £2/г + £3/з>

р^г-а+д, (22)

где, для примера,

/±з = Л±3ехр{±(/л + >/2 + >/з)Ь = Лш«хр{±0д + '/г)} + Д±)3ехр{±(|л +' т)3)} + Л±гз«хр {Мт + Пз)}, /±1 = Ды ехр(±;л) 4- Э±2 ехр(±//2) + #±з ехр(±//3)+ +Х?±1зехр{±(41 + '/з - Ы} + ^±23 ехр{±((/-2 + >Ц - »д)}+

Ы

+Р±12схр{+ 42 - 7з)}

и т.л.

Коэффициенты определяются по изложенному выше алгоритму п рав-

ны ^

, DviDuVn .V l2^13V23.2 п ЗЛ?> + БЬ -Л-S = -¡2--( . ) . Dij =--1----,.. •

<p,j s ((1с,- + k,)J - 3)/(kj - l4)\ %4J = ((ftf - It,-)' - 3)/(k, + M2 . ь? = 3.

ij.l = 1,2.3: i^j.j^U^i.

Соответствующие найденным решениям системы (14) характеристики КП, с учетом (3) и (б), имеют следующий вид

Л А А П |0 3 , /дг - G.V + Q.V .

Ai = А2 = А2 = 0, Л, = -—¡гIn ----~).

Pi7и" i\Y

у/3 . . (Гу -' вдп» F\ (F.y - G'.y -f g.v)

/I4' - (/+^') - j„}.v , * -^i.

г >{Fx_Gy+(h,r

f(±) __ / r , 1; »4 ,> (+) V,f.v(iiv - Gjv + Q,v)

л - </ + J/V1' V )—(Fv_G.v)2—•

где прп N = 1,3 необходимо подставить выражения (17) и (22), соответственно, а при Л' = 2 - либо (18) с коэффициентами (19), либо (21) с коэффициентами (20) п положить с = 1.

В заключении кратко формулируются-основные результаты работы.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Определен специальный класс функций распределении, обобщающий . известное релятивистское распределение Юттнера-Синга.

2. Проведена редукция системы кварк-г люонноц плазмы к нелинейным уравнениям типа Булло-Додда, двойного яЛ-Гордона, Ат периодической цепочкп Тода (с эллиптическим оператором).

3. Построены пространственно-неоднородные равновесия для уравнения Булло-Додда, выраженные через эллиптическую функцию Вей-ерштрасса.

4. Методом Хпроты получено простейшее точное решение для двойного «Л-Гордона.

5. Для нелинейной системы Лг-перподпческой цепочкп Тода в одномерном случае найдены два первых интеграла, с помощью которых строится точное решение даппой системы.

6. На основе билинейных операторов Хпроты предложен алгоритм построения возрастающих по сложности решений двумерной Л2-перподпческой цепочки Тода.

7.. Восстановлены исходные характеристики КГП: функции распределения и потенциал самосогласованного поля.

Освозпые результаты опубликованы с работах

1. Маркова М.А. Пространственно-неоднородные равновесия кварк-глюопноц плазмы в приближении г.белевой домпнантйостп.-'Препринт ИрВЦ СО РАН, 1993. N2. 19 с.

2. Марков Ю.А., Маркова М.А. О некоторых точных решениях кинетической модели равновесия кварковой плазмы и приближении абе-левои доминантности,- Докл. РАН, 1994, Т.336, \г5, C.C01-0U4.

3. Markov Yn.A., Markova М.А. On some family of i xact solutions of a quark plasma equilibrium in the abeliau dominance approximation.-Preprint of Irkutsk Computer Center, 1994, N1, 20 p.

4. Марков Ю.А., Маркова М.А. О некоторых точных решениях одной системы нелинейных эллиптических уравнений.- Докл. РАН, 1995,

5. Марков Ю.А., Маркова М.А. О некоторых решениях одной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.- Дифферент уравн., 199 , Т. , N , с.

Т. , N , с.

Подписано к печати 24.11.34 Тираа 100 зкэ., заказ 445

Отпечатано в ИрВ!| СО РЙН Иркутск, цл. Лараонтова, 134