Точные решения граничных задач для уравнений, описывающих поведение плотного газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

| О Ольга Владимировна

О

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ПОВЕДЕНИЕ ПЛОТНОГО ГАЗА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

диссертации на соискание ученой степени кадидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

МОСКВА • 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А.В.Латышев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.В.Бобылев; кандидат физико-математических наук, доцент H.A. Жура.

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

Защита диссертации состоится "-^Т7*" (¡¿еА^.О Л-Л" 1997 г. на заседании диссертационного совета К 053.22.23 в /673 О Российском университете дружбы народов.

Адрес: 117198, Москва, ул. Орджоникидзе, 3, факультет физико-математических и естественных наук, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан *_*_" 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доце.нт уу / Драгнев М.В.

¿Шаиш/~

' (I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена построению точных решений полупространственных граничных задач для векторного модельного кинетического уравнения вида

1 +0° /) = ] е-»п1СУ(х,»') + ф'. (1)

V —00

Здесь с > 0, 6 (-оо,0)и(0,+оо), а - числовой параметр, С = '[су], {i,j — 1,2) - квадратная матрица, причем ¿е\С = О, Е - диагональная матрица второго порядка.

Н связи с тем, что к решению уравнения (1) приводят различные задачи кинетической теории, это уравнение представляет собой определенный математический интерес.

Кот уже пятнадцать лет в кинетической теории и смежных с ней областях используется уравнение вида (1) и несущественно отличающиеся от него. Актуальность данной работы объясняется отсутствием до настоящего времени точных решений граничных задач для уравнения (1).

Целью работы является построение теории ингегродифференци-ального уравнения (1), а также вывод с помощью построенной теории точного решения для уравнения (1) с граничными условиями

/*>0, . (2)

У (оо =

ц < О, (3)

где - заданная вектор-функция с такими элементами, что

удовлетворяет условию Гельдера при 0 < р < оо, а вектор [а 1]т есть решение исходного уравнения (1). Коэффициент а0 находится в процессе решения граничной задачи.

Для достижения этой цели сначала строится теория решения граничных задач для скалярного интегроднфференциального уравнения

3

р— Ф(г,/х) + Ф(х,/*) =

1 +0° Я

= / е-*>(г,л') + ац^М) 1V- . (4)

з

Здесь неизвестной является скалярная функция Ч!(х,ц'). Ядро уравнения (4) К(х,{1) — 1 + ниже иногда называется полулинейным.

Теория решения уравнения (4) строится двумя способами. Первый способ основан на методах краевых задач теории аналитических функций. Второй - на соотношениях ортогональности собственных функций соответствующего характеристического уравнения. Показывается, что результаты, полученные двумя указанными способами, совпадают.

Вторая часть работы посвящена построению точных решений граничных задач для векторного уравнения (1).

Здесь рассматривается граничная задача (1), (2) и (3). Как следствие из нее выводится точное решение задачи Крамерса, состоящей в решении задачи (1) с граничными условиями

Го

/1 > 0, . (5)

У (со, р.) = а0

+ 11И

671сг

эг1

¡1 < 0. (6)

Научная и практическая ценность работы. Введен в рассмотрение как математический объект новый класс интегродифференци-альных уравнений. Разработаны методы решения граничных задач для уравнений (1) и (4). В работе рассмотрен широкий класс граничных задач. Так, на границе полупространства задается Гельдеровская функция, в отличие от полиномов, задаваемых в конкретных физических задачах.

В качестве приложения получено аналитическое решение одной из классических задач кинетической теории - задачи Крамерса, которая с физической точки зрения состоит в определении скорости изотермического скольжения умеренно плотного бинарного газа вдоль плоской поверхности (см., например [1] - [4]).

Научная новизна. Для решения граничных задач в настоящей работе используется метод разложения решения по собственным сингулярным обобщенным функциям соответствующего характеристического уравнения. Основы этого метода были заложены в фундаментальной работе Кейза К. [2], посвященной вопросам теории переноса.

Черчиньяни К. на основе теории Кейза построил соответствующую математическую теорию решения граничных задач для одного класса одномерных односкоростных кинетических уравнений |3]. В этой работе Черчиньяни К. получил аналитическое решение задачи Крамерса

для одноатомных разреженных газов, то есть для уравнения (4) при а = 0.

Уравнение вида (4) впервые встречается в работах Латышева A.B. и Юшканова A.A. [4] и Латышева A.B. [5], где решаются конкретные граничные задачи.

Уравнение (1) может быть выведено из соответствующего уравнения работы [6]. Кроме того, вывод уравнения (1) другим способом был дан нами в работе [4] (си. список работ, опубликованных по теме диссертации).

В настоящей работе впервые построена теория решения граничных задач для уравнений (1) и (4).

Все результаты, излагаемые в диссертации, получены впервые.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на

■ Российской научной конференции с участием зарубежных ученых "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и др. средах" (28 - 30 июня 1994 г., Тверь, Тверской государственный технический университет);

• Международном Аэрозольном Симпозиуме (21 - 25 марта 1994 г., Москва, Институт физической химии им. Л.Я. Карпова);

• Научно-технической конференции с участием зарубежных специалистов "Вакуумная наука и техника" (октябрь 1994 г., Москва, Московский государственный институт электроники и математики);

• Второй международной конференции "Математика, компьютер, образование" (27 февраля - 3 марта 1995 г., Москва - Пущина, Московский государственный университет);

• ежегодной научной конференции профессорско-преподавательского состава Московского педагогического университета (1994 г., Москва).

Основные результаты полностью опубликованы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 162 страницы текста, в том числе 1 рисунок. Список литературы содержит 104 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. В этой главе строится теория решения граничных задач для уравнения (4).

И §1 находятся собственные функции и собственные значения соответствующего характеристического уравнения

= -<хр)п{п), (7)

где

+оо

п(г))= [ е~^Р{п,ц)йц. (8)

—оо

Собственные значения обрадуют дискретный спектр, состоящий из нулей дисперсионного уравнения Ае(г) = 0, где

+00 I

*.(,) = !+ (9)

■/«■Л, т -2

функция, введенная Черчиньяни [3] и называемая дисперсионной.

Непрерывный спектр собственных значений заполняет всю числовую ось.

Собственные функции характеристического уравнения (7) непрерывного спектра берутся в пространстве обобщенных функций (см. [41, [7])

= (10)

где

Ф(Чф) = -^(г]-ац)Р— + (1 - (11)

Здесь Рх-1 есть главное значение по Коши при интегрировании х-1, ¿(г) - функция Дирака.

Дискретному спектру собственных значений характеристического уравнения соответствуют два собственных решения исходного уравнения (4)

. ^ (12)

Ф_(г,р) = -=[х-р(1-а)]. V*

Функция Г(т)а,ц) = 1 /л/тг является также собственной функцией характеристического уравнения, отвечающей дискретному спектру.

И §2 с помощью теории краевых задач доказывается теорема 1.2.1 о полноте системы собственных функций характеристического уравнения на всей оси. Полнота на всей оси понимается в том смысле, что всякую функцию, определенную на всей числовой прямой и подчиненную некоторым условиям, можно представить в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения (см. [8]) в виде линейной комбинации собственных функций дискретного спектра и интеграла по непрерывному спектру от соответствующих собственных функций.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Множество собственных функций непрерывного н дискретного спектров Рп(ц),(—оо < г/ < +оо) и = 1/л/п, дополненное функцией Ф_(0,/х) = —^(1 — а)/л/тг, образует полное семейство на числовой прямой.

Другими словами, если функция /(р) удовлетворяет условию

Де-"7(М) 6 ВД, (13)

то для функции /(/¿) существует единственное разложение

1 1 +0°

/(ц) = -=а0 - -т= ~а)+ /ф(>7./0<*((14)

\Л Vя" -со

Здесь Я(Д) - множество функций, удовлетворяющих условию Гельде-ра на числовой прямой, ао и а\ - неизвестные коэффициенты дискретного спектра, а(т?) - неизвестный коэффициент непрерывного спектра.

В §3 исследованы свойства ортогональности собственных функций.

Под ортогональностью собственных функций на всей числовой оси понимается равенство нулю скалярного произведения

+оо

(ад)= /^-"'вдад^, (15)

-со

где для удобства обозначено

^ = = 'I (16)

Значение при г] Ф 1)' будем называть нормировочным интегра-

лом собственных функций.

В этом параграфе доказывается теорема 1.3.1 об ортогональности собственных функций дискретного и непрерывного спектров на всей оси и более общая теорема 1.3.2.

ТЕОРЕМА 1.3.2. Для собственных функций характеристического уравнения (7) имеют место следующие нормировочные соотношения

(«„«,-) = -*?'), (17)

где

*(Л)(Ч) = (1 - а)3Че*К{ч)Ш = + (ч/^е""')2], (18)

а - граничные значения функции Ас(»?) сверху и снизу на дей-

ствительной оси.

Далее показано, что все коэффициенты разложения выражаются через скалярное произведение и детально рассмотрен вопрос о способе получения коэффициентов разложения из теоремы 1.2.1. с помощью развитой теории ортогональности.

В §4 доказана полнота системы собственных функций характеристического уравнения на деЬтвительной полуоси. Отдельно исследуется случай, имеющий важное значение для прикладных задач, когда по собственным функциям разлагается сумма }(ц) + а1Ф_(0,/х). Здесь - заданный заранее коэффициент, а Ф_(0,^) - значение второго собственного решения уравнения (4) дискретного спектра при 7 = 0.

В §5 исследуется ортогональность собственных функций на действительной положительной полуоси. Ортогональность в этом случае понимается как равенство нулю скалярного произведения +00

{ф„ф„.)= ! е-^-гШпША»)^' (19)

-00

где

= А+(/*)- (20)

Функция Х{ц) находится как решение однородной краевой задачи Ри-мана на полуоси

х (р) АГ(/0

Показывается, что собственные функции характеристического уравнения не образуют ортогонального семейства и вычисляются сооответ-ствующие нормировочные интегралы.

ТЕОРЕМА 1.5.1. Для собственных функций характеристического уравнения (7), отвечающих непрерывному и дискретному спектрам, имеют место следующие нормировочные соотношения:

;<■•«--л- (22>

(

у/к'т/ж! Ж ' л/х

1 \ ___а_

л/тг/ у/я'

(23)

(Ф„, Ф,0 = (1 - - „') - (24)

где г], т/ € Д+, а

= (25)

Впервые для кинетической теории встречается неортогоналыюсть собственных функций. Это создает дополнительные трудности при поиске коэффициентов разложения решения уравнения (4) по собственным функциям характеристического уравнения на действительной полуоси с помощью полученных нормировочных соотношений.

Удобнее использовать скалярное произведение собственных функций характеристического уравнения (7) и собственных функций сопряженного характеристического уравнения.

Для этой цели введем уравнение, сопряженное к исходному (4), поменяв в ядре уравнения ц на р!:

д

¡1— Фа(г,м) +Г (*,/*) =

1 +0° В

= ' [ + Vтг-ПгУ)] (26)

Для сопряженного уравнения найдены собственные функции в виде

= Ф '«/,/»К(ч), (27)

где

+ю

" п°Ы= /«-"'«•Оь/Ос*/», (28)

-00

Ф°(т?,/х) = Фе(|/,АХ) = -±=Т1Р— + е^КШп - /О (29)

у/Ж

(31)

Здесь Фс(г/,/^) - собственные функции Черчиньяни [3].

Доказана биортогональность собственных функций непрерывного и дискретного спектров прямого и сопряженного характеристических уравнений. Коэффициенты разложения решения уравнения (4) на действительной полуоси, полученные с помощью теории ортогональности, совпадают с выведенными ранее в §4.

И §6 показано, как вся вышеизложенная теория применяется к решению полупространственных граничных задач для уравнения (4).

Глава 2. В этой главе развитая выше теория применяется к уравнению (1), то есть в векторном случае. У нас матрицы Си Е имеют вид

С =

1

©1/)1 <Г0!р2 02/71 /(Г е2рг

Р — Р\ "гр2,

01 0 О е2

(32)

(33)

Здесь ©1, 02, ри р2, о - числовые параметры.

В §1 исследуется спектр собственных функций характеристического уравнения

№ - = -±=(7)1 - а^Сп^),

где I - единичная матрица,

+00

"(г,) =

(34)

(35)

есть неособый нормировочный вектор с элементами »11(7) и 712(77). Здесь и далее в этой главе Ф(»?,/х) - вектор-функция с элементами и

Собственные векторы непрерывного спектра имеют вид

ф(т),р) = Р(т,Ъ -///)->(Т)1- ацЕ-^С +

¿гад{6(911] - д), 5(е3т} - А{т)). (37)

Символ (Над{/Х, /2} обозначает диагональную матрицу с элементами /1 и /2 на главной диагонали.

Дискретному спектру собственных значений характеристического уравнения отвечают два собственных решения уравнения (1)

П(*.*0 =

(38)

+ (а - а^Е"1

(39)

1$ этой главе сразу вводим сопряженное уравнение к уравнению (1)

+00

V —оо

(40)

Исследованию свойств собственных векторов прямого и сопряженного характеристических уравнений на действительной оси посвящены §2 и §3. Доказана теорема полноты семейства собственных векторов на действительной оси, показана биортогональность собственных векторов прямого и сопряженного характеристических уравнений на действительной оси.

В §4 доказывается, что система собственных векторов является полной также на положительной действительной полуоси. Приведем формулировку теоремы о полноте.

ТЕОРЕМА 2.4.1. Множество собственных векторов характеристического уравнения (34) непрерывного и дискретного спектров а

(41)

образует полное семейство на положительной действительной полуоси, то есть если элементы вектор-функции /1е~м -у(р)У(/х) удовлетворяют условию Гелъдера на [0,+оо], то для функции существует единственное разложение:

+оо

+ у Ф(»?,//)п(ч)«Й7, ц > О,

(42)

где «о - скалярный коэффициент, отвечающий дискретному спектру, сектор-функция n(rj) является коэффициентом непрерывного спектра.

В §5 доказана биортогональность собственных векторов прямого и сопряженного характеристических уравнений на полуоси, найдены нормировочные коэффициенты.'

В §6 изложенная выше теория применяется к решению краевых задач для уравнения (1). Здесь приводится аналитическое решение задачи Крамерса для умеренно плотного бинарного газа. Полученные результаты при уменьшении параметра а (то есть при уменьшении плотности газа) переходят в решение, известное ранее - [9], [10]-для разреженного газа. -

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Метод решения кинетического уравнения с полулинейным ядром.

2. Приложение развитой теории к аналитическому решению граничных задач для уравнения, описывающего поведение умеренно плотного бинарного газа.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Латышеву Анатолию Васильевичу за постановку задач, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список литературы

1. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая щеория процессов перс-нос а в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

2. Case K.M. Elementary Solutions of the Transport Equation and their Applications //Annals of Physics. 1960. V. 9. N 1. P. 1-23.

3. Cercignani C. Elementary Solutions of the Linearized Gas-Dynamics Boltzmann Equation and their. Application to the Slip-Flow ' //Annals of Physics. 1962. V. 20. N 2. ' P. 219 - 233.

4 Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи

Крамерса для плотного газа //Поверхность. 1994. N 6. С.45 - 51.

*

5. Латышев A.B. Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении для умеренно плотного газа //Математическое моделирование. 1994. Т. 6. С. 41 - 48.

6. Пастернак В.Б., Юппсанов A.A., Яламов Ю.И. О построении модели Бхатнагара, Гросса и Крука в случае газов умеренной плотности //Известия вузов. Серия "Физика". 1079. N 11. С. 12 -.15.

7. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. 384 с.

8. Гермогенова Т. А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения теория переноса //ИПМ СССР. Препринт N 103, 1976. 55 с.

9. Латышев A.B. Аналитическое решение задач скольжения бинарного газа //.Теоретическая и математическая физика. 1991.

ТН6. N 3. С. 402 - 419.

10. Латышев A.B., Юшканов A.A. Теория и точное решение задач скольжения бинарного газа вдоль плоской поверхности //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991.

131. N8. С. 1201-1210.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

L Латышев A.B., Тимченко О.В. Теория и точное решение задачи изотермического скольжения бинарного газа умеренной плотности //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35. N4. С. 580 - 594.

2. Латышев A.B., Тимченко О.В. Математическая модель бинарного газа умеренной плотности //Журнал физической химии. 1996. Т. 70. N4. С. 747-750.

3. Латышев А.В., Тимченко О.В. Математическая модель бинарного газа умеренной плотности //Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и др. средах. Российская науная конференция с участием зарубежных ученых. Тверь, 28 - 30 июня 1994 г. Ротапринт ТГТУ. Тезисы докладов. С. 59.

4. Латышев А.В., Тимченко О.В. Построение математической модели бинарного газа умеренной плотности //Дёп. в ВИНИТИ 5.06.95 .ФН1621-В95.

5. Латышев А.В., Тимченко О.В. Точные решения граничных задач для кинетического уравнения с полулинейным ядром //Деп. в ВИНИТИ 5.06.95.ФН 1620-В95.

6. Латышев А.В., Тимченко О.В. Задача Крамерса для умеренно плотного бинарного газа //Вакуумная наука и техника. Научно-техническая конференция с участием зарубежных специалистов. Гурзуф. Октябрь 1994 г. Тезисы докладов. С. 57.

7. Тимченко О.В. Математическая модель плотного газа. Теория ортогональности //Математика, компьютер, образование. Вторая международная конференция. Москва, 1995. С. 27.

8. Тимченко О.В. Точные решения задачи Крамерса для умеренно плотного бинарного газа //Деп. в ВИНИТИ 5.06.95.ФН1622-В95.

9. Latyshev A.V., Timchenko O.V. Isothermal Sliding of Dense Binary Gas and Boundary Conditions of Aerosol Physics //International Aerosol Symposium, 1994. Moscow - Abstracts. P. 38.

10. Latyshev A.V., Timchenko O.V. Theiry and Accurate Solutions of the Problem of the Isothermal Slip of a Medium-Density Binary Gas H Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1995.

Y35. N4. P. 459-489.

ТИМЧЕНКО ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ПОВЕДЕНИЕ ПЛОТНОГО ГАЗА

И данной работе рассмотрен метод решения полупространственных граничных задач для интегродифференциальных уравнений типа уравнения переноса. Разделение переменных приводит к характеристическому уравнению, для которого исследован спектр собственных значений и найдены собственные векторы в пространстве обобщенных функций. Задача сводится к решению краевой задачи Римана-Гильберта. Доказана полнота системы собственных векторов как на всей числовой оси, так и на положительной полуоси. Установлено существование и единственность разложения решения исходного уравнения по собственным функциям характеристического уравнения.

TIMCHENKO OLGA VLADIMIROVNA

THE ANALYTICAL SOLUTIONS OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS

FOR EQUATIONS DESCRIBING THE BEHAVIUOR OF DENSE GAS

boundary value problems for transport type integro-differential equations is considered. The separation of variables leads to characteristic equation for which the spectrum of eigenvalues is investigated and eigenvectors are found in space of generalized functions. The problem reduces to solving the Riemann-Hilbert boundary value problem. The completeness of the system of eigenvectors both on the whole number axis and on the positive semiaxis is proved. Thie existence and uniqueness of decomposition of solution of resulting equation in terms of generalized singular eigenfunctions of characteristic equation is established.

In the present paper a method for the solution of half-space