Точные решения уравнений вязкоупругой и микрополярной жидкостей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Брутян Мурад Абрамович

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ И МИКРОПОЛЯРНОЙ ЖИДКОСТЕЙ

01.02.05 - Механика жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

д Ц О ¿и ¿и 11

Жуковский - 2011

4856099

Работа выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии Центральном аэрогидродинамическом институте им. проф. Н.Е. Жуковского («ФГУП ЦАГИ»)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Галкин Владлен Сергеевич, доктор физико-математических наук, Гупало Юрий Павлович, доктор физико-математических наук, Дудин Георгий Николаевич

Ведущая организация - Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 5 апреля в зале для конференций корпуса №30 на заседании диссертационного совета Д 403.004.01 в Центральном аэрогидродинамическом институте имени профессора Н.Е.Жуковского по адресу 140180, г. Жуковский, Московская область, ул. Жуковского, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Центрального аэрогидродинамического института имени профессора Н.Е.Жуковского.

Автореферат разослан Л 4 @2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 403.004.01

доктор технических наук, профессор

В.М. Чижов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкое использование полимерных и нанопорошковых присадок в целом ряде прикладных задач гидродинамики вновь вызвало интерес к динамике неньютоновской жидкости. Первые работы в этой области появились в 50-х годах прошлого века и были связаны с развитием биомеханики, бионики, биогидродинамики, пищевой промышленности и т.д. Специалисты классической гидромеханики заинтересовались неньюгоновскими жидкостями главным образом в связи с проблемой уменьшения сопротивления, Toms (1948); Hoyt & Fabula (1964); Хью (1984); Корнилов (2005) и проблемой моделирования турбулентных течений, Rivlin (1957); Николаевский (1970); Townsend (1976); Speziale (1987). Различным аспектам гидродинамического воздействия малых полимерных добавок посвящено большое число работ, главным образом, полуэмпирических и экспериментальных (см., например, вступительную статью Ишлинского (1973) и другие статьи ИФЖ, посвященного данной проблеме). Влияние высокомолекулярных добавок на реологические показатели крови изучается в работах Григоряна и др. (1986); Unthank et al. (1992), где получены убедительные доказательства проявления эффекта уменьшения гидродинамического сопротивления. Уравнения классической гидродинамики описывают огромный класс течений, имеющих практическое значение, однако они не могут дать адекватного описания явлений в реологически сложных течениях, когда нарушаются исходные "ньютоновские" предположения. Кроме того, классические жидкости на временах, сопоставимых со временем релаксации напряжений тоже могут проявлять неньютоновские свойства. Такие ситуации могут возникать, например, при кратковременном воздействии внешних сил на жидкость или при движениях жидкости в режиме развитой турбулентности, когда период мелкомасштабных пульсаций сопоставим со временем релаксации напряжений.

Поэтому с практической точки зрения исследования в этой области актуальны и совершенно необходимы. С чисто научной точки зрения изучение неныотоновских жидкостей также очень интересно и актуально, поскольку даже в простых течениях они могут проявлять поведение, качественно отличающееся от поведения обычной ньютоновской жидкости.

Практическая значимость работы заключается

• В построении теоретической модели, объясняющей важный для практики «спурт-эффект» (эффект резкого увеличения расхода неньютоновской жидкости при течении в тонких трубках, когда градиент давления превышает некоторое пороговое значение).

• В нахождении аналитического критерия наступления нового, не свойственного ньютоновской жидкости, режима (затухание с колебаниями) схлопывания сферической полости, имеющего отношение к важному для практики эффекту кавитации.

• В установлении принципиальной возможности уменьшения сопротивления движущихся тел по сравнению с классической ньютоновской жидкостью даже при ламинарном течении.

• В приложении аналитических и численных результатов, полученных для пространственных вихревых течений микрополярной жидкости, к практически важной задаче теории смазки.

Целью работы является

• Получение точных решений и на их основе аналитическое и численное исследование внутренних свойств (существование и устойчивость) уравнений вязкоупругой жидкости для качественного и количественного понимания и объяснения эффектов, необычных для классической ньютоновской жидкости, в частности, важного для практики «спурт-эффекта».

• Получение точных решений и на их основе аналитическое и численное исследование уравнений микрополярной жидкости, в частности, для изучения вопросов устойчивости и эффекта уменьшения сопротивления движущихся тел при использовании различных нанопорошковых и полимерных добавок.

Научная новизна работы состоит в том, что

• Впервые установлен факт математической эквивалентности класса однонаправленных течений вязкоупругой жидкости и газодинамического течения некоторого фиктивного газа. Данный факт позволил построить различные решения, аналогичные известным решениям в газовой динамике, и дать новое объяснение важного для практики «спурт-эффекта» без априорных предположений об условиях нарушения прилипания на границе потока.

• Впервые получено уравнение, описывающее эволюцию завихренности в вязкоупругой жидкости Олдройда, и дано его точное решение для случаев распада изолированного вихря и вихревой решетки. Показано, что в случае релаксационной модели Максвелла решение

кардинально отличается от классического и завихренность имеет конечную скорость распространения.

• В задаче о схлопывании сферического пузыря в безграничной вязкоупругой жидкости Олдройда впервые установлено, что в зависимости от значений параметров реологической модели среды реализуется качественно различное поведение решения, включающее коллапс за конечное время, вязкое затухание за бесконечное время и качественно новое поведение - затухание с колебаниями.

• Впервые получено замкнутое выражение для критического числа Рейнольдса 11е, потери устойчивости для вязкоупругого аналога течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения, индуцированного периодической внешней силой). Показано, что устойчивость течения Колмогорова с увеличением времени релаксации X возрастает.

• Получены модифицированные уравнения микрополярной жидкости и впервые дано сопоставление модифицированных и ^модифицированных уравнений на примере точного численного решения трехмерной нелинейной задачи Кармана о вращении бесконечного диска. Численно и аналитически изучены двух и трехмерные вихревые течения микрополярной жидкости и дано приложение полученных результатов к теории смазки.

• Для течения Колмогорова в микрополярной жидкости получено точное аналитическое выражение для критического числа Рейнольдса потери устойчивости. Впервые установлено, что поведение Не, при изменении параметров задачи в общем случае не является монотонным. Показано, что в реалистических случаях, когда внутренние длины очень малы, общее выражение для Яе» переходит в асимптотическую

формулу, которая наглядно демонстрирует факт повышения устойчивости при возрастании "степени микрополярности".

Автор защищает следующие положения:

• Постановку задачи и установление факта математической эквивалентности однонаправленного несжимаемого течения вязкоупругой жидкости и некоторого течения сжимаемого фиктивного газа, что позволяет легко строить решения дуальные аналогичным решениям известным в газовой динамике.

• Новое теоретическое объяснение, не основанное на априорном предположении о проскальзывании, известному и важному для практики «спурт-эффекту» - эффекту резкого увеличения расхода жидкости в тонких трубках при скоростях сдвига, больших некоторого критического

значения. Численную проверку и установление связи спурт-эффекта с гистерезисом кривых, характеризующих течение.

• Постановку и решение задачи о течении нелинейно-вязкой жидкости в трубах. Точные аналитические решения задач Хагена-Пуазейля и Тейлора-Куэтта в рамках полной 8-константной модели Олдройда. Интерпретацию несуществования решения при числах Рейнольдса, превышающих некоторое критическое значение, как газодинамический эффект «запирания трубы».

• Точное аналитическое решение задачи Озеена о диффузии вихревой нити в вязкоупругой жидкости Максвелла и вывод замкнутой формулы, подтверждающей факт конечности скорости распространения завихренности при учете релаксации. В задаче о диффузии вихревой решетки Тейлора нахождение условия, при котором качественно изменяется характер решения.

• Асимптотический анализ финальной стадии коллапса сферического пузырька и определение значений параметров, при которых качественно изменяется поведение решения, включающее коллапс за конечное время, вязкое затухание за бесконечное время и новый вид решения, не свойственный ньютоновской жидкости -затухание с колебаниями.

• Нахождение явной формулы для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения, индуцированного периодической внешней силой) в вязкоупругой жидкости. Установление факта повышения устойчивости течения при увеличении времени релаксации.

• Вывод модифицированных уравнений микрополярной жидкости. Точное численное решение нелинейной задачи Кармана о вращении бесконечного диска в микрополярной жидкости и установление принципиальной возможности уменьшения сопротивления движущихся тел по сравнению с ньютоновской жидкостью даже при ламинарном течении. Теоретическое и численное исследование двух и трехмерных вихревых течений микрополярной жидкости и их связи с теорией смазки.

• Определение точного выражения для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова в микрополярной жидкости. Установление факта немонотонного поведения величины критического числа Рейнольдса в некотором диапазоне изменения параметров модели. Обобщение результатов на случай широкого класса периодических однонаправленных течений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации содержатся в 20 статьях [1-20], опубликованных в ведущих отечественных и зарубежных рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Отдельные результаты докладывались на международных, всесоюзных и всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе: на конференциях ЦАГИ «Аэродинамика летательных аппаратов» (пос. Володарского 2010-2007, 2002-1997), на международном симпозиуме «Second International Symposium on Advances in Structured and Heterogeneous Continua» (Moscow 1995), на международных конференциях ASME (Anaheim 1998, Hilton Head 1995 и Chicago 1994), на конференциях американского реологического общества (Philadelphia 1994 и Boston 1993), на международном симпозиуме «International Workshop on Advances in Analytical Methods in Aerodynamics» (Miedzyzdroje 1993), на IX Зимней школе no механике сплошной среды (ЬСунгур 1991), на конференции «Современные проблемы механики жидкости и газа» (Иркутск 1990), на международной конференции «Generation of large-scale structures in continuous media» (Moscow 1990), на конференции «Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса» (Казань 1989).

В диссертационную работу включены результаты исследований, поддержанные грантами РФФИ, проекты № 96-01-00210-а и № 96-01-00210-л.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения; семи глав, включающих 21 параграф и 35 страниц иллюстраций; выводов и списка литературы, состоящего из 265 наименований. Общий объем работы - 231 страница.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дано описание современного состояния гидродинамики вязкоупругой и микрополярной жидкостей. Формулируется научная и прикладная цель исследования. Обосновывается актуальность темы, аргументируется научная новизна и практическая значимость полученных результатов, представляются выносимые на защиту научные положения. Кратко излагается содержание глав. Приводится список работ автора по теме диссертации.

Для описания свойств неньютоновских жидкостей существуют, по крайней мере, две различных возможности:

(1) не вводя дополнительных характеристик среды, модифицировать классическое уравнение состояния 0"=2r|D, где (7 - тензор напряжений, a D - тензор скоростей деформаций;

(2) наряду с полем скоростей характеризовать среду дополнительным полем векторных или тензорных величин.

Опыт показывает, что в действительности реализуются обе эти возможности. Первая возможность, связанная с модификацией уравнения

состояния, используется для моделирования как нелинейных, так и релаксационных свойств полимерной жидкости. Среди нелинейных моделей особой популярностью пользуются обобщенные ньютоновские жидкости, для которых тензоры сг и D предполагаются связанными соотношением СТ=f(D). Вводя дополнительные предположения типа изотропности, Ericksen & Rivlin (1955) показали, что функция f является полиномом второго порядка

CT=2t]D+HD2,

где г) и ц - скалярные функции от инвариантов тензора D. Эта модель описывает многие явления в полимерных жидкостях. Однако модель обобщенно ньютоновской жидкости не учитывает упругих свойств среды, что проявляется в предположении о том, что напряжение однозначно определяется мгновенной скоростью деформации. Этот недостаток особенно сильно заметен в нестационарных задачах, в которых учет упругих свойств играет важную роль. Первая попытка получить уравнение состояния вязкоупругой среды принадлежит Максвеллу (1867), который пришел к выводу, что в уравнении состояния наряду с напряжением должна присутствовать производная d/dt в той же самой точке и в тот же момент времени. Связь тензоров О" и D при этом остается линейной:

а+Д,—=2r|D, (В.1)

dt

где X - время релаксации ("relaxation time"). Модель (В.1) играет ключевую роль в теории линейной вязкоупругости, однако расчеты по этой модели оказываются неадекватными многим опытным данным. Развивая идеи Максвелла, Jeffreys (1929) предложил в качестве уравнения состояния использовать наиболее общее линейное соотношение первого порядка

<т-г/. ^ =-2r|^D 1-л. ^ j , (В.2)

где X - время запаздывания ("retardation time"). Однако, обе модели (В.1) и (В.2), описывающие линейную вязкоупругость, не учитывают нелинейных эффектов в уравнении состояния и справедливы для течений с малыми градиентами.

Наиболее общее нелинейное обобщение уравнения состояния, содержащее квадратичные члены и удовлетворяющее принципу материальной независимости (см., например, Truesdell (1965); Wang (1975); Ryskin & Rallison (1980); Галкин и Носик (1985)), нашел, по-существу, Oldroyd (1958). В рамках полной 8-константной модели Олдройда соответствующее уравнение состояния имеет вид:

О"+^Fabc (or)=2 Л [D+Л F&p (D)] (B.3)

Fabc (or)= d а +а D-Q cr-a(D CT+сг D)+b(or:D)I+c(Tr CT)D dt

Fap (D)= d +D Q-Q D-2aD2 +p(D:D)I, dt

где a,b,c,a,P - безразмерные постоянные; Q - тензор завихренности с

компонентами n¡j=(9jV¡-9¡Vj)/2; О":D - свертка тензоров СГ и D; ТгСГ

- след тензора О"; I - единичный тензор, (1)у=8у. Опыт использования

(В.З) показал, что довольно широкий класс неньютоновских жидкостей действительно хорошо описывается этой вязкоупругой моделью.

По сравнению со случаем классической ньютоновской жидкости в вязкоупругой модели возникаЕОт дополнительные параметры подобия. Важнейшим из них является число Деборы De, которое равно отношению характерных релаксационных членов к инерционным. Очевидно, что вязкоупругие эффекты существенны при не слишком малых числах De. Поэтому в ламинарных течениях они заметны только в быстропротекающих процессах при достаточно малых временных масштабах течения. В турбулентных течениях этот временной масштаб может быть очень мал, и значительные аномалии поведения наблюдаются даже для слабо упругих жидкостей, таких как разбавленные растворы полимеров. Турбулентные течения вязкоупругих жидкостей экспериментально изучались в работе Калашникова (1987). В связи с трудностью анализа общей 8-константной модели (В.З) в литературе рассматриваются различные частные случаи. Наиболее полную классификацию можно найти в первом томе фундаментальной монографии Bird et al. (1987). Различные линейные и нелинейные модели вязкоупругих сред рассматриваются в работах Басистова и Яновского (2005), Леонова и Прокунина (1994). В рамках нелинейной вязкоупругой модели Олдройда (В.З) и ведется рассмотрение в главах I-V.

Вторая принципиальная возможность описания неньютоновских свойств, как мы уже отмечали, заключается в том, что наряду с полем скоростей вводится в рассмотрение дополнительное поле векторных или тензорных величин. Например, для описания нематических жидких кристаллов вводится дополнительное поле единичного вектора (директора), который локально направлен вдоль осей длинных полимерных молекул. Гидродинамика нематиков и другие их физические свойства описаны в монографии П. де Жена (1977). Аналогичное неньютоновское поведение в жидкости может быть вызвано действием электрического или магнитного поля, Куликовский и Любимов (1962). Эффекты, проявляющиеся в этих случаях весьма близки по своей

природе. Другим важным примером такого сорта является микрополярная жидкость, в которой наряду с полем скоростей вводится поле угловых скоростей микровращения. Жидкость такого типа впервые рассматривали братья Cosserat & Cosserat (1909). Во всех этих средах модифицируется связь тензоров О" и D. В микрополярной жидкости тензор напряжений становится несимметричным (поэтому уравнения движения такой среды часто называют уравнениями асимметрической гидродинамики) и имеет вид:

О"=2r|D+k(VV-Q),

где VV - тензор градиента скорости с компонентами (W)- =3jV¡, 52 -

тензор микровращения, а дополнительный диссипативный коэффициент к (коэффициент вихревой вязкости) характеризует меру сцепления полимерных молекул со своим окружением. Различные варианты уравнений микрополярной жидкости представлены в работах Eringen (1964), Аэро и др.(1965), Брутяна и Крапивского (1989). Описанию и развитию общего метода, позволяющего на основании минимального числа допущений физического характера устанавливать для моделей сред с внутренними степенями свободы замкнутые системы уравнений, посвящена работа Седова (1968). Довольно большое число работ связано с описанием некоторых турбулентных течений ньютоновской жидкости с помощью моделей турбулентности, близких к уравнениям микрополярной жидкости. Много работ в этом направлении выполнено Николаевским (см., например, 1980). Обзор многочисленных работ по микрополярной жидкости приведен в монографиях Мигуна и Прохоренко (1984), Петросяна (1984). Исследованию уравнений, вихревых течений и устойчивости периодических течений в микрополярной жидкости посвящены две заключительные главы VI и VII.

Глава I написана по результатам работ [7], [11] и [26]. В ней рассматривается класс стационарных несжимаемых течений вязкоупругой жидкости с одной нетривиальной компонентой скорости w(x,y), зависящей от двух независимых переменных. Показано, что в плоскости перпендикулярной вектору скорости течения вязкоупругой 4-константной жидкости Олдройда задача сводится к уравнению газовой динамики

V(pq)=0,q=Vw (1.1)

для некоторого фиктивного сжимаемого газа. Потенциалом течения газа является w = w(x,y), а плотность р и модуль скорости q связаны соотношением:

Принимая для удобства сА? =1, из (1.1) и (1.2) находим У(рд)=2(1-£)(1+Ч2)-2[(с2-№^хх^хшу№ху+(с2^)\ууу]=0, (1.3) где С2 - квадрат скорости звука в газе, равный

с2 = (1+Ч2)(1+еЧ2) 2(1-е)

Математический факт эквивалентности этих двух течений позволяет провести классификацию областей эллиптичности и гиперболичности в зависимости от значений параметров модели и, в частности, построить решения аналогичные известным в газовой динамике решениям типа ударной поляры и волны разрежения Прандтля-Майера.

Тип квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка (1.3) определяется знаком величины Д

— Х^2 —wy wx [^"^(З2-!^2 ].

Таким образом, все определяется знаком +ёя4 , так что

области эллиптичности и гиперболичности расположены:

(a) £=0 : при 0<ц<1 - область эллиптичности; при 1^<со - область гиперболичности.

(b) 0<£<1/9: при 0^<ят!п - область эллиптичности; при

Чш1п<Ч<Чшах " область гиперболичности; при Чтах<Ч<с° - область эллиптичности.

(c) £>1/9: в этом случае уравнение 8=0 не имеет действительных корней и течение всюду эллиптическое.

Как и в обычной газовой динамике, после введения в рассмотрение числа Маха M=q/C

М2 = ^О-*) (1+Ч2)(1+8Ч2)

замечаем, что областям гиперболичности, как и следовало ожидать, соответствует условие М>1, а областям эллиптичности М<1. На Рис.1.а,Ь приведены графики зависимости М=М(с]) для различных моделей жидкости Олдройда. Для релаксационной модели Максвелла е=0 эта зависимость является монотонно возрастающей функцией,

причем максимальная величина числа Маха ограничена, М=-/2 . В общем случае зависимость М=М^) имеет в точке <\=МА1ъ максимум,

равный М= /2(1- /е)/(1+ /£) . Заметим, что для известного в газовой

динамике газа Трикоми, число Маха также ограничено. Оно не превосходит значения 1,14 и стремится к единице, когда скорость становится бесконечной.

Известно, что решение квазилинейного дифференциального уравнения (1.3) в гиперболической области может иметь разрывы производных второго порядка, т.е. разрывы производных скорости и qy фиктивного газа. Можно рассмотреть также другой род разрыва, при переходе через который вектор скорости q и плотность р испытывают скачок, который управляется соотношением (1.1). В случае прямого скачка уравнение неразрывности потока pq дает:

п=;=сопз1. (1.5)

1+Я

При е>1/9 существует ровно одно решение уравнения (1.5) при произвольном I, так что скачки уплотнения невозможны. Этот вывод согласуется с представлениями традиционной газовой динамики, поскольку в дозвуковых течениях (М<1, см. РисЛЬ) скачков не возникает. При е=0 (релаксационная модель Максвелла) уравнение (1.5) имеет два решения при всех ,1<1/2 (случай ]=\!2 соответствует движению со скоростью звука М=1, случай ]>\/2 невозможен). Обозначая через q1 скорость перед скачком, а через q2 скорость за скачком, из (1.5) получаем "теорему Прандтля" для максвелловского газа

Ч1Ч2 =1 ■

Установленная математическая эквивалентность двух течений позволяет перенести все известные результаты классической газовой динамики на фиктивный максвелловский газ, который в свою очередь

дуален релаксационной модели Максвелла для течений вязкоупругой жидкости.

Рассмотрено однонаправленное течение в трубе, сечение которой представляет собой бесконечный клин и показано, что в случае максвелловского газа имеются решения двух типов:

Г=А,«м(0+А2) и г=(ве)Ль(±0+А3)

Общее решение получается после склейки решений разных типов; при этом значения постоянных Aj находятся из условий сращивания и

граничных условий. Анализ показывает, что вблизи центра 9=0 реализуется решение первого типа, а решения второго типа примыкают к границам клина. Таким образом, получаем

^Асоз(9) при -р<0<(3,

а-0+агз1Юе)при р<9<а,

f=(Ое)-18Ь(а+в+аг8Ше)при -а<0<~Р.

Производя сращивание компонент скорости фиктивного газа Г и Г' при 0=±Р, устанавливаем, что при 0=±р возможен слабый разрыв. В результате сращивания получаем:

18(Р)Ш(а-Р+аг3ЬОе)=1 (1.6)

При достаточно малых углах а уравнение (1.6) не имеет решения. Это означает, что во всей области течения реализуется «ньютоновское» решение. Решение второго типа («неньютоновское» решение) впервые возникает при некотором критическом значении угла

а„:=ап^\'1+Ве~2

Заметим, что величина угла р не превосходит критического значения а». Отсюда заключаем, что при а<л/4 ньютоновское решение Г=соз(0)/соз(а) реализуется при всех числах Деборы. Это же решение имеет место, если при заданном числе Ое угол а меньше критического значения, а<а„. В тех случаях, когда при заданном значении числа Юе угол а>а„, то реализуется композитное решение: внутри ядра |9|<Р имеет место ньютоновское решение, а вне - неньютоновское. Найденное решение, таким образом, не содержит сингулярностей при всех значениях а, другими словами учет вязкоупругих свойств жидкости устраняет известный парадокс типа Стернберга-Койтера.

Рассмотрена газовая динамика максвелловского газа. Если ввести скорость звука по формуле (1.4), то для ньютоновского решения (течения в ядре) скорость оказывается постоянной по абсолютной величине и по

направлению. Вычислим при критическом угле а=а» число Маха для этого потока: М2=М2+Ме

.. , ЛЛ De .. íl+2De2 ,

м0=1, мг- м= 2 >1 •

/1+De í 1+De2

Откуда видим, что решение типа однородного потока существует, пока компонента скорости q9 не достигнет критического значения, то есть число М0 не станет равным единице. Для решения второго типа имеем Ме=1. Таким образом, решение первого типа при а=а„ =¡3 переходит в решение второго типа, для которого перпендикулярная к радиусу вектору составляющая скорости q6 фиктивного газа в каждой точке равна по величине местной скорости звука. Вычисляя угол наклона характеристик при 0=Р получаем, что угол Маха равен (3, а угол наклона линий тока на границах клина оказывается постоянным и равным а-а,. Проведенный анализ весьма близок к анализу волн разрежения в классической газовой динамике, а построенное решение можно считать аналогом известного решения Прандтля-Майера.

Аналогичное исследование проведено для стационарного однонаправленного течения неньютоновской жидкости с нелинейной вязкостью или обобщенной ньютоновской жидкости, для которой <7-2r|(q)D . Уравнение (1.3) в этом случае принимает вид:

div(iiq)=ri^~l [(a,-wx )wxx -2wxwywx>, jw^, j=0, где >

откуда заключаем, что при ^.>0, что соответствует псевдопластическим жидкостям нам вновь оказывается полезной газодинамическая аналогия: потенциал скорости q течения фиктивного газа представляет компонента w(x,y) скорости течения жидкости, а роль плотности газа р выполняет коэффициент динамической вязкости г|. Скорость звука С в фиктивном

газе в этом случае определена формулой С= Д . Рассмотрены некоторые конкретные модели жидкости с нелинейной вязкостью: степенная жидкость модель жидкости Прандтля-Эйринга и модель Цванцига-Хонькина. В последнем случае число Маха фиктивного газа оказывается . ограниченым величиной: М<2 /'3 »1.1547. Аналогичное свойство имеет газ Трикоми: М<1.14 , а для совершенного газа с показателем адиабаты 7<1 также имеем ограничение (м< /2/(1-у)).

Глава II написана по результатам работ [5], [6] и [10]. Даны точные решения задач Хагена-Пуазейля и Тейлора-Куэтта для полной 8-

константной модели Олдройда (В.З). Установлено, что течение вязкоуиругой жидкости в трубе произвольного сечения, вызванное продольным градиентом давления dp/dz существует в ограниченном диапазоне чисел Деборы

1

2SA.

1 dp T1 dz

(2.1)

()<1)е< , Эе=

/с Ь

Здесь Б - площадь сечения трубы, а Ь - периметр сечения. Из условия (2.1), в частности, следует, что пуазейлевское течение в трубе, сечением которой является бесконечный клин, не существует. В самом деле, выделим в клине сектор радиуса Я: 0<г<Я,|0|<а. Тогда периметр

Ь=2(1+а)Я, а площадь . Подставляя эти значения в (2.1) при

достаточно больших значениях Я, приходим к противоречию, что и завершает доказательство.

Установлено, что для течения в круглой трубе условие (2.1) является не только необходимым, но и достаточным условием существования пуазейлевского течения. Это следует из явного решения уравнения движения (2.1), которое в полярных координатах имеет вид:

\-1

I

¡сХ2

R,

-1

R,

. где Rc =

jcX2 dp г| dz

Таким образом, решение существует только в ограниченном диапазоне изменения радиуса трубы Я, Я<ЯС. Заметим, что число Маха М для течения фиктивного максвелловского газа при критическом радиусе трубы равно единице, так что обнаруженное явление несуществования решения при радиусе К>ЯС аналогично известному в газовой динамике эффекту запирания трубы.

Аналогичные результаты получены для течения Тейлора-Куэтта вязкоупругой жидкости. Решение вновь существует в ограниченном диапазоне чисел Деборы

0<De<

1 |А~1/2, А=1-(а-Ь)(а-с).

Отношение крутящего момента к соответствующему значению в классической жидкости Навье-Стокса при малых значениях чисел Бе

3 у '

иллюстрирует эффект уменьшения сопротивления в вязкоупругой жидкости. Любопытно, что минимальная величина безразмерного момента не зависит от параметров реологической модели.

Для того, чтобы выяснить поведение решения при r>Rc рассмотрена задача устойчивости однонаправленного течения вязко-упругой жидкости. В малой окрестности произвольной точки можно записать следующее представление решения:

u=u0+conste'(tt+iJX). (2.2)

Подставляя (2.2) в нестационарные уравнения движения уравнения находим условие коротковолновой неустойчивости однонаправленного течения 4-константной жидкости Олдройда

sq^+(3e-l)q2+l<0. (2.3)

Заметим, что условие гиперболичности определяющих уравнений имеет тот же вид (2.3). Таким образом, найдено, что в диапазоне (Чтш'Чшах)' Т-е- в области гиперболичности, однонаправленное течение вязкоупругой жидкости Олдройда неустойчиво относительно коротковолновых возмущений, сохраняющих направление скорости. Если течение стационарно, то зависимость o(q) имеет S-образный вид, Рис.2а. Неустойчивость возникает в тех случаях, когда зависимость a(q), полученная для стационарного течения, такова, что о'<0. Используя результаты теоретического анализа устойчивости квазистационарных течений, в качестве примера рассмотрен, так называемый спурт-эффект, который представляет собой разновидность неустойчивости течения вязкоупругой жидкости в узких трубках. Этот тип неустойчивости важен не только с теоретической, но и с практической точки зрения, поскольку является лимитирующим фактором во многих промышленных процессах. Резюмируя многочисленные экспериментальные наблюдения можно отметить следующие характерные особенности спурт-эффекта, Vinogradov et al. (1972): (1) скорость течения скачкообразно увеличивается всякий раз, когда градиент давления превышает некоторое пороговое значение; (2) профиль скорости при этом становится близким к прямоугольному (стержнеобразному); (3) наблюдается гистерезис кривых, характеризующих течение.

Обычный путь описания спурт-эффекта сводится к отмене классических гидродинамических условий прилипания потока на стенке трубы. В диссертации показано, что все основные особенности (1)-(3) спурт-эффекта могут быть поняты и объяснены в рамках классических гидродинамических представлений, без отмены общепринятого граничного условия прилипания.

сдвига от напряжения от градиента давления

Установлено, что при 0<е<1/9, т.е в области гиперболичности, существуют два критических значения Р41 и Р„2, которые соответствуют экстремальным значениям qmax и ят!п. При Р. <Р», решение непрерывное и единственное, а профиль скорости ау^хуДг.) по форме близок к классическому параболическому профилю скоростей, наблюдаемому в пуазейлевских течениях ньютоновской жидкости. Для определенности в расчетах принято е=1/10. Безразмерная скорость \у„=\уЛу0, где лу^И^ёр/сЬ)/^. Этот режим будем называть докритическим. В закритической области Р»>Р*2 решение разрывное и профиль скорости имеет вид, близкий к прямоугольному. При этом секундный расход (2 жидкости резко возрастает и становится в десятки раз больше соответствующего расхода ньютоновской жидкости. В промежуточной области Р+1 <Р»<Р,2 оказалось, что возможен как докритический, так и закритический режим течения. Это зависит от того, каким образом получено стационарное значение Р»: путем последовательного возрастания или убывания градиента давления. Данный вывод был сделан на основании подробного анализа результатов численного моделирования определяющих уравнений методом конечных разностей. Рассматривался квазистационарный процесс. Скорость изменения градиента давления выбиралась малой, так что на каждом шаге по времени параметры течения полностью устанавливались. В противном случае временной шаг автоматически уменьшался. Оказалось, что если градиент давления постепенно нарастает от некоторого значения Р<Р,), то процесс идет непрерывно до точки Р»2, а затем происходит скачок на верхнюю ветвь с большими скоростями сдвига. Если же

градиент давления постепенно уменьшается от некоторого значения Р>Р„2, то процесс идет непрерывно до точки Р*,, а затем происходит скачок на нижнюю ветвь с меньшими скоростями сдвига. Подобное поведение решения естественно приводит к явлению гистерезиса и в случае возрастания градиента давления к резкому увеличению расхода при Р>Р»2, что достаточно хорошо заметно по зависимости

безразмерного секундного расхода жидкости от

безразмерного градиента давления Р, (Рис.2Ь). На Рис.За и ЗЬ для сравнения приведены экспериментальная и теоретическая зависимости скорости сдвига от напряжения при возникновении «спурта». Отметим, что при описании такого сложного явления как «спурт-эффект» теоретическая и экспериментальная зависимости качественно выглядят одинаково.

Рис.За - Эксперимент Рис.ЗЬ - Теория

Глава III написана по результатам работ [23] и [26]. Рассматривается течение вязкоупругой жидкости, индуцированное плоским или пространственным источником, либо стоком. В рамках полной 8-константной модели Олдройда выписаны определяющие уравнения, получены асимптотики решений на больших и на малых расстояниях г от источника (стока). Для течения типа источника (стока) в вязкоупругой жидкости можно выделить ядро размером о((С)г1/2)) в плоском случае и

о((С)г|/3 )) в пространственном, где существенны вязкоупругие эффекты. Поведение решения вблизи от источника (стока) в релаксационных (максвелловских) моделях существенно отличается от ретардационных

моделей, для которых е>0. Подобная качественная зависимость решения от вида модели весьма характерна для вязкоупругой жидкости, Joseph (1990). Одной из целей введения релаксационных моделей было устранение бесконечной скорости распространения возмущений в классической вязкой жидкости. Стационарные уравнения вязкоупругой жидкости, вообще говоря, не являются эллиптическими, а могут содержать области гиперболичности, Регирер и Руткевич (1968); Joseph & Saut (1986); Dupret & Marshal (1986). Численный расчет задач, в которых сосуществуют области эллиптичности и гиперболичности, а граница между ними заранее неизвестна, довольно сложен. При использовании конечно-разностных методов, вероятно, следует заимствовать идеи Мурмана, Коула и Джеймесона, на основе которых созданы эффективные методы численного расчета трансзвуковых течений. В целом ситуация напоминает ту, с которой сталкиваются при изучении трансзвуковой аэродинамики, но является более сложной. Сопоставление релаксационных и ретардационных моделей на примерах точных решений показывает, что возможные в максвелловской жидкости разрывы сглаживаются в полных моделях Олдройда, подобно тому, как ударные волны и другие разрывы в невязком газе сглаживаются в модели Навье-Стокса.

Для данного класса течений проведена классификация областей эллиптичности и гиперболичности. Особое внимание уделено модели Джонсона-Сегалмана (-1<а<1) и модели Максвелла. В частности, для целого класса релаксационных моделей Максвелла показана возможность чередования областей эллиптичности и гиперболичности: вблизи от источника (стока) при 0<r<rw уравнения имеют эллиптический тип; в промежуточной области r„,<r<rt уравнения имеют гиперболический тип, а в дальней области при г,<г<со уравнения вновь имеют

эллиптический тип. Заметим, что граница r„=QI/2(3X/r|)"'4 зависит от

динамической вязкости, a r„ =(xQ ,/2(l-a]) не зависит от г) и

определяется упругими свойствами среды. Отметим также, что граница области гиперболичности и второй области эллиптичности соответствует условию М=1, где М=и/С - "число Маха", определенное через скорость u=Q/r (плоский случай) и u=Q/r2 (пространственный случай) и скорость С=-,[ц/\ распространения сдвиговых волн в вязкой жидкости.

Глава IV написана по результатам работ [4], [8], [13], [16] и посвящена нестационарным течениям вязкоупругой жидкости. Рассмотрены два классических примера: задача о диффузии

завихренности и задача о схлопывании сферического пузыря. В задаче о диффузии завихренности получено определяющее уравнение

описывающее эволюцию завихренности со. Математически задача свелась к нахождению функции Грина уравнения (4.1). Применяя преобразование Фурье по пространственным переменным, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, которое решается при произвольных X и X. В практически важном случае максвелловской жидкости время ретардации Я,=0 и уравнение (4.1) переходит в телеграфное уравнение, решение которого имеет замкнутый вид:

сЬ

t

'~2Х

2Л

М2-г2

/С2!2-г2

н(а-г). (4.2)

Здесь С = ^г\/рХ - конечная скорость распространения

завихренности, Г - циркуляция, а через Н обозначена функция Хэвисайда. Из (4.2) следует, что в точке расположения вихря, завихренность дается формулой

со

(0,0=

4711^

1+ехр

Заметим, что в отличие от ньютоновской среды (решения Озеена), в релаксационной модели решение кардинально отличается от классического и завихренность за время 1 распространяется на конечное расстояние г=0:. Изучена также задача Тейлора о диффузии вихревой решетки в вязкоупругой жидкости и дано ее точное решение. Вновь оказывается, что в зависимости от реологической модели среды наблюдается различное динамическое поведение. Модель жидкости второго порядка не дает качественно новых результатов, в то время как релаксационная модель Максвелла ведет к результатам, кардинально

отличающимся от классических. Найдено условие: Эе>Яе/8тс2, при котором качественно изменяется характер решения, а именно на экспоненциальный распад накладываются колебания с частотой, зависящей от числа Деборы.

Рассмотрен коллапс сферического пузыря в безграничной вязкоупругой среде в рамках 8-константной модели Олдройда. Для двух предельных случаев модели Олдройда: А,=0 (релаксационная модель) и /\.=0 (ретардационная модель) подробно изучена асимптотика финальной стадии коллапса. Для обоих случаев получены обыкновенные

дифференциальные уравнения для радиуса пузырька ЩЧ). При г|=0 уравнения редуцируются к хорошо известному уравнению Релея, а при X, А.-О оно переходит в уравнение Забабахина. Теоретически и численно установлено, что в зависимости от значений параметров реологической модели среды реализуется качественно различное поведение решения, включающее коллапс за конечное время, вязкое затухание за бесконечное время и новый вид - затухание с колебаниями. В частности, для ретардационной модели условие вязкого затухания имеет вид:

2

КеПе<-----------,

3+2а

в противном случае имеет место затухание с колебаниями. Численный расчет при значении параметра а=1 показал (Рис.4а), что осцилляции существуют только в длинной и узкой области изменения параметров в плоскости (Бе,Яе), а именно, 0.3<Бе<77 и 2/50е<Яе<Ке,(0е).

Изучен также коллапс сферического пузырька в жидкости с нелинейной вязкостью т)=г](0). Для степенной зависимости

коэффициента вязкости Л(ч)~>т1о(Гк аналитически и численно установлено, что в зависимости от величины параметра к наблюдаются два различных типа динамического поведения - коллапс пузырька за конечное время и вязкое затухание за бесконечное время (Рис4.Ь).

Глава V написана по результатам работ [15], [17] и [18]. Уравнения вязкоупругой жидкости заметно сложнее уравнений Навье-Стокса, что затрудняет построение точных решений и особенно анализ их устойчивости. Те немногие работы, в которых исследуются простейшие задачи устойчивости течений вязкоупругой жидкости, выполнены

исключительно с помощью численных методов, поэтому точные результаты в этой области являются уникальными и представляют особую ценность.

Рассмотрена задача устойчивости вязкоупругого аналога течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения и=зт(у), индуцированного периодической внешней силой). Определение величины критического числа Рейнольдса основывается на предположении, что вблизи порога устойчивости 0<11е-11е,,«1, критическое волновое число стремится к нулю. Это в свою очередь предполагает применимость длинноволнового приближения к уравнениям вязкоупругой жидкости. С целью использования этого приближения введен малый параметр г по следующему

правилу: 1/Ке=(1-е2)/11е,,. Введение такого параметра мотивировано предыдущими исследованиями устойчивости течения Колмогорова в ньютоновской вязкой жидкости (Мешалкин и Синай (1961), Кляцкин (1972), Юдович (1965, 1973)). По аналогии с ньютоновским случаем, принято, что критическое число Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова в вязкоупругой жидкости также ассоциировано с бесконечно малым волновым числом. В рамках этих предположений, справедливость которых подтверждается самой процедурой вывода (асимптотических разложений) величины 11е„, вводится следующая

деформация пространственно-временных координат: х=ех, у=у, 1=в41. Решение ищется в виде асимптотических рядов по малому параметру. Замкнутое выражение для критического числа Рейнольдса потери устойчивости найдено для ряда моделей вязкоупругой жидкости, включая верхнеконвективную модель Максвелла и В-модель Олдройда.

Точное выражение для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова в вязкоупругой жидкости с учетом релаксационных и ретардационных свойств имеет вид:

В качестве частных случаев полученная формула (5.1) содержит: верхнеконвективную модель Максвелла (/1=0); формулу Мешалкина и Синая Ке,= /2, полученную в рамках классической модели Навье-

Стокса (Х=Х); и, наконец, ретардационную модель Джеффри (А,=0). Отметим, что устойчивость рассматриваемого течения повышается при увеличении X и, напротив, уменьшается при увеличении X. Возможно, этот качественный вывод справедлив и для более широкого класса

(5.1)

течений. В рамках верхнеконвективной модели Максвелла, решена также более общая задача устойчивости целого класса периодических течений: , где - функция тока.

Глава VI написана по результатам работ [1-3], [9] и [19]. Предложены модифицированные уравнения микрополярной жидкости (ММПУ), в которых микроинерционные члены получены с учетом требований, накладываемых на эволюцию аксиального вектора угловых скоростей микровращения О. Конвективная часть модифицированных уравнений имеет вид:

Здесь рЗ - плотность микромомента инерции. Подчеркнем, что с точностью до вязких членов уравнение (6.1) формально совпадает с уравнением Гельмгольца для эволюции вектора завихренности Ш=го1\/ в классической гидродинамике. Заметим также, что наличие в левой части уравнения, описывающего эволюцию аксиального вектора, члена типа (О обязательно и встречается не только в уравнении Гельмгольца, но и, например, в уравнении Бэтчелора для разбавленных суспензий, Ва1:сЬе1ог (1970). Сопоставление уравнений ММПУ и МПУ проведено на примере точного решения трехмерной нелинейной задачи Кармана о вращении бесконечного диска. Основное отличие проявляется при определении поля вектора угловых скоростей микровращения. Что касается поля вектора скоростей V, то оно оказывается очень близким при расчетах по ММПУ и МПУ. Расчеты также показали, что в обоих случаях, в определенном диапазоне значений параметров задачи, в нелинейных трехмерных задачах возможно уменьшение крутящего момента по сравнению с известным значением в классической ньютоновской жидкости даже при ламинарном течении.

В рамках уравнений микрополярной жидкости найдены решения, описывающие вихревые течения, аналогичные известным точным решениям Озеена, Тейлора и Бюргерса, полученным в рамках классической ньютоновской жидкости. Показано, что задача Озеена о диффузии прямолинейной вихревой нити в микрополярной жидкости не является автомодельной и не имеет точного решения. Дано ее численное решение методом Келлера (1978) второго порядка точности и сравнение с известным решением Озеена. Для этой цели система уравнений сначала приводится к системе первого порядка, а затем, после конечно-разностной аппроксимации, сводится к системе алгебраических уравнений, которая решается методом блочной прогонки.

В задаче о диффузии вихревой решетки Тейлора по аналогии с классическим случаем ньютоновской жидкости решение ищем в виде:

(6.1)

Т=ас05хс05уехр(-ш1), £2=Ьсозхсо5уехр(-т1:), где постоянные а и Ь определяются из начальных условий. Для коэффициента затухания окончательно получаем

, к+у \( , к+у^2 2к2 рщ=ц+к+----+^ц+к—у—j + ■— , (6.1)

где у - коэффициент вращательной вязкости, к - коэффициент вихревой вязкости, характеризующий меру «сцепления» частицы со своим окружением. В целом решение (6.1) качественно подобно решению Тейлора (1923) и описывает экспоненциальное затухание завихренности. На Рис.5а представлена зависимость параметра ш/ш0 от безразмерного коэффициента вихревой вязкости Х=к/(ц+к). Величина ш0=2ц/р соответствует значению коэффициента затухания в решении Тейлора. Видно, что при увеличении «степени микрополярности» распад вихревой решетки происходит быстрее, чем в классической ньютоновской жидкости.

Др/Лр

/

/

у

___—

О 02 04 Об I.

Рис.5а - Зависимость коэффициента затухания от степени микрополярности

Рис.5Ь - Зависимость перепада давления от степени микрополярности

В отличие от задачи Озеена о диффузии вихревой нити, решение задачи о пространственном стационарном вихре Бюргерса в микрополярной жидкости сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это стало возможным из-за того, что в данном случае, в отличие от вихря Озеена, изначально имеется размерная длина и появление «внутренней длины» не нарушает вид решения. Определены интегральные инварианты и дано численное решение задачи при различных значениях параметров.

В работе Краснова (1987) на основе классического решения Бюргерса сделана оценка силы, которая действовала бы на сферическую частицу полимера со стороны вихреобразной структуры, возникающей в смазочном слое между трущимися поверхностями. Сравнение с силой

необходимой для вырывания частицы полимера показало, что эти силы одного порядка, но оценка, сделанная на основе классического «ньютоновского» вихря дает несколько заниженное значение. На Рис.5Ь показан результат численного расчета зависимости относительного перепада давления (Лрв соответствует значению перепада давления в

решении Бюргерса) от безразмерного коэффициента вихревой вязкости. Заметим, что влияние степени микрополярности среды приводит к увеличению отрывающих усилий и, тем самым, приближает сделанную оценку к нужному значению.

Глава VII написана по результатам работ [12] и [14]. В ней исследуется задача устойчивости течения Колмогорова в микрополярной жидкости. Аналогично рассмотренному в главе V случаю вязкоупругой жидкости, вводится соответствующая деформация пространственно-временных координат и решение ищется в виде асимптотических рядов по малому параметру е. Получено аналитическое выражение для критического числа Рейнольдса

Ц-N • (7.1)

I А,-—| ——---а,

£

2 []2+2Х

Здесь постоянные А, =1+1%, =(12 +2Я.++2А.)/(12 +2Л.-Я,2); 1 и ] - безразмерные «внутренние» длины, вычисленные по кинетическим коэффициентам и микромоменту инерции соответственно. В случае ньютоновской жидкости, 1=0, формула (7.1) переходит в известную

формулу Мешалкина-Синая Ке, = /2 . Заметим, что при некоторых значениях параметров 1 и j зависимость Не, -ЯеДл) оказывается немонотонной и устойчивость течения микрополярной жидкости может понижаться. В области малых внутренних длин 1«1^«1 это возможно,

когда .¡»I2. В самом деле, когда степень микрополярности 1 имеет порядок], из (7.1) получаем

11е,я-:/2

' ЗА, ^1/2 1+

1+Й2^-4 81

-1/2

2

откуда видно, что в диапазоне 0<1<]/2 действительно происходит понижение устойчивости, Яе»</2 . Отметим, что максимальное понижение Яе, по сравнению с /2 есть малая величина порядка 0(]'). Кроме того, внутренняя длина j имеет порядок характерного размера

микроструктуры в микрополярной жидкости, в то время как другая внутренняя длина 1, которая вычисляется по кинетическим

коэффициентам, обычно заметно больше, чем /] . Детальный анализ

(7.1) при 1» ] показывает, что в этой области поведение Яе„=Яе»(А.)

оказывается стандартным и устойчивость течения Колмогорова с ростом параметра повышается. В целом немонотонное поведение характеристик микрополярной жидкости отражает сложную внутреннюю структуру этой среды. Решена также задача устойчивости для широкого класса периодических однонаправленных течений микрополярной жидкости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Установлена математическая эквивалентность класса однонаправленных несжимаемых течений вязкоупругой жидкости и классической газовой динамики сжимаемого фиктивного газа в плоскости, перпендикулярной вектору скорости течения. Проведена классификация областей эллиптичности и гиперболичности в зависимости от значений параметров реологической модели Олдройда. Установлено, что эта классификация зависит исключительно от отношения времени запаздывания X к времени релаксации X. При Х/Х-0 в плоскости годографа имеется одна область эллиптичности и одна область гиперболичности; при 0<Я,/Л.<1/9 имеется две области

эллиптичности и одна область гиперболичности; при Х1Х> 1/9 имеется одна область эллиптичности (течение фиктивного газа всюду дозвуковое). С помощью установленной дуальности построены решения, аналогичные известным в газовой динамике решениям типа прямых и косых скачков уплотнения.

2. Найдено точное решение задачи о течении вязкоупругой жидкости в трубе клиновидного сечения и показано, что в отличие от ньютоновской жидкости, парадокс типа Стернберга-Койтера в вязкоупругой жидкости отсутствует. Решение существует при всех значениях угла раствора при вершине клина. Установлено, что, начиная с некоторого критического значения угла, решение кардинально перестраивается: кроме расположенного в ядре клина течения, качественно совпадающего с ньютоновским, вблизи твердых границ клина возникают дополнительные "неньютоновские" решения. Показано, что скорость фиктивного газа в ядре течения постоянна и направлена по оси клина, вблизи твердых границ она меняется так, что на линии сращивания этих решений нормальная скорость фиктивного газа

оказывается равной местной скорости звука. В целом построенное решение является "вязкоупругим" аналогом классического решения Прандтля-Майера.

3. Установлена дуальность стационарного однонаправленного течения несжимаемой нелинейно-вязкой жидкости и некоторого течения сжимаемого фиктивного газа в плоскости, перпендикулярной вектору скорости течения. Функциональная зависимость плотности фиктивного газа от скорости при этом совпадает с зависимостью вязкости от скорости сдвига. Найдено точное аналитическое решение задачи Пуазейля и обнаружено, что решение не существует при числах Рейнольдса, превышающих некоторое критическое значение. На основании установленной дуальности несуществование решения интерпретируется как газодинамический эффект «запирания трубы», поскольку в этом случае число Маха фиктивного газа на стенке трубы становится равным единице.

4. Даны точные решения задач Хагена-Пуазейля и Тейлора-Куэтта в рамках полной 8-константной модели Олдройда. Подробно рассмотрены предельные частные случаи релаксационной и ретардационной моделей. Для течения типа Хагена-Пуазейля в трубе произвольного сечения найдено необходимое условие существования решения, связывающее параметры реологической модели с периметром сечения и площадью сечения трубы. Показано, что в случае трубы круглого сечения решение существует только при радиусе трубы, меньшем критического значения, причем при критическом радиусе трубы число Маха фиктивного газа оказывается равным единице. Установлено, что цилиндрическое течение типа Тейлора-Куэтта тоже существует в ограниченном диапазоне чисел Деборы, а крутящий момент, действующий на цилиндр всегда меньше соответствующего классического значения в ньютоновской жидкости.

5. Дано новое объяснение, не основанное на априорном предположении о проскальзывании, известному явлению («спурт-эффекту») резкого увеличения расхода жидкости при скоростях сдвига, больших некоторого критического значения. Правильное понимание этого эффекта важно не только с теоретической, но и с практической точки зрения, поскольку его наступление является лимитирующим фактором во многих промышленных процессах. Аналитически и численно установлено, что с этим «спурт-эффектом» тесно связано явление гистерезиса. Установлена связь задачи устойчивости данного течения с задачей единственности стационарного решения. Предложена модификация стандартной модели Олдройда и определены соответствующие условия, устраняющие особенности, связанные с несуществованием и неединственностью стационарного решения.

6. В рамках релаксационной модели вязкоупругой жидкости получен общий критерий эллиптичности (гиперболичности) течений. Применение этого критерия к задаче о плоском (пространственном) источнике (стоке) позволило выявить эффект чередования областей эллиптичности (гиперболичности) течения в зависимости от значения параметра а исходной реологической модели. Установлено, что для конвективной модели Максвелла существует одна область эллиптичности и одна область гиперболичности, а для модели Джонсона-Сегалмана в окрестности источника (стока) возникает дополнительная область эллиптичности. Получены асимптотические формулы, описывающие положение областей эллиптичности (гиперболичности) при всех значениях определяющего параметра задачи.

7. Дано точное аналитическое решение задачи о диффузии завихренности в вязкоупругой жидкости Максвелла. Показано, что скорость распространения завихренности в этом случае конечна в отличие от классической ньютоновской жидкости, в которой она бесконечна. В задаче о диффузии вихревой решетки Тейлора найдено условие, при котором качественно изменяется характер решения, а именно на экспоненциальный распад вихрей накладываются колебания с частотой, зависящей от числа Деборы. В рамках двух типов неньютоновской жидкости - вязкоупругой жидкости и жидкости с нелинейной вязкостью проведен асимптотический анализ финальной стадии коллапса сферического пузырька. Теоретически и численно установлено, что в зависимости от значений параметров модели реализуется качественно различное поведение решения, включающее коллапс за конечное время, вязкое затухание за бесконечное время и затухание с колебаниями. Получены соответствующие аналитические критерии.

8. Найдена явная формула для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения, индуцированного периодической внешней силой) в вязкоупругой жидкости. Найденный результат обобщает известную формулу Мешалкина-Синая для несжимаемой ньютоновской жидкости. Установлено, что устойчивость течения Колмогорова возрастает при увеличении времени релаксации и уменьшении времени запаздывания. Из проведенного анализа следует, что в случае малой надкритичности в течении возникает продольная вихревая структура. Определены характерные размеры вихревой структуры. Дано обобщение полученных результатов для течения Колмогорова на случай широкого класса периодических течений.

9. Выведены модифицированные уравнения микрополярной жидкости, в которых микроинерционные члены получены с учетом

необходимых требований на эволюцию аксиального вектора угловых скоростей микровращения. Показано, что при определенной связи параметров реологической модели эти уравнения сводятся к уравнениям Навье-Стокса с ренормированной вязкостью. Проанализирована возможность построения автомодельных решений. На примере точного численного решения задачи Кармана о вращении бесконечного диска показано, что в нелинейных задачах даже при ламинарном течении возможно уменьшение сопротивления по сравнению с классической ньютоновской жидкостью.

10. В рамках уравнений микрополярной жидкости найдены решения, описывающие вихревые течения, аналогичные известным точным решениям Озеена и Бюргерса, полученным в рамках классической ньютоновской жидкости. Показано, что задача Озеена о диффузии прямолинейной вихревой нити в микрополярной жидкости не является автомодельной и не имеет точного решения. В отличие от нее задача о пространственном стационарном вихре Бюргерса в микрополярной жидкости сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для обеих задач определены интегральные инварианты и дано численное решение.

11. Найдено точное выражение для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова в микрополярной жидкости. Установлено, что в общем случае при произвольном изменении параметров модели, поведение критического числа Рейнольдса является немонотонным. В реалистических ситуациях, при малых значениях внутренних длин, величина критического числа Рейнольдса возрастает по сравнению с классической жидкостью Навье-Стокса и становится тем больше, чем больше "степень микрополярности". Дано обобщение результатов на случай широкого класса периодических однонаправленных течений.

Таким образом, сделан крупный вклад в гидродинамику неньютоновской жидкости. Достоверность полученных результатов основана на использовании строгого математического аппарата и хорошо зарекомендовавших себя вычислительных методов. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми, обоснованными, исследования выполнены на высоком научном уровне, имеют значительную научную и практическую ценность.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ: (в научных журналах, рекомендованных ВАК)

1. Брутян М.А. Диффузия вихрей в микрополярной жидкости // Известия НАН РА. Механика. 2010. N4, 51-58.

2. Брутян М.А., Ковалев В.Е. Вихревые течения микрополярной жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 2010. XLI. N4, 52-61.

3. Брутян М.А. Вихрь Бюргерса в микрополярной жидкости // Доклады НАН РА. 2010. 110. N1, 35-41.

4. Брутян М.А. Об одном свойстве сохранения для магнито-гидродинамических течений вязкой несжимаемой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 2008. XXXIX. N1-2,108-110.

5. Брутян М.А. Диффузия завихренности в вязкоупругой жидкости // Изв. РАН МЖГ. 1997. N5, 18-23.

6. Андриенко Ю.А., Брутян М.А., Образцов И.Ф., Яновский Ю.Г. Спурт-эффект для вязкоупругих жидкостей в 4-константной модели Олдройда // Доклады РАН. 1997. 352. N3, 327-330.

7. Брутян М.А., Куликовский А.Г. Неустойчивость и неединственность квазистационарных течений вязкоупругой жидкости // Изв. РАН МЖГ. 1996. N6, 29-39.

8. Брутян М.А. Однонаправленные течения нелинейно-вязкой жидкости в трубах//ПММ. 1996. 60, 47-52.

9. Brutyan М.А., Krapivsky P.L. Collapse of spherical bubbles in fluids with nonlinear viscosity // Quart. Appl. Math. 1993. LI. N4, 745-749.

10. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Обобщение теоремы Бернулли на случай течения вязкой жидкости со сложной реологией // ИФЖ. 1992. 63. N.2, 220-222.

11. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Внутренние свойства некоторых реологических моделей вязкоупругой жидкости // ПММ. 1992. 56, 381385.

12. Brutyan М.А., Krapivsky P.L. Unidirectional flows of viscoelastic fluids and their gasdynamic counterpart // ZAMP. 1992. 43, 745-725.

13. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. On the stability of periodic unidirectional flows of micropolar fluid // Lett. Appl. and Eng. Sci. 1992. 30, 401-407.

14. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Схлопывание пузырьков в неньютоновских жидкостях // Мат. моделир. 1992.4. N3, 53-61.

15. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Устойчивость периодического течения в микрополярной жидкости //ИФЖ. 1991. 60, 670-679.

16. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Исследование устойчивости периодических течений вязкой жидкости // ПММ. 1991. 55, 928-933.

17. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Collapse of spherical bubbles in viscoelastic liquids // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1991. 44, 549-557.

18. Брутян M.A., Крапивский П.JI. Устойчивость течения Колмогорова в вязкоупругой жидкости // Изв. АН СССР МЖГ. 1991. N4, 17-24.

19. Brutyan М.А., Krapivsky P.L. Stability of a periodic unidirectional flow of viscoelastic fluids //J. Rheology. 1991. 35, 467-476.

20. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Об эффекте уменьшения сопротивления в микрополярной жидкости // ИФЖ. 1989. 57, 213-219.

ПРЕДСТАВЛЕНЫ В ИНЫХ НАУЧНЫХ ИЗДАНИЯХ:

21. Brutyan М.А. Collapse of spherical bubbles in liquids with complex rheology И Inter. Conference ofASME. 1995. USA. Chicago, 221-222.

22. Brutyan M.A. Unidirectional flows of simple fluids and their gasdynamic description // Second International Symposium on Advances in Structured and Heterogeneous Continua. 1995. Moscow, 72-73.

23. Brutyan M.A., Kosykh S.R., Krapivsky P.L., Gasdynamic description of non-Newtonian fluid flows in tubes. ASME-publications. 1994. USA, 81-86.

24. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Гидродинамика неньютоновских жидкостей - Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Комплекс, и спец. разделы мех. 1991. 4, 3-98.

25. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Течение Тейлора - Куэтта в вязкоупругой жидкости - Тр. IX зимней школы по механике сплошных сред. Кунгур. 1991,31-32.

26. Brutyan М.А. Analytical investigations of the stability of periodic unidirectional flows - In: Generation of large-scale structures in continuous media. Moscow. 1990, 62-63.

27. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Теоретическое исследование течений неньютоновской жидкости // Труды ЦАГИ. 1990. N 2484, 2-103.

28. Brutyan М.А., Krapivsky P.L. On the stability of periodic unidirectional flows in micropolar fluid // In: Generation of large-scale structure in continuous media. Moscow. 1990, 64-65.

29. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Аналитическое исследование устойчивости периодических однонаправленных течений - В сб.: Современные проблемы механики жидкости и газа. Иркутск. 1990, 7374.

30. Брутян М.А. Об уравнениях асимметрической гидромеханики - В сб.: Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса. Казань. 1989, 11-12.

§ 1 Постановка задачи. Введение медленных переменных.

§2. Определение критического числа Рейнольдса Ре. потери устойчивости для релаксационной модели

Максвелла.

§3 Определение критического числа Рейнольдса потери устойчивости для В-модели Олдройда и для класса периодических однонаправленных течений.

3.1 Точное определение значения Ре . для В-модели Олдройда.

3.2 Точное определение значения Ре. для класса периодических однонаправленных течений.

Иллюстрации к главе V.

VI. Определяющие уравнения и точные решения уравнений микрополярной жидкости.

§ 1 Модифицированные уравнения движения микрополярной жидкости.

§2 Точное решение задачи Кармана о вращении бесконечного диска в микрополярной жидкости. Эффект уменьшения сопротивления для ламинарных течений.

§3 Вихревые течения микрополярной жидкости.

3.1 Задача Озеена о диффузии вихревой нити в микрополярной жидкости.

3.2 Вихревая решетка Тейлора в микрополярной жидкости.

3.3 Пространственный вихрь Бюргерса в микрополярной жидкости. Приложение к теории смазки.

Иллюстрации к главе VI.

VII. Устойчивость течения Колмогорова в микрополярной жидкости.

§ 1 Постановка задачи. Вывод асимптотического условия разрешимости.

§2 Определение критического числа Рейнольдса Re „ потери устойчивости для периодического течения Колмогорова.

§3 Определение критического числа Рейнольдса Re , для класса периодических однонаправленных течений.

Иллюстрации к главе VII.

Выводы.

Широкое использование полимеров в целом ряде прикладных задач гидродинамики вызвало интерес к динамике неньютоновской жидкости. Первые работы в этой области появились в 50-х годах прошлого века и были связаны с развитием биомеханики, бионики, биогидродинамики, пищевой промышленности и т.д. Специалисты классической гидромеханики заинтересовались полимерными жидкостями главным образом в связи с проблемой уменьшения сопротивления [Toms (1948), Hoyt & Fabula (1964), Хью (1984), Корнилов (2005)] и проблемой моделирования турбулентных течений [Rivlin (1957), Townsend (1976), Николаевский (1970), Speziale (1987)]. Одним из известных способов уменьшения сопротивления является использование различных поверхностно-активных веществ, в частности, введение в пристеночную область течения полимерных добавок, имеющих в своей структуре протяженные макромолекулы с молекулярным весом 105 -107, например, полиэтиленоксид, полиакриламид или гуаровая смола [Hoyt & Fabula (1964)]. Различным аспектам гидродинамического воздействия малых полимерных добавок посвящено большое число работ, главным образом, полуэмпирических и экспериментальных (см., например, вступительную статью [Ишлинский (1973)] и другие статьи этого номера журнала, посвященного данной проблеме). Влияние высокомолекулярных добавок на реологические показатели крови изучается в работах [Григорян и др. (1977), (1986); Unthank et al. (1992)], где получены убедительные доказательства проявления эффекта Томса уменьшения гидродинамического сопротивления. Хорошо известно, что малые добавки полимеров в ньютоновскую жидкость могут оказывать заметное влияние на ее динамику. Значительное уменьшение сопротивления может быть достигнуто при концентрации полимера порядка 10"4%. Такие ничтожные добавки не могут

I I изменить вязкости жидкости, но они, очевидно, сильно воздействуют на другие реологические свойства жидкости, понимание которых играет важную роль, так как они- используются во многих отраслях промышленности и во многих биосистемах. Уравнения классической гидродинамики описывают огромный класс течений, имеющих практическое значение, однако они не могут дать адекватного описания явлений в реологически сложных течениях, когда нарушаются исходные "ньютоновские" предположения. К изучению такого рода течений сводится широкий круг прикладных задач, в частности, теории смазки, течений биологических жидкостей и нефти, а также течений жидкостей с различными нанопорошковыми и полимерными добавками. Кроме того, классические жидкости на временах, сопоставимых со временем релаксации напряжений тоже могут проявлять неньютоновские свойства. Такие ситуации могут возникать, например, при кратковременном воздействии внешних сил на жидкость или при движениях жидкости в режиме развитой турбулентности, когда период мелкомасштабных пульсаций сопоставим со временем релаксации напряжений. Поэтому с практической точки зрения исследования в этой области совершенно необходимы. С чисто научной точки зрения изучение неньютоновских жидкостей также очень интересно, поскольку даже в простых течениях они могут проявлять поведение, качественно отличающееся от поведения обычной ньютоновской жидкости.

Для описания эффекта уменьшения сопротивления и других необычных свойств неньютоновских жидкостей существуют, по крайней мере, две различных возможности:

1) не вводя дополнительных характеристик среды, модифицировать классическое уравнение состояния СГ= 2г|й , где О" - тензор напряжений, а Б - тензор скоростей деформаций;

2) наряду с полем скоростей характеризовать среду дополнительным полем векторных или тензорных величин.

Опыт показывает, что в действительности реализуются обе эти возможности. Первая возможность, связанная с модификацией уравнения состояния, используется для моделирования как нелинейных, так и. релаксационных свойств полимерной жидкости. Среди нелинейных моделей особой популярностью пользуются обобщенные ньютоновские жидкости, для которых тензоры <7 и D предполагаются связанными соотношением <T=f(D). Вводя дополнительные предположения типа изотропности,

Ericksen & Rivlin (1955) показали, что функция f является полиномом второго порядка сг= 2t\D +JJ.D2, где г| и ц - скалярные функции от инвариантов тензора D: Эта модель описывает многие явления в полимерных жидкостях. Например, в настоящее время известно, что пуазейлево течение в трубе некругового сечения не является одномерным. Появление вторичного течения в данной задаче впервые теоретически предсказали Green & Rivlin (1956) и, а также Ericksen (1956). Однако модель обобщенно ньютоновской жидкости не учитывает упругих свойств среды, что проявляется в предположении о том, что напряжение однозначно определяется мгновенной скоростью деформации. Этот недостаток особенно сильно заметен в нестационарных задачах, в которых учет упругих свойств среды играет важную роль. Как известно, классические уравнения Навье-Стокса могут быть использованы для моделирования только таких нестационарных движений вязкой жидкости, характерные времена которых значительно больше времени релаксации внутренних напряжений в жидкости. Первая попытка получить уравнение состояния вязкоупругой среды принадлежит Максвеллу [Maxwell (1867)], который сумел объединить линейные законы Ньютона для вязкой жидкости и Гука для упругого материала. Таким образом, он пришел к выводу, что в уравнении состояния наряду с напряжением должна присутствовать производная с1/сЬ: в той же самой точке и в тот же момент времени. Связь тензоров сг и Б при этом остается линейной:

Л -J. сг + X,—— = 2r|D ,

В.1) где X - время релаксации ("relaxation time"). Попытки вывода (В.1) из уравнения Больцмана с помощью соответствующего обобщения метода Чепмена - Энскога содержатся, например, в работе Хонькина (1976). Модель (В.1) играет ключевую роль в теории линейной вязкоупругости, однако расчеты по этой модели оказываются неадекватными многим опытным данным. Развивая идеи Максвелла, Jeffreys (1929) предложил в качестве уравнения состояния использовать наиболее общее линейное соотношение первого порядка где X - время запаздывания ("retardation time"). Однако, обе модели (В.1) и (В.2), описывающие линейную вязкоупругость, не учитывают нелинейных эффектов в уравнении состояния и справедливы для течений с малыми градиентами. Заметим, что в пределе при X —> X уравнения, основанные на (В.2) редуцируются к стандартным уравнениям Навье-Стокса [Гольдштейн и Городцов (2000)].

Уравнение состояния, как и любое другое уравнение механики, должно быть инвариантно относительно полной группы Галилея, т.е. относительно поворотов и сдвигов системы координат, относительно перехода в любую другую инерциальную систему координат и относительно произвольной комбинации преобразований указанного типа. Если уравнение состояния написано в тензорном виде, а в качестве производной по времени

В.2) используется полная производная d/dt = 5/3t + (V-V), как например, в случаях (В.1) и (В.2), то принцип относительности Галилея автоматически выполняется. В механике встречаются величины и другого- сорта, инвариантные относительно более широкой группы преобразований, включающей переход к произвольной неинерциальной системе координат. Примером таких величин являются скаляры, например, масса; важнейшим примером неинвариантной величины является основное динамическое уравнение - уравнение импульса. В континуальной механике (см., например, Truesdell (1965)) широко используется гипотеза, в соответствии с которой уравнение состояния предполагается инвариантным относительно этой, более широкой группы преобразований. Данное предположение, в неявной форме введенное Oldroyd (1950), а в современном виде Noll (1955, 1958), широко обсуждалось - в дальнейшем под названием принципа материальной независимости или принципа* материальной объективности ("material frame-indifference or material objectivity"). Принцип материальной объективности подробно обсуждался и в контексте кинетической, теории (см., например, Muller (1972), Soderholm (1976)). В дальнейшем к этому вопросу неоднократно возвращались различные авторы Wang (1975), Ryskin & Rallison (1980), Truesdell (1976), Woods (1983), Speziale (1981), Murdoch (1983), Band (1984), Галкин и Носик (1985, 1987), причем консенсус так и не был достигнут. Отметим также работу Ryskin (1985), в которой предпринята попытка указать границы применимости принципа материальной объективности.

Наиболее общее нелинейное обобщение уравнения состояния (В.2), содержащее квадратичные члены и удовлетворяющее принципу материальной независимости, нашел, по-существу, Oldroyd (1958). В рамках полной 8-константной модели Олдройда соответствующее уравнение состояния имеет вид:

В.З)

Нет раьс (ст) = — + стО - Ост - а(Рст + стР) + Ь(ст: + с(Тгст)0 <11

Б(Р) = — + Р0-00-2а02+р(0:0)1, где а,Ь,с,а,Р - безразмерные постоянные; О - тензор завихренности с компонентами Оу = (д]У1 -5,У )/2; (7:0 - свертка тензоров СГ и Б; ТгО" -след тензора О"; I - единичный тензор, (1)ц = 5];. Опыт использования (В.З) показал, что довольно широкий класс неньютоновских жидкостей действительно хорошо описывается этой вязкоупругой моделью. Наиболее известным примером такого рода является жидкость Богера (см. работы Во§ег (1977), Маскау & Во§ег (1987) и ссылки в них).

По сравнению со случаем классической ньютоновской жидкости в вязкоупругой модели возникают дополнительные параметры подобия, важнейшим из которых является число Деборы Бе г»

Бе =-. которое равно отношению характерных релаксационных членов к инерционным или, что то же самое, отношению времени релаксации к характерному временному масштабу течения. Очевидно, что вязкоупругие эффекты существенны при не слишком малых числах Деборы. Поэтому в ламинарных течениях они заметны только в быстропротекающих процессах при достаточно малых временных масштабах течения. В турбулентных течениях этот временной масштаб может быть очень мал, и значительные аномалии поведения наблюдаются даже для слабо упругих жидкостей, таких как разбавленные растворы полимеров. Фактически при X ~ 10"5 сек число Бе ~1 (см., например, обзоры Ьит1еу (1969) и Вегтап (1978), а также работу Быстрай и Черняк (2006)). Различные режимы турбулентного течения вязкоупругих жидкостей экспериментально изучались в работе [Калашников (1987)].

В связи с трудностью анализа общей 8-константной модели (В:3) в. литературе рассматриваются различные частные случаи. Отметим некоторые, наиболее популярные из них: при А, = b = с = О, а = 1. говорят о верхнеконвективной модели Максвелла (при а = -1 соответственно о нижнеконвективной модели Максвелла); при ос = Р = 0 говорят о жидкости второго порядка ("second-order fluid"); случай а = а = 1, b = J3 = 0 соответствует 4-константной модели Олдройда, а случай а = а = 1, b = с = (3 = 0 соответствует В-модели Олдройда (или конвективной модели Джеффриса). Более полную классификацию можно-найти в первом томе фундаментальной монографии [Bird, Hassager, Armstrong (1987)]. В рамках нелинейной вязкоупругой модели (В.З) и ведется рассмотрение в первых пяти главах диссертации. Обзор работ по обоснованию модели (В.З) и ее частных случаев с позиций кинетической теории содержится» во втором томе монографии. Классические линейные и нелинейные модели вязкоупругих сред рассматриваются в работах [Басистов и Яновский (2005), Leonov & Prokunin (1994)]. Интересное описание исторической ретроспективы развития теории вязкоупругой жидкости, связанной с именами Пуассона, Максвелла, Больцмана, Джеффриса и других известных ученых, можно найти в работе [Joseph (1986)].

Вторая принципиальная возможность описания неньютоновских свойств среды, как мы уже отмечали, заключается в том, что наряду с полем скоростей вводится в рассмотрение дополнительное поле векторных или тензорных величин. Например, для описания нематических жидких кристаллов вводится дополнительное поле единичного вектора (директора), который локально направлен вдоль осей длинных полимерных молекул. Гидродинамика нематиков и другие их физические свойства описаны, в монографиях П. де Жена (1977), Каца и Лебедева (1988) (см. также обзоры Аэро и Булыгина (1973), Эриксена (1977)). Аналогичное неньютоновское

12 поведение в жидкости может быть вызвано действием электрического или магнитного поля. Магнитная гидродинамика изложена, например, в монографии [Куликовский и Любимов (1962)]. Эффекты, проявляющиеся в этих случаях весьма близки по своей природе. Обзор гидродинамики намагничивающихся жидкостей дан Гогосовым, Налетовой и Шапошниковой (1981). Неньютоновские эффекты в электрогидродинамике изучаются в работах Hubbard & Onsager (1977), Hubbard (1978), Hubbard & Kayser (1981). Другим важным примером такого сорта является микрополярная жидкость, в которой наряду с полем скоростей вводится поле угловых скоростей микровращения. Жидкость такого типа впервые рассматривали братья Cosserat & Cosserat (1909). Во всех этих средах модифицируется связь тензоров О" и D. В микрополярной жидкости тензор напряжений становится несимметричным (поэтому уравнения движения такой среды часто называют уравнениями асимметрической гидродинамики) и имеет вид: сг= 2rjD +k(VV - Q), где VV - тензор градиента скорости с компонентами (VV)y = dJV1, Q тензор микровращения, а дополнительный диссипативный коэффициент к (коэффициент вихревой вязкости) характеризует меру сцепления полимерных молекул со своим окружением. Различные варианты уравнений микрополярной жидкости представлены в работах Eringen (1964, 1966, 1999), Lukaszewicz (1999), Аэро, Булыгина, Кувшинского (1965) и Брутяна, Крапивского (ИФЖ, 1989). Уравнения микрополярной жидкости в приближении пограничного слоя (больших чисел Рейнольдса) изучаются в работах Нгуен Ван Доен (1967) и Willson (1970). Другой предельный случай (малых чисел Рейнольдса) рассматривается в работах Ramkisson & Majumdar (1976) и Ramkisson (1987). Микрополярные свойства жидкостей с учетом упругости исследовались в работах Nowacki (1986), а также Зубов и Еремеев (1996). Описанию и развитию общего метода, позволяющего на основании минимального числа допущений физического характера устанавливать для моделей сред с внутренними степенями свободы замкнутые системы уравнений, посвящена работа Седова (1968). Довольно большое число работ посвящено исследованию турбулентных течений микрополярной жидкости (см. работы Епп^еп (1972), АЪтасИ (1975, 1981) и цитируемую в них литературу). Отдельное направление связано с описанием некоторых турбулентных течений ньютоновской жидкости с помощью моделей турбулентности, близких к уравнениям микрополярной жидкости. Много работ в этом направлении выполнено Николаевским (1973, 1976, 1980). Обзор многочисленных работ по микрополярной жидкости приведен в монографиях Мигуна и Прохоренко (1984), Петросяна (1984). Исследованию уравнений, вихревых течений и устойчивости периодических течений в микрополярной жидкости посвящены две заключительные главы настоящей работы.

Целью диссертации является

• Получение точных решений и на их основе аналитическое и численное исследование внутренних свойств (существование и устойчивость) уравнений вязкоупругой жидкости для качественного и количественного понимания и объяснения эффектов, необычных для классической ньютоновской жидкости, в частности, важного для практики «спурт-эффекта».

• Получение точных решений и на их основе аналитическое и численное исследование уравнений микрополярной жидкости, в частности, для изучения вопросов устойчивости и эффекта уменьшения сопротивления движущихся тел при использовании различных нанопорошковых и полимерных добавок.

Диссертация состоит из введения, семи глав, содержащих 21 параграф, выводов и списка литературы из 265 наименований. Соответствующие иллюстрации к главам даны в конце каждой из них.

Выводы

1. Установлена математическая эквивалентность класса однонаправленных несжимаемых течений вязкоупругой жидкости и классической газовой динамики сжимаемого фиктивного газа в плоскости, перпендикулярной вектору скорости течения. В частности показано, что релаксационной модели Максвелла соответствует модель совершенного газа с показателем адиабаты, равным нулю. Проведена классификация областей эллиптичности и гиперболичности в зависимости от значений параметров реологической модели Олдройда. Установлено, что эта классификация зависит исключительно от отношения времени запаздывания X к времени релаксации X. При Х/Х-0 в плоскости годографа имеется одна область эллиптичности и одна область гиперболичности; при 0<Х/Х<1/9 имеется две области эллиптичности и одна область гиперболичности; при Х/Х>1/9 имеется одна область эллиптичности (течение фиктивного газа всюду дозвуковое). С помощью установленной дуальности построены решения, аналогичные известным в газовой динамике решениям типа прямых и косых скачков уплотнения.

2. Найдено точное решение задачи о течении вязкоупругой жидкости в трубе клиновидного сечения и показано, что в отличие от ньютоновской жидкости, парадокс типа Стернберга-Койтера в вязкоупругой жидкости отсутствует. Решение существует при всех значениях угла раствора при вершине клина. Установлено, что, начиная с некоторого критического значения угла, решение кардинально перестраивается: кроме расположенного в ядре клина течения, качественно совпадающего с ньютоновским, вблизи твердых границ клина возникают дополнительные "неньютоновские" решения. Показано, что скорость фиктивного газа в ядре течения постоянна и направлена по оси клина, вблизи твердых границ она меняется так, что на линии сращивания этих решений нормальная скорость фиктивного газа оказывается равной местной скорости звука. В целом построенное решение является "вязкоупругим" аналогом классического решения Прандтля-Майера.

3. Установлена дуальность стационарного однонаправленного течения несжимаемой нелинейно-вязкой жидкости и некоторого течения сжимаемого фиктивного газа в плоскости, перпендикулярной вектору скорости течения. Функциональная зависимость плотности фиктивного газа от скорости при этом совпадает с зависимостью вязкости от скорости сдвига. Найдено точное аналитическое решение задачи Пуазейля и обнаружено, что решение не существует при числах Рейнольдса, превышающих некоторое критическое значение. На основании установленной дуальности несуществование решения интерпретируется как газодинамический эффект «запирания трубы», поскольку в этом случае число Маха фиктивного газа на стенке трубы становится равным единице.

4. Даны точные решения задач Хагена-Пуазейля и Тейлора-Куэтта в рамках полной 8-константной модели Олдройда. Подробно рассмотрены, предельные частные случаи релаксационной и ретардационной моделей: Для течения типа Хагена-Пуазейля в трубе произвольного сечения найдено необходимое условие существования решения, связывающее параметры реологической модели с периметром сечения и площадью сечения трубы. Показано, что в случае трубы круглого сечения решение существует только при радиусе трубы, меньшем критического значения, причем при критическом радиусе трубы число Маха фиктивного газа оказывается равным единице. Установлено, что цилиндрическое течение типа Тейлора-Куэтта тоже существует в ограниченном, диапазоне чисел Деборы, а крутящий момент, действующий на цилиндр всегда меньше соответствующего классического значения в ньютоновской жидкости.

5. Дано новое объяснение, не основанное на априорном предположении о проскальзывании, известному явлению («спурт-эффекту») резкого увеличения расхода жидкости при скоростях сдвига, больших некоторого критического значения. Правильное понимание этого эффекта важно не только с теоретической, но и с практической точки зрения, поскольку его наступление является- лимитирующим- фактором во многих промышленных процессах. Аналитически и численно установлено, что с этим «спурт-эффектом» тесно связано явление гистерезиса. Установлена связь задачи устойчивости данного течения с задачей единственности стационарного решения. Предложена модификация стандартной модели Олдройда и определены соответствующие условия, устраняющие особенности, связанные с несуществованием и неединственностью стационарного решения.

6. В' рамках релаксационной модели вязкоупругой жидкости получен общий критерий эллиптичности (гиперболичности) течений. Применение этого критерия к задаче о плоском (пространственном) источнике (стоке) позволило выявить эффект чередования областей эллиптичности (гиперболичности) течения, в. зависимости от значения параметра а исходной реологической модели. Установлено, что для; конвективной- модели Максвелла существует одна область эллиптичности и. одна область гиперболичности, а для модели Джонсона-Сегалмана в окрестности источника (стока) возникает дополнительная область эллиптичности. Получены асимптотические формулы, описывающие положение областей эллиптичности (гиперболичности) при всех значениях определяющего параметра задачи.

7. Дано точное аналитическое решение задачи о диффузии завихренности в вязкоупругой жидкости Максвелла. Показано, что скорость распространения завихренности в этом случае конечна в отличие от классической ньютоновской жидкости, в которой она бесконечна. В задаче о диффузии вихревой решетки Тейлора найдено условие, при котором качественно изменяется характер решения, а именно на экспоненциальный распад вихрей накладываются колебания' с частотой, зависящей от числа

Деборы. В рамках двух типов неньютоновской жидкости — вязкоупругой жидкости и жидкости с нелинейной вязкостью проведен асимптотический анализ финальной стадии коллапса сферического пузырька. Теоретически и численно установлено, что в зависимости от значений параметров модели реализуется качественно различное поведение решения, включающее коллапс за конечное время, вязкое затухание за бесконечное время и затухание с колебаниями. Получены соответствующие аналитические критерии.

8. Найдена явная формула для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова (периодического однонаправленного течения, индуцированного периодической внешней силой) в вязкоупругой жидкости. Найденный результат обобщает известную формулу Мешалкина-Синая для несжимаемой ньютоновской жидкости. Установлено, что устойчивость течения Колмогорова возрастает при увеличении времени релаксации и уменьшении времени запаздывания. Из проведенного анализа следует, что в случае малой надкритичности в течении возникает продольная вихревая структура. Определены характерные размеры вихревой структуры.

Дано обобщение полученных результатов для течения Колмогорова на случай широкого класса периодических течений.

9. Выведены модифицированные уравнения микрополярной жидкости, в которых микроинерционные члены получены с учетом необходимых требований на эволюцию аксиального вектора угловых скоростей микровращения. Показано, что при определенной связи параметров реологической модели эти уравнения сводятся к уравнениям Навье-Стокса с ренормированной вязкостью. Проанализирована возможность построения автомодельных решений. На примере точного численного решения задачи Кармана о вращении бесконечного диска показано, что в нелинейных задачах даже при ламинарном течении возможно уменьшение сопротивления по сравнению с классической ньютоновской жидкостью.

10. В рамках уравнений микрополярной жидкости найдены решения, описывающие вихревые течения, аналогичные известным точным решениям Озеена и Бюргерса, полученным в рамках классической ньютоновской жидкости. Показано, что задача Озеена о диффузии прямолинейной вихревой нити в микрополярной жидкости не является автомодельной и не имеет точного решения. В отличие от нее задача о пространственном стационарном вихре Бюргерса в микрополярной жидкости сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для обеих задач определены интегральные инварианты и дано численное решение.

11. Найдено точное выражение для критического числа Рейнольдса потери устойчивости течения Колмогорова в микрополярной жидкости. Установлено, что в общем случае при произвольном изменении параметров модели, поведение критического числа Рейнольдса является немонотонным. В реалистических ситуациях, при малых значениях внутренних длин, величина критического числа Рейнольдса возрастает по сравнению с классической жидкостью Навье-Стокса и становится тем больше, чем больше "степень микрополярности". Дано обобщение результатов на случай широкого класса периодических однонаправленных течений.

1. Аганин A.A., Ильгамов M.A. Динамика пузырька газа в Центре сферического объема жидкости // Мат. моделир. 2001. 13. N1, 26-40.

2. Александровский A.A., Костерин A.R , Шарафутдинов В.Ф. -Анализ течения пленки вязкоупругой жидкости в ротационном смесителе // Инж. -физ. ж. 1978. 34, 249-252.

3. Андриенко Ю.А., Брутян М.А., Образцов И.Ф., Яновский Ю.Г. ОпурТ эффект для вязкоупругих жидкостей в 4-константной модели Олдройда // Доклады АН России. 1997. 352. N3, 327-330.

4. Арнольд В.И. Несколько замечаний об антидинамо-теореме // Вестник МГУ. Мат., мех. 1982. N6, 50-57.5; Арнольд В.И., Мешалкин Л.Д. Семинар A.Hi Колмогорова по избранным вопросам анализа (1958-1959), Успехи:мат. Наук; i960. 1;5 247250.

5. Астарита Дж., Маруччи' Дж. Основы гидромеханики неныотоиовских жидкостей. М.: Мир. 1978.

6. Аэро Э J1, Булыгин А.Н. Гидродинамика жидких кристаллов // Итоги науки и техники. ВИНИТИ; Гидромеханика. 1973. 7.

7. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Кувшинский Е.В; Асимметрическая гидромеханика // ПММ. 1965. 29, 297-308:

8. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика JL: Гидрометеоиздат. 1982.

9. Басистов Ю.А., Яновский Ю.Г. Нелинейные модели вязкоупругих сред и их идентификация // Мех. ком. мат. констр. 2005. 11. N2, 306-320.

10. Берд Р. Б., Кертис Ч. Ф. Удивительные полимерные жидкости // Физика за рубежом М : Мир. 1986.

11. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики- Москва: Изд-во ин. литер. 1961.

12. Бондаренко Н.Ф., Гак М.З., Должанский Ф.В. Лабораторная: И теоретическая модели плоского периодического течения // ФАО. 1979. IX 1017-1026.

13. Брутян М.А. Диффузия вихрей в микрополярной жидкости // Извесиг-и^^я НАНРА. Механика. 2010. N4, 51-58.

14. Брутян М.А. Вихрь Бюргерса в микрополярной жидкости // Докла^г^Е^е»1 НАНРА. 2010.110. N1,35-41.

15. Брутян М.А. Диффузия вихрей на двумерной сфере // Ученые записз&сзз: ЦАГИ. 2009. ХЬ. N4. 41-44.

16. Брутян М.А. Диффузия вихревых колец в вязкой жидкости // Ученс&ос:^ записки ЦАГИ. 2007. XXXVIII. N3-4. 82-85.

17. Брутян М.А. Диффузия завихренности в вязкоупругой жидкости // ИЗГНАН СССР. МЖГ. 1997. N5, 18-23.

18. Брутян М.А. Однонаправленные течения нелинейно-вязкой жидкости: ^ трубах//ПММ. 1996. 60, 47-52.

19. Брутян М.А. Об одном свойстве сохранения для магнита»— гидродинамических течений вязкой несжимаемой жидкости // Уч. Записки^зс ЦАГИ. 2008. XXXIX. N1-2; 108-110:

20. Брутян М.А. Об уравнениях асимметрической гидромеханики В с(5 ~ Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса. Казань. 1989, 11-12.

21. Брутян М.А. Устойчивость периодических течений вязкого газа // Тр> — IX зимней школы по механике сплошной среды. Кунгур. 1991, 32-33.

22. Брутян М.А., Голубкин В.Н., Крапивский П.Л. Об уравнении Бернуллис для осесимметричных течений вязкой жидкости // Уч. записки ЦАГИ. 1988 — XIX. N.2, 98-100.

23. Брутян М.А., Ковалев В.Е. Вихревые течения микрополярной жидкости: // Ученые записки ЦАГИ. 2010. ХЫ. N4, 52-61.

24. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Движение системы вихревых колец в-несжимаемой жидкости // ПММ. 1984. 48, 503-506.

25. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Гамильтонова формулировка и основные законы сохранения для модели малых эллиптических вихрей // ПММ. 1988. 52, 164-167.

26. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Гамильтонова формулировка задачи о движении системы вихревых колец в присутствии границ потока // Ученые записки ЦАГИ. 1992. XXIII. N2, 74-77.

27. Брутян М.А., Крапивский П.Л. К теории устойчивости периодических течений вязкого газа // МЖГ. 1992. N1, 10-16.

28. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Исследование устойчивости периодических течений вязкой жидкости // ПММ. 1991. 55, 928-933.

29. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Теоретическое исследование течений неньютоновской жидкости // Труды ЦАГИ. 1990. N 2484, 2-103.

30. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Устойчивость периодических пространственных течений вязкой жидкости // ЖВМ и МФ. 1991. 31, 634638.

31. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Устойчивость течения Колмогорова в вязкоупругой жидкости // МЖГ. 1991. N4, 17-24.

32. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Обобщение теоремы Бернулли на случай течения вязкой жидкости со сложной реологией // ИФЖ. 1992. 63. N.2, 220-222.

33. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Внутренние свойства некоторых реологических моделей вязкоупругой жидкости // ПММ. 1992. 56, 381-385.

34. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Гидродинамика неньютоновских жидкостей Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Комплекс, и спец. разделы мех. 1991.4,3-98.

35. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Течение Тейлора Куэтта в вязкоупругой жидкости - Тр. IX зимней школы по механике сплошных сред. Кунгур. 1991,31-32.

36. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Аналитическое исследование устойчивости периодических однонаправленных течений В сб.: Современные проблемы механики жидкости и газа. Иркутск. 1990, 73-74.

37. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Об эффекте уменьшения сопротивления в микрополярной жидкости // ИФЖ. 1989. 57, 213-219.

38. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Схлопывание пузырьков в неньютоновских жидкостях // Мат. моделир. 1992. 4. N3, 53-61.

39. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Устойчивость периодического течения в микрополярной жидкости // ИФЖ. 1991. 60, 670-679.

40. Брутян М.А., Куликовский А.Г. Неустойчивость и неединственность квазистационарных течений вязкоупругой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1996. N6, 29-39.

41. Быстрай Г.П., Черняк В.Г. Обобщение уравнений гидродинамики для быстро протекающих процессов // Вестник кибернетики. 2006. 151-155.

42. Галкин B.C., Носик В.И. Кинетическая теория и принцип материальной независимости от системы отсчета в механике сплошных сред // ПММ. 1985. 49. N4, 563-571.

43. Галкин B.C., Носик В.И. Принцип материальной независимости^ от системы отсчета и цилиндрическое течение Куэтта разреженного газа // ПММ. 1987. 51. N6, 957-961.

44. Георгиевский Д.В. Кавитационное схлопывание пузырька в нелинейно-вязкой'и вязкопластической среде // МЖГ. 1994. N2, 181-184.

45. Гогосов В.Е, Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Гидродинамика намагничивающихся жидкостей // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Механика жидкости и газа. 1981. 16, 76-208.

46. Головкин М.А. Ортогональные векторные преобразования и фундаментальные свойства уравнений Навье-Стокса и Эйлера для вихревых течений несжимаемой жидкости // Уч. записки ЦАГИ. 1991. 22. N1, 7-19.

47. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // МЖГ. 1987. N3, 176-178.

48. Гольдштейн P.B., Городцов В.А. Механика сплошных сред. 4.1 М.: Наука. 2000:

49. Городцов В.А., Леонов А.И. О линейной неустойчивости плоскопараллельного течения, Куэтта в упруговязкой жидкости // ПММ. 1967.31,289-299.

50. Городцов В.А. Медленные неустановившиеся движения упруго-вязких жидкостей // МЖГ. 1975. N5, 3-9.

51. Григорян С.С., Каменева М.В., Шахназаров A.A. и др. О влиянии растворимых в крови высокомолекулярных соединений на гемодинамику // ДАН АН СССР. 1977. 236, 319-320.

52. Григорян С.С., Ганнушкина И.В., Каменева М.В. и др. Снижающие сопротивление полимеры в кровообращении // Механика биологических сплошных сред. М.: 1986, 76-88.

53. Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. Массоперенос в диффузионном следе капли при стоксовом обтекании // ПММ; 1977. 41. N2, 307-311.

54. Де Жен П. Физика жидких кристаллов Москва: Мир. 1977.

55. Довженко В.А., Должанский Ф.В. Генерация вихрей в сдвиговых течениях. Теория и эксперимент В сб. Нелинейные: волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука. 1987.

56. Ентов В.Е., Ярин А.Л. Динамика свободных струй и пленок вязких и реологически сложных жидкостей Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Мех. жидкости и газа. 1984. 18, 1.12-197.

57. Забабахин Е.И. Схлопывание пузырьков в вязкой жидкости // ПММ; i960. 24, 1129-1134.

58. Зубов Л;М., Еремеев В.А. Уравнения вязкоупругой микрополярной жидкости // Доклады РАН. 1996. 351. N4, 472-475.60; Ишлинский А.Ю. О проблеме гидродинамического воздействия малых полимерных добавок // ИФЖ. 1973. 25. N6, 965-966.

59. Калашников В.Н. Режимы турбулентного течения вязкоупругих жидкостей // Проблемы турбулентных течений. Наука. 1987.

60. Кац Е.И., Лебедев В.В. Динамика жидких кристаллов — Москва: Наука. 1988.

61. Кирейко Г.В. О спектре малых возмущений плоскопараллельных течений вязкоупругих жидкостей // МЖГ. 1984. N6, 164-167.

62. Кирейко Г.В., Пилипенко В.Н. Устойчивость течения вязкоупругой жидкости в плоском канале // ДАН СССР. 1983. 270, 569-573.

63. Кляцкин В.И. К нелинейной теории устойчивости периодических течений // ПММ. 1972. 36, 263-271.

64. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир. 1974.

65. Корнилов В.Н. Проблемы снижения турбулентного трения активными и пассивными методами (обзор) // Теплофизика и аэромеханика. 2005. 12. N2, 183-208.

66. Коул Дж., Кук П. Трансзвуковая аэродинамика М: Мир, 1989.

67. Краснов Ю.К. Эволюция «смерчей» // В сб. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: 1987.

68. Куликовский' А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика М.: Физматгиз, 1962.

69. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Признак несуществования и неединственности решений автомодельных задач механики сплошной среды // ПММ.2001. 65, 971-982.

70. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Об, условиях распада нелинейной волны в вязко-упругой среде // ЖВМ и МФ. 1998. 38. N2, 315-323.

71. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией // Совр. проб, матем. 2007. вып.7, 3-148.

72. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика М.: Наука, 1986.

73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред Москва: Гос. изд-во тех.-теор. литер. 1954.

74. Литвинов; В.Г. Движение нелинейно-вязкоШ жидкости М.: Наука. 1982.

75. Маргулис М.А. Сонолюминесценция // Успехи; физ: наук. 20001. 170, 263-287.

76. Мешалкин Л.Д., Синай Я.Г. Исследование устойчивости стационарного? решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости//ПММ. 1961. 25, 1140-1143.

77. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики; Т. 1, 2 М.: Изд. иностр. литер. 1960; 549-5571

78. Нгуен Ван Доен; Об уравнениях пограничного слоя жидкости с моментными напряжениями // ПММ. 1967. 31, 227-234.

79. Непомнящий- А.А. Об устойчивости; вторичных, течений* вязкой жидкости в неограниченном пространстве // ПММ: 1976. 40, 886-892.

80. Николаевский В.Н. Асимметричная: механика турбулентных потоков. Энергия и энтропия // ПММ. 1973. 37, 94-105.

81. Николаевский? В.Н Пространственное осреднение и теория турбулентности»// В еб;: Вихри и волны М: Мир. 1984.

82. Николаевский; В.Н, Искандеров ДЛИ, Коржов Е.И. Турбулентная; жидкость как сплошная среда с внутренней структурой Труды Всесоюзного семинара по моделям механики сплошной' среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1976.

83. Николаевский; В1Н. Асимметричная; механика турбулентных: потоков // ПММ. 1970. 34, 514-525.

84. Николаевский. В.Н; Построение континуальных моделей- сред с микроструктурой, методом осреднения В сб.: Проблемы осреднения; ипостроения'континуальных моделей* в механике сплошной среды М: 1980, 78-92.

85. Обухов A.M. Течение Колмогорова-и его лабораторное моделирование //УМН: 1983.38,101-111.

86. Опарина Е.И., Трошкин О.В. Устойчивость течения Колмогорова в. канале с твердыми стенками // Доклады РАН. 2004. 398. N4, 487-491.

87. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными -М.: Гос. изд. технико-теор. литературы. 1953.

88. Петросян Л.Г. Некоторые вопросы механики жидкости' с несимметричным тензором напряжений Ереван: Изд-во ЕГУ. 1984.

89. Регирер С.А., Руткевич И.М. Некоторые особенности уравнений гидродинамики неньтоновских сред // ПММ'. 1968. 32, 942-945.

90. Рожков A.B. Динамика и разрушение упруговязких жидкостей (обзор) //МЖГ. 2005. N6, 3-24.

91. Руткевич И.М. Некоторые общие свойства уравнений- динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости // ПММ. 1969. 33, 42-51.98; Руткевич И.М. Стационарное-течение вязкоупругой жидкости в канале с проницаемыми стенками // ПММ. 1969. 33, 585-591.

92. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы М: Наука. 1989.

93. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды М: Физмат-гиз, 1962.

94. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы //ПММ. 1968. 32, 771-785.

95. Ю2.Федоткин И.М., Гулый И.С. Кавитация, кавитационная техника и технология, их использование в промышленности — К.: Полиграфкнига. 1997.

96. ЮЗ.Хонькин А.Д. О нелинейных коэффициентах переноса // Численные методы механики сплошной среды. 1982. ВЦ СО АН СССР. N6, 130-136.

97. Хонькин А.Д. О парадоксе бесконечной скорости распространения возмущений в гидромеханике вязкой теплопроводной среды и уравнениях гидродинамики быстрых процессов // В сб. Аэромеханика. М. 1976, 289-299.

98. Хью Г.Р. Снижение вязкостного трения. М.: Машиностроение. 1984.

99. Юб.Эриксен Дж. Исследования по механике сплошных сред М.: Мир.1977.

100. Юдович В.И. Об автоколебаниях, возникающих при потере устойчивости параллельных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых периодических возмущений // МЖГ. 1973. N1, 32-35.

101. Юдович В.И. Пример рождения вторичного стационарного и периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой жидкости // ПММ. 1965. 29, 453-457.

102. Яновский Ю.Г., Никитина Е.А., Карнет Ю.Н. и др. Молекулярное моделирование мезоскопических композитных систем. Структура и микромеханические свойства // Физическая мезомеханика. 2005. 8, 61-75.

103. Ahmadi G. On Statistical theories of turbulent flow of micropolar fluids // ActaMech. 1981. 39, 127-138.

104. Ahmadi G. Turbulent shear flow of micropolar fluids // Int. J. Eng. Sei. 1975. 13, 959-964.

105. Akbay U., Frischmann G. Die Instabilität der ebenen Couette Strömung mit Anwendung aufMaxwell-undDoi-Edwards-Flussigkeiten//Rheol. Acta. 1985. 24, 450-459.

106. Akbay U., Frischmann G. Stabiiitat der ebenen Scharstromung // ZAMM. 1985. 65, 179-180.

107. Akbay U., Frischmann G., Foischer M. Stabiiitat der ebenen Couette-Stromung bezuglich Störungen in der viskosimetrischen Ebene // Rheol. Acta. 1987. 26, 233-242.

108. Akbay. U., Frischmann: G., Wasner J: Stabiiitat der ebenen Couette-Stromung eines Maxwell-Fluids und ihre kritische Weissenbergzahl // Rheol. Acta. 1987. 26, 119-126.

109. Andrienko Yu.A., Brutyan M.A., Yanovsky Yu.G. Spurt effect for viscoelastic fluids in the 4-constant Oldroyd model // Second International Symposium on Advances in Structured and Heterogeneous Continua. 1995. Moscow. 87-88.

110. Ariman T., Turk M.A., Silvester N.D. Application of micro-continuum fluid mechanics // Int. J. Eng. Sei. 1974. 12, 273-293.118;Ariman T., Turk M.A., Silvester N.D. Microcontinuum fluid mechanics. A review // Int. J. Eng. Sei. 1973. 11, 905-929.

111. Band W. Effects of rotation on radial heat flow in a gas // Phys. Rev. Ser.A. 1984. 29,2139-2144.120;Batchelor G. K. The stress system in a suspension of force-free particles // J. Fluid Mech. 1970. 41, 545-570.

112. Bayly B.J., Yakhot V. Positive and negative effective viscosity phenomena in isotropic and anisotropic Beltrami flows // Phys. Rev., A 34. 1986, 381-391.

113. Beaumont D.N. The stability of spatially periodic flows II J- Fluid Mech. 1981. 108,461-474.

114. Beris A.N., Armstrong R.C., Brown R.A. Spectral/finite-element calculation of the flow of Maxwell fluid: between; eccentric rotating cylinders // J. Non -Newton. Fluid Mech. 1987. 22, 129-167.

115. Beris A.N., Armstrong R.C., Brown- R.A. Perturbation theory for viscoelastic fluids between eccentric rotating cylinders // J. Non Newton; Fluid Mech. 1983. 13,,109-148.

116. Berman N.S. Drag reduction by polymers // Ann. Rev. Fluid Mech. 1978. 10, 47-64.

117. Bird R.B., Hassager O., Armstrong R.C. Dynamics of polymeric liquids -Vol.1. Fluid Mechanics. VolS. Kinetic Theory New York: Wiley. 1987.

118. Bloom F. Bubble stability in a class of non-Newtonian fluids with shear dependent viscosities // Int. J. Non-linear Mech. 2002. 37, 527-539.

119. Boger D.W. A highly elastic constant viscosity fluid // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1977. 3, 87-92.

120. Brutyan M.A. Analytical investigations of the stability of periodic unidirectional flows In: Generation of large-scale structures in continuous media. Moscow. 1990, 62-63.

121. Brutyan M.A. Collapse of spherical bubbles in liquids with complex rheology // Inter. Conference of ASME. 1995. USA. Chicago, 221-222.

122. Brutyan M.A. Unidirectional flows of simple fluids and their gasdynamic description // Second International Symposium on Advances in Structured and Heterogeneous Continua. 1995. Moscow, 72-73.

123. Brutyan M.A., Kosykh S.R., Krapivsky P.L., Gasdynamic description of non-Newtonian fluid flows in tubes. ASME-publications. 1994. USA, 81-86.

124. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Collapse of spherical bubbles in fluids with nonlinear viscosity // Quart. Appl. Math. 1993. LI. N4, 745-749.

125. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Collapse of spherical bubbles in viscoelastic liquids // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1991. 44, 549-557.

126. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. On the stability of periodic unidirectional flows in micropolar fluid // In: Generation of large-scale structure in continuous media. Moscow. 1990, 64-65.

127. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Stability of viscous unidirectional flows in three dimensions // Phys. Lett. A 152. 1991, 211-214.

128. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Unidirectional flows of viscoelastic fluids and their gasdynamic counterpart // ZAMP. 1992. 43, 745-725.

129. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Analytical determination of critical Reynolds number for periodic viscous gas flow // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1992. 11. N5, 587598.

130. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. On the stability of periodic unidirectional flows of micropolar fluid // Lett. Appl. and Eng. Sci. 1992. 30, 401-407.

131. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Stability of a periodic unidirectional flow of viscoelastic fluids // J. Rheology. 1991. 35, 467-476.

132. Brutyan M.A., Krapivsky P.L. Hamiltonian formulation of a problem of the vortex rings system motion in- the presence of flow boundaries' // The TsAGI Journal. 1996. 2.N1, 51-57.

133. Bujurke M.M., Biradar S.N., Hiremath P.S. On diffusion of vorticity in couple stress fluid//ZAMM. 1988. 68, 577-580.

134. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Advances in Appl. Mech. Academic Press. 1948. 1, 171-199.

135. Burgers J.M. Application of a model system to illustrate some points of thestatistical theory of free turbulence. // Proc. Acad. Sci. Amst. 1940. 43, 2-9.

136. Chai M.S., Yeow Y.L. Modelling of Boger fluid jets using the Oldroyd-B equation. A comparison of experimental and numerical results // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1988. 29,1-3.

137. Chandrasekhar S. Hydrodynamics and Hydromagnetic stability Oxford University Press. 1961.

138. Chapman C.J:, Proctor M.R.E. Nonlinear Rayleigh-Benard convection with poorly conducting boundaries // J. Fluid Mech. 1980. 101, 759-782.

139. Cheng P.J., Lai H.Y., Chen C.K. Stability analysis of thin viscoelastic liquid film flowing down on a vertical wall // J. Physics D. 2000. 33 N14, 1674- 1681,

140. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformable Paris: Herman. 1909.

141. De Kee K., Chabra R.P. A photograph study of shapes of bubbles and coalescence in non-Newtonian polymer solutions // Rheol. Acta. 1988. 27, 656660.

142. Depassier M.S., Spiegel E.A. The large-scale structure of compressible convection//Astron. J. 1981. 86, 496-512.

143. Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic stability Cambridge University Press. 1982.

144. Dupret F., Marshal J.M. Loss of evolution in the flow of viscoelastic fluids // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1986. 20, 143-146.

145. El Kissi N., Piau J.M. Adhesion of linear low-density polyethylene for flow regimes with sharkskin //J. Rheol. 1994. 38. N5, 1447-1463.

146. Ericksen J.L. Overdetermination of the speed in rectilinear motion of non-Newtonian fluids // Quart. Appl. Math. 1956. 1, 318-321.

147. Ericksen J.L., R.S. Rivlin. Stress deformation relations for isotropic materials // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1955. 4, 32-37.

148. Eringen A.C. Microcontinuum field theories: foundations and solids -Springer. 1999.

149. Eringen A.C. Simple microfluids // Int. J. Eng. Sei. 1964. 2, 205-217.

150. Eringen A.C. Theory of micropolar fluid'// J. Math, and Mech. 1966. 16, 118.

151. Eringen C.A. Micromorphic description of turbulent channel flow // J. Math. Anal. Appl. 1972. 39, 253-266.

152. Evans D.J., Morris G.P. Statistical mechanics of nonequilibrium liquids -N.Y., Acad. Press. 1990.

153. Fogler H.S., Goddard J.D. Collapse of spherical cavities in viscoelastic fluid //Phys. Fluids. 1970. 13, 1135-1141.

154. Frenkel A.L. Stability of an oscillating Kolmogorov flow // Phys. Fluids. 1991. A3, 1718-1729.

155. Galloway D., Frisch U. A note on the stability of a family of space-periodic flows // J. Fluid Mech. 1987. 180, 557-564.

156. Garsia-Ybarra P.L., Castillo J.L., Velarde M.G. Benard-Marangoni convection with a deformable interface and poorly conducting boundaries // Phys. Fluids. 1987. 30, 2655-2661.

157. Gertsberg V.L., Sivashinsky G.I. Large cells in nonlinear Rayleigh-Benard convection//Progr. Theor. Phys. 1981. 66, 1219-1229.

158. Green A.E., Rivlin R.S. Steady flow of non-Newtonian fluids through tubes // Quart. Appl. Math. 1956. 14, 299-308.

159. Green J.S.A. Two-dimensional turbulence near the viscous limit // J. Fluid Mech. 1974. 62, 273-287.

160. Gupta A.S. Grouth and decay of vortices in a viscoelastic liquid // J. Math. Phys. Sci. 1972. 6, 263-270.

161. Hara S.K., Schowalter W.R. Dynamics of nonspherical bubbles surrounded by viscoelastic fluid // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1984. 14, 249-264.

162. Hefer D., Pismen L.M. Long-scale termodiffusional convection // Phys. Fluids. 1987. 30, 2648-2654.

163. Hefer D., Yakhot V. Inverse energy cascade in a time-dependent flow // Phys. Fluids. 1989. A 1, 1383-1386.

164. Hiremath P.S. Diffusion of vorticity in Maxwell fluid // ZAMM. 1982. 62, 257-258.

165. Hoyt J.W., Fabula A.G. The effect of additives on fluid friction // Proc. 5th Symp. Naval Hydrodynamics. Washington. 1964, 947-974.

166. Hubbard J.B., Onsager L. Dielectric dispersion and dielectric friction in electrolyte solutions. I // J. Chem. Phys. 1977. 67, 4850-4862.

167. Hubbard J.B. Dielectric dispersion and dielectric friction in electrolyte solutions. II //J. Chem. Phys. 1978. 68, 1649-1664.

168. Hubbard J.B., Kayser R.F. Dielectric friction and dielectric dispersion in electrolyte solutions with spin // J. Chem. Phys. 1981. 74, 3535-3545.

169. Huilgol R.R. Corrections and Extensions to "Propagation of a vortex sheet in a viscoelastic liquids the Rayleigh problem // J. Non-Newton. Fluid. Mech. 1983. 12, 249-251.

170. Huilgol R.R. Propagation of a vortex sheet in a viscoelastic liquids the Rayleigh problem // J. Non-Newton. Fluid. Mech. 1981. 8, 337-347.

171. Hunter J., Slemrod M. Viscoelastic fluid flow exhibiting hysteretic phase changes//Phys. Fluids. 1983. 26. N9, 2345-2351.

172. Inge C, Bark F.H. Surface tension driven oscillations of a bubble in a viscoelastic liquid//Appl. Sci. Res. 1982. 38, 231-238.

173. Jackson K.P., Walters K., Williams R.W. A rheometrical study of Boger fluids // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1984. 14, 173-188.

174. Jeffreys H. The Earth London: Cambridge Univ. Press. 1929.

175. Joseph D., Renardy M., Saut J.-C Hyperbolicity and change of type in the flow of viscoelastic fluid // Arch. Rat. Mech. Anal. 1985. 87, 213-251.

176. Joseph D.D. Fluid Dynamics of viscoelastic liquids Springer Verlag. New York. 1990.

177. Joseph D.D. Historical perspectives on the elasticity of liquids // J. NonNewton. Fluid Mech. 1986. 19, 237-249.

178. Joseph D.D., Saut J.C. Shot-wave instabilities and ill-posed initial-value problems // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1990. 1. N4, 191-227.

179. Joseph D.D., Saut J.C. Change of type and loss of evolution in the flow of viscoelastic fluids // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1986. 20, 117-141.

180. Keller H.B. Numerical methods in boundary layer theory // Ann. Rev. Fluid Mech. 1978. 10, 417-433.

181. Kirwan A.D. Boundary conditions for micropolar fluids // Int. J. Eng. Sei. 1986. 24, 1237-1242.

182. Kummerer H. Stability of laminar flows of micropolar fluids between parallel walls //Phys. Fluids. 1978. 21, 1688-1693.

183. Lagnado R.R., Ascoli E.P. A viscous line vortex in an imposed axisymmetric straining flow of an upper-convected Maxwell fluid // J. NonNewton. Fluid Mech. 1990. 34, 247-253.

184. Larson R.G., Shagfen E.S.G., Muller S.J. A purely elastic instability in Taylor Couette flow // J. Fluid Mech. 1990. 218, 573-600.

185. LeonovA.I., Prokunin A.N. Nonlinear phenomena in flows of viscoelastic polymer fluids London. 1994.

186. Liu Y.J., Liao T.Y., Joseph D.D. A two-dimensional cusp at the trailing edge of an air bubble rising in a viscoelastic liquid // J. Fluid Mech. 2006. 304, 321-342.

187. Lord Rayleigh. On the pressure developped in a liquid during the collapse of a spherical cavity // Phil.Mag. 1917. 34, 94-96.

188. Lukaszewicz G. Micropolar fluids: theory and applications Birkhauser. Boston. 1999.

189. Lumley J.L. Drag reduction by additives// Ann. Rev. Fluid Mech. 1969. I, 367-384.

190. Luskin M. On the classification of some model equations of viscoelasticity // J. Non Newton. Fluid Mech. 1984. 16, 331-339.

191. Mackay M.E., Boger D.W. An explanation of the rheological properties of the Boger fluids // J. Non-Newton Fluid Mech. 1987. 22, 235-243.

192. Maxwell J.C. On the dynamic theory of gases // Phyl. Trans. Roy. Soc. London. A. 1867, 49-88.

193. Mochimaru Y. Unsteady state development of plane Couette flow for viscoelastic fluids // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1983. 12, 135-152.

194. Moffatt H.K., Duffy B.R. Local similarity solutions and their limitations // J. Fluid Mech. 1980. 96, 299-313.

195. Moffatt H.K. The asymptotic behavior of solutions of the Navier-Stokes equations near sharp corners In: Approximation methods for Navier-Stokes problems. 1981, 371-380.

196. Molenaar J., Koopmans R.J. Modeling polymer melt-flow instabilities // J. Rheol. 1994. 38. N1,99-109.

197. Muller I. On the frame-dependence of stress and heat flux // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1972. 45, 241-250.

198. Murdoch A.I. On material frame-indifference, intrinsic spin, and certain constitutive relations motivated by the kinetic theory of gases // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1983, 185-194.

199. Nazar R., Amin N., Filip D., Pop I. Stagnation point flow of a micropolar fluid towards a stretching sheet // Int. J. Non-Linear Mech. 2004. 39, 1227-1235.

200. Nicolaenko B., She Z.-S. Symmetry-breaking homoclinic chaos and vorticity bursts in periodic Navier-Stokes flows // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1991. 10, 67-74.

201. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behaviour of continuous media / Arch. Ration. Mech. and Anal. 1958. 2, 197-226.

202. Noll W. On the continuity of solid and fluid states // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1955. 4, 3-81.

203. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity Oxford. Pergamon Press.1986.

204. Papanastasiou A.C, Scriven L.E., Macosco C.W. J. Non-Newton. Fluid Mech. 1984. 16, 53-68.

205. Perez-Garsia C., Rubi J.M. On the possibility of over stable motions of micropolar fluids heated from below // Int. J. Eng. Sci. 1982. 20, 872-873.

206. Ramkisson H. The effect of a boundary on the motion of a sphere inpolar fluids // Int. J. Eng. Sci. 1987. 25. 227-234.

207. Ramkisson H., Majumdar S.R. Drag on an axially symmetric body in the Stokes flow of micropolar fluid // Phys. Fluids. 1976. 19, 16-21.

208. Renardy M. On Rankine-Hugoniot conditions for Maxwell liquids // J. NonNewton. Fluid Mech. 1989. 32, 69-77.

209. Renardy M., Renardy Y. Linear stability of plane Couette flow of an upper convected Maxwell fluid // J. Non-Newton. Fluid. Mech. 1986. 22, 23-33.

210. Renardy M., Hrusa W.J., Nohel J.A. Mathematical problems in viscoelasticity Harrow. Ing: Longman. 1987.

211. Riachi D.N. Hexagon pattern convection for Benard-Marangoni problem // Int. J. Eng. Sci. 1989. 27, 689-700.

212. Riachi D.N. Nonlinear Benard-Marangoni convection // J. Phys. Soc. Jpn.1987. 56,3515-3524.

213. Rivlin R.S. The relation between the flow of non-Newtonian fluids and turbulent Newtonian fluids // Quart. Appl. Math. 1957. 15, 212-215.

214. Ryskin G. Dynamics and sound emission of a spherical cavitation bubble in a dilute polymer solution // J. Fluid Mech. 1990. 218, 239-263.

215. Ryskin G. Misconception which lead to the "material indifference" controversy//Phys. Rev. Ser.A. 1985. 32, 1239-1240.

216. Ryskin G., Rallison J.M. On the applicability of the approximation of material frame-indifference in suspension mechanics // J. Fluid Mech. 1980. 99, 525-529.

217. Sastry V.U.K., Das T. Stability of Couette flow and Dean flow in micropolar fluid //Int. J. Eng. Sci. 1985. 23, 1163-1187.

218. Schleiniger G., Weinacht R.J. Steady Poiseuille flows for a Giesekus fluid // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1991. 40, 79-102.

219. Schowalter W.R. Mechanics of Non-Newtonian fluids Springer Verlag. 1978.

220. She Z.-S., Metastability and vortex pairing in the Kolmogorov flow // Phys. Lett. A 124. 1987, 161-164.

221. Shtilman L., Sivashinsky G. Negative viscosity effect in three-dimensional' flows // J. de Phys. (Paris). 1986. 47, 1137-1140.'

222. Sivashinsky G., Yakhot V. Negative viscosity effect in 3 dimensional'large-scale flows // Phys. Fluids. 1985. 28, 1040-1042.

223. Sivashinsky G.I. Weak turbulence in periodic flow // Physica D. 17. 1985, 243-255.

224. Soderholm L. The principle of material frame-dependence and material equations of gases // Int. J. Eng. Sci. 1976 14, 523-528.

225. Speziale C.G. On frame-indifference and iterative procedures in the kinetic theory of gases // Int. J. Eng. Sci. 1981. 19, 63-73.

226. Speziale C.G. On linear k-1 and k-s models of turbulence // J. Fluid Mech. 1987. 178, 459-475.

227. Srinivasachanya D., Mishra M., Rao A. Peristaltic pumping of a micropolar fluid in a tube // Acta Mech. 2003. 161. N3-4, 165-178.

228. Sternberg E., Koiter W.T. The wedge under a concentrated couple: a paradox in the two-dimensional theory of elasticity // Trans. ASME. J: Appl. Mech. 1958.25, 575-581.

229. Tanner R.I. Note on the Rayleigh problem for a viscoelastic fluid // ZAMP. 1962. 13, 573-580.

230. Taylor G.I. On the decay of vortices in a viscous fluid // Phil. Mag. 1923. 46, 671-674.

231. Ting R.Y. Effect of polymer viscoelasticity on the initial growth of a vapor bubble from gas nuclei // Phys. Fluids. 1979. 22, 1406-1407.

232. Ting R:Y., Ellis A.T. Bubble growth in dilute polymer solutions // Phys. Fluids. 1974. 17, 1461-1462.

233. Tlapa G., Bernstein B. Stability of a relaxation-type viscoelastic fluid with slight elasticity //Phys. Fluids. 1970. 13, 289-299.

234. Toms B.A. Some observations on the flow of linear polymer solutions through straight tubes at large Reynolds number // Proc. 1st Int. Congr. Rheol. 1948. 1, 135-142.

235. Townsend A.A. The structure of turbulent shear flow 2nd ed. Cambr. Univ. Press. 1976.

236. Truesdell C. Correction of two errors in the kinetic theory of gases which have been used to cast unfound doubt upon the principle of- material frame-indifference//Meccanica. 1976. 11, 196-199.

237. Truesdell C., Muncaster R.G. Fundamentals of Maxwell's kinetic theory of a simple monoatomic gas //N.Y.: Acad. Press. 1980.

238. Truesdell C., Noll W. The nonlinear field theories Handbuch der Physik. Band III/3. Berlin: Springer-Verlag. 1965.

239. Ultman J.S., Denn M.M. Anomalous heat transfer and a wave phenomenon in dilute polymer solutions // Trans. Soc. Rheol. 1983. 14, 307-317.

240. Unthank J.L., Lalka S.G., Nixon J.C. et al. Improvement of flow through arterial stenoses by drag reduction agents // J. Surg. Res. 1992. 53, 625-630.

241. Vinogradov G., Malkin A., Yanovski Yu. et al. // J. Polym. Sci. A 2. 1972. 10,1051-1084.

242. Walters K., Rawlinson O.M. On some contraction flows for Boger fluids // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1982. 21, 547-552.

243. Wang C.-C. On the concept of frame-indifference in continuum mechanics and in the kinetic theory of gases // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1975. 58, 380393.

244. Weng H.C., Chen C-K., Chang M-H. Stability of micropolar flow between concentric rotating cylinders // J. Fluid Mech. 2009. 631, 343-362.

245. Willson A.J. Boundary layer in micropolar fluid // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1970. 67, 469-476.

246. Woods L.C. Frame-indifferent kinetic theory // J. Fluid Mech. 1983. 136, 423-436.

247. Yakhot V., Peltz R. Large-scale structure generation by anisotropic small-scale flows//Phys. Fluids. 1987. 30, 1272-1277.

248. Yakhot V., Sivashinsky G. Negative viscosity phenomena in three-dimensional flows // Phys. Rev. A 35. 1987, 815-820.

249. Yanovski Yu. Polymer Rheology L.: Chapman & Hall. 1993.

250. Yoo J. Y., Ahrens M., Joseph D.D. Hyperbolicity and change of type in sink flow//J. Fluid Mech. 1985. 153,203-214.

251. Yoo J.Y., Choi H.Ch. On the steady simple shear flows of the one-mode Giesekus fluid // Rheol. Acta. 1989. 28, 13-17.

252. Zielinska B.J.A., Demay Y. Couette-Taylor instability in viscoelastic fluids //Phys. Rev. Ser. A. 1988. 38, 897-903.

253. Zwanzig R. Nonlinear shear viscosity of a gas // J. Chem. Phys. 1979. 71. N11,4416-4420.