Топологические аспекты теории квазиконформных отображений и их обобщений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМЫ НАУК УКРАИНЫ ИНСШ1УТ ПРИКЛАДНОЙ МЛГЕЫЛШИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Рязанов Владимир Ильич

ТОПОЛОГИЧЕОСШ" АСПЕШ ГЕ0РШ1 КВА31КОЩОРМ1Ш ОТОБРАЖЕНИИ И ИХ ОБОБЩЕНИЙ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕ 1гК? к 1 диссертации на ссиснэние ученой степени доктора фияико - математических наук

Донецк - 1993

Работа выполнена в отделе уравнений в частных производных

Института прикладной математики и меканики АН Украины

>

Официальные оппоненты: ростер физ.-ыат .наук, профессор Мнклюков В,М,

доктор физ.-мат .наук, профессор Тамразэв П.М,

доктор физ.-мат .наук, профессор Андриевский В.В.

Ведущая организация: Институт математики СО АН России

Защита состоится ,¿i- 199 ^г. в ^^ uacci

на ааседшик специализированного Совета Д 06.01.01 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте прикладной математики и механики АД Украины по адресу: 3401, г.Ц1рнецк~Н4, ул.Розы Люксембург, 74

С диссертацией можно ознакомить г я в библиотеке ИПММ АН Украины. Авторе<]зерат разослан ^-f^^^Jj -Í99 '7Уг.

Ученый оекремрь г пр * (И' i ли'1 иро п анни г с Совета к.чнждят ,- h!ui ,ÍI 'ук

МмркипскиП

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. PABOTli

Актуальность гены. Основы теории квазиконформных ото -5ражеки'й на плоскости были заложены ещэ в Р0-30-е годы Гре-4вм Г. и Лаврентьевым H.A. В работах Альфорса Л., Берса Л., Иехто 0., Геринга Ф.У., Бекуа И.Н., Боярского Б.В., Лаврен-сьвпа М.А., Белинского П.П., Иабата Б.В., Суворова Г»Д«> Ре-петняка Ю.Г. и других авторов били изучены фундаментальные звойства квазиконформных отображений и некоторых их обобщений, i также обнаружены интересные приложения Ко многим разделам ¡овременного анализа.

Настоящим прорывом г этом направлении стала новая теоре-ia cyieci вораиия и единственности для уравнения Бедьтрами , доказанная в 1988 году Давидом Г. Она дала мощный импульс да-гьнейшям исследованиям общих гомеоморфизмов плоско щи. В от ж гсследопаниях ключевую роль играет знаменитая лемма Геринга-Гехто о дифференцируемости. Вопросы компактности классов Да-1ида начали изучаться ТУкиа П. (19'Л).

Уникальность уравнения Белы рами в геометрической теорш 1иф{|ерещиальных уравнений сосзпит п том, что ему удоплетво-1яег любой сохраняющий ориентации гомеоморфизм плоскости с >бобшеншми производными. Таклм образом, при аналитическом юдхода к изучению топологических соображений центральным вляется вопрос о связи кооЗДи^иенгв уравнения Бальтрпми с го решением. Поведение оюГ; характеристики при локально рав-:омерно(! сходимости отображений имеет очень сложную природу, то обусловлено тем, что уте в простеЛших случаях решение равнения Бельтрами связано с комплексной характеристико?. по-редотвсм нелинейного преобразования, в котором к vtvy же за-пйстворан оингулярнн! оператор типа Кальдерсна-Зипуцпа -ак называемое комплексное преобразование Гильберта, нменуе-ое также иногда преобразованием Альфорса-Борлинга. 1крождо-ие (эллиптичности, имевшее место в условие теоремы Давида, те более усугубляет трудности и практически иоклэчает прямо «отодм исследования.

Вопросы сходимости и компаичнопти всогда занимали одно з центраямтк мпот n iHopmt кпагжксифсрмипх oi<;6pa»enitfl. pr-ди наиболее известных ропуяьтатон ц ртом тирчм.ттч "ле-уст птмэтпть т?ор-"мн (Г'лплм'ттп Ворм-Бо тронсго (1Г-П7) ,

Шгребеля (1969) и Леншингера (1974), а та.лке теоремы компактности Лесина (1969) и Шиффера-Шобера 11978).

Одним из гзакных приложений теорем компактности является теория вариационного метода. Дело в 1оы, что в компактных классах всегда гарантируется сущестпованкз экстремальных отображений для дабтх непрерывных, в том числе, нелинейных функционалов. Иначе, как отмечались в сравнительно недавно вышед-пей монографии Крушкаля С.Л. и Кюнау Р. (1904), вопрос о су -чествовании экстремали становится чрезвычайно тпудным.

Вариационный метод исследования экстремальных задач для квазиконформных отображений был впервые применен Белинским П.П. Этот Метод получил свое развитие в работах Кюнау Р., Крушкаля С.Л., ГУглянснсго В.Я., Ренельта Г., Мак Ливи Дк.О. и других авторов.

Другим, довольно неожиданнам, приложением теорем сходимости н компактности оказались исследования локального поведения квазиконформных отображений. В связи с этим напомним, что различные вопросы дифференцируемости отображений изуча -лись в работах Тейхшоллера 0., Виттиха Г., Белинского П.П., Лехто 0., Райха Э., Волькзака Г., Боярского В.В., Иабата Б.Е, Трохимчукй Ю.Ю. и многих других.

Все скапанное говорит о необходимости дальнейшего изучения вопросов сходимости и компактности для квазиконформных отображений и их обобщений.

Цель работы. Создать стройцум и завершенную теорию сходимости и компактности для квазиконформных отображений и их совремекньс обобщений на плоскости и продемонстрировать возможности ее приложений к теории вариационного мето;.а, уравнениям математической физики и исследованиям локального поведения отображений.

Обпие методы исоуллвшг^я . Наряду с традимионт!ым методом теометрической интерпретации широко используются методы обпей топологии и дбсл рякгшж пространств со сходимостнми Фреше-Уры-сона, выг^-клоро анализа и теории измеримых семойстя множеств, ({уикционального пиадиза и теории меры.

Н^у.чнля швшта. Получгн ряд нппкх фундаметяльннх теории сходимости:

5) тесреда 'I о нолуненрерывнотч дияачтти гомооморфип-мов класса ,/?- С. У! ;

2) теорема 2 об области значений и множестве хорошей аппроксимации предельной комплексной характеристики для квазиконформных отображений с локально суммируемой С*} (2) ;

3) теорема 3 о необходим« и достаточных условиях сходимости нормированных <0_(!£) -квазиконформных отображзнмй с

> удовлетворяющей условию Давида.

В качестве следствий получены усиления и обобщения тео-у рем сходимости Шгребеля и Ворса-Боярского для .

Впервые, в терминах преобразования Фурье комплексных характеристик, построены метрики, генерирующие локально равномерную сходимость нормированных с*}(2)-л.к. отображения для (3(2.) с условие.., Давида, стот результат является новым и для <2 -к.к. отображений.

Исследованы классы

ш -к.к. отображений с ограничениями на комплексные характеристики обтего теоретико-множественного вида при > удовлетворявшей условию Давида. Установлены:

1) теорема 4 о замыкании те.-компактных классов;

2) теорема 5 о необходимых И достаточных условиях компактности!

3) вариационный принцип максимума (теорема 6).

Аналогичные результаты получены для классов с ограничениями общего интегрального вида на дилатацим (теоремы 7-9).

В качестве приложения теореи сходимости и компактности, сеталыю изучена так называемая ди^ференцируемость отобраке-!йя в течка по Белинскому (теоремн 10-12 и следствия из них).

Практическая ценность работы» Результат диссергашш ыо-ут быть испольэопаны при изучении различных вопросов сходи-юсти и компактности для квааико^ормных отображений и их 1<5обше!Шй, в теории вариационного метода, при исследованиях юкальиого поведения отображений, при описании аснмптотичео-м конформных кривнх, а также при доказательстве теорем су -!вглрорп!шя и представлении решешй некоторых уравнений на -'йматичегкой физики,

Апробация роботы. Результаты диссерсаинн апробировались м Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных, отобража-тй, ее обобщениям и приложениям' (1980, 1902, ИМ'}, (янецк), Иг:(Ч'0'|Пз(Г'11 школ» по котик?кеннм методам р маггмати-

ческой физике (1984, Донецк), Международной'конференции по комплексному анализу и его приложениям (1985, Варна), Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (1988, Новосибирск), Международной конференции по комплексному анализу и Y1! Гушнако-Финском семинаре по комплексному анализу (1993, Тжищуара), семинарах по теории функций при ИМ СО АН России (рук.акад.Решетняк Ю J'.), ИМ им.В.А.Огеклова АН России (рук.акад. А.А.Гончар), ИПЫМ АН Украины (рук. д.ф.-м.н. Гут-лянский В.Я.), ИМ АН Украины (рук. д.ф.-м.н. Таыразов П.М.), ИМ АН Польши (рук. акад. Боярский Б.В.), Технический университет, Берлин, 1992 (профессор Пошеренке Хр., Беккер Й.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах, список которых приведен в конце автореферата . Две из этих работ сцубликоваш совместно с профессором Гут -лянским В.Я.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит Из введения, 4 глав, 4 приложений и списка литературы. (229 наименований). Общий объем диссертации составляет 281 страницу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ .

В главе I изучается поведение дилатации и комплексной характеристики при локально равномерной сходимости квазиконформных отображений и их обобщений.

Как известно, любой сохрэяяотий ориентации Гомеоморфизм

/, класса Л С ^ (О ) , за -

данный й области D комплексной плоскости (Q , удовлетворяет почти всюду (п.в.) в О уравнении Бельтрями

/_ = ¿«¿г) /я , ■ ' н)

где ' yij^l С) (О - некоторая измеримая функция с

уиъ)\ íS, / (2)

и, как обычно, =(f*fL-fy)/2, " (f» -C/y)/2.3

u ~f- ¿- x-h с-j/ • Ufaran y o

при sz =c q , ш у охраняем спязанцуя с этим елучлем

неопределенность, «функция принято называть ксщглейе-

ной характеристикой, а шли чину

р(-<±) + - 1уа(2)1) о)

- дилатацией отображения .

В § 1.1 доказана теорема о голу непрерывности дилатации в среднем для обяих гомеоморфизмов класса

Г е о р е м а I . Дусть ^ и О—'С,

- сохранявиие ориентацию гомеоморфизмы класса Л- С- ><1 и густь Я локально равномерно. Тогда на

любой открытом множестве ■

А

Гг _

для любой неубывающей выпукло? функции которая непрерывна в смысле слева в точке

(_^ = £ (5)

а» ш « ~ .

Отметим, что при <2 < с><3 условие (6) выполняется автоматически, а при =г оо излгаинэ условие непрерывности.

В 5 1.2'доказана теорема об области значений и множестве хорошей аппроксимации предельнсЛ комплексной характеристики для квазиконформных отображений с локально сушируе-

мой (я(2£). . ■ ^

Здесь сохраняший сриетацию гомеоморфизм /.' ""'*" (¿.-класса

асх

нязывлп-ся -ктшиконформгм! ( (^(г?)

- к.к.) отображением, пели

рал.) О (я) п.п., (?)

г.п1"1 : й* 1 "[.^у^ ']- произвольная функция«

Отметим, что сам термин " С^) _к<к, отображение",

по-видимсму, впервые б мл введен Ииффером М. и Шобером Г. (1576) для случая С ^ Однако на экстремальные

проблемы в классах подобного рода впервые обратил внимание е-зе Тейхмюллер 0. (1939), а оатем и Волковыокий Л.К Порвкй пример такой экстремальной проблемы был рассмотрен Кганау Р. Подобный классы рассматривались также в работах Крушкалл Л.С., Андриян-Кману К., Иоффе М.С., Ренельта I'., Мак Либи Дж.О. , Летинена М. и других.

Прежде чем переходить к формулировке теорьлы '¿, приведем элементы теории инвариат'но-выцуклых множеств, изложенной в приложении А.

Пусть Д— {Р€.<С: Iи/-С /}- единичный круг и - группа всех дробно-линейных отображений А на себя. Множество М и? Д назовем инвариантно-выпуклым , если все множества 4 (А?) , ^ <5Г ^ , являются выпуклыми. Имеется фостой геометрический критерий:

Предложение А I . Замк^тое множество М из инвариангно-Еыц/клс) тогда и только тогда, когда вместе

с каждой парой точек ¿1 /*/ этому множеству фи-

/ у

надлежит и вся совокупность дуг

Здесь через [А^уА/^СТ]) обозначена дуга, соединяющая точки ивцутри , той единственной окружности , которая проходи через тройку точек ./¿^ г СЕТ /У и

77 эл . /

' Инвариантно-выпуклой о_б_ о л о ч -кой ¿¿пасо /У множества м из Д > /У ^ Д } будем называть минимальное по вклчченн?) замкнутое инвариант-но-вигуклое множество, содергалее /V • Согласно теореме А'-:

П КИ (у) г ш)

г ■

гдо черэа ^^ обозначен едиигтвенный опор н ы 11

круг , кмовтаРся С* А п точке ^ . Здесь пччкцу-тнй круг К из Д , каотийсп

эЛ , назипаотсн оперным к ммокпетву м , если /чк и 'Э /Г/7 Э/У ^.;?; Теорема АЗ 2одпр«ге от одно опиоэдию ¿ыасл А' нах так иэдьпасм<.»го дугового замыкания,

. В силу предложения Ai, инвариант но-выцуюшо множества М являются строго выгуклыми множествами, т.е. их границы не могут содержать отрезков прямых. Таким образом, в со граничные точки таких множеств являются крайними, .

Граничил точку произвольного /V, М S /}, назовем инвариантно-крайней , если на некоторой опорной окружности iljhl, она является ближай-

шей из ъм к М по или против часовой стрелки. Множе -ство всех инвариантно-крайних' точен М в дгльнэйшем обозначается через

Роль ¡тожества определяется тем обсто-

ятельством, что оно является минимальным по включению замкну-гьм подшскеством // , го которому еще восстанавливается /V (теорема А4). При этом имею? место аналоги классических теорем Крейна-Мильмана и Каратаодори-Минковского [те'оремн А5 и А6).

Георема 2. Пусть ^ ; 0~*~СР /2-—

последовательность

-к.к, отображений с лркально •.уммируемой q(z) и ^ л.р., где

- некоторый гомеоморфизм.

Тогда á также является отображением и

. Кроме того, для почтц всех 2Г€Г

y^cz) е ¿spyco о)

(z) по мере на

£0 = ¿t 'yu(z) M*ó] (ío )

де ¿L - множество всех регулярных точек отображения ^ и

{d¿ncz)} . («)

Здесь, как обычно, через ¿у^л. (2?)} обозначен

зрений топологический продал одноточечных мтжоств

,е. множество всех точек накопления последовательности(¿r)

/2-— 2. . . Условие регулярности в точке 2

означает, что £ дифференцируемо в этой точке и якобиан

Для сравнения* Игребель Н. в 1959 году установил, что при локально равномерной сходимости б? -к.к. отобр жений , когда (2(В) = <

йт-шр \jUHte)\ п.в. (12)

и на множестве

С -¿¿tn,*Mf ÎMH(z)\} (13)

Н--+- ж>

мокно выбрать подпоследовательность , которая

сходится п.в. к ^¿¿(zZ) -

Из теоремы 2 при мы получаем (12) и cx--

дyïlocть у^-л. па мере на , т.е. усиление резуль-

тата Штребеля.

Аналогично, в случае одноточечных множеств

/УГ2) из

теоремы 2 следует обобщение теоремы сходимости Берса-Болрско-го:

Следствие 1.8. Пусть в условиях георемы 2 (Z) içh на некотором измеримом мно-

жестве по норме ^ Р ^ ^^^ • просто

по мере или п.в.

тогда = arz) п.в. на

Наконец, в § Î.3, в терминах преобразования 4урье комплексных характеристик, найдены необходимые и достаточные условия сходимости нормированных -к.к. отображений с Qi'Z) , удовлетиоряотей условию Давида.

Напомним, что Дапид Г. доказал существование и единственность гомооуорфных решений ^ ^^ Ç , О

£> для уравнения Бельтраии (1) с ком-

плексной характеристикой ytiCZ.) , удошкт поряотэй условия

нщ{ъ€'с; !/mcz)\>î-£} ^ со е ~ е - ««>

л.

аля всех £=~60;£0 ) >0, С > О . При

этом, это решение автоматически принадлежит всем классам

для любых , Им же были установлены

юкально равностепенные непрерывность и абсолютная Ненрерыв-юсть всех таких гомеоморфизмов вместе с их обратными при фиксированных оС и Са .

Соотношение (КО монет быть переписано в эквивалентной >орле через дилатацюэ:

с: p(z) > ¿} ^ с е (15)

иш всех ~¿- Т\ Т= - i +2/£а > U./Z >0

Будем говорить, что измеримая функция с- j. —

[ <=«oJ з вс по не я'ц иально ограничена по мере, если сугдествуат постоянные "7~ t У>0 и С >0 такие, чг:о для всех zí ^ 7"«"

t цб)

Отметим, что такая функция локально интегрируема,

р2^ ¿ос. 'и ' кР0Ме т°ГО, в теорема 2 ¿У\Е

Пусть - множество всех нормированных C¿(Z)

н.к. отображений С-*- С , О , ffá) ~ У,

' ■ г т

' Следствие 1.9. Пусть jf и ^ бГ /~/

2> .. . , где вкспонеидиально ограничена по

ере. Тогда для сходимости ^ •-*-^ л.р. достаточно выполнения любого из следующих условий; 1.п.в.,

по мере,

Как будет следовать из результатов второй главы, ни одно з этих условий на является необходимом, Более того, как бу -эт явствовать из творимы необходимым условием не является

даже слабая сходимость ни в одном из пространств ,

/ уО ¿а, <=•<= (следствие 2.1).

Обозначим через - открытый единичный шар в

пространстве . Определим дня любой футгциг/С^ С

в~(с)п с). нелинейное преобразование

П/1-) - -+- -Х- (тус1)) , , ^ (17) -

где обозначает сверлу функций,

(18)

л с

ОО |

- преобразование фурье и мультипликатор.

Теорема 3. Цусть функция 0(2)'-экспоненциально ограничена по мере и цусть ></> ~ некоторое покрытие плоскости по мере ограниченными измеримыми множествами, на каждом из Которых (^(¿Е.) ограничена. ТогдА для сходимости л.р. в "

необходимо и достаточно, чтобы

слабо в

№г срезок комплексных характеристик и уСС/

— ___, на каждом Из множеств

3 частности, для любой измеримой п.в. конечной , множества

£ ^{кеС; /н/^/гс, 0(2) ^Пг} , (19)

— , образует одно из счетных таких семейств .

Наиболее просто теорема 3 формулируется для -к.к.

отображений с компактным носителем:

Следствие 1.12. Цу'ль ^ и

П — 7... , имеют носители комплексных характеристик/¿С и/¿¿^ , = сосредоточенны п некотором компакте /С^И С? » Тогда для сходимости ^ Л.р. необходимо и достаточно, чтбн ) —»— ) слабо в '

Заметим также, что теорема 3 позволяет строить различные метрики, которые генерируют локально равномерную сходимость нормированных -к.к. отображений (следствие 1.11).

В глар.е 2 рассматриваются классы гомеоморфизмов с огра -ничениями на комплексные характеристики теоретико-множественного типа.

Напомним, что М/?)-к.к. отображения имеют комплексные характеристики

(20)

где

¿/(£) = (^С: ¡V 1^(2)}, ?<=:€, (21)

• оо

Шифером М. и Шобером Г. (1978), при были ппедены классы отображений с дополнительными ограничениями

н) ^О п.в. (23)

Последняя из постановок ведет прямо к общим теоретико-множественным ограничениям:

А п.в. (!м)

Обозначим через ^И состветствуючшй поднятое /Т^'эД¿?)). 13 § 2.1 доказана теорема ^пмккалия классов f~Zf.fi .' Т о с р е м а 4 . Пусть функции £?—~

С. ^ , экспоненциально ограничена по мере и //¿"а?) ,

- произяолмюе сомпРство негустых замкнутых множеств из /Л , измеримое пс- параметру'.

Тщ-дп * т'лч.лпгии локально разномерной охг.димости

Н,, = н. О'б)

и

ы

где ¿¿гх^&Э , Н , - семейство инвариангно-вы-

гуклых оболочек множеств /Ч(~Е) ( . При этом, класс

// .. является секвенциально компактным.

¿¿и^со п.

Здесь семейство негустых замкнутых плоских множеств М(12-)> 2Г С С называется измеримым по параметру , если множество точек

¿Г = б? ; £= } (26)

измеримо относительно плоской меры Лебега для любого замкнутого множества М0 , т.е. это есть полный аналог измеримой функции.

Отметим, что пс'нятие измеримого семейства множеств упоминается также в тесрии вероятностей и теории оптимального управления под названиями "случайнее множество" и "измеримое многозначное отображение", соответственно. Здесь мы используем классический термин Бурбаки Н. "семейство мнокеств". Это понятие восходит к одной из работ Шоке Г. (1353). Развитие теории измеримых семейств связано с юленамиВаладье М., Нас -тена Ч., Нуратовского К., Рокафеллара Р., Дкекобса М. и других.

Автору данной диссертации принадлежат лишь специальное результаты, этой теории, которые к тому ке носят вспомогательный характер, Среди них мг.кно назвать установление измеримости семейств ¿&уС0 и М& измеримости МС2-) . Основные моменты этой теории изложены в при -локении Б. В частности, теорема Е1 содеркит целый ■ляд вффек -' тивньк критериев измеримости семейств,

Подчеркнем,'что условие измеримости семейства множеств М(Ш.) по параметру 2 является суизетреиигм для ч есремы 4. Можно привести пример, когда для неизмеримого М(З-) класс пуст, а класс <У^Гсо ^ ж уст. Т- "'М'-ч,

Мег.) = Г-Г(Е), уап],

где У): , о < ^С^- прочепольнпл нои-ч -

меримая функции.

В условиях теоремы ■'(, когда А С?)'/'п. г. и 1п»'-|'И-

но по г , в силу известной теоремы об измеримых: сечениях и теоремы существования Давида, заведомо • ■

Им -¿-Я*. 12В)

Теорема эаминчкия имеот одно счень интересное следствие для теории сходимости:

Следствие 2.1. Для любого ^^

существует последовательность бр -к,к, отображений ^ /

которая сходится л.р. к О -к.к. отображению ^: такая, что/¿¿к. не сходится к слабо ни в одном из пространств ^ р -=г. «»о

В § 2.2 сфсрмулирсаш необходимее и достаточные условии компактности классов /7// :

Теорема 5 . Пусть функция £¿(2.)'. С^Х—С^з^^3) экспоненциально ограничена по мере и семейство негустых замк-|^тых множеств М(Е.) ^ Л } -2" , измеримо по параметру- ¿Г . Тогда следующие утверждения экривалентнн:

1) класс Нм секвенциально компактен относительно локально равномерной сходимости;

2) множества инпаришггно-гыгуклп для п.в.

Нее.

При этом, условие £) остается достаточным для компактности класса //у и при отсутствии измеримости по , как это видно непосредственно из теоремы 2. Однако в этом случае данное условие перестает быть необходимым, как показывает пример, приведенный о предрду-юм параграфе. В этом случае такж.е пет гарантий непустоты класса.

'В 5 2.3 приведшим геновнно следствия для теории вариационного метгд.ч на кл нч-лх //у .3 частности, доказан вариа-г'ионный принцип максдаумч (теорема 6), согласно которому кон-плеконпн гпрактрригтика^*''/* окотре#лли ■/ п ч сдаче о для любого д^йф^ренчируомого по Ппо без вырождения функцио -нала С*?- ; /у^, —.Ц? т комгачтиом клчссе /-/^ удовлет -

ггряпт вкл'г'"енч:'1

/

'<'(?!) С ■ ' п.п. (29)

В главе 3 рассмотрены гомеоморфизмы класса Соболева с ограничениями на дилатацию интегрального типа. Различные классы отображений, квазиконформных в среднем, ийучались в работах Альфорса Л., Песина И.Н., Кянау Р., Крушкаля С.Л., Кругликова П.И., Кудьявина B.C., Бор^ук С.М. и Других авто -ров. Одним иа основных достижений последнего времени в этой области стала ум упохладавшаяся нами теорема существования и единственности Давида. Н-зземккутость классов Давида, по-видимому, ппервые была обнаружена Тукиа П. (1909). Им же было изучено виглое свойство нормальности таких классов.

Обозначит»! через совокупность всех сохраняющих ори-

ентации гомеоморфизмов. ^ : С (¿7' с обобщенными производными, с нормировками — 0 3 -^('/J- —

и о шяе тральным ограничением на дилатадию р (Z) вида:

Й ^ У, (30)

С

Где Q -I JQ *\ 7— [^произвольная функция.

Как легко пидеть, для но пустоты класса // ^ необхо -димо и достаточно, чтобы

/>/ 9(6) = о , (3D

' - • Zis!

ест • Судей говорить, что функция J& О

имеет е к с п о к е н ц и а л ь н ы П рос т и а б е с к о и 6 ч и с; о и , если

. т) >/i (32)

для роех ¿■ ^■' Т ГТгл; некоторых Jf > £>, fi >•(->. ^ В § ЗЛ докапана теорем?» аамихымо дни кл^осол И 'Г е о р о м а V , Пусть fp : / ■>— нмеот экс-псианциаяыай рост ич .-Тогда « топологии л'хтьнп pan -монррис.Я сходимости:

//Т ■ . ■ :

где !Р0 ' никнпя огибающая функции . При этом;

класс /У"*® является секвенциально компактном. Здесь по определению

9о а) - Ш), ¿€/ Ш)

где семейство всех непрерывных (»убывающих выцуклых

функций + таких, что ¿-<^1.

Как легко заметить, никняя огибающая функции <±>; представляет собой наибольщую неубывающую выпуклуи функцию > которая непрерывна в смысле слева в точке

(2 = £ (35)

и график которой, леигг ниже графика При этом,

оо для £ ->£р и !рс (б) при «=■ •

В § 3.2 найдены необходимые и достаточные условия ком -

пактности классов /У ® : --

Теорема 8 . Пусть Я>: /¡$ +, имеет экспоненциальный рост на ¿лл?Я?~О . Тогда .

следующие утверждения эквивалентны:

1) Н ^ секвенциально компактен относительно локально

равномерной сходимости; __

?.) Я? из убывает, внцукла и непрерывна в смысле слепа в точке (2 из (35).

Если с , то условие экспоненциального роста на • о« выполнено автоматически и, таким образом, мы имеем

Следствие 3.1. Пусть ЧР! ОФ* -

пргизвольная функция с ¿'/г/" (р.-- о и . Тогда

для секвенциальной компактности Класса // необходимо достаточно, чюби Ф была непрерывкой, неу быв ягодой и выцгююй функцией на отрезкп [ 1 ^ •

Здесь непрерывность ф , пп-^рс-яж^, понимается в смн~

ело

Накппрп, приволен наиболее инт"рвсннО гример яекомпакт -него класса. Тпкоп.м ягли?Т(:ч класс рсех ¿ч? -к.к. ото -братаний с ншегрплыо'м огр/чтачечисм

^ ¡^2)1 сСхЛу У (36)

С

В ишаюс обозначениях ато есть класс Н с

<ра)

(i -+/) ,

>7)

>

Как легко видеть, функция — "/-¿О не

является шгуклой, поскольку У/Ттб^) .

Таким образок, на выполнено одно из условий компактности.

В § 3.3 собраны следствия для теории вариационного метода на классах Н ^ , которые полностью аналогичны таковым на классах /У^у . В частности, в вариационном принципе максимума (теорема 9) для дилатации рС2) екстремали выполнено равенство:

^ ф(р&)) ¿Х^У . (38)

Глава 4 посвящена исследовании поведения квазиконформных отобранений в точке.

Как по называет пример Шабата

и- — Н Г/- ^/2/) , <29)

при непрерывной "комплексной характеристике /&С2£) (доопределенной цулш при 2? — О ) отображение может быть кедкффереда,ируем;ш в обычном смысле.

Однако

кик. по*» видимому, впервые установлено Белинским П.П., чсш /¿¿С2) непрерывна и точка , то Й5-— /¡иффервН'ДИруоио в следуют» смысле:

Л -м- «= А (?) [ Л 2 Чуги Д2 '/•

(40)

у -------,

где -/¡.(.('-¿с) , р / А 2 &Ё)у4(р)зависит

только 05 р й 0{у)/р ■ .О при р о . Подчерняем,

что здесь А ) может не иметь определенного конечного предела при <£> —О , но, как показано мною, обляпает до-

полнительным с в ой ст я ом:

а» лм = ,

(41)

у-^о АС?)

для любого ^ ->" О .

^Ифферснцируемсггь отобрагания ^ в смысле (40) с до -полнительным условием (41) в дальнейшем именуется как дифференцируем ость по Белинскому . При этом, в случае отсутствия негрершности/й^.), в соотношении (40) не обязательно /М-е -=^¿¿Сг£о) . Если уССе — О , то говорим также, что ^ конформно по Белинском/ в точке -

В § 4.1 найдено несколько критериев конформности по Белинскому (теорема 10). Один из критериев (необходимее и достаточное условно) заключается в асимптотической однородности квазиконформного отображения С С, в »^ле

^ /о?) ^

для любого

ПрИ . Другой

состоит в том, что:

i ¿(г) Н /

(43)

при

2?, 5Г '¿Г (С^ /¿? У «=С £/21 у для любого > О. В частности, при /Н'/^/Н/ из (43) получаем, чте

таре

^ м-т.- ^ • (14)

г-^о ,/^/г- \£сг.)\

т.е.- згарахтспистчка Дзрренгье»»* рг.гни I в ¡утл. Ггом?трич?ски

zo

ато означает, 'гг,о шфинитезшальныЯ круг с центром в нуле переход:« в инфинитеэимальный круг.

Однако условие (42) гораздо сильнее условия (44). Из (42) ш такие получаем асимптотическое сохранение углов между лучами, исходящими из начала в направлении соответст вующих точек:

1'лу /('Н - /Czfi^ay-b; (45)

и сохранение модулей иификтезимальшх колец:

ifJZSL =

^ l/CZ) |

^' * (46)

Последние диа геометрические свойства являются характеристическими для конформности по Белинскому.

Как показывает пример Шаб&та (39) и

- дг;==г|2 ^ (47)

при. конформности по Белинскому,4 в отличие от обычной конформности, доцускаются бесконечно большие растяжения и сжатия в точке, а также переход радиальных линий в бесконечно накручивавшиеся спирали.

Приведем наиболее интересное следствиз теоремы -10, исходим пунктом которого служит эгае один критерий, состояний в том, что:.

/tf^l ~ /7z-J "

^ (48)

длл аибсгс ""J3 С is при > О.

Пледе ч я не 4,1, Цутдь ^ -к. к, отображение- jf; Симеет комплексную хцчютерисилу s*¿C2L) епприириыатвшо иепрерырпу» »» ючн» ~Z.ti . Тогда ^ дч^мр^н-

цируемо по Белинскому в этой точке с у^-а .

Классическое понятие аппроксимативной непрерывности, которое мочио, например, найти в 'Теории ингеграла" Сакса С., эквивалентно сходимости по мере j- fS.) при ТГ-—0 , где/Л-^. (Z) ^ ~;Z), ~>0 • Поэто-

му здесь работает следствие 1.9. ' ^^

Учитывая то обстоятельство , что для функций из точки аппроксимативной непрерывности совпадают с ючкони Гебе га, предыдущее слепстпие можно сформулировать и по другому:

условий перекликается со знаменитым досгаточит.' ус ■

лопнем Тсйхмголлера-Шггтиха- Еолинского

|Z"Za/ííZ

для обычной длф{жренцируемости.

Однако, благодаря геороме 3, здесь такке удается «ыписмь необходимые и достаточна условия дзиффгрвяцируемости и юяф%р-мности по Белиноксму (ол-?лотпия А.Ъ и

В § л.2 полопш\лм>о разрешен г.нядгт проблемы Pafisn-Воль--лаока тпсп-.тслыш иг.и?тр»:н"Оти г,о Ралв.-кксьу,

Ече в 196!5 г'ду Р^х П. и В^лыюак Г.Р внсклаали гиг;. -тепу, что, какгч б» im с?сл .»г дуль г"нш»кгясй характеристики léCjg) — //<< ('&-)/ . «окно тяк подобрать ое apiyí-тш

c&Z-s? ,r¿ (Z). '-то r„-.-Ti4<Tirrm4t •«•••• кгтоинпнАорипсе отображение ^C¿Ú будпт К'Л'Ь р'.чг м ц л"!г-.я ичп-?ред заданноГ ? ечкп

ПЛОСКОСТИ &.

рпцгние ус>'»';г,ч..й гр-.6я«мм до опт п''р по mí! депо. Поскольку тгрп г, г 40'v olívi!ll4r,''4'',.n чноги?

с-О

1.2

¡иа:етрически<* свойства конформных отображений, перечисленные в предыдущем параграфе, следушдую иес-рему моию рассматривать к>ш частичное решение проблемы Райха-Волькзака:

Теорема 1 -í . Пусть : - про -

¡«вольная измеримая функция такая, что О ^ sSl ¿ , .

и гусчь - произвольная точка плоскости.

Тогда существует (Q -к. к. отображение ^.' С

с комплексной ларактерпстиксй yí¿i , //¿tCg.)l~£(¿t)

н.в., которое шляется конфоркным по Белинсиоцу в точке Но.

Отметим, что bvot поразительный факг устанавливается на основе теоремы А о замтсанш классов .

Наконец, в § 4.3 получена:

Теорема i 2 . 1(ус?ь квазиконформное отображение / конформно по Белинскому в течке С < где ' схр . Тогда:

4-1 fez) - .f(Zo)\

------- / . (51)

/ ~ ifo/

й

fía ее основа, для иллюстрации возмоив-к пршгоиений, доказана теорема существовании и представления решений с особенностями логарифмического типа для одного из основных уравне -шГ: математической физики (предложение 4.3),

Кромз юге, диссертация содержит несколько приложений, функциональное назначение которых различно. Если вспомогательной катерная прилскгмшП Л и В используется при докаяатель -сгве осЯсвных результатов, то приложения 13 и Г предназначены для распространения результатов на более обпшэ классы отображений.

О прилскеда.ях А и В речь yate шла перед формулировкой теоремы Z и после аеоремн А, соответственно.

U ириложыши II изложена теории абстракт;« пространств со сходшоетлми Фроше-Урыг^го» . Основная члеп. эгого при;, жения поспяшена так .н^шкймг-^ ядйрн;.му фостравству, coct¡ чще«у ал открытых множеств ыроитпдьиого тополегкчепкого пространства и наделенному сходим» «ыз к ядру. При пфськч обоцк г.рс,ыюло -»г киях доказана емюэнциольнии ком пакт но с? ь етогч» при .трам'."1.'-w. íi части.",с?и, док;..ч,чка »огте^гимл^лг; ¡'пшактн.'^т:. ^рисч

го

пространств произвольных топологических многообразий.

В приложении Г введено понятие голоморфного оператора , которое выполняет роль обобщенной нормировки решений уравнения Еельтрвми и позволяет переносить доказанные в диссерта -ции теоремы на отображения, внутренние по Огоилову. Главное внимание здесь уделю анализу поведения точек ветвления, а также радиусов листности и иньентивности при локально равномерной сходимости таких отображений. Отметим такте, что предыдущее приложение и известная теория унифсрмиэации поз -волягат переносить эти теоремы на отображения с переменными . областями определения, которые заданы на произвольных римшга-вых поверхностях.

ПУБШСАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Ï. Рязанов В.И. Некоторые вопросы сходимости и компактности для квазиконформных отобракений // Доклады АН УССР. ~ ÎS82,- »6. - С.24-26,

2. Рязанов В.И. Вариационный метод для общих классов квазиконформных отображений // Доклады АН УССР.- -ÏS9K. - Ш, - С .25-28.

3. Рязанов В.И. Некоториз вопросы сходимости и компактности для квазиконформных отображений // Теория стобравоений и приближение функций,- К.; Наук.думка, 1983.- С,50-62.

4. Рязанов В.И. Оператор Гильберта и сходимость харак -теристик квазиконформных (отображений // Доклады АН УССР. -1685. - J* 3,- С.24-26.

5. Рязанов В.И. Критерий сходимости характеристик квазиконформных отобракений И Тезисы докладов 3~ей Мекдунар.нонф. по компл.анал. и его прялок.- Варна, 1985.- С.28.

6. Рязанов В.И. О сходимости характеристик квазиконформных отображений Ц Укр.мат.к,- 1986,- 30, №2; - 0.200-204,

7. Рязанов В.И. (%aza»ov V.I.) Çucist-ions of Convergence and iitpcctîifiES far Qj в ci conforma iappincs // Aiiertl"iith.Soc. îi'anel.- 1986. 151, P.7-1Ç.

' 8. Р/тлкнсщй В.H., Рязанов В.И. О квазиконформных ото -браявниях с ограничениями на характеристику М. А. Лаврентьева шпегрального типа // Доклады АН СССР,- Т.297, №2. -

С,283-286.

9. Рпзаков В.И. Вариационный метод для квазиконформных отображений с ограничениями на .характеристики // Теория отображений и приблигшкме функций*- К.: Наук.думка, 1989. -С Л 45-153.

Î0. Ряьанов В.И. (i;yiia:mov V.I. ), Оа пес в s вагу o»d suifl-cient condition toc convercenee o£ со»riex dUatetiûnp // ■ iliekr.» étudia a,sl*eiRf!tl«!e bulr.sû4uo.-lÎ'39.-tO.-1.59-'Hi-,

11. Рязанов В.И. О точности некоторых теорем сходимости I! Доклад! АЛ СССР.- ШЬ31й, )?2,- C.3I7-3I9.

12. Рязанов В.И». Теорема замыкания дли краоикошЦюрмщ«: отображений с интегральными огранпэдннячи // Доклады АН СССР. ■- 1990.» '515, Ю.« С.&40-Й48.

13. Г/тяпнекий Ii.il., Рязанов В.И. О кг-нйиюяфршк-гл сто-

браженкях с интегральными ограничениями на характеристику М.Л.Лавренгьепа // Сиб.мат.ж. - 1990.- Г.31, №2.- С.21-36.

14, Рязанов В,И. О замыкании классов квазиконформных от о браке ни!? с идаегральныки ограничениши // Унр.маг.к. -1991.-43, т.- С.435-440.

16. Рязанов Б.И. О комгактификации классов с интегральными ограничениями на характеристик Лаврентьева // Сиб.мшт. к.~ 1992.- 33, И,- С.87-10-4.

£6. Рязанов В.И. Об усилении георемы сходимости Шгребеля // Известия АН России. Сер.мотем,- 1992.- 56, №3.- С,636-653.

17. Рязанов В.И. О необходимых и достаточных условиях дифферекцируемости по Балинекому // Доклады АН России.-1992.

- 323, !?2.~ С,241-244.

18. Рязанов В.И. Критерий дифференцируемости по Белинскому и его следствия // Укр.мат.ж.- 1992.- 44, Ш,- С,295-300.

19. Рязанов В.И. Решение проблемы Райха-Волькзака о конформности по Белинскому-Лаврентьеву // Укр.мат.к,- 1992.-44, «О,- С.1406-1411.

20. Рязанов В.И, 0 сходимости харастеристин, преобразовании (Еурье и проблеме Райха-Волькзака // Доклады АН России.

- 1992.- 323, №2,- С.15СМ52.

21. Рязанов В.И. 0 квазиконформных отображениях с огра-тчениями по мере // Хкр.мат.ж.- 1993.- 45, Ж}.- СЛ009-1019.

22. Рязанов В.И. 0 кяазиконформннх отображениях с лока-[ьно суммируемой границей деформаций // Доклады АН России.-;993.~ 332, №6.- С.693-695.

23. Рязанов В.И. О теоремах сходимости и компактности ля собояевских гомеоморфизмов.- Донецк, 1993.- 27с.- (Ире-ринт/АН Украины. Ин-г прикладной математики и механики ; 3.07).

Ф .

'¡.яыоано к почата .'-'•'-/'••, '•"> К! ор'.мт №:',.'•>■'|/1б. г//:пап г-тогра^оюл. '.юетная- печать

А,Г5 3:.»-:.',:! .:'■'> -Ю0 :•!-:•.

оЧЖЧ /.¡I Уи;-.'!.:1-'!-. г. Дсняи;:,