Топологические параразрешимые группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

prg ОД УДК 519. 546

На правах рукописи

1 2 СЕН №h

КУЗЬМИНА Надежда Дмитриевна

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ 1994

Работа выполнена на кафедре геометрии Уральского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Н.МУХИН. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.РОМАНЬКОВ

кандидат физико-математических наук, доцент А.В.РОЖКОВ.

Ведущая организация: Уральский государственный университет.

Ззщита состоится "Р/" сг*-аулЛ/Ц, 1994 г. в "/У*"часов на заседании специализированного совета К.002.07.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620066, г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской,16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 1эд4 ГОда.

Ученый секретарь специализированного совета

д.ф.-м.н., профессор А.С.Кондратьев

-3-

Как известно, теория групп возникла при решении Э.Галуа проблемы разрешимости уравнений в радикалах. Ключевым оказалось введение им понятая разрешимости группы, т.е. наличия в ней конечного нормального ряда с абелевыми секциями. С тех пор и по сей день выделение класса груш наличием конечного ряда подгрупп с заданными свойствами секций является одним из основных инструментов изучения групп.

Класс разрешимых (даже конечных) групп оказался труднообозримым. Изучая бесконечные разрешимые группы, А.И.Мальцев [ 3 3 предложил накладывать на секции разрешимого ряда те или иные ограничения типа условий конечности. Хорошо известно, например, что для дискретной разрешимой группы в наличие конечного субнормального ряда с абелевыми конечнопорозденными секциями ( свойство Аз в обозначениях А.И.Мальцева [3 3) равносильно наличию такого ряда с циклическими секциями ( полицикличность ), а также наследственной конечнопоровденности и условию максимальности.

Плодотворная идея А.И.Мальцева дала много глубоких результатов в абстрактной теории групп, а усилия В.М.Глушкова и В.С.Чарина внедрили ее в теорию локально-компактных топологических групп.

При выделении класса групп наличием в них конечного нормального ряда, можно накладывать условия на расположение секций этого ряда в группе. Так, центральность секций дает важнейший класс нильпотентных групп, о котором получена большая конструктивная информация.

Совмещением ограничений обоих типов выделяется класс сверхразрешимых групп, обладающих хорошей наследственностью и

многими интересными свойствами. Изучая в [18] сверхразрешимые линейные группы, Б.Верфрид ввел понятие параразрешимости, обобщающее понятие сверхразрешимости и нильпотентности, ослабив, в сравнении с последним, требование центральности секций разрешимого ряда до парацентральгоста ( т.е. нормальности всех подгрупп этих секций в соответствующей фактор-группе ). В этой же работе он дал оценку ступени параразрешимости линейных групп.

Использование вышеизложенной идеи для изучения топологических групп встречает ряд трудаостей, связанных с неудовлетворительной наследственностью требований указанного типа на подгруппы и фактор-группы. Это объясняется относительной слабостью теорем о непрерывных"гомоморфизмах. Тем не менее начиная с работ В.М.Глушкова и В.С.Чарина был получен ряд результатов для аналогов сверхразрешимых групп и групп мальцевско-го типа в классе локально-компактных топологических групп [7,13]. Так, при отказе от дискретности для Аз-групп происходит расщепление вышеназванных четырех понятий: свойства А5 , полицикличности, наследственной конечнопоровденности и условия максимальности для замкнутых подгрупп. Самый узкий из возникающих классов - разрешимых групп с условием максимальности - был изучен В.М.Глушковым (I], остальные три - в [83.

Первый аналог сверхразрешимых групп возник под названием МР-групп в работе А.Бореля и Ж.-Р.Серра о компактных группах Ли ШЗ. Свойство (МР) означало наличие в груше конечного нормального ряда замкнутых подгрупп, секции которого - либо конечные циклические, либо окружности. Окружность, как и вообще конечномерный тор, монотетична, т.е. топологически порождена одним элементом. Однако, замена цикличности в определе-

нш сверхразрешимости на монотетичность не оправдывает ожиданий из-за чрезмерного разнообразия связных монотетичных груш. В.С.Чарин предложил автору работы [4 3 изучать свойство, близкое к сверхразрешимости, но приводящее в дискретном случае к значительно более широкому классу груш. Это группы, обладающие конечным нормальным рядом замкнутых подгрупп, все секции которого имеют ранг 1; они названы в [63 МР-группами, поскольку в случае компактных групп Ли превращаются в МР-группы из [II].

Интересный подкласс дискретных сверхразрешимых групп, обладающих сверхразрешимыми же группами автоморфизмов, был введен в [153 требованием наличия конечного характеристического ряда с циклическими секциями. К сожалению, в этой работе структура соответствующих групп не исследовалась, за исключением беглого замечания о конечных абелевых р-группах.

Помимо отмеченных, во многих других работах о локально-компактных грушах ( например, в [19] ) в посылках или заключениях теорем фигурируют разрешимые ряды с секциями определенного типа. Это, а также наличие отправной базы в виде результатов о дискретных группах, говорит об актуальности и перспективности изучения локально-компактных групп со специфическими секциями разрешимого ряда

Основная цель диссертации - изучение аналога свойства параразрешимости для локально-компактных топологических групп. Перенос понятия параразрешимости на локально-компактные группы достаточно естественен, так как само определение параразрешимости тесно связано с автоморфизмами абелевой группы, фиксирующими все ее замкнутые подгруппы. Такие автоморфизмы ( в более общем контексте ) были изучены Ю.Н.Мухиным

в работе [5]. С уже изученным классом МР-групп вашу работу связывает то, что МР-группы, в нормальных рядах которых секции либо нульмерные монотетичные, либо окружности, являются парзразрешимыми (см Л 6]).

Со времен доказательства Л.С.Понтрягиным структурных теорем о строении абелевых групп и представления их в виде проективных пределов, а также со времен получения В.М.Глушко-вым (23 ( а в последствии В.И.Ушаковым [123 и В.П.Платоновым [93 ) аналогичных результатов для индуктивно пронильпотент-ных групп, стали традицией попытки получения аналогов этих результатов, в том числе (как правило, достаточно трудных) доказательств проективной лиевости. В нашей работе мы получаем структурный результат, расширяющий упомянутые результаты на изучаемый нами класс групп.

Кроме того, в настоящей диссертации изучается структура локально-компактных групп, обладающих характеристическими рядами с монотетичными секциями ранга 1; они тоже параразре-шимы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и 7 параграфов, изложена на 83 страницах..Библиография содержит 42 наименования .

Переходя к обзору содержания диссертации, сразу же объявим, что далее группа С предполагается локально-компактной, что не оговаривается даже в формулировках теорем.

Глава I посвящена изучению параразрешимых групп. Обобщая [183, назовем группу С параразрешимой, если она обладает парацентральным рядом, т.е. конечным нормальным рядом

е = а < г, < ... < с = в 1 2 п

замкнутых подгрупп группы С, все секции которого парацент-

рзльны в Секция У/Х группы 0 ( т.е. X и У - замкнутые подгруппы и X <3 У ) называется С-парацентральной, если она абелева, X 4 0, У < С и любой элемент группы С индуцирует в У/Х автоморфизм, фиксирующий все замкнутые подгруппы из У/Х. Наименьшую длину парацентральных рядов в 0 будем называть параступеныз или ступенью параразрешимости группы С.

^ (V Л' Л1 /V А'п^ Л' К* Л*А1Л'Л' Л/Л»Л' »V Л' Л»

Первоначальными при изучении свойства параразрешимости являются вопросы наследования этого свойства замкнутыми подгруппами и фактор-группами. Сложность решения этих вопросов объясняется, как уже отмечалось, относительной слабостью теорем о непрерывных гомоморфизмах. В §1 отмечены случаи наследования свойства параразрешимости с сохранением параступени ( для открытых нормальных и для компактно-покрываемых подгрупп, для нульмерных фактор-групп параразрешимой группы С ). Но нами приведены примеры ( примеры 1.1 -1.5 ), когда У/Х - парацентральная секция параразрешимой группы 0, а УпН/ХлН или УН/хН, где й и N - замкнутые подгруппы в 0 и N <з С, не парацентральш. Это означает, что стандартная для теории дискретных групп техника проверки наследственности непригодна в не дискретном случае. Попутно показано, что не существует ни нижнего, ни верхнего парацентрального ряда, и бессмысленна понятие "парацеитра", как наибольшей парацентральной подгруппы.

Эти примеры показали желательность установления наследования свойства параразрешимости произвольными замкнутыми подгруппами и фактор-группами группы а с более грубыми, чем я(С) оценками,, что и сделано в §3.

утверждение 3.1. Если С - пэраразрешимая группа параступени £ г, Н=Н<С, то Н обладает Н-парацентральным (если НоО,

-3-

то а-парацентральным) рядом длины 1 2а-и .

утверждение з. г. Если Н=Н - связная подгруппа параразре-шимой группы С параступени я, то Н обладает Н-парацентральным рядом со связными секциями, длина которого £ 2з.

утверждение з.4. Фактор-группа С/И, N41 < С, параразрешимой группы а параступени < я является параразрешимой группой параступени £ 2 я.

Кроме того, доказана структурная теорема ( теорема зл ), в которой получен ряд важных свойств опорных подгрупп пара-разрешимой группы С: нильпотентность связной компоненты, лие-вость по модулю индуктивно-компактного радикала и др.

Базой для получения последних результатов послужило построение (теоремы 2,1 - 2.э) в параразрешимой группе С "специальных" парацентральных рядов трех типов (§2):

- типа (*), в котором индуктивно-компактные секции предшествуют всем чистым, за исключением, быть может, одной -последней - которая является конечно абелевой группой периода 2; длина этого ряда не превосходит 2аИ ;

- типа (**), в котором связные секции предшествуют всем нульмерным, а длина ;

- типа {***), который начинается связными компактными секциями, продолжается векторными, затем периодическими и далее - дискретными без кручения, а заканчивается, быть может, конечной секцией периода 2; длина этого ряда яэ < 4яИ .

Теорема 2.1 является аналогом леммы 2 из [17], где для дискретной группы С параступени з строится ряд длины 2я-2, в котором периодические секции предшествуют секциям с централизаторами индекса £ 2. Опираясь на эту лемму, Б.Верфриц улучшает до 2&-2 оценку параступени 0 в "локальной теореме" для

дискретных групп G ограниченной параступени ( ¿ s ). При тривиальности аналогичной задачи для свойств разрешимости и нильпотентности заданной ступени, вопрос о "локальной теореме" для групп параступени s з оказался непростым. До Б.Верфрица его решали Б.Хилл [16] ( оценка параступени < O-Z^'-l-síet-l ), а также Г.Бразье и И.Стюарт 114] (уменьшили оценку до 2sf1). Нами в §4 доказано наследование пара-разрешимости индуктивными пределами локально-компактных пара-разрешимых групп ограниченной параступени < s , в также аналогичное утверждение ( не менее полезное с точки зрения теории топологических груш) получено для проективных пределов.

теорема 4. i. Если группа G есть индуктивный предел пара-разрешимых подгрупп Нх , х.еЛ, параступени s s, то G ~ пара-разрешимая груша параступени < Зм-2.

теорема 4.2 Если G з limpr Gx, гд8 G/\, Nx=ñx< G,

л<еЛ, причем Сл обладают G-парацентральннми рядами длины < то груша G параразрешима параступеш 5 Зд+-2.

Так как тихоновское произведение локально-компактных груш не обязано быть локально-компактной группой, мы рассмотрели вопрос о наследовании свойства параразрешимости ограниченными прямыми произведениями.

следствие i. i. Ограниченное прямое произведение G=P(Ga:Ha), ael, параразреиимых груш Ga параступеш < убудет парэразрешимой грушой тогда и только тогда, когда все его конечные подпроизведения есть параразрешимые группы, параступеш которых ограничены в совокушости.

При решении этих вопросов мы использовали, в частности, метод, предложенный И.В.Протасовым [10i и основанный на введении компактной топологии в множестве замкнутых подгрупп

группы G. Топология а в множестве ?(х) всех замкнутых подмножеств локально-компактного пространства х задается пред-базой, состоящей из множеств вида и °н (р е / р £ щ и ÍF / Puf * о >, где V пробегает все открытые множества, а и ~ дополнения компактов в х. Сходимость направленностей в этой топологии под названием S -сходимости изучена в (IQ3.

§5 посвящен изучению компактнопорожденных параразрешимых групп. Доказан критерий конечнопорожденности параразрешимой группы G.

теорема 5.1. Параразрешимая груша G тогда и только тогда конечнопорождена, когда она обладзет конечным парацент-ралъшм рядом с монотетичными секциями.

При этом G не обязана быть наследственно конечнопорож-дэнной ( замечание 5.2 ), если же является таковой, то она -MP-группа (следствие s.i. )

Известно, что даже конечнопорожденная разрешимая груша G не обязана быть проективно лиевой, т.е. разлагаться в проективный предел груш -Ля. В.М.Глушков 12) установил пролие-вость и наследственную компактнопорожденность нильпотентных компактнопорожденных груш. Нами доказана проективная лие-вость компактнопоровденной параразрешимой грушш G (теорема s.3), кроме того, такая груша наследственно компактнопорож-дена.

теорема 5.2. Компактнопорожденная параразрешимая груша наследственно компактнопороадена, и в ее специальных пара-центральных рядах чистые секции конечнопорождены, а компактно-покрываемые - компактны.

В главе 2 изучается строение Мг-гвупп (топологический

ÍVVÍWÍVÁ/Vnxw

аналог подкласса груш, выделенного в [15]), т.е. груш, об-

ладающих конечным рядом замкнутых подгрупп, каждая из которых (/5ий)-допустима ( Лий - груша всех топологических автоморфизмов 0 с топологией Браконье), причем секция У/Х этого ряда (будем называть ее Мд-секцией) либо г-секция, либо окружность, либо нульмерная компактная монотетичная группа. Рассмотрение ( по буквальной аналогии с Г153 ) (Аи&)-допустимых рядов с произвольными монотетичными секциями нецелесообразно ввиду чрезмерного разнообразия монотетичных груш и груш их автоморфизмов. Кроме того, мы сталкиваемся с определенными затруднениями и при выяснении строения {/шй)-допустимой секции У/Х М^-группы С, что возникает из-за неопределенности связей между Аи& и лиг(У/Х). Даже в абелевом случае вопрос о том, будет ли в -группе С (л ий)-допустимая подгруппа Н Мд-группой, труден, так как связан с известной проблемой продолжения автоморфизмов Н до автоморфизмов С.

Для изучения строения (¿¡-.-групп возникает необходимость в построении М^,-рядов, связанных с опорными подгрушами (индуктивно-компактный радикал КС), связный компактный радикал 1о, связная компонента ао и др.> группы 5. Для этого нами построены более "удобные" Мс-ряда ( лемма 6.1. и лек*и е. а. ), благодаря чему доказано ( теорема 6.1. ), что груша С тогда и только тогда й^.-группа, когда таковыми являются ее связный компактный радикал 10, фактор-группы Со/1о,£/Со. Кроме того в этих грушах построены соответствующие им Нс-ряды.

Хорошими опорными подгрушами обладают индуктивно про-нильпотентные группы (см., например, [6,с.29] ), причем такого вида М^-группа является нильпотентной в силу своей конечномерности, тогда как пронильпотентная -груша не обязана быть нильпотентной ( замечание 7.1 ). в §7 изучено строение

пронилыютентных и нлльпотентных Мс-групп.

теорема ?.1 Пронильпотентная группа G тогда и только тогда является Мц-группой, когда таковы I0, Go/Ic>, I/I0, G/J, где J = GoI. При этом

Io обладает М^-рядом е = St< At< S2... < &t=

где S /St - соленоида, Ai /S . - нульмерные монотетичяие группы (1 < * ¿ é-1 );

Go/Io обладает MG-рядом Io= V,< Z2< V2< ... < Zrf< V¿= G0, где V.+1/V г r, Z (1 s i ¿ rf-1);

I компактна;

G/J обладает центральным «¡-¡-рядом с секциями изеоморфными 2. Все силовские p-подррушш в 1/1о обладают М^-рядами с секциями с п или i it длины которых ограничены в совокупности. р" р

следствие г.г. Группа G в том и только том случае является нильпотентной М^-группой, если J замкнута, соленоидаль-ные Si+i/Si, векторные Vi+l/V. и 2-секции указанных в теореме 7-1 Мд-рядов в I0, Go/Io и G/J центральны в G, а 1/1о - тихоновское произведение своих силовских /-подгрупп, обладающих

центральными в G Нарядами, в которых секции типа с ri пред-

р"

шествуют секциям типа z , причем длины этих рядов ограничены по всем р.

Проблема продолжения автоморфизмов подгрупп до автоморфизмов всей группы легко решается, если данная подгруппа есть прямой множитель. Поэтому желательно выделить те ситуации (хотя бы в абелевых группах), где обеспечены нужные для решения задачи прямые разложения. Такие ситуации имеют место в нульмерных и локально-связных абелевых MG-группах, строение которых и изучено в следующих теоремах.

теорема 7.г. Нульмерная абелева груша G тогда и только

тогда lÍQ-rpynna, когда G = Ь Ъ\ где Е либо 1, либо е, а I -тихоновское произведение силовских р-подгрупп G , каждая из

которых имеет вид kt* ... * А. к В, где В либо z , либо <?,

р

- циклические ^-группы попарно различных порядков, причем числа к в совокупности ограничены.

теорема 7.3. Локально-связная абелева группа G тогда и только тогда Мд-грушха, когда G = I х Е х G , где Е и I -такие,как в теореме 7.2, причем I конечна, G компактна и конечномерна, типы всех элементов из G не содержат символ «=, и элементы каждого максимального типа образуют подгруппу ранга 1.

Нумерация утверждений двузначная : первый номер отвечает номеру параграфа, второй - номеру утЕерздения.

Все основные результаты, полученные в диссертации являются новыми и имеют теоретическое значение. Они докладывались на международных алгебраических конференциях (Барнаул, 1991г; Красноярск, 1993г.); всесоюзных алгебраических и топологических конференциях и симпозиумах (семинар по общей топологии при МГУ памяти П.С.Александрова, симпозиум по теории груш, Свердловск, 1989г.); на городских алгебраических семинарах ( семинар при кафедре алгебры, логики и кибернетики ИГУ, алгебраический семинар ИММ УРО РАН). Все результаты опубликованы в [20 - 25].

Теоремы e.i и 7.г получены совместно с руководителем работы. В [20,21] руководителю принадлежит концептуальная и методологическая роль.

-14-ЛИТЕРАТУРА

1. Глушков В.М. К теории нильпотентных локально бикомпактных груш // Изв. АН СССР. Серия: математика. 1956. Т.20,М. С. 513-546.

2. Глушков В.М. Локально нильпотентаые локально бикомпактные группы // Тр. Моск. мат. об-ва. 1955. Т.4. С.291-332.

3. Мальцев А. И. О некоторых классах бесконечно разрешимых груш // Мат. сб. 1951. Т.28, С. 567-588.

4. Москаленко З.И. Локально-компактные сверхразрешимые группы // Укр. мат. журн. 1973. Т.25, Х2. С. 235-247.

5. Мухин Ю.Н. Об автоморфизмах фиксирующих замкнутые подгруппы топологической группы // Сиб. мат. журн. 1975. Т.16, т. С.1231-1239.

6. Мухин Ю.Н. Обобщенно коммутативные локально-компактные группы. Свердловск, 1986, 96 с.

7. Мухин Ю.Н. Топологические группы // В кн: Итоги науки и техники. Серия: алгебра, топология, геометрия. 1982.

Т.20. С. 3-69.

8. Мухин Ю.Н., Фейман М.Ю. О разрешимых топологических группах мальцевского тша // Мат. зап. Урал, ун-та. 1978. Т.II, М. С. 125-136.

9. Платонов В.П. Периодические и компактные подгруппы топологических груш // Сиб. мат. журн. 1956. Т.7,.№4. С.854-877.

10. Протасов И.В. Локальные теоремы для топологических груш // Изв. АН СССР. Серия: мат. 1979. т.43. т. С. 1430 -1440.

11. Теория алгебр Ли. Топология груш Ли. Семинар "Софус Ли". М.,1962, - 305 с.

-1512. Ушаков В.И. Топологические локально нильпотентные группы // Сиб. мат. журн. 1965. Т.6, J63. С.581-596.

13. Чарин B.C. Топологические группы. // Итоги науки. Алгебра. 1964. М., 1966. С.123-160.

14. Brazier G. Stewart I. local theorems for parasolubillty // Arch. Math.1OT7.V.29,M. P. 353-362.

15. Durbin J.R, McDonald M. Groups with a characteristic cyclic series // J.Algebra. 1971. 7.18, Ю P.453-460.

16. Hill B.M. Hypercycllc series in groups // Ph. D. Thesis. London University. 1971.

17. Wehriritz B.A.F. On locally supersoluble groups // J. Algebra. 1976. V.43, Й2. P.665-669.

18. Webriritz B.A.F. Supersoluble and locally supersoluble linear groups // J. Algebra. 1971. V.17.JS1 .P.41-58.

19. Wu Ta-Sun. On the structure of certain locally compact topological groups // Trans. Ашег. Math. Soc. 1991. V.325, #1. P. 413-434.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ

20. Кузьмина Н.Д., Мухин D.H. О наследственности свойства параразрешимости топологических групп // Межд. конф. по алгебре. Тез. докл. Красноярск, 1993. С.194-195.

21. Кузьмина Н.Д., Мухин Ю.Н. О параразрешимых топологических группах // Межд. конф. по алгебре. Тез. докл. Новосибирск, 1991. С.56.

22. Кузьмина Н.Д. О параразрешимых топологических группах // Изв. вузов. Серия: математика. 1993. Ш. С.35-41,

23. Кузьмина Н.Д. Строение параразрешимых топологических групп // Екатеринбург,1994. 44с. Деп. в ВИНИТИ, 14.06.94,

№ 1459 - В 94.

24. Мухин Ю.Н., Нефедьева Н.Д. О подклассе топологических сверхразрешимых групп // Всесошн. сишоз. по теории групп. Тез. сообщ. Свердловск, 1989. С.85-86.

25. Нефедьева Н.Д., Мухин Ю.Н. Характеристические ряды с секциями ранга 1 в нильпотентных топологических группах // Исслед. алгебр, систем. Свердловск, 1989. С. 95-105.

Рот. Ур.ГПУ. Заказ АЗ?6 Тираж 100 экз. 05.07.94. Бесплатно.